(人教版九年级上册数学)21.2《一元二次方程的根与系数的关系》名师教案

21.2.4 一元二次方程根与系数的关系（胡雯雯）一、教学目标 （一）核心素养本节是一元二次方程的解法的最后一节课.在之前一元二次方程的解法已经掌握的基础上，学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神. （二）学习目标1. 熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2. 灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3. 提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力. （三）学习重点一元二次方程根与系数的关系 （四）学习难点对根与系数关系的理解和推导 二、教学设计 （一）课前设计 预习任务 1：填写下表.你发现的规律是 a =1时，若一元二次方程有实根（∆≥0）两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项 （文字表达）； 结论： a =1时， 1212,x x b x x c +=-⋅=（用字母表达）. 2：填写下表.观察上面的计算结果，你发现的规律是 若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.（文字表达）；结论： 若一元二次方程有解x 1，x 2（∆≥0），则1212,b c x x x x a a⋅+=-=（用字母表达）. 预习自测1.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =_____,12x x ⋅=______. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =3，2x =-1.进而得到1x ＋2x =2，12x x ⋅=-3. 【思路点拨】解出方程的根即可得解. 【答案】1x =3，2x =-1；1x ＋2x =2，12x x ⋅=-32.解方程2230x x --=,则1x =____,2x =____;1x ＋2x =__,12x x ⋅=____. 【知识点】解一元二次方程【解题过程】解方程可得1x =32，2x =-1.进而得到1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.【思路点拨】解出方程的根即可得解.【答案】1x =32，2x =-1； 1x ＋2x =12，12x x ⋅=-32.3.一元二次方程220x x m --=的一个解是-1,则另一个解__________. 【知识点】根与系数的关系【解题过程】∵-1是方程的一个解，而1x ＋2x =2, ∴2x =3【思路点拨】根据两根之和和其中一根可求出另一根.【答案】34.一元二次方程2260x mx --+=的一个解是1, 则m =__________.【知识点】根与系数的关系 【解题过程】∵12x x ⋅=-3，1x =1, ∴2x =-3, ∴1x ＋2x =-2 ∴m =4【思路点拨】方程中a ，c 确定，即可确定两根积；从而可得到另一根，进而得出两根和，由此得到m 的值. 【答案】4 (二)课堂设计 1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax （2）一元二次方程根的判别式:ac b 42-=∆（3）一元二次方程的求根公式：224(40)2b b ac x b ac a--=-≥ 2.问题探究探究一 一元二次方程根与系数的关系定理的猜想与证明 ●活动①大胆猜想，探索新知 回顾预习活动中的表格两个根两根和两根积 a 与b 之间的关系a 与c 之间的关系1x2x1x ＋2x12x x ⋅b ac a2320x x ++=-2 -1 -3 2 3 2 23180x x --= 6-33-18 -3 -18 24100x x +-= 214-+ 214-- -4-104-1022310x x ++=12- -132- 123212猜想：一元二次方程)0(0≠=++a c bx ax 的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 师问：方程220x x ++=,2210x x ++=有上述特征吗？ 生答：没有.因为上面两个方程的判别式小于0，故方程无实根.总结：上面猜想的规律的前提是一元二次方程有实根，即240b ac -≥【设计意图】鼓励学生大胆猜想，引导学生由观察得到的初步认识，再从特殊到一般，体会数学结论的正确性和逻辑推理的严密性. ●活动② 从特殊到一般，严密推理推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．（请学生小组讨论，并形成小组结论）设x 1、x 2是方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠0）的两个根．试计算（1）x 1＋x 2（2）12x x ⋅. 故有：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠,当240b ac -≥时，它的两根12,x x 满足注：①使用条件：D ³0②注意符号【设计意图】引导学生从前面的感性认识，逐步推广到一般情况，锻炼数学严密的逻辑思维能力.探究二 一元二次方程根与系数的关系定理的应用 ●活动① 熟练掌握根与系数的关系（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 【知识点】一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】（1）∵a =1，b =-2，c =1 ∴1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）∵a =1，b =-9，c =10∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）∵a =4，b =-7，c =1（4）先整理为一般式：290x x -＝∵a =1，b =-9，c =0∴1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【思路点拨】寻找一元二次方程的两根和与积，首先要化为一般式，找准各项系数，同时，要注意使用定理的前提是判别式Δ≥0.