2016-2017年广东省佛山一中高二上学期数学期中试卷带答案(理科)
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.05B ．0.35C ．0.7D ．0.95 2．全称命题“2,54x R x x ∀∈+=”的否定是( )A ．2000,54x R x x ∃∈+=B ．2,54x R x x ∀∈+≠C ．2000,54x R x x ∃∈+≠D ．以上都不正确3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．144．某程序框图如图所示，若输出的结果是62，则判断框中可以是( ) A ．7?i ≥ B ．6?i ≥ C ．5?i ≥ D ．4?i ≥5．对于实数,,a b c ，“a b >”是“22ac bc >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)- 7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到 定点A 的距离|PA |1<|的概率为( )A.πB.2π C.4π D ．6π8．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分） 9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分 成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为 4、12、8.若用分层 抽样方法抽取6个 城市，则甲组中应抽取的城市数为________．10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．11．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示， 据图知，样本数据在[8，10)内的频数为 12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合） 的中点的轨迹方程为13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ． 14．有下列命题：①“若0x y +>，则00x y >>且”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若1m ≥，则22(m 1)x m 30mx -+++>的解集是R ”的逆命题； ④“若7a +是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确命题的序号是三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．第18题图16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，试估计该公司的出租车司机对新法规知晓情况比较好的概率率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．17．（满分13分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求,,n a p 的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=>（1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率； （2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，求22|F ||F |A B ⋅的值.2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品”的概率为0.65，“抽到二等品”的概率为0.3，则“抽到不合格品”的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品”的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.答案：D2．全称命题“∀x ∈R ，x 2＋5x ＝4”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0＝4 B ．∀x ∈R ，x 2＋5x ≠4 C ．∃x 0∈R ，x 20＋5x 0≠4 D ．以上都不正确解析：选C 全称命题的否定为特称命题．3.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为14，则乙组数据的中位数为( )A ．6B ．8C ．10D ．14解析：由甲组数据的众数为14得x ＝y ＝4，乙组数据中间两个数分别为6和14，所以中位数是6＋142＝10.答案：C4．某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．i >6？B ．i >7？C ．i ≥6？D ．i ≥5?解析：根据题意可知该程序运行情况如下： 第1次：S ＝0＋21＝2，i ＝1＋1＝2； 第2次：S ＝2＋22＝6，i ＝3； 第3次：S ＝6＋23＝14，i ＝4； 第4次：S ＝14＋24＝30，i ＝5； 第5次：S ＝30＋25＝62，i ＝6； 第6次：S ＝62＋26＝126，i ＝7；此时S ＝126，结束循环，因此判断框应该是“i >6？”．答案：A5．“a <0”是“方程ax 2＋1＝0至少有一个负根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 方程ax 2＋1＝0至少有一个负根等价于x 2＝－1a，故a <0，故选C.6．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(2,0)-B ．(3,0)-C ．(4,0)-D ．(5,0)-【解析】圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3，又b ＝4，∴5a =. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 【答案】 D7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到定点A 的距离|PA |<1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：如图所示，动点P 在阴影部分满足|PA |<1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，则动点P到定点A 的距离|PA |<1的概率为S ′S ＝π4. 答案：C 8．直线l 经过椭圆的一个短轴顶点顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．23D ．34解析：选B 不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0．由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝12，即e ＝12．故选B ．二、填空题（每题5分，共6个小题，满分30分）9．某课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4、12、8.若用分层抽样方法抽取6个城市，则甲组中应抽取的城市数为________．答案：110．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1， 则输出的n 的值为________．答案：311．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，据图知，样本数据在[8，10)内的频数为( )A ．38B ．57C ．76D ．95 答案：C12.已知点M 是圆224x y +=上任意一点，过点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，则线段MN （包括MN 重合）的中点的轨迹方程为2214x y += 13.在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2．过点1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．【答案】221168x y +=14．有下列命题：①“若x ＋y >0，则x >0且y >0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是 ①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(满分13分)设命题p ：x y c =为R 上的减函数，命题q ：函数2(x)234f x x c =-+>在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求c 的取值范围．解：由p ∨q 真，p ∧q 假，知p 与q 为一真一假，对p ，q 进行分类讨论即可． 若p 真，由y ＝c x为减函数，得0<c <1. .....................3分 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由不等式2(x 1)22-+≥(x ＝1时取等号)知(x)f 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为2 ......................6分若q 真，则42c <，即12c < .......................8分 若p 真q 假，则112c ≤<； .......................10分 若p 假q 真，则0c ≤. ......................12分 综上可得，(]1,0,12c ⎡⎫∈-∞⎪⎢⎣⎭......................13分16．（满分13分）某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓情况，随机对100名出租车司机进行调查，调查问卷共10道题，答题情况如下表所示．(1)如果出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓情况比较好，计算被调查的出租车司机对新法规知晓情况比较好的频率；(2)从答对题目数小于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．解：(1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为事件A ，P (A )＝1－55100＝0.45. .......................6分 （2）记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为事件M ，设答对题目数小于8的司机为A ，B ，C ，D ，E ，其中A ，B 为女司机，任选出2人包含AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种情况，.......................9分（3）至少有一名女出租车司机的事件为AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，共7种 ..12分则P (M )＝710＝0.7. ......13分16．（满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD，AC ，22AB BC ==，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（II ）线段AC 的中点为M ，求证EA //平面FDM第3题图17．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC 中，因为AC =，2AB =，1BC =，所以 BC AC ⊥． ………………3分 又因为 AC FB ⊥， 因为BC FB B =所以 ⊥AC 平面FBC ． ………………6分 （Ⅱ）M 为AC 中点时，连结CE ，与DF 交于点N ，连结MN ．因为 CDEF 为正方形，所以N 为CE 中点． ……………8分 所以 EA //MN ． ……………10分 因为 ⊂MN 平面FDM ，⊄EA 平面FDM ， ………12分 所以 EA //平面FDM ． …………13分18（满分14分）.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图.（Ⅰ）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； （Ⅱ）计算甲班的样本方差；(Ⅲ)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率. 规范解答不失分 （Ⅰ）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间， 而乙班身高集中于170180: 之间．因此乙班平均身高高于甲班 ...............4分 （Ⅱ）158162163168168170171179182170.10x ++++++++==...............6分 甲班的样本方差为:222222222221(158170)(162170)(163170)(168170)10(168170)(170170)(171170)(179170)(179170)(182170)57.2.s ⎡=-+-+-+-⎣+-+-+-+-+-+-=...............8分（Ⅲ）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）(178, 176) （176，173）共10个基本事件，...............10分而事件A含有4个基本事件；...............12分所以42().105P A ...............14分19．(满分14分)某同学利用国庆节期间进行社会实践活动，在[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳生活的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用分层抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率．解：(1)第二组的概率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，所以频率组距＝0.35＝0.06.............2分 频率分布直方图如下：............4分第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2， 所以n ＝2000.2＝1 000 .............6分 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3＝300，所以p ＝195300＝0.65. 第四组的频率为0.03×5＝0.15，所以第四组的人数为1 000×0.15＝150.所以a ＝150×0.4＝60 .............8分(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30＝2∶1，所以采用分层抽样法抽取6人，[40，45)中有4人，[45，50)中有2人．设[40，45)中的4人为a ，b ，c ，d ，[45，50)中的2人为m ，n ，则选取2人作为领队的情况有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，m )，(a ，n )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，d )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，(m ，n )，共15种， ............10分(3)其中恰有1人年龄在[40，45)岁的情况有(a ，m )，(a ，n )，(b ，m )，(b ，n )，(c ，m )，(c ，n )，(d ，m )，(d ，n )，共8种， ............12分(4)所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率P ＝815.............14分 20.（满分14分）已知椭圆的标准方程为：22221(0)43x y a a a+=> （1）当1a =时，求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）过椭圆的右焦点2F 的直线与圆222:4(0)C x y a a +=>常数交于,A B 两点，证明22|F ||F |A B ⋅为定值. 解：（1）焦点坐标12(1,0),F (1,0)F - ..........2分离心率12e = ..........3分（2）当斜率不存在时11|||F B |F A ===此时212|FA ||F B|3a ⋅= 5分当斜率不存在=时，设1122(x ,y ),B(x ,y )A:()AB y k x a =-由222(x a)x 4y k y a =-⎧⎨+=⎩ 得222222(1k )x 240ak x k a a +-+-= 7分 222212122224,11ak k a a x x x x k k -+==++ 9分11|FA |x a |==-22|F A |x a |==-所以22111212|FA||FB|(1)|x x a(x )a |k x ⋅=+-++ 12分 22222222242(1k )|a |11k a a a k k k -=+-+++23a = 13分 所以 22|F ||F |A B ⋅为定值23a .。
广东省佛山市2016-2017学年高二上学期教学质量检测理数试题 Word版含答案
2016—2017学年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点(2,1)A ，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．240x y +-=B ．20x y -=C ．230x y --=D ．250x y +-=2.“3a =”是“直线210ax y --=与直线6410x y -+=平行”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件3.若命题“()p q ∧⌝”与“p ⌝”均为假命题，则（ ） A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 假q 假D ．p 真q 假4.已知两条不同直线m 、l ，两个不同平面α、β，下列命题正确的是（ ） A ．若//l α，则l 平行于α内的所有直线 B ．若m α⊂，l β⊂且l m ⊥，则αβ⊥ C ．若l β⊂，l α⊥，则αβ⊥D ．若m α⊂，l β⊂且//αβ，则//m l5.在两坐标轴上截距均为m （m R ∈）的直线1l 与直线2l ：2230x y +-=，则m =（ ） A ．72B ．7C ．1-或7D ．12-或726.已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图的圆心角为60︒，则此圆锥的表面积为（ ） A ．3πB ．5πC ．7πD ．9π7.在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA PC BA BC ===，则直线PB 与平面PAC 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.已知圆C ：224x y +=上所有的点满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩当m 取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（ ）A ．48B ．54C ．D ．9.已知点A 和)P t （t R ∈），若曲线x =上存在点B 使60APB ∠=︒，则t 的取值范围是（ ）A ．(0,1B ．0,1⎡+⎣C ．1⎡--⎣D ．[1(0,1--U10. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，左焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与双曲线相交于B 、C 两点，若ABC ∆为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(1,2)B ．C ．2)D ．(2,)+∞11.矩形ABCD 沿BD 将BCD ∆折起，使C 点在平面ABD 上投影在AB 上，折起后下列关系：①ABC ∆是直角三角形；②ACD ∆是直角三角形；③//AD BC ；④AD BC ⊥． 其中正确的是（ ） A ．①②④B ．②③C ．①③④D ．②④12.一架战斗机以千米/小时速度朝东偏北45︒方向水平飞行，发现正东100千米外同高度有一架民航飞机正在以800千米/小时速度朝正北飞行，如双方都不改变速度与航向，两机最小距离在哪个区间内（单位：千米）（ ） A ．(0,5)B ．(5,10)C ．(10,15)D ．(15,20)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定形式为 ．14.已知椭圆的两焦点坐标分别是(2,0)-，(2,0)，并且过点，则该椭圆的标准方程是 ．15.已知圆C 的方程是2240x y x +-=，直线l ：420ax y a --+=（a R ∈）与圆C 相交于M 、N 两点，设(4,2)P ，则||||PM PN +的取值范围是 ．16.四面体ABCD 中，2AB =，3BC CD DB ===，AC AD ==则四面体ABCD 外接球表面积是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分） 已知某几何体如图1所示．（1）根据图2所给几何体的正视图与俯视图（其中正方形网格边长为1），画出几何体的俯视图，并求该侧视图的面积；（2）求异面直线AC 与EF 所成角的余弦值．18. （本小题满分12分）如图3，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为坐标原点，B 坐标为(2,1)-，C 、D 均在第一象限．（1）求直线CD 的方程；（2）若||BC =D 的横坐标．19. （本小题满分12分）如图4，三棱锥A BCD -中，BC CD ⊥，AD ⊥平面BCD ，E 、F 分别为BD 、AC 的中点．（1）证明：EF CD ⊥；（2）若1BC CD AD ===，求点E 到平面ABC 的距离．20. （本小题满分12分）已知动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离的比为12． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若点(2,2)A --，(2,6)B -，(4,2)C -，是否存在点P ，使得222||||||36PA PB PC ++=，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．21. （本小题满分12分）如图5，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，12AA =，1AD =，E 、F 分别是1AA 和1BB 的中点，G 是DB 上的点，且2DG GB =．（1）作出长方体1111ABCD A B C D -被平面1EB C 所截的截面（只需作出，说明结果即可）； （2）求证：//GF 平面1EB C ；（3）设长方体1111ABCD A B C D -被平面1EB C 所截得的两部分几何体体积分别为1V 、2V （12V V >），求21V V 的值．22.（本小题满分12分）已知M 是抛物线C ：22(0)y px p =>上一点，F 是抛物线的焦点，60MFx ∠=︒且||4FM =．（1）求抛物线C 的方程；（2）已知(1,0)D -，过F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，以F 为圆心的圆F 与直线AD 相切，试判断圆F 与直线BD 的位置关系，并证明你的结论．2016—2017学年佛山市普通高中高二教学质量检测数学（理科）答案 一、选择题1-5:CBACC 6-10:CBBDA 11、12：AD二、填空题13.0x R ∃∈,20010x x ++≤ 14.2211612x y += 15. (4,16.16π三、解答题17.解：（1）侧（左）视图如图． 其中13443182S =⨯+⨯⨯=．18.解：（1）因为ABCD 是平行四边形，所以//AB CD ，所以12AB CD k k ==-． 设直线CD 的方程为12y x m =-+，即220x y m +-=．因为四边形ABCD 的面积为8，||AB =，所以AB 与CD，=，所以4m =±． 由图可知，0m >，所以4m =，直线CD 的方程为280x y +-=．（2）设D 坐标为(,)a b，因为||BC =||AD =．所以280,a b +-=⎧=解得65a =或2a =．19.（1）证明：取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，因为E 是BD 的中点， 所以EG 是BCD ∆的中位线，于是//EG BC ，而BC CD ⊥，所以EG CD ⊥． 同理，//FG AD ，而AD ⊥平面BCD ，所以FG ⊥平面BCD ，所以FG CD ⊥． 因为EG FG G =I ，EG 、FG ⊂平面EFG ，所以CD ⊥平面EFG ，又EF ⊂平面EFG ，所以EF CD ⊥． （2）解：因为点E 是BD 的中点，所以点E 到平面ABC 的距离等于点D 到平面ABC 的距离的12． 连接DF ，因为CD AD =，F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．因为AD ⊥平面BCD ，所以AD BC ⊥，而BC CD ⊥，AD CD D =I ， 于是BC ⊥平面ACD ，所以BC DF ⊥．因为AC BC C =I ，所以DF ⊥平面ABC ，所以DF 就是点D 到平面ABC 的距离．又AC =12DF AC ==，于是点E 到平面ABC．20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，依题意，有||1||2PM PN =．即=224x y +=．（2）结论：不存在．理由：由222||||||36PA PB PC ++=，可得222222(2)(2)(2)(6)(4)(2)36x y x y x y ++++++-+++-=，化简可得22331612320x y x y ++-+=．因为224x y +=，所以43110x y -+=， 圆心O 到直线43110x y -+=的距离1125d =>， 所以直线与圆相离，因此不存在满足条件的点P ． 21.解：（1）取AD 的中点M ，连结EM 、MC ． 则1EMCB 即为所求的截面． （2）设MC DB N =I ，连结1B N ．依题意知//AD BC ，所以DMN BCN ∆∆:，所以12DN DM BN BC ==． 又因为2DG GB =，所以DN NG GB ==， 又因为1B F FB =，所以1//FG B N ，因为FG ⊄平面1EB C ，所以1B N ⊂平面1EB C ，所以//GF 平面1EB C ．（3）延长1B E 、CM 必相交于BA 的延长线于点O ． 因为//AM BC ，所以OAM OBC ∆∆:，所以12OA AM OB BC ==，所以OA AB ==所以111111121132322AME BCB O BCB O AME V V V ---=-=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=．11111111112CC B DD A EM ABCD A B C D AME BCB V V V --=-==．所以21717V V ==．22.解：（1）抛物线C 的准线方程为'l ：2px =-，过点M 作'MN l ⊥于点N ，连结NF ． 由抛物线的定义可知||||MN FM =，又60NMF MFx ∠=∠=︒，所以MNF ∆为等边三角形，所以||4NF =，于是2p =，所以抛物线的方程为24y x =．（2）若直线l 的斜率不存在，则ABD ∆为等腰三角形，且||||AD BD =， 所以圆F 与直线BD 相切．若直线l 的斜率存在，设为k （0k ≠），直线l 的方程为(1)y k x =-，联立24y x =，消去y 可得2222(24)0k x k x k -++=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则121x x =，即121x x =． 直线AD 的方程为11(1)1y y x x =++，即111(1)0y x x y y -++=， 所以圆F 的半径为R ，则2222211222222221111244(1)41(1)(1)(1)()1y k x k R x y x x k x k x -===+++++-+-． 直线BD 的方程为222(1)0y x x y y -++=，点F 到直线BD 的距离为d ，则222222222222222222244(1)41(1)(1)(1)()1y k x k d x y x x k x k x -===+++++-+-． 所以22R d =，所以R d =，所以圆F 与直线BD 相切.。
