典型环节传递函数-振荡环节
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大学自动控制原理2.4典型环节传递函数
02
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
传递函数的零点和极点决定了系统的动态特性和稳定性。
03
传递函数的分子和分母多项式决定了系统的频率响应特性。
典型环节的分类
比例环节
输出信号与输入信号成正比，传递函 数为 G(s) = K，其中 K 为常数。
02
积分环节
输出信号与输入信号的时间积分成正 比，传递函数为 G(s) = 1 / (sT)，其 中 T 为时间常数。
将介绍控制系统的稳定性 分析方法。
掌握频率响应法在控制系 统设计中的应用。
学习如何利用根轨迹法进 行系统性能分析。
了解现代控制系统的基本 概念和分类。
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高阶环节的传递函数具有多个极点和零点，这些极点和零点 决定了环节的动态特性，如响应速度、超调和调节时间等。
实例分析
以一个三阶惯性环节为例，其传递函数为 $G(s) = frac{1}{s^3 + 2s^2 + 3s + 1}$，该环节具有三个极点 $s = -1, -1, -1$ 和一个 零点 $s = 0$。
拉普拉斯变换中的频率。
该传递函数是一个有理分式，分 母为线性多项式，分子为常数。
当输入信号 (s) 变化时，输出信 号 (G(s)) 会根据增益 (K) 和时间
常数 (T) 进行相应的变化。
实例分析
实例1
一阶惯性环节在电机控制系统中的应用，用于描述电机的动态响应特性。
实例2
在温度控制系统中的一阶惯性环节，用于描述加热元件的热量传递和散热过程。
04 一阶惯环节
定义与特点
定义
一阶惯性环节的传递函数为 (G(s) = frac{K}{T s + 1})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常 数。
自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
2-4 典型环节及其传递函数
1
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
气阻的数学表达式为 ∆p = R∆q ∆p 式中， 是气体压力降 ； ( N/m 2 ) ∆q ( N ⋅ s) 是气体重量流量 ； R 是气阻值。 因而它的传递函数为 ∆P( s ) G( s ) = =R ∆Q ( s ) （３）喷嘴一挡板机构 喷嘴一挡板机构由恒节流孔 １，背压室 ２，喷嘴 ３，和挡板 ４ 组成，如图 ２－１８ 所示。 ∆h 它的作用是把输入挡板的微小位移 转换成相应 的气压信号输出。在忽略背压室气容影响时，可把喷嘴 1 2 4 一挡板机构看作一个比例环节，即 3 D ∆p D = k 1 ∆h 式中， 是喷嘴背压的变化； ∆p D ∆h 是挡板开度变化量； 是比例系数。 k1 d （４）放大器 h 在自动控制系统中用得最多的是运算放大 器，它是一个具有高放大倍数直接耦合式放大器。 1 − 恒节流孔 2 − 背压室 运算放大器一般由集成电路构成，其符号如图 ２－ 3 − 喷嘴 4 − 挡板 １９ 所示。 图 2-17 喷嘴挡板机构结构示意图 图中三角形尖端代表输出端，输出电压为 u 0 (t ) 它有两个输入端，一个是同相输入端 ｂ 用 “十”表示，一个是反相输入端 ａ 用“一”表示。当 放大器工作在放大区而不是饱和区时，输出电压 与同相输入端电压 和反相输入 u 0 (t ) u i (t ) u ( t ) 端电压 之间的电压差成正比。即 i1 a u 0 (t ) = k [u i2 (t ) − u i1 ( t )] + 也可写成 b ∆u 0 (t ) = k∆u i (t ) U i1 因而其传递函数为 Ui2 U0 ∆U 0 ( s ) G( s ) = =k 图 2-19 运算放大器符号图 ∆U i ( s ) 式中， 为开环放大倍数，这个数值很高，可达到 。所以集成运算放大器工作在 k 10 6 ~ 10 7 无反馈状态时输入电阻很高。它有以下两个主要特点： ①由于开环输入电阻很高，运算放大器两个输入端的电流接近于零。 ②由于开环放大倍数很高，所以 ｂ 端和 Ｃ 端电位接近相等，即 。 u i2 ≈ ui1 运算放大器本身虽属放大环节，但可用它来组成其他各种基本环节。
5-典型环节传递函数-振荡环节
振荡环节(Oscillating Element)
2．传递函数与功能框
振荡环节的 功能框图阶跃响应振荡环节(Oscillating Element)
3．动态
当ξ=0时，c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。 其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡 频率。
