第一章 三角形的证明

第一章三角形的证明
一、本章内容的定位
本章是“平行线的证明”的继续。

从“平行线的证明”开始，教科书从几条基本事实出发展开了对平行线等图形性质的严格证明。

本章将类比“平行线的证明”，对等腰三角形和直角三角形的性质进行探索与证明。

等腰三角形、直角三角形是最基本也是最重要的几何图形。

以它们为载体，借助全等等一些基本事实，能够培养学生推理能力，特别是逻辑推理能力。

也是后继学习“平行四边形”等几何图形的基础。

本章还出现了学生没有探索过的命题，对于这些命题，通过采用不同的处理方式：（１）直接通过证明得到部分命题；（２）另一部分命题，则尽可能创设一些问题情境，为学生提供自主探索发现的空间，然后再进行证明，从而将证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论时各自发挥的作用。

如对于直角三角形全等的判定条件及其证明没有分成两段而是在本章一起完成的。

这样安排对学生整体理解数学结论从发现到证明的全过程有好处，增强学生的实践能力和创新意识。

此外，教科书还注意渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。

这一章虽然以逻辑证明为主，但在素材和背景的选取上仍尽可能与实际联系，尽可能给学生留有观察、探索与发现的机会，增强论证的趣味性，从而激发学生对数学证明的兴趣和掌握综合法的信心，同时也使学生体会到逻辑证明在实际中的意义和作用。

主要包括：
1.等腰三角形的性质和判定定理；
2.直角三角形的性质定理和判定定理；
3.线段的垂直平分线性质和判定定理；
4.角平分线性质定理和判定定理。

二、教学任务分析
1、本节将进一步回顾和证明全等三角形的有关定理，并进一步利用这些定理、公理证明等腰三角形的有关定理，由于具备了上面所说的活动经验和认知基础，为此，本节可以让学生在回顾的基础上，自主地寻求命题的证明，将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。

2、主要任务是探索等腰三角形的判定定理，在复习性质定理的基础上，引导学生反过来思考猜想新的命题，并进行证明。

这样可以发展学生的逆向思维能力，同时引入反证法的基本证明思路，学习与运用反证法也成为本课时的教学任务之一。

3、本节学生将探究等边三角形判定定理和含30°角的直角三角形的性质定理，应该说，这两个定理的证明和探索相对而言，并不复杂，更多的是前面定理的直接运用，因此，本节课可以更多地让学生自主探索。

但第一个定理证明中，需要分类讨论，因此注意揭示其中的分类思想；第2个定理结论比较特殊，直接从定理条件出发，学生一般难能得到这个结论，因此，教科书中设计了一个学生活动，在活动的基础上“无意”中发现了其特殊的结论，这实际上也是一种数学发现的方法，因此也应注意让学生体会。

4、本节是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。

在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。

5、在上一节中学生已经掌握了线段垂直平分线的性质和判定定理，本节课
的主要任务是性质和判定的应用。

学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.
三、单元目标
1.知识与技能
（1）证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定定理。

(2）证明判定三角形全等的“角角边”定理；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

（3）已知底边及底边上的高线，能用尺规作出等腰三角形;已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形；能用尺规果一点作已知直线的垂线。

2.过程与方法
(1) 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能
力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识。

（2）结合具体例子了解原命题及逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。

3.情感态度与价值观
（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；
（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。

(3)学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

(4) 经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。

四、单元重点
（1）在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明
（2）证明等腰三角形、等边三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质和判定定理。

证明判定三角形全等的“角角边”定理；探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

（3）已知底边及底边上的高线，能用尺规作出等腰三角形;已知一直角边和斜边，能用尺规作出直角三角形；能用尺规果一点作已知直线的垂线。

五、单元难点
（1）明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达（2）用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论
（3）含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明，引导学生全面、周到地思考问题.勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理。

（4）能够证明与线段垂直平分线相关的结论。

（5）证明三线共点，正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。

六、本章教学建议
１．使学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步体会证明的必要性。

如
前所述，本章既涉及一些以前曾经探索过的命题，又涉及一些新的结论，因此在教学中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，运用归纳、类比的方法首先得出猜想，然后再进行证明，这样做有利于学生全面的理解证明。

在具体教学时，一方面，教师可引导学生回忆探索的过程及其得出的结论，并强调证明的必要性；另一方面，学生经过探索还会得到以往没有探索过的新的结论，然后再去证明。

教师应充分利用这样的机会，启发引导学生体会探索结论和证明结论的相互关系，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系。

２．注重对证明思路的启发，关注学生的独立思考。

在掌握了基本的证明步骤和要求的基础上，发现结论、探索证明的思路与方法是学习本章内容的重点和难点。

教学时应注意多让学生观察、操作，尽可能独立的获取结论，在证明思路和方法上引导学生大胆尝试，教师在教学时应引导学生着重分析证明的思路和方法，注意学生的个体差异，帮助学生分析辅助线的添加、辅助图形的构造。

在这个过程中，以前探索结论时所使用的方法对证明思路往往具有重要的启迪作用，教师应注意引导、启发。

同时，很多结论的证明方法是不惟一的，辅助线的添加方法也是多种多样的，对于证明思路和方法，教师要注意给学生留出充分思考的时间和空间，同时还要对学习证明有困难的学生给予帮助和指导，并引导学生在与他人的交流中比较证明方法的异同，提高逻辑思维水平。

例如，在证明“等腰三角形的两底角相等”时，可以有不同的做辅助线的方法，从而导致不同的证明方法。

教师应鼓励学生通过交流探索发现这几种不同的证明方法。

３．要求学生掌握证明的基本要求和方法。

推理证明是本章学习的重点，因此教学中要注意培养学生掌握推理证明的基本要求。

如明确条件和结论，能够用数学的符号语言正确表达；明确每一步推理的依据并能准确的表达推理的过程。

通过一定数量的推理证明训练，逐步使学生掌握证明的方法和思路。

例如在应用“斜边、直角边”定理证明时，教师可以先引导学生分析使用这种判定方法需要具备的条件：在两个直角三角形中，斜边分别相等，一条直角边分别相等，只有同时具备这三个条件才能用“斜边、直角边”定理判定两个直角三角形全等，再结合具体问题情境，将上述条件转化为数学符号语言。

对于反证法，教学中可通过生活实例和简单的实例使学生体会其思想，不必对反证法的证明格式和证明难度提出过高要求。

４．注意数学思想方法在教学中的渗透以及对学生学习方法的启发。

七、单元课时安排
课题课时
1.1等腰三角形4课时
1.2 直角三角形2课时
1.3 线段的垂直平分线2课时
1.4 角平分线2课时
回顾与思考2课时。