2016年广东省佛山一中高二上学期数学期中试卷和解析(理科)
2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=03．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）A．B．125C．50πD．125π5．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π6．（5分）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°7．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a28．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等10．（5分）一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．211．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．14．（5分）已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B 两点，则弦长|AB|=．15．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．16．（5分）已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．18．（12分）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．21．（12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．22．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE ∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．2015-2016学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分．每题的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．2．（5分）已知A（2，4）与B（3，3）关于直线l对称，则直线l的方程为（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y﹣6=0 D．x﹣y+1=0【解答】解：由题意得直线l是线段AB的中垂线．线段AB的中点为D（，），线段AB的斜率为k==﹣1，故直线l的斜率等于1，则直线l的方程为y﹣=1×（x﹣），即x﹣y+1=0，故选：D．3．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．4．（5分）长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）A．B．125C．50πD．125π【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴V=π×R3=．球故选：A．5．（5分）如图是某几何体的三视图，其中俯视图和侧视图是半径为1的半圆，主视图是个圆，则该几何体的全面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【解答】解：由三视图知几何体的直观图是半个球，全面积为，故选：C．6．（5分）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解析：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故选：C．7．（5分）如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（）A．a2B．a2C．2a2D．2a2【解答】解：由斜二测画法的规则知与x′轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y′轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，∴原平面图形的面积为=故选：C．8．（5分）在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选：C．9．（5分）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α⊥γ，且β⊥γB．m，n是两条异面直线，且m∥β，n∥β，m∥α，n∥αC．m，n是α内的两条直线，且m∥β，n∥βD．α内存在不共线的三点到β的距离相等【解答】解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．B中，利用平面与平面平行的判定，可得正确；C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．D中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．故选：B．10．（5分）一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：设圆锥的底面半径为r，∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，∴圆锥的母线长为3r，又∵圆锥的表面积为π，∴πr（r+3r）=π，解得：r=，l=，故圆锥的高h==，故选：B．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E﹣BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵BD⊥平面ACC1，∴BD⊥CE，故①正确；∵点C到直线EF的距离是定值，点B到平面CEF的距离也是定值，∴三棱锥B﹣CEF的体积为定值，故②正确；线段EF在底面上的正投影是线段GH，∴△BEF在底面ABCD内的投影是△BGH，∵线段EF的长是定值，∴线段GH是定值，从而△BGH的面积是定值，故③正确；设平面ABCD与平面DEA1的交线为l，则在平面ABCD内与直线l平行的直线有无数条，故④对．故选：D．12．（5分）设P，Q分别为直线x﹣y=0和圆x2+（y﹣6）2=2上的点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．4【解答】解：由题意可得圆心（0，6）到直线x﹣y=0的距离为d==3，圆的半径r=，故|PQ|的最小值为d﹣r=2，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（几何证明选讲选做题）如图，在矩形ABCD中，，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=．【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°，∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2，∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==，∴∠ECD=60°，在△ECD中，CD=AB=，EC=，根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC•CDcos∠ECD=+3﹣=，则ED=．故答案为：14．（5分）已知直线m：x+y﹣2=0与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1相交于A，B两点，则弦长|AB|=．【解答】解：由圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得圆心M（1，2），半径r=1．∴圆心到直线m：x+y﹣2=0的距离d==．∴弦长|AB|=2=．故答案为：15．（5分）如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E．则=．【解答】解：连接OD，CD∵DE是圆的切线，∴OD⊥DE，又∵DE⊥AC，∴OD∥AC；∵AB=AC，∴BD=OD；又∵OD=OB，∴OB=OD=BD，∴△BDO是等边三角形，∴∠B=60°，∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形．在直角△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE，在直角△ADC中，∠A=60°，∴AC=2AD，∴AC=4AE∴=故答案为：16．（5分）已知光线经过点A（﹣1，2）由镜面所在直线y=x反射后经过点B（1，4），则反射光线所在直线方程为5x+y﹣9=0．【解答】解：设A（﹣1，2）关于直线y=x对称的点为（m，n），则，解得：，∴反射光线的斜率为：k==﹣5，∴反射光线的直线方程为：y﹣4=﹣5（x﹣1），即5x+y﹣9=0，故答案为：5x+y﹣9=0．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）如图，直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，点B在圆上，且∠PAC=∠BCD．（1）证明：AB∥CD；（2）若PC=2AC，求．【解答】（1）证明：∵直线PA与圆相切于点A，过P作直线与圆交于C、D两点，∴∠PAC=∠ABC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵∠PAC=∠BCD∴∠ABC=∠BCD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴AB∥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）解：由（1）得AB∥CD，∠PAC=∠ABC∴∠BAC=∠ACP﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴△PAC∽△CBA﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）18．（12分）已知圆心C（1，2），且经过点（0，1）（Ⅰ）写出圆C的标准方程；（Ⅱ）过点P（2，﹣1）作圆C的切线，求切线的方程及切线的长．【解答】解（Ⅰ）∵圆心C（1，2），且经过点（0，1）圆C的半径，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴圆C的标准方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设过点P（2，﹣1）的切线方程为y+1=k（x﹣2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）即kx﹣y﹣2k﹣1=0，有：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴k2﹣6k﹣7=0，解得k=7或k=﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴所求切线的方程为7x﹣y﹣15=0或x+y﹣1=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由圆的性质可知：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点．（1）求证：AD⊥C1D；（2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B．【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵BC⊂平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，BC∩BB1=B，∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵DC1⊂面B1BCC1，∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示：∵O是正方形ACC1A1对角线的交点∴O为A1C中点∵D是BC的中点∴OD∥A1B，且OD⊂平面ADC1，A1B⊊平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∵D，D1分别是BC，B1C1的中点，∴AA1∥DD1，AA1=DD1，∴四边形AA1D1D是平行四边形∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵A1D1⊄平面ADB1，AD⊂平面ADB1，∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵A1D1∩A1B=A1，∴平面ADC 1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求证：CD⊥平面PAC（II）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置，并证明，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊂侧面PAD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．又∵PA、AC是平面PAC内的相交直线，∴CD⊥平面PAC．（II）在PA上存在中点E，使得BE∥平面PCD，证明如下：设PD的中点为F，连结BE、EF、FC，则∵EF是△PAD的中位线，∴EF∥AD，且EF=AD．∵BC∥AD，BC=AD，∴BC∥EF，且BC=EF，∴四边形BEFC为平行四边形，∴BE∥CF．∵BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．21．（12分）如图（1），在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ACD⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图所示（2）．（1）求几何体D﹣ABC的体积；（2）求二面角D﹣AB﹣C的正切值；（3）求几何体D﹣ABC的外接球的表面积．【解答】解：（1）在直角梯形中，知AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC，∴OD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD，=×2×2=2，∵S△ACD∴三棱锥B﹣ACD的体积为：=，由等积性知几何体D﹣ABC的体积为：；（2）记AC中点为E，过E作EH⊥AB，连结DE，DH，∵AD=DC，E为AC中点，∴DE⊥AC，∵平面平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC，∴DE⊥平面ACB，∴DE⊥AB，又∵EH⊥AB，且DE∩HE=E，∴AB⊥平面DHE，∴DH⊥AB，∴∠DHE是二面角D﹣AB﹣C的平面角．∵DE=，HE=1，∴tan∠DHE=；（3）O为AB中点，E为AC中点，连结DE，EO，DO，∵DE⊥平面ACB，DE=OE=，∴DE⊥OE，DO=2．又∵AO=BO=CO=2，∴D﹣ABC的外接球的球心为O，半径为2，∴D﹣ABC的外接球的表面积为16π．22．（12分）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于点E；∴四边形ABCE是边长为2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC⊂平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC⊂平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；设是面BCD的法向量；则令y=1，得；设BG与面BCD所成角为θ；则=；∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
广东省佛山市20162017学年高二上学期期中考试理科数学试卷Word版含答案
2016学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题命题人：李维、吴以浩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知两直线a ，b 和两平面α，β，则下列命题中正确的为( ) A ． 若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥α B ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥α C ． 若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥b D ．若a ⊥α且α⊥β，则a ⊥β3．如图所示的正方形O ＇A ＇B ＇C ＇的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6cmB ．8cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm4．某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是x －甲，x －乙，则下列说法正确的是( ) A ．x －甲＞x －乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ．x －甲＞x －乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ．x －甲＜x －乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x －甲＜x －乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛5．某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如表所示：x 16 17 18 19 y50 34 41 31由表可得回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为( )A ． 26个B ． 27个C ． 28个D ． 29个6．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A ．310B ．25C ．12D ．357．已知α，β是两个相交平面，若点A 既不在α内，也不在β内，则过点A 且与α，β都平行的直线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－110．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝011．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A ．88246++B ．88226++C ．2226++D ．126224++12．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1， BC ＝2，则球O 的表面积等于( ) A ．4πB ．3πC ．2πD ．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知Rt △ABC 斜边上的高CD ＝4，则AD ·BD ＝________．14．已知△ABC 三边的长分别为5、12、13，则△ABC 的外心O 到重心G 的距离为________．15．图中矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则可以估计出阴影部分的面积为________． 16．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)，求：(Ⅰ)BC边上高线AH所在直线的方程；(Ⅱ)若直线l过点B且横、纵截距互为相反数，求直线l的方程．18．(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(Ⅰ)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(Ⅱ)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a，那么月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；(Ⅲ)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数(同一组中的数据用该区间的中点值代表)．19．(本小题满分12分)如图，在几何体P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AB，四边形ABCD为矩形，△P AB为正三角形，若AB＝2，AD＝1，E，F分别为AC，BP中点．(Ⅰ)求证EF∥平面PCD；(Ⅱ)求直线BP与平面P AC所成角的正弦．20．(本小题满分12分)如图所示，已知圆O的直径长度为4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆 O 上一点，且BC ＝3AC ．点P 在圆O所在平面上的正投影为点D ，PD ＝BD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面P AB ； (Ⅱ)求点D 到平面PBC 的距离．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)证明：CD ⊥AE ；(Ⅱ)求二面角A －PD －C 的正切值的大小．22．(本小题满分12分)正方形ABCD 一条边AB 所在方程为x ＋3y －5＝0，另一边CD 所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0，(Ⅰ)求正方形中心G 所在的直线方程；(Ⅱ)设正方形中心G (x 0，y 0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x 0的取值范围．2016学年度上学期期中考试高二级数学(理科)答案命题人：李维、吴以浩一、选择题1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．16 14．133 15．235 16．(2，4)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(Ⅰ)因为直线BC 的斜率k BC ＝1－3－2－2＝－12，…………………………………………1分所以BC 边上的高线AH 的斜率k AH ＝－1k BC ＝2，………………………………………3分所以直线AH 的方程为y －0＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0．……………………………5分(Ⅱ)若直线l 的横、纵截距均为零，则直线l 过原点．又因为直线l 过点B (2，1)，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0．………………………………………………………7分若直线l 的横、纵截距均不为零，设直线l 的方程为x a ＋y －a ＝1，则2a ＋1－a ＝1，解得a＝1．此时直线l 的方程为x －y －1＝0．……………………………………………………9分综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x －y －1＝0．……………………………………10分18．(本小题满分12分)(Ⅰ)………2分(Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．………………………………………………4分 理由如下：样本中月均用水量不低于2.5吨的居民占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．…6分(Ⅲ)从频率分布直方图中可以看出，频率最高的一组为[2，2.5)，据此估计这100位居民的月均用水量的众数为2.25(吨)；……………………………………………………………8分用水量低于2吨和高于2吨的居民各占50%，据此估计这100位居民的月均用水量的中位数为2(吨)；…………………………………………………………………………………10分 根据频率分布直方图，估计这100位居民的月均用水量的平均数为0.5×(0.25×0.10＋0.75×0.20＋1.25×0.30＋1.75×0.40＋2.25×0.60＋2.75×0.30 ＋3.25×0.10)＝1.875(吨)．……………………………………………………………………12分19．(本小题满分12分)(Ⅰ)因为E 为AC 中点，所以DB 与AC 交于点E ．因为E ，F 分别为AC ，BP 中点，所以EF 是△BDP 的中位线，……………………2分所以EF ∥DP ．……………………………………………………………………………3分 又DP ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，……………………………………………………4分 所以EF ∥平面PCD ．……………………………………………………………………5分(Ⅱ)取AP 的中点H ，连接HC ，HB ．过B 作BO ⊥HC ，垂足为O ，连接OP ． 因为平面ABCD ⊥平面APB ，平面ABCD ∩平面APB ＝AB ， 又BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面APB ．……………………………………………………………………7分 从而BC ⊥AP ． 又因为AB ＝BP ， 所以BH ⊥AP ．又BC ∩BH ＝B ，所以AP ⊥平面BCH ，……………………………………………………………………9分 从而AP ⊥BO ． 又AP ∩HC ＝H ， 所以BO ⊥平面P AC ，则∠BPO 就是直线BP 与平面P AC 所成角．…………………………………………10分 在Rt △BCH 中，BO ＝BH ·BC HC ＝32． 在Rt △BOP 中，结合BP ＝2，得sin ∠BPO ＝OB BP ＝34．故直线BP 与平面P AC 所成角的正弦值为34．………………………………………12分20．(本小题满分12分)(Ⅰ)连接CO ，由AD ＝13DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ，……………………………………………1分 由BC ＝3AC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形，从而CD ⊥AO ． (3)分 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， 所以PD ⊥平面 ABC ， 又CD ⊂平面 ABC ，所以PD ⊥CD ，又PD ∩AO ＝D ，…………………………………………………………………………5分 所以CD ⊥平面P AB ．……………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CD ＝3，PD ＝BD ＝3．…………………………………………………7分 过点D 作DE ⊥CB ，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF ⊥CB ，垂足为F ． 