高中数学 第4章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程教材梳理素材 新人教A版2 精
4.1.1 圆的标准方程
5.如图，已知隧道的截面是半径为4米的半圆，车 辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7米， 高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
解：以某一截面半圆的圆心为 坐标原点，半圆的直径AB所在 的直线为x轴，建立直角坐标系
y
（如右图）.
2 2
A
0
2.7
B
x
那么半圆的方程为 x y 16( y 0), 将x=2.7代入,得 y 16 2.7 8.71 ＜3.
【解】设圆M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a 2 + -1- b 2 = r2 , 2 2 2 -1a + 1b = r , a + b - 2 = 0,
根据题意得
解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
第四章 圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
生活掠影
一石激起千层浪
乐在其中
生活掠影
奥运五环
福建土楼
生活中，我们经常接触一些圆形，下面我们就 一起来认识一下圆吧！
1.掌握圆的标准方程.（重点）
2.会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，
能根据条件写出圆的标准方程．
3.会用待定系数法求圆的标准方程.（难点）
2
即在离中心线2.7米处，隧道的高度低于货车的
高度.因此，货车不能驶入这个隧道.
圆 的
推导步骤 特点
求法
建系设点→写条件→列方程→化简→说明
标
准 方 程
圆心(a,b)、半径r 待定系数法和直接法
不想当元帅的士兵不是好士兵。
A.(x-1)2+(y-1)2=1
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
高中数学：4.1.1《圆的标 准方程》课件2（新人教A
版必修2）
高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【 新人教 A版必 修2】PP T名师 课件
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y
Y
-2
0 +2 X
-1 0
X
C(0、0) r=2
C(-1、0) r=1
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练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件 2、写出下列圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为3；
（2）、圆心在(-3、4),半径为 5
练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
6、求以c(1、3）为圆心，并和直线 3x-4y-6=0相切的圆的方程.
Y
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C(1、3)
0
X
3x-4y-6=0
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练习 高中数学：4.1.1《圆的标准方程》【新人教A版必修2】PPT名师课件
7、已知两点A(4、9)、B(6、 直径的圆的方程.
Y
3), 求以AB为
A(4、9)
B(6、3)
0
X
提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2
高中数学第4章-4.1.1
第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________．2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外⇔________；点P 在圆上⇔________；点P 在圆内⇔________．一、选择题1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝15．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52二、填空题7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．三、解答题10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．能力提升12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．第四章 圆与方程 §4．1 圆的方程 4．1．1 圆的标准方程答案知识梳理1．(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 x 2＋y 2＝r 2 2．d >r d ＝r d <r 作业设计1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin 2θ＋cos 2θ＝1>12，所以点在圆外．]2．B [点M (5，－7)到圆心A (2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．] 3．D [(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y ＝x 的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1．]5．D [由y ＝9－x 2知，y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9．∴选D ．] 6．A [设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )， 则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02＝－3⇒b ＝－6．所以M (4,0)，N (0，－6)． 因为圆心为(2，－3)，故r ＝(2－4)2＋(－3－0)2＝13．所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．] 7．(x －4)2＋(y －1)2＝26解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半． 8．5＋ 2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．9．[0,2]解析 由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2． 10．解 因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0． 圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解．解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆心为C 的圆的半径长r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5．所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25． 11．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝r a －3b ＝0(6－a )2＋(1－b )2＝r 2．解得a ＝3，b ＝1，r ＝3或a ＝111，b ＝37，r ＝111．所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112．12．解 由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2．13．解 设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4．|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y ．∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88．即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
高中数学教学课例《4.1.1圆的标准方程》课程思政核心素养教学设计及总结反思
1.知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，并根据方程写出圆的坐
标和圆的半径。
（2）会选择适当的坐标系来解决与圆有关的实际
问题。 教学目标
2.过程与方法
（1）实际问题引入，师生共同探讨。
（2）探究曲线方程的基本方法。
3.情感态度与价值观
培养用坐标法研究几何问题的兴趣
学生学习能
高一学生，在老师的引导下，已经具备一定探究与
为方程表示： 将上式两边平方得： (1) 显然，圆上任意一点 M 的坐标（x，y）适合方程（1）；
如果平面上一点 M 的坐标（x，y）适合方程（1），可 得|MC|=r，则点 M 在圆上。
所以方程(1)是以 C(a，b)为圆心、r 为半径的圆的 方程．我们把它叫做圆的标准方程.
那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特 点？思考一下当圆心在原点时，x 轴上，y 轴上时，圆 的方程是什么？
圆是最简单的曲线之一，这节教材安排在学习了直 线之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程 的理论为后继学习作好准备。同时有关圆的问题，特别 是直线与圆的位置问题，也是解析几何中的基本问题， 课例研究综 这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的 述 思想方法。
因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这单元的 知识和方法。
口头练习： 1、说出下列圆的圆心和半径： (1)；(2)； (3) 总结：已知圆的标准方程，要能够熟练地求出它的 圆心和半径． 2、说出下列圆的方程： (1)圆心在原点,半径为 3. (2)圆心在点 C(3,-4),半径为 7. (3)圆心在点 C(3，,0).且与 y 轴相切。 总结：根据圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准 方程． 3、点与圆的位置关系： 如果点 M。（x。，y。）在圆外，则点到圆心的距 离大于圆的半径 r，即 如果点 M。（x。，y。）在圆内，则点到圆心的距 离小于圆的半径 r，即 二、例题讲解 例 1、写出圆心为 A(2,-3)半径长等于 5 的圆的并 判断点 M(5,-7),是否在这个圆上。 例 2、根据下列条件，求圆的方程： (1)圆心在点 C(-2,1)，并过点 A（2，-2）的圆。
圆的标准方程 课件
9.一圆在x,y轴上分别截得弦长为4和14,且圆心在直线 2x+3y=0上,求此圆方程.
解:设圆的圆心为(a,b),圆的半径为r,则圆的方程为(x-a)2+(yb)2=r2.
∵圆在x轴,y轴上截得的弦长分别为4和14.则有
又∵圆心在直线2x+3y=0上, ∴2a+3b=0.③
因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是
22 22 2 2,
又圆半径为 3.
