高等数学微积分课件832 曲线积分与路径无关51页PPT
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3-2积分与其路径的无关性
10
柯西积分定理
设f (z) 是单连通区域D 上的解析函数，则对 D内的任一可求长的Jordan曲线 C , 有
c f (z)dz 0.
C D
说明：该定理的主要部分是 Cauchy于1825年建立；
它是复变函数理论的基础。
11
试着证明 Cauchy 积分定理:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
C
这和高等数学中的曲线积分与路径无关的关系 ？
5
观察上一节最后两例题后发现： 有的函数的积分只依赖于积分路径的起点与终
点，而与积分路径的形状无关，而有的函数，其积 分不仅与积分路径的起点与终点有关，而且与积分 路径的形状还有关． 前一类函数是解析函数．知道 f(z)=1也是解析函 数，其积分也只依赖于积分路径的起点与终点，而 与积分路径的形状无关． 由此，我们可提出猜想：
于是 Re z 1, dz idt,
y
i
1 i
Re zdz
1
tdt
1
1 idt
1
i.
C
0
0
2
y x2
1
1
o
x
1
C zdz 0 tdt 0 (1 it)idt
i.
4
注意1 从例 5 可以看出，曲线积分 zdz与积分路
C
径无关，但曲线积分 Re(z)dz与积分路径有关。
( z12
z02
).
例2 求 i z cos z2dz 的值. 0
解
i z cos z2dz 1 i cos z2dz2
0
20
1 sin z2 i 1 sin( 2 ) 1 sin 2 .
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条-PPT课件
一、曲线积分与路径无关的定义 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分的求积 四、小结
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
一、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内
从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
Pdx Qdy L 1
Pdx Qdy L 2
y
L1
B
即，在 G 内曲线积分 与路径无关。 必要性 用反证法
P ( x , y ) dx Q ( x , y ) dy L
P Q 假设在 G 内存在使 y x
的点 M0，
必要性 用反证法
P Q 假设在 G 内存在使 的点 M0， y x Q P 0 . 即 M 0 y x
不妨设
Q P y x
C
D
M0
G
Q P 0 . 设 f ( x ,y ) . M 0 y x
由于P，Q 具有一阶连续偏导数， 有 f(x ,y ) 连续 . 因此在 G 内必有点 M0 的一个小邻域 D′, 在 D′内
f ( x ,y ) 0 .
因为， D G .应用格林公式，有
o
1
x
因此，积分与路径无关。
P e y , y
Q ey. x
y
2
1
Q 全平面是单连通域。 即 P . y x
L2
因此，积分与路径无关。 取一简单路径：L1 + L2.
y y ( e x ) dx ( xe 2 y ) dy L
o L1 1
x
: x 1 ,y : 0 2 . L : y 0 ,x : 0 1 . L 1 2
C
D
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《高数微积分》PPT课件
{
x
0
xa
}.
4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母a, b, c等表示常量, 用字母x, y, t等表示变量.
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
须 __________.
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性.
三、证明任一定义在区间( a, a ) ( a 0 ) 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和.
四、设 f ( x)是以 2 为周期的函数，
且
f (x)
x 2 ,1
x
0 ,试在(,) 上绘出
0, 0 x 1
3l
l
2
2
l 2
3l 2
四、反函数
y
函数 y f ( x)
y
反函数 x ( y)
y0
W
o
y0
W
x0
xo
D
x0
x
D
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
定理（反函数存在定理）：单调函数f必存在 单调的反函数，且具有和f相同的单调性。
例3
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
D(1 2) 0, D(D( x)) 1,
解
单值函数, 有界函数, 偶函数, 不是单调函数, 周期函数(无最小正周期)
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
积分与路径无关 ppt课件
( x0，y0 )
M0K
KM
M0K
y y0
Q(
x0，y)dy,
x P(x，y)dx
KMБайду номын сангаас
x0
u(x，y)
y y0
Q(
x0，y)dy＋
x x0
P(
x，y)dx
Y
K( x0, y)
M ( x，y)
M0( x0，y0 )
X
由定理1知： （两个常用结论）
设D为单连通区域，函数P(x，y)，Q(x，y)在D 内有连续的一阶偏导数，
(1) 从点O(0，0)沿上半圆x2 +y2 =2x到点A(2，0)。 (2) 从点O(0，0)沿折线y=1-|1-x|到点A(2，0)。 (3) 从点O(0，0)沿x轴到点A(2，0)。
可以算得: (1) y2dx 2xydy 0 L (2)L y2dx 2xydy 0
y
B
(3) y2dx 2xydy L
逆时针方向
解： xe x2 y2 dy ye1 xydx x e 1 xy dy ye1 xydx
L
L
P ye1xy， Q＝ xe1xy.
