人教版初三数学上册二次函数背景下—线段的最大值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题
中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。
（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。
人教版初三数学上册二次函数增减性与极值问题
对称轴为y轴 抛物线过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
与x轴有唯一交点 与x轴有两个交点
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；
④4a+2b+c＞0; ⑤9a-3b+c＞0正确的个数是 （B ）
A、2个 B、3个
总结
a>0时，当x的值越靠 近对称轴，y的值越小
a>0时，当x的值越靠 近对称轴，y的值越小
函数增减性
Y随X增大而增大即x从 左到右，y从下到上，图
象呈上升趋势。
Y随X增大而减小即x从左到 右，y从下到上，图象呈下
降趋势。
整理总结
1.反比例函数，一次函数，二次函数的 增减性都是 Y随X增大而增大（减小） 即x从左到右，y从下（上）到上（下），图 象呈上升（下降）趋势。 2.有些实际问题，只是研究函数图像的 一部分。 3.解题时，学会把实际问题转化成数学 问题。 4.注意数形结合，分类讨论的思想和方 法的运用。
y
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
已知一次函数y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐 标系中的大致图象是( )
.
已知一次函数y=ax+c二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐 标系中的大致图象是( )
.
(河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二 次函数y=ax2+c的图象大致为( B ).
yax2bxc(a0)
承德县安匠初中 王文顺
学习目标：
2019中考数学专题复习《二次函数与线段最值问题》含解析
2019中考数学专题复习二次函数与线段最值问题含解析二次函数与线段最值问题一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 ．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．10．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0），B（1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点P，过点P作PC∥AB交抛物线于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．若点P在点C的左边，当矩形PCDM的周长最大时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，当矩形PCDM的周长最大时，连接AC，我们把一条抛物线与直线AC的交点称为该抛物线的“恒定点”，将（1）中的抛物线平移，使其平移后的顶点为（n，2n），若平移后的抛物线总有“恒定点”，请直接写出n的取值范围．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y x2x+2与x轴交于B、C两点（点B 在点C的左侧），与y轴交于点A，抛物线的顶点为D．（1）填空：点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ），点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B、C重合）①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A、B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A、C重合），请直接写出△PQR周长的最小值．12．如图，抛物线与直线相交于A，B两点，若点A在x轴上，点B的坐标是（2，4），抛物线与x轴另一交点为D，并且△ABD的面积为6，直线AB与y轴的交点的坐标为（0，2）．点P是线段AB（不与A，B重合）上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线与点Q．（1）分别求出抛物线与直线的解析式；（2）求线段PQ长度的最大值；（3）当PQ取得最大值时，在抛物线上是否存在M、N两点（点M的横坐标小于N的横坐标），使得P、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出MN的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y x2x﹣4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD于点M，求线段MQ长度的最大值．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（4）当点P在线段EB上运动时，直线l与菱形BDEC的某一边交于点S，是否存在m 值，使得点C、Q、S、D为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出m值，不存在，说明理由．14．如图，已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y 轴于C点．（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值．15．（1）如图，已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），直线y＝x+1过点A，与抛物线交于点C，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A，C重合），过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．（2）在（1）条件下，过点P作y轴垂线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值．16．如图1，抛物线y＝﹣x2﹣4x+5与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及顶点D的坐标；（2）连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与点A、C重合），过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE+PF取最大值时，在抛物线对称轴上找一点L，在y轴上找一点K，连接OL，LK，PK，求线段OL+LK+PK的最小值，并求出此时点L的坐标．（3）如图2，点M（﹣2，﹣1）为抛物线对称轴上一点，点N（2，7）为直线AC上一点，点G为直线AC与抛物线对称轴的交点，连接MN，AM．点H是线段MN上的一个动点，连接GH，将△MGH沿GH翻折得到△M′GH（点M的对称点为M′），问是否存在点H，使得△M′GH与△NGH重合部分的图形为直角三角形，若存在，请求出NH的长，若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）当D在线段AC上运动时，求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y x交x轴于点A，交y轴于点B，经过点A的抛物线y x2+bx+c交直线AB另一点D，且点D到y轴的距离为8．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD上方的抛物线上一动点，（不与点A、D重合），过点P作PE⊥AD于E，过点P作PF∥y轴交AD于F，设△PEF的周长为L，点P的横坐标为m，求L与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；（3）在图（2）的条件下，当L最大时，连接PD．将△PED沿射线PE方向平移，点P、E、F的对应点分别为Q、M、N，当△QMN的顶点M在抛物线上时，求M点的横坐标，并判断此时点N是否在直线PF上．（参考公式：二次函数y＝ax2+bx+c（c≠0）．当x时，y最大（小）值）19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（3，0），B（1，0），且与y轴交于点C（0，﹣3），点P是抛物线AC间上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P 与A、C不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP是直角三角形时，直接写出点P的坐标；（3）求线段PD的最大值，并求最大值时P点的坐标；（4）在问题（3）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c与x轴只有一个交点，且系数a、b满足条件：．（1）求y＝ax2+bx+c解析式；（2）将y＝ax2+bx+c向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数y＝mx2+nx+k，该函数交y轴于点C，交x轴于A、B（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P 作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．22．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为D，E，求四边形ODPE的周长的最大值；（3）如图2，点P是抛物线y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的点，过点P作PN⊥x轴，垂足为N，交AB于M，连接PB，PA．设点P的横坐标为t，当△ABP的面积等于△ABC面积的时，求t的值．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若点P是抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为 时，四边形PQAC是平行四边形；（直接写出结果，不写求解过程）．24．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线1与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，设P点的横坐标为m．①求线段PE长度的最大值；②点P将线段AC分割成长、短两条线段PA、PC，如果较长线段与AC之比等于，则称P为线段AC的“黄金分割点”，请直接写出使得P为线段AC黄金分割点的m的值．25．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值．27．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，（不与A、C重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值，并直接写出△ACE面积的最大值；（3）点G为抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，当点P运动到什么位置时，△ACE的面积最大？求出此时P点的坐标和S△ACE的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．29．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点．求线段PE 长度的最大值；（3）若点G是抛物线上的动点，点F是x轴上的动点，判断有几个位置能使以点A、C、F、G为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点F的坐标．30．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交A、B两点（A点在B点右侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为﹣2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）若点P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求当点P坐标为多少时，线段PE长度有最大值，最大值是多少？（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．二次函数与线段最值问题参考答案与试题解析一．填空题1．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为 6 ．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣1）2+6．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：∵y＝﹣x2+x+2，∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，解得x＝2或x＝﹣1故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．∴当x＝1时，C最大值＝6，．即四边形OAPB周长的最大值为6．故答案是：6．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题采用了配方法．二．解答题2．已知函数y＝（m+2）x2+kx+n．（1）若此函数为一次函数；①m，k，n的取值范围；②当﹣2≤x≤1时，0≤y≤3，求此函数关系式；③当﹣2≤x≤3时，求此函数的最大值和最小值（用含k，n的代数式表示）；（2）若m＝﹣1，n＝2，当﹣2≤x≤2时，此函数有最小值﹣4，求实数k的值．【考点】F5：一次函数的性质；H7：二次函数的最值．【分析】（1）①根据二次项系数为0，一次项系数不为0，常数项为任意实数解答即可；②根据k＞0，k＜0时x、y的对应关系确定直线经过的点的坐标，求出解析式；③根据一次函数的性质即增减性解答即可；（2）把m＝﹣1，n＝2代入关系式，得到二次函数解析式，确定对称轴，顶点坐标，分情况讨论求出k的值．【解答】解：（1）①m＝﹣2，k≠0，n为任意实数；②当k＞0时，直线经过（﹣2，0）（1，3），函数关系式为：y＝x+2当k＜0时，直线经过（﹣2，3）（1，0），函数关系式为：y＝﹣x+1③当k＞0时，x＝﹣2，y有最小值为﹣2k+nx＝3时，y有最大值为3k+n当k＜0时，x＝﹣2，y有最大值为﹣2k+nx＝3时，y有最小值为3k+n（2）若m＝﹣1，n＝2时，二次函数为y＝x2+kx+2对称轴为x，当2，即k≥4时，把x＝﹣2，y＝﹣4代入关系式得：k＝5当﹣22，即﹣4＜k＜4时，把x，y＝﹣4代入关系式得：k＝±2（不合题意）当2，即k≤﹣4时，把x＝2，y＝﹣4代入关系式得：k＝﹣5．所以实数k的值为±5．【点评】本题考查了一次函数的概念、一次函数的性质、一次函数最值的应用以及二次函数的性质，综合性较强，需要学生灵活运用性质，把握一次函数的增减性和二次函数的增减性，解答题目．3．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标；（2）当a≤x≤b时，函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；（3）在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）先把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得到关于m的方程，解方程求出m的值，再利用配方法将二次函数写成顶点式，即可求出顶点D的坐标；（2）先把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得到方程1x2+2x+3，解方程求出x1，x2，再利用二次函数的性质结合图象即可得出a，b应满足的条件；（3）先求出二次函数与y轴交点C的坐标，当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①当DC＝DP时，易求点P坐标为（2，3）；②当PC＝PD时，过点D 作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N．由HD＝HC，PC＝PD，根据线段垂直平分线的判定与等腰三角形的性质得出HP平分∠MHN，再由线段垂直平分线的性质得出PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解方程求出m的值，得出点P的坐标为或；③当CD＝CP时，不符合题意．【解答】解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3，得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3．则二次函数为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）把y＝1代入y＝﹣x2+2x+3，得1x2+2x+3，解得x1，x2，结合图象知a≤1．当a时，1≤b，当a≤1时，b；（3）x＝0时，y＝3，所以点C坐标为（0，3）．当三角形PDC是等腰三角形时，分三种情况：①如图1，当DC＝DP时，∵点P与点C关于抛物线的对称轴x＝1对称，∴点P坐标为（2，3）；②如图2，当PC＝PD时，过点D作x轴的平行线，交y轴于点H，过点P作PM⊥y 轴于点M，PN⊥DH于点N．∵HD＝HC＝1，PC＝PD，∴HP是线段CD的垂直平分线．∵HD＝HC，HP⊥CD，∴HP平分∠MHN，∵PM⊥y轴于点M，PN⊥DH于点N，∴PM＝PN．设P（m，﹣m2+2m+3），则m＝4﹣（﹣m2+2m+3），解得m，∴P的坐标为或；③如图3，当CD＝CP时，点P在y轴左侧，不符合题意．综上所述，所求点P的坐标为（2，3）或或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，二次函数的性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．4．已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．（1）求t；（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；（3）若1≤a≤2，设当x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，得到y＝ax2﹣（a+3）x+4的对称轴为直线x，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围x≤2，当x时，得到m，当x＝2时，得到n，即可得到结论．【解答】解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，∴，∴或；（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，∴对称轴为直线x，∵1≤a≤2，∴x2，∵x≤2，∴当x时，y＝ax2+bx+4的最大值为m，当x＝2时，n，∴m﹣n，∵1≤a≤2，∴当a＝2时，m﹣n的值最小，即m﹣n的最小值．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．5．已知y关于x的函数y＝nx2﹣2（m+1）x+m+3（1）若m＝n＝﹣1时，当﹣1≤x≤3时，求函数的最大值和最小值；（2）若n＝1，当m取何值时，抛物线顶点最高？（3）若n＝2m＞0，对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，求k的最大整数；（4）若m＝2n≠0，求抛物线与x轴两个交点之间的最短距离．【考点】H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，因为对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，所以k，由此即可解决问题；（4）构建二次函数，利用二次函数的性质，解决最值问题；【解答】解：（1）当m＝n＝﹣1时，函数解析式为y＝﹣x2+2，顶点坐标为（0，2），函数最大值为2，∵﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y＝1，x＝3时，y＝﹣7．∴函数的最大值为2和最小值为﹣7．（2）n＝1时，函数解析式为y＝x2﹣2（m+1）x+m+3，∵顶点的纵坐标m2﹣m+2，∵﹣1＜0，∴m时，抛物线顶点的纵坐标最大，顶点最高．（3）∵n＝2m，∴抛物线的解析式为y＝2mx2﹣2（m+1）x+m+3，对称轴x，∵对于任意m的值，当x＜k时，y随x的增大而减小，∴k，∴k的最大整数为0．（4）∵m＝2n，∴抛物线的解析式为y＝nx2﹣2（2n+1）x+2n+3，设抛物线与x轴的交点为（x1，0）和（x2，0），则|x1﹣x2|，∴当时，抛物线与x轴两个交点之间的距离最短，最小值为．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，所以中考常考题型．6．如图，二次函数y＝﹣x2+2（m﹣2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．（1）求m的值及顶点D的坐标．（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；（3）当x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1，求n的取值范围．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AD为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；（3）当x时，可求得y＝1，且当x＝1时y＝4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．【解答】解：（1）∵抛物线过A点，∴代入二次函数解析式可得﹣9+6（m﹣2）+3＝0，解得m＝3，∴二次函数为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D为（1，4）；（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），∴AC3，CD，AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，∴E为AD的中点，∴E点坐标为（2，2），外接圆的半径r AD；（3）当x时，y＝1，当x＝1时，y＝4，∴当x≤1时，1y≤4，根据二次函数的对称性可知当1≤x时，1y≤4，∴1≤n．【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，PC m2m+3．由PM，得到m2m+2，即m2＝3m+1，m，进而求出PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，矩形PMNQ的周长d＝﹣m2﹣m+10，将﹣m2﹣m+10配方，根据二次函数的性质，即可得出矩形PMNQ的周长的最大值．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PM m2m+2，PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PM，∴m2m+2，整理，得m2﹣3m﹣1＝0，∴m2＝3m+1，m，∴PC m2m+3（3m+1）m+3＝m，∴当m时，PC；（3）设M点横坐标为m，则PM m2m+2，MN＝2（m）＝3﹣2m，∴矩形PMNQ的周长d＝2（PM+MN）＝2（m2m+2+3﹣2m）＝﹣m2﹣m+10．∵﹣m2﹣m+10＝﹣（m）2，∴当m时，d有最大值．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，矩形的性质，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1.5，点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y＝﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）M位于线段AB的什么位置时，PC最长，并求出此时P点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点Q，使，求点Q的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）将A（﹣1，0）代入y＝﹣x+n，运用待定系数法求出直线AC的解析式；根据抛物线的对称轴为x，把点A的坐标代入y＝ax2+bx+2，组成关于a、b的二元一次方程组，求解即可得到抛物线的解析式；（2）设M点横坐标为m，则P（m，m2m+2），C（m，﹣m﹣1），得出PMm2m+2，化成顶点式即可；（3）根据抛物线的对称轴和A的坐标，求得B的坐标，求得AB，从而求得三角形APB的面积，进而求得三角形ABQ的面积，得出Q的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得横坐标，从而求得Q的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+n过点A（﹣1，0），∴0＝1+n，解得n＝﹣1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣1；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式是：y x2x+2；（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，m2m+2），C点坐标为（m，﹣m﹣1）．∵点M为线段AB上一点，∴﹣1＜m＜4．∴PC＝（m2m+2）﹣（﹣m﹣1）m2m+3．∵PC m2m+3（m）2，所以，当m时，PC最长，此时P（，），AM；（3）存在；∵抛物线y＝ax2+bx+2的对称轴为直线x，经过点A（﹣1，0），∴B（4，0）∴AB＝5，∵S△APB AB•PM5，∵，∴S△ABQ，设Q点纵坐标为n，∵S△ABQ AB•n，∴n，（或n这样计算比较方便），∴x2x+2，解得：x或x，∴Q（，）或（，）【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行于坐标轴上的两点之间的距离，一元二次方程的解法，二次函数最值的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键．9．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F 作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】153：代数几何综合题；16：压轴题．。