当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡(又称为阻尼振荡)。其振 荡频率为ωd, ωd称为阻尼自然振荡频率。
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
【实例1】 图为一RLC串联电路。若以 电源电压作为输入电压 ，以电容器两 端电压作为输出电压，此电路的传递 函数。并分析此为振荡电路的条件。 【解】 由基尔霍夫定律有
而流过电容的电流
其传递函数
2．传递函数与功能框
振荡环节的 功能框图阶跃响应振荡环节(Oscillating Element)
3．动态
当ξ=0时，c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。 其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡 频率。
当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡(又称为阻尼振荡)。其振 荡频率为ωd, ωd称为阻尼自然振荡频率。
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
【实例1】 图为一RLC串联电路。若以 电源电压作为输入电压 ，以电容器两 端电压作为输出电压，此电路的传递 函数。并分析此为振荡电路的条件。 【解】 由基尔霍夫定律有
而流过电容的电流
其传递函数
自动控制原理课件：2_4典型环节
• 电枢回路电压平衡方程
• 电磁转距方程 • 电动机轴上的转距平衡方程
1)确定输入量、输出量 2)确定动态联系
Ua θc
ua
=
Raia
+ La
dia dt
+ eb
eb = Kbωm
(2)
J
dωm dt
=
Mm
−ML
−
fωm
ua
(1)
Eb Eb
ML
(3) Mm
1
Ia
LaS + Ra
1
ωm
JS + f
电磁力矩 M m = Cmia
Ua eb
La
f1 Mm ML
J1
ωmθm 1/i θc
nω
M2
J2 、f2
原理:直流电动机的工作实质是将输入的
电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia (t)，再由电流ia （t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方 程可由以下三部分组成。
(4)
Ia Cm
Mm
角速度 ωm = dθm dt
(5)
θm
ωm
S
输出轴转角方程
θm
θc = θm i (6)
1 i
θc
4、传递函数 联结各框图得系统方快图(P39:图表-48)
用结构变换或Mason公式求出传递函数
三、求取系统传递函数的一般方法
步骤： * 1.首先确定出系统的输出信号(被控量等)和输入
信号（如给定值、干扰等）。 * 2.把系统分成若干个典型环节，求出各环节的
传递函数。用信号线把这些方框连接起来，得 到系统的动态结构图。 * 3.对动态结构图进行变换，得到传递函数。
• 电磁转距方程 • 电动机轴上的转距平衡方程
1)确定输入量、输出量 2)确定动态联系
Ua θc
ua
=
Raia
+ La
dia dt
+ eb
eb = Kbωm
(2)
J
dωm dt
=
Mm
−ML
−
fωm
ua
(1)
Eb Eb
ML
(3) Mm
1
Ia
LaS + Ra
1
ωm
JS + f
电磁力矩 M m = Cmia
Ua eb
La
f1 Mm ML
J1
ωmθm 1/i θc
nω
M2
J2 、f2
原理:直流电动机的工作实质是将输入的
电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t) 在电枢回路中产生电枢电流ia (t)，再由电流ia （t）与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)， 从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方 程可由以下三部分组成。
(4)
Ia Cm
Mm
角速度 ωm = dθm dt
(5)
θm
ωm
S
输出轴转角方程
θm
θc = θm i (6)
1 i
θc
4、传递函数 联结各框图得系统方快图(P39:图表-48)
用结构变换或Mason公式求出传递函数
三、求取系统传递函数的一般方法
步骤： * 1.首先确定出系统的输出信号(被控量等)和输入
信号（如给定值、干扰等）。 * 2.把系统分成若干个典型环节，求出各环节的
传递函数。用信号线把这些方框连接起来，得 到系统的动态结构图。 * 3.对动态结构图进行变换，得到传递函数。
典型环节数学模型与阶跃响应
第三章 自动控制系统的数学模型
当输入量r(t)=1(t)时， 输出量 C(s)为
K 1 C ( s ) G ( s ) R( s ) Ts 1 s
可得其单位阶跃响应为
c(t)= L-1［C(s)］=K(1-e-t/T)
第三章 自动控制系统的数学模型
