宝山高中补习班新王牌精品小班数学全解

第七次 其他不等式解法
一、新课教学
2、分式不等式的解法
例1 解不等式：1232
x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组）
1232x x +>-⇔12032x x +->-⇔()51032
x x -->-⇔1032x x -<- ⇔10320x x -<⎧⎨->⎩或10320x x ->⎧⎨-<⎩⇔123x x <⎧⎪⎨>⎪⎩或123x x >⎧⎪⎨<⎪⎩⇔213x <<或x 不存在. 所以，原不等式的解集为2,13⎛⎫∅ ⎪⎝⎭ ，即解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 注意到
1032x x -<-⇔10320x x -<⎧⎨->⎩或10320x x ->⎧⎨-<⎩
⇔()()3210x x --<，可以简化上述解法. 另解：（利用两数的商与积同号（
00a ab b >⇔>，00a ab b <⇔<）化为一元二次不等式）
1232x x +>-⇔12032x x +->-⇔()51032
x x -->-⇔1032x x -<- ⇔()()3210x x --<⇔213x <<，所以，原不等式的解集为2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：
（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.
（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.
一般地，分式不等式分为两类：
（1）()()
0f x g x >（0<）⇔()()0f x g x >（0<）； （2）()()0f x g x ≥（0≤）⇔()()()()
000f x g x g x ≥≤⎧⎪⎨≠⎪⎩. [说明]
解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形
就显得尤为重要.
例2 解下列不等式
（1）105x x -+>-.（2）2335x ≥-.（3）28223
x x x +<++. 例3 当m 为何值时，关于x 的不等式()()132m x x -=+的解是
（1）正数？ （2）是负数？
二、含绝对值的不等式的解法
（1）实数绝对值定义、几何意义、性质.
① 任意x R ∈，定义x 的绝对值为,0,0
x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩.
② 绝对值的几何意义：任意x R ∈，设数轴上表示数值x 的点为P ，O 为坐标原点，则 x PO =，即x 表示P 点到原点的距离.类似地，12x x -的几何意义是：数轴上表示数值1x 的点A 到数轴上表示数值2x 的点为B 的距离，即12x x AB -=.
③ 任意x R ∈，0x ≥，等号成立⇔0x =.
④ 任意x R ∈x =⇔2
2x x =. ⑤ 任意x 、y R ∈，x x x x x ±≤⇔-≤±≤.xy x y =⋅，
x x y y =（0y ≠）. （2）含绝对值的不等式的解法
例4 设a 、b R +∈，且a b <，求下列不等式的解集.
（1）x a >.（2）x b <.（3）a x b <<.
[说明]
以上结论对于a 、b R ∈均成立，即
（1）{}{},,x x a a R x x a x a a R >∈=<->∈或.
（2）{}{}
,,x x b b R x b x b b R <∈=-<<∈.
例5 解下列不等式
（1）235x -<.
（2）1
223x <-.
（3）2325x <-<.
例6 解下列不等式
（1）11x
x
x x >++.
（2）234x x ->.(3）2560x x -+>.
（3）23
12x x ->+.
例7 解不等式：125x x ++->.。