讲2梯度散度7
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
梯度、散度和旋度——定义及公式
梯度、散度和旋度——定义及公式1 哈密顿算子（Hamiltion Operator ）哈密顿算子本身没有含义，只有作用于后面的量才有实际意义；它是一个微分算子，符号为∇。
三维坐标系下，有=i j k x y z∂∂∂∇++∂∂∂ 或者 (,,)x y z ∂∂∂∇=∂∂∂ 其中,,i j k 分别为xyz 方向上的单位矢量。
2 梯度（Gradient ） 2.1 梯度的定义梯度是哈密顿算子直接作用于函数f 的结果（f 可以是标量和向量）。
(,,)f f f f f f grad f f i j k x y z x y z ∂∂∂∂∂∂=∇=++=∂∂∂∂∂∂ 标量场的梯度是向量，标量场中某一点的梯度指向标量场增长最快的地方，梯度的长度是最大变化率。
2.2 梯度的性质∇c=0∇(RS)= ∇R+∇S21()(),0R S R R S S S S∇=∇-∇≠ [()]()f S f S S '∇=∇其中，C 为常数，R 、S 为两个标量场，f 为一连续可微函数。
3 散度（Divergence ）散度是哈密顿算子与矢量函数f 点积的结果，是一个标量。
设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则散度表示为： (,,)(,,)y x z x y z f f f div f f f f f x y z x y z∂∂∂∂∂∂=∇==++∂∂∂∂∂∂ 散度是描述空气从周围汇合到某一处或从某一处散开来程度的量。
它可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。
当0div f >，该点有散发通量的正源（发散源）；当0div f <，该点有吸收通量的负源（洞或汇）； 当=0div f ，该点无源。
4 旋度（Curl, Rotation ）旋度是哈密顿算子与矢量函数f 叉积的结果，是一个矢量，设矢量函数=(,,)x y z x y z f f i f j f k f f f =++则旋度：=rot ()()()y y x x z z x y zij k f f f f f f curl f f f i j k xy z y zz x x y f f f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 旋度是矢量分析中的一个矢量算子，可以表示三维矢量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：分类：电子技术旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
梯度,散度,旋度以及其混合运算的简单应用与物理含义
梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：gradq) c T 卩 rotF F从符号中可以获得这样的信息：① 求梯度是针对一个标量函数， 求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里0称为势函数;② 求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的； ③ 求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波 动方程具有如下的形式其中a 为一实数，于是可以设想， 对于一个矢量函数来说， 要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作称为泊松方程，而算符^ 2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个 X 度的X 度”。
I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有:V = f±- + ；—+ A —dx寺dz所以有丹洛唱唱|Sc2◎- &亠当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即p=0,则称为拉普拉斯方程V2^=0当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
ii.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
如何推导梯度,散度,旋度,拉普拉斯算子的傅里叶对应
如何推导梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子是数学和物理学中常见的概念，它们在向量分析、场论、泛函分析等领域中具有重要的地位和作用。
在实际应用中，这些概念通常与傅里叶变换相结合，为问题的分析和求解提供了便利。
本文将重点探讨梯度、散度、旋度、拉普拉斯算子的傅里叶对应关系，并介绍如何推导这些对应关系。