当K=1时， 惯性环节的单位阶跃响 应曲线如上图 (b)所示。 对惯性环节的阶 跃 响 应 曲 线 进 行 分 析， 可 得 C(0)=0 ， C(T)=0.632 ， C(3T)=0.95 ， C(4T)=0.982 ， C(∞)→1。因此， 惯性环节在输入量突变 时， 输出量不能突变， 只能随着时间的 推移按指数规律变化， 这表明该环节具 有惯性特点。 常见的惯性环节如下图所 示。
2 n G( s ) 2 2 s 2n s n
振荡环节的方框图如下图 (a)所示。
c(t) c(t) R(s)
2 n 2 s 2 2 n s n
C(s)
1
r(t)
0 (a) (b)
t
图 振荡环节方框图及单位阶跃响应曲线 (a） 振荡环节方框图； (b） 振荡环节单位阶跃响应
第三章 自动控制系统的数学模型
对上式作拉氏变换， 可得 T2s2C(s)+2ζTsC(s)+C(s)=R(s) 移项整理有
C ( s) 1 G( s) 2 2 R( s) T s 2Ts 1
第三章 自动控制系统的数学模型
令T=1/ωn, ωn为该环节的无阻尼自然 振荡频率, 则上式可改写成如下形式:
振荡环节的单位阶跃响应曲线一般 如上图 (b)所示。 振荡环节的单位阶跃响应， 随着阻 尼比 ζ 的不同， 表现出不同的动态响应 过程， 如下图 所示。
典型环节的传递函数
典型环节的传递函数
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
1、比例环节 凡输出量与输入量成正比，输出不失真也不延迟 而按比例地反映输入的环节，称为比例环节又叫 放大环节、无惯性环节、零阶环节
•动力学方程为：
xotKxit
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
K
典型环节的传递函数
2、积分环节(纯积分环节) 凡输出量与输入量的积分成正比，称为积分环节， 又称为理想积分环节
•动力学方程为：
Tdxdottxotxit
•传递函数为：
GsXXoi ss
1 Ts1
典型环节的传递函数
5、导前环节(一阶微分环节) 又称为一阶微分环节，是一个相位超前环节。
•传递函数为：
GsXXoi ssTs1
典型环节的传递函数
6、振荡环节(二பைடு நூலகம்积分环节) 振荡环节是二阶环节，又称二阶振荡环节
•传递函数为：
•动力学方程为：
xotT1xi tdt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
1 Ts
典型环节的传递函数
3、微分环节(纯微分环节) 凡输出量与输入量的微分成正比，称为微分环节， 又称为理想微分环节
•动力学方程为：
xo
t
T
dxi t
dt
•传递函数为：
Gs
Xo s Xi s
Ts
典型环节的传递函数
4、惯性环节(一阶积分环节) 又称一阶惯性环节，是一个相位滞后环节。
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2
GsX Xo issT2s22 1Ts1
典型环节的传递函数
7、二阶微分环节
•传递函数为：
G sX Xo isss22 n 2 nsn 2 GsX Xo issT2s22Ts1
典型环节的传递函数
21
一、典型输入信号
1. 阶跃函数：
r(t)
a t 0
a
r(t) 0 t 0
t
单位阶跃函数：
1 t 0 r(t) 1(t) 0 t 0
单位阶跃函数的拉氏变换
R(s) L[1(t)] 1 s
22
2. 速度函数(斜坡函数)：
r(t)
at t 0
r(t)
0
t0
at
t
单位速度函数(斜坡函数)：
传递函数为： G(s)
1
s
积分环节原理图为：
U2(s) 1/ Cf s 1 1 U1(s) R1 R1C f s Tis
4
空载油缸
流量：
Q
f
(t)
A
dx(t) dt
X (s) 1/ A K Q f (s) s s
小惯性电动机
m(s) Km
Ua(s) s
三、理想微分环节 微分方程为：c(t) dr(t)
4. 调节时间ts:整个过渡过程所经历的时间，有时也叫过渡过 程时间。
30
5. 超调量σ%: 响应过程中，输出量
超出稳态值的最大偏差值， 一般用它与稳态值的比值 的百分数表示，即
% h(t p ) h() 100%
h()
6. 振荡次数N:单位阶跃响应曲线在0→ts时间内，穿越稳态 值次数的一半称为振荡次数。
31
7.稳态误差ess:对单位 负反馈系统，当时间t 趋于无穷时，系统单 位阶跃响应的期望值 [即输入量1(t)] 与实际值 (即稳态值)之差，定义为 稳态误差:
ess =1 - h(∞)
当h(∞) =1时，系统的稳态误差为零。
32
注意： σ%
控制工程基础第二章-3
Uo ( s ) R2 G( s ) K Ui ( s ) R1
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
惯性环节
凡运动方程为一阶微分方程：
d T xo ( t ) xo ( t ) Kxi ( t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
Xo( s ) K G( s ) X i ( s ) Ts 1