因为PD ⊥平面ABC ， 又CB ⊂平面 ABC ， 所以PD ⊥CB ，又PD ∩DE ＝D ，所以CB ⊥平面PDE ，……………………………………………………………………9分 又DF ⊂平面 PDE ， 所以CB ⊥DF ． 又CB ∩PE ＝E ，所以DF ⊥平面 PBC ，则DF 为点D 到平面PBC 的距离．……………………………………………………10分 在Rt △DEB 中，DE ＝DB sin30°＝32，PE ＝PD 2＋DE 2＝352．在Rt △PDE 中，DF ＝PD ·DE PE ＝355．即点D 到平面PBC 的距离为355．……………………………………………………12分21．(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：在四棱锥P －ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故P A ⊥CD ，………………………………………………………………………………1分∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，………………………………………………………………………3分 而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE ．…………………………………………………………5分 (Ⅱ)由题设P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂平面P AD ，则平面P AD ⊥平面ACD ，…………………………………………………………………6分交线为AD ，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，故CF ⊥平面P AD ，…………………………………………………………………………7分过点F 作FM ⊥PD ，垂足为M ，连接CM ，故CM ⊥PD ，因此∠CMF 是二面角A －PD －C 的平面角，……………………………………………9分由已知，可得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，CF ＝12a ，FD ＝36a ．∵△FMD ∽△P AD ，∴FM P A ＝FDPD ．于是，FM ＝FD ·P A PD ＝36a ·a213a ＝714a ．在Rt △CFM 中，tan ∠CMF ＝CF FM ＝12a714a ＝7．………………………………………12分22．(本小题满分12分)正方形ABCD 一条边AB 所在方程为x ＋3y －5＝0，另一边CD 所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0．(Ⅰ)求正方形中心G 所在的直线方程；(Ⅱ)设正方形中心G (x 0，y 0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x 0的取值范围．(Ⅰ)由于正方形中心G 所在直线平行于直线x ＋3y －5＝0，设中心所在直线为x ＋3y ＋c ＝0，…………………………………………………………2分由平行线间的距离公式得|c ＋5|12＋32＝|c －7|12＋32．…………………………………………4分解得c ＝1．则正方形中心G 所在的直线方程为x ＋3y ＋1＝0．……………………………………5分(Ⅱ)由平行线间的距离公式得正方形的边长为d ＝|7＋5|12＋32＝1210．设正方形BC ，AD 所方程为3x －y ＋m ＝0，由于中心G (x 0，y 0)到BC 的距离等于d 2＝610那么|3x 0－y 0＋m |12＋32＝610解得m ＝±6－3x 0＋y 0 ①又因为G 在直线x ＋3y ＋1＝0上，那么x 0＋3y 0＋1＝0，即y 0＝－x 0＋13②把②代入①得m ＝±6－10x 0＋13③……………………………………7分 联立方程⎩⎨⎧x ＋3y －5＝03x －y ＋m ＝0解得⎩⎨⎧x ＝－3m ＋510y ＝m ＋1510……8分由于正方形只有两个点在第一象限，那么⎩⎨⎧x ＞0y ＞0就是⎩⎨⎧－3m ＋510＞0m ＋1510＞0 解得－15＜m ＜53⑤……………………………………9分把③代入⑤得到－15＜±6－10x 0＋13＜53……………………………………10分解得65＜x 0＜135……11分故x 0的取值范围为⎝⎛⎭⎫65，135……………………………………12分。
2016-2017年广东省佛山一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13． （5 分）已知 Rt△ABC 斜边上的高 CD=4，则 AD•BD= ．
14． （5 分）已知△ABC 三边的长分别为 5、12、13，则△ABC 的外心 O 到重心 G 的距离为 ．
15． （5 分）如图的矩形，长为 5，宽为 2，在矩形内随机地撒 300 颗黄豆，数得 落在阴影部分的黄豆数为 138 颗， 则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
B．x+2y﹣9=0
11． （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三 视图，则该四面体的表面积为（ ）
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A．8+8
+4
B．8+8
+2
C．2+2
+
D． +
+
12． （5 分） 已知 S， A， B， C 是球 O 表面上的点， SA⊥平面 ABC， AB⊥BC， SA=AB=1， ，则球 O 的表面积等于（ A．4π B．3π C．2π D．π ）
2016-2017 学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1． （5 分）直线 A． B． x+3y+1=0 的倾斜角是（ C． D． ） ）
2． （5 分）已知两直线 a，b 和两平面 α，β，下列命题中正确的为（ A．若 a⊥b 且 b∥α，则 a⊥α C．若 a⊥α 且 b∥α，则 a⊥b B．若 a⊥b 且 b⊥α，则 a∥α D．若 a⊥α 且 α⊥β，则 a∥β
A． B． C． D．
广东省佛山市2016第一学期普通高中高二教学质量检测理科数学
2015～2016学年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学（理科）本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: ① 柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.② 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．经过两点(A m,(),B m -的直线的倾斜角为30︒,则=m ( )A . 3-B . 35-C . 13- D . 1 2．命题“0x ∃∈R ,200220x x ++≤”的否定是( )A . x ∀∈R ,2220x x ++≤B . x ∀∈R ,2220x x ++>C . 0x ∃∈R ,200220x x ++>D . 0x ∃∈R ,200220x x ++≥3．已知点(),,M a b c 是空间直角坐标系O xyz -中的一点,则与点M 关于z 轴对称的点的坐标是( )A . (),,a b c --B . (),,a b c --C . (),,a b c --D . (),,a b c --- 4．两圆1C :22430x y x +-+=和2C:2230x y +++=的位置关系是( )A . 相离B . 相交C . 内切D . 外切 5．“3=a ”是“直线230++=ax y a 和直线()317x a y a +-=-平行”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．5C ．6D ．77．已知命题p :“若直线a 与平面α内两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直”,命题q :“存在两个相交平面垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为( )A . ∧p qB . ∨p qC . ⌝∨p qD . ∧⌝p q2016年1月8．下列命题中正确的个数是( )① 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行． ② 若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行． ③ 若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． ④ 若直线l 上有无数个点不在平面α内,则//αl ．A . 0B . 1C . 2D . 39．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半,且2===AB BC CA ,则球O 的体积为( )A .25681π B . 6427π C . 169π D . 43π10.已知圆C :224x y +=上恰有两个点到直线l :0x y m -+=的距离都等于1,则实数m 的取值范围是( )A.⎡-⎣B.(-C. ⎡-⎣ D. (-11.若直线30ax by +-=与圆223x y += 没有公共点，则过点(),M a b 的直线l 与椭圆22143x y +=的公共点的个数是A . 0B . 1C . 2D . 1或212. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:34C x y -+=，点,A B 在圆C上，且AB =，则OA OB +的最大值是( )A . 8 B. C . 4 D. 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分． 13.抛物线24y x =的焦点坐标是 ．14.在正方体1111-ABCD A BC D 中,点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上,且 112=A P PB ,112=C Q QD ,则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为 .15.已知一个空间几何体的三视图如图1所示,其三视图均为边长为1的 正方形,则这个几何体的表面积为 .16. 已知F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，若以F 为圆心的圆22:430C x y x +-+=与双曲线的渐近线相切，则双曲线的标准方程为.正视图侧视图俯视图图1BAD C A 1C 1B 1D 1图2D A 1B 1C 1ABC 图3三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)如图2,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,请在此正方体中取出四个顶点构成一个三棱锥,满足三棱锥的四个面都是直角三角形,并求此三棱锥的体积.18.(本小题满分12分)圆心为C 的圆经过点()0,2A 和点()2,0B ,且圆心C 在直线1l :240x y --=上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；(Ⅱ) 求直线2l :3480x y +-=被圆C 截得的弦的长度.19.(本小题满分12分)如图3,在三棱柱111C B A ABC -中,侧棱垂直于底面,各棱长均为2,D 为线段11C B 中点． (Ⅰ) 证明://1AC 平面1A BD ；(Ⅱ) 求1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值.图420.(本小题满分12分)已知动圆C 过点()0,1F ,圆心C 在x 轴上方,且到点F 的距离比到x 轴的距离大1. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ) 设A 、B 是曲线E 上两个不同的动点,过A 、B 分别作曲线E 的切线,两切线相交于P 点,且AP BP ⊥,求AB 的最小值.21.(本小题满分12分)如图4,在直角梯形ABCD 中,AD AB ⊥,4,2===CD AD AB ,点E 为CD 中点,将三角形ABD 沿BD 翻折．(Ⅰ) 证明:在翻折过程中,始终有BD AE ⊥； (Ⅱ) 当32=AC 时,求二面角C BD A --的大小.22.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)右焦点的直线l :y kx k =-交C 于,A B两点,P 为AB 的中点,当1k =时OP 的斜率为12-.(Ⅰ) 求C 的方程；(Ⅱ) x 轴上是否存在点Q ,使得k 变化时总有AQO BQO ∠=∠,若存在请求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.BA D CA 1C 1B 1D 12015～2016年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题(每题5分,共60分)二、填空题（每题5分，共20分）13．10,16⎛⎫⎪⎝⎭14． 45 15．3 16．2213x y -= 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)【解析】在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底 面,如ABD∆；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点,作为三棱 锥的顶点,即点1B 、1D ,可得两个符合条件的三棱锥1D ABD -和三棱 锥1B ABD -.(取出的三棱锥一定用到正方体的一条体对角线.)……7分三棱锥的体积611211312=⨯⨯⨯=V . …………………10分18.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ) 解法1:AB 的中点为()1,1,斜率为1-,则AB 的垂直平分线为y x =.……2分 联立240y xx y =⎧⎨--=⎩,解得圆心C 的坐标为()4,4.……5分半径r ==所以圆C 的方程为()()224420x y -+-=.……7分解法2:设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=.………1分由42042024022E F D F D E ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得8812D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,故所求圆C 的方程为2288120x y x y +--+=.……7分(Ⅱ)圆心到2l 的距离为4d ==. ………………………9分2==,于是直线2l 被圆C 截得的弦的长度为4. …12分HFCBAC 1B 1A 1D 【解析】(Ⅰ)连接1AB ,交B A 1于点F ,连接DF ,11C AB ∆中,D ,F 分别为B A 1,11C B 中点,所以1//DF AC ．……………2分因为DF ⊂平面1A BD ,⊄1AC 平面1A BD所以//1AC 平面1A BD ． …………………………4分 (Ⅱ)方法1:如图,作BD H B ⊥1,垂足为H ,因为1BB ⊥平面111C B A ,⊂D A 1平面111C B A ,所以11A D BB ⊥,又111A D B C ⊥,且1111B C B BB = ,⊂111,C B BB 平面C C BB 11,所以1A D ⊥平面C C BB 11.……6分 因为1B H ⊂平面C C BB 11,所以11B H A D ⊥,又1B H BD ⊥,且D BD D A = 1,⊂BD D A ,1平面BD A 1,所以1B H ⊥平面BD A 1,所以BH B 1∠为1BB 与平面1A BD 所成的角．………………8分在1Rt B BD ∆中,55sin 11==∠BD D B BH B ．……11分因此1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值为55.…12分方法2:取AB 中点O ,连接CO ．因为⊥1AA 平面ABC ,⊂CO 平面ABC ,所以1AA CO ⊥．又因为AB CO ⊥,且A AB AA = 1,⊂AB AA ,1面11A ABB ,所以,⊥CO 平面11A ABB ．……6分 如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则()11,2,0A ,()1,0,0B -, ()11,2,0B -,12D ⎛- ⎝,所以,()12,2,0BA =,1,2,22BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()10,2,0BB = .………8分 设平面1A BD 的法向量(),,x y z =n ,由10BA BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ,得2201202x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩, 令1=x ,得(1,=-n ,……………………………………10分设直线1BB 与平面1A BD 所成角大小为θ,则111sin cos 5BB BB BB θ⋅=⋅==⋅n n n , 所以,1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值为55．…………………………12分【解析】(Ⅰ)设动圆C 的圆心坐标为(),x y ,点C 到x 轴的距离为y ,…………1分 由题意知:1CFy -=1y =（0y >）……………2分化简得24x y =(0y >),即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24x y =(0y >).……………4分(Ⅱ)设()22121200,,,,,44x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线AP 的斜率为k ,联立()211244x y k x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,消去y 得2211440x kx kx x -+-= …………6分由()()22114440k kx x ∆=--=得12x k =,同理BP 的斜率为22x,…………7分 因为AP BP ⊥,所以124x x =- …………8分直线AB 的斜率为1214x x k +=,直线AB 的方程为()21211211444x x x x x y x x x ++=-+=+．…9分 联立1214y k x y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得21440x k x --=, …………10分得1214x x k +=,124x x =-,所以()241AB k =+．……11分所以当0k =时,AB 的最小值4． …………12分 21.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)在梯形ABCD 中,连接BE ,因为,2AB AD ABAD ⊥==, 所以BD =又12//2DE DC AB CD ==，,所以四边形ABDE 为正方形, 在梯形ABCD 中,连接AE 交BD 于F ,则BD AE ⊥ ……2分 翻折过程中,始终有BD AF ⊥,BD EF ⊥,又AF EF F = ,所以BD ⊥面AEF , 又AE ⊂面AEF , 所以BD AE ⊥ ……………5分 (Ⅱ)翻折前,四边形ABDE 为正方形,即有2BE =,BE CD ⊥,所以2222=+=EC BE BC,在BCD ∆中,((2222216BD BC CD +=+==,所以BC BD ⊥ ……………………6分因为//EF BC ,所以EF BD ⊥,翻折之后,仍有BD EF ⊥,又AF BD ⊥,所以AFE ∠为二面角A BD C --的平面角, ………………8分因为24,AD DC AC ===，所以222AD AC DC +=,即AC AD ⊥, 因为E 为DC 的中点,所以122AE CD ==.………………10分 在AFE ∆中,222=-=BF AB AF ,221==BC EF ,2=AE 所以222AE EF AF =+,即有AF EF ⊥ ……………………11分所以二面角C BD A --为90︒.……………………12分 22.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为l :y kx k =-过定点()1,0,所以1c =,221a b =+. …………1分当1k =时,直线l :y kx k =-,联立2222111y x x y b b=-⎧⎪⎨+=⎪+⎩,设()()1122,,,A x y B x y , 化简得()()2224212110b x b x b +-++-=. …………3分则()21222121b x x b ++=+,于是()22121222212222121b b y y x x b b +-+=+-=-=++………4分 所以AB 中点P 的坐标为22221,2121b b b b ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭,OP 的斜率为22112b b -=-+,所以1b =,a =…5分 从而椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………6分 (Ⅱ)假设存在点Q 设坐标为(),0m ,联立2212y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得:()2222214220k x k x k +-+-=. …………7分所以2122421k x x k +=+,21222221k x x k -=+. …………8分直线AQ 的斜率11AQ y k x m =-,直线BQ 的斜率22BQ y k x m=-. …………9分 ()()()()()()()()()2121212121212222121121AQ BQk m k x x m x x m k x k x k k k x m x m x m x m x m x m --+++⎡⎤--⎣⎦++=+==------……10分当2m =时,0AQ BQ k k +=,所以存有点()2,0Q ,使得AQO BQO ∠=∠.. …………12分。
广东省佛山市2016-2017学年高二上学期期中考试理科数学试卷Word版含答案
2016学年度上学期期中考试高二级数学(理科)试题命题人：李维、吴以浩一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．已知两直线a ，b 和两平面α，β，则下列命题中正确的为( ) A ． 若a ⊥b 且b ∥α，则a ⊥α B ．若a ⊥b 且b ⊥α，则a ∥α C ． 若a ⊥α且b ∥α，则a ⊥b D ．若a ⊥α且α⊥β，则a ⊥β3．如图所示的正方形O ＇A ＇B ＇C ＇的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6cmB ．8cmC ．(2＋32)cmD ．(2＋23)cm4．某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是x －甲，x －乙，则下列说法正确的是( ) A ．x －甲＞x －乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B ．x －甲＞x －乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C ．x －甲＜x －乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D ．x －甲＜x －乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛5．某产品在某零售摊位的零售价x (单位：元)与每天的销售量y (单位：个)的统计资料如表所示：x 16 17 18 19 y50 34 41 31由表可得回归直线方程ˆˆˆya bx =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为( )A ． 26个B ． 27个C ． 28个D ． 29个6．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是( )A ．310B ．25C ．12D ．357．已知α，β是两个相交平面，若点A 既不在α内，也不在β内，则过点A 且与α，β都平行的直线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°9．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为( )A ．0或3或－1B ．0或3C ．3或－1D ．0或－110．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝011．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为( )A ．88246++B ．88226++C ．2226++D ．126224++12．已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝AB ＝1， BC ＝2，则球O 的表面积等于( ) A ．4πB ．3πC ．2πD ．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知Rt △ABC 斜边上的高CD ＝4，则AD ·BD ＝________．14．已知△ABC 三边的长分别为5、12、13，则△ABC 的外心O 到重心G 的距离为________．15．图中矩形的长为5，宽为2，在矩形内随机撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则可以估计出阴影部分的面积为________． 16．在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为A (－3，0)，B (2，1)，C (－2，3)，求：(Ⅰ)BC 边上高线AH 所在直线的方程；(Ⅱ)若直线l 过点B 且横、纵截距互为相反数，求直线l 的方程．18．(本小题满分12分)我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准a ，用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量(单位：t)，制作了频率分布直方图．(Ⅰ)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(Ⅱ)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准a ，那么月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；(Ⅲ)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数(同一组中的数据用该区间的中点值代表)．19．(本小题满分12分)如图，在几何体P ﹣ABCD 中，平面ABCD ⊥平面P AB ，四边形ABCD 为矩形，△P AB 为正三角形，若AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为AC ，BP 中点． (Ⅰ)求证EF ∥平面PCD ；(Ⅱ)求直线BP 与平面P AC 所成角的正弦．20．(本小题满分12分)如图所示，已知圆O 的直径长度为4，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆 O 上一点，且BC ＝3AC ．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD ＝BD ． (Ⅰ)求证：CD ⊥平面P AB ； (Ⅱ)求点D 到平面PBC 的距离．21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(Ⅰ)证明：CD ⊥AE ；(Ⅱ)求二面角A －PD －C 的正切值的大小．22．