由 Q (1 xy)e1xy P 在整个平面上均成立，
x
y
知 x e 1xy dy ye1xydx 在整个平面上与路径无关 L
可以算得: (1) y2dx 2xydy 0 L (2)L y2dx 2xydy 0
y
B
(3) y2dx 2xydy L
0
o
Ax
1
2
Q 2 y P 所以该积分与路径无
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《曲线积分》课件
换元法
总结词
换元法是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为更容易计算的定积分的方法。
详细描述
换元法的基本思想是通过引入新的变量替换原变量，将曲线积分转化为定积分。通过选择合适的换元函数，可以 将曲线积分的积分路径转化为直线或简单的几何形状，从而简化计算过程。这种方法在处理复杂的曲线积分时非 常有效。
经济学中的应用
在经济学中，曲线积分可以用于研究商品价格变动对需求量 的影响，以及投资回报率等问题。
曲线积分的分类
第一型曲线积分
第一型曲线积分是计算函数在曲线上 的定积分，用于计算曲线下的面积和 长度等。
第二型曲线积分
第二型曲线积分是计算函数关于某个 变量的变差，用于计算速度和加速度 等物理量。
02
曲线积分背景
曲线积分是微积分学中的重要概 念，它与定积分、重积分等概念 有密切联系，是解决许多实际问 题的重要工具。
曲线积分的应用
1 2
3
物理学中的应用
曲线积分在物理学中有广泛的应用，如计算曲线运动的轨迹 长度、速度和加速度等。
工程学中的应用
在工程学中，曲线积分被广泛应用于计算各种曲线形状的物 体在运动过程中的物理量，如管道流速、机械零件的振动等 。
电场线的积分与电荷量
电场线的积分
电场线是描述电场分布的几何图形，电 场线的积分可以用来计算电场中的电荷 量。通过曲线积分的方法，可以计算出 电场线上各点的电场强度，从而得到整 个电场的电荷量分布。
VS
电荷量
电荷量是描述电场中电荷数量的物理量， 它表示电场中电荷的多少。在物理学中， 电荷量可以通过电场线的积分来计算，并 用于研究电场的性质和行为。
06
曲线积分的综合应用
《微积分》PPT课件
第九章
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
微积分.ppt课件
在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时 千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应 承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟 上教师的讲授. 遗留的问题、疑点待课后复习时再思 考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参 考书加以解决.
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
(3) 记笔记
记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节. 但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、 看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化 课上所讲的内容. 因此，记笔记不应占用过多的课 堂时间. 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但 应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问.
高等数学有四个显著特点：
(1)高度的抽象性
数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出 来. 我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同 具体的对象联系起来. 在数学的抽象中只留下量的 关系和空间形式，而舍弃了其他一切. 它的抽象程 度大大超过了自然科学中任何一门学科.
(2)严谨的逻辑性
数学中的每一个定理，不论验证了多少实例， 只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中
(5)做作业
要把高等数学学到手，及时、认真地完成作 业是一个必不可少的学习环节. 每次的作业最好 在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后 进行. 做作业不仅是检验学习效果的手段，同时 也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达 能力以及计算能力的重要手段.
特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨 治学的一个环节.因此，要求作业“字迹工整、绘 图准确、条理清楚、论据充分”. 切忌抄袭，尽 量不先看书后的答案.
成立. 在数学中要证明一个定理，必须是从条件和 已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出 结论.