1. 梯度的傅里叶对应梯度是一个向量算子，用来描述标量函数在空间中变化最快的方向和变化率。
对于二维空间中的标量函数f(x, y)，其梯度可以表示为：∇f = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y )其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示f对x和y的偏导数。
现在我们来推导梯度的傅里叶对应关系。
根据傅里叶变换的定义，二维空间中的函数f(x, y)的傅里叶变换可以表示为：F(kx, ky) = ∬ f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy其中，exp(-i(kx*x + ky*y))是傅里叶核，kx和ky分别表示频域中的横向和纵向频率。
我们对上式进行偏导数运算：∂F(kx, ky)/∂kx = -i ∬ x * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy∂F(kx, ky)/∂ky = -i ∬ y * f(x, y) * exp(-i(kx*x + ky*y)) dx dy这样，我们得到了梯度的傅里叶对应关系：∇f = (i∂/∂kx, i∂/∂ky) F(kx, ky)也就是说，原函数f(x, y)的梯度与其在频域中的傅里叶变换的偏导数存在对应关系，这为在频域中对梯度的分析提供了便利。
2. 散度的傅里叶对应散度是一个向量算子，描述了向量场在某一点的流出量与流入量的差异。
对于二维空间中的向量场V(x, y) = (u(x, y), v(x, y))，其散度可以表示为：div(V) = ∂u/∂x + ∂v/∂y现在我们来推导散度的傅里叶对应关系。
梯度散度旋度公式大全
梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。
本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。
1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。
假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。
在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。
梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。
梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。
梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。
（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。
（3）梯度为零的点为函数的极值点。
2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。
在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。
散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。
（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。
（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。
3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。
在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。
梯度、散度、旋度的关系
梯度、散度、旋度的关系梯度gradient设体系中某处的物理参数（如温度、速度、浓度等）为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间rn到r的函数的梯度是在rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f（x，y）在平面区域d内具有一阶连续偏导数，则对于每一点p（x，y）∈d，都可以定出一个向量（δf/x）*i+（δf/y）*j这向量称为函数z=f（x，y）在点p（x，y）的梯度，记作gradf（x，y）类似的对三元函数也可以定义一个：（δf/x）*i+（δf/y）*j+（δf/z）*k记为grad[f（x，y，z）]梯度的汉语词义，用法。
《现代汉语词典》附：新词新义梯度1.坡度。
2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。
3.依照一定次序分层次地。
我国经济发展由东向西～推进。
4.依照一定次序分出的层次。