所以
x2 ( y 2)2的最小值为 2 2 3.
(2)利用 y 的几何意义.
x
因为 y 的几何意义是圆(x-2)2+y2=3上的点与原点连线的
x
斜率,如右图所示,易求得
的y 最大值为
x
3.
∴适合题意的圆的方程为(x-43;9)2+(y-6)2=85.
10.若点P(x,y)在圆(x-2)2+y2=3上.
(1)求
x2 ( y 2)2的最小值;
(2)求
y 的最大值.
x
解:(1)式子 x2 (y 2)2的几何意义是圆上的点P(x,y)与定
点(0,2)的距离.
题型二 用待定系数法求圆的方程 例2:求圆心在直线2x-y-3=0上,且过点(5,2)和点(3,-2)的圆的
方程. 分析:因为条件与圆心有直接关系,因此设圆的标准方程即可
解决问题.
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
解法2:∵圆过A(5,2),B(3,-2)两点, ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上.
半径,再写出圆的标准方程.
解:(1)∵圆心(0,0),半径为3, ∴圆的方程为x2+y2=9.
高中数学第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
.
答案: ±2
题型一 圆的标准方程
课堂探究
【教师备用】 1.确定圆的标准方程的条件是什么? 提示:圆心坐标和半径,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定量条件.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆吗?
提示:不一定.当m=0时表示点(a,b),当m≠0时表示圆.
【例1】 已知一个圆经过两个点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y3=0上,求此圆的方程.
解:法一 设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
(2 a)2 (3 b)2 r2,
a 1,
由已知条件得
(2
a)2
(5
b)2
r2,
解得
b
2,
a 2b 3 0,
r2 10.
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
b 0,
则 (5 a)2 (2 b)2 r2,
(3 a)2 (2 b)2 r2.
解得
a 4, b 0, r 5.
所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=5.
法二 因为圆过 A(5,2),B(3,-2)两点,所以圆心一定在线段 AB 的中垂线上.
由题意得
(2
a)2
(6
b)2
r2,
解得
a=2,b=-3,r=5,
(6 a)2 (0 b)2 r 2.
故外接圆方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
(2)设圆心为 O′,
因为|O′M|= 2 32 3 32 =5,|O′N|= (2 5)2 (3 2)2 = 34 >5,
高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D， 栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链 接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪 训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心 在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪 训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链 接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆 心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏 目 链 接
第十五页，共39页。
题型一 圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目 链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪 训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链 接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，
最新人教版高中数学必修二第四章圆与方程第一节第1课时圆的标准方程
第四章 圆 与 方 程 4.1 圆 的 方 程 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程圆心为C(x 0，y 0)，半径为r 的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，特别地，圆心在原点时，圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2．(1)如果圆的标准方程为(x ＋x 0)2＋(y ＋y 0)2＝a 2(a ≠0)，那么圆的圆心、半径分别是什么？ 提示：圆心为(－x 0，－y 0)，半径为|a|.(2)如果点P(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，那么x 20 ＋y 20 ＝r 2，若点P 在圆内呢？圆外呢？提示：若点P 在圆内，则x 20 ＋y 20 ＜r 2；若点P 在圆外，则x 20 ＋y 20 ＞r 2.1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)圆的标准方程由圆心、半径确定．( √ ) (2)方程(x －a)2＋(y －b)2＝m 2一定表示圆．( × )(3)原点在圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2上，则x 20 ＋y 20 ＝r 2.( √ ) 提示：(1)如果圆的圆心位置、半径确定，圆的标准方程是确定的． (2)当m ＝0时，表示点(a ，b).(3)原点在圆上，则(0－x 0)2＋(0－y 0)2＝r 2，即x 20 ＋y 20 ＝r 2. 2．圆(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(－1，0)，3B ．(1，0)，3C ．()－1，0， 3D ．()1，0 ， 3【解析】选D.根据圆的标准方程可得，(x －1)2＋y 2＝3的圆心坐标为(1，0)，半径为 3 . 3．到原点的距离等于 3 的点的坐标所满足的方程是________．【解析】设点的坐标为(x ，y)，根据到原点的距离等于 3 以及两点间的距离公式，得（x －0）2＋（y －0）2＝ 3 ，两边平方得x 2＋y 2＝3，是半径为 3 的圆． 答案：x 2＋y 2＝3类型一 圆的标准方程的定义及求法(数学抽象、数学运算)1．以点(2，－1)为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是( ) A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝ 2 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝ 2【解析】选C.由题意，圆的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝2. 2．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，3)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．x 2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝1【解析】选C.由题意，设圆的标准方程为x 2＋(y －b)2＝1，由于圆过点(1，3)，可得1＋(3－b)2＝1，解得b ＝3，所以所求圆的方程为x 2＋(y －3)2＝1.3．已知圆C ：(x －6)2＋(y －8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y －4)2＝25D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝25【解析】选C.圆C 的圆心坐标C(6，8)，则OC 的中点坐标为E(3，4)，半径|OE|＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.4．圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程为________． 【解析】方法一(几何性质法)：设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a). 因为该圆经过A ，B 两点，所以|CA|＝|CB|，所以（2a ＋3－2）2＋（a ＋3）2 ＝（2a ＋3＋2）2＋（a ＋5）2 ， 解得a ＝－2，所以圆心为C(－1，－2)，半径长r ＝10 . 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法二(待定系数法)：设所求圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，由题设条件知，⎩⎨⎧a －2b －3＝0，（2－a ）2＋（－3－b ）2＝r 2，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2，解得a ＝－1，b ＝－2，r ＝10 (负值舍去)， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.方法三(几何性质法)：线段AB 的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB 的斜率k AB ＝－3＋52＋2 ＝12， 所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝－2，所以弦AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ，即2x ＋y ＋4＝0. 又圆心是直线2x ＋y ＋4＝0与直线x －2y －3＝0的交点， 所以圆心坐标为(－1，－2)，所以圆的半径长r ＝（2＋1）2＋（－3＋2）2 ＝10 ， 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 答案：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝101．