二次函数之——线段的最大值问题
1
2
H
1 45
Q
45
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C (0,3) PCPP△HQH=mmPaaxQx2==HP===94QPP(9QQ8Q22++H+P=1H2)2+P2PQQQHP+Q22 PQ
D
O
B1,0斜C△线PQx段Hmax=转化9( 24 1竖) 直线段
三角形周长 转化竖直线段
变式3
重庆市示范初中
点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），连接 PA,PC,求△PAC面积的最大值；
A(-1,0) C (0,3) D (2,3)
直线AD的解析式为 y= x+1
（2）如图，直线AD上方的抛物线 上有一点F，过点F作FG ⊥ AD于点 G，作FH ∥ x轴交直线AD于点H， 求△ FGH的周长的最大值；
y
(0,3) CQ
F
我反思
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我反思
重庆市示范初中
小结：1,2,4
PQmax=
9 4
P
y
H
C
Q
A
B
DO
S△PAC= S△PAQ+ S△PCQ
= =
1 12
PQ·AD+ 12PQ·OD PQ（AD+OD）
= 12 PQ·AO
2
= 3 PQ
2
xS三△角PA形C面m积ax=287转化 竖直线段
我评价
重庆市示范初中
（2015 ·重庆中考B卷26题）如图，抛物线y= -x2 +2x+3的图象与x 轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D和点 C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点E. （1）求直线AD的解析式；
二次函数背景下—线段的最大值问题.doc
二次函数背景下——线段的最大值问题重庆永川萱花中学：刘荣幸中考透视：随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。
二次函数背景下——线段的最大值问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题是以二次函数图像为载体，来研究图形的最大值问题，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目之一。
三维教学目标：1、能求二次函数中线段的最大值。
2、体会转化的数学思想。
教学重点：能求二次函数中线段的最大值。
教学难点：各种变式线段最值的求法教学方式：合作学习，读，讲，议，练，评。
教学手段：利用多媒体教学。
教学过程：一、新课引入：直接提问：我们在初中阶段学过哪些有关的线段的最值问题？学生回答：1，两点之间线段最短。
2，垂线段最短。
3“水水泵房选址”问题等。
教师立即接着提问：刚才同学回答的有关线段最值问题都是线段最小值问题，我们在学习什么内容时，有最大值问题呢？（同学们答：二次函数），那今天我们就来研究二次函数背景下——线段的最大值问题。
展示课题。
二、公式：直接出示平面坐标系中的竖直线段和水平线段，用点的坐标表示出线段。
得出：水平时,线段AB=右减左，竖直时,线段AB=上减下。
三、典型例题（基本题型）：2如图，已知二次函数y=-x-2x+3的图像交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；导学：PQ是竖直线段还是水平线段？如何表示？导做：独立完成，集体交流，抽同学上黑板上板书。
导思：线段的最值转化为求二次函数的最值。
精品课件-二次函数背景下的线段最值问题
通过观察、分析、对比等方法，提高学生分析问题， 解决问题的能力，进一步强化分类归纳综合的思想，提 高综合能力。 • 情感目标：
通过自己的参与和教师的指导，体会及感悟化归与转 化、数形结合、数学建模等数学思想方法，享受学习数 学的快乐，提高应用数学的能力。
分析：第一步，找点P， 利用直线外一点与直线 上各点连接的所有线段 中，垂线段最短 。
第二步，解析法或几何 法求点P的坐标。
链接中考
（2015•漳州）如图，抛物线 yx22x3与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请 解决下列问题． （1）填空：点C的坐标为（ 0 ， 3 ）， 点D的坐标为（ 1 ， 4 ）； （2）设点P的坐标为（a，0），当|PD﹣PC|最大时， 求a的值并在图中标出点P的位置；
代入可得
，解得
，
∴直线DC的解析式为y=x+3， 将点P的坐标（a，0）代入得a+3=0，
求得a=﹣3， 如图1，点P（﹣3，0）即为所求
探究三
(6)点P在第一象限的抛物线上，PQ⊥x轴交BC于Q， 求PQ的最大值；
分析：第一步，设P点的坐标；
第二步，求直线B段PQ的函数关 系式，最后求出最值。
二次函数背景下的线段最 值问题
（2015•漳州卷第25题）
如图，抛物线 yx22x3与x轴交于A，B两点， 与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点C的坐标为（ ， ）， 点D的坐标为（ ， ）；
（2）设点P的坐标为（a，0）, 当|PD﹣PC|最大时， 求a的值并在图中标出点P的位置；
y x 2 2 x 3 x 1 2 4
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，主要是求解一个线段的最大值或最小值。
这个问题可以通过二次函数的图像和相关的数学理论来解决。
在解决这类问题时，我们可以利用二次函数的性质和相关的数学技巧来找到线段的最值点，从而得出最值。
首先，我们来回顾一下二次函数的一般形式：f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c都是常数且a不等于0。
根据二次函数的图像特点，我们知道它是一个抛物线，可以是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的。
对于线段最值问题，我们通常要确定线段的端点，然后找出其中的最大值或最小值点。
这可以通过以下步骤来完成：1.确定二次函数的图像形状：根据二次函数的参数a的值，确定抛物线是开口向上还是开口向下。
2.确定线段的端点：线段的端点可以是给定的数值，也可以通过求解二次函数的解来确定。
根据二次函数的性质，它的两个解（也就是x的值）对应着抛物线与x轴的交点，即抛物线的顶点和x轴的两个交点。
3.求解最值点：对于线段的最大值点，我们需要找到抛物线的顶点，并通过计算确定它的y坐标值。
通过二次函数的解析式，我们可以知道抛物线的顶点坐标是(-b/2a, f(-b/2a))。
同样的，对于线段的最小值点，我们也可以通过类似的方法来解决。
4.判断最值点是否在线段上：在找到最值点之后，我们需要判断它是否在给定的线段上。
这可以通过将最值点的x坐标值与线段的端点的x坐标值进行比较来实现。
如果最值点的x坐标值位于线段的端点之间，则最值点就在线段上。
通过以上步骤，我们可以很容易地求解线段的最值问题。
当然，在实际应用中，可能会碰到更复杂的情况，例如线段与其他二次函数曲线的交点等。
但是，通过理解二次函数的性质和运用相关的数学知识，我们可以应对这些情况并解决问题。
总结而言，线段最值问题是在二次函数背景下的一种几何问题，通过确定二次函数的图像形状、线段的端点、求解最值点和判断最值点是否在线段上，我们可以解决线段的最值问题。
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题
二次函数背景下的几何问题——线段最值问题一、【教学内容分析】二次函数是一次函数和反比例函数的继续和发展，是初中数学学习的重点和难点，也为以后更高层次函数的学习奠定了基础.以二次函数为背景的试题常受命题者的青睐，它能够全面考察学生的数形结合能力与计算能力，同时它也是学生学习高中数学知识所必备的.而此命题一般不会用以纯函数的形式出现，而是结合几何图形或点的运动使几何图形发生变化，从而让代数与几何有机结合起来. 二次函数背景下的线段最值问题是利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边等）及二次函数的性质求最值.这类问题大多是“将军饮马”模型的变式应用，试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识的能力，而且还能通过学生对“动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生在图形的运动变化中探索几何元素之间位置关系和数量关系的能力和识别能力，体现新课程对学生几何探索活动过程、合情推理能力的要求.二【疑难点分析】培养学生能正确运用将军饮马等几何模型、函数模型，解决二次函数背景下的线段最值问题.三、【教学目标】（1）掌握利用基本事实——两点之间线段最短、三角形的三边关系构建几何模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.（2）根据问题构建函数模型，解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.四、【教学重难点】重点：能运用几何模型和函数模型解决因动点产生的二次函数背景下的线段最值问题.难点：提高学生运用二次函数知识与几何知识解决数学综合题的能力.五、【教学媒体】PPT 课件、微课、导学练六、【教法】讲练结合法、问题教学法七、【学法】小组合作交流法、自主探究法、观察发现法八、【教学流程框图】教学过程设计：教学内容（一）微课助手，忆旧知播放微课视频短片，让学生回顾下数学史上著名的“将军饮马”问题（二）重点难点，细解读1、模型一：如图 1，点 P 在直线 l 上运动，找出一点 p 使得PA+PB 取最小值.观察模型并回答以下两个问题：教学策略让学生通过观察模型一，总结出模型一的特点和所运用的方法.设计意图通过回顾“将军饮马”问题，烘托问题情境，利用微课吸引学生的注意力，在历史经典中唤起学生的兴趣，激发学生探究问题的欲望，让学生回忆起旧知.为了落实好下面的模型应用，把知识背景归纳成一般化的数学模型. 在温故中实现引新，为展开模型应值时，求点 P 的坐标 (1)该模型有什么特征？(2)基本解法是什么？特征：定点 A 、B 同侧，P 为动点； 原理：两点之间，线段最短； 思想：转化（化同侧为异侧）；方法：轴对称法.模型运用：（2016•漳州）已知：如图，A （-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A 、B 、C ， 抛物线的顶点为 D ．（1） 求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D ；（2） 点 P 在对称轴上，PA+PC取最小 .解题思路分析：（1）利用两点式或者一般式求抛物线的解析式；通过小组讨论，再请学生代表解析.教师给予点评，并板演解答过程.用提供知识、方法及经验的支持.二次函数类的压轴题第一问通常为求点坐标、解析式，本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式或利用函数解析式求点坐标，相对较简单，通过第一小问的解答增进学生解压轴题的信心. 同时在具体的实例中学习把知识迁移应用并体会“将军饮马”问题中蕴含的数学本 质.利用对称思想（2）步骤：板书解题过程：（2）解：连接 BC，与对称轴的点即为点 P，如图所示，点 P为所求，则可得 P 的横坐标为1.设直线BC 的解析式为y=kx+b(k≠0），将点 B（3,0）、C（0,3）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧3k +b = 0 ⎧k = -1⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 BC 的表达式为：y = -x + 3 .当x =1时，y =-1+3 = 2 .∴当点 P 的坐标为（1,2）时，PA+PC 取最小值.让学生独立思考，通过类比上一把复杂的问题简单化.变式 1：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）△PAC周长最小时，求点P 的坐标.解题思路分析：由于AC 为定值，要使△PAC周长最小，则此问题转化成在对称轴上找一点 P，使得PA+PC 最小即可.2、模型二：在直线 l 上，找出一点P，使|PA－PB|的值最大.观察模型并回答以下两个问题：(1)该模型有什么特征？还能利用对称轴的知识去解决？（2）小组成员间每人找一点 P，进行比较，你有什么发现？（3）这个模型的基本解法是什么？题，规范书写解题过程.再与学生强调此类型题解题步骤：（1）找对称点；（2）连线并求直线解析式；（3）求点坐标.这一环节问题一个接着一个，形成了问题串，具有挑战性，能极大引起学生的思考，教师在这一环节中要善于运用语言不断鼓励学生.引导学生得出这一模型的基本解法：使A、B、P 三点共线，原理是:三角形两边之差小于第三边.经历画图-观察-说理等活动，得出作图原理，将该问题归类建模，熟悉并理解该几何模型，培养学生的逻辑思维能力.对于问题教师要给学生足够的时间进行讨论、交流，让学生对图象进行细致的观察、类比、分析、及时检测学生对所学知识的掌握情况，加深对这一模型的理解 .基本解法：使A、B、P 三点共线；基本原理：三角形两边之差小于第三边；基本思想：转化（化折为直）.变式 2：已知：如图，A（-1,0）,B （3,0）,C（0,3）,抛物线经过点 A、B、C.点 P 在对称轴上.（1）求抛物线的解析式和抛物线的顶点 D；（2）|PA－PC|最大，求点 P 的坐标.解题思路分析：交流，同时鼓励学生尽可能多的从图象中获取信息，以小组的形式对信息进行分析、综合、概括、归纳，形成知识系统.教师鼓励学生先独立完成，然后共同交流，总结知识，提炼方法.(2)解：连接直线 AC 交对称轴于点P，如图所示，点P 为所求，则可得P 的横坐标为1. 设直线AC 的解析式为y =kx +b(k ≠ 0），将点A （ -1,0 ）、 C （0,3 ）代入y=kx+b(k≠0），可得：⎧-k +b = 0 ⎧k = 3⎨，解得：⎨⎩b = 3 ⎩b = 3则直线 AC 的表达式为：y = 3x + 3.当x =1时，y = 3 +3 = 6 .∴当点 P 的坐标为（1,6）时，|PA－PC|最取大值.模型三：如图，在平面直角坐标系中如何表示线段 AB 的长度. 对于这个探究，教师利用微课进行讲解，组织学生先观看微课。
人教版初中数学九年级上册《二次函数》教学设计
二次函数教学设计（1）一教材分析二次函数的应用本身是学习二次函数的图像与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查，新课标中要求学生能通过对实际问题的情景的分析确定二次函数的表达式，体会其含义，能根据图像的性质解决简单的实际问题，而最值又是生活中利用二次函数知识解决最常见，最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，为求利润等问题奠定基础，目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类问题，学会用建模的思想去解决其他和函数有关的应用问题，此内容是学习一次函数及其应用的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础二教学目标。
1；知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数的图像与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题2.过程与方法：通过观察图像，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值问题转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想，函数思想3.情感态度与价值观：通过学生之间的讨论，交流和探索，建立合作意识，提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望，体会数学在生活中的广泛应用价值，三教学重点难点教学重点：利用二次函数的图像与性质，求面积的最值问题教学难点：1.正确构建数学模型2.对函数顶点，端点与最值的理解与应用四教学方法“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑为主，必要时加以小组讨论，充分调动学生学习的积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的五教学手段多媒体课件六课时安排1课时七教学过程加深巩固布置作业自主评价梳理面靠墙围成一个矩形，要求面积最大，如何围才能使矩形的面积最大？2.如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40m长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。
回答下面的问题：(1)设每个小矩形一边的长为xm，设四个小矩形的总面积为ym2，请写出用x表示y的函数表达式。
九年级中考复习 二次函数背景下与线段有关的最值问题练习(含答案解析)
二次函数背景下与线段有关的最值问题练习类型一常规单线段的最值探究例1：已知抛物线与形状相同，开口方向不同，其中抛物线：交x 轴于A，B两点点A在点B的左侧，且，抛物线与交于点A与．求抛物线，的函数表达式；当x的取值范围是______时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；直线轴，分别交x轴，，于点，P，Q，当时，求线段PQ的最大值．【答案】的函数表达式为,的函数表达式为;;16．【解析】解：当时，，解得：，．，，，抛物线的函数表达式为．当时，，解得：，，点A的坐标为，点B的坐标为．当时，，点C的坐标为．设抛物线的函数表达式为，将，代入，得：，解得：，抛物线的函数表达式为．当时，抛物线上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大，当时，抛物线上的点的纵坐标随横坐标的增大而增大．当时，抛物线与上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大．故答案为：．点P的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，．当时，，，随着n的增大而减小，当时，PQ取得最大值，最大值为7；时，，，当时，PQ取得最大值，最大值为9；当时，，，随着n的增大而增大，当时，PQ取得最大值，最大值为16．综上所述：当时，线段PQ的最大值为16．例2：如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．（1）求点A，B，C的坐标．（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．①求MN的长．②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为（直接写出答案即可）【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=2，∵CE⊥x轴，∴OE=2，∵点E是AB中点，∴AE=BE=1，∴OA=2﹣1=1．OB=OE+BE=3，∴A（1，0），B（3，0），∵D（0，1），∴C（2，1）；（2）由（1）知，抛物线的顶点C（2，1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，∵A（1，0）在抛物线上，∴a（1﹣2）2+1=0，∴a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，①该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，∵D（0，1），∴﹣（﹣2）2+1+m=1，∴m=4，∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，令y=0，∴0=﹣（x﹣2）2+5，∴x=2±，∴M（2+，0），N（2﹣，0），∴MN=2；②如图，在第一象限的抛物线对称轴上取一点P1，使∠P1AB=60°，在Rt△AEP1中，AP1=2AE=2，P2E=∴点Q1和点B重合，∴Q1（3，0），P1（2，），在第一象限的抛物线对称轴上取一点P2，使∠P2AB=30°，在Rt△AEP2中，P2E=AEtan30°=，∴点Q2（2，﹣），∴直线Q1Q2的解析式y=x﹣在第二象限的抛物线对称轴上取一点P3，使∠P3AE=60°，由旋转知，Q3和点P1关于点A对称，∴Q3（0，﹣），∴点Q3在直线Q1Q2上，∴点Q的运动轨迹是直线Q1Q2，∴当OQ⊥Q1Q2时，OD最短，∵Q1Q3=2∴OD最小==，故答案为．针对训练1．二次函数y=的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）m=﹣2，A（﹣3，0），B（1，0）；（2）P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在，见解析.【解析】（1）∵二次函数y=（m﹣1）﹣6x+9，∴m2+m=2且m﹣1≠0，∴m=﹣2，∴二次函数解析式为y=﹣3x2﹣6x+9，令y=0，∴0=﹣3x2﹣6x+9，∴x=1或x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0）；（2）设PA=t（﹣3＜t＜0），则OP=3﹣t，∵DP⊥PE，∴∠DPA=∠PEO，∴△DAP∽△POE，∴，即，∴OE=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，OE有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在．当点P在y轴左侧时，如图1，DE交AB于G点，∵PD=PE，∠DPE=90°，∴△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=1，OE=1，∵AD∥OE，∴=4，∴AG=，∴S△DAG=××4=，∴P点坐标为（﹣4，0），此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为；当P点在y轴右侧时，如图2，DE交AB于G点，DP与BC相交于Q，同理可得△DAP≌△POE，∴PO=AD=4，∴PA=7，OE=7，∵AD∥OE，∴，∴OG=，同理可得BQ=，∴S四边形DGBQ=×（+1）×4+×4×=∴当点P的坐标为（4，0）时，此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积为．当点P和点A重合，此时，点E和点O重合，∴DP≠OP，此时，△PDE不是等腰三角形．2．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．（1）填空：点C的纵坐标是（用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣≤m≤时，求BC′的长度范围．【答案】（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤．【解析】解：（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2amx+am2+1＝am2+1，∴点C的纵坐标为am2+1．