(本小题满分12分)正方形ABCD 一条边AB 所在方程为x ＋3y －5＝0，另一边CD 所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0，(Ⅰ)求正方形中心G 所在的直线方程；(Ⅱ)设正方形中心G (x 0，y 0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x 0的取值范围．2016学年度上学期期中考试高二级数学(理科)答案命题人：李维、吴以浩一、选择题1．D 2．C 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．16 14．133 15．235 16．(2，4)三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)(Ⅰ)因为直线BC 的斜率k BC ＝1－3－2－2＝－12，…………………………………………1分所以BC 边上的高线AH 的斜率k AH ＝－1k BC ＝2，………………………………………3分所以直线AH 的方程为y －0＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0．……………………………5分 (Ⅱ)若直线l 的横、纵截距均为零，则直线l 过原点．又因为直线l 过点B (2，1)，所以直线l 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0．………………………………………………………7分若直线l 的横、纵截距均不为零，设直线l 的方程为x a ＋y －a ＝1，则2a ＋1－a ＝1，解得a＝1．此时直线l 的方程为x －y －1＝0．……………………………………………………9分综上，直线l 的方程为x －2y ＝0或x －y －1＝0．……………………………………10分18．(本小题满分12分)(Ⅰ)………2分(Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为2.5吨．………………………………………………4分 理由如下：样本中月均用水量不低于2.5吨的居民占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨．…6分(Ⅲ)从频率分布直方图中可以看出，频率最高的一组为[2，2.5)，据此估计这100位居民的月均用水量的众数为2.25(吨)；……………………………………………………………8分用水量低于2吨和高于2吨的居民各占50%，据此估计这100位居民的月均用水量的中位数为2(吨)；…………………………………………………………………………………10分 根据频率分布直方图，估计这100位居民的月均用水量的平均数为0.5×(0.25×0.10＋0.75×0.20＋1.25×0.30＋1.75×0.40＋2.25×0.60＋2.75×0.30 ＋3.25×0.10)＝1.875(吨)．……………………………………………………………………12分19．(本小题满分12分)(Ⅰ)因为E 为AC 中点，所以DB 与AC 交于点E ．因为E ，F 分别为AC ，BP 中点，所以EF 是△BDP 的中位线，……………………2分所以EF ∥DP ．……………………………………………………………………………3分 又DP ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ，……………………………………………………4分 所以EF ∥平面PCD ．……………………………………………………………………5分(Ⅱ)取AP 的中点H ，连接HC ，HB ．过B 作BO ⊥HC ，垂足为O ，连接OP ． 因为平面ABCD ⊥平面APB ，平面ABCD ∩平面APB ＝AB ， 又BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面APB ．……………………………………………………………………7分 从而BC ⊥AP ． 又因为AB ＝BP ， 所以BH ⊥AP ．又BC ∩BH ＝B ，所以AP ⊥平面BCH ，……………………………………………………………………9分 从而AP ⊥BO ． 又AP ∩HC ＝H ， 所以BO ⊥平面P AC ，则∠BPO 就是直线BP 与平面P AC 所成角．…………………………………………10分 在Rt △BCH 中，BO ＝BH ·BC HC ＝32． 在Rt △BOP 中，结合BP ＝2，得sin ∠BPO ＝OB BP ＝34．故直线BP 与平面P AC 所成角的正弦值为34．………………………………………12分20．(本小题满分12分)(Ⅰ)连接CO ，由AD ＝13DB 知，点D 为AO 的中点．又因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB ，……………………………………………1分 由BC ＝3AC 知，∠CAB ＝60°，所以△ACO 为等边三角形，从而CD ⊥AO ． (3)分 因为点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， 所以PD ⊥平面 ABC ， 又CD ⊂平面 ABC ，所以PD ⊥CD ，又PD ∩AO ＝D ，…………………………………………………………………………5分 所以CD ⊥平面P AB ．……………………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知CD ＝3，PD ＝BD ＝3．…………………………………………………7分 过点D 作DE ⊥CB ，垂足为E ，连接PE ，再过点D 作DF ⊥CB ，垂足为F ． 因为PD ⊥平面ABC ， 又CB ⊂平面 ABC ， 所以PD ⊥CB ，又PD ∩DE ＝D ，所以CB ⊥平面PDE ，……………………………………………………………………9分 又DF ⊂平面 PDE ， 所以CB ⊥DF ． 又CB ∩PE ＝E ，所以DF ⊥平面 PBC ，则DF 为点D 到平面PBC 的距离．……………………………………………………10分 在Rt △DEB 中，DE ＝DB sin30°＝32，PE ＝PD 2＋DE 2＝352．在Rt △PDE 中，DF ＝PD ·DE PE ＝355．即点D 到平面PBC 的距离为355．……………………………………………………12分21．(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：在四棱锥P －ABCD 中，因为P A ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 故P A ⊥CD ，………………………………………………………………………………1分∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，………………………………………………………………………3分 而AE ⊂平面P AC ，∴CD ⊥AE ．…………………………………………………………5分 (Ⅱ)由题设P A ⊥底面ABCD ，P A ⊂平面P AD ，则平面P AD ⊥平面ACD ，…………………………………………………………………6分交线为AD ，过点C 作CF ⊥AD ，垂足为F ，故CF ⊥平面P AD ，…………………………………………………………………………7分过点F 作FM ⊥PD ，垂足为M ，连接CM ，故CM ⊥PD ，因此∠CMF 是二面角A －PD －C 的平面角，……………………………………………9分由已知，可得∠CAD ＝30°，设AC ＝a ，可得P A ＝a ，AD ＝233a ，PD ＝213a ，CF ＝12a ，FD ＝36a ．∵△FMD ∽△P AD ，∴FM P A ＝FDPD．于是，FM ＝FD ·P A PD ＝36a ·a213a ＝714a ．在Rt △CFM 中，tan ∠CMF ＝CF FM ＝12a714a ＝7．………………………………………12分22．(本小题满分12分)正方形ABCD 一条边AB 所在方程为x ＋3y －5＝0，另一边CD 所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0．(Ⅰ)求正方形中心G 所在的直线方程；(Ⅱ)设正方形中心G (x 0，y 0)，当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x 0的取值范围．(Ⅰ)由于正方形中心G 所在直线平行于直线x ＋3y －5＝0，设中心所在直线为x ＋3y ＋c ＝0，…………………………………………………………2分由平行线间的距离公式得|c ＋5|12＋32＝|c －7|12＋32．…………………………………………4分解得c ＝1．则正方形中心G 所在的直线方程为x ＋3y ＋1＝0．……………………………………5分(Ⅱ)由平行线间的距离公式得正方形的边长为d ＝|7＋5|12＋32＝1210．设正方形BC ，AD 所方程为3x －y ＋m ＝0，由于中心G (x 0，y 0)到BC 的距离等于d 2＝610那么|3x 0－y 0＋m |12＋32＝610解得m ＝±6－3x 0＋y 0 ①又因为G 在直线x ＋3y ＋1＝0上，那么x 0＋3y 0＋1＝0，即y 0＝－x 0＋13②把②代入①得m ＝±6－10x 0＋13③……………………………………7分 联立方程⎩⎨⎧x ＋3y －5＝03x －y ＋m ＝0解得⎩⎨⎧x ＝－3m ＋510y ＝m ＋1510……8分由于正方形只有两个点在第一象限，那么⎩⎨⎧x ＞0y ＞0就是⎩⎨⎧－3m ＋510＞0m ＋1510＞0 解得－15＜m ＜53⑤……………………………………9分把③代入⑤得到－15＜±6－10x 0＋13＜53……………………………………10分解得65＜x 0＜135……11分故x 0的取值范围为⎝⎛⎭⎫65，135……………………………………12分。
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）A .B .C .D .2. （2分）双曲线的离心率大于的充分必要条件是（）A .B .C . m>1D . m>23. （2分） (2016高一下·南安期中) 有下列四个命题，其中真命题有：（）①“若，则,互为相反数”的逆命题②“全等三角形的面积相等”的否命题③“若，则有实根”的逆命题④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题，其中真命题的序号为（）A . ①③B . ②③C . ①②D . ③④4. （2分）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·莆田月考) 设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高二上·成都期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“3能被2整除”是真命题B . 命题“ ，”的否定是“ ，”C . 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题D . 命题“若都是偶数，则是偶数”的逆否命题是假命题7. （2分）抛物线的焦点坐标是（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·绍兴模拟) 如图，面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|=2，∠CDB=60°，P为α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°9. （2分）(2017·邢台模拟) 椭圆x2+ =1（0＜b＜1）的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若△FAB 的外接圆圆心P（m，n）在直线y=﹣x的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）A . （，1）B . （，1）C . （0，）D . （0，）10. （2分）抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则实数a的值为（）A .B . －C . 4D . －411. （2分）(2017·金华模拟) 已知x∈R，则“|x﹣3|﹣|x﹣1|＜2”是“x≠1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分） (2018高二上·鹤岗期中) 设抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，若，则直线的倾斜角为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共6分)13. （2分） (2019高二上·宁波期中) 已知，若方程表示圆，则圆心坐标为________；的取值范围是________．14. （2分） (2016高二上·诸暨期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2 ，AD=2 ，AA1=2，BC和A1C1所成的角=________度AA1和BC1所成的角=________度．15. （1分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于________16. （1分） (2016高一下·正阳期中) 直线x﹣y﹣1=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，则弦AB的长为________．三、解答题 (共6题；共40分)17. （5分） (2018高一上·大连期末) 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 ， O是底面ABCD对角线的交点．求证：（I）C1O∥面AB1D1；（II）面A1C⊥面AB1D1 ．18. （10分） (2017高二下·黑龙江期末) 已知离心率为的椭圆过点，点分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，且 .（1）求椭圆的方程；（2）求证：以为直径的圆过坐标原点.19. （5分） (2018高二上·哈尔滨月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，，．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．20. （5分）已知直线l：x+y=b交抛物线C：y2=2px（b＞p＞0）于A、B两点，O为坐标原点，且=8，C的焦点F到直线1的距离为．21. （5分）(2017·宜宾模拟) 如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE 折起到△D1AE位置，使平面D1AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D1﹣ABCE．（Ⅰ）求证：BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）求二面角A﹣D1E﹣C的余弦值．22. （10分）(2017·衡阳模拟) 如图，点A与点A′在x轴上，且关于y轴对称，过点A′垂直于x轴的直线与抛物线y2=2x交于两点B，C，点D为线段AB 上的动点，点E在线段AC上，满足．（1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点；（2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记△BCF与△ADE的面积分别为S1、S2，求的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共40分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
广东省佛山一中2016-2017学年高二上学期第二次段考数
2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（）A．B．C．D．2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞03．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．“k=2且b=﹣1”是“直线y=kx+b过点（1，1）”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题p：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的面积被直线x+y=3平分；q：直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，则（）A．p∨q为假命题B．（￢p）∨q为真命题C．p∧（﹣q）为真命题D．（￢p）∧（￢q）为真命题6．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是（）A．﹣3或4 B．6或2 C．3或﹣4 D．6或﹣27．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线3x+4y+5=0的距离最大值是a，最小值是a，则a+b=（）A．B．C．D．58．若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．﹣ B．C．﹣ D．9．棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1：7 B．2：7 C．7：19 D．5：1610．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=011．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（）对．A．1 B．2 C．3 D．412．直线l：ax+y﹣1=0 与x，y轴的交点分别为A，B，直线与圆O：x2+y2=1 的交点为C，D，给出下面三个结论：=；①∀a≥1，S△AOB②∀a≥1，|AB|≥|CD|；＜．③∃a≥1，S△COD其中，所有正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题：（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则实数a的取值范围为．14．命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是．15．动点P在直线2x+y=0上运动，过P作圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为．16．、是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n （2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题P：对∀x∈[2，4]，不等式x2≥k恒成立．命题Q：∃x∈R，使x2﹣x+k=0成立．如果命题“￢P”为假，命题“P∧Q”为假，求k的取值范围．18．等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB 的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．20．过点（2，3）的直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，求直线L的方程．21．已知三棱锥A﹣BCD及其三视图如图所示．（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）点D到平面ABC的距离；（3）求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．22．已知圆C：x2+y2+4x=0，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A（t，0）．（Ⅰ）若圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，求圆M的方程；（Ⅱ）若l1、l2截圆C所得的弦长均为，求t的值．2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（）A．B．C．D．【考点】斜二测法画直观图．【分析】利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于x轴的线段长度相等，平行于y轴的线段长度是原来的一半，可得结论．【解答】解：利用斜二侧法画直观图的方法，平行性不变，平行于x轴的线段长度相等，平行于y轴的线段长度是原来的一半，可得A，B，D直观图是全等三角形，C直观图不与A，B，D是全等三角形故选C．2．命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是（）A．∃x＞0，使得x2﹣x≤0 B．∃x＞0，使得x2﹣x＞0C．∀x＞0，都有x2﹣x＞0 D．∀x≤0，都有x2﹣x＞0【考点】命题的否定．【分析】全称命题“∀x∈M，p（x）”的否定为特称命题“∃x∈M，￢p（x）”．所以全称命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是特称命题“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”．【解答】解：命题“∀x＞0，都有x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，使得x2﹣x＞0”故选B．3．圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故答案为：3．4．“k=2且b=﹣1”是“直线y=kx+b过点（1，1）”的（）A．充分条件不必要 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=kx+b过点（1，1），所以得到1=k+b，下面只要验证k+b=1能否得出k=2且b=﹣1，k=2且b=﹣1能否得出k+b=1就可以了．【解答】解：由直线y=kx+b过点（1，1）得：1=k+b，即：k+b=1，∵k+b=1得不出k=2且b=﹣1，∴直线y=kx+b过点（1，1）不是k=2且b=﹣1的必要条件；而k=2且b=﹣1能得出k+b=1，∴直线y=kx+b过点（1，1）是k=2且b=﹣1的充分条件．故选：A．5．已知命题p：圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的面积被直线x+y=3平分；q：直线x﹣2y﹣1=0的斜率为，则（）A．p∨q为假命题B．（￢p）∨q为真命题C．p∧（﹣q）为真命题D．（￢p）∧（￢q）为真命题【考点】复合命题的真假．【分析】命题p 中，只要判断圆心是否在直线上即可，将直线写成斜截式方程，可以判断直线的斜率．然后利用复合命题与简单命题真假之间的关系进行判断．【解答】解：由圆的方程可知圆心坐标为（1，2），满足x +y=3，所以直线x +y=3过圆心，即圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1的面积被直线x +y=3平分，所以命题p 为真命题．由x ﹣2y ﹣1=0得，所以直线x ﹣2y ﹣1=0的斜率为，所以命题q 为真命题．所以（￢p ）∨q 为真命题． 故选B ．6．已知点A （x ，1，2）和点B （2，3，4），且|AB |=2，则实数x 的值是（ ）A ．﹣3或4B ．6或2C ．3或﹣4D ．6或﹣2 【考点】空间两点间的距离公式．【分析】利用空间两点之间的距离公式，写出两点的距离的表示式，得到关于x 的方程，求方程的解即可．【解答】解：∵点A （x ，1，2）和点B （2，3，4），，∴，∴x 2﹣4x ﹣12=0 ∴x=6，x=﹣2 故选D ．7．圆x 2+y 2﹣2x ﹣2y +1=0上的点到直线3x +4y +5=0的距离最大值是a ，最小值是a ，则a +b=（ ）A ．B ．C ．D ．5【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．【分析】将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，由d+r与d﹣r求出最大值与最小值，确定出a 与b的值，即可求出a+b的值．【解答】解：将圆方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心（1，1），半径r=1，∵圆心到直线3x+4y+5=0的距离d==，∴圆上的点到直线的最大距离a=+1=，最小距离b=﹣1=，则a+b=．故选B8．若直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），则直线l的斜率为（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】中点坐标公式．【分析】依题意，得P（a，1），Q（7，b），利用中点坐标公式可求得a，b的值，从而可求直线l的斜率．【解答】解：∵直线l与直线y=1，x=7分别交于点P，Q，∴P，Q点的坐标分别为：P（a，1），Q（7，b），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴由中点坐标公式得：=1，=﹣1，∴a=﹣5，b=﹣3；∴直线l的斜率k===﹣．故选A．9．棱台上、下底面面积之比为1：9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是（）A．1：7 B．2：7 C．7：19 D．5：16【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱台的结构特征．【分析】根据棱台的体积公式，以及面积之比等于相似比的平方，求出棱台上下边长的比，利用中截面与体积比的关系，求出中截面分棱台成两部分的体积之比．【解答】解：棱台体积公式：V=H（S上+S下+）棱台上、下底面面积之比为1：9，则上下边长比为1：3，那么依比例求出中截面边长与下边长比为2：3，上底面、中截面下底面面积之比为1：4：9，棱台的中截面分棱台成两部分的高相同，代入体积公式得出体积比．故选C10．圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（）A．x+y+3=0 B．2x﹣y﹣5=0 C．3x﹣y﹣9=0 D．4x﹣3y+7=0【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】要求两个圆的交点的中垂线方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，求出两个圆的圆心坐标，利用两点式方程求解即可．【解答】解：由题意圆：x2+y2﹣4x+6y=0和圆：x2+y2﹣6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程，就是求两个圆的圆心的连线方程，圆：x2+y2﹣4x+6y=0的圆心（2，﹣3）和圆：x2+y2﹣6x=0的圆心（3，0），所以所求直线方程为：，即3x﹣y﹣9=0．故选：C．11．如图，平行四边形ABCD中，AB⊥BD，沿BD将△ABD折起，使面ABD⊥面BCD，连接AC，则在四面体ABCD的四个面中，互相垂直的平面有（）对．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】由题意，找出直线与平面垂直的个数，然后可得结论．【解答】解：由题意直线AB⊥平面BCD，直线CD⊥平面ABD，所以：面ABD⊥面BCD，面ABC⊥面BCD，面ABD⊥面ACD共有3对故选C．12．直线l：ax+y﹣1=0 与x，y轴的交点分别为A，B，直线与圆O：x2+y2=1 的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∀a≥1，|AB|≥|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】求得直线与坐标轴的交点A，B，原点到直线的距离，求得△AOB的面积，即可判断①；运用两点的距离公式和弦长公式，平方作差比较，结合基本不等式即可判断②；求得三角形COD的面积，平方作差，配方即可判断③．【解答】解：直线l：ax+y﹣1=0 与x，y轴的交点分别为A（，0），B（0，a），O到直线l的距离d=，=•|a|•=，故①正确；①∀a≥1，S△AOB②∀a≥1，|AB|2=a2+，|CD|2=4（1﹣），|AB|2﹣|CD|2=a2++﹣4，由a2+≥2，（a=1取得等号），可得上式≥2﹣4=0，（a=1取得等号）则|AB|≥|CD|；=|CD|d=•2•=，③S△COD2﹣=﹣（）2﹣=﹣（﹣）2≤0（a=±1时取得等号），由S△COD＜成立．