直接法求圆的方程圆的方程由圆心、半径决定，因此求出圆心和半径即可写出圆的标准方程． 2．待定系数法求圆的方程(圆心(a ，b)、半径为r)特殊位置 标准方程 圆心在x 轴上 (x －a)2＋y 2＝r 2 圆心在y 轴上 x 2＋(y －b)2＝r 2 与x 轴相切 (x －a)2＋(y －b)2＝b 2 与y 轴相切(x －a)2＋(y －b)2＝a 23.利用圆的性质求方程求圆的方程时，可以利用圆的性质求圆心、半径，如弦的垂直平分线过圆心，过切点垂直于切线的直线过圆心等．类型二点与圆的位置关系的判断(数学抽象、数学运算)1．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定【解析】选A.把P(m，5)代入x2＋y2＝24，得m2＋25>24，所以点P在圆外．2．已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3，2)满足( )A．是圆心B．在圆上C．在圆内D．在圆外【解析】选C.因为(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，所以点P(3，2)在圆内．3．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．【解析】因为点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋12＝m，所以m＝10.则圆的方程为(x＋2)2＋y2＝10.答案：(x＋2)2＋y2＝10.4．已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【解析】由题意知，点A在圆C上或圆C的外部，所以(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，所以2a＋5≥0，所以a≥－52.因为a≠0，所以a的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).【思路导引】1.将点P的坐标代入圆的方程，看方程的等于号变成了什么符号，然后进行判断．2．验证点P与圆心的距离与半径之间的关系．3．将点的坐标代入圆的方程，解方程即可得出m的值，进而得方程．4．不在圆的内部，即在圆上或圆外．点与圆位置关系的判断与应用(1)位置关系的判断：①几何法：判断点到圆心的距离与半径的大小；②代数法：将点的坐标代入圆的方程左边，判断与r 2的大小． (2)位置关系的应用：代入点的坐标，利用不等式求参数的范围．【补偿训练】1.若点(3，a)在圆x 2＋y 2＝16的内部，则a 2的取值范围是( ) A ．[0，7) B ．(－∞，7) C ．{7}D ．(7，＋∞)【解析】选A.由点在圆的内部，得9＋a 2<16得a 2<7，又a 2≥0，所以0≤a 2<7. 2．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则a 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1【解析】选D.因为点(2a ，a －1)在圆的内部，所以d ＝（2a ）2＋（a －2）2 ＝4a 2＋a 2－4a ＋4 ＝5a 2－4a ＋4 ＜ 5 ， 解得－15 ＜a ＜1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1 .3．若点A(a ＋1，3)在圆C ：(x －a)2＋(y －1)2＝m 外，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，5) C ．(0，5)D ．[0，5]【解析】选C.由题意，得(a ＋1－a)2＋(3－1)2>m ，即m<5， 又由圆的方程知m>0，所以0<m<5.类型三 与圆有关的最值问题(数学抽象、数学运算)角度1 与几何意义有关的最值问题【典例】已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．【思路导引】首先由条件观察x 、y 满足的条件，然后分析x 2＋y 2的几何意义，求出其最值． 【解析】由题意知，x 2＋y 2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取得最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d ＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋12 ＝32 ，最小距离为1－12 ＝12.因此x2＋y2的最大值和最小值分别为94，14.1．本例条件不变，试求yx的取值范围．【解析】设k＝yx，变形为k＝y－0x－0，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率，由k＝yx，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即|－k|k2＋1≤12，解得－33≤k≤33.即yx的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.2．本例条件不变，试求x＋y的最值．【解析】令y＋x＝b并将其变形为y＝－x＋b，问题转化为斜率为－1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值．当直线和圆相切时，在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有|－1－b|2＝12，解得b＝±22－1，即最大值为22－1，最小值为－22－1.角度2 距离的最值问题【典例】1.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )A．6 B．4 C．3 D．2【解析】选B.|PQ|的最小值为圆心到直线的距离减去半径长．因为圆的圆心为(3，－1)，半径长为2，所以|PQ|的最小值为3－(－3)－2＝4.2．已知圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点M(2，3)到圆上的点的距离的最大值为________．【解析】由题意知，点M在圆O内，O为圆心，MO的延长线与圆O的交点到点M(2，3)的距离最大，最大距离为（2－3）2＋（3－4）2＋5＝5＋ 2 .答案：5＋ 2【思路导引】1.转化为圆心到直线x＝－3的距离减去半径；2．转化为M到圆心的距离加半径．1．与圆有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如u＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－abx＋lb在y轴上的截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题．2．求圆外一点到圆的最大距离和最小距离的方法采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值或最小值．1．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋ 2 C．2＋22D．1＋2【解析】选B.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为 2 ，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2 .2．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )A．2 B．1 C．0 D．－1【解析】选B.x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0，0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为(14－13)2＝1.3．如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求yx的最大值和最小值．【解析】方法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时yx最大，过圆心A(2，0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝ 3 .所以切线l的倾斜角为60°，所以yx的最大值为 3 .同理可得yx的最小值为－ 3 .方法二：令yx＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，所以－ 3 ≤n≤ 3 ，即yx的最大值和最小值分别为 3 ，－ 3 .【补偿训练】1.已知圆C的圆心为C(x0，x)，且过定点P(4，2).(1)求圆C的标准方程．(2)当x为何值时，圆C的面积最小？求出此时圆C的标准方程．【解析】(1)设圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝r2(r≠0).因为圆C过定点P(4，2)，所以(4－x0)2＋(2－x)2＝r2(r≠0).所以r2＝2x2－12x＋20.所以圆C的标准方程为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20.(2)因为(x－x0)2＋(y－x)2＝2x2－12x＋20＝2(x－3)2＋2，所以当x＝3时圆C的半径最小，则圆C的面积最小．此时圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝2.2．已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝14，求（x－2）2＋（y－3）2的取值范围．【解析】（x－2）2＋（y－3）2可以看成圆上的点P(x，y)到A(2，3)的距离．圆心C(0，1)到A(2，3)的距离为d＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2 ，由图可知，圆上的点P(x ，y)到A(2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .即（x －2）2＋（y －3）2 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12 .。
第四章4-1-1 圆的标准方程
粉笔、三角板教具准备
方程.我们把它叫做圆的标准方程∙
那同学们观察一下圆的标准方程形式有什么特点？
思考一下当圆心在原点时，X 轴上，y 轴上时，圆的方程 是什么？
总结：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆， 提出问题
思考并 回答
所以，只要a, b, r 三个量确定了且r>0,圆的方程就给定了.这 补充或引
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件.注意，确定 a 、
b 、r,可以根据条件，利用待定系数法来解决.