故答案为：am2+1．（2）设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示．∵DA＝DB，∠DAB＝45°，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝2DE．∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，∴点D的坐标为（m，1）．当y＝0时，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，解得：x1＝m﹣，x2＝m+，∴AB＝2＝2，解得：a＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1﹣m2），点B的坐标为（m+1，0）．∵点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，∴点C′的坐标为（m2﹣1，0），∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|．∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣）2+，﹣≤m≤，∴当m＝时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣；当m＝时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为，∴当﹣≤m≤时，﹣≤﹣m2+m+2≤，∴当﹣≤m≤时，0≤BC′≤．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（0，1+）；（3）MD2＝n2﹣n+4；点M 的坐标为（，）或（，）．【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）过点E作EF⊥x轴于点F，如图所示．∵∠OPD+∠ODP＝90°，∠ODP+∠FDE＝90°，∴∠OPD＝∠FDE．在△ODP和△FED中，，∴△ODP≌△FED（AAS），∴DF＝OP，EF＝DO．∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，0），∴EF＝DO＝1．当y＝1时，﹣x2+2x+3＝1，解得：x1＝1﹣（舍去），x2＝1+，∴DF＝OP＝1+，∴点P的坐标为（0，1+）．（3）∵点M（m，n）是抛物线上的一个动点，∴n＝﹣m2+2m+3，∴m2﹣2m＝3﹣n．∵点D的坐标为（1，0），∴MD2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2＝m2﹣2m+1+n2＝3﹣n+1+n2＝n2﹣n+4．∵n2﹣n+4＝（n﹣）2+，∴当n＝时，MD2取得最小值，此时﹣m2+2m+3＝，解得：m1＝，m2＝．∴MD2＝n2﹣n+4，当MD2取得最小值时，点M的坐标为（，）或（，）．3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．（1）求点D的坐标；（2）求证：△ADE≌△BCD；（3）抛物线y＝x2﹣x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（8，8）；（2）详见解析；（3）存在，P点坐标为（5，﹣6）．【解析】解：（1）∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠DOC．∵四边形AOCB是矩形，∴AB∥OC∴∠AOD＝∠DOC∴∠AOD＝∠ADO．∴OA＝AD（等角对等边）．∵A点的坐标为（0，8），∴D点的坐标为（8，8）（2）∵四边形AOCB是矩形，∴∠OAB＝∠B＝90°，BC＝OA．∵OA＝AD，∴AD＝BC．∵ED⊥DC∴∠EDC＝90°∴∠ADE+∠BDC＝90°∴∠BDC+∠BCD＝90°．∴∠ADE＝∠BCD．在△ADE和△BCD中，∵∠DAE＝∠B，AD＝BC，∠ADE＝∠BCD，∴△ADE≌△BCD（ASA）（3）存在，∵二次函数的解析式为：，点P是抛物线上的一动点，∴设P点坐标为（t，t2﹣t+8）设AC所在的直线的函数关系式为y＝kx+b，∵A（0，8）、C（10，0），∴，解得∴直线AC的解析式y=-．∵PM∥y轴，∴M（t，-）．∴PM＝﹣（t2﹣t+8）+（-）＝-(t-5)2+10．∴当t＝5时，PM有最大值为10．∴所求的P点坐标为（5，﹣6）．类型二最短路径模型的应用例3．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【答案】（1）m＞﹣4；（2）P（2，8）；（3）x＜0或x＞6．【解析】（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=42+4m＞0∴m＞﹣4；（2）∵二次函数的图象过点A（6，0），∴0=﹣9+6+m·∴m=12，∴二次函数的解析式为：y=﹣x2+4x+12，令x=0，则y=12，∴B（0，12），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴解得：，∴直线AB的解析式为：y=﹣2x+12，∵抛物线y=﹣x2+4x+12的对称轴为：x=2，∴把x=2代入y=﹣2x+12得y=8，∴P（2，8）．（3）根据函数图象可知：x＜0或x＞6．针对训练1.如图，抛物线y=x²+bx+c 与直线y= x+3 交于A，B 两点，点A 在y 轴上，抛物线交x 轴于C、D 两点，已知C（-3，0）.（1）求抛物线的解析式（2)在抛物线对称轴l 上找一点M，使|MB 一MD|的值最大。
二次函数中求线段,线段和,面积等最值问题—备战2024年中考数学(全国通用)(解析版)
二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关） 目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）二次函数中求线段，线段和，面积等最值问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。
每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，二次函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点。
2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后第二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一 二次函数中求线段的最值问题【例1】（2024·安徽滁州·一模）已知抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，和点B ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图1，已知点P 是位于BC 上方的抛物线上的一点，作PM BC ⊥，垂足为M ，求线段PM 长度的最大值；(3)如图2，已知点Q 是第四象限抛物线上一点，45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．【答案】(1)234y x x =−++；(2)PM 的最大值为(3)点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【分析】（1）将点()10A −，代入()22131y x n x n =−++++，求得1n =，即可得解；（2）求得点B 和C 的坐标，推出45OAB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，得到PEM △是等腰直角三角形，2PM PE =，设()234P m m m −++，，求得PM 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，求得BC =ACO GCB ∠=∠，利用正切函数的定义求得BG ，证明HBG 是等腰直角三角形，求得()31G −，，再求得直线CG 的解析式，据此求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线()22131y x n x n =−++++交x 轴于点()10A −，， ∴()121310n n −−+++=，解得1n =，∴抛物线的函数解析式为234y x x =−++； （2）解：当0x =时，4y =；当0y =时，2340x x −++=，解得4x =或=1x −；∴()40B ，，()04C ，，∴4OA OB ==，∴45OCB OBC ∠=∠=︒，作PF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，∴9045PEM BEF OBC ∠=∠=︒−∠=︒，∴PEM △是等腰直角三角形，∴PM =，设直线BC 的解析式为4y kx =+，把()40B ，代入得044k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为4y x =−+，设()234P m m m −++，，则()4E m m −+，，∴))223442PM PE m m m m ==−+++−=−+∵0>，∴PM 有最大值，最大值为（3）解：作BG CQ ⊥轴于点G ，作GH x ⊥轴于点H ，∵()10A −，，()40B ，，()04C ，，∴1OA =，4OB OC ==，BC =∵45ACQ ∠=︒，45OCB ∠=︒，∴ACO GCB ∠=∠，∴tan tan ACO GCB ∠=∠，即OA BG OC BC =，∴14=∴BG ，∵45OBC ∠=︒，∴45HBG ∠=︒，∴HBG 是等腰直角三角形，∴1BH GH ==，∴413OH =−=，∴()31G −，，同理直线CG 的解析式为543y x =−+， 联立得235434x x x =−+++−，解得0x =或143x =； 当143x =时，514344339y =−⨯+=−， ∴点Q 的坐标为143439⎛⎫− ⎪⎝⎭，．【例2】（2024·江苏淮安·二模）如图，在平而直角坐标系中，二次函数2y =+的图象与x 轴分别交于点,O A ，顶点为B ．连接,OB AB ，将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，连接BC ．点,D E 分别在线段,OB BC 上，连接,,,AD DE EA DE 与AB 交于点,60F DEA ∠=︒．(1)求点A ，B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A ，，(B ；(2)①EDA ∠的大小不变，理由见解析；②线段BF 的长度存在最大值为12【分析】（1）0y =得20+=，解方程即可求得A 的坐标，把2y =+化为顶点式即可求得点B 的坐标；（2）①在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，证明AED △是等边三角形即可得出结论；②证BDF OAD ∽，利用相似三角形的性质得BD BF OA OD =即22x BF x −=，解得()211122BF x =−−+进而利用二次函数的性质即可得解．【详解】（1）解：∵)221y x =+=−+∴顶点为(B ，令0y =，20+=，解得0x =或2x =，∴()20A ，；（2）解：①EDA ∠的大小不变，理由如下：在AB 上取点M ，使得BM BE =，连接EM ，∵)21y x =−∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转60︒得到线段AC ，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴BAC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，60C ∠=︒，∵()20A ，，(B ，()00O ，，1ON =，∴2OA =，OB =2，AB =2=，∴OA OB AB ==，∴OAB 是等边三角形，2OA OB AC BC ====，∴60∠=∠=∠=︒OAB OBA AOB ，∵60MBE ∠=︒，BM BE =，∴BME 是等边三角形，∴60BME ABE ∠∠=︒=，ME BE BM ==，∴180120AME BME ∠∠=︒−=︒，BD EM ∥，∵120DBE ABO ABC ∠∠∠=+=︒，∴DBE AME ∠∠=，∵BD EM ∥，∴18012060FEM BED AEF MEA FEM ∠∠∠∠∠+=︒−︒=︒==+，∴BED MEA ∠∠=，∴BED MEA ≌，∴DE EA =，又60AED ∠=︒，∴AED △是等边三角形，∴60ADE ∠=︒，即ADE ∠的大小不变；②设OD x =，则2BD x =−，∵OAB 是等边三角形，60ADE ∠=︒，∴60DOA FBD ADE ∠∠∠===︒，∵BDA BDF ADE DOA OAD ∠∠∠∠∠=+=+，∴BDF OAD ∠∠=，∴BDF OAD ∽，∴BD BF OA OD =即22x BF x −=， ∴()211122BF x =−−+，∴当1x =时，BF 有最大值为12．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质以及等边三角形的判定及性质，题目综合性较强，熟练掌握各知识点是解题的关键．1．（2024·四川南充·一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于0()1,A -，B 两点，与y 轴交于点C (0,3)−．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是抛物线上位于第四象限内一动点，PD BC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)如图2，点E 是抛物线的顶点，点M 是线段BE 上的动点（点M 不与B 重合），过点M 作MN x ⊥轴于N ，是否存在点M ，使CMN 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)223y x x =−−(2)当32m =时，PD取得最大值为．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12【分析】（1）把点,A C 坐标代入函数的解析式，利用待定系数法求解即可；（2）先求线BC 的解析式，设点p 的横坐标为m ，再用m 的代数式表示PD 的长度建立二次函数求解即可；（3）先求直线BE 的解析式，再分三种情况，根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】（1）由题意得103b c c −+=⎧⎨=−⎩，解得：23b c =−⎧⎨=−⎩．则抛物线的解析式为：223y x x =−−；（2）过点P 作PH x ⊥轴于点H ，交BC 于点G当0y =时，2230x x −−=，解得=1x −或3，∴(3,0)B设直线BC 的解析式为：1y kx b =+，则11303k b b +=⎧⎨=−⎩，解得：113k b =⎧⎨=−⎩∴3y x =−设点()2,23P m m m −−（03m <<），则3G m m −（，）， ∴()()223233PG m m m m m =−−−−=−， ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45BGH ∠=︒∴45PGD BGH ∠=∠=︒，∴PD =．)22332228PD m m m ⎫=−+=−−+⎪⎝⎭ ∴当32m =时，PD取得最大值为8．此时315,24P ⎛⎫− ⎪⎝⎭． （3）在EB 上存在点M ，使CMN 为直角三角形．抛物线顶点(1,4)E −，设直线BE 的解析式为：22y k x b =+，则2222430k b k b +=−⎧⎨+=⎩，解得：2226k b =⎧⎨=−⎩，∴26y x =−．设26M n n −（，）13n ≤<（），①∵90CNM ONC ∠=︒−∠，∴90CNM ∠<︒，不可能为直角；②当90CMN ∠=︒时，则90CMN MNB ∠=∠=︒ ∴//MC x 轴，则263n −=−，∴32n =，∴3,32M ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ③当90MCN ∠=︒时，过点M 作MF y ⊥轴于点F ．∵90MCF NCO ∠+∠=︒，90CNO NCO ∠+∠=︒，∴MCF CNO ∠=∠，又90MFC CON ∠=∠=︒，∴MFC CON ∽， ∴CF MF NO CO =， ∴()3263n nn −−−=，∴2690n n +−=，解得：123,3n n ==−．∵13n ≤<，∴23n =−不合题意，应舍去，∴3n =∴()12M综上所述，CMN 为直角三角形时，点M 的坐标为：3,32⎛⎫− ⎪⎝⎭或()12．【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，构造二次函数求线段的最值，二次函数与直角三角形的存在性问题，相似三角形的判定和性质，难度较大，是中考的压轴题，解题的关键是数形结合，提高综合运用的能力．2．（23-24九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C −．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．求出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标．【答案】(1)211344y x x =+−；(2)PD 的最大值为45，此时点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； (3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =−−，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出2EF ，2QE ，2QF 进而分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C −，代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=−⎩，解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=−⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+−； （2）∵211344y x x =+−与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +−=，解得：124,3x x =−=， ∴()4,0A −， ∵()0,3C −， 设直线AC 的解析式为3y kx =−，∴430k −−=， 解得：34k =−，∴直线AC 的解析式为334y x =−−，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+− ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫−− ⎪⎝⎭， ∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=−−−+−=−− ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =， ∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=， ∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==−−=−−=−++ ⎪⎝⎭， ∴当2t =−时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +−=⨯−+⨯−−=−， ∴52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭； （3）∵抛物线211344y x x =+−211494216x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =， 点52,2P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯−= ⎪⎝⎭， ∴()0,2F ， ∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭， ∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则Q 点的横坐标为92， 设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭， 当QF EF =时，()229117224m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：1m =−或5m =，当QE QF =时，()222295932222m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−++=+− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：74m =， 综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫− ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2024·山西阳泉·一模）综合与探究 如图，二次函数213442y x x =−−的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，连接AC ，作直线BC ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的表达式；(2)如图1，若点P 是第四象限内二次函数图象上的一个动点，其横坐标为m ，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，交直线BC 于点M ，N ，试探究线段MN 长的最大值；(3)如图2，若点Q 是二次函数图象上的一个动点，直线BQ 与y 轴交于点H ，连接CD ，在点Q 运动的过程中，是否存在点H ，使以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()20A −，，()80B ，，()04C −，，直线BC 的表达式为1y x 42=−；(2)线段MN长的最大值为(3)点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【分析】（1）令0y =，求得x 的值，令0x =，求得y 的值，可求得A ，B ，C 三点的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的表达式；（2）设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，证明PNM OBC ∠=∠，利用正切函数的定义推出2PN PM =，求得MN ，得到MN 关于m 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；（3）利用勾股定理求得AC =，5AD OC ==，作DG AC ⊥于点G ，用正切函数的定义推出OCA BCH ∠=∠，分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，分别求得点H 的坐标，求得直线BH 的表达式，与二次函数的表达式联立求解即可．【详解】（1）解：令0y =，则2134042x x −−=，解得12x =−，28x =，令0x =，则4y =−，∴()20A −，，()80B ，，()04C −，，设直线BC 的表达式为4y kx =−，代入()80B ，得084k =−，解得12k =， ∴直线BC 的表达式为1y x 42=−； （2）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，，∴2OA =，8OB =，4OC =， 设213442P m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，，则142M m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，，2211314422424PM m m m m m ⎛⎫=−−−−=−+ ⎪⎝⎭，∵PN OB ∥，PM OC ∥，∴PNM OBC ∠=∠， ∴41tan tan 82OC PNM OBC OB ∠=∠===，∴2PN PM =，MN ，∴)221244MN m m m ⎫=−+=−+⎪⎭∵0<，∴当4m =时，线段MN 长的最大值为 （3）解：∵()20A −，，()80B ，，()04C −，， ∴对称轴为直线2832x −+==， ∴()30D ，，∴()325AD =−−=，5CD ==，AC == ∴5AD DC ==，作DG AC ⊥于点G ，∴12AG CG AC ===∴DG == ∴tan 2DG DCA CG ∠==， ∵tan 2OB BCO OC ∠==，∴DCA BCH ∠=∠，以H ，C ，B 为顶点的三角形与ACD 相似，则分BC BH =和BH CH =两种情况讨论，①当BC BH =时，∵BO CH ⊥，∴OH OC =，∴()04H ，，同理求得直线BH 的表达式为142y x =−+， 联立得241234412x x x −−−+=，解得14x =−，28x =（舍去），()14462y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为()46−，；①当BH CH =时，设()0H t ，，则2264BH t =+，()2224816CH t t t =+=++，∴2264816t t t +=++，解得6t =，∴()06H ，，同理求得直线BH 的表达式为364y x =−+， 联立得261434432x x x −−−+=，解得15x =−，28x =（舍去），()3395644y =−⨯−+=，∴点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 综上，点Q 的坐标为3954⎛⎫− ⎪⎝⎭，或()46−，．