运动方程为：
式中，T—微分环节的时间常数
在物理系统中微分环节不独立存在，而是和 其它环节一起出现。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
无源微分网络
1 ui ( t ) i ( t )dt i ( t )R C uo ( t ) i ( t )R
RCs Ts G( s ) , T RC RCs 1 Ts 1
G( s ) K 1 C , T Cs K Ts 1 K
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
微分环节 输出量正比于输入量的微分。
dx i (t ) x o (t ) T dt X o ( s) 传递函数为： G ( s) Ts X i ( s)
t
0
xi ( t )dt
传递函数为： G( s )
Xo( s ) 1 X i ( s ) Ts
式中，T—积分环节的时间常数。
第二章 控制系统的数学模型
§2-3 传递函数及基本环节的传递函数
积分环节特点：
.输出累加特性； .输出的滞后作用； .记忆功能。
如当输入量为常值 A 时，由于：
1 t 1 xo (t ) 0 Adt At T T
2.4传递函数及典型环节传递函数
典型环节示例 1 比例环节
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
输出量不失真、无惯性地跟随输入量， 两者成比例关系。
传递函数及典型环节的传递函数
比例环节的传递函数为：
传递函数及典型环节的传递函数
2 惯性环节： 凡运动方程为一阶微分方程
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
K—环节增益（放大系数） T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关
传递函数及典型环节的传递函数
如：有源积分网络
传递函数及典型环节的传递函数
液压缸
传递函数及典型环节的传递函数
5 二阶振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的 能量能够相互转换，从而导致输出带有 振荡的性质，运动方程为：
传递函数：
传递函数及典型环节的传递函数
振荡环节传递函数的另一常用标准形式为 （K=1）
无源微分网络
无源网络
显然，无源微分网络包括有惯性环节和微 分环节，称之为惯性微分环节，只有当 |Ts|<<1时，才近似为微分环节。
传递函数及典型环节的传递函数
除了上述微分环节外，还有一类一阶微分环 节，其传递函数为：
微分环节的输出是输入的导数，即输出反 映了输入信号的变化趋势，从而给系统以 有关输入变化趋势的预告。因此，微分环 节常用来改善控制系统的动态性能。
2) 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的 各项系数和相应微分方程中的各项系数对应 相等，完全取决于系统结构参数；
传递函数及典型环节的传递函数
3) 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时 刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静 止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在 非零初始条件下的全部运动规律； 4) 传递函数只能表示系统输入与输出的关系,无 法描述系统内部中间变量的变化情况。
第二章part-II典型环节结构图梅森公式wmx
因为v2 v1 0， 所以K 趋向于无穷大。
输出 反相输入 同相输入
补充例4 倒相放大器
解：∵在理想情况下，
i1 0
v2 v1
∴关于节点 v1 的节点方程为：
v1 vin v1 v0 0 R1 R2
输入电流＝输出电流
v2 0
v1 v2 0
vin v0 0 R1 R2 即 v0 R 2 vin R1
G(S ) G1 (S ) G2 (S ) .... Gn (S )
(3)反馈回路传递函数的求取 前向通道：由偏差信号至输出信号的通道； 反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。
Y (S ) G(S ) E (S ) E (S) X(S) - F(S) F(S) H(S)Y(S)
从节点方程中可以得到：
在特殊的情况下， 如果：R2 R1 ， 则：v0 vin 这时，图中的倒相放大器只起到反相的作用。
解： 输入电压与输出电压间的关系为：
按传递函数的定义，可以得到
从图2.11中可以看出，比例环节的特点是：输出信号y(t)和输入信号
x(t)的形状相同。只是比例环节将原信号放大了K倍。
U y ( s)
惯性环节的阶跃响应曲线是 一条指数函数的上升曲线。 从图中可以看出在初始时， 速度的变化最大
惯性环节的阶跃响应曲线
惯性环节的动态方程为一阶微分方程： 将阶跃函数输入 代入方程，求解得到：
y(t ) Kx0 (1 et / T )