导学生回 答
知识应用
说出下列圆的方程的圆心和半径
二典型例题
例1：写出圆心为H (2, - 3),半径长等于5的圆 的方程，并判断点M λ (5,-7), M -1)是
否在这个圆上。
ʃʌ 分析：可以从计算点.到圆心的距离入
M > Y
圆的方程：(x —2)2+(y + 3)2 =25；版在圆上，四不 在圆上。
巡视指导
思考讨论
拓展：点展是在圆内还是在圆外？ 提出问题 自主探索。
第4章 4.1 4.1.1 圆的标准方程
4.1.1圆的标准方程1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2．当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以圆点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？2. 点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r21．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2，3)，1 B．(2，－3)，3 C．(－2，3)， 2 D．(2，－3)， 22．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝ 23．点P(m，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定4．点(1，1)在圆(x＋2)2＋y2＝m上，则圆的方程是________．求圆的标准方程【例1】求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．确定圆的方程的方法：确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、法三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；(2)圆心在y 轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P (2，－1)和直线x －y ＝1相切，并且圆心在直线y ＝－2x 上．命题角度1 直接法求圆的标准方程例1 (1)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________．(2)与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________．反思与感悟 (1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．跟踪训练1 以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25命题角度2 待定系数法求圆的标准方程例2 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程．反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤跟踪训练2 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．点与圆的位置关系【例2】 已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．例3 (1)点P (m 2，5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．点P 在圆内B ．点P 在圆外C ．点P 在圆上D ．不确定(2)已知点M (5a ＋1，a )在圆(x －1)2＋y 2＝26的内部，则a 的取值范围是_________．1．判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．2．已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2＋(y ＋a )2＝2a 2的内部，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 已知点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的外部，则a 的取值范围是________．与圆有关的最值问题[探究问题]1．怎样求圆外一点到圆的最大距离和最小距离？2．若点P (x , y )是圆C ：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1上的任一点，如何求点P 到直线x －y ＝0的距离的最大值和最小值？【例3】 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求x 2＋y 2的最值．1．本例条件不变，试求y x的取值范围．2．本例条件不变，试求x ＋y 的最值．与圆有关的最值问题的常见类型及解法： (1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x , y )和(a , b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x , y )到定点(a , b )的距离的平方的最值问题．例4 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3，求y x的最大值和最小值．引申探究1．若本例条件不变，求y －x 的最大值和最小值．2．若本例条件不变，求x 2＋y 2的最大值和最小值．反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题． (3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．跟踪训练4 已知x 和y 满足(x ＋1)2＋y 2＝14，试求： (1)x 2＋y 2的最值；(2)x ＋y 的最值．1．判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小．(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P (x 0，y 0)在圆C 上⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 内⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2；点P (x 0，y 0)在圆C 外⇔(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2.2．求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．3．求圆的标准方程常用方法(1)待定系数法．(2)直接法．一、选择题1．圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝4的圆心与半径分别为( )A ．(－1,2)，2B ．(1，－2)，2C ．(－1,2)，4D ．(1，－2)，42．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的标准方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13B ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝523．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝44．点(5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．|a |＜1B ．a ＜13C ．|a |＜15D ．|a |＜1135．若圆心在x 轴上，半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝56．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝18．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2二、填空题9．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程为________．10．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．11．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是________________________．12．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值是______． 三、解答题13．求过点A (1,2)和B (1,10)且与直线x －2y －1＝0相切的圆的标准方程．四、探究与拓展14．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为() A．6 B．25 C．26 D．3615．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求(x＋1)2＋(y＋1)2的最大值与最小值．。
4.1.1 圆的标准方程
(2)由圆的标准方程可直接写出圆的圆心坐标和半径,反之,已知圆的 圆心坐标和半径也可以写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方 程的优越性. (3)要确定圆的标准方程只需要找出圆心坐标和半径即可.
2.圆的标准方程中参数a,b,r的作用 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a,b,r,其中(a,b)为圆 心,r为半径.结合圆的定义可知,圆心(a,b)在确定圆时起到定位作用, 即影响圆的位置;而半径r在确定圆时起到定形作用,即影响圆的大小.
【拓展延伸】几种常见特殊位置的圆的标准方程 (1)以原点为圆心,r为半径的圆的标准方程:x2+y2=r2. (2)圆心在x轴上,半径为r的圆的标准方程:(x-a)2+y2=r2. (3)圆心在y轴上,半径为r的圆的标准方程:x2+(y-b)2=r2. (4)圆心在x轴上且过原点的圆的标准方程:(x-a)2+y2=a2(a≠0). (5)圆心在y轴上且过原点的圆的标准方程:x2+(y-b)2=b2(b≠0).
.
【知识探究】
知识点1
圆的标准方程
观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:从哪几方面来理解圆的标准方程? 问题2:圆的标准方程中参数a,b,r有何作用?
【总结提升】 1.对圆的标准方程的三点说明 (1)对于圆的标准方程,要从其结构形式上准确理解.圆的标准方程是 由两点间的距离公式推导出来的,它是圆的定义的直观反映,是代数与 几何结合的完美体现.
【补偿训练】求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心C在直线x+y-2=0上的圆 的标准方程. 【解析】设圆心为(a,b),半径为r,
a b 2 0, 由题意得: 2 2 2 2 a 1 b 1 a 1 b 1 , a 1, 2 2 解得 r 1 1 1 1 2. b 1,
高中数学人教a版必修二4.1.1《圆的标准方程》
（2）列方程组；
（3）求系数；
y
（4）代入系数写出方程。
几何法 圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
O D
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
例3: 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，-2)，且圆心C在直线l： x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标准方程.
