最新重庆市七校联考2020届高三下学期复学联考数学(理)试题 含答案
重庆市六校2020届高三复学联合诊断性考试数学(理)试题 含答案
者虽然还没有最终确诊患 2019 新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医
学观察 14 天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离 10 天未
有临床症状，若该人员居家隔离第
k
天出现临床症状的概率为
1 k 10 2
，
k 11,12,13,14 ，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立
的最小值为 ,且将函数 的图象向右平移个单位后得到的函数
为奇函数,则函数 的一个递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
为
上的可导函数,且有
,则对于任意的
,
当 时,有（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图所示,正方体
中,点 分别为边 , 的
中点,过点 作一平面与线段 所在直线有一交点 ,若正方体边长为 ,则多面体
B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如果向量
与
共线且方向相反,那么实数 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．若函数
(其中
,且
)可化为
,则
应满足条件（ ）
A． tan b a
B． cos a a2 b2
____________________________________________________________________________________________
的体积为（ ）
A． 10 ． 设点 是以
足 A． 3
2
B． 32
C． 64
D．
3
3
为左、右焦点的双曲线
x2 a2
重庆市七校2020届高三数学下学期联考试题理含解析
（1）利用指数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（2）利用对数函数的单调性： ，当 时，函数递增；当 时，函数递减；
（3）借助于中间值，例如：0或1等.
6.函数 是 上的偶函数，且 ，若 在 上单调递减，则函数 在 上是（ ）
A. 增函数B. 减函数C. 先增后减的函数D. 先减后增的函数
11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三视图，可知该几何体是边长为2 的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解.
【详解】由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体 ，
则 ， ，所以 ，正四面体的边长为2，
所以 ，
取 的中点 ，连接 ，过 作 底面 ，交 于点 ，
8.已知 为 上的可导函数，且有 ，则对于任意的 ，当 时，有( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数h（x）=xf（x），根据函数的单调性判断即可．
【详解】不妨设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x＞0，有 ，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
4.若函数 （其中 ，且 ）可化为 ，则 应满足条件（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到 ，进而求得 .
【详解】
，
其中 ，
函数 （其中 ，且 ）可化为 ，
，即 ，
2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试卷及解析
2020届重庆市七校高三下学期七校联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（本大题共12道小题,每小题5分,共60分）1.已知集合2{|2}A x x =<,201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭,则A B =（ ）A. ([)1,-∞-+∞B. (-C. ⎡-⎣D. 2⎤⎦【答案】B【解析】先分别求出集合A 与B,再利用集合的交集运算进行求解.【详解】{2{|2}A x x x x =<=<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭,∴(A B ⋂=-.故选：B.2.已知,,a b c ∈R ,则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可.【详解】由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”,比如1a =,2b =,3c =,反之成立,所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.故选：A.【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,涉及的知识点包括等比数列的性质,举反例是解决本题的关键,属于基础题.判断p 是q 的什么条件,需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3.如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6,k ＋1)共线且方向相反,那么k 的值为( )A. －3B. 2C. －17D. 17【答案】A【解析】由题意可得 （k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0,即 k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k 值． 【详解】∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反,∴（k,1）=λ （6,k+1）,λ＜0, ∴k=6λ,1=（k+1）λ,解得 k=﹣3,故答案为：A4.若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,则ϕ应满足条件（ ） A. tan b a ϕ=B. cos ϕ=C. tan a b ϕ=D. sin ϕ=【答案】C【解析】先逆用两角和的正弦公式进行化简,再结合诱导公式,得到22k πϕθπ-=+,进而求得tan a b ϕ=. 【详解】sin cos y a x b x =+x x ⎫=+⎪⎭)x θ+, 其中tan b aθ=, 函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ,且,0a b >）可化为)y x ϕ=-,。
重庆2020届高三调研测试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三调研测试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. 1 D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.3.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.4.设等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为20，则（）A. 127B. 64C. 63D. 325.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，且，则C. 若，，且，，则D. 若直线与平面所成角相等，则6.函数的图像大致为（）A. B.C. D.7.运行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 128.设函数的一条对称轴为直线，将曲线向右平移个单位后得到曲线，则在下列区间中，函数为增函数的是（）A. B.C. D.9.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）A. B. C. D.10.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为，当点在双曲线右支上，点在圆上运动时，则的最小值为（ ）A. 9B. 7C. 6D. 5 11.已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.12.已知是函数（其中常数）图像上的两个动点，点，若的最小值为0，则函数的最小值为（ ） A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.若实数x ，y 满足00320x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-+的最小值为______.14.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为______.15.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若23S =，()*11n n a S n N +=+∈，则通项公式n a =______.16.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过1F的直线l 与C 的一条渐近线在第一象限相交于A 点，若21AF AF ⊥，则该双曲线的离心率为______.三、解答题：共70分。