则∃a≥1，S△COD故选：D．二、填空题：（本大共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则实数a的取值范围为（﹣1，1）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】直接由点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，得到（1﹣a）2+（1+a）2＜4，求解关于a的一元二次不等式得答案．【解答】解：∵点P（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，∴（1﹣a）2+（1+a）2＜4．即a2＜1．解得：﹣1＜a＜1．∴实数a的取值范围为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．14．命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的逆否命题是若“a﹣1≤b﹣1，则a≤b”．【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】把所给的命题看做一个原命题，写出这个命题的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，得到结果．【解答】解：把“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置，∴它的逆否命题是：若“a﹣1≤b﹣1，则a≤b”，故答案为：若“a﹣1≤b﹣1，则a≤b”．15．动点P在直线2x+y=0上运动，过P作圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心（3，4）到直线2x+y=0的距离为d==2＞r=2，可得直线和圆相离．再根据切线长|PQ|的最小值为，运算求得结果．【解答】解：圆心（3，4）到直线2x+y=0的距离为d==2＞r=2，故直线和圆相离．故切线长|PQ|的最小值为==4，故答案为4．16．、是两个不同的平面，m、n 是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：（1）m⊥n （2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题①③④⇒②．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】要证面面垂直，可利用求证两平面的二面角的平面角为直角进行证明即可．【解答】解：m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面∵n⊥β，m⊥α，∴该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直从而平面α和平面β的二面角平面角为90°∴α⊥β故答案为：①③④⇒②三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知命题P：对∀x∈[2，4]，不等式x2≥k恒成立．命题Q：∃x∈R，使x2﹣x+k=0成立．如果命题“￢P”为假，命题“P∧Q”为假，求k的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】通过命题与否定的真假关系，转化对任意，不等式x2≥k恒成立，只需关于x的方程x2﹣x+k=0有实数根，则只需△=1﹣4k≥0，然后最后求解k的范围．【解答】（本题满分10分）解：因为命题“￢P”为假，所以命题P是真命题．…又因为命题“P∧Q”为假，所以命题Q是假命题．…要使对任意，不等式x2≥k恒成立，只需，所以命题P是真命题的条件是：．…关于x的方程x2﹣x+k=0有实数根，则只需△=1﹣4k≥0，即k≤．命题Q是真命题的条件是：k，所以命题Q是假命题的条件是k．…综上所述，使命题“￢P”为假，命题“P∧Q”为假的条件是k的取值范围为…18．等腰三角形的顶点是A（4，2），底边一个端点是B（3，5），求另一个顶点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？【考点】轨迹方程．【分析】求出|AB|，等腰三角形的顶点是A，底边一个端点是B、C，可得|CA|=，即C在以A为圆心，以为半径的圆上，从而可得结论．【解答】解：∵A（4，2），B （3，5）∴|AB|=…∵等腰三角形的顶点是A，底边一个端点是B、C∴|CA|=，即C在以A为圆心，以为半径的圆上，…∴方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=10…又A，B，C不能共线，故轨迹方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=10（x≠3，5），…轨迹是以A（4，2）为圆心，以为半径的圆除去（3，5）和（5，﹣1）两点．…19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D为AB 的中点．（Ⅰ）求证AC⊥BC1；（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】解法一：（1）：利用勾股定理的逆定理判断出AC⊥BC，同时因为三棱柱为直三棱柱，从而证出．（2）：因为D为AB的中点，连接C1B和CB1交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，根据三角形中位线定理得DE∥AC1，得到AC1∥平面CDB1；第三问：因为AC1∥DE，所以∠CED为AC1与B1C所成的角，求出此角即可．解法二：利用空间向量法．如图建立坐标系，（1）：证得向量点积为零即得垂直．（2）：=λ，与两个向量或者共线或者平行可得．第三问：【解答】证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1，∵DE⊂平面CDB1，AC1⊂平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1；（Ⅲ）∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴cos∠CED==，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解法二：∵直三棱锥ABC﹣A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直．如图建立坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4），D（，2，0）（Ⅰ）∵=（﹣3，0，0），=（0，4，4），∴•=0，∴⊥．（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，则E（0，2，2）∵=（﹣，0，2），=（﹣3，0，4），∴=，∴∥∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（Ⅲ）∵=（﹣3，0，4），=（0，4，4），∴cos＜，＞==，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．20．过点（2，3）的直线L被两平行直线L1：2x﹣5y+9=0与L2：2x﹣5y﹣7=0所截线段AB的中点恰在直线x﹣4y﹣1=0上，求直线L的方程．【考点】两条直线的交点坐标；中点坐标公式．【分析】设线段AB的中点P的坐标（a，b），由P到L1、L2的距离相等，得到一个方程，利用P在直线x﹣4y﹣1=0上，得到第二个方程，联立求出P的坐标，利用两点式求出直线L的方程．【解答】解：设线段AB的中点P的坐标（a，b），由P到L1、L2的距离相等，得=经整理得，2a﹣5b+1=0，又点P在直线x﹣4y﹣1=0上，所以a﹣4b﹣1=0解方程组得即点P的坐标（﹣3，﹣1），又直线L过点（2，3）所以直线L的方程为，即4x﹣5y+7=0．直线L的方程是：4x﹣5y+7=0．21．已知三棱锥A﹣BCD及其三视图如图所示．（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；（2）点D到平面ABC的距离；（3）求二面角B﹣AC﹣D的正弦值．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】（1）由三视图即可得出：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1，即可求出体积；（2）过D点作DE⊥AB交AB于E，根据条件只要证明：DE即为点D到平面ABC 的距离，进而求出即可．（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF，证明∠DFE即为二面角的平面角并求出即可．【解答】解：（1）由三视图可知：AD⊥底面CBD，AD=2，底面△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，BC=BD=1．===；∴V三棱锥A﹣BCD（2）过D点D作DE⊥AB交AB于E，由（1）可知：AD⊥平面BCD，∴AD⊥BC，又BC⊥BD，AD∩BD=D，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE即为点D到平面ABC的距离．在Rt△ABD中，==．（3）过点D作DF⊥AC交AC于点F，连接EF．由（1）可知：DE⊥平面ABC．∴DF⊥AC．则∠DFE即为二面角的平面角．在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC==．∴DF===．在Rt△DEF中，sin∠DFE===．22．已知圆C：x2+y2+4x=0，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A（t，0）．（Ⅰ）若圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，求圆M的方程；（Ⅱ）若l1、l2截圆C所得的弦长均为，求t的值．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（I）确定圆心与半径，利用圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，建立方程组，即可求圆M的方程；（Ⅱ）设出直线方程，利用l1、l2截圆C所得的弦长均为，建立方程，即可求t的值．【解答】解：圆C：x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，圆心为（﹣2，0），半径为2．…（Ⅰ）设圆M的方程为…依题意得…解得或…∴圆M的方程为或．…（Ⅱ）显然，l1、l2的斜率都是存在的，设l1：y=k（x﹣t），则…则由题意，得圆心到直线l1、l2的距离均为=…∴，…解得|k|=1…即|t+2|=1，解得t=﹣3或﹣1 …2017年4月15日。
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高一上·天河期末) 直线 x﹣y+3=0 的倾斜角是（ ） A . 30° B . 45° C . 60° D . 150°2. （2 分） (2020 高一上·北海期末) 已知直线 （）A . ±1被圆截得的弦长为，则B. C. D.3. （2 分） (2017 高二上·佳木斯月考) 已知双曲线方程是两点，并使为的中点，则此直线方程是（ ）A. B. C. D.，过定点第 1 页 共 19 页作直线交双曲线于4. （2 分） 已知 值为（ ）A.6 B.4 C.3， 直线 ax+by=6 平分圆的周长，则的最大D.5. （2 分） 已知过点 A.0 B . -8 C.8 D . 10和的直线与直线平行，则 m 的值为（ ）.6. （2 分） (2017·石嘴山模拟) 直线 l：8x﹣6y﹣3=0 被圆 O：x2+y2﹣2x+a=0 所截得弦的长度为 实数 a 的值是（ ），则A . ﹣1B.0C.1D . 1﹣ 7. （2 分） (2019 高二上·潜山月考) 已知两点 A（－2，0），B（0，2），点 C 是圆 x2＋y2－2x＝0 上任意一 点，则△ABC 面积的最小值是（ ）A . 3－B . 3＋第 2 页 共 19 页C . 3－D. 8. （2 分） (2019 高二上·海口月考) 圆 与最小距离的差是（ ） A . 18上的点到直线的最大距离B.C.D.9. （2 分） 设 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）．已知五个方程的相异实根个数如下表所述﹕f（x）﹣20=0 1f（x）﹣10=0 3f（x）=03f（x）+10=01f（x）+20=01α 为关于 f（x）的极大值﹐下列选项中正确的是（ ）A . 0＜α＜10B . 10＜α＜20C . ﹣10＜α＜0D . ﹣20＜α＜﹣1010. （2 分） (2019 高二下·深圳期中) 已知，则的最小值为（ ）A.B.第 3 页 共 19 页C. D.11. （2 分） (2017·蚌埠模拟) 若实数 x，y 满足 A . [ ，4]，则的取值范围是（ ）B . [ ，4） C . [2，4] D . （2，4]12. （2 分） 方程|x+y|=所表示的曲线是（ ）A . 双曲线B . 抛物线C . 椭圆D . 不能确定二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） 若圆的方程为 x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆的面积最大时，圆心坐标为________．14. （1 分） (2019 高二上·河南月考) 已知变量 满足条件 在点（3，3）处取得最小值，则 的取值范围是________.，若目标函数仅15. （1 分） (2019·陆良模拟) 若点已知点, 为坐标原点，则（其中）为平面区域的最小值为________ 。
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·西城模拟) 设命题：，，则为（）A . ，B . ，C . ，D . ，2. （2分） (2018高二上·榆林期末) 椭圆的长轴端点坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·株洲模拟) 在中，点为斜边的中点，，，则（）A . 48B . 40C . 32D . 164. （2分）已知F是抛物线x2=8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|=（）A . 4B . 5C . 6D . 75. （2分） (2018高二上·湘西月考) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则”的否命题为“若，则”；B . 命题“ ”的否定是“ ”；C . 命题“若x=y，则”的逆否命题为真命题；D . “ ” 是“ ”的必要不充分条件.6. （2分）已知直线a(x-1)+y-=0（）和椭圆，则直线和椭圆相交有（）A . 两个交点B . 一个交点C . 没有交点D . 无法判断7. （2分）已知椭圆 + =1（a>b>0）的左，右焦点分别为F1（–c，0），F2（c，0），过点F1且斜率为1的直线l交椭圆于点A，B，若AF2⊥F1F2 ，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，已知抛物线的方程为x2=2px(p>0)，过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点，点B 的坐标为(0,1)，连接BP,BQ，设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则的大小等于（）A .B .C .D .9. （2分）曲线y=1+(x∈[-2，2])表示圆的一部分，直线y=k（x-2)+4是过定点（2、4)的直线系，当曲线与直线有两个公共点时，实数k的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，线段的延长线交抛物线的准线于点，若，，则（）A . 3B . 4C . 6D . 611. （2分）(2017·桂林模拟) 已知函数y=2|x|﹣4的图象与曲线C：x2+λy2=4恰有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A . [﹣，）B . [﹣， ]C . （﹣∞，﹣]∪（0，）D . （﹣∞，﹣]∪[ ，+∞）12. （2分）已知a>b>0,e1,e2分别是圆锥曲线和的离心率，设m=lge1+lge2,则m的取值范围是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·河北期中) 若抛物线C：y=ax2﹣1（a≠0）上有不同两点关于直线l：y+x=0对称，则实数a的取值范围是________14. （1分）(2018·河北模拟) 已知圆为圆外任意一点．过点P 作圆C的一条切线，切点为N，设点P满足时的轨迹为E，若点A在圆C上运动，B在轨迹E上运动，则的最小值为________．15. （1分） (2016高二下·凯里开学考) 抛物线的准线方程为________．16. （1分） (2018高二上·淮北月考) 已知椭圆的离心率e= ，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为，则 =________.三、解答题 (共5题；共45分)17. （10分） (2020高一下·宝应期中) 如图所示，已知是以AB为底边的等腰三角形，点，，点C在直线：上．（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；（2）设直线CD与y轴交于点，求的面积．18. （10分），命题，命题 .（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围.19. （5分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P 的轨迹为曲线C．求C的方程．20. （10分）(2012·浙江理) 如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（1）求椭圆C的方程；（2）求△APB面积取最大值时直线l的方程．21. （10分）(2016·潍坊模拟) 在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．（1）求动点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．①若 =t ，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；②过A，B两点分别作曲线E的切线l1 ， l2 ，两切线交于点N，求△ACN与△BDN面积之积的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、第11 页共11 页。
广东省高二上学期期中考试理科数学试卷 Word版含答案
广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。
第一部分选择题（共60分）一、(每题5分，共60分)1. 名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩及格的分别有人和人，项测验成绩均不及格的有人，项测验成绩都及格的人数是 ( )A. B. C. D.2. 已知直线，，若，则A. 或B. 或C. 或2D.3. 下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线都相交的两条直线；④两两相交的三条直线．其中，不能确定一个平面的条件有A. ①②B.②③C. ①②③D. ①②③④4. 若的三个内角，，满足，则A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5. 若直线按向量平移得到直线，则 ( )A. 只能是B. 只能是C. 只能是或D. 有无数个6. 在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为 ( )A.3B.C.D. 67. 在数列中，，前项和为，且点在直线上，则 ( )A. B.C. D.8. 按下列程序框图运算，规定：程序运行到"判断结果是否大于"为次运算，若，则运算停止时进行的运算次数为 ( )A. B. C. D.9. 如图，在三棱锥中，，在内，，，则的度数为 ( )A. B.C. D.10. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是 ( )A. 无论如何，总是无解B. 无论如何，总有唯一解C. 存在，使之恰有两解D. 存在，使之有无穷多解11. 某三棱锥的正视图如图所示，则在下列图①②③④中，所有可能成为这个三棱锥的俯视图的是 ( )A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ①②③④12. 设，为整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值为 ( )A. B. C. D.第二部分非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，共20分）13. 过点M（1，2），且与点A (3 ,4 ) , B ( -1 , 6 ) 距离相等的直线方程为.14. 已知倾斜角为的直线，与直线平行，则.15. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是．16. 在平面直角坐标系中，已知点，，直线，其中实数，，成等差数列，若点在直线上的射影为，则线段长的取值范围是．三、解答题（共70分）17.(本小题10分)在中，，，分别是角，，的对边，已知，且．Ⅰ求的大小；Ⅱ设且的最小正周期为，求在的最大值．18. (本小题12分)如图，三棱锥内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知，，，，Ⅰ求圆锥的侧面积及侧面展开圆的中心角；Ⅱ求经过圆锥的侧面到点的最短距离．19. (本小题12分)某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：Ⅰ从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；Ⅱ公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．①求的值；②如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．20. (本小题12分)如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，顶点P在底面的射影在CA延长线上（含点A）.Ⅰ求证：平面.Ⅱ若P在底面上的射影为A，当平面与平面垂直时，求的长.(在答卷中填空并解答)Ⅲ若PA与底面的所成角为，求二面角P-BC-A 的余弦值.21. (本小题12分)在平面直角坐标系中，已知矩形的长为，宽为，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合（如图所示）．将矩形折叠，使点落在线段上．Ⅰ若折痕所在直线的斜率为，试求折痕所在直线的方程；Ⅱ当时，求折痕长的最大值；Ⅲ当时，折痕为线段，设，试求的最大值．22. (本小题12分)设函数的定义域为，若存在非零实数，使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数．Ⅰ如果定义域为的函数为上的高调函数，求实数的取值范围；Ⅱ如果定义域为的函数（为常数且）为上的高调函数，求证：；Ⅲ如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，求实数的取值范围．广东实验中学2016—2017学年（上）高二级考试答案数学一、选择题：CBDC D ACABB DA二、填空题：13.14. 15. , 316.三、解答题：17. （1）因为，且，所以，所以．………………..2分又，所以．………………..4分（2）………………..7分因为，所以，所以，………………..8分因为，所以．所以当，即时，．………………..10分18. （1）因为，，，所以为底面圆的直径．………………..4分圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为，弧长为，则，所以，所以．………………..7分（2）沿着圆锥的侧棱展开，在展开图中，，，．………………..10分19. （1）总共有140辆汽车，行驶总里程超过万公里的汽车有20+20+20=60辆故从这辆汽车中任取一辆，则该车行驶总里程超过万公里的概率为．………………..4分（2）①依题意．………………..6分② 辆车中已行驶总里程不超过万公里的车有辆，记为，，；辆车中已行驶总里程超过万公里的车有辆，记为，．“从辆车中随机选取两辆车”的所有选法共种：，，，，，，，，，．………………..8分“从辆车中随机选取两辆车，恰有一辆车行驶里程超过万公里”的选法共种：，，，，，．………………..10分则选取两辆车中恰有一辆车行驶里程超过万公里的概率．………………..12分20. （1）过P作PE面AC于E因为顶点P在底面的射影在CA延长线上所以E在CA 延长线上即PE因为底面为菱形，因为，所以，BD所以平面.…………４分（2）如图①，在上取一点，使得.又因为，所以，所以，所以为二面角的平面角，…………６分所以.又，所以，即为等腰直角三角形.所以.如图②，从截面利用相似三角形可得. ……….…８分(3)过点E作EM BC于M 连结PM因为PE面ABCD所以PE BC所以BC面PEM所以BC PM 即为二面角的平面角……….…10分因为PA与底面的所成角为所以EA=，EC=所以EM=tan =cos =二面角的余弦值为……….…12分21.（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程为．..1分当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，所以与关于折痕所在的直线对称，有故点坐标为，从而折痕所在的直线与的交点坐标（线段的中点）为．…..2分折痕所在的直线方程为综上，得折痕所在的直线方程为．…..……3分（2）设折痕的长度为．当时，折痕所在直线交于点交轴于，所以折痕长度的最大值为．……………..6分当时，折痕的长；而，故折痕长度的最大值为．………………..7分（3）当时，折痕所在直线交于交轴于．，故…………..10分因为，所以当且仅当时取“ ”．所以当时，取最大值，的最大值是．……………….12分22. （1）由题意，当时，，得，因为，所以由，得，由得，因为在为减函数，所以．所以的取值范围是．…………….3分（2）当时，，由得，即，…………..5分当时，上式恒成立．当时，，因为在上的最小值为，所以，所以．…………..7分（3）当时，，因为是奇函数，，所以时，即………...9分当时，，由得，从而，两边平方得，所以，因为在上的最小值是，所以．当时，，由得，从而，两边平方得，因为当时，，所以．当时，，由得，精 品 文 档试 卷 从而， 因为所以或 （舍去）， …………..13分所以 ．综上， 的取值范围是． …………..14分。
广东省佛山市顺德一中高二数学上学期期中试卷理(含解析)