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，点的坐标表示三角形的面积，勾股定理，正切函数，解方程，熟练掌握待定系数法，勾股定理，正切函数是解题的关键．题型二 将军饮马河求二次函数中线段和最值问题【例1】（2024·天津津南·一模）综合与探究：如图，抛物线2y x bx c =−++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，MA MC ''+的最小值为 ．【答案】(1)()0,2M −，2722y x x =−++ (2)()2,5P(3)1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【分析】（1）根据点M 在y 轴负半轴且2OM =可得点M 的坐标为()0,2M −，利用待定系数法可得抛物线的解析式为2722y x x =−++；（2）过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，用待定系数法求得直线AC 的解析式为122y x =−+，设点P 的横坐标为()04p p <<，则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，故24(04)PE p p p =−+<<，先求得8ACM S =△，从而得到212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解出p 的值，从而得出点P 的坐标；（3）设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 右平移m 个单位长度得到点M '，由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线AC ''的解析式，从而确定M '的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点．【详解】（1）解：∵点M 在y 轴负半轴且2OM =，∴()0,2M −将()0,2A ，()4,0C 代入2y x bx c =−++，得：21640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得722b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为2722y x x =−++（2）解：过点P 作PF x ⊥轴于点F ，交线段AC 于点E ，设直线AC 的解析式为()0y kx m k =+≠，将()0,2A ，()4,0C 代入y kx m =+，得：240m k m =⎧⎨+=⎩，解得122k m ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴直线AC 的解析式为122y x =−+ 设点P 的横坐标为()04p p << 则27,22P p p p ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，1,22E p p ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， ∴2271224(04)22PE p p p p p p ⎛⎫=−++−−+=−+<< ⎪⎝⎭∵8ACM S =△，∴212882PAC S PE OC p p =⋅=−+=△，解得122p p ==， ∴()2,5P ；（3）1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，补充求解过程如下：设抛物线沿x 轴的负方向平移m 个单位长度得到新抛物线，将点M 向右平移m 个单位长度得到点M '，作出图形如下：由平移的性质可知，,MA M A MC M C ''''==，∴MA MC ''+的值最小就是M A M C ''+最小值， 显然点M '在直线=2y −上运用，作出点C 关于直线=2y −对称的对称点C ''，连接AC ''交直线=2y −于点M '，连接M C '则此时M A M C ''+取得最小值，即为AC ''的长度，∵点C 关于直线=2y −C ''，()4,0C ∴()4,4C ''−，∴()()min min MA MC M A M C AC ''''''+=+== 设直线AC ''的解析式是：11y k x b =+将点()0,2A ，()4,4C ''−代入得：111244b k b =⎧⎨+=−⎩，解得：11322k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩直线AC ''的解析式是：322y x =−+令3222y x =−+=−，解得：83x =， ∴8,23M ⎛⎫'− ⎪⎝⎭，∴平移的距离是83m = 又∵22778122416y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭， ∴平移前的抛物线的坐标是781416,⎛⎫ ⎪⎝⎭∴新抛物线的顶点坐标为7881,4316⎛⎫− ⎪⎝⎭即1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭ 故答案是：1181,1216⎛⎫− ⎪⎝⎭，【例2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，抛物线2y x bx =−＋与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点()4,4B −，点()0,4C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =−＋的表达式；(2)当BP =1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC OD ，，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ PC ，，求CP BQ ＋的最小值．【答案】(1)抛物线的表达式为23y x x =−+ (2)平行四边形，见解析(3)【分析】（1）利用待定系数法将B 点坐标代入抛物线2y x bx =−+中，即可求解．（2）作辅助线，根据题意，求出PD 的长，PD OC =，PD OC ∥，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证．（3）作出图，证明()SAS CBP MOQ ≌，CP BQ +的最小值为MB ，根据勾股定理求出MB 即可解答． 【详解】（1）解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B −，1644b ∴−+=−，3b ∴=，23y x x ∴=−+．即抛物线的表达式为23y x x =−+． （2）解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=︒，连接BC ，4OC BC ==，OB ∴= 2BP =OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴===，当2D x =时，4322D DH y ==−+⨯=，224PD DH PH ∴=+=+=， (0,4)C −，4OC ∴=，PD OC ∴=，OC x ⊥Q 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴∥，∴四边形OCPD 是平行四边形．（3）如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=︒，OM BC =，4OC BC ==，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=︒，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ =，CBP MOQ ∠=∠，BC OM ，(SAS)CBP MOQ ∴△≌△，CP MQ ∴=，CP BQ MQ BQ MB ∴+=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），CP BQ ∴+的最小值为MB ，454590MOB MOQ BOQ ∠=∠+∠=︒+︒=︒，MB ∴即CP BQ +的最小值为答：CP BQ +的最小值为【点睛】本题主要考查待定系数法，二次函数图象与性质，平等四边形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答醒的关键．1．（2024·宁夏银川·一模）如图，已经抛物线经过点()00O ，，()55A ，，且它的对称轴为2x =．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时；求点B 的坐标．(3)在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，求P 的坐标以及PA PB −的最大值．【答案】(1)24.y x x =- (2)()2,8B (3)()2,12,P - PA PB −的最大值为【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx = 解得：1,k = 可得直线OA 为：,y x = 则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=⨯⨯−列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【详解】（1）解： 抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a +=⎧⎪∴⎨−=⎪⎩ 解得：1,4a b =⎧⎨=−⎩∴抛物线为：24.y x x =-（2）解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y > 记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \= 解得：1,k =∴ 直线OA 为：,y x =()2,2,Q ∴ ()12OAB BOQ ABQ A O SS S BQ x x ∴=+=⨯⨯− 12515,2y =−⨯=解得：8y =或4,y =−∵0,y > 则8,y =()2,8.B ∴（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB −=最大，()()5,5,2,8,A BAB ∴=设AB 为：,y k x b ''=+ 代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b '''+=⎧∴⎨+=⎩' ，解得：1,10k b =−⎧⎨='⎩'∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x =−+⎧∴⎨=−⎩ 解得：52,,512x x y y ==−⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴−【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB −最大时P 的位置是解本题的关键．2．（2024·湖南怀化·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，5OB OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．图1 图2 图3(1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标；(2)如图2，点Q 为抛物线对称轴上一动点，当Q 在什么位置时QA QC +最小，求出Q 点的坐标，并求出此时QAC △的周长；(3)如图3，在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)245y x x =−++，对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，；(2)QAC △(3)直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【分析】（1）求得点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，利用待定系数法求解，再配成顶点式，即可得解；（2）先求得直线BC 的解析式，再求直线BC 与对称轴交点Q ，将AQ CQ +转化为BC ，在Rt AOC 中求AC ，在Rt BOC 中求BC 即可求解；（3）如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，证明MDH DNG ∽△△，求得()250mn m n −++=，再利用待定系数法求得直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵5OB OC ==，∴点B 的坐标为()50，，点C 的坐标为()05，，∴25505b c c −++=⎧⎨=⎩，解得4b =，∴抛物线的解析式为245y x x =−++， ∵()224529y x x x =−++=−−+，∴对称轴为直线2x =，顶点D 的坐标为()29，； （2）解：∵点A 与点()50B ，关于直线2x =对称，∴直线BC 与对称轴的交点为Q ，则Q 为QA QC +最小时位置，设直线BC 的解析式为5y kx =+，代入点()50B ，得055k =+，解得1k =−，∴直线BC 的解析式为5y x =−+，当2x =，253y =−+=，∴()23Q ，，∵点()10A −，，∵ACAQ CQ CB +===∴QAC △（3）解：如图，过点D 作直线l 垂直y 轴，再过点M ，N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为H ，G ，设点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，∵顶点D 的坐标为()29，， ∴()()222945442MH m m m m m =−−++=−+=−，2DH m =−，()()222945442GN n n n n n =−−++=−+=−，2DG n =−，由题意得90H G MDN ∠=∠=∠=︒，∴90MDH NDG DNG ∠=︒−∠=∠， ∴MDH DNG ∽△△， ∴MH HD DG NG =，即()()222222m mn n −−=−−，∴()()221m n −−=−， ∴()250mn m n −++=，∵点M 的坐标为()245m m m −++，，点N 的坐标为()245n n n −++，，设直线MN 的解析式为11y k x b =+，∴2112114545mk b m m nk b n n ⎧+=−++⎨+=−++⎩①②，−①②得()()()2214m n k m n m n −=−−+−， ∵m n ≠，∴14k m n =−−+，将14k m n =−−+代入①得()21445m m n b m m −−++=−++，求得15b mn =+；∴直线MN 的解析式为()45y m n x mn =−−+++， ∵()250mn m n −++=，即()25m n mn +=+， ∴()()428y m n x =−−+−+， ∴当20x −=即2x =时，8y =，∴无论m n 、为何值，直线MN 总会经过定点()28，， ∴直线MN 恒过定点，定点坐标为()28，．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．3．（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线2Ly ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =．(1)求直线AB 的解析式及抛物线的解析式；(2)如图①，点P 为第一象限抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求当点P 的横坐标为多少时，PD AD +最大；(3)如图②，将抛物线2Ly ax bx c =++∶向左平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M 、N 两点，若点B 是线段MN 的中点，求抛物线'L 的解析式．【答案】(1)3y x =−+，223y x x =−++；(2)点P 的横坐标为时，PD AD +有最大值； (3)2154y x x =−−+．【分析】（1）利用待定系数法解答即可求解；（2）设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+，先证明ACD 为等腰直角三角形，得到)AD t =−，进而得到2PD AD t ⎛+=−+ ⎝⎭，根据二次函数的性质即可求解；（3）设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得23()4x x m −+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，由B 为MN 的中点可得210m +=，求出m 即可求解；本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线2L y ax bx c =++∶与x 正半轴交于点(3,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ，对称轴为直线1x =，930312a b c c b a ⎧⎪++=⎪∴=⎨⎪⎪−=⎩，解得123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线L 的解析式为223y x x =−++；设直线AB 的解析式为3(0)y kx k =+≠，把(3,0)A 代入得，330k +=，解得1k =−，∴直线AB 的解析式为3y x =−+；（2）解：设点P 的横坐标为t ，则()2,23P t t t −++，(,0)C t ，(,3)D t t −+， 3AC t ∴=−，23PD t t =−+，(3,0)A ，(0,3)B −，3OA OB ∴==，AOB ∴为等腰直角三角形，45OAB ∴∠=︒，PC x ⊥轴， ACD ∴为等腰直角三角形，)AD t ∴==−，∴223PD AD t t t ⎛+=−++=− ⎝⎭，∴当t =时，PD AD +有最大值，即点P的横坐标为32时，PD AD +有最大值；（3）解：由（1）可知，直线AB 的解析式为3y x =−+，抛物线L 为：2223(1)4y x x x =−++=−−+，∴设平移后抛物线L '的解析式2()4y x m =−−+，联立函数解析式得，()234y x y x m =−+⎧⎪⎨=−−+⎪⎩，23()4x x m ∴−+=−−+，整理得，22(21)10x m x m −++−=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1x ，2x 是方程22(21)10x m x m −++−=的两根，1221x x m ∴+=+，∵B 为MN 的中点，∴120x x +=，∴210m +=， 解得12m =−，∴抛物线L '的解析式22115424y x x x ⎛⎫=−++=−−+ ⎪⎝⎭．题型三 胡不归求二次函数中线段和最值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·三模）已知抛物线2(,,y ax bx c a b c =++为常数，0)a ≠与x 轴交于点()A −、点B 两点，与y 轴交于点()0,2C，对称轴为x =(1)求抛物线的表达式；(2)M 是抛物线上的点且在第二象限，过M 作MN AC ⊥于点N，求AN 的最大值．【答案】(1)22y x =−+(2)496【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，先求出一次函数AC 的解析式，用解直角三角形的方法求出30OAC ∠=︒，表示出MN =，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，分别表示出EF ME AE MN ，，，，最后得到249=26AN m ⎛−+ ⎝⎭，求出最后结果即可．【详解】（1）解：点()A −，对称轴为x =(2a c ∴−−+=，2c =，2b a −=解得：1a =−，b = ∴抛物线的表达式为：22y x =−+；（2）如图，过点M 作MF y ∥轴，交AC 于点E ，设AC 的解析式为y kx b =+，02b b ⎧−+=⎪∴⎨=⎪⎩，2k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴AC的解析式为2y =+，2AO =2CO =，tan CO OAC AO ∴∠==，30OAC ∴∠=︒，90AFE MNE ∠=︒=∠，AEF MEN ∠=∠， 30M OAC ∴∠=∠=︒，2AE EF ∴=，12EN ME =，sin MN ME ACO ∴=⋅∠=，设2,2M m m ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，2E m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2EF ∴=+，2222ME m m ∴=−+−=−−，24AE EF ∴==+，21122EN ME m ==−，23MN m==−，AN ∴，AE EN=+2213422m m =+−−−224m =−+24926m ⎛=−++ ⎝⎭，20−<，∴当m =时，AN 的最大值为496．【例2】（2024·浙江·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ，连接AB 、AQ 、BQ ，BQ 与y 轴交于点N ．(1)求抛物线表达式；(2)点713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，，点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，且四边形ANEM 是平行四边形．①求点E 的坐标；②设射线AM 与BN 相交于点P ，交BE 于点H ，将BPH 绕点B 旋转一周，旋转后的三角形记为11BPH △，求11BP 的最小值． 【答案】(1)214433y x x =−−+(2)①()2,2E −−；②【分析】（1）将点B 、C 的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式；（2）①由Q 坐标求出BQ 解析式，然后根据四边形ANEM 是平行四边形和BME AOM ≌得出4BM OA ==，再分类讨论求得M 和E 的坐标；②求出AM 解析式，交点为P ，再求出H 坐标，然后由两点间距离公式求出BP 和BH 长度，因为旋转不改变长度，所以1BP长度不变，当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，所以此时1OH 等于BO BH −，然后代入计算即可．