【答案】（1）1x ＋2x =2，12x x ⋅=1.（2）1x ＋2x =9，12x x ⋅=10.（3）1x ＋2x =74，12x x ⋅=14.（4）1x ＋2x =9，12x x ⋅=0.【设计意图】更加熟练掌握根与系数的关系 ●活动② 已知方程一根，求另一根．例1：已知方程2560x kx -=+的根是2，求它的另一根及k 的值． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵2是方程的一个解，而12x x ⋅=65-,∴k =-7【思路点拨】根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值. 【答案】-7【设计意图】此题有多种解法，可请同学展示多种方法，从中比较各种方法的优劣性，从而认识到根与系数关系的应用价值. ●活动③ 已知方程两根，求待定系数值.例2：已知方程230x nx m +=-的两个根是1和3，求m ，n 的值． 【知识点】一元二次方程根与系数的关系 【解题过程】∵1和3是方程的两个解，而12x x ⋅=33m=, ∴1x ＋2x =3n =4∴n =12【思路点拨】根据两根可求出两根之积与两根之和，进而得出待定系数的值. 【答案】9m =，n =12【设计意图】复习上例中方法，更多地体现根与系数的关系的应用价值. 探究三 综合应用●活动① 由根与系数的关系求相关代数式的值例3：已知2,1x x 是一元二次方程3742+=x x 的两根，则 【知识点】一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式的应用 【解题过程】首先化为一般式24730x x --=，可由根与系数关系得到两根和与两根积1274x x +=，1234x x ⋅=- 【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】7373773,,,,,3,44163124---练习：已知x 1，x 2是方程22310x x +-＝的两个根，试求： （1）221212x x x x ＋ (2) 112222x x x x +⋅+. 【知识点】一元二次方程根与系数的关系【解题过程】∵1232x x +=-，1212x x ⋅=-【思路点拨】将各式变形为已知的式子，即可解决.【答案】37,42-【设计意图】通过前面的训练，同学们已经对根与系数的关系有了初步的了解，此例题的目的在于巩固前面的知识，并能和完全平方公式相关的式子进行灵活求解.●活动2 根与系数的关系中的整体思想例4．设a 、b 是方程220170x x +-=的两实数根，则22_______.a a b ++= 【知识点】根与系数的关系 【数学思想】整体思想【解题过程】由根与系数的关系可知，而a 是方程的一个根，故有220170a a +-=，即2=2017a a +.所以222()()a a b a a a b ++=+++=2019. 【思路点拨】将所求的代数式分解成可求的代数式 【答案】2019练习：设21,x x 是方程220160x x --=的两实根，求31220172016x x +-的值.【知识点】根与系数的关系【数学思想】整体思想 【解题过程】∵1x 是方程220160x x --=的解，∴21120160x x --=. 即2112016x x =+，故原式=112(2016)20172016x x x ++- =2019.【思路点拨】降次，将所求代数式分解成可求的代数式. 【答案】2019【设计意图】能够在较为复杂的代数式中分离出可整体求出的式子，从而整体代入求解.●活动3 含参方程的根与系数的关系例5．已知2(1)40x m x m +--+=的两实根的平方和为2，求m . 【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系. 【解题过程】∵22222121212()2(1)2(4)72x x x x x x m m m +=+-=---+=-=，∴m =±3. ∵22(1)4(4)2150m m m m ∆=---+=+-≥，∴m =3【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式Δ≥0. 【答案】3.练习：已知22(1)10kx k x k -++-=有两个不相等的实根； ①求k 的取值范围②是否存在k ，使两根的倒数和等于0？【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系， 【解题过程】（1） k ≠0，且24(1)4(1)1240k k k k ∆=+--=+>，∴13k >-且0k ≠.（2）121212110,x x x x x x ++==⋅则122(1)0k x x k++==，即1k =-，故不存在. 【思路点拨】应用一元二次方程根与系数的关系的前提是判别式≥0.【答案】(1) 13k >-且0k ≠. (2)不存在【设计意图】通过对含参方程的分析，提高学生符号计算的能力. 同时，加强对一元二次方程根与系数的关系的应用，注意前提：判别式Δ≥0的理解. 3. 课堂总结 知识梳理（1）若一元二次方程有实根（∆≥0）, 两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. （2）应用一元二次方程根与系数关系的前提是判别式Δ≥0 重难点归纳（1）一元二次方程根与系数的关系（2）隐含条件：二次项系数不为0，判别式非负. （3）常见题型：①不解方程，判断方程两根的和与积；②已知方程和方程一根，求另一个根及字母系数；方法：根据两根之积和其中一根可求出另一根，继而得到两根和并求出待定系数的值.③不解方程求含有方程两根的式子的值.方法：先得出两根和与积，再通过完全平方公式等数学公式，或一些特殊结构整体代入求值.（三）课后作业 基础型 自主突破1．判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．（1）2670x x +=-； （-1，7）（2）23520x x --+=； （52,33-）（3）296x x += （3，3） 【知识点】根与系数的关系【解题过程】（1）-1×7≠7，故不是；（2）525()333+-≠-，故不是；（3）先化为一般式2690x x +=-， 3+3=-6,3´3=9，故是．