2015-2016学年广东省佛山市顺德一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．135°2．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A．5部分B．6部分C．7部分D．8部分3．下列命题正确的个数为（）①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．34．棱长为2的正四面体的表面积是（）A．4 B．4 C．D．165．若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．其中正确的命题有（）A． 0个B．1个C．2个D．3个6．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣27．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．直线l过点A（2，11），且与点B（﹣1，2）的距离最远，则直线l的方程为（）A．3x﹣y﹣5=0 B．3x﹣y+5=0 C．x+3y+13=0 D．x+3y﹣35=09．直线y=x+b与曲线x=﹣有且只有一个交点，则b的取值范围是（）A．|b|=B．﹣1≤b＜1，或b=C．﹣1≤b≤1D．非A，B，C结论10．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=011．要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（）A．3 B．4 C．5 D．612．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为．14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为．16．设有一组圆C k：（x﹣k+1）2+（y﹣3k）2=2k4（k∈N*）．下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．18．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC，RQ⊥BC，另外△AEF的内部有一文物保护区．AB=100m，BC=80m，AE=30m，AF=20m．（1）求直线EF的方程．（2）应如何设计才能使草坪的占地面积最大？19．已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．20．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）若定点P（1，1）满足，求直线的方程．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．①求直线l1的方程．②若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年广东省佛山市顺德一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知直线l的方程为y=﹣x+1，则该直线l的倾斜角为（）A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】由直线的方程求出斜率，再由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的值．【解答】解：∵直线l的方程为y=﹣x+1，∴斜率为﹣1，又倾斜角α∈，计算S取最大值时对应的x的值，从而得点Q的坐标即可．【解答】解：（1）建立坐标系如图所示，在线段EF上任取一点Q，分别向BC，CD作垂线．由题意，直线EF的方程为：；（2）设Q（x，20﹣x），则矩形PQRC的面积为：S=（100﹣x）•（其中0≤x≤30）；化简，得S=﹣x2+x+6000 （其中0≤x≤30）；所以，当x=﹣=5时，此时y=20﹣×5=，即取点Q（5，）时，S有最大值，最大值为6016m2．【点评】本题考查了直线方程和二次函数模型的应用，利用二次函数的对称轴求最大值时，要考虑对称轴是否在定义域内．19．已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P﹣EC﹣D的正切值．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．可得FO∥DC，且FO=DC，又FO=AE．AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，可得线面平行．（Ⅱ）PA⊥平面ABCD可得∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角．在Rt△PAC中，．（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，得PM⊥CE，∴∠PMA是二面角P﹣EC﹣D的平面角．【解答】解：（Ⅰ）取PC的中点O，连接OF、OE．∴FO∥DC，且FO=DC∴FO∥AE又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE．∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE又OE⊂平面PEC，AF⊄平面PEC∴AF∥平面PEC（Ⅱ）连接AC∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在Rt△PAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角正切为（Ⅲ）作AM⊥CE，交CE的延长线于M．连接PM，由三垂线定理，得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P﹣EC﹣D的平面角由△AME∽△CBE，可得，∴∴二面角P一EC一D的正切为【点评】解决成立问题的关键是将空间角找出并且把空间问题转化为平面问题，步骤是一作角二证角三求角四结论．20．已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0（1）求证：对m∈R，直线与圆C总有两个不同的交点A、B；（2）若定点P（1，1）满足，求直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．（2）由题意定点P（1，1）满足，可得x1，x2，①再把直线方程y﹣1=m（x﹣1）代入圆C，化简可得②，由①②求得m的值，从而求得直线l的方程．【解答】（1）证明：直线l：m（x﹣1）﹣y+1=0，即y﹣1=m（x﹣1），恒经过（1，1）又点在圆内，所以直线和圆恒有两个公共点；（5分）（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），，把直线方程 y﹣1=m（x﹣1）代入圆C：x2+（y﹣1）2=5，化简可得（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣5=0，得，解得m=±1，所以所求直线方程为x﹣y=0，x+y﹣2=0．（12分）【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E 是CD的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】解法一：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及•=0．即可证明结论；（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．【解答】解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，又AD=5，E是CD得中点，所以CD⊥AE，PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．所以PA⊥CD，而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3，于是AG=2．在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，所以BG==2，BF===．于是PA=BF=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．（Ⅰ）=（﹣4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．因为=﹣8+8+0=0，•=0．所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．由第一问知=（﹣4，2，0），=（（0，0，﹣h），又=（4，0，﹣h）．故||=||．解得h=．又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．【点评】本题是中档题，利用空间直角坐标系通过向量的计算，考查直线与平面所成角的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型．22．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+4=0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P（5，3）．①求直线l1的方程．②若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，求b的取值范围．③是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆的位置关系．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）设直线l1的斜率为则k，由题意可得圆心C（3，2），又弦的中点为P（5，3），可求得k PC=，由k•k PC=﹣1可求k，从而可求直线l1的方程；（2）若直线l2：x+y+b=0与圆C相交，圆心到直线l2的距离小于半径，从而可求得b的取值范围；（3）设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x°，y°），由直线l2与CM垂直，可得x°﹣y°﹣1=0，与x°+y°+b=0联立可求得x0，y0，代入直线l1的方程，求得b，验证即可．【解答】解：①∵圆C的方程化标准方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=9，∴圆心C（3，2），半径r=3．设直线l1的斜率为则k，则k=﹣=﹣=﹣2．∴直线l1的方程为：y﹣3=﹣2（x﹣5）即2x+y﹣13=0．②∵圆的半径r=3，∴要使直线l2与圆C相交则须有：＜3，∴|5|＜3于是b的取值范围是：﹣3﹣5＜b＜3﹣5．③设直线l2被圆C解得的弦的中点为M（x°，y°），则直线l2与CM垂直，于是有： =1，整理可得：x°﹣y°﹣1=0．又∵点M（x°，y°）在直线l2上，∴x°+y°+b=0；∴由解得：代入直线l1的方程得：1﹣b+﹣13=0，∴b=﹣23∉（﹣3﹣5，3﹣5），故不存在满足条件的常数b．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，着重考查通过圆心到直线间的距离与圆的半径的大小判断二者的位置关系，属于中档题．。
高二数学(理)上学期期中试题带答案.doc
高二数学（理）上学期期中试题带答案18．（12分）如图（1），在中，点分别是的中点，将沿折起到的位置，使如图（2）所示，M为的中点，求与面所成角的正弦值。
19．（12分）经过椭圆的左焦点作直线，与椭圆交于两点，且，求直线的方程。
20．（12分）如图，在长方体中，，点E在棱上移动。
（1）证明：；（2）等于何值时，二面角的余弦值为。
21.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为，（1）求抛物线的方程；（2）过点作直线交抛物线于两点，若直线分别与直线交于两点，求的取值范围。
牡一中2015-2016上学期高二理科数学期中试题参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C D B D B A B C C B C B13 14 15 1616三、解答题：17.（10分）解：圆的方程为，圆心为；直线为，距离18.（12分）与面所成角的正弦值为19.（12分）解：当直线斜率不存在时，不符合题意；当直线斜率存在时，设直线，与椭圆方程联立得，由弦长公式得，直线方程为或。
20、（12分）（2）当时，二面角的余弦值为。
21、（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以，故所求椭圆C的方程为．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点，，将直线的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．又于是，解得，经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．22、解：(1)(2)设，直线AB的方程为代入得，，由得，同理，所以＝，令，则，则，范围为。
广东省佛山市第一中学高二上学期期中数学试题(含答案解析)
试卷第1页，共6页广东省佛山市第一中学高二上学期期中数学试题试卷副标题1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．直线l 的一个方向向量为()2,1,1，平面α的一个法向量为()4,2,2，则（ ） A ．//l α B ．l α⊥C ．//l α或l α⊂D ．l 与α的位置关系不能判断2．直线1L ：310ax y ++=，2L ：()2110x a y +++=，若12//L L ，则=a （ ） A ．-3B ．2C ．-3或2D ．3或-23．已知向量)a →=，(),2,0b k →=，若a →与b →夹角为23π，则k 的值为（ ） A ．B C ．－1D ．14．有一副去掉了大小王的扑克牌，充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“黑桃”或“A ”的概率为（ ） A ．152B ．827C ．413D ．17525．长方体1111ABCD A B C D -中，3AB BC ==，14AA =，则异面直线1AB 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A ．1625B ．45C ．925D ．356．过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为（ ）试卷第2页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．220x y +-=B ．2340x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y +-=7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA a →→=，OB b →→=，OC c →→=，M 为OA 中点，点N 在BC 上，且2BN NC →→=，则MN →等于（ ）A ．211322a b c →→→-++B ．112233a b c →→→-++C ．121233a b c →→→-++D ．152233a b c →→→-+-8．已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（ ） A ．6 B ．5C ．67D ．611评卷人 得分二、多选题9．空间直角坐标系中，设坐标原点为O ，定点A 、B 、C 坐标分别是(3,0,0)、(0,2,0)、(0,0,1)，则有（ ）A ．四面体OABC 的体积为1B ．ABC 是锐角三角形C ．(3,2,1)n →=是平面ABC 的一个法向量 D ．若点D 的坐标为()3,2,1-，则D ∈平面ABC10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x 表示红色骰子的点数，若用y 表示绿色骰子的点数，用(,)x y 表示一次试验的结果，定义事件：A =“x y +为奇数”，B =“x y =”，C =“4x >”，则下列结论正确的是（ ） A ．()()3P A P B =B ．A 与B 互斥C ．A 与B 独立D ．B 与C 独立11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD (含端点）上的动点，则下列结论正确的是（ ）试卷第3页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．存在点E ，使1B E AC ⊥B ．异面直线1B E 与AD 所成的角最小值为4π C ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有11AC B E ⊥ D ．无论点E 在线段1CD 的什么位置，都有1//B E 平面1A BD 12．以下四个命题中为真命题的是（ ）A ．圆2220x y x +-=关于直线10x y -+=对称的圆方程为224240x y x y +-++=B ．圆224x y +=上有且仅有2个点到直线l ：20x y -=的距离都等于1C ．曲线1C ：2220x y x ++=与曲线2C ：22480x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆C ：223x y +=，点P 为直线34100x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，则PA 的最小值为1.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人 得分三、填空题13．过点（－1，3）且与直线20x y c -+=垂直的直线方程为________.14．已知向量()2,1,3a →=-，()1,1,b x →=-，若a →与b →垂直，则2a b →→+=___________. 15．某校高二级学生会主席团共有5名成员，其中女生比男生多，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，若抽到一男一女的概率为35，则抽到2名女生的概率为_____. 评卷人 得分四、双空题16．已知两定点()1,0A -，()1,2B ，M 是圆O ：223x y +=上的动点．则试卷第4页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）MA 的最大值为__________．（2）3MA MB +的最小值为__________． 评卷人 得分五、解答题17．已知直线1l 的方程为240x y +-=，若2l 在x 轴上的截距为12，且12l l ⊥.（1）求直线1l 和2l 的交点坐标；（2）已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，求3l 的方程.18．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点．（1）设经过A 、B 、E 三点的平面交PD 于F ，证明：F 为PD 的中点； （2）若PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，求四面体A BEP -的体积．19．射箭是群众喜闻乐见的运动形式之一，某项赛事前，甲、乙两名射箭爱好者各射了一组（72支）箭进行赛前热身训练，下表是箭靶区域划分及两人成绩的频数记录信息： 箭靶区域 环外 黑环 蓝环 红环 黄圈 区域颜色白色 黑色 蓝色红色黄色环数1-2环3-4环 5环6环7环8环9环10环甲成绩(频数) 012363624乙成绩(频数)1246113612试卷第5页，共6页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………用赛前热身训练的成绩估计两名运动员的正式比赛的竞技水平，并假设运动员竞技水平互不影响，运动员每支箭的成绩也互不影响.（1）估计甲运动员一箭命中10环的概率及乙运动员一箭命中黄圈的概率； （2）甲乙各射出一支箭，求有人命中10环的概率； （3）甲乙各射出两支箭，求共有3支箭命中黄圈的概率.20．如图甲，直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，F 为AD 中点，E 在BC 上，且//EF AB ，已知2AB AD CE ===，现沿EF 把四边形CDFE 折起（如图乙），使平面CDFE ⊥平面ABEF .（1）求证：//AD 平面BCE ； （2）求证：平面ABC ⊥平面BCE .21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60,90DAB ADP ∠=∠=，平面ADP ⊥平面ABCD ，点F 为棱PD 的中点.（1）求证：AC PB ⊥； （2）若PB 与平面ABCD 所成角为3π，求二面角D FC B --的余弦值. 22．已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B . （1）求圆C 的方程；（2）过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程；试卷第6页，共6页（3）在直线 3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为E ，F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.答案第1页，共19页参考答案1．B【分析】观察到的直线l 的方向向量与平面α的法向量共线，由此得到位置关系． 【详解】解：直线l 的一个方向向量为()2,1,1，平面α的一个法向量为()4,2,2， 显然它们共线，所以l α⊥． 故选：B ． 2．A 【分析】由直线平行得出31211a a =≠+，解出即可. 【详解】 12//L L ，31211a a ∴=≠+，解得3a =-. 故选：A. 【点睛】易错点睛：已知直线平行求参数问题时，有两个地方容易出错，（1）需要考查两条直线x 或y 的系数有无同时为0的可能；（2）注意求出的参数是否可能使两直线重合.3．A 【分析】根据空间向量坐标求得2a →==，b →=积运算得1cos ,2a ba b a b→→→→→→⋅===-，即可求出k 的值.【详解】 解：因为)a →=，(),2,0b k →=，且a →与b →夹角为23π， 则2a →==，b →=答案第2页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以2231cos ,cos 3224a b k a b k a b π→→→→→→⋅====-⨯+，可知0k <，解得：2k =-. 故选：A. 4．C 【分析】计算出抽到的牌为“黑桃”或“A ”所包含的牌的数量，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，该副扑克牌共52张，其中“黑桃”共13张，“A ”共4张， 则抽到的牌为“黑桃”或“A ”共134116+-=张，故所求概率为1645213P ==. 故选：C. 5．A 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得结果. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,4A 、()0,0,0A 、()13,0,4B 、()0,3,0D ，()13,0,4AB =，()10,3,4DA =-，答案第3页，共19页所以，11111116cos ,25AB DA AB DA AB DA ⋅<>==⋅. 因此，异面直线1AB 与1DA 所成角的余弦值为1625. 故选：A. 6．B 【分析】根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r，由切线长公式求出MA 的长，进而可得以M 为圆心，MA 为半径为圆，则AB 为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】解：根据题意，可知圆224x y +=的圆心为()0,0O ，半径2r，过点()2,3M 作圆224x y +=的两条切线，设切点分别为A 、B ， 而MO =3MA =，则以M 为圆心，MA 为半径为圆为()()22239x y -+-=，即圆224640x y x y +--+=，所以AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有222244640x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩， 作差变形可得：4680x y +-=； 即直线AB 的方程为2340x y +-=. 故选：B . 7．B 【分析】根据题意，可知12MA OA →→=，23BN BC →→=，根据几何图形和空间向量的加减法运算，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，12MA OA →→=，23BN BC →→=，1223MN MA AB BN OA OB OA BC →→→→→→→→⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭答案第4页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………1223OA OB OA OC OB →→→→→⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 121131223233OB OC O a b c A →→→→→→=++=-+-+.故选：B. 8．C 【分析】分析可知AC BD ⊥，计算出AC 、BD ，即可求得四边形ABCD 的面积. 【详解】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则()()2221322ME =-+-过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即22227BD r ME =-=AC BD ⊥， 此时，四边形ABCD 的面积为116276722S AC BD =⋅=⨯⨯故选：C. 9．ABD 【分析】根据空间点的坐标可知CO ⊥平面OAB ，再根据空间两点间距离公式得出3,2,1OA OB OC ===，利用等体积法得出13O ABC C OAB OAB V V S OC --==⋅△，求出四面体OABC 的体积，即可判断A 选项；根据空间两点间距离公式求出答案第5页，共19页AB BC ACACB ∠为最大角，再由余弦定理求出cos ACB ∠，即可判断B 选项；根据空间向量的坐标运算求得0n AB →→⋅≠，可知n →与AB →不垂直，进而可判断C 选项；对于D ，设平面ABC 的一般方程为0ax by czd +++=，利用待定系数法求出一般方程，再代入()3,2,1D -后即可判断D选项. 【详解】解：根据题意，可知()()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,0,1O A B C ，对于A ，由点坐标可知CO ⊥平面,OAB OA OB ⊥，且3,2,1OA OB OC ===， 所以四面体OABC 的体积为：1112311332O ABC C OAB OAB V V S OC --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故A 正确；对于B ，在ABC 中，AB BC AC == 所以ABC 中，ACB ∠为最大角， 则222cos 0ACB +-∠==>且1≠， 所以ACB ∠为锐角，所以ABC 是锐角三角形，故B 正确； 对于C ，因为(3,2,1)n →=，而()3,2,0AB →=-， 则()33221050n AB →→⋅=⨯-+⨯+⨯=-≠， 可知n →与AB →不垂直，则n →与平面ABC 不垂直，所以(3,2,1)n →=不是平面ABC 的一个法向量，故C 错误； 对于D ，设平面ABC 的一般方程为0ax by cz d +++=， 而()()()3,0,0,0,2,0,0,0,1A B C ， 则30200a db dcd +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得：1312a d b d c d⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以平面ABC 的一般方程为11032dx dy dz d ---+=，答案第6页，共19页而()3,2,1D -，所以()11321032d d d d -⨯-⨯--⨯+=，所以D ∈平面ABC ，故D 正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】根据题意，列举出事件A 、B 的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出()P A 和()P B 从而可判断AB 选项；求出()P AB 和()()P A P B ⋅，可知()()()P AB P A P B ≠⋅事件的定义，从而可判断C 选项；列举出事件C 的所有基本事件，根据古典概型的概率求法求出()P C ，进而得出()()()P BC P B P C =⋅，最后根据独立事件的定义即可判断D 选项. 