【详解】（1）解：①抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，交x 轴于点()6,0B −和点()2,0C ， ∴366404240a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：1343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩ ∴214433y x x =−−+；（2）解：214433y x x =−−+4∴=OA ，设直线BQ 的解析式为1y kx b =+， ()6,0B −，713Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴117360k b k b ⎧+=⎪⎨⎪−+=⎩，解得1132k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BQ 的解析式为123=+y x ，N Q 为BQ 与y 轴交点， ()0,2N ∴，2AN ∴=，四边形ANEM 是平行四边形，∴AN EM ∥且2EM AN ==，且点E 在点M 下方， 点M 在x 轴上，点E 在平面内，BME AOM ≌，4BM OA ∴==， ()6,0B −， ()2,0M ∴−或()10,0−，若M 为()2,0−，90BME AOM ∠=∠=︒，故()2,2E −−， 若M 为()10,0−，2OM ME ==，此时10OM =，(矛盾，舍去)，综上，点E 的坐标为()2,2−−；②如图，设AM 的解析式为,y kx b =+抛物线24y ax bx =++交y 轴于点A ，∴点A 的坐标为(0，4)，将点()0,4A 、()2,0M −的坐标代入y kx b =+得：420b k b =⎧⎨−+=⎩，解得24k b =⎧⎨=⎩，AM ∴的解析式为24y x =+，AM 与BQ 相交于点P ，∴24123y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得6585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以点P 的坐标为68,55⎛⎫− ⎪⎝⎭，设直线BE 的解析式为y mx n =+，将点B 、E 的坐标代入直线BE 的解析式得：2260m n m n −+=−⎧⎨−+=⎩，解得123m n ⎧=−⎪⎨⎪=−⎩， 所以直线BE 的解析式为132y x =−−，BE 与AM 相交于点H ，∴24132y x y x =+⎧⎪⎨=−−⎪⎩，解得14585x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴点H 的坐标为148,55⎛⎫−− ⎪⎝⎭，BP ∴==BH ==1BP ∴当H 旋转到x 轴上时，此时1OH 最短，∴16OH BO BH =−=116BP ∴==⎭∴11BP的最小值为1．（2024·河南洛阳·一模）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =−++交x 轴于()4,0A 、B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线表达式中的b 、c ；(2)点P 是直数AC 上方抛物线上的一动点，过点F 作PF y 轴交AC 于点E ，作PE AC ∥交x 轴于点F ，求PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)将该抛物线沿射线CA方向平移1y ，请直接写出新抛物线1y 的表达式______．【答案】(1)1b =，4c =(2)PE 取得最大值为254，此时335,28P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(3)()2115322y x =−−+【分析】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求函数解析式： （1）利用待定系数法即可求解；（2）延长PE 交x 轴于H ，根据题意求得直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ，证得PHF是等腰直角三角形，从而求得232524PE PE PH p ⎛⎫=+=−−+⎪⎝⎭，即可求解； （3）先求得CA =，根据1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到，进而可求解；掌握待定系数法求函数解析式及利用数学结合是解题的关键．【详解】（1）解：抛物线212y x bx c =−++交于()4,0A 和()0,4C ，8404b c c −++=⎧∴⎨=⎩，解得：14b c =⎧⎨=⎩． （2）延长PE 交x 轴于H()4,0A ，()0,4C ，∴直线AC 的解析式为4y x =−+，OC OA =， PE y ∥Q 轴，PE x ∴⊥轴， 90AOC ∴∠=︒，45OAC ∴∠=︒，PFAC ，45OFP ∴∠=︒，2PH PF ∴=，PE PE PH ∴+=+，设点()21,4042P p p p p ⎛⎫−++<< ⎪⎝⎭，则(),4E p p −+，(),0H p ， ()221144222PE p p p p p ∴=−++−−+=−+，2142PH p p =−++，222211325243422224PE PF PE PH p p p p p p p ⎛⎫∴+=+=−+−++=−++=−−+⎪⎝⎭，PE ∴+的最大值为254，此时点P 的坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）()4,0A ，()0,4C ，CA ∴=将抛物线y 沿射线CA 方向平移1y ，∴1y 由抛物线()2211941222y x x x =−++=−−+，向右和向下分别平移2个单位长度得到， ()2115322y x ∴=−−+，故答案为：()2115322y x =−−+．2．（2024·海南海口·一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P 为抛物线的顶点时，求证：PBC 直角三角形； ②求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；③过点P 作PN x ⊥轴，垂足为N ，PN 与BC 交于点E．当PE 的值最大时，求点P 的坐标．【答案】(1)223y x x =−++(2)①PBC 是直角三角形；②315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；③57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）把A 、B 、C 三点坐标代入2y ax bx c =++求解即可； （2）①作PH y ⊥轴于点H ，易证PCH △和BOC 是等腰直角三角形，即可求出90PCB ∠=︒； ②先求出直线BC 的解析式，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，23922PBC S x x ∆=−+，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，设点()2,23P x x x −++，则(),3E x x −+，故23PE x x =−+，判断BEN是等腰直角三角形得出BE =，即可求出25PE x x =−+，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点()1,0A −，()3,0B ，()0,3C 代入解析式得：09303a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，∵抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）解：①配方得()222314y x x x =−++−−+∴点P 的坐标为()1,4，作PH y ⊥轴于点H ，则1PH CH ==，∴45HCP ∠=︒又∵在Rt BOC 中，3OB OC ==， ∴45OCB ∠=︒， ∴90PCB ∠=︒∴PCB 是直角三角形②设直线BC 的解析式为y kx b =+，将点B 、C 代入得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为3y x =−+， ∵()3,0B ，∴3OB =， 设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x=−++−−+=−+，∴()22211393327332222228PBCSPE OB x x x x x ⎛⎫=⨯⨯=⨯−+⨯=−+=−−+ ⎪⎝⎭，当32x =时，PBC 的最大面积为278，2915233344x x −++=−++=，∴315,24P ⎛⎫⎪⎝⎭③设点()2,23P x x x −++（03x <<），过点P 作PN x ⊥轴于点N ，交BC 于点E ，如图所示：∴(),3E x x −+，∴()222333PE x x x x x =−++−−+=−+， ∵()0,3C ，()3,0B ，∴3OC OB ==，3BN x =−，∴45OBC OCB ∠=∠=︒，∴45NEB OBC ∠=∠=︒，∴BE ==，∴()CE BC BE =−==，∴22525524PE x x x ⎛⎫=−+=−−+ ⎪⎝⎭， ∴当52x =时，PE 有最大值，此时57,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·山东济南·一模）抛物线()21122y x a x a =−+−+与x 轴交于(),0A b ，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,C c ，点P 是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．(1)求a ，b ，c 的值；(2)如图1，连接BC 、AP ，交点为M ，连接PB ，若14PMB AMB S S =V V ，求点P 的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点E ，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE '，旋转角为9(0)0αα︒<<︒，连接E B '，E C '，求34E B E C ''+的最小值． 【答案】(1)2a =，2b =−，4c = (2)53,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，求得BC l 的解析式，设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+，利用相似三角形的判定与性质可得答案； （3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，由相似三角形的判定与性质可得34FE CE ''=，可得34E B E C BE E F '''+'+=，即可解答．【详解】（1）解：将()4,0B 代入()21122y x a x a =−+−+，得()84120a a −+−+=，2a ∴=，∴抛物线的解析式为2142y x x =−++，令0x =，则4y =，4c ∴=，令0y =，则21042x x =−++，14x ∴=，22x =−，()2,0A ∴−，即2b =−； ∴2a =，2b =−，4c =（2）过点P 作PD x ⊥轴，交BC 于点D ，过点A 作y 轴的平行线交BC 的延长线于H ，设BC l ：y kx b =+，将()0,4，()4,0代入得440b k b =⎧⎨+=⎩解得：4b =，1k =−，BC l ∴：4y x =−+， 设21,42P m m m ⎛⎫−++ ⎪⎝⎭，则(),4D m m −+， ()221144222P D PD y y m m m m m =−=−++−−+=−+，PD HA ∥，AMH PMD ∴∽，PM PD MA HA ∴=，将2x =−代入4y x =−+，6HA ∴=，112142PMB AMBPM h S PM S AM AM h ⋅===⋅， 164PD PD HA ∴==，32PD ∴=， 231222m m ∴=−+，11(m ∴=舍)，23m =，53,2P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）在y 轴上取一点F ，使得94OF =，连接BF ，根据旋转得性质得出：3OE OE '==，∵9494OF OC ⋅=⨯=， 2OE OFOC '∴=⋅，∴OE OC OF OE '='，COE FOE ''∠=∠，∴FOE E OC ''∽，。
九年级数学上册第22章《实际问题与二次函数(2)》名师教案(人教版)
22.3 实际问题与二次函数（2）——二次函数与几何最值问题一、教学目标（一）学习目标1. 能根据具体几何问题中的数量关系，列出二次函数关系式2.会利用二次函数求几何图形中的周长、面积等的最值3.体会利用二次函数求面积其中所蕴含的数学思想和方法（二）学习重点应用二次函数解决几何图形中有关的最值问题（三）学习难点函数特征与几何特征的相互转化以及讨论最值在何处取得二、教学设计（一）课前设计预习任务1.22(3)2y x =--+；对称轴3x =、顶点坐标()3,2、当3x =时，y 取最大值为22.21322y x x =--；对称轴1x =、顶点坐标()1,2-、当1x =时，y 取最小值为-2 3.(1)(3)y x x =-+对称轴1x =-、顶点坐标()1,4--、当1x =-时，y 取最小值为4- 预习自测1. 已知二次函数的解析式为22813y x x =++(1)当33x -≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________；(2)当03x ≤≤，该函数的最大和最小值分别是_________和_____________.【知识点】求二次函数的区间最值【数学思想】数形结合【思路点拨】先化成顶点式或是利用顶点坐标公式求出顶点，再看对称轴和区间的位置关系，进而求解．【解题过程】解：把原式化为顶点式为2228132(2)5y x x x =++=++，可知此函数的顶点坐标是(2,5)-，对称轴为2x =-(1) 当33x -≤≤时可知，max 355x y ==时，2x =-时min 5y =；(2)当03x ≤≤，对称轴2x =-时在所给的区间左侧，此时y 随x 的增大而增大，因此可知max 355x y ==时，min 013x y ==时【答案】（1）55,5；（2）55,13.【设计意图】通过做练习复习区间最值的求解以及应该注意的问题，实际问题中有时会涉及到区间最值，学生很容易出问题．设计此题就是为了提醒学生注意求解函数问题不能离开定义域这个条件才有意义，因为任何实际问题的定义域都受现实条件的制约，为学习新课做好知识铺垫．2.在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么满足的方程是（ ）.A ．x 2+130x-1400=0B ．x 2-130x-1400=0C ．x 2+65x-250=0D ．x 2-65x-250=0【知识点】矩形性质，矩形面积【数学思想】数形结合【思路点拨】挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ，根据整个挂图的面积是5000cm 2，即长×宽=5000，列方程进行化简即可．【解题过程】解：挂图长为（80+2x ）cm ，宽为（50+2x ）cm ；所以（80+2x ）（50+2x ）=5000，即4x2+160x+4000+100x=5000，所以4x2+260x-1000=0．即x2+65x-250=0． 故选C.【答案】C ．【设计意图】根据矩形的面积公式本题易得解.3．用长16 m 的绳子围成如图所示的矩形框，使矩形框的面积最大，那么这个矩形框的最大面积是_______ 2m ．【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】设竖边为x ，用x 表示横边，再表示面积，再求最值【解题过程】设竖边为x,则横边为1623x - 21622(4)32333x x s x --==-+ 当4x =时，y 取最大值为323【答案】323 【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．4．如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB ＝1，分别以AC 和CB 为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是( )A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当C 是AB 的三等分点时，S 最大【知识点】正方形性质，求面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】把其中的一个主要变量设为x ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型【解题过程】设AC=x 则BC= 1x -22211(1)2()22s x x x =-+=-+ 当12x =时，取最小值为12∴当C 是AB 的中点时，S 最小【答案】A【设计意图】把其中的一个主要变量设为x ，另一个设为y ，其它变量用含x 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．（二）课堂设计1.知识回顾（1）对于任意一个二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠，可以利用配方把它化为顶点式2()y a x h k =-+，进而写出顶点坐标（h,k ）和对称轴x=h（2）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点，即令y=0即可；其与x 轴交点即为12(,0)(,0)x x ；求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴的交点，即令x=0即可；其与y 轴交点即为(0,)c（3）将二次函数的一般式2(0)y ax bx c a =++≠转化成顶点式2()y a x h k =-+来求二次函数最值，当x h =时，y 取最值为k2.问题探究探究一 最大面积（★）●活动1 创设情境，发现问题[做一做]：请你画一个周长为24厘米的矩形，算算它的面积是多少？再和同学比比，发现了什么？谁的面积最大？做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大． 学生通过画周长一定的矩形，会发现矩形长、宽、面积不确定，从而回想起常量与变量的概念，最值又与二次函数有关，进而自己联想到用二次函数知识去解决．【设计意图】做一做中，让每一个同学动手画周长固定的矩形，然后比较谁的矩形面积最大，目的一是为激发学生的学习兴趣，二是为了引出想一想．周长固定、要画一个面积最大的矩形，这个问题本身对学生来说具有很大的趣味性和挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习．●活动2 师生共研，探索解法例1. 李老师计划用长为24米的篱笆，围成长方形花圃，他想请同学们帮他思考一下如何围才能使围成的花圃面积最大，最大值是多少？让学生讨论，得出解法．点拨：先用未知数表示面积问题中的各个量，再利用矩形面积公式列出表达式，然后根据表达式，利用二次函数求最值．生答：设矩形宽为x厘米，则长为2422x-=（12-x）厘米．12S x x=-（），当x=6时，S取最大值为36.【设计意图】把前面矩形的周长24厘米改为24米，变成一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为x，另一个设为y，其它变量用含x的代数式表示，找等量关系，建立函数模型，实际问题还要考虑定义域，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础．解决完想一想之后及时让学生总结方法，为后面阶段打下思想方法基础．练习1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l为多少米时，场地的面积S最大？【知识点】矩形性质，矩形周长，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．【解题过程】设矩形一边长l，则长为602302ll-=-（）厘米．()30S l l=-，当15l=时，S取最大值为225【答案】当15l =时，S 取最大值为225【设计意图】一个实际问题，目的在于让学生体会其应用价值——数学来源于生活也服务于生活．学生在前面探究问题时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，在选取变量时学生可能会有困难，这时教师要引导学生关注哪两个变量，就把其中的一个主要变量设为l ，其它变量用含l 的代数式表示，找等量关系，建立函数模型●活动3 变式应用例2.（例1变式） 后来李老师惊喜的发现有一面长度为8米的墙可以靠，则他怎样围可以使花圃的面积最大？最大面积是多少？学生根据例1的解法，独立求解【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式是本题关键．考虑实际问题中靠墙所造成的易错点．最值不是由顶点处取到，学会区间求最值．【解题过程】生答：（1）设矩形长为x 厘米，则宽为242x -厘米．（8x ≤） 241(24)22x S x x x -=⋅=-=()2112722x --+； ∵a=12-＜0，开口向下， ∵8x ≤，当8x =时，S 取最大值为64【答案】面积S 取最大值为64【设计意图】此时有了上一问的方法和技巧，很多学生能够类比的方法建立模型，设出未知数，列出函数关系式．但问题是此时自变量x 有取值范围的限制，不能“任性”的取值．从而让学生在不断的探究和合作中感悟，对于实际问题一定需要考虑其自变量x 的取值范围才可以求最值．练习2.如图，用一段长为60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32 m ，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个量，列出面积的关系式时考虑实际问题中靠墙所造成的易错点（这道题靠墙依然可以在顶点处取到最值）．【解题过程】与墙垂直的一边为x 米，则(602)S x x =-∵0≤60-2x≤32. ∴ 14≤x≤30当15x =时，S 取最大值为450【答案】当15x =时，S 取最大值为450【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．小结：在实际问题中求解二次函数的最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围来确定．通过问题2与问题3的对比，希望学生能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值．探究二 利用二次函数求几何最值的训练●活动① 基础性例题例1. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m ）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD ，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为 40 m 的栅栏围住 （如下图）．设绿化带的 BC 边长为 x m ，绿化带的面积为2m y ．(1)求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.(2)当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？【知识点】一侧靠墙的矩形，周长确定求其面积最大【数学思想】数形结合【思路点拨】利用题目给出的已知条件列出满足题意的式子，进而转化为二次函数求最值． 【解题过程】解：（1） 24012022x y x x x -==-+g ， 自变量x 的取值范围是0＜x ≤25；（2） ()22112020+20022y x x x =-+=-- ∵20＜25，∴当x=20时，y 有最大值200，即当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【答案】（1）21202y x x =-+，其中025x ≤≤； （2）当x=20时，满足条件的绿化带面积最大【设计意图】这一阶段，我让学生分组讨论，每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．练习.某窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长为15 m (图中所有线条长度之和)，当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？此时，窗户的面积是多少？(结果精确到0.01 m)【知识点】周长确定的矩形面积最大问题【数学思想】数形结合【思路点拨】中间线段用x 的代数式来表示，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x 的取值范围内．【解题过程】由题意可知1426152y x x π+⨯+=，化简得1564x x y π--=，设窗户的面积为S m 2， 则2211561523242x x S x x x x ππ--=+=-+g ， ∵30a =-<，∴S 有最大值．∴当x ＝1.25 m 时，S 最大值≈4.69(m 2)，即当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【答案】当x ＝1.25 m 时，窗户通过的光线最多．此时，窗户的面积是4.69 m 2.【设计意图】这一阶段，让学生自己通过自己的思考，动手来进行操作解决问题．每一小组指定一名发言人说明小组的思路和解题的过程．这一过程既 加强了学生之间合作和探究的能力，形成你追我赶的良好氛围，同时也锻炼学生口头表达能力和板书的能力．小组中每个孩子的数学思维和数学能力都得到了锻炼，使不同层次的学生都能体会到成功的喜悦．●活动② 提升型例题分组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．