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系1212,b cx x x x a a+=-⋅=判断.【答案】（1）、（2）不是，（3）是2. 一元二次方程 x 2+3x +2=0的两个根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2＋3x ＋2=0的二次项系数a =1，一次项系数b =3，∴x 1+x 2=-ba =-3．【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系12bx x a+=-，解答即可【答案】－3．3.已知关于x 的方程 x 2+px +q =0的两根为－3和－1，则p = ，q = ． 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程x 2＋px ＋q =0的两根为－3和－1， ∴－3＋（－1）=－p ，（－3）×（－1）=q ， ∴p =4，q =3．【思路点拨】由根与系数的关系可得出关于p 或q 的一元一次方程，解之即可得出结论． 【答案】4；3．4. 已知关于x 的方程20x x a +-=的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．－3 B ．－2 C ．3 D ．6【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的另一个根为t ， 根据题意得2＋t =－1，解得t =－3， 即方程的另一个根是－3．【思路点拨】设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2＋t =－1，然后解一元一次方程即可． 【答案】A ．5.已知实数x 1，x 2满足121211,30x x x x +==⋅，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．211300x x +=-B ． x 2+11x +30=0C. 211300x x +-= D ．211300x x -=- 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，∴一元二次方程中：11ba =-， c a=30． 当a =1时，11,30b c =-=．【思路点拨】根据根与系数的关系结合两根之和及两根之积的即可得出,ca =30，当a =1时，即可找出b 、c 的值，此题得解． 【答案】A ．6.若x 1，x 2是方程22210x mx m m -+-=- 的两个根，且12121x x x x +=- ，则m 的值为（ ）A ．－1或2B ．1或－2C ．－2D ．1 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵x 1，x 2是方程x 2－2mx ＋m 2－m －1=0的两个根，∴2211m m m =---（） ，即()22210m m m m +-=+-=（），解得：1221m m =-=， ．∵方程22210x mx m m -+-=- 有实数根， 解得：m ≥－1． ∴m =1．【思路点拨】根据根与系数的关系结合12121x x x x +=-，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，从而可确定m 的值． 【答案】D ． 能力型 师生共研7.设x 1，x 2是方程 2x 2+4x -3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值（1）(x 1+1)×(x 2+1)；（2）2112x x x x + 【知识点】根与系数的关系．【解题过程】（1）原式=12121x x x x +++=352122--+=- （2）原式=2221212121212()2143x x x x x x x x x x ++-==- 【思路点拨】根据一元二次方程的根与系数的关系可得121232,2x x x x +=-⋅=-. 【答案】52-，143- 8.已知βα，是方程22510x x --=的实数根，求 2a 2+3ab +5b 的值.【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵α为22510x x --=的实数根，∴22510--=αα，即 2a 2=5a +1，∵α、β为方程的两个实数根，∴α＋β= 52 ，αβ= -12， ∴2α2＋3αβ＋5β=5× 52＋3×（ -12）＋1=12． 【思路点拨】根据一元二次方程解的定义得到，即 2a 2=5a +1，则2a 2+3ab +5b 可表示为5（α＋β）＋3αβ＋1，再根据根与系数的关系得到α＋β=52，αβ= -12，然后利用整体代入的方法计算． 【答案】12探究型 多维突破9.已知关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设21,x x 是方程的两个实数根，且,14221=+x x 试求方程的两个实数根和k 值【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵∆=2364k +＞0，故方程必有两个不相等的实数根；（2）∵126x x +=，,14221=+x x ∴x 2=8，∴x 1=-2，故有k =±4【思路点拨】（1）根据关于x 的方程0622=--k x x , 得出∆＞0，即证.（2）由两根之和为6，可得x 2=8，进而得出另一根和k 的值.【答案】见解析10.已知关于x 的方程x 2－（2k ＋1）x ＋4（k -12）=0． （1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；（2）能否找到一个实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．（3）当等腰三角形ABC 的边长a =4，另两边的长b 、c 恰好是这个方程的两根时，求△ABC 的周长．