解：因为A(1,1),B(2，-2),所以AB的中点
①待定系数法；②代入法（几何法）.
课后练习 课后习题
►If I had not been born Napoleon, I would have liked to have been born Alexander. 如果今天我不是拿破仑的话，我想成为亚历山大。
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
A(5,1)
三个点可以确定一个圆，三
O
角形有唯一的外接圆．
x
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满 足方程。
D
B(7,-3)
C(2,-8)
解：设圆方程为 (x a)2 (y b)2 r 2. y
(5 a)2 (1 b)2 r 2 ,
则 (7 a)2 (3 b)2 r 2 ,
判断点 M1 (5,7) ， M 2 ( 5,1)是否在这个圆上．
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,7) 的坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25
左右两边相等，点 M 1 的坐标适合圆的方程，所以点 M 1 在这个
高二数学必修二 第四章《圆与方程》4.1圆的方程导学案
高二数学必修2 第四章 圆与方程第四章 圆与方程§4.1圆的方程§4.1.1圆的标准方程(1)【学习目标】1.能根据圆心、半径写出圆的标准方程.2.利用圆的标准方程，会判断点与圆的位置关系.【学习重点】求圆的标准方程.【学习难点】根据不同的已知条件，判断点与圆的位置关系.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第118-119页，完成自主学习)1.已知两点(2,5),(6,9)A B -,求它们之间的距离?若已知(3,8),(,)C D x y -,求它们之间的距离.2.图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？3.具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 圆心和半径分别确定了圆的_______和_______.4.我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,在平面内确定圆的条件是什么?5.在平面直角坐标系中，若一个圆的圆心(,)C a b ,半径为r (其中,,a b r 都是常数, 0r >)，圆的标准方程为__________________________________.6.当圆心在原点时,圆的标准方程是_________________ .思考：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中,只要求出___、___、___,这时圆的方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中____是圆的定位条件,_____是圆的定形条件.二、合作探究例1:写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，判断12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.推广：设点00(,)M x y ，圆的方程为222()()x a y b r -+-=.1，M 在圆上⇔2200()()x a y b -+- 2r ；2，M 在圆外⇔2200()()x a y b -+- 2r ；3，M 在圆内⇔2200()()x a y b -+- 2r ；例2:圆的一条直径的两个端点分别是(2,0),(2,2)A B -，求圆的标准方程,并判断点(0,0),C (2,2)D -与该圆的位置关系推广:已知圆的一条直径的端点分别是1222(,),(,),A x y B x y 求证此圆的方程是1212()()()()0.x x x x y y y y --+--=三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程.(1) 圆心在原点，半径是3；(2) 圆心在(3,4)C(3) 经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -；2.写出下列各圆的圆心坐标和半径：(1) 22(1)6x y -+= (2) 22(1)(2)9x y ++-= (3) 22(2)(3)3x y -++=3.已知圆心在点(3,4),C --且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点12(,0),(1,1),P P -- 3(3,4)P -和圆的位置关系.四、学习小结1.圆的标准方程 .2.求圆的标准方程的方法有：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.1圆的标准方程(2)【学习目标】会用待定系数法求圆的标准方程.【学习重点】掌握求圆的标准方程的思路方法.【学习难点】领会用数形结合求圆的标准方程的思想.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第119-120页，完成自主学习)1.圆的定义是什么？2.圆的标准方程是怎样的？3.点M(x 0,y 0)与圆(x -a )2+(y -b )2=r 2的关系的判断方法：(1)当点M(x 0,y 0)在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标_____方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(2)当点M(x 0,y 0)不在圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上时,点M 的坐标______方程(x -a )2+(y -b )2=r 2.(3)用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径⇔点在圆外⇔_________________.2°点到圆心的距离等于半径⇔点在圆上⇔_________________.3°点到圆心的距离小于半径⇔点在圆内⇔_________________.二、合作探究例1：ABC ∆的三个顶点的坐标分别是(5,1),(2,8),(7,3)A B C --,求它的外接圆的方程.例2：求经过点(1,1)A ，(2,2)B -，且圆心在直线:10l x y -+=上的圆的标准方程.三、达标检测1.写出下列各圆的标准方程：(1) 圆心在y 轴上，半径长为1，且过点(1,2)的圆的方程；(2)圆心在x 轴上，半径长为1，且过点(2,1)的圆的方程.2.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,求圆C 的标准方程.3.求经过两点(1,4),(3,2)A B -且圆心在y 轴上的圆的方程.四、学习小结1.确定圆的方程主要方法是_____________法,即列出关于a 、b 、r 的方程组,求a 、b 、r 或直接求出圆心(a ,b )和半径r ,一般步骤为：1°根据题意,设所求的圆的标准方程________________；2°根据已知条件,建立关于__________________的方程组；3°解方程组,求出___________的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.2.思想方法总结：高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(1)【学习目标】能用圆的一般方程确定圆的圆心、半径.【学习重点】把握圆的一般方程的代数特征,能根据已知条件待定方程中的系数,,D E F .【学习难点】根据已知条件选择待定圆的标准方程或一般方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第121-122页，完成自主学习)1.写出圆心为(,)a b ,半径为r 的圆的标准方程_______________________________.2.将以(,)C a b 为圆心, r 为半径的圆的标准方程展开并整理得________________.3.如果2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得到方程____________________,这说明圆的 方程还可以表示成另外一种非标准方程形式.4.思考：能不能说方程220x y Dx Ey F ++++=所表示的曲线一定是圆呢?二、合作探究1.222()()x a y b r -+-=中0r >时表示___ _；0r =时表示____________；2.把式子220x y Dx Ey F ++++=配方得_________________________________.(ⅰ)当2240D E F +->时,表示以_________为圆心,_____________ _为半径的圆； (ⅱ)当2240D E F +-=时,方程只有实数解x =______y =______,即只表示__________； (ⅲ)当2240D E F +-<时,方程______(有或没有)实数解,因而它_________________.方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线_________（一定或不一定）是圆；但圆的方程都能写成_________________的形式,只有当_____________时,它表示的曲线才是圆. 我们把形如220x y Dx Ey F ++++=表示圆的方程称为圆的_________方程.3.