【详解】解：由题可知，A =“x y +为奇数”，B =“x y =”，C =“4x >”， 则事件A 的所有情况为：()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,3,2,5,3,2,3,4,3,6()()()()()()()()()4,1,4,3,4,5,5,2,5,4,5,6,6,1,6,3,6,5，共18种情况，所以()181662P A ==⨯， 事件B 的所有情况为：()()()()()()1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6，共6种情况， 所以()61666P B ==⨯，所以()()3P A P B =，且A 与B 互斥，故AB 选项正确； 则()0P AB =，()()1112612P A P B ⋅=⨯=，可知()()()P AB P A P B ≠⋅，所以A 与B 不独立，故C 不正确； 事件C 的所有情况为：()()()()()()()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共12种情况，所以()121663P C ==⨯，()216618P BC ==⨯，()()1116318P B P C ⋅=⨯=， 可知()()()P BC P B P C =⋅，所以B 与C 独立，故D 正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】答案第7页，共19页当点E 与点1D 重合时，由于11//B D BD ，AC BD ⊥，根据平行线的性质可知11B D AC ⊥，从而有1B E AC ⊥，即可判断A 选项；由11//AD B C ，可知异面直线1B E 与AD 所成的角即为异面直线1B E 与11B C 所成的角，再通过几何法求出线面角的余弦值，即可判断B 选项；建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设()1,1,E a a -，且01a ≤≤，得出()()11,1,1,1,1,1B E aa AC →→=--=，再根据空间向量的坐标运算得出110B E AC →→⋅=，即可判断C选项；由正方体的性质，可知平面11//B CD 平面1A BD ，再根据面面平行的性质即可得出11//B E ABD 平面，从而可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当点E 与点1D 重合时，11//B D BD，AC BD ⊥， ∴11B D AC ⊥，即1B E AC ⊥，故A 正确；对于B ，∵11//AD B C ，则异面直线1B E 与AD 所成的角即为异面直线1B E 与11B C 所成的角， 进而得出11B C 与1B E 所成角的最小值即为11B C 与平面11B CD 所成角， 所以11B C 与1B E 所成角的最小值即为11B C 与平面11B CD 所成角，设为θ，设正方体的棱长为1，则1111BC B D CD === 在正三棱锥111C B CD -中，底面11B CD 的外接圆半径为12r ==所以113cos 1r B C θ===4πθ≠，故B 不正确； 对于C ，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则()()()()110,0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,0A C B D ，设()1,1,E a a -，且01a ≤≤，则()()11,1,1,1,1,1B E a a AC →→=--=， 则11110B E AC a a →→⋅=-++-=，所以11AC B E ⊥，故C 正确；对于D ，易知平面11//B CD 平面1A BD ，1B E ⊂平面11B CD ，所以11//B E A BD 平面，故D 正确. 故选：ACD.答案第8页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………12．CD 【分析】对于A ，可知圆2220x y x +-=的圆心坐标为(1,0)，半径为1r =，根据圆关于直线对称，求出对称后的圆的方程，即可判断A 选项；对于B ，可知圆224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径为2r，利用点到直线的距离公式求出圆心C 到直线:20l x y -+=的距离，从而可判断B 选项；对于C ，根据圆的方程，分别求出两个圆的圆心和半径，进而求出两个圆的圆心距125C C =，再根据圆1C 与2C 恰有三条公切线，从而可求出m 的值，即可判断C 选项；对于D ，由圆C ：223x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径为3r =2223PAPCr PC，可知当PC 垂直于直线34100x y +-=时min PC ，再利用点到直线的距离公式求出PC ，从而得出PA 的最小值，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，由圆2220x y x +-=，可得圆心坐标为(1,0)，半径为1r =， 则圆2220x y x +-=关于直线10x y -+=对称的圆的圆心坐标为()1,2-，所以圆2220x y x +-=关于直线10x y -+=对称的圆方程为222440x y x y ++-+=，所以A 不正确；对于B ，由圆224x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为2r，则圆心C 到直线:20l x y -的距离为22211(1)d =+-，所以圆C 上有且仅有3个点到直线l 的距离都等于1，所以B 不正确；对于C ，由圆22120C :x y x ++=，可得圆心坐标为1(1,0)C -，半径为11r =，答案第9页，共19页由圆222480C :x y x y m +--+=，可得圆心坐标为2(2,4)C ，半径为2r可得圆心距125C C =，要使得圆1C 与2C 恰有三条公切线， 则15且200m ->，解得：4m =，所以C 正确；对于D ，由圆C ：223x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，半径为r = 因为2223PAPCr PC，当PC 垂直于直线34100x y +-=时，min 2210234PC ，所以2min 231PA ，故D 正确.故选：CD. 13．210x y +-= 【分析】由直线20x y c -+=可知斜率为12，根据两直线垂直的斜率关系，可知与之垂直的直线的斜率为2-，最后利用点斜式求出直线方程. 【详解】解：直线20x y c -+=的斜率为12，所以与之垂直的直线的斜率为2-， 故所求的直线方程为：()321y x -=-+，即210x y +-=. 故答案为：210x y +-=. 14【分析】根据a →与b →垂直，可知0a b →→⋅=，根据空间向量的数量积运算可求出x 的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果. 【详解】 解：a →与b →垂直，∴0a b →→⋅=，则()()211130a b x →→⋅=⨯-+-⨯+=，解得：1x =，∴()1,1,1b →=-，答案第10页，共19页则()()()22,1,32,2,20,1,5a b →→+=-+-=，∴2a b →→+==15．310## 【分析】根据题意，可知5名成员中有4女1男或3女2男，分类讨论4女1男和3女2利用列举法列出所有基本事件，再根据古典概型的概率求法，即可求出结果. 【详解】解：由题可知，5名成员中有4女1男或3女2男，若5名成员中有4女1男，设3名女生分别为1234,,,A A A A ，2名男生分别为B ， 则随机抽取2名成员的所有情况为：1213141232423434,,,,,,,,,A A A A A A A B A A A A A B A A A B A B ，共10种情况，所以抽到一男一女的情况为：1234,,,A B A B A B A B ，共4种情况， 此时抽到一男一女的概率为：4231055=≠，不符合题意； 若5名成员中有3女2男，设3名女生分别为123,,A A A ，2名男生分别为12,B B ， 则随机抽取2名成员的所有情况为：12131112232122313212A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ,,,,,,,,,，共10种情况，所以抽到一男一女的情况为：111221223132,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种情况， 此时抽到一男一女的概率为：63105=，符合题意， 则抽到2名女生的情况为：121323,,A A A A A A ，共3种情况， 所以抽到2名女生的概率为：310. 故答案为：310. 161 【分析】答案第11页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）求出圆心到M 的距离，加上半径得最大值；（2）取()3,0K -，构造三角形，利用三角形相似可得3MK MA =，则3MA MB MK MB +=+，数形结合得答案．【详解】解：（1）由题意1MO =，圆半径为3，所以max 31MA =+； （2）取()3,0K -， ∵3OM OA=，3OK OM=，MOK MOA ∠=∠，∴MOK AOM △△，∴3MKMA =，可得3MK MA =， ∴3MA MB MK MB +=+， 直线KB 方程为3213y x +=+，即230x y -+=， 原点O 到直线KB 距离为220033351(2)d -+==<+-，直线KB 与圆O 相交， 所以,,K M B 共线时，()()min min3MA MBMK MB +=+22(13)225KB +=+==．故答案为：31+；25．17．（1）交点为67,55⎛⎫⎪⎝⎭；（2）3l 的方程为76y x =或105190x y +-=【分析】（1）根据两直线垂直的关系，以及直线2l 在x 轴上的截距，可得2l 方程，联立方程，可得结果.（2）利用（1）的结论，采用分类讨论的方法，可假设直线3l 的截距式，利用（1）的结论，答案第12页，共19页可得结果. 【详解】（1）由直线1l 的方程为240x y +-=且12l l ⊥ 可得直线2l 的斜率为：2，又2l 在x 轴上的截距为12，即过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭所以直线2l 方程：122y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即210x y --=， 联立1l 方程，得： 6210524075x x y x y y ⎧=⎪--=⎧⎪⇒⎨⎨+-=⎩⎪=⎪⎩， 故交点为67,55⎛⎫⎪⎝⎭（2）依据题意可知：直线3l 在y 轴上截距是在x 轴上的截距的2倍，且直线3l 经过1l 与2l 的交点67,55⎛⎫⎪⎝⎭当直线3l 原点时，3l 方程为：76y x =当直线3l 不过原点时，设3l 方程为12x ya a+= 则1910a =，故3l 方程为：10511919x y+=， 即105190x y +-= 综上所述：3l 的方程为76y x =或105190x y +-= 【点睛】本题主要考查直线方程的求法，灵活假设直线方程，理清题意，细心计算，属中档题. 18．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）连结,EF AF ，利用线面平行的判定定理证得//AB 平面PCD ，答案第13页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………理可以证得//AB EF ，进而得到//CD EF ，即得F 为PD 的中点；（2）先利用线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAB .然后取PB 中点H ，连EH ，证明EH ⊥平面PAB ，找到四面体ABEP 的高，利用体积公式计算即得解. 【详解】 （1）证明：连结,EF AF .因为底面ABCD 为矩形，所以//AB CD . 又AB ⊄平面PCD ，且CD ⊂平面PCD ， 所以//AB 平面PCD . 又AB平面ABE ，且平面ABE 平面PCD EF =，所以//AB EF .又因为//AB CD ，所以//.CD EF因为E 为PC 的中点，所以F 为PD 的中点. （2）PA ⊥平面ABCD ，BC ⊆平面ABCD ，答案第14页，共19页BC PA ∴⊥，又BC AB ⊥， BC ∴⊥平面PAB .取PB 中点H ，连EH ，E 是PC 中点，//EH BC ∴，即1EH =且EH ⊥平面PAB ，又Rt PAB 的面积122S PA AB =⋅=. ∴四面体ABEP 的体积1233E PAB V V S EH -==⋅⋅=. 【点睛】方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解. 19．（1）甲：13，乙：23；（2）49；（3）3581. 【分析】（1）设A =“甲运动员一箭命中10环”，B =“乙运动员一箭命中黄圈”，根据古典概型的概率求法即可求出()P A 和()P B ； （2）设C =“乙运动员一箭命中10环”，D“有人命中10环”，出(C)P ，再根据独立事件的概率得出()()()()()P D P A C P A P C P AC =+=+-，从而得出结果；（3）设=i A “甲运动员第i 箭命中黄圈”，i B =“乙运动员第i 箭命中黄圈”概率求法求出()i P A 和()i P B ，设E =“共有3支箭命中黄圈”，再根据独立事件的概率得出1212121212121212()()()()()P E P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =+++，从而可计算得出结果.（1）解：设A =“甲运动员一箭命中10环”，B =“乙运动员一箭命中黄圈”， 则()241723P A ==，()12362723P B +==，答案第15页，共19页所以甲运动员一箭命中10环的概率为13，乙运动员一箭命中黄圈的概率为23.（2）解：设C =“乙运动员一箭命中10环”，D “有人命中10环”，则121()726P C ==， D A C =+，1()3P A =，1()6P C =，又A 、C 独立，11114()()()()()36369P D P A C P A P C P AC ∴=+=+-=+-⨯=，所以甲乙各射出一支箭，有人命中10环的概率为49.（3）解：设=i A “甲运动员第i 箭命中黄圈”，i B =“乙运动员第i 箭命中黄圈”， 则3624536122(),()726723i i P A P B ++====， 设E =“共有3支箭命中黄圈”，1212121212121212E A A B B A A B B A A B B A A B B =+++，又1212,,,A A B B 相互独立，1212121212121212,,,A A B B A A B B A A B B A A B B ,,AC AC AC 互斥， 故1212121212121212()()()()()P E P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =+++552155125122152235663366336633663381=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=， 所以甲乙各射出两支箭，共有3支箭命中黄圈的概率为3581. 20．（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得出//AF 平面BCE ，同理//DF 平面BCE ，再根据面面平行的判定定理得出平面//ADF 平面BCE ，最后由面面平行的性质从而可证出//AD 平面BCE ； （2）根据题意，由面面垂直的性质得出CE AB ⊥，结合AB BE ⊥，再根据面面垂直的判定定理，即可证明平面ABC ⊥平面BCE . （1）证明：由题意知//AF BE ，AF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，答案第16页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………所以//AF 平面BCE ，同理//DF 平面BCE ， ∵AF DF F ⋂=，∴平面//ADF 平面BCE ， 又AD ⊂平面ADF ， ∴//AD 平面BCE . （2）证明：在图甲中，//EF AB ，AB AD ⊥， ∴EF AD ⊥，则在图乙中，CE EF ⊥，又∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，平面CDFE ⋂平面ABEF EF =， ∴CE ⊥平面ABEF ，得CE AB ⊥，又∵AB BE ⊥，BE CE E ⋂=，∴AB ⊥平面BCE ， 而AB平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面BCE .21．（1）证明见解析； （22【分析】（1）由菱形的性质可知AC BD ⊥，根据面面垂直的性质得出PD ⊥平面ABCD ，进而得出AC PD ⊥，再利用线面垂直的判定定理可证出AC ⊥平面PDB ，从而得出AC PB ⊥；（2）根据面面垂直的性质得出PD ⊥平面ABCD ，从而得出PB 与平面ABCD 所成角为PBD ∠，且3PBD π∠=，从而可求出23PD =D 为坐标原点，,,DE DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，根据空间向量坐标运算求出平面FCB 的法向量(),,n x y z →=，而取平面DFC 的法向量(1,0,0)m →=，最后根据空间向量求二面角的方法求出二面角D FC B --的余弦值.答案第17页，共19页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………（1）证明：已知底面ABCD 是边长为2的菱形，则AC BD ⊥，又因为PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC PD ⊥，而BD PD D =，,BD PD ⊂平面PDB ，所以AC ⊥平面PDB ， 又PB ⊂平面PDB ，所以AC PB ⊥. （2）解：因为PD AD ⊥，且平面ADP ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 因为PB 与平面ABCD 所成角为PBD ∠，所以3PBD π∠=，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，且60DAB ∠=，所以2BD AD ==， 所以23PD =，以D 为坐标原点，,,DE DC DP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则3)F ，(0,2,0)C ，(3,1,0)B ， 所以(0,2,3)FC =-，(3,1,0)BC →=， 设平面FCB 的法向量(),,n x y z →=，则23030n FC y z n BC x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则3y =2z =，则(1,3,2)n =，取平面DFC 的法向量(1,0,0)m →=，设二面角D FC B --的平面角为θ，由图可知θ为锐角， 所以2cos 100134m n m nθ⋅===++⨯++答案第18页，共19页所以二面角D FC B --. 22．（1）()()221150x y -++=； （2）6x =或125480x y -+=； （3）存在，()11,9或()9,11--. 【分析】（1）设圆心坐标(,)C a b ，半径为,(0)r r >，根据两直线垂直关系和切线的性质得出11CB k k ⋅=-，CA CB =，再利用斜率的公式和两点间的距离公式进行化简运算求出,a b 从而得出圆C 的方程；（2）根据题意和圆的性质，可知CMN △为等腰直角三角形，且2MCN π∠=，进而得出圆C的圆心(1,1)C -到直线2l 5=，当直线2l 的斜率不存在时得2l 方程为6x =，率存在时，设斜率为k ，利用点到直线的距离即可求出k 的值，从而得出直线2l 的方程； （3）根据题意，可知3EQF π∠=，设(,2)Q a a -QC =a 的值，即可得出点Q 的坐标. （1）解：设圆心坐标(,)C a b，半径为,(0)r r >，圆C 过点()2,6A 且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ， 则11CB k k ⋅=-，CA CB =，所以416CB b k a -⎧==⎪-=即28412b a a b =-⎧⎨-=⎩，解得：11a b =⎧⎨=-⎩，所以r = 所以圆C 的方程：()()221150x y -++=. （2）答案第19页，共19页解：过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于M ，N 两点，且CMN △为直角三角形， 而CM CN =，所以CMN △为等腰直角三角形，且2MCN π∠=，所以圆C 的圆心(1,1)C -到直线2l 5=， 当直线2l 的斜率不存在时，直线方程6x =， 圆心(1,1)C -到直线2l 的距离为5，符合题意； 当直线2l 的斜率存在时，设斜率为k ，直线方程为24(6)y k x -=-，即6240kx y k --+= 圆心(1,1)C -到直线2l 5=，5=1=，解得：125k =， 直线2l 的方程为6x =或125480x y -+=. （3）解：若直线3:2l y x =-上存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为E ，F ， 使QEF △为正三角形，即3EQF π∠=，在Rt ECQ 中，,62EQC QEC ππ∠=∠=，2QC r ==设(,2),Q a a QC -==2(1)100a -=， 解得：9a =-或11a =，所以点Q 的坐标为()11,9或()9,11--.。
(全优试卷)广东省佛山市第一中学高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
绝密 启用前2017—2018学年度第一学期高二期中考试理科数学命题人：冯智颖 王彩凤 审题人：吴统胜 禤铭东一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知直线的方程为062=-+y x ，则该直线的斜率为( ) .21.A 21.-B 2.C 2.-D 2.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （ ）.34.-A 43.-B 3.C 2.D3. 经过原点O 作圆2264x y -+=（）的切线，切线长是 ( ). ABC .4D4.已知点A 的坐标为)4,4(-，直线l 的方程为02=-+y x ，则点A 关于l 的对称点'A 的坐标为（ ）A .)4,32(- B .)6,2(- C . )4,2( D . )6,1(5.下列命题中，n m ,表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面． ①若α⊥m ，α//n ，则n m ⊥； ②若γα⊥，γβ⊥，则βα//；③若α//m ，α//n ，则n m //； ④若βα//，γβ//，α⊥m ，则γ⊥m ． 正确的命题是（ ）A . ①③B . ②③C . ①④D . ②④6. 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE BD 与所成角的余弦值为（ ）1.6AB 1.3CD 7.两条平行直线34120x y +-=与8110ax y ++=之间的距离为（ ）第8题图23.5A 23.10B . 7C 7.2D8.如右上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）. 20A π . 24B π . 28C π . 32D π9.如右图，圆锥的底面直径2=AB ，母线长3=VA ，点C 在母线长VB 上，且1=VC ，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）13.A 7.B 334.C 233.D 10.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为，则球O 的表面积为（ ）A . 12B π . 8C π . 4D π11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M N 、分别是1BB 、BC 的中点，则图中阴影部分在平面11ADD A 上的投影为图中的（ ）A. B. C. D.12.直线4)2(+-=x k y 与曲线241x y -+=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）]43,125.(A ),125.(+∞B ]43,21.(C )125,0.(D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.如图，正方体''''D C B A ABCD -中，2AB =，点E F 、分别为''D A 、DC 的中点，则线段EF 的长度等于____________．第11题图第9题图第13题图 第14题图14.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA PB PC 、、于A B C ''、、′，若34PA AA ''=：：，则ABC A B CS S '''=： ．15.已知直线l 经过点12P （，），且与直线23y x =+平行，则该直线l 方程为 ． 16.设 P 点在圆 1)2(22=++y x 上移动，点Q 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14x x y y x ，则 PQ 的最大值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.（本小题满分10分）如右图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD E ，是PA 的中点． （Ⅰ）求证：PC ∥BDE 平面； （Ⅱ）证明：BD CE ⊥．18.（本小题满分12分）已知关于x y ，的方程C ：22240x y x y m +--+=．（1）若方程C 表示圆，求m 的取值范围；（2）若圆C 与圆22812360x y x y +--+=外切，求m 的值；19.（本小题满分12分）如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于A B ，的一点，12AA AB ==． 求证：（1）11AAC BAC ⊥平面平面；（2）求几何体1A ABC -的最大体积V ．20.（本小题满分12分）已知ABC ∆的三个顶点为()()()302123A B C --，，，，，，D 为BC 的中点.求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的垂直平分线DE 的方程．21.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC BD ，交于O ，︒=∠120BAD ， 1.PA AD ==求证：（1）平面//EFO PCD 平面； （2）求二面角E FO B --的余弦值.22.(本小题满分12分)已知圆2225C x y ++=：（），直线120l mx y m m R -++=∈：，． （1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ； （2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3）是否存在实数m ，使得圆C 上有四点到直线l 的距离为5？若存在，求出m 的范围；若不存在，说明理由．2017—2018学年度第一学期高二期中考试理科数学答案命题人：冯智颖王彩凤审题人：吴统胜禤铭东一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.B2.A3.A4.B5.C6.B7.D 8.C 9.B 10.B 11.A 12.A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.614. 9：4915.y=2x 16.261三、解答题(本大题共6小题，共70分)17. （本小题满分10分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．……（1分）又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…………………（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，…………………（4分）所以PC∥平面BDE．