在t＝0时刻，初始上升速度为：
Kx0 t / T dy y (0) e dx t 0 T
几个基本概念及术语
R(s)
N(s)
+ -
自动控制原理_2.4典型环节传递函数
B盘以角速度ω 转动时，因 B盘和I 轴
间以滑动键联接，故B盘滑动就会改变
偏心量e；当时e=0，A盘转动而 B盘不
转；e增大， B盘角速度ω 正比的增大， 设K为比例常数，B盘转角为θ (t)。 输入— e 输出—θ (t)
解： (t ) Ke(t )
(t ) K e(t )dt
di(t ) 1 ui (t ) L i(t ) R i(t )dt dt C 1 uo (t ) i(t )dt C
§2.4.6 延时环节（迟延环节）
xo (t ) xi (t )
τ为延迟时间
L[ x0 (t )] L[ xi (t )] G( s ) L[ xi (t )] L[ xi (t )]
当|Ts|<<1时，G(s)=Ts，
才近似为理想的微分环节。
此系统为包含有惯性环节及微分环节的系统。
（1）预见输入（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ输入提前）
比例环节
R(s) r(t) t
1
1
X o ( s)
xo (t )
o
45
t
比例+微分
R(s) r(t ) t
1 Ts
X o ( s)
xo (t )
K G( s ) Ts 1
K为惯性环节的增益或放大系数；T为时间常数
理想的一阶惯性环节
1 G( s ) Ts 1
例1. 无源滤波电路
ui uo C为电容 R为电阻
1 ui (t ) i (t ) R i (t )dt C 解： 1 uo (t ) i (t )dt C 1 U i (t ) I ( s) R I (s) Cs LT得： 1 U o (t ) I ( s) Cs
第二章(典型环节和方框图的等效变换)
方框图的组成要素
1信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的
传递方向，直线旁标记信号的时间函 数或象函数。
2信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，
其性质、大小完全一样。
二、方框图的组成和建立
1. 由四种基本图形符号组成。
（1）函数方块 (2) 信号线
R(s) r(t) G(s)
R(s)
r(t)
C(s) c(t)
R(s) R(s)
(3) 分支点(引出点)
r(t) r(t) R(s)
r(t)
（4)综合点(比较点或相加点)
R(s)
R(s)±B(s)
r(t) ± r(t)±b(t)
B(s) b(t)
(1)函数块（传递方框）：方框内为具体环 节的传递函数。
(2)信号线： 表示输入、输出通道，箭头代 表信号的传递方向。
(3)信号相加点（综合点、比较点）：表示 几个信号相加减。
(4)信号分支点（引出点）：表示同一信号 输出到几个地方。
2 系统方框图的绘制 系统方框图的绘制步骤如下： (1)根据信号传递过程，将系统划分为若干
个环节或部件。 (2)确定各环节的输入量与输出量，求出各
环节的传递函数。 (3)绘出各环节的方框图。 (4)将各环节相同的量依次连接，得到系统
G2(s)
E(s) G1(s)
N(s)=0时系统的等效图
c(t) d 1(t) (t)
dt
几个实际微分的例子
C
i
u(t)
R
y(t)
RC串联电路
Y (s) R RCs U (s) 1 sC R RCs 1
G(s) Y(s) s U (s) s 1
典型环节的频率特性
第五章频率域方法典型环节的频率特性用频率法研究控制系统的稳定性和动态响应，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是由若干个典型环节的频率特性组成的，如直流电机的传递函数为()(1)mm K G s s T s =+可以将该传递函数分解为三个典型环节的乘积，分别是mK 放大环节：1s积分环节：11m T s +惯性环节：掌握好典型环节的频率特性，就能方便地得出系统的开环频率特性。
一、比例环节（放大环节）幅频特性()A Kω=相频特性()0ϕω︒=对数幅频特性()20lg L Kω=Kj()G s K =幅相特性曲线（K>0）（Nyquist 曲线）对数频率特性曲线（K>1）（Bode 图）典型环节的频率特性20lg K/dBL ϕω2π−ω(j )G Kω=AAKϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线(K>0)二、积分环节1()G s s =幅频特性1()A ωω=相频特性()2πϕω=−j2π−ω=ω∞幅相特性曲线（Nyquist 曲线）1()20lg20lg L ωωω==−对数幅频特性对数幅频特性曲线是斜率为-20分贝/十倍频程的直线，该直线在弧度/秒处与零分贝线相交。