圆的一般方程形式上的特点：(1)x 2和y 2的系数_______且________. (2)没有_________这样的二次项.例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.(1) 224441290x y x y +-++= (2) 2220x y by ++=例2:求过三点(0,0),(1,1),(4,2)O M N 的圆的一般方程,并求圆的半径长和圆心坐标.三、达标检测1.判断下列方程(1) 2260x y y +-=（2）222460x y x y +-+-=（3）224220200x y mx my m +-++-=能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.2.ABC ∆的三个顶点分别为(1,5),(2,2),(5,5)A B C ---，求其外接圆的一般方程.四、学习小结用待定系数法求圆的方程的步骤是：1.____________________________________________2._____________________________________________3._____________________________________________高二数学必修2 第四章 圆与方程§4.1.2圆的一般方程(2)【学习目标】掌握圆的一般方程及其特点，会由圆的方程求出圆心、半径会用待定系数法求圆的一般方程.【学习重点】圆的一般方程的特征和求圆的一般方程.【学习难点】用相关点法求轨迹方程.【学习过程】一、自主学习(阅读课本第122-123页，完成自主学习)1.将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆心坐标和半径：（1）222220(0);(2)22420.x y my m x y ax ++=≠++-=2.圆C ：222440x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离_____d =.二、合作探究例：已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3),端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动,求线段AB 的中点M 的轨迹方程.三、达标检测1.求以(1,1)A -为圆心，且经过点(0,1)B 的圆的一般方程.2.若(5,0),(1,0),(3,3)A B C --三点的外接圆为圆M ,求圆M 的方程，若点(,3)D m 在圆M 上，求m 的值.３.求圆心在直线230x y --=上，且过点(5,2),(3,2)A B -的圆的方程.４.已知点P 在圆的C ：2286210x y x y +--+=上运动，求线段OP 的中点坐标M 的轨迹方程.四、学习小结相关点法求轨迹方程的步骤：1._______________________________________________________;2._______________________________________________________;3._______________________________________________________;4._______________________________________________________;。
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三 线段 AB 中垂线的方程为 2x＋y＋4＝0.它与直 线 x－2y－3＝0 的交点(－1，－2)为圆心，由两点间距离 得 r2＝10，
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
(2)法一 设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，(*)
D＝2， 所以E＝4， F＝－5.
所以圆的方程为 x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
法二 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则
（2－a）2＋（－3－b）2＝r2， a＝－1，
（－2－a）2＋（－5－b）2＝r2，⇒b＝－2，
a－2b－3＝0，
r2＝10.
类型 2 求圆的方程 [典例 2] (1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)， 若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程； (2)求过点 A(－1，0)，B(3，0)和 C(0，1)的圆的方程． 解：(1)法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则
4＋（－3）2＋2D＋（－3）E＋F＝0， （－2）2＋（－5）2＋（－2）D＋（－5）E＋F＝0， －D2 －2·－E2－3＝0.
把 A、B、C 三点坐标代入方程(*)得
1－D＋F＝0， D＝－2，
9＋3D＋F＝0，所以E＝2，
1＋E＋F＝0， F＝－3.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x＋2y－3＝0.
法二 线段 AB 的中垂线方程为 x＝1，线段 AC 的中
垂线方程为 x＋y＝0，
x＝1，
解析：由－D2＝2，－E2＝－4，12 D2＋E2－4F＝4， 解得 F＝4.
答案：4
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程检测新人教A版必修2(2021年整理)
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4.1.1 圆的标准方程[A级基础巩固]一、选择题1．已知圆(x－2)2＋（y＋8)2＝（－3）2，下列说法正确的是( )A．圆心是(2,－8)，半径长为－3B．圆心是（－2，8)，半径长为3C．圆心是（2，－8),半径长为3D．圆心是(－2，8)，半径长为－3解析:由圆的标准方程（x－a)2＋(y－b）2＝r2，知圆心是（2,－8)，半径长不可能是负数，故为3.答案：C2．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是（)A．5 B．3 C．4 D．2解析：圆x2＋y2＝1的圆心为（0，0），所以d＝错误!＝5。
答案:A3．点（1,1)在圆(x－a）2＋(y＋a）2＝4的内部,则a的取值范围是( )A．（－1，1）B．(0,1）C．(－∞，－1）∪（1，＋∞）D．a＝±1解析：若点（1,1)在圆的内部,则(1－a)2＋（1＋a)2<4，化简得a2〈1，因此－1<a<1,故选A。
答案：A4．圆(x－1）2＋（y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )A．2 B．1＋错误!C．2＋错误!D．1＋2错误!解析：圆(x－1）2＋（y－1)2＝1的圆心为（1，1），圆心到直线x－y＝2的距离为错误!＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋错误!.答案：B5．圆的标准方程为(x－5）2＋(y－6）2＝a2（a＞0)．若点M(6，9)在圆上，则a的值为（) A。
人教新课标A版高一数学《必修2》4.1.1 圆的标准方程
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程
解法1: 设所求方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
x＋y－2＝0 y B(－1，1)
C
O x A(1，－1)
因此所求圆的方程为 (x－1)2＋(y－1)2＝4.
拓展提升：待定系数法或几何法求圆的标准方程 ∵点C在直线x＋y－2＝0上， x＋y－2＝0 解法2: 设点C为圆心， y ∴可设点C的坐标为(a,2－a)． B(－1，1) C ∴ | CA | ＝ | CB |. 又∵该圆经过A，B两点， O x A(1，－1) 解得a＝1. ∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
课堂练习
B
课堂练习
B
课堂练习
3.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( D )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝10
B．(x－1)2＋(y－2)2＝100
C．(x－1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝25
归纳小结
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的 方程组求 a ， b ， r 或直接求出圆心 (a ， b) 和半径 r. 另依据题意适时的 运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率． 2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆 的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系 )去考虑，其中利 用几何特征较为直观、简捷．
方法二: ∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2+(y+3)2=r2. 又∵点P(5，1)在圆上， ∴r2=25. ∴(5－8)2+(1+3)2=r2， 故所求圆的方程为(x－8)2+(y+3)2=25.