………………………………………（5分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．……（6分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…………………………（8分）又AC∩PA=A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC…………………（9分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．……………………………………………………（10分）18.（本小题满分12分）解：（1）把方程C：x2+y2-2x-4y+m=0，配方得：（x-1）2+（y-2）2=5-m，………（3分）若方程C表示圆，则5-m＞0，解得m＜5；……………………………………………（5分）（2）把圆x2+y2-8x-12y+36=0化为标准方程得：（x-4）2+（y-6）2=16，………（7分）得到圆心坐标（4，6），半径为4，……………………………………………………（8分）则两圆心间的距离d==5，………………………………………（10分）因为两圆的位置关系是外切，所以d=R+r即4+=5，解得m=4.……………（12分）19.（本小题满分12分）（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，所以AC⊥BC．………………………………………………………………………………（1分）因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，………………………………（3分）而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．…………………………………………………（5分）又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．………………………………………（6分）（2）解：在R t △ABC 中，当AB 边上的高最大时，三角形ABC 面积最大， 此时AC=BC.…………………………………………………………………………………（7分） 此时几何体1A ABC取得最大体积.………………………………………………………（8分） 则由AB 2=AC 2+BC 2且AC=BC ， 得，…………………………………（10分） 所以． …………………………………（12分）20.（本小题满分12分）解：(1)因为直线BC 经过B(2，1)和C(-2，3)两点， 由两点式得BC的方程为y -1=(x -2)，…………………………………………………（2分）即x +2y -4=0． ………………………………………………………………………………（4分）(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ==0，y ==2． …………………………（6分）BC边的中线AD过点A(-3，0)，D(0，2)两点，由截距式得AD所在直线方程为+=1，即2x-3y+6=0．…………………………………………（8分）=-，则BC的垂直平分线DE的斜率(3)BC的斜率k1k2=2，…………………………（10分）由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．………………………………………………（12分）21.（本小题满分12分）解：（1）因为菱形ABCD，所以O为AC和BD的中点.因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC …………………………………（1分）又EO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EO∥平面PCD ………………………………（2分）因为F为BC的中点，O为BD的中点，所以FO∥CD. …………………………………（3分）又FO⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以FO∥平面PCD，……………………………（4分）又EO∩FO=O ，EO⊂平面EFO，FO⊂平面EFO………………………………………（5分）所以，平面EFO∥平面PCD．……………………………………………………………（6分）（2）EA⊥平面ABCD，所以EA⊥OF过A 作AM ⊥FO 交FO 的延长线于M ，连接EM ，所以FO ⊥平面AEM ，所以FO ⊥EM ，所以∠EMA 为二面角B-OF-E 的平面角……………………（8分）又PA=AD=1，所以AE=2121=PA ，……………………（9分）设FO 交AC 于Q ，又︒=∠120BAD ，易知OAQ ∆为等边三角形，所以433sin 21=⨯=πAM ，………………………（10分）在EAM Rt ∆中，47,43,21===EM AM AE ，所以721cos ==∠EM AM EMA .………………………………………………………………（12分）22.（本小题满分12分）解：（1）圆C ：（x +2）2+y 2=5的圆心为C （-2，0），半径为，所以圆心C 到直线l：mx -y +1+2m =0的距离．………………………………………………………（2分）所以直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同的交点；………………………（3分）（2）设中点为M （x ，y ），因为直线l ：mx -y +1+2m =0恒过定点（-2，1），………（4分）当直线l的斜率存在时，，又，kAB •kMC=-1，所以，化简得．…………………………（6分）当直线l的斜率不存在时，中点M（-2，0）也满足上述方程．………………………（7分）所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．……………………………………………………………………………………………（8分）（3）假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为，由于圆心C（-2，0），半径为，则圆心C（-2，0）到直线l的距离为……（11分）化简得m2＞4，解得m＞2或m＜-2．…………………………………………………（12分）。
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省佛山市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高三上·石景山期末) 若曲线y2=2px（p＞0）上只有一个点到其焦点的距离为1，则p的值为（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分）某中学高三（1）班有学生55人，现按座位号的编号采用系统抽样的方法选取5名同学参加一项活动，已知座位号为5号、16号、27号、49号的同学均被选出，则被选出的5名同学中还有一名的座位号是（）A . 36B . 37C . 38D . 393. （2分）命题p：“若a≥b，则a+b＞2012且a＞﹣b”的逆否命题是（）A . 若a+b≤2 012且a≤﹣b，则a＜bB . 若a+b≤2 012且a≤﹣b，则a＞bC . 若a+b≤2 012或a≤﹣b，则a＜bD . 若a+b≤2 012或a≤﹣b，则a＞b4. （2分）与圆（x﹣2）2+y2=1外切，且与y轴相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A . y2=6x﹣3B . y2=2x﹣3C . x2=6y﹣3D . x2﹣4x﹣2y+3=05. （2分） (2017高二下·故城期中) 设（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A . x和y的相关系数在﹣1和0之间B . x和y的相关系数为直线l的斜率C . 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D . 所有样本点（xi ， yi）（i=1，2，…，n）都在直线l上6. （2分）执行如图所示的程序框图，若输出s的值为16，那么输入的n值等于（）A . 5B . 6C . 7D . 87. （2分）(2017·新余模拟) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），以线段F1F2为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF2与圆E：（x﹣）2+y2= 相切，则双曲线的渐近线方程是（）A . y=±xB . y=±2xC . y=± xD . y=± x8. （2分） (2016高三上·大庆期中) “φ= ”是“函数y=sin（x+2φ）是偶函数”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分又不必要条件9. （2分） (2017高一下·濮阳期末) 函数y=f（x）的定义域为（﹣a，0）∪（0，a）（0＜a＜1），其图象上任意一点P（x，y）满足x2+y2=1，则给出以下四个命题：①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能是奇函数；③函数y=f（x）在（0，a）上单调递增④若函数y=f（x）是偶函数，则其值域为（a2 ， 1）其中正确的命题个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个10. （2分） (2017高二上·驻马店期末) 已知点P为椭圆 =1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A . 16，12﹣4B . 17，13﹣4C . 19，12﹣4D . 20，13﹣411. （2分） (2018高一下·北京期中) 甲、乙两人掷骰子，若甲掷出的点数记为a，乙掷出的点数记为b，则｜a－b｜≤1的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一点M，过M作垂直于的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）非负数的平方是正数的否定是________．14. （1分）由l，2，3，4，5，6，7这七个数字构成的七位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的个数是________．15. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，则函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是________．16. （1分）(2018·广东模拟) 已知抛物线与圆相交于两点，且这两点间的距离为，则该抛物线的焦点到准线的距离为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分）某中学经市政府批准建分校，建分校工程分三期完成，确定由甲、乙两家建筑公司承建此工程．规定每期工程仅由两公司之一独立承建，必须在前一期工程完工后再开始后一期工程．已知甲公司获得第一期、第二期、第三期工程承包权的概率分别为，，．（Ⅰ）求甲公司至少获得一期工程的概率；（Ⅱ）求甲公司获得工程期数比乙公司获得工程期数多的概率．18. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知F1 ， F2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，且• =0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆的标准方程；（2）当• =λ，且满足≤λ≤ 时，求弦长|AB|的取值范围．19. （10分）小明和电脑进行一次答题比赛，共4局，每局10分，现将小明和电脑的4局比赛的得分统计如表：小明5768电脑69510（1）求小明和电脑在本次比赛中的平均得分x1，x2及方差s12，s22；（2）从小明和电脑的4局比赛得分中随机各选取1个分数，并将其得分分别记为m，n，求|m﹣n|＞2的概率．20. （10分） (2017高二上·如东月考) 命题：实数满足（其中），命题：实数满足 .（1）若，且为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.21. （10分） (2018高二上·唐县期中) 已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有 .（1）求椭圆的标准方程；（2）圆是以，为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点，若，求的值.22. （10分） (2017高二上·安阳开学考) 如图，已知椭圆 =1（a＞b＞0），F1 ， F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．（1）若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且 =2 ，求椭圆的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
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2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．2．（5分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β3．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．2（1+）cm D．2（1+）cm4．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛5．（5分）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个6．（5分）古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．从五种物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知α，β是两个相交平面，若点A既不在α内，也不在β内，则过点A且与α，β都平行的直线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（5分）已知两条直线x+a2y+6=0和（a﹣2）x+3ay+2a=0互相平行，则a等于（）A．0或3或﹣1 B．0或3 C．3或﹣1 D．0或﹣110．（5分）一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=011．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D．++12．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知Rt△ABC斜边上的高CD=4，则AD•BD=．14．（5分）已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G 的距离为．15．（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．16．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（Ⅰ）BC边上高线AH所在直线的方程；（Ⅱ）若直线l过点B且横、纵截距互为相反数，求直线l的方程．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图．（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准〜则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；（3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．19．（12分）已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．20．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．22．（12分）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；（Ⅱ）设正方形中心G（x0，y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．2016-2017学年广东省佛山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+3y+1=0的倾斜角是（）A．B．C． D．【解答】解：直线x+3y+1=0的斜率是﹣，倾斜角是，故选：D．2．（5分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．3．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A．8cm B．6cm C．2（1+）cm D．2（1+）cm【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形的对角线在y'轴上，可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示，则原图形的周长是：8观察四个选项，A选项符合题意．故选：A．4．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛【解答】解；有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．5．（5分）某产品在某零售摊位的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计资料如表所示：由表可得回归直线方程=x+中的=﹣4，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（）A．26个B．27个C．28个D．29个【解答】解：，=39．将（）代入回归方程得39=﹣4×17.5+，解得=109．∴回归方程为=﹣4x+109．当x=20时，=﹣4×20+109=29．故选：D．6．（5分）古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．从五种物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从五种物质中随机抽取两种，所有的抽法共有=10种，而相克的有5种情况，则抽取的两种物质相克的概率是=，故抽取的两种物质不相克的概率是1﹣=，故选：A．7．（5分）已知α，β是两个相交平面，若点A既不在α内，也不在β内，则过点A且与α，β都平行的直线的条数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设α∩β=l，过点A作m∥l，l存在且唯一．∵点A既不在α内，也不在β内，∴l∥α，l∥β，∴过A且与α，β都平行的直线的条数为1．故选：B．8．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．9．（5分）已知两条直线x+a2y+6=0和（a﹣2）x+3ay+2a=0互相平行，则a等于（）A．0或3或﹣1 B．0或3 C．3或﹣1 D．0或﹣1【解答】解：∵两条直线x+a2y+6=0和（a﹣2）x+3ay+2a=0互相平行，∴，或k1=﹣和k2=﹣同时不存在，解得a=﹣1，或a=0，且a≠3．故选：D．10．（5分）一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=0【解答】解：由得，故入射光线与反射轴的交点为A（1，4），在入射光线上再取一点B（0，2），则点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上．根据A、C两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即x﹣2y+7=0．故选：D．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（）A．8+8+4B．8+8+2C．2+2+D．++【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．∴S==4，S△BCD==4．△ABC==8，∵AC=4，AC⊥CD，∴S△ACD由勾股定理得AB=BD==2，AD=4．∴cos∠ABD==﹣，∴sin∠ABD=．==4．∴S△ABD∴几何体的表面积为8+8+4．故选：A．12．（5分）已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（）A．4πB．3πC．2πD．π【解答】解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点∴OA=OB=OC=OS=1又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，∴表面积为4πR2=4π．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知Rt△ABC斜边上的高CD=4，则AD•BD=16．【解答】解：∵Rt△ABC中，CD⊥AB，∴CD2=AD•BD，∵CD=4，∴AD•BD=16．故答案为：16．14．（5分）已知△ABC三边的长分别为5、12、13，则△ABC的外心O到重心G的距离为．【解答】解：△ABC三边的长分别为5、12、13，∴△ABC是直角三角形，外心O斜边的中点，斜边上的中线长为∴△ABC的外心O到重心G的距离为=，故答案为．15．（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为．【解答】解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s则有∴s=故答案为：16．（5分）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是（2，4）．【解答】解：如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1）的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，﹣1），∴AC，BD的方程分别为：，，即2x﹣y=0，x+y﹣6=0．解方程组得Q（2，4）．故答案为：（2，4）．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：（Ⅰ）BC边上高线AH所在直线的方程；（Ⅱ）若直线l过点B且横、纵截距互为相反数，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）因为直线BC的斜率k BC==﹣．所以BC边上的高线AH的斜率k AH=﹣=2，所以直线AH的方程为y﹣0=2（x+3），即2x﹣y+6=0．（Ⅱ）若直线l的横、纵截距均为零，则直线l过原点．又因为直线l过点B（2，1），所以直线l的方程为y=x，即x﹣2y=0．若直线l的横、纵截距均不为零，设直线l的方程为+=1，则+=1，解得a=1．此时直线l的方程为x﹣y﹣1=0．综上，直线l的方程为x﹣2y=0或x﹣y﹣1=0．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t），制作了频率分布直方图．（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；（2）用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准〜则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；（3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数，平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表）．【解答】解：（1）根据题意得：1.5﹣2t的用户的=0.4，如图所示：（2）月均用水量的最低标准应定为2.5吨，理由为：样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨；（3）这100位居民的月均用水量的众数2.25，中位数2，平均数为0.5×（×0.10+×0.20+×0.30+×0.40+×0.60+×0.30+×0.10）=1.875．19．（12分）已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．20．（12分）如图，已知圆O的直径AB长度为4，点D为线段AB上一点，且，点C为圆O上一点，且．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=BD．（1）求证：CD⊥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．【解答】解：（1）∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，，由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DB•BCcos30°=3，∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）又∵，，，∴△PBC为等腰三角形，可得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）=V D﹣PBC，得设点D到平面PBC的距离为d，由V P﹣BDC，解之得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：CD⊥AE；（Ⅱ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA．又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，∵AE⊂面PAC，故CD⊥AE．（Ⅱ）证明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由（1）知CD⊥AE，从而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE（Ⅲ）解：过点A作AM⊥PD，垂足为M，连接EM，则（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则EM⊥PD，因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C 的一个平面角．由已知，得∠CAD=30°．设AC=a，则PA=a，AD=，PD=，AE=．在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM=．在直角△AEM中，AE=，AM=，∴EM=a∴tan∠AME==．所以二面角A﹣PD﹣C的正切值为．22．（12分）正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y﹣5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，（Ⅰ）求正方形中心G所在的直线方程；（Ⅱ）设正方形中心G（x0，y0），当正方形仅有两个顶点在第一象限时，求x0的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y﹣5=0，设中心所在直线为x+3y+c=0，由平行线间的距离公式得=．解得c=1．则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；（Ⅱ）由平行线间的距离公式得正方形的边长为d==．设正方形BC，AD所在直线方程为3x﹣y+m=0，由于中心G（x0，y0）到BC的距离等于=，那么=，解得m=±6﹣3x0+y0①，又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0，即y0=﹣②，把②代入①得m=±6﹣③，联立方程，解得．由于正方形只有两个点在第一象限，那么，就是，解得﹣15＜m＜⑤，把③代入⑤得到﹣15＜±6﹣＜，解得＜x0＜．故x0的取值范围为．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。