考试命题要讲究题型有变化，难易有～。
散度散度（divergence）的概念：在矢量场f中的任一点m处作一个包围该点的任意闭合曲面s，当s所限定的体积Δv以任何方式趋近于0时，则比值∮f·ds/Δv的极限称为矢量场f在点m处的散度，并记作divf由散度的定义可知，divf表示在点m处的单位体积内散发出来的矢量f的通量，所以divf描述了通量源的密度。
关于梯度、旋度和散度的直观理解
关于梯度、旋度和散度的直观理解梯度、旋度和散度是向量场中常用的概念，它们在物理学、数学、计算机图形学等多个领域中有广泛的应用。
本文将从直观的角度出发，简单介绍这三个概念。
梯度：在向量场中，梯度描述的是向量场在某一点处变化最快的方向和大小。
在数学上，梯度是一种向量算子，表示一个标量函数的变化速率最快的方向。
例如，在地形高度图中，我们可以用梯度描述地面的坡度，地形越陡峭，梯度值越大。
梯度的方向指向函数取最大值的方向，大小表示变化率的大小。
因此，梯度经常用来计算曲面的切向和法向。
在梯度场中，梯度表示每个位置的变化的方向和大小，也可以用来计算位势场中的力场。
旋度：在向量场中，旋度描述向量场的局部旋转性质，即向量场在一个点处的“自旋”程度。
在数学上，旋度是一种向量算子，对于一种三维向量场，旋度可以描述在某一点处该向量场的局部旋转程度和方向。
旋度的大小与该点附近的环形的“自旋率”成正比，方向垂直于该环面，总是环面法线的方向。
在物理学中，旋度经常用于描述涡旋和旋转性质，例如涡旋流场、电场和磁场等。
散度：在向量场中，散度描述的是向量场在一个点上的大小，即向量场在某一点处的“源”或“汇”程度。
在数学上，散度是一种向量算子，用来描述一个三维向量场在某一点上的流入流出程度，它表示物质或能量在该点上出现的“净量”（散度为正表示物质或能量从该点流出，散度为负表示物质或能量从该点流入）。
在物理学中，散度经常用来描述电偶极子、电荷密度、质量流量等现象。
梯度、旋度和散度在数学上是三个不同的概念，但它们在物理学中具有紧密的联系。
例如，旋度和散度可以用于磁场、电场、流体动力学等领域的描述。
在现实中，物质和能量在空间中流动和转移，这些现象都可以用梯度、旋度和散度来描述。
因此，对于物理学、数学和计算机图形学等领域的研究人员来说，掌握这三个概念的基本含义和运算方法非常重要。
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F dS
S
i
F dS
Si
V
S
Si Si+1
i
F ( xi , yi , zi )Vi
V
FdV
( xi , yi , zi )
体积的剖分
ei 1
ei
散度定理的应用
D dS q
S
V
DdV dV
B 0
磁场是非发散场，没有发散源。
圆柱坐标系
( F ) F Fz F z
球坐标系
1 2 1 1 F 2 (r Fr ) (sin F ) ( F ) r r r sin r sin
dS endS F 穿过面元矢量 dS 的通量
d F ( x, y, z) dS
v v en
dS
en en
v ( x, y , z )
沿着法线方向穿过面元的力线条数。 通量为正：场从dS的下面指向上面； 通量为负：场从dS的上面指向下面。
Fx Fy Fz divF F x y z
ex e y ez x y z
Fx Fy Fz divF F x y z
z z
x y
Fx 单位体积内沿x方向发散源， x x方向发散源的强度 。
通量描述S内产生发散场的发散源的总量。
dS
en
+
B dS 0
S
磁场是非发散场，没有发散源。
矢量场穿出闭合面S的通量大小反映了场在S内的发散情 况，也反映了S内通量源的大小。
0
有净的矢量线从内 向外穿出S （发 散场）；S内有发 出矢量线的正通量 源。正电荷是电场 的正通量源。
0
有净的矢量线从外 向内穿入S（汇聚 场）, S内有汇聚 矢量线的负通量源。 负电荷是电场的负 通量源。
V
D
任意S,V成立
B dS 0
S
V
BdV 0
B 0
任意S,V成立
例1 求空间任一点P（x,y,z）的位置矢量 r 的散度。
r xex ye y zez
x y z r 3 x y z
穿出前、后两侧面的净通量值为 穿出左、右两侧面的净通量值为
Fy y xyz
Fx xyz x
z z
P
y o
( x0 , y0 , z0 )
x y
穿出上、下两侧面的净通量值为
Fz xyz z
穿出包围立方体的闭合面的通量
x
在直角坐标系中计算
F
Fx Fy Fz Fx Fy Fz F d S ( )xyz ( )V S x y z x y z 直角坐标系中的散度为
x x' y y' z z' D ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) x R y R z R