(3)广泛的应用性
高等数学具有广泛的应用性. 例如，掌握了导数 概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的 切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻 画和计算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用 它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等 等经济量；……
大学微积分课件幻灯片版
不定积分的性质
包括线性性质、积分区间可加性 、常数倍性质和积分与微分互逆 性质。
基本积分公式与法
则
包括幂函数、三角函数、指数函 数、对数函数等基本初等函数的 不定积分公式，以及分部积分法 、换元积分法等基本积分法则。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是求一个函数在闭区间上的积分值，表达形式为 ∫[a,b]f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a,b]上的面积。
根据未知函数及其导数的次数划 分
一阶微分方程及其解法
可分离变量法
通过变量分离，将微分方程转化为可积分的 形式
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将一阶线性微分方程转化为 可积分的形式
二阶微分方程及其解法
二阶线性微分方程
具有常系数的二阶线性微分方程的通解结构
振动与波动方程
描述振动与波动现象的二阶线性微分方程
欧拉方程
通过变量替换，将欧拉方程转化为二阶线性微分方程进行求解
高阶微分方程的降阶法
通过变量替换或积分法，将高阶微分方程降阶为一阶或二阶微分方程进行求解
05
多元函数微积分学
多元函数的基本概念
01 02
多元函数的定义
设$D$为一个非空的$n$ 元有序数组的集合， $f$为某一 确定的对应规则。若对于每一个有序数组$( x1,x2,…,xn)∈D$，通过对应规则$f$，都有唯一确定的实 数$y$与之对应，则称对应规则$f$为定义在$D$上的$n$ 元函数。
三重积分的定义
设三元函数$f(x,y,z)$在可求体积的有界闭区域$Omega$上连续，将$Omega$任意分成$n$个小闭区域$Delta V_1,Delta V_2,…,Delta V_n$，记各小闭区域的直径中的最大值为$lambda $。若不论对$Omega $如何分割 及如何选取点$(xi_i,eta_i,zeta_i)$，只要当$lambda to 0 $时，和式$sum_{i=1}^{n} f(xi_i,eta_i,zeta_i)Delta V_i $的极限存在且唯一，则称此极限为函数 $f(x,y,z) $在区域 $Omega $上的三重积分。
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
数学基础-微积分基础 PPT课件
x
x
2020/2/25
3
补充知识 微积分#39;( x) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
其他表示： dy , df , d f ( x) dx dx dx
二阶导的表示：
y''
f ''(x)
5.1.2 变力做功
设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如
图，求物体从 sa到sb处力对其所做的功。
将sb san等 分 ， 间 隔 为s, 在 每 个 小 F(s)
间 隔中 视F (si )为 恒量 ， 在 每个 小 间
隔 内力 做 功 为: A F (si ) s.
力从sa到sb之间所做功为：
v(
x)
du u( x) dx [v( x)]2
dv dx
定理四 d u[(v( x)] du dv
dx
dv dx
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补充知识 微积分初步 例题
1、求y x2 a2(a为常数）的导数
2、求y ln x (a为常数）的导数。 a
3、求y ax2(a为常数）的导数。
4.1 自变量的微分—自变量的无限小增量
x dx
4.2 函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分
dy f '( x)dx f '( x) dy
dx
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补充知识 5、积分
微积分初步
v(t)
5.1 两个例子
5.1.1 变速直线运动的路程计算
ta tb 质点走的路程
f '(x) 1 x
微积分第十章课件
对于积分∫Γf(x,y,z)ds也有相应的性质，读者 可自行写出.
三、 第一类曲线积分的计算
定理1
设有曲线
三、 第一类曲线积分的计算
【例1】
求半径为R,中心角为 2α的圆弧L的质心(设线密 度ρ=1).
解取坐标系如图102所示.
图 10-2
三、 第一类曲线积分的计算
三、 第一类曲线积分的计算
(1)抛物线y=x2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(2)抛物线x=y2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(3)有向折线OAB，从点 O(0,0)沿x轴到点A(1,0)，再从 点A(1,0)沿直线x=1到点B(1,1).