【知识点】根与系数的关系；解一元二次方程－因式分解法；根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【数学思想】数形结合【解题过程】证明：（1）∵∆=（2k ＋1）2－16（k -12）=（2k －3）2≥0， ∴方程总有实根；解：（2）∵两实数根互为相反数，∴x 1＋x 2=2k ＋1=0，解得k =－0.5；（3）①当b =c 时，则∆=0，即（2k －3）2=0，∴k =32， 方程可化为x 2－4x ＋4=0，∴x 1=x 2=2，而b =c =2，∴b ＋c =4=a 不适合题意舍去；②当b =a =4，则42－4（2k ＋1）＋4（k -12）=0， ∴k = 52，方程化为x 2－6x ＋8=0，解得x 1=4，x 2=2，∴c =2，C △ABC =10，当c =a =4时，同理得b =2，∴C △ABC =10，【思路点拨】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．（2）两实数根互为相反数，让 -b a=0即可求得k 的值． （3）分b =c ，b =a 两种情况做．【答案】见解析自助餐1.关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，则n m 的值为（ ）A ．－8B ．8C ．16D ．－16【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵关于x 的方程2x 2＋mx ＋n =0的两个根是－2和1，∴ -m 2=－1， n 2=－2， ∴m =2，n =－4，∴n m =24（-） =16．【思路点拨】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m 、n 的值，将其代入n m 中即可求出结论．【答案】C ．2.关于x 的一元二次方程22210x a a x a ++--=（）的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．1D ．2或0【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：设方程的两根为x 1，x 2，根据题意得x 1＋x 2=0，所以-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，当a =2时，方程化为x 2＋1=0，∆=－4＜0，故a =2舍去，所以a 的值为0．【思路点拨】设方程的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系得-（a 2－2a ）=0，解得a =0或a =2，然后利用判别式的意义确定a 的取值．【答案】B ．3.已知一元二次方程2320x x -=-的两个实数根为12x x ， ，则（x 1－1）（x 2－1）的值是 ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵一元二次方程x 2－3x －2=0的两个实数根为x 1，x 2， ∴x 1＋x 2=3，x 1×x 2 =－2， ∴（x 1－1）（x 2－1）=x 1×x 2－（x 1＋x 2）＋1=－2－3＋1=－4． 【思路点拨】由根与系数的关系可得x 1＋x 2=3,x 1×x 2 =－2，将其代入 ()()121212111x x x x x x =++--⋅-（）中，即可求出结论． 【答案】－4．4.已知a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，则代数式a 3－a 2＋3b －2的值为 ．【知识点】根与系数的关系．【解题过程】解：∵a 、b 是方程x 2－x －3=0的两个根，∴a 2－a =3，a ＋b =1，∴a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2=3a ＋3b －2=3（a ＋b ）－2=1．【思路点拨】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系，即可得出a 2－a =3、a ＋b =1，将其代入a 3－a 2＋3b －2=a （a 2－a ）＋3b －2中，即可求出结论．【答案】1．5.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m －3）x －m =0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x 1、x 2，且x 12＋x 22－x 1x 2=7，求m 的值．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】（1）证明：∵x 2－（m －3）x －m =0，∴∆=[－（m －3）]2－4×1×（－m ）=m 2－2m ＋9=（m －1）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵x2－（m－3）x－m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12＋x22－x1x2=7，∴（m－3）2－3×（－m）=7，解得，m1=1，m2=2，【思路点拨】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的∆的值大于0即可；（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．【答案】见解析6.已知关于x的方程x2－（2k＋1）x＋k2＋1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k=4，求该矩形的周长．【知识点】根与系数的关系；根的判别式．【解题过程】解：（1）∵关于x的方程x2－（2k＋1）x＋k2＋1=0有两个不相等的实数根，∴∆＞0，∴[－（2k＋1）]2－4（k2＋1）＞0，解得k＞34．（2）当k=4时，原方程可化为x2－9x＋17=0，设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2，∵x1＋x2=9，∴该矩形的周长为2（x1＋x2）=18．【思路点拨】（1）根据关于x的方程222110x k x k+++=（）-有两个不相等的实数根，得出∆＞0，再解不等式即可；（2）当k=4时，原方程x2－9x＋17=0，设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2，利用根与系数的关系得出x1＋x2=9，再根据矩形的周长公式即可得出该矩形的周长．【答案】k的取值范围是k＞34；矩形的周长是18．。