1 1 1 1 1 3 ( x x' ) ( 3 ) 3 ( y y ' ) ( 3 ) 3 ( z z ' ) ( 1 ) 3 R R R x R y R z R 2 2 2 1 3 ( z z ' ) 1 3( y y ' ) 1 3( x x' ) 3 3 5 3 5 5 R R R R R R 3 3 R 3 3 0 [( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 ]1/ 2 R R x x 1 ( 3 ) 3R 4 R x R x 4 x x' 3R R 3( x x' ) R5
0
进入与穿出闭合曲面 的矢量线相等,S内源 的代数和为0.不能判 断场是否发散，除非 S是任意曲面。
例1：已知空间电场分布为 E (r ) er E (r )，求电场强
度穿过以坐标原点为球心半径为a的闭合球面的通量。 E(r ) dS
S
S
er E (a) er dS
S
z
E (a ) dS
4a E (a)
2
dS
O
en
y
r
x
3. 矢量场的散度
通量密度（散度）：单位体积内散发出来的矢 量的通量。 F dS divF ( r ) lim S V 0 V
散度描述了通量源的密度。
P点的散度>0 ， P点的场发散，P 点有发散源；
S 的通量 F 穿过面元矢量 d
d F ( x, y, z) dS
沿着法线方向穿过面元的力线条数。 穿过曲面S的通量
dS
en
S
F dS
穿出闭合曲面S 的通量 F dS
S
◆面元在闭合曲面上:面元的法 向矢量由闭合曲面内指向外; ◆面元在开曲面上(由有向闭合 曲线C围成的) ：面元的法向矢 量与C成右手螺旋法则。
直角坐标系下散度表达式的推导
z
( x0 , y0 , z0 )
做一无限小立方体包围P（x0,y0,z0)点
穿出立方体的前侧面的净通量值为
x x F ( x0 , y0 , z0 ) ex yz Fx ( x0 , y0 , z0 )yz 2 2
o y
P
z
x y
R r r'
3 R (r r ' ) r r '
例1.4.2 已知
求： D 的散度（ R 0 ） 。
R ， R ( x x' )ex ( y y' )ey ( z z ' )ez D 3 R
1 2 1 1 E 1 2 E 2 (r Er ) (sin E ) 2 ( r Er ) r r r sin r sin r r
ra
r a
1 5 E 2 (r Ar 4 ) 1 (5r 4 4 Ar 3 ) 5r 2 4 Ar r r r2 1 5 E 2 (a Aa 4 ) 0 r r
(5r 2 4 Ar ) r a ra 0
为什么要定义通量？ 从通量判断发散场，发散源，确定源与场的关系
S
F dS 0
有散场，例பைடு நூலகம்静电场
S
F dS 0, S 无散场，例如恒磁场
通量的大小，由发散场的强度决定，由发散源的强度决定。 比如静电场的通量由S内的电荷分布决定。
穿出后侧面的净通量值为 x x F ( x0 , y0 , z0 ) (ex )yz Fx ( x0 , y0 , z0 )yz 2 2 穿出前、后两侧面的净通量值为
x x F [ Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fx ( x0 , y0 , z0 )]yz x 2 2 x
1 [( x x' ) 2 ( y y ' ) 2 ( z z ' ) 2 ]1/ 2 2( x x' ) 2
x x' R
1 3( y y ' ) ( 3) y R R5
1 3( z z ' ) ( 3) z R R5
例2.4.1 (V4) 半径为a的球形区域内充满介电常数为的电介质ε，球 外为真空。若已知电场分布如下，求空间电荷体密度（A、a为常 数）。 3 2 e ( r Ar ) ra r E 5 ε0 4 2 ε ra er (a Aa )r E r a 解： 根据高斯定理 E , 得 0 E r a
dS
en
C
闭合面的通量代表穿出曲面的力线的条数，反映了场在闭合 面内的发散情况，也反映了产生场的发散源的强度。
面元的法向矢量：
◆面元在闭合曲面上:面元的 法向矢量由闭合曲面内指向外; ◆面元在开曲面上(由有向闭 合曲线C围成的) ：面元的法向 矢量与C成右手螺旋法则。 穿过曲面S的通量
dS
Fx沿x方向的变化率，场沿 x方向发散，产生穿出垂直 于x轴方向的面积的通量
o
P
y
x
在直角坐标系中计算
F
Fy y
Fz z
单位体积内沿y方向发散源， y方向发散源的强度 。 单位体积内沿z方向发散源，z 方向发散源的强度 。
D
D
电荷密度表征了产生电位移矢量的发散源的强度。
2. 矢量场的通量
每秒钟穿过面元dS⊥的流体的体积
d v( x, y, z)dS
每秒钟穿过面元dS的流体的体积
dS
d v ( x, y, z ) endS v ( x, y, z ) dS
P v ( x, y , z )
v
面元矢量（面元有法向且有正侧和负侧）
en
S
F dS
穿出闭合曲面S的通量 F dS
S
dS
en
C
对于流速场，通量代表每秒钟流出闭合曲面的流体的体积。对 于电磁场，通量代表穿出闭合曲面的力线的条数。
D dS q
S
电场是发散场，电荷是电场 的发散源。正电荷为正通量 源，负电荷为负通量源。
Fx ( x0
x
在直角坐标系中计算
F