图 10-6
二、 第二类曲线积分的计算
二、 第二类曲线积分的计算
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 第一类曲线积分 第二节 第二类曲线积分 第三节 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
第十章 曲线积分与曲面积分
第四节 第一类曲面积分 第五节 第二类曲面积分 第六节
与路径无关的条件
第 一节
第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的概念
引列
设有一曲线形物体所 占的位置是xOy面内的一 段曲线L，它的端点是A， B，它的质量分布不均匀， 其线密度为ρ(x,y)，试求该 物体的质量M(见图10-1).
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当 线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积 分，即
M=∫Lρ(x,y)ds.
一、第一类曲线积分的概念
二、 第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则 ∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)d s+β∫Lg(x,y)ds.
三、 第一类曲线积分的计算
定理1
设有曲线
三、 第一类曲线积分的计算
【例1】
求半径为R,中心角为 2α的圆弧L的质心(设线密 度ρ=1).
解取坐标系如图102所示.
图 10-2
三、 第一类曲线积分的计算
三、 第一类曲线积分的计算
(1)抛物线y=x2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(2)抛物线x=y2上从O(0,0) 到B(1,1)的一段弧.
(3)有向折线OAB，从点 O(0,0)沿x轴到点A(1,0)，再从 点A(1,0)沿直线x=1到点B(1,1).
图 10-6
二、 第二类曲线积分的计算
二、 第二类曲线积分的计算
第十章 曲线积分与曲面积分
第一节 第一类曲线积分 第二节 第二类曲线积分 第三节 格林公式平面曲线积分与路径无关的条件
第十章 曲线积分与曲面积分
第四节 第一类曲面积分 第五节 第二类曲面积分 第六节
与路径无关的条件
第 一节
第一类曲线积分
一、第一类曲线积分的概念
引列
设有一曲线形物体所 占的位置是xOy面内的一 段曲线L，它的端点是A， B，它的质量分布不均匀， 其线密度为ρ(x,y)，试求该 物体的质量M(见图10-1).
根据第一类曲线积分的定义，引例中曲线形物体的质量当 线密度ρ(x,y)在L上连续时，就等于ρ(x,y)在L上的第一类曲线积 分，即
M=∫Lρ(x,y)ds.
一、第一类曲线积分的概念
二、 第一类曲线积分的性质
性质1
设α，β为常数，则 ∫L［αf(x,y)+βg(x,y)］ds=α∫Lf(x,y)d s+β∫Lg(x,y)ds.
微积分基本定理PPT课件
前提条件：f(x)在[a,b]连续
（1）
f x dx 存在；
b a
（2）f(x)存在原函数.
x
a
f(t)dt 是它的原函数
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a,b]上 的定积分等于它的任意一个原函数在区 间[a,b]上的增量，求定积分问题转化 为求原函数的问题. 注意：当a>b时， b f (x)dx F(b) F(a) a 成立.
从几何意义上看，设曲线y=y(t) 上与 t i-1 对应的点为P，PD是P点处 的切线，由导数的几何意义知，切 线PD的斜率等于y' ti-1 ，于是
Δs i ≈ h i = tan∠DPCgΔt = y t i-1 Δt
'
物体的总位移s
s = Δsi ≈ hi = v t i-1 Δt
教学重难点
重点
直观了解微积分定理的基本含 义, 能利用定理计算简单的定积分.
难点
微积分基本定理的推导过程.
变速直线运动
如图，一个作变速直线运动的物体
的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可
知，它在任意时刻t的速度 v t = y' .设 t
这个物体在时间段[a,b]内的位移为s， 你能分别用y(t),v(t)表示s吗？
导数 是刻画函数变化快慢程度的 一个一般概念，由于变量和函数在自然 界和社会中有着几乎无处不在的实际背 景，所以它是高等学校许多专业的一门 重要基础课. 定积分 的最本质思想：在每个局 部小范围内“以直代曲”，“以不变代 变”和逼近的思想，这也是应用定积分 解决实际问题的思想方法.
新课导入
学习微积分，数学和思维水平都 将进入一个新的阶段，能切实地训练学 生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未 学懂微积分，思维难以达到较高的水平， 难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本 定理，我们就能轻松解决首页的问题.
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