1ω=1(j )j G ωω=AAϕ2π−ϕω幅频、相频特性曲线/(rad/s)ω对数频率特性曲线（Bode 图）20dB/dec−/dBL o /()ϕ三、惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+幅频特性21()()1A T ωω=+相频特性()arctan T ϕωω=−幅相频特性曲线（Nyquist 曲线）j=1/Tω=ω∞=0ωω1-45︒1(j )1+j G T ωω=Aϕ90︒−ϕω145︒−1TA幅频、相频特性曲线对数频率特性曲线（Bode 图）T ω/dBL o /()ϕ2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频相频特性()arctan T ϕωω=−3(dB)L =−45ϕ︒=−当频率时1T ω=2()20lg ()1L T ωω=−+对数幅频()20lg 20lg 20lg L T Tωωω≈−=−−转折频率：1=Tω当频率时1T ω<()20lg10 (dB)L ω≈=当频率时1T ω>惯性环节（一阶系统）1()1G s Ts =+1(j )1+j G T ωω=对数频率特性曲线（Bode 图）T ω 20dB/dec−对数幅频渐近特性曲线3(dB)−dBL /o /()ϕ四、振荡环节（二阶系统）222()2nn nG s s s ωζωω=++2221()[1()][2()]n n A ωωωζωω=−+22()()arctan 1()n n ζωωϕωωω⎛⎫=− ⎪−⎝⎭/nωωA=0ζ=0.2ζ=0.5ζ=0.7ζ=1ζ/nωωo /()ϕ(0) 1 ()1(2) ()0n A A A ωζ==∞=()0d A d ωω=212m nωωζ=−令，得20<<2ζ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(0)0 ()2 ()=n ϕϕωπϕπ==−∞−21()21m m A A ωζζ==−幅频、相频特性曲线(0, 0)n ζω≥>当时，，当时无峰值。
典型环节的传递函数
i (t)
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。 2 近似微分环节
u i (t)
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
图 永磁式直流测速机
G(s)
kTs Ts 1
1 u ( t ) i(t )dt i(t )R 已知 i C u 0 (t ) i(t )R
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s
则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
F s kX s
k
阻尼器
D
x(t)
t f t Dx
F s DsX s
Ds
质量
M
x(t)
t f t M x
F s Ms 2 X s
Ms 2
等效复阻抗
xi (t )
x0 (t )
k
数学模型为 o cx o kxo kxi m x (m s cs k ) X o ( s) kX i ( s)
(2)一阶惯性环节 凡运动方程为下面一阶微分方程
T d xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：
G( s) X o ( s) K X i ( s ) Ts 1
对于相同量纲的理想微分环节物理上是难以实现的， 电路中常遇到下述的近似微分环节。 2 近似微分环节
u i (t)
i (t ) ——输入转角； 其中， u0(t) ——输出电压。
图 永磁式直流测速机
G(s)
kTs Ts 1
1 u ( t ) i(t )dt i(t )R 已知 i C u 0 (t ) i(t )R
只有当|Ts|<<1时，才近似为微分环节。
（4）积分环节
如果输出变量正比于输入变量的积分，即 进行拉氏变换得 X 0 (s) k
x 0 ( t ) k x i ( t )dt
G (s) X 0 (s ) k X i (s ) s
则
X i (s) s
特点：系统的输出和输入之间没有唯一对应的关系， 有记忆功能，能提高系统的稳态精度， 系统中的积分环节不能大于2个，否则系统不稳定。
F s kX s
k
阻尼器
D
x(t)
t f t Dx
F s DsX s
Ds
质量
M
x(t)
t f t M x
F s Ms 2 X s
Ms 2
等效复阻抗
xi (t )
x0 (t )
k
数学模型为 o cx o kxo kxi m x (m s cs k ) X o ( s) kX i ( s)
(2)一阶惯性环节 凡运动方程为下面一阶微分方程
T d xo (t ) xo (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为一阶惯性环节。其传递函数为：
G( s) X o ( s) K X i ( s ) Ts 1
典型环节传递函数
Zi
(i 1,2, , m)
9
-1.33 -2 z2 -1
-0.5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模
态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
