高中数学复习学(教)案(第10讲)二次函数

§2.6 二次函数
【高考要求】
掌握二次函数的解析式及其图像特征；掌握二次函数的单调性，二次函数在某区间上的最值的求解方法及规律，培养分类讨论的思维能力。

【知识点归纳】
一、二次函数的定义：
形如()2
0y ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数。

注意：0a ≠，若0a =，它是一
次函数或常数函数。

二、二次函数解析式的三种形式： 1、一般式：()()2
0f x ax bx c a =++≠；
2、顶点式：()()()2
0f x a x m n a =-+≠； 3、两根式：()()()()120f x a x x x x a =--≠
求二次函数解析式的方法：待定系数法。

根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或两根式中的一种来求。

利用已知条件求二次函数解析式常用的方法是待定系数法，但可根据具体的条件选用适当形式的()f x 。

（1）已知三个点坐标时，宜用一般式；
（2）已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常用顶点式。

（3）若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便。

三、二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像与性质：
1、定义域：R ；
2、值域：当0a >时，值域为：24[,)4ac b a -+∞，()2
min 44ac b f x a -=⎡⎤⎣⎦ 当0a <时，值域为：24(,4ac b a --∞，()2
max
44ac b f x a
-=⎡⎤⎣⎦ 3、图像：二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，对称轴方程为：
2b
x a =-，顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭。

4、性质：
（1）单调性：当0a >时，单调增区间为：[,)2b a -+∞，单调减区间为：(,]2b
a
-∞-； 当0a <时，单调增区间为：(,2b a -∞-，单调减区间为：[,)2b
a
-+∞。

（2）奇偶性：函数为偶函数⇔0b =。

（3）三个二次的关系：
当2
40b ac ∆=->时，图像与x 轴有两个交点，两个交点间的距离等于：
12x x a
-=。

对应的一元二次方程有两个不等的实根，这两个根就为二次函数与x 轴两个交点的横坐标，对应的一元二次不等式解集的边界也为二次函数与x 轴两个交点的横坐标，即为对应的一元二次方程的两个实根。

当2
40b ac ∆=-=时，图像与x 轴只有一个交点。

对应的一元二次方程有两个相等的实根。

当240b ac ∆=-<时，图像与x 轴没有交点。

对应的一元二次方程没有实根。

若
0a >，则函数值恒为正，若0a <，则函数值恒为负。

5、二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠在区间[],p q 上的问题：一般情况下，分
,2b p a -
<2b p q a ≤-≤和2b q a
-≥三种情况讨论。

6、一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的区间根问题：
一般情况下，需要从四个方面考虑： （1）开口方向；
（2）判别式是否大于0； （3）对称轴2b
x a
=-
与区间的关系； （4）区间端点函数值的正负。

注意：这四个个方面的条件必须结合对应的二次函数的图像来写出。

设12,x x 是实系数二次方程()2
00ax bx c a ++=>的两个实根，根的分布与对应的二
次函数()()2
0f x ax bx c a =++>以及等价不等式组的关系如下表所示：
【基础自测】
步步高 学生用书19P 基础自测
【题型讲解】
题型一：求二次函数的解析式 例1、已知二次函数满足()()211f f =-=-，且()f x 的最大值是8，试确定此二次函数。

练习1、已知二次函数()f x 同时满足条件： （1）()()11f x f x +=-； （2）()f x 的最大值为15；
（3）()0f x =的两根的立方和等于17，求()f x 的解析式。

题型二：二次函数的图像与性质
例2、已知函数()()2
2403f x ax ax a =++<<，若1212,1x x x x a <+=-，则（ ）
()()12.A f x f x > ()()12.B f x f x <
()()12.C f x f x = ()1.D f x 与()2f x 的大小不能确定
题型三：二次函数在给定区间上的最值
例3、设二次函数()2
41f x x x =--在区间[],2t t +上的最小值为()g t ，试求()y g t =的
最小值并作出函数()y g t =的图像，其中t R ∈。

练习2、已知函数2
1
42
a y x ax =-+-+在区间[]0,1上的最大值是2，求实数a 的值。

题型四：一元二次方程根的分布
例4、设()()2
22f x x ax a R =-+∈。

（1）当x R ∈，时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当[1,)x ∈-+∞，时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。

练习3、已知关于x 的方程2
212102x m x m ⎛⎫
+-+-=
⎪⎝⎭
（m 是与x 无关的实数）的两个实根在区间[]0,2内，求m 的取值范围。

练习4、设二次函数()2
f x x ax a =++，方程()0f
x x -
=的两根1x 和2x 满足
1201x x <<<。

（1）求实数a 的取值范围；（2）试比较()()()010f f f -与1
16
的大小，并说明理由。

题型五：二次函数、方程、不等式之间的关系
例5、已知二次函数()()2
0f x ax bx c a =++≠的图像与直线25y =有公共点，且不等
式2
0ax bx c ++>的解是11
23
x -<<，求a b c 、、的取值范围。

练习5、已知函数()()2
8f x ax b x a ab =+---，当()3,2x ∈-时，()0f x >，当x ∈
()(),32,-∞-+∞ 时，()0f x <。

（1）求()f x 在[]0,1内的值域；（2）2
0ax bx c ++≤的解集为R ，求实数c 的取值范围。

例6、已知二次函数()()2
,,f x ax bx c a b c R =++∈，且同时满足下列条件：
（1）()10f -=；（2）对任意的实数x ，都有()0f x x -≥；
（3）当()0,2x ∈时，有()2
12x f x +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭。

（1）求()1f ；（2）求,,a b c 的值；
（3）当[]1,1x ∈-时函数()()g x f x mx =-（m 是实数）是单调函数，求m 的值。

例7、已知函数()2
f x ax bx c =++的图像经过点()1,0-，是否存在常数,,a b c 使得不等
式()()21
12
x f x x ≤≤+对一切实数x 都成立。

练习6、已知函数()()2
21f x x ax b b a =++<<，且方程()10f x +=有实根。

（1）求证：31b -<≤-且0a ≥；
（2）若m 是方程()10f x +=的一个实根，判断()4f m -的正负，并说明理由。

例8、已知二次函数()2
f x ax bx c =++。

（1）若a b c >>，且()10f =，证明()f x 的图像与x 轴有两个交点；
（2）在（1）的条件下，是否存在m R ∈，使当()f m a =-成立时，()3f m +为正数，若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；
（3）若对12,x x R ∈，且()()1212,x x f x f x <≠，方程()()()121
2f x f x f x =+⎡⎤⎣
⎦有两个不等实根，证明必有一实根属于()12,x x 。

【反思感悟】
1、二次函数解析式的三种形式： 一般式：()()2
0f x ax bx c a =++≠；
顶点式：()()()2
0f x a x m n a =-+≠； 两根式：()()()()120f x a x x x x a =--≠
2、熟练掌握二次函数的图像和性质。

对于二次函数在给定区间上的值域（最值）问题，一般情况下，先分析函数在该区间上的单调性。

3、解一元二次不等式，以及研究一元二次方程的实根的分布问题，常利用二次函数的图像和性质。

【课后作业】
1、《自我测试》 第13课 二次函数
2、《一课一测》 §2.5 二次函数。