例2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2 cm ，BC ＝4 cm ，P 是BC 上的一动点，动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP ＝PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP ＝x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y 2cm ，试分别写出02x ≤≤和24x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．【知识点】正方形性质，矩形性质，求二次函数最值【数学思想】数形结合，分类讨论【思路点拨】根据题目题意画出相关的图形，充分利用几何关系来求解同时写出自变量x 的取值范围内．【解题过程】如图，阴影部分的重叠部分的面积为y当02x ≤≤时，如下面的左边的图形所示， PQ BP x ==，此时22y PQ x ==，其中02x ≤≤；当24x ≤≤时，如下面的右边的图形所示， PQ BP x ==，此时4PC BC BP x =-=-，其中24x ≤≤；2(4)28y PC CD PC AB x x =⨯=⨯=-=-+，其中24x ≤≤综上所述：2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【答案】2,0228,24x x y x x ⎧≤≤=⎨-+≤≤⎩【设计意图】让学生自己通过自己的思考，结合题意画出符合题意的图形，根据图形来求解，让学生感受分类讨论的数学思想．练习.如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E ，过E 点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE ，DE ，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E 应选在何处？为什么？【知识点】矩形性质，矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据图形之间的关系，表示出两个正方形的边长，进而表示出两个正方形的面积之和，转化为二次函数求最值．【解题过程】令,,DE x AD a AE a x ===-， 所以面积之和222222()222()22a a S x a x x ax a x =+-=-+=-+， 所以当2a x =时，面积最小，即E 应选在AD 的中点. 【答案】E 应选在AD 的中点. 【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验． 例3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的总面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？【知识点】梯形面积，正比例函数，解一元二次方程，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】想象把所有的阴影部分拼在一起就是一个小梯形．解答抛物线形实际问题的一般思路：1.把实际问题中的已知条件转化为数学问题；2.建立适当的平面直角坐标系，把已知条件转化为坐标系中点的坐标；3.求抛物线的解析式.【解题过程】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）依题意：2112801502(120180)8028x x x ⨯+-=⨯+⨯⨯ 整理得：21557500x x -+=解得125,150(x x ==舍去）故甬道的宽为5米；（3）设建设花坛的总费用为y 万元． 则210.02(120180)80(2310) 5.72y x x x ⎡⎤=⨯⨯+⨯--++⎢⎥⎣⎦20.040.5240x x =-+当 6.252b x a=-=时，y 的值最小． ∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元． 【答案】（1）横向甬道的面积为：21(120180)150()2x x cm ⨯+= （2）故甬道的宽为5米；（3）当x=6米时，总费用最少．即最少费用为 238.44万元．【设计意图】新课程下的数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上，充分让学生参与教学，在合作交流的过程中，获得良好的情感体验 练习．如图，某水渠的横断面是等腰梯形，底角为120°，两腰与下底的和为4 m ，当水渠深x 为_______时，横断面面积最大，最大面积是__________．【知识点】梯形面积，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】根据题目中给定的角度，求出两腰和下底之间的关系式，进而列式转化为二次函数求解．【解题过程】底角为120°,则高和腰之间的夹角为30°,水渠深度 为x ,则得到：33AE x =,腰长33AB CD x == 两腰与下底的和为4得到：下底为434BC x =-所以上底为234AD x =设横断面的面积为S,则21()342S AD BC BE x x =+=-+ ∵2330x -<=，对称轴为 ∴当23x =时，横断面面积最大为43 【答案】当233x =时，横断面面积最大为433 【设计意图】加强学生运用新知的意识，培养学生解决实际问题的能力和学习数学的兴趣●活动③ 探究型例题例4. 在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/秒的速度移动，同时，点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/秒的速度移动．如果P 、Q 两点在分别到达B 、C 两点后就停止移动，回答下列问题：(1)运动开始后第几秒时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？(2)设运动开始后第t 秒时，五边形APQCD 的面积为S 平方厘米，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；(3) t 为何值时S 最小？求出S 的最小值.【知识点】矩形性质，三角形、五边形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【思路点拨】能用未知数表示清楚面积问题中的各个边长，列出面积的关系式，再依次解决三个问题．【解题过程】（1）设x 秒后△PBQ 的面积等于8，则AP=x ，QB=2x ∴PB=6﹣x ．∴12×（6﹣x ）2x=8， 解得1x =2，2x =4，所以2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）第t 秒钟时，AP=t cm ，故PB=()6t -cm ，BQ=2t cm ， 故212(6)=62PBQ S t t t ∆=⋅--+ ∵61272ABCD S =⨯=矩形∴()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）∵()22672=363S t t t =-+-+，∴当3t =秒时，S 取最小值为63.【答案】（1）2秒或4秒后△PBQ 的面积等于8；（2）()27267206.PBQ S S t t t ∆=-=-+＜＜（3）当3t =时，S 取最小值为63【设计意图】此题设计了一个动点最值问题，有前面的方法和思路加上前面基础题作铺垫，大部分学生可以完成．练习. 曾经有这样一道题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？（该题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m ²） 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？（2）与该例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【知识点】矩形性质，二次函数求最值【数学思想】数形结合【思路点拨】由题意列出式子，转化为二次函数求最值【解题过程】（1）由已知可以得到：161115224AD ----== 此时窗户的透光面积55144S =⨯=； （2）设AB=x ，则734AD x =- ∵7304x -> ∴1207x << 设窗户的面积为S,由已知可以得到2277769(3)3()44477S AB AD x x x x x ==-=-+=--+g 当67x =时，max 9 1.057S => 与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【答案】（1）窗户的透光面积55144S =⨯= （2）与前面的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值变大【设计意图】学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到数学来源于生活，同时也服务于生活体验到数学与现实生活的紧密联系，同时加强学生自己的过手能力和计算能力，以课本上的例题为引子，在原来的基础上进行拓展，让学生吃透课本.3. 课堂总结知识梳理1.二次函数的三种形式：一般式2(0)y ax bx c a =++≠；顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠以及交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠.2.二次函数的三种形式之间的相互转化：一般式2(0)y ax bx c a =++≠可以利用配方化为顶点式2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠，进而可以得到顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，对称轴2b x a=-．交点式可以先化为一般式再配方转化为顶点式，有时也可以利用交点式快速的求对称轴122x x x +=. 3.利用二次函数求矩形周长一定的情况下，矩形面积的最大值，在求解的过程中需要标注自变量x 的取值范围，求解的过程中注意是顶点最值还是区间最值，这里往往难度较大.重难点归纳1. 利用二次函数的一般式求最值，有两种思路，第一可以先通过配方2224()(0)24b ac b y ax bx c a x a a a -=++=++≠ 把一般式化为顶点式，再利用顶点式求函数的最值；第二可以直接利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--来求解. 利用交点式求二次函数的最值，一般是快速的利用对称轴的方程122x x x +=来求对称轴，进而求解. 2.实际问题中已知矩形的周长来求解面积最大，此时需要结合题意求解相关的边长，列出方程或是等式转化为二次函数的形式，但需要注意实际问题中往往需要注明自变量x 的取值范围.3. 强化利用二次函数求面积时，应该用一个变量来表示另一个变量，进而表示出面积，写出自变量的取值范围，再结合二次函数求最值的方法来求解，在求解的过程中应该注意是顶点最值还是区间最值，最后还需检验解的合理性．4.数形结合思想特别重要，在思考的过程中需要结合题意画出满足条件的图形，尤其是动态问题中画出图形是解题的关键.（三）课后作业基础型 自主突破1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是( )A ．60 m 2B ．63 m 2C ．64 m 2D ．66 m 2【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设AB=x ，则BC=16-x ，其中016x <<．所以矩形ABCD 的面积为 2(16)16S AB BC x x x x ==-=-+g10,8x -<=Q 对称轴且016x <<8x ∴=当时，矩形ABCD 的面积最大，2max 64m S =．【思路点拨】通过设未知数，先把矩形ABCD 的面积表示出来，是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴8x =，又知道自变量016x <<，因此当取对称轴8x =时，面积最大．【答案】C2．用一根长为40 cm 的绳子围成一个面积为a 2cm 的矩形，那么a 的值不可能为( )A ．20B ．40C ．100D ．120【知识点】矩形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设矩形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以围成矩形的面积为2(20)20S x x x x =-=-+ 10,10x -<=Q 对称轴且020x <<10x ∴=当时，矩形的面积最大，2max 100cm S =，因此0100S <≤,故a 不可能取120．【思路点拨】矩形的周长为40，可以设出其中一边，可表示出另外一边，需要注意此时自变量的取值范围，再表示出矩形的面积，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式求出对称轴10x =，又知道自变量020x <<，因此可以算出面积的取值范围．【答案】D3．已知一个直角三角形两直角边长之和为20，则这个直角三角形的最大面积为( )A ．25B ．50C ．100D ．不确定【知识点】三角形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设这个直角三角形的一边为x ，则另外一边为20x -，其中020x <<．所以面积为211(20)1022S x x x x =-=-+ 10,102x -<=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最大，max 50S=，因此max 50S =． 【思路点拨】已知直角三角形的两边之和是20，设其中一边为x ， 表示出该直角三角形的面积211(20)1022S x x x x =-=-+，此时面积是一个开口向下的二次函数，然后利用顶点坐标公式24(,)24b ac b a a--求出对称轴10x =，其中020x <<，因此可以算出面积的最大值【答案】B4．将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是____2cm .【知识点】正方形面积，求二次函数最值【数学思想】数形结合【解题过程】设其中一个正方形的周长为xcm ，其边长为4x ，则另外一个正方形的周长为（20x -）cm ，其边长为204x -其中020x <<．所以这两个正方形的面积之和为 2222015()()254482x x S x x -=+=-+ 10,108x >=Q 对称轴且020x << 10x ∴=当时，三角形的面积最小，2min 25cm 2S=， 因此2min 25cm 2S =． 【思路点拨】两个正方形的周长之和为20，,设其中一个正方形的边长为x ， 表示出另一个的周长，进而表示出两个正方形的面积之和。
(人教版)九年级上册数学第22章《二次函数》解答题
（人教版）九年级上册数学第22章《二次函数》解答题专题复习（含答案）一．解答题（共23小题）1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是抛物线上的一个动点．（1）求直线BD的解析式；（2）当点P在第一象限时，求四边形BOCP面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）在点P的运动过程中，是否存在点P，使△BDP是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积．3．在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，利润不低于10%，且不超过40%，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为多少元？（3）售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大日利润是多少元？4．今年在全球大疫情的影响下，人们更加关注身边的空气质量．某电商代理销售A、B两种型号的智能空气净化器，已知每台A型智能空气净化器比每台B型智能空气净化器的售价高300元；4台A型的智能空气净化器的售价与5台B型的智能空气净化器的售价相等．（1）求每台A、B两种智能空气净化器的售价分别多少元？（2）若卖出每台A、B两种智能空气净化器的利润分别为200元与150元，七月份前平均每周可以分别卖出A、B型号智能空气净化器18台与20台；进入七月份后，开始降价促销，A、B两种型号的智能空气净化器都是每降价20元平均每周可多卖4台；问该电商要得到最大利润，问每台智能空气净化器应降价多少元，最大利润多少元？5．（2020春•岳麓区校级期末）对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．（1）分别判断函数y＝x﹣1，y＝x2﹣2有没有不变值？如果有，请写出其不变长度；（2）函数y＝x2﹣bx﹣1且﹣2≤b≤3，求其不变长度q的取值范围；（3）记函数y＝x2﹣4x（x≥m）的图象为G1，将G1沿x＝m翻折后得到的函数图象记为G2，函数G的图象由G1和G2两部分组成，若其不变长度q满足0≤q≤5，求m的取值范围．6．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y＝x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A 点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x．①求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；①线段PE的长h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的x值；若不存在，请说明理由？7．如图，抛物线y＝ax2与直线y＝2x在第一象限内交于点A（2，t）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在一点P，使△OAP是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过A点作直线AB平行x轴且交抛物线y＝ax2于点B，在x轴的正半轴上找一点C，使得OC＝AB，连接BC交y轴于点D，直线AD上是否存在一点Q使得△CAQ的面积与△CAB的面积相等？若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．8．如图1，抛物线y=−12x2+bx+c的对称轴为直线x=−32，与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD、PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG−√1010EG的值最小，求出PG−√1010EG的最小值．（3）如图2，点M为抛物线上一点，点N在抛物线的对称轴上，点K为平面内一点，当以A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时，请求出点N的坐标．9．有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展．如菱形，正方形等都是“和睦四边形”．（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：四边形ABCD为“和睦四边形”；（2）如图2，直线y=−34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点O运动．点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向点B运动．P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；（3）如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：①a＜0，ab≠0，c＝2；①顶点D在以AB为直径的圆上．点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y0−√3x0．若t≤m+1136505恒成立，求m的最小值．10．如图所示，为了改造小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙的最大可使用长度12m）的空地上建造一个矩形绿化带．除靠墙一边（AD）外，用长为32m的栅栏围成矩形ABCD．设绿化带宽AB为xm，面积为Sm2（1）求S与x的函数关系式，并直接写求出x的取值范围；（2）绿化带的面积能达到128m2吗？若能，请求出AB的长度；若不能，请说明理由；（3）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为(−12，254)，点C（0，6）是抛物线与y的交点．（1）求抛物线与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左边）；（2）设直线y＝h（h为常数，0＜h＜6）与直线BC交于点D，与y交于点E，与AC交于点F，连AE，定点M 的坐标为（﹣2，0）．①求h为何值时，△AEF的面积S最大；①问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B（1，0），交y轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标．13．已知抛物线解析式y=−12x2﹣2x+3（1）用配方法求该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）求该抛物线与x轴的交点坐标；（3）若把该抛物线向右平移3个单位，向下平移1个单位，求得到的抛物线解析式．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式；（2）若点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．15．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标．16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，对称轴为x＝﹣1，直线y＝﹣x+3与抛物线相交于A、D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，且位于y＝﹣x+3的下方，求出△ADP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设点Q在y轴上，且满足∠OQA+∠OCA＝∠CBA，求CQ的长．17．如图，若m是正数，直线l：y＝﹣m与y轴交于点A；直线a：y＝x+m与y轴交于点B；抛物线L：y＝x2+mx 的顶点为C，且L与x轴左交点为D．（1）若AB＝12，求m的值，此时在抛物线的对称轴上存在一点P使得△OBP的周长最小，求点P坐标；（2）当点C在直线l上方时，求点C与直线l距离的最大值；（3）在抛物线L和直线a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出m＝2020和m＝2020.5时“美点”的个数．18．如图1，抛物线W：y＝ax2﹣2的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）过点C作CE⊥x轴，交x轴于点E，若AC平分∠DCE，求抛物线W的解析式；（3）若a=12，将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y=12x﹣1的距离为多少？（2）如图2，点P是反比例函数y=4x在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0=2√105？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．20．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（Ⅱ）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？21．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．（1）将y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而减小．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−12x2+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x＝0和x＝5时所对应的函数值相等．一次函数y＝﹣x+3与二次函数y=−12x2+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．（1）求二次函数y=−12x2+bx+c的表达式；（2）连接AB，求AB的长；（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．23．