(i 1,2, , m)
9
-1.33 -2 z2 -1
-0.5 z1
图2-7 传递函数的零极点图
零点距极点的距离越远，该极点所产生的模
态所占比重越大 零点距极点的距离越近，该极点所产生的模 态所占比重越小 如果零极点重合－该极点所产生的模态为零， 因为分子分母相互抵消。
a.F(s)中具有不同的极点时，可展开为
F ( s) an a1 a2 s p1 s p2 s pn
ak [
B( s) ( s p k )]s pk A( s)
3
b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为
F ( s) a3 an a1 s a2 (s p1 )(s p2 ) s p3 s pn
B( s) br [ ( s p1 ) r ] s p1 A( s)
br j 1 d j B( s ) { j[ ( s p1 ) r ]}s p1 j! ds A( s)
br 1 {
d B( s ) [ ( s p1 ) r ]}s p1 ds A( s)
10
2.3.4典型元部件的传递函数 电位器－将线位移或角位移变换为电压量的装置。 单个电位器用作为信号变换装置。
E -电位器电源(v)
max －电位器最大工作角(rad)
11
图2-8 电位器
E
U (t )
U(t)
θ
-∏
∏
(t )
(b)
(a)
U (t ) K1 (t )
E E K1 2
输出信号的拉氏变换 C ( s) 传递函数 输入信号的拉氏变换零初始条件 R(s)
第三节 系统的传递函数
i(t) C uo (t)
• 在机械移动系统中，两种储能元件是储存
动能的质量m和储存势能的弹簧k。在RLC电
路中，两种储能元件储存电场能的电容c和
磁场能的电感L。
7. 延迟环节
延迟环节又称时滞环节、滞后环节等。
其运动方程式为：x0 t xi t
t
其传递函数为： G s e s
式中
─延迟时间
延迟环节与惯性环节的区别在于:惯性环节从输 入开始时刻起就有输出，只是由于惯性，输出要滞 后一段才接近于所要要求的输出值；延迟环节从输 入开始之初并无输出，但t= 之后，输出就完全 等于输入，如图2-17所示。
7、传递函数可以写成零极点表达式
G s X0 s K s z1 s z2 s zm
Xi s
s p1 s p2 s pn
式中
zi
─传递函数分子多项式为零的点， 称为传递函数的零点，i 1, 2, , m。
p j ─传递函数分母多项式为零的点，
称为传递函数的极点，j 1, 2, , n。
零点和极点的数值完全取决于系统的参数 构a0、参a数1、。、an和b0、b1、 、,即取决于系统的结
检测器检测的钢板厚度偏差处的厚度偏差之间有如下关系其传递函数为gsegststsgststs比例环节延时环节积分环节微分环节惯性环节一阶微分环节振荡环节二阶微分环节几点说明几点说明典型环节不是具体的元件而是表示元件或系统运动特性的数学模型
第三节 传递函数
一、传递函数的定义
1.定义
传递函数是线性定常系统在零初始条件下，输 出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
1 Ts 1
例如图2-11 所示为机械转动系统，它由惯性负载 和粘性摩檫阻尼器构成，以转矩Ti为输入量，以角 速度 为输出量。
第四章 控制系统的传递函数(1)
csX o ( s ) + kX o ( s ) = AP ( s )
X o (s) A = P( s) cs + K
c
G( s) =
求图示液压阻尼器的 传递函数,并判断属于 什么环节 解
q
R xo(t) K A
A( p2 − p1 ) = Kxo (t )
p1
p2
dxi dxo q = A − ρ dt dt p2 − p1 dx dx q= A 2 Rρ i − o = Kx o R dt dt
Ts Rcs = ∴G( s) = Rcs + 1 Ts + 1
≈ Ts
理想的微分环节是不存在的， 理想的微分环节是不存在的，微分环节不能 单独存在。
假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算 得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲， 只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为 变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时， 则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。
π
15
)]
=e
π
15
s
5 ⋅ 2 s + 25
l[sin(5t +
π
3
3 π 5 π s = cos + sin 2 3 s + 25 3 s 2 + 25
)] = l[cos
π
sin 5t + sin
π
3
cos 5t ]
延时定理
设
l[ f (t )] = F ( s )
则对任意正数to，有