圆的标准方程教案
第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程教材分析本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用．教学目标重点:圆的标准方程的理解、掌握．难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程．知识点：会求圆的标准方程.能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法.自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法.考试点：会求圆的标准方程.易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．教具准备多媒体课件和三角板课堂模式学案导学一、引入新课问题1：什么是圆？【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答．【设计说明】学生回答．问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．【设计说明】教师引导，学生回答．问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题．二、探究新知问题4：已知圆的圆心坐标为(,)A a b ，半径为r （其中a 、b 、r 都是常数，0r >），如何确定圆的方程？ 师：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的方程的一般步骤． 师生：教师引导学生回答如何求曲线的方程．(1)建立适当的直角坐标系，用(x ，y )表示曲线上任意点M 的坐标； (2)写出适合条件P 的点M 的集合P={M|P(M)|}；(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f (x ，y )=0； (4)化方程f (x ，y )=0为最简形式；(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．师：设M (x,y)是圆上任意一点，根据圆的定义如何建立x ，y 满足的关系式？生：利用两点间的距离公式，写出点M 的坐标适合的条件． 师：如何进一步化简上述关系式得出圆的方程？生：学生自己化简得出圆的方程为222)()(r b y a x =-+-． 【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法． 【设计说明】学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．三、理解新知圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ． 强调：熟记圆的标准方程的结构特点，并能观察出圆心和半径． 师：那么确定圆的标准方程需要几个独立条件？生：只要a 、b 、r 三个量确定了且0r >，圆的方程就给定了． 师：圆心在原点圆的方程是什么？ 生：222r y x =+【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 【设计说明】学生自己归纳总结． 基础检测：yxOA M1. 圆2)2(22=+-y x 的圆心A 的坐标为______,半径r 为________.2.圆)0()3()1(222≠=-++a a y x 的圆心,半径是？【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系． 【设计说明】学生口答．四、运用新知例1.写出圆心为)3,2(-A ,半径长等于5的圆的方程，并判断点)1,5(),7,5(21---M M 是否在这个圆上． 分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 【设计意图】圆的标准方程的直接应用，并会判断点与圆的位置关系． 【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯．探究：怎样判断点),(00y x M 在圆222)()(r b y a x =-+-上？圆内？还是圆外？ 【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论．（1）22020)()(r b y a x >-+-，点在圆外 （2）22020)()(r b y a x =-+-，点在圆上 （3）22020)()(r b y a x <-+-，点在圆内【设计说明】培养学生分析问题、解决问题的能力 练习：1.点)5,(m P 与圆2522=+y x 的位置关系（ ）Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程．3.求以点)1,2(-位圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程． 【设计说明】学生爬黑板．例2.ABC ∆的三个顶点的坐标是)8,2(),3,7(),1,5(--C B A ，求它的外接圆的方程．师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程222)()(r b y a x =-+- 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定r b a ,,三个参数．解法一：设所求圆的方程是222)()(r b y a x =-+- (1)因为)8,2(),3,7(),1,5(--C B A 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=--+-=-+-222222222)8()2()3()7()1()5(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒532r b a所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ．【设计意图】掌握待定系数法求圆的标准方程． 【设计说明】学生自己运算解决．师：教师画图引导．生：学生讨论发现，还可利用几何法求ABC ∆师：确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小．那么如何确定圆心？生：学生探讨发现：弦AB 的垂直平分线与弦BC 的垂直平分线的交点即为圆心M ． 师：如何确定半径？生：圆心M 与圆上任一点的距离即为半径． 解法二：（师生共同完成） 因为)3,7(),1,5(-B A ，所以线段AB 的中点D 的坐标为)1,6(-，直线AB 的斜率2-=AB k ， 因此线段AB 的垂直平分线1L 的方程是)6(211-=+x y ， 即 082=--y x ，同理可得线段BC 的垂直平分线2L 的方程是 01=++y x ．圆心M 的坐标是方程组 ⎩⎨⎧=++=--01082y x y x 的解．解此方程组，得 ⎩⎨⎧-==32y x ，所以圆心M 的坐标是)3,2(-． 圆心M 的圆的半径长 5)31()25(||22=++-==AM r ．所以，ABC ∆的外接圆的方程为 25)3()2(22=++-y x ．总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出ABC ∆外接圆的标准方程的两种求法： 方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．【设计说明】学生自己归纳总结．练习：课本第120页，例3（不看课本，结合例2的理解，学生自己解决例3）已知圆心为C 的圆经过点)2,2()1,1(-B A 和，且圆心C 在直线上01:=+-y x l ，求圆心为C 的圆的标准方程．（给L学生充分思考的时间，教师引导．）师：本题求圆的标准方程，能否用上述两种不同方法解决？ 生：学生画图思考．师：找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题．【设计意图】结合对例2的理解，学生根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣．【设计说明】学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导．六、布置作业1．书面作业必做题： P124习题4.1 A 组 第2，3，4题 选做题：P124习题4.1 A 组 第5题 2．课外思考圆的标准的方程形式是222)()(r b y a x =-+-，该式展开后形式是什么？展开后的形式都表示圆吗？ 【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解；课外思考的安排，是让学生理解圆除了标准形式，还有一般形式，起让学生课下探索发现、预习新课的作用．七、教后反思1.本教案的亮点是圆的标准方程的推导以及任意三角形外接圆的标准方程的两种方法的得出，都是在学生已有的知识基础上得到，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例题也是变讲为练，都是学生在独立或小组讨论中解决的，很好的调动学生的积极性与主动性，提高了学生的解题能力．2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的推导过程上下足功夫．3.本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻．八、板书设计。
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4.1.1 圆的标准方程
疱丁巧解牛
知识·巧学
一、圆的定义及标准方程
当圆的圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.在直角坐标系中，圆心A 的坐标为(a ，b)，半径为r 的圆就是集合P={M||MA|=r}.
上述圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2.其中当圆的圆心在坐标原点时，标准方程就成为
x 2+y 2=r 2.