函数y＝mx3m﹣1+4x﹣3是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴：；（3）将解析式化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为：．参考答案与试题解析一．解答题（共23小题） 1．【解答】解：（1）对于y ＝﹣x 2+2x +3①，令x ＝0，则y ＝3，令y ＝﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3， 故点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，3）， ∵点D 与点C 关于x 轴对称，故点D （0，﹣3），设直线BD 的表达式为y ＝kx +b ，则{x =−30=3x +x ，解得{x =1x =−3，故直线BD 的表达式为y ＝x ﹣3；（2）连接BC ，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点H ，由点B 、C 的坐标，同理可得，直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3， 设点P （x ，﹣x 2+2x +3），则点H （x ，﹣x +3），则四边形BOCP 面积＝S △OBC +S △PHC +S △PHB =12×OB •OC +12×PH ×OB =12×3×3+12×3×（﹣x 2+2x +3+x ﹣3）=−32x 2+92x +92，∵−32＜0，故四边形BOCP 面积存在最大值，当x =32时，四边形BOCP 面积最大值为638，此时点P （32，154）；（3）存在，理由：①当∠PBD 为直角时，如上图所示，此时点P 与点C 重合，过点P 的坐标为（0，3）； ①当∠PDB 为直角时，由BD 的表达式知，直线BD 与x 轴的倾斜角为45°，当∠PDB 为直角时，即PD ⊥BD ，则直线PD 与x 轴负半轴的夹角为45°， 故设直线PD 的表达式为y ＝﹣x +t ，将点D 的坐标代入上式得，﹣3＝0+t ，解得t ＝﹣3， 故直线PD 的表达式为y ＝﹣x ﹣3①，联立①①并解得：x =3±√332， 故点P 的坐标为（3+√332，−9+√332）或（3−√332，−9−√332），综上，点P 的坐标为（3+√332，−9+√332）或（3−√332，−9−√332）或（0，3）．2．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），∴{0=x −x −3x 3=−3x ， ∴{x =−1x =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +3；（2）由y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4得，D 点坐标为（1，4），∵y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于另一点B ，∴令y ＝0，﹣x 2+2x +3＝0，解得x ＝﹣1或3， ∴A （﹣1，0），B （3，0），∴CD =√(1−0)2+(4−3)2=√2， BC =√(3−0)2+(0−3)2=3√2， BD =√(3−1)2+(4−0)2=2√5，∵CD 2+BC 2＝（√2）2+（3√2）2＝20，BD 2＝（2√5）2＝20， ∴CD 2+BC 2＝BD 2，∴△BCD 是直角三角形； （3）如图，∵P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形， ∴点D 在PC 的垂直平分线上，∴点C 与点P 关于对称轴直线x ＝1对称， ∴点P 的坐标为（2，3）， ∵S 四边形PBCD ＝S △DCP +S △CBP ，∴S 四边形PBCD =12×2×（4﹣3）+12×2×3＝4． 3．【解答】解：（1）设水果的售价x 元/千克，而进价为20元/千克， 当利润不低于10%时，即售价不低于20（1+10%）＝22元/千克； 当利润不超过40%时，同理售价不高于28元/千克， 故x 的取值范围为：22≤x ≤28，把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y ＝kx +b ， 则{34.8=22.6x +x 32=24x +x ，解得{x =−2x =80， 故函数表达式为y ＝﹣2x +80（22≤x ≤28）， 当x ＝24.5时，y ＝﹣2×24.5+80＝31；售价为24.5元/千克，求当天该水果的销售量31千克；（2）设：利润为W ＝（x ﹣20）y ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40）＝168， 解得：x ＝26或x ＝34（舍去），答：某天销售这种水果获利168元，那么该天水果的售价为26元/千克；（3）w ＝﹣2（x ﹣20）（x ﹣40），函数的对称轴为x ＝30， 而22≤x ≤28，故x ＝28（元/千克）时，函数取得最大值，此时，W ＝192（元）， 故：水果的售价为28元/千克时获利最大，最大利润192元． 4．【解答】解：（1）设每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别x 元和y 元，由题意得：{4x =5x x =x +300，解得{x =1500x =1200，故每台A 、B 两种智能空气净化器的售价分别1500元和1200元；（2）设每台智能空气净化器应降价x 元，此时利润最大，设总利润为w 元， 由题意得：w ＝（18+4x20）（200﹣x ）+（20+4x20）（150﹣x ）=−25x 2+32x +6600， ∵−25＜0，故w 有最大值，此时x =−x2x =40（元），w 的最大值为7240（元），故每台智能空气净化器应降价40元时，最大利润为7240元． 5．【解答】解：（1）由题意得：y ＝x ﹣1＝x ，无解，故不存在不变值； y ＝x 2﹣2＝x ，解得：x ＝2或﹣1，故存在不变值，q ＝2﹣（﹣1）＝3；（2）由题意得：y＝x2﹣bx﹣1＝x，解得：x=(x+1)±√x2+2x+52，q=√x2+2x+5，﹣2≤b≤3，解得：2≤q≤2√5．（3）如图1中，当图象G与直线y＝x的交点在第一象限时，P的最大值为5，最小值＞0，满足其不变长度q 满足0≤q≤5，∴m≤5，如图2中，当图象G经过原点时，m＝2，此时p的最大值为5最小值为0，满足其不变长度q满足0≤q≤5，如图3中，当直线x＝m在y轴的左侧，翻折后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2m+2）2﹣4，由{x =xx =(x −2x +2)2−4，消去y 得到x 2+（﹣4m +3）x +4m 2﹣8m ＝0， 当△＝0时，（﹣4m +3）2﹣4（4m 2﹣8m ）＝0， 解得m =−98，观察图象可知，m ＜−98时，满足条件，综上所述，满足条件的m 的值为2≤m ≤5或m ＜−98． 6．【解答】解：（1）∵点A （3，4）在直线y ＝x +m 上， ∴4＝3+m ． ∴m ＝1．设所求二次函数的关系式为y ＝a （x ﹣1）2．∵点A （3，4）在二次函数y ＝a （x ﹣1）2的图象上， ∴4＝a （3﹣1）2， ∴a ＝1．∴所求二次函数的关系式为y ＝（x ﹣1）2． 即y ＝x 2﹣2x +1．（2）①设P 、E 两点的纵坐标分别为y P 和y E ． ∴PE ＝h ＝y P ﹣y E＝（x +1）﹣（x 2﹣2x +1） ＝﹣x 2+3x ．即h ＝﹣x 2+3x （0＜x ＜3）． ①存在．∵h ＝﹣（x −32）2+94， 又∵a ＝﹣1＜0，∴x =32时，h 的值最大，最大值为94．7．【解答】解：（1）把A （2，t ）代入y ＝2x 中，得t ＝4， ∴A （2，4），把A （2，4）代入y ＝ax 2中，得a ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2； （2）设P 点的坐标为（m ，0）， 当OA ＝OP 时，有m 2＝22+42， 解得，m ＝2√5，或m ＝﹣2√5，∴此时P 点的坐标为P （﹣2√5，0）或（2√5，0）； 当OA ＝P A 时，有（m ﹣2）2+42＝22+42， 解得，m ＝0（舍），或m ＝4， ∴此时P 点坐标为（4，0），综上，在x 轴上存在一点P ，使△OAP 是以OA 为腰的等腰三角形，其P 点坐标为（﹣2√5，0）或（2√5，0）或（4，0）；（3）∵过A 点作直线AB 平行x 轴且交抛物线y ＝x 2于点B ， ∴B （﹣2，4）， ∴AB ＝4， ∵AB ＝OC ， ∴C （4，0），设直线BC 的解析式为：y ＝cx +d （c ≠0），则 {−2x +x =44x +x =0， 解得，{x =−23x =83，∴直线BC 的解析式为：y =−23x +83， ∴D （0，83），同理得，AC 的解析式为y ＝﹣2x +8，直线BO 的解析式为y ＝﹣2x ，直线AD 的解析式为y =23x +83，∴OB ∥AC ，当点Q 与B 点在直线AC 同旁时，∵△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，∴BQ ∥AC ，即Q 点在OB 上，为AD 与OB 的交点，联立方程组得：{x =−2x x =23x +83， 解得，{x =−1x =2， ∴此时Q （﹣1，2），当点Q 与B 点直线AC 两旁时，延长BA 到E ，使得AB ＝AE ＝4，过E 作EQ ′∥AC ，与AD 交于点Q ′，∴E （6，4），∵△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，∴EQ ′∥AC ，∴设EQ ′的解析式为y ＝﹣2x +n ，把E （6，4）代入y ＝﹣2x +n ，得n ＝16，∴EQ ′的解析式为y ＝﹣2x +16，联立方程组{x =−2x +16x =23x +83， 解得，{x =5x =6， ∴Q ′（5，6）；综上，直线AD 上存在一点Q 使得△CAQ 的面积与△CAB 的面积相等，其Q 点坐标为Q （﹣1，2）或（5，6）．8．【解答】解：（1）抛物线y =−12x 2+bx +c 的对称轴为直线x =−32，与x 轴交于点B （1，0）．∴{x =−32−12+x +x =0，解得{x =−32x =2， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+−32x +2；（2）抛物线y =−12x 2−32x +2与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，∴A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2）．∵点D 为线段AC 的中点，∴D （﹣2，1），∴直线BD 的解析式为：y =−13x +13， 过点P 作y 轴的平行线交直线EF 于点G ，如图1，设点P（x，−12x2−32x+2），则点G（x，−13x+13）．∴S△PDF=12xx⋅(x x−x x)=12×(−12x2−32x+2+13x−13)×2=−12x2−76x+53，当x=−76时，S最大，即点P（−76，22172），过点E作x轴的平行线交PG于点H，则tan∠EBA＝tan∠HEG=1 3，∴GH=√1010GE，故PG−√1010GE＝PG﹣HG＝PH为最小值，即点G为所求．联立{x=−12x2−32x+2x=−13x+3解得x1=−103，x2＝﹣1（舍去），故点E（−103，139），则PG−√1010GE的最小值为PH=22172−139=138．（3）①当AM是正方形的边时，（ⅰ）当点M在y轴左侧时（N在下方），如图2，当点M在第二象限时，过点A作y轴的平行线GH，过点M作MG⊥GH于点G，过点N作HN⊥GH于点H，∴∠GMA+∠GAM＝90°，∠GAM+∠HAN＝90°，∴∠GMA＝∠HAN，∵∠AGM＝∠NHA＝90°，AM＝AN，∴△AGM≌△NHA（AAS），∴GA＝NH＝4−32=52，AH＝GM，即y=−12x2−32x+2=52，解得x=−3±√52，当x=−3−√52时，GM＝x﹣（﹣4）=5−√52，y N＝﹣AH＝﹣GM=√5−52，∴x(−32，√5−52)．当x=−3+√52时，同理可得N（−32，−5+√52），当点M 在第三象限时，同理可得N （−32，−3+2√212）． （ⅱ）当点M 在y 轴右侧时，如图3，点M 在第一象限时，过点M 作MH ⊥x 轴于点H设AH ＝b ，同理△AHM ≌△MGN （AAS ），则点M （﹣4+b ，b −52）．将点M 的坐标代入抛物线解析式可得：b =3±√292（负值舍去） y N ＝y M +GM ＝y M +AH =1+2√292， ∴N （−32，1+2√292）． 当点M 在第四象限时，同理可得N （−32，−1+2√292）． ①当AM 是正方形的对角线时，当点M 在y 轴左侧时，过点M 作MG ⊥对称轴于点G ，设对称轴与x 轴交于点H ，如图4．∵∠AHN ＝∠MGN ＝90°，∠NAH ＝∠MNG ，MN ＝AN ，∴△AHN ≌△NGN （AAS ），设点N （−32，m ），则点M （−32−x ，52+m ），将点M 的坐标代入抛物线解析式可得m 1=12．m 2=−52（舍去），∴N (−32，12)，当点M 在y 轴右侧时，同理可得N （−32，−92）． 综上所述：N 点的坐标为：(−32，√5−52)或（−32，−5+√52）或（−32，−3+2√212）或（−32，1+2√292）或（−32，−1+2√292）或(−32，12)或（−32，−92）． 9．【解答】（1）证明：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 为“和睦四边形”；（2）解：在直线y =−34x +6中，当x ＝0时，y ＝6；当y ＝0时，x ＝8，∴B （0，6），A （8，0），∴OB ＝6，OA ＝8，∴AB =√xx 2+xx 2=10，由题意得：AQ ＝5t ，AP ＝4t ，BQ ＝10﹣5t ，OP ＝8﹣4t ，连接PQ ，∵xx xx =5x 4x =54，xx xx =108=54， ∴xx xx =xx xx ，又∵∠BAO ＝∠QAP ，∴△AQP ∽△ABO ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，∴QP =√xx 2−xx 2=3t ，∵四边形BOPQ 为“和睦四边形”，∴①当OB ＝OP 时，6＝8﹣4t ，∴t =12；①当OB ＝BQ 时，6＝10﹣5t ，∴t =45；①当OP ＝PQ 时，8﹣4t ＝3t， ∴t =87；①当BQ ＝PQ 时，10﹣5t ＝3t ， ∴t =54，综上所述，t 的值为12或45或87或54；（3）解：在抛物线y ＝ax 2+bx +2中，顶点D 的坐标为（−x 2x ，8x −x 24x ），C （0，2）， ∵CD ＝OC ，∴CD 2＝OC 2，∴(8x −x 24x −2)2+(−x 2x )2=22①，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在抛物线对称轴上， ∴△ADB 为等腰直角三角形， ∴x x =12xx ，∴8x −x 24x =12⋅√x 2−8x −x①， 联立①①，且ab ＜0，得a =−13，b =2√33，∴抛物线为x =−13x 2+2√33x +2，∵点P （x 0，y 0）是抛物线y ＝ax 2+bx +c 上任意一点，∴y 0=−13x 02+2√33x 0+2，∴t ＝y 0−√3x 0=−13x 02−√33x 0+2，∴当x 0=−√32时，t 有最大值94，∵t≤m+1136505恒成立，∴t最大值≤m+1136 505，∴94≤m+1136505，∴m≥1 2020，∴m的最小值为12020．10．【解答】解：（1）S＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x，（10≤x＜16）；（2）根据题意得，﹣2x2+32x＝128，解得：x＝8，当AB＝CD＝8时，BC＝16＞12，故绿化带的面积不能达到128m2；（3）∵S＝﹣2x2+32x＝﹣2（x﹣8）2+128，∴当x＝10时，绿化带面积最大，S最大＝120m2．11．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为(−12，254)，设抛物线的解析式为y＝a（x+12）2+254，又C（0，6）在抛物线上，∴6=14a+254，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+6，∴A（﹣3，0），B（2，0）；（2）设直线AC的解析式为y＝2x+6，同理可求得直线BC的解析式为y＝﹣3x+6，①E （0，h ），F （12h ﹣3，h ）， ∴S =12×y E ×EF =12×h ×（3−12h ）=−14h 2+32h =−14（h ﹣3）2+94，当h ＝3时，△AEF 的面积S 最大；①可求D （2−13h ，h ）， ∵M 的坐标为（﹣2，0），∴BM ＝4，当MB ＝MD 时，MD ＝4，∴(4−13x )2+h 2＝16，∴h =125或h ＝0，∵0＜h ＜6，∴h =125，∴D （65，125）；当MB ＝DB 时，19h 2+h 2＝16， ∴h ＝±6√105， ∴h =6√105，∴D （2−2√105，6√105）； 当MD ＝BD 时，∵MB 的中点为（0，0）∴D 点的横坐标为0，∴2−13h ＝0，∴h ＝6，∵0＜h ＜6，∴此时不成立；综上所述，存在直线y ＝h 使△BDM 是等腰三角形，当h =125时，点D 的坐标为（65，125）；当h =6√105时，点D 的坐标为（2−2√105，6√105）． 12．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +2）（x ﹣1）＝a （x 2+x ﹣2），故﹣2a ＝2，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）设M （m ，n ），然后依据S △AOM ＝2S △BOC ，列方程可得：12⋅xx ×|x |=2×12×xx ×xx ， ∴12×2×|−x 2−x +2|=2，∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0，解得x =0或−1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或(−1+√172，−2)或 (−1−√172，−2)． 13．【解答】解：（1）y =−12x 2﹣2x +3=−12（x 2+4x +4）+3+2=−12（x +2）2+5，则该抛物线的开口方向向下、对称轴是直线x ＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，5）；（2）令y ＝0，则−12x 2﹣2x +3＝0． 整理，得y ＝0，x 2+4x ﹣6＝0．所以x ＝﹣2±√10，所以该抛物线与x 轴的交点坐标是（﹣2+√10，0），（﹣2−√10，0）；（3）抛物线y =−12（x +2）2+5向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的抛物线解析式：y =−12（x +2﹣3）2+5﹣1即y =−12（x ﹣1）2+4． 14．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝a （x 2+2x ﹣3）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即﹣3a ＝2，解得：x =−23， 故抛物线的表达式为：x =−23x 2−43x +2，则点C （0，2），函数的对称轴为：x ＝1；（2）连接OP ，设点x (x ，−23x 2−43x +2)，则S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC =12×xx ×xx +12×xx ×|x x |−12×xx ×xx =12×3×(−23x 2−43x +2)+12×2×(−x )−12×2×1=−x 2−3x +2， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x =−32时，S 的最大值为174． 15．【解答】解：（1）∵二次函数过A （﹣3，0），B （1，0）两点，∴设二次函数解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1），∵二次函数过C 点（0，﹣3），∴﹣3＝a （0+3）（0﹣1），解得，a ＝1，∴y ＝（x +3）（x ﹣1）＝x 2+2x ﹣3即二次函数解析式为y ＝x 2+2x ﹣3；（2）设直线AC 解析式为：y ＝kx +b ，∵A （﹣3，0），C （0，﹣3），∴{−3x +x =0x =−3， 解得，{x =−1x =−3， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，过点P 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点P 的坐标为（x ，x 2+2x ﹣3），则G （x ，﹣x ﹣3），∵点P 在第三象限，∴PG ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x ﹣3﹣x 2﹣2x +3＝﹣x 2﹣3x ，∴x △xxx =12xx ⋅xx =12(−x 2−3x )×3=−32x 2−92x =−32(x +32)2+278， ∴当x =−32时，x 最大=278，点P （−32，−154）．，即S 的最大值是278，此时点P 的坐标是（−32，−154）．16．【解答】解：（1）∵对称轴为x ＝﹣1，∴−x 2x =−1， ∴b ＝2a ，∴y ＝ax 2+2ax ﹣5，∵y ＝﹣x +3与x 轴交于点A （3，0），将点A 代入y ＝ax 2+2ax ﹣5可得a =13；（2）y =13x 2+23x ﹣5与y ＝﹣x +3的交点D （﹣8，11），∴AD ＝11√2，设P （m ，13m 2+23m ﹣5），则过点P 与直线y ＝﹣x +3垂直的直线解析式为y ＝x +b ，将点P 代入解析式得到13m 2+23m ﹣5＝m +b ，∴b =13m 2−13m ﹣5， ∴过点P 与直线y ＝﹣x +3垂直的直线解析式为y ＝x +13m 2−13m ﹣5，两直线的交点为T （−16m 2+16m +4，16m 2−16m ﹣1）， ∴TP =√2|16m 2+56m ﹣4|=√26|（m +52）2−1214|， ∴当m =−52时，TP 有最小值为121√224， ∴P （−52，−5512），S =12×11√2×121√224=133124； （3）当Q 点在y 轴正半轴上时，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点G ，连接QA ，由题意可求：OA ＝3，BO ＝5，OC ＝5，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴∠CBA ＝45°，∵∠QAG ＝∠OCA +∠AQO ，∠OQA +∠OCA ＝∠CBA ，∴∠QAG ＝45°，∴△AQG 是等腰直角三角形，∴GQ ＝AG ，∵∠OCA ＝∠QCG ，∠QGC ＝∠AOC ，∴△OAC ∽△GQC ，∴xx xx=xx xx ， 在Rt △AOC 中，AC =√34， ∴3xx =xx +√34， ∴AG =3√342，∴xx xx =xx xx ，∴3xx=√34xx，∴CQ＝17；在y轴负半轴上截取OQ'＝OQ，连接AQ'，则∠OQA＝∠OQ'A，∴∠OQ'A+∠OCA＝∠OQA+∠OCA＝∠CBA＝45°，∴Q'也满足题意，此时Q'C＝OQ﹣OC＝CQ﹣OC﹣OC＝17﹣5﹣5＝7；综上所述：CQ的长为7或17．17．【解答】解：（1）当x＝0吋，y＝x+m＝m，∴B（0，m），∵AB＝8，而A（0，﹣m），∴m﹣（﹣m）＝12，∴m＝6，∴L：y＝x2+6x，∴L的对称轴x＝﹣3，又知O、D两点关于对称轴对称，则OP＝DP∴OB+OP+PB＝OB+DP+PB∴当B、P、D三共线时△OBP周长最短，此时点P为直线a与对称轴的交点，当x＝﹣3吋，y＝x+6＝3，∴P（﹣3，3 ）；（2）y＝（x+x2）2−x24，∴L的顶点C(−x2，−x24)，∵点C在l上方，∴C与l的距离=−x24−(−x)=−14(x−2)2+1≤1，∴点C与l距离的最大值为1；（3）当m＝2020时，共有4042个美点，当m＝2020.5时，共有1011个美点．①当m＝2020时，抛物线解析式L：y＝x2+2020x直线解析式a：y＝x+2020联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020，x2＝1，∴可知每一个整数x的值都对应的一个整数y值，且﹣2020和1之间（包括﹣2020和1）共有2022个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2022个整数点∴总计4044个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4044﹣2＝4042（个）；①当m＝2020.5时，抛物线解析式L：y＝x2+2020.5x，直线解析式a：y＝x+2020.5，联立上述两个解析式可得：x1＝﹣2020.5，x2＝1，∴当x取整数时，在一次函数y＝x+2020.5上，y取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数y ＝x 2+2020.