l[u (t − t o ) f (t − t o )] = e
运动方程为dtdx环节的固有频率环节的阻尼比其中如果01二阶环节称为振荡环节kxkxdtdxcsmskxdtdxcsms上例中如果输入量为外力ft则系统的固有频率和阻尼系数为多少延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间但不失真地反映输入量的环节
X o (s) A = P( s) cs + K
c
G( s) =
求图示液压阻尼器的 传递函数,并判断属于 什么环节 解
q
R xo(t) K A
A( p2 − p1 ) = Kxo (t )
p1
p2
dxi dxo q = A − ρ dt dt p2 − p1 dx dx q= A 2 Rρ i − o = Kx o R dt dt
Ts Rcs = ∴G( s) = Rcs + 1 Ts + 1
≈ Ts
理想的微分环节是不存在的， 理想的微分环节是不存在的，微分环节不能 单独存在。
假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算 得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲， 只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为 变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时， 则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。
π
15
)]
=e
π
15
s
5 ⋅ 2 s + 25
l[sin(5t +
π
3
3 π 5 π s = cos + sin 2 3 s + 25 3 s 2 + 25
)] = l[cos
π
sin 5t + sin
π
3
cos 5t ]
延时定理
设
l[ f (t )] = F ( s )
则对任意正数to，有
l[u (t − t o ) f (t − t o )] = e
运动方程为dtdx环节的固有频率环节的阻尼比其中如果01二阶环节称为振荡环节kxkxdtdxcsmskxdtdxcsms上例中如果输入量为外力ft则系统的固有频率和阻尼系数为多少延时环节凡输出量滞后于输入量一个时间但不失真地反映输入量的环节
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.
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
【实例1】 图为一RLC串联电路。若以 电源电压作为输入电压 ，以电容器两 端电压作为输出电压，此电路的传递 函数。并分析此为振荡电路的条件。 【解】 由基尔霍夫定律有
而流过电容的电流
其传递函数
.
振荡环节(Oscillating Element)
4．举例
对上式与式(3－28)相比较，可得
当
，即R=0时，其阶跃响应为等幅振荡。
当
，即
期过程，不具有振荡性质。
当
可见，只有当ξ＜1时, 才成为一个振荡环节 当ξ≥1时,该环节的阶跃响应为单调曲线。
.
2．传递函数与功能框
振荡环节的 功能框图
阶跃响应
.
振荡环节(Oscillating Element)
3．动态 当ξ=0时，c(t)为等幅自由振荡(又称为无阻尼振荡)。 其振荡频率为ωn，ωn称为无阻尼自然振荡 频率。 当0<ξ<1时，c(t)为减幅振荡(又称为阻尼振荡)。其振 荡频率为ωd, ωd称为阻尼自然振荡频率。
振荡环节(Oscillating Element)
在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储能单 元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交
例如，由于L、C是两种不同的储能元件，电感储存 的磁能和电容储存的电能相互交换，有可能形成振荡过程。
1．微分方程
式中的 ωn=1/T；ξ称为阻尼比
.
振荡环节(Oscillating Element)
振荡环节(Oscillating Element)
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其传递函数
.
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当
，即R=0时，其阶跃响应为等幅振荡。
当
，即
期过程，不具有振荡性质。
当
可见，只有当ξ＜1时, 才成为一个振荡环节 当ξ≥1时,该环节的阶跃响应为单调曲线。
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阶跃响应
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式中的 ωn=1/T；ξ称为阻尼比
.
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