要点提示 当圆心为原点时，方程化为x 2+y 2=r 2.由于方程的右端r 2>0，故当右端小于0或等
于0时不是圆的方程.圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2中有三个参数a 、b 、r ，只要求出a 、b 、
r ，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.
二、点与圆的位置关系
给出点M(x 0,y 0)和圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2，通过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，
得到：
(1)若点M 在圆C 上，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2；
(2)若点M 在圆C 外，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2>r 2；
(3)若点M 在圆C 内，则有(x 0-a)2+(y 0-b)2<r 2.
方法点拨 判断一个点与圆的位置关系，除了应用数形结合外，还可以通过方程来判断.只需
将该点的坐标代入圆的标准方程左侧，若结果等于r 2，则点在圆上;若结果大于r 2，则点在
圆外;若结果小于r 2，则点在圆内.
问题·探究
问题1 过两点能作多少个圆？过不共线的三点呢？确定一个圆需具备哪些条件？
探究:若以这两点连线为弦，则可作无数个圆；若以这两点作为一个圆的直径的两个端点，则可确定一个圆.过不共线的三点，能且仅能作一个确定的圆.所以确定一个圆，需要知道圆的圆心与半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
问题2 如果一个动点P 与两个定点A 、B 的距离的平方和为122，A 、B 两点间的距离为10，你能判断出动点P 的轨迹吗？
探究:判断P 点的轨迹形状，可以从其方程入手，这就需要先建立直角坐标系.由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系,则A(-5,0)，B(5,0)，
设动点P(x ，y)，则|PA|2+|PB|2=122,得x 2+y 2=36.
所以可以判断P 点的轨迹是一个半径为6的圆.
典题·热题
例1 根据下列条件，求圆的方程.
(1)圆心在直线5x-3y=8上，且圆与坐标轴相切，求此圆方程;
(2)已知圆心C(2，-1)，且截直线y=x-1所得的弦长为22，求圆C 的方程.
思路解析：对于(1)可用标准方程与待定系数法解答；对于(2)，由于已知圆心，故只需求出半径，根据垂径定理：弦长的一半与弦心距、半径组成一个直角三角形，故半径可求.
解：(1)设所求圆的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2，
因为圆与坐标轴相切，故圆心满足x 0-y 0=0或x 0+y 0=0.
又圆心在直线5x-3y=8上，所以5x 0-3y 0=8.解方程组
⎩⎨⎧=-=-835,00000y x y x 或⎩⎨⎧=-=+.
835,00000y x y x 解得⎩⎨⎧==4,400y x 或⎩⎨⎧-==.1,100y x
圆心坐标为(4,4)或(1，-1)，所以可得半径r=4或r=1.
所以所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16或(x-1)2+(y+1)2=1.
(2)由已知可设所求圆的半径为r ，圆心到直线y=x-1的距离为d ，则 d=2)1(1|
1)1(2|22=-+---.
因为直线y=x-1被圆截得的弦长为22，所以222d r -=
，所以r 2=4，故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
深化升华 本题两个题目所给条件均与圆心和半径有关，故都利用了圆的标准方程求解.此外，平面几何性质的应用使得解法简便了许多.所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心与半径入手解决.
例2 求经过两点A(-1,4)、B(3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程.
思路解析：思路一是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和半径.思路二是抓住圆的性质及题目的特点，由线段AB 的垂直平分线及y 轴求出圆心坐标，进一步得其半径，由此列式可得.
解：法一:设圆心C(a ，b)，∵圆心在y 轴上，∴a=0.
设圆的标准方程为x 2+(y-b)2=r 2.∵该圆经过A 、B 两点，
∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-222222)2(3)4()1(r
b r b ⇒⎩⎨⎧==.10,12r b 所以圆的方程是x 2+(y-1)2=10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB =2
1)1(342-=---， ∴弦AB 的垂直平分线方程为y-3=2(x-1),即y=2x+1.
由⎩⎨⎧=+=,0,12x x y 得⎩
⎨⎧==.1,0y x 故点(0,1)为所求圆的圆心.由两点间距离公式得圆半径r=10,所求圆的方程为x 2+(y-1)2
=10. 深化升华 使用待定系数法求圆的方程是数学中常用的一种方法，例如确定二次函数的解析式、求直线等.由于圆的标准方程中含有三个待定系数a 、b 、r ，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆，也即根据三个独立条件，列出三个方程，解方程组得三个待定系数，即求出圆心和半径，从而得到圆的方程.待定系数法是求圆的方程的最常用的方法，它的一般步骤是：先设方程，再列式，最后求解.
例3 求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A(5，2)和点B(3，-2)的圆的方程.
思路解析：因为条件与圆心有直接关系，因此设圆的标准方程即可解决问题.利用圆心在弦的垂直平分线上及已知直线上，由两直线的交点得出圆的圆心，再由两点间距离公式得圆的半径，从而写出圆的方程.
解：法一：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，则⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=.r b)-(-2a)-(3,r b)-(2a)-(50,3-b -2a 222222
解得⎪⎩⎪⎨⎧===.
10r 1,b 2,a
∴圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=10.
法二：∵圆过A(5，2)、B(3，-2)两点，
∴圆心一定在线段AB 的垂直平分线上.
线段AB 的垂直平分线方程为y=2
1-(x-4). 设所求圆的圆心坐标为C(a ，b)，则有⎪⎩
⎪⎨⎧--==).4(21b 0,3-b -2a a 解得⎩⎨⎧==1.b 2,a ∴C(2，1)，r=|CA|=10)12()25(22=-+-.
∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2
=10.
深化升华 本题介绍了几何法求圆的标准方程：利用圆心在弦的垂直平分线上或者两圆相切时两圆心连线经过切点，可得到圆心满足的一条直线方程，结合其他条件可确定圆心，利用两点间距离公式可求得半径，从而可得圆的标准方程.其实求圆的标准方程就是求出圆心坐标与圆的半径，有时借助于弦心距、弦半径之间的关系计算，可大大简化计算的过程与难度.如果用待定系数法求圆的方程时，确定圆的方程需要三个独立条件.“选标准、定参数”是解题的基本方法.其中，选标准是根据已知条件选择恰当的圆的方程的形式，进而确定其中三个参数.。