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣2020.5到1之间有1011个偶数，因此“美点”共有1011个．故m ＝2020时“美点”的个数为4042个，m ＝2020.5时“美点”的个数为1011个．18．【解答】解：（1）∵抛物线W ：y ＝ax 2﹣2的顶点为点A ，∴点A （0，﹣2）设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，∴{x =−2x +x =0 解得{x =2x =−2 ∴抛物线解析式为：y ＝2x ﹣2；（2）如图1，过点B 作BN ⊥CD 于N ，∵AC 平分∠DCE ，BN ⊥CD ，BE ⊥CE ，∴BN ＝BE ，∵∠BND ＝∠CED ＝90°，∠BDN ＝∠CDE ，∴△BND ∽△CED ，∴xx xx =xx xx ， ∴xx xx=xx xx ， ∵AO ∥CE ， ∴xx xx =xx xx =12=xx xx∴CE ＝2BE ，CD ＝2DB ，设BE ＝x ，BD ＝y ，则CE ＝2x ，CD ＝2y ，∵CD 2＝DE 2+CE 2，∴4y 2＝（x +y ）2+4x 2，∴（x +y ）（5x ﹣3y ）＝0，∴y =53x ， ∴点C （x +1，2x ），点D （1−53x ，0）∵点C ，点D 是抛物线W ：y ＝ax 2﹣2上的点，∴{2x =x (x +1)2−20=x (1−53x )2−2∴x +1＝（1−53x ）2，∴x 1＝0（舍去），x 2=3925，∴0＝a （1−53×3925）2﹣2，∴a =2532， ∴抛物线解析式为：y =2532x 2﹣2；（3）tan ∠D 1C 1B 恒为定值，理由如下：由题意可得抛物线W 1的解析式为：y =12x 2﹣2﹣m ，设点D 1的坐标为（t ，0）（t ＜0），∴0=12t 2﹣2﹣m ，∴2+m =12t 2， ∴抛物线W 1的解析式为：y =12x 2−12t 2， ∵抛物线W 1与射线BC 的交点为C 1， ∴{x =2x −2x =12x 2−12x 2 解得：{x 1=2−x x 1=2−2x ，{x 2=2+x x 2=2+2x（不合题意舍去）， ∴点C 1的坐标（2﹣t ，2﹣2t ），如图2，过点C 1作C 1H ⊥x 轴，过点C 作CG ⊥x 轴，∴C 1H ＝2﹣2t ，OH ＝2﹣t ，∴D 1H ＝D 1O +OH ＝2﹣t +（﹣t ）＝2﹣2t ，∴C 1H ＝D 1H ，且C 1H ⊥x 轴，∴∠C 1D 1H ＝45°，∵y =12x 2﹣2与x 轴交于点D ，∴点D （﹣2，0）∵y ＝2x ﹣2与y =12x 2﹣2交于点C ，点A∴点C （4，6）∴GC ＝6，DG ＝OD +OG ＝2+4＝6，∴DG ＝CG ，且CG ⊥x 轴，∴∠GDC ＝45°＝∠C 1D 1H ，∴C 1D 1∥CD ，∴∠D 1C 1B ＝∠DCB ，∴tan ∠D 1C 1B ＝tan ∠DCB ，如图3，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，∵∠CDB ＝45°，BF ⊥CD ，BD ＝OD +OB ＝2+1＝3，∴∠FDB ＝∠FBD ＝45°，∴DF ＝BF ，DB =√2DF ＝3，∴DF ＝BF =3√22 ∵点D （﹣2，0），点C （4，6），∴CD =√(−2−4)2+(0−6)2=6√2，∴CF ＝CD ﹣DF =9√22， ∴tan ∠D 1C 1B ＝tan ∠DCB =xx xx =13，∴tan ∠D 1C 1B 恒为定值．19．【解答】解：（1）如图1，设直线l ：y =12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ，过点M 作ME ⊥AB ， ∵直线l ：y =12x ﹣1与x 轴，y 轴的交点为点A ，点B ， ∴点A （2，0），点B （0，﹣1），且点M （1，0），∴AO ＝2，BO ＝1，AM ＝OM ＝1，∴AB =√xx 2+xx 2=√1+4=√5，∵tan ∠OAB ＝tan ∠MAE =xx xx =xx xx ， ∴√5=xx 1， ∴ME =√55， ∴点M 到直线l ：y =12x ﹣1的距离为√55； （2）设点P （a ，4x ），（a ＞0） ∴OM ＝a ，ON =4x ， ∴MN =√xx 2+xx 2=√x 2+16x 2， ∵PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，∠MON ＝90°，∴∠PMO ＝∠PNO ＝∠MON ＝90°，∴四边形PMON 是矩形，∴S △PMN =12S 矩形PMON ＝2，∴12×MN ×d 0＝2， ∴√x 2+16x 2×2√105=4， ∴a 4﹣10a 2+16＝0，∴a 1＝2，a 2＝﹣2（舍去），a 3＝2√2，a 4＝﹣2√2（舍去），∴点P （√2，2√2）或（2√2，√2），（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ， 设点A （a ，a 2﹣4a ），点B （b ，b 2﹣4b ），∵∠AOB ＝90°，∴∠AOC +∠BOD ＝90°，且∠AOC +∠CAO ＝90°，∴∠BOD ＝∠CAO ，且∠ACO ＝∠BDO ，∴△AOC ∽△BOD ， ∴xx xx =xx xx ， ∴x 2−4x−x =x x 2−4x ∴ab ﹣4（a +b ）+17＝0，∵直线y ＝kx +m 与抛物线y ＝x 2﹣4x 相交于x 轴上方两点A 、B ，∴a ，b 是方程kx +m ＝x 2﹣4x 的两根，∴a +b ＝k +4，ab ＝﹣m ，∴﹣m ﹣4（k +4）+17＝0，∴m ＝1﹣4k ，∴y ＝kx +1﹣4k ＝k （x ﹣4）+1，∴直线y ＝k （x ﹣4）+1过定点N （4，1），∴当PN ⊥直线y ＝kx +m 时，点P 到直线y ＝kx +m 的距离最大，设直线PN 的解析式为y ＝cx +d ，∴{1=4x +x 0=2x +x 解得{x =12x =−1 ∴直线PN 的解析式为y =12x ﹣1，∴k ＝﹣2，∴m ＝1﹣4×（﹣2）＝9，∴直线y ＝kx +m 的解析式为y ＝﹣2x +9．20．【解答】解：（Ⅰ）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y ＝a （x ﹣3）2+5（a ≠0）， 将（8，0）代入y ＝a （x ﹣3）2+5，得：25a +5＝0，解得：a =−15， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y =−15（x ﹣3）2+5（0＜x ＜8）．（Ⅱ）当y ＝1.8时，有−15（x ﹣3）2+5＝1.8， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．21．【解答】解：（1）y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4；（2）二次函数的图象的对称轴是x ＝3，顶点坐标是（3，﹣4）；（3）∵抛物线的开口向上，对称轴是x ＝3，∴当x ≤3时，y 随x 的增大而减小．22．【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝c ，即（0，c ）．由当x ＝0和x ＝5时所对应的函数值相等，得（5，c ）．将（5，c ）（1，0）代入函数解析式，得{−252+5x +x =x −12+x +x =0， 解得{x =52x =−2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+52x ﹣2；（2）联立抛物线与直线，得{x =−12x 2+52x −2x =−x +3，解得{x =2x =1，{x =5x =−2， 即B （2，1），C （5，﹣2）．由勾股定理，得AB =√(2−1)2+(1−0)2=√2；（3）如图： ，四边形ABCN 是平行四边形，证明：∵M 是AC 的中点，∴AM ＝CM ．∵点B 绕点M 旋转180°得到点N ，∴BM ＝MN ，∴四边形ABCN 是平行四边形，又∵AB =√2，BC ＝3√2，AC ＝2√5，∴AC 2＝AB 2+BC 2，∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCN 是矩形．23．【解答】解：（1）∵函数y ＝mx 3m ﹣1+4x ﹣3是二次函数，∴3m ﹣1＝2，解得：m ＝1；（2）由（1）得：y ＝x 2+4x ﹣3，故这个二次函数图象的对称轴为：直线x =−42×1=−2；故答案为直线x ＝﹣2：（3）∵y ＝x 2+4x ﹣5＝（x +2）2﹣9∴将解析式化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式为：y ＝（x +2）2﹣9．故答案为y＝（x+2）2﹣9．。
人教版初中数学九年级 微专题7 二次函数与线段的最值问题
微专题7 二次函数与线段的最值 问题
1．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（－3，0）， B（1，0），交 y轴于点C．P（m，0）是线段AO上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物 线于点N． （1）这个二次函数的解析式是 y＝x2＋2x－3 ； （2）求线段 MN长的最大值．
2．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B（3，0）， 与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）若在x轴上存在一点P，使得｜PC－PD｜的值最大，求出此时点P的坐标．
（2）∵｜PC－PD｜≤CD， ∴当P，C，D三点共线时，｜PC－PD｜有最大值，为CD的长，此时P为直线CD 与x轴的交点． 由（1）知y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4， ∴点D的坐标为（1，4）． 设CD所在直线的解析式为y＝kx＋b1． 把点C（0，3），D（1，4）代入，
3．如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c（a≠0）的图象与x轴交于点A，B（1，0）， 与y轴交于点C（0，－3）． （1）求二次函数的解析式及点A的坐标； （2）若D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最 大值时点D的坐标．
（2）连接AD，CD．
∵点D到直线AC的距离取得最大值， ∴此时△DAC的面积最大． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b． 把点C（0，－3），A（－3，0）代入，
人教版九年级上册数学二次函数解答题练习
人教版九年级上册数学二次函数解答题练习1．如图，抛物线2y x bx c =++经过()1,0A -、()4,5B 两点，点E 是线段AB 上一动点，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF 的最大值；(3)抛物线与x 轴的另一个交点为点C ，在抛物线上是否存在一个动点P ，使得25ACP ABC S S ∆∆=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．抛物线22(2)3y x m x =-+-+与x 轴交于A ，B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求m 的值及顶点D 的坐标；(2)如图1，若点E 是抛物线上对称轴右侧一点，设点E 到直线AC 的距离为1d ，到抛物线的对称轴的距离为2d ,当122d d -=时，请求出点E 的坐标．(3)如图2，直线3y x b =-+交抛物线于点M ，N ，连接AM ，AN 分别交y 轴的正半轴和负半轴于点P ，Q ，试探究线段OP ，OQ 之间的数量关系．3．抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3（a ≠0）与直线y ＝kx +c （k ≠0）相交于A （﹣1，0）、B （1，﹣2）两点，且抛物线与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在第四象限的抛物线上有一点P ，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标．4．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为3y x =-．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线上一点，若12PBC ABC S S =，请直接写出点P 的坐标；(3)点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．5．如图，已知直线y ＝43x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线x ＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，Q ，使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P ，Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由．6．综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 ；(3)点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE △x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．7．综合与探究：如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，2OA =，4OB =，直线l 是抛物线的对称轴，在直线l 右侧的抛物线上有一动点D ，连接AD ，BD ，BC ，CD ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 在x 轴的下方，当BCD △的面积是92时，求ABD △的面积； (3)在（2）的条件下，点M 是x 轴上一点，点N 是抛物线上一动点，是否存在点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点，以BD 为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图：已知关于x 的二次函数y =x 2+bx +c 的图像与x 轴交于点A （1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，3）．(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；(3)有一个点M 在线段CB 上运动，作MN △x 轴交抛物线于点N ，问当M 、N 点位于何处时，△BCN 的面积最大，求最大面积.9．如图，已知二次函数的图象经过点()3,3A 、()4,0B 和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为(),0D m ，并与直线OA 交于点C ．(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；(3)当0m >时，探索是否存在点P ，使得PCO △为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．10．已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点()1,0A -，()0,3C 两点，对称轴为直线1x =，对称轴与x 轴交于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的点，当45ACP ∠=︒时，求点P 的坐标；(3)点F 为二次函数图像上与点C 对称的点，点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点F ，A ，M ，N 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （2，0）三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、 O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线224y ax ax =++与x 轴交于点()4.0A -，()2,0B x ，与y 轴交于点C ．经过点B 的直线y kx b =+与y 轴交于点()0,2D ，与抛物线交于点E ．(1)求抛物线的表达式及B ，C 两点的坐标；(2)若点P 为抛物线的对称轴上的动点，当△AEP 的周长最小时，求点P 的坐标；(3)若点M 是直线BE 上的动点，过M 作MN y ∥轴交抛物线于点N ，判断是否存在点M ，使以点M ，N ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a ≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△P AB为直角三角形，请求出点P的坐标．14．如图，二次函数234y x x=-++与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．已知，点A的坐标为（–1，0）．(1)求这个二次函数图象的顶点坐标；(2)已知第一象限内的点D（m，m＋1）在二次函数图象上，探究CD与x轴的位置关系；(3)在（2）的条件下，求点D关于直线BC的对称点D的坐标．15．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2-8x+6（a≠0）相交于A（4，6）和B（12，52），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PD△x轴于点E，交抛物线于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)当D为抛物线顶点的时候，求△ADC的面积；(3)是否存在这样的点P，使△ADC的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点E ．(1)求抛物线的表达式；(2)连接CD 、BD ，点P 是射线DE 上的一点，如果PDB CDB S S =△△，求点P 的坐标；(3)点M 是线段BE 上的一点，点N 是对称轴l 右侧抛物线上的一点，如果EMN 是以EM 为腰的等腰直角三角形，求点M 的坐标．17．如图，抛物线22y ax bx =++经过点()()1040，，，A B -，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D ，使23ABC ABD S S =△△？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与直线AC 交于点F ，直接写出BF 的长．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx -6与x 轴交于A （-6，0），B （2，0）两点，与y 轴交于点 C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与轴x交于点E，连接AC．(1)求抛物线的解析式；(2)连接CE，在抛物线上存在点P，使得△PEC+△ACE=45︒，求出点P的坐标；(3)连接BC，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作BC的平行线l．在直线l上是否存在点H，使得以点Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．(1)求抛物线的解析式；=+只有一个交点，求m的值；(2)若抛物线与直线y x m(3)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；(4)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M、N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．20．如图，把两个全等的Rt AOB 和Rt COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上，已知点A (2，4)，抛物线2y ax bx c =++经过O ，A ，C 三点．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点G 为OC 上方的抛物线上一动点，求点G 到直线OC 的最大距离和此时点G 的坐标；(3)点P 为线段OC 上一个动点（不与O ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，是否存在点P ，使线段AM 与BP 相等？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。
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二次函数背景下——线段的最大值问题
重庆永川萱花中学：刘荣幸中考透视：随着新课程改革的不断深入，中考数学试题也不断推旧出新，“选拔性”和“能力性”兼容，命题由“知识型”立意向“能力型”、“素质型”立意转变，题型设计思路开阔、内容丰富、立意深刻、发人深省。
二次函数背景下——线段的最大值问题恰恰是这类试题中突出考查学生能力的典型代表，由于这类试题是以二次函数图像为载体，来研究图形的最大值问题，理解起来比较抽象，涉及面较广，技能性和综合性也很强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能力，灵活运用能力和分析问题的能力要求很高，所以几年来一直是全国各地中考数学的压轴题目之一。
三维教学目标：1、能求二次函数中线段的最大值。
2、体会转化的数学思想。
教学重点：能求二次函数中线段的最大值。
教学难点：各种变式线段最值的求法
教学方式：合作学习，读，讲，议，练，评。
教学手段：利用多媒体教学。
教学过程：
一、新课引入：
直接提问：我们在初中阶段学过哪些有关的线段的最值问题？
学生回答：1，两点之间线段最短。
2，垂线段最短。
3“水水泵房选址”问题等。
教师立即接着提问：刚才同学回答的有关线段最值问题都是线段最小值问题，我们在学习什么内容时，有最大值问题呢？（同学们答：二次函数），那今天我们就来研究二次函数背景下——线段的最大值问题。
展示课题。
二、公式：
直接出示平面坐标系中的竖直线段和水平线段，用点的坐标表示出线段。
得出：水平时,线段AB=右减左，竖直时,线段AB=上减下。
三、典型例题（基本题型）：
如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图像交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。
（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；
（2）点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；
导学：PQ是竖直线段还是水平线段？如何表示？
导做：独立完成，集体交流，抽同学上黑板上板书。
导思：线段的最值转化为求二次函数的最值。
竖直线段的表示方法：两点纵坐标之差——上减下
四、变式：
问题：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；
导学：PM如何表示？
导做：独立完成，做好交流发言的准备
导思：①直接表示PM，水平线段---右减左
②转化为竖直线段，需找到二者关系。
学做思三：变式2
问题：点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），求P点到直线AC距离的最大值：
导学：能否进行线段的转化，化为竖直线段或者水平线段求解？
导做：小组讨论形成意见，做好小组发言准备
导思：转化为竖直线段
五、练习
变式3
如果没有特殊角你还会做吗？
变式4
如果要求三角形的周长的最大值你还会求吗？
六、反思总结：
一个数学思想：转化思想
两个基本线段：竖直线段和水平线段
三个转化：水平线段 竖直线段 斜线段 竖直线段 三角形周长 竖直线段 七、作业布置： 直通中考（2014 ·重庆中考A 卷25题）如图，抛物线y= -x 2 -2x+3的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点。
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作P Q ∥ AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥X 轴于点N ，若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△ AEM 的面积； −−→
−转化−
−→−转化−
−→−转化。