2020届高三联考数学理科试题(含答案)
2020年高三联考理科数学试题本试卷共6页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用黑色字迹钢笔或签字笔将答案填写在答题卡上对应题目的序号下面，如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U ＝R ，集合{/|1|1}A x x =-<, 1{0}xB xx-=≤,则A ∩(∁U B )＝( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1, 2) D ． (0,2)2. 已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且（x ﹣2）i ﹣y=1，则(1)x yi -+的值为（ ） A ．4 B ． ﹣4C ． ﹣2iD ． ﹣2+2i3、已知),2(ππα∈,53sin =α,则)4tan(πα-的值等于（ ）A ．7-B ．71-C ．7D ．714. 等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公q 的值是（ ）A. 1B.－12 C. 1或－12 D. － 1或－125．定义在R 上的偶函数f (x )在（0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则不等式()0xf x >的解集是( )A ．(0，13)B ．(13 ，＋∞)C ．(- 13，0)∪(13，＋∞)D ．(-∞，-13)∪(0，13)6．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积．．．为 A ．π12 B ． π3 C ．π34 D ．π3127．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．132-+ B ．132+ C ．152-+ D ．152+ 8. 已知集合M={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M={1(x,y )|y x=}； ②M={1(x,y )|y sin x =+}；③M={2(x,y )|y log x =}； ④M={2x(x,y )|y e =-}．其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A.①② B .②④ C .①④ D .②③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（8～13题）9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的 概率为10. 设31(5)nx x-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若240M N -=，则展开式中的常数项_________．11. 下列说法：①“x ∃∈R ，23x >”的否定是“x ∀∈R ，23x ≤”；②函数sin(2)sin(2)36y x x ππ=+- 的最小正周期是π；③命题“函数()f x 在0x x =处有极值，则0()0f x '=”的否命题是真命题；④()f x 是(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，0x >的解析式是()2xf x =，则0x <时的解析式为()2xf x -=-．其中正确的说法是__________．12. 已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )．若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，则向量a ，b 的夹角是钝角的概率是 ．13．右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起， 每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，______(3)mn a m =≥.（ ） ▲ 14．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程的极坐标方程是 （请选择正确标号填空） （1）3sin 2=ρθ （2）3cos 2=ρθ （3）3sin 2=ρθ （4）3cos 2=ρθ 15. 如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E . 若EB ＝6，EC ＝62，则BC 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
2020届重庆市江津中学、实验中学等七校高三下学期6月联考(三诊)数学(理)试题解析
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，利用点到直线的距离公式计算 的值并构建关于 的方程，解方程后可得 的值，从而得到所求的斜率.
解：
设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，
又 ，因为切线长的最小值为 ，
故 ，解得 ，故直线 的斜率为 .
故答案为： .
点评：
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，本题属于基础题.
三、解答题
17．在 中，角 的对边分别为 ，且满足 ．
(Ⅰ)求角 ；
(Ⅱ)若 ， 的面积为 ，求 的周长．
答案：（1） （2）
(1)本题首先可以通过正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形内角和将 转化为 ，即可得出角 的值；
(2)首先可通过余弦定理求出 的值，再通过解三角形面积公式即可求出 的值，最后求出周长．
（2）甲班排在第二位，丙班和丁班在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位，丙班和丁班排在一起的情况有 种，将剩下的三个班全排列，安排到剩下的三个位置，有 种情况，此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案，
故选：B
点评：
空气质量指数
300以上
空气质量等级一级（优） Nhomakorabea二级
（良）
三级
（轻度污染）
四级
（中度污染）
五级
（重度污染）
六级
（严重污染）
（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；
（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.
重庆市七校联考2019-2020学年度第二学期复学高三年级数学试卷(理科)试题(word版含答案)
重庆市七校联考2019-2020学年度第二学期复学高三年级数学试卷（理科）试题一、选择题(本大题共12道小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合22{|2},{|0},1x A x xB x x -=<=≤+则A∩B=().(,[1,)A -∞⋃-+∞)2]D2.已知,,,a b c R ∈则“实数a,b,c 均不为零”是“实数a,b,c 成等比数列”的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如果向量a r =(k,1)与(6,1)b k =+r共线且方向相反,那么实数k 的值为()A.-3B.2C.17-1.7D4.若函数y=asinx+bcosx(其中a,b ∈R,且a,b>0)可化为(),y x ϕ=-则φ应满足条件().bAtana ϕ=B.cos ϕ=.a C tanbϕ=.sin D ϕ=5.已知a=ln0.5，b=C 满足1c lnc e =,则实数a,b,c 满足()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<CD.c<a<b6.函数f(x)是R 上的偶函数,且f(x+1)=-f(x),若f(x)在[-1,0]上单调递减,则函数f(x)在[3,5]上是() A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(0<φ<π)的图像与直线y=2的某两个交点的横坐标分别为12,,x x 若12||x x -的最小值为π,且将函数f(x)的图象向右平移4π个单位后得到的函数g(x)为奇函数,则函数f(x)的一个递减区间为() .(,0)2A π-.(,)44B ππ-.(0,)2C π3.(,)44D ππ8.已知y=f(x)为(0,+∞)上的可导函数,且有()()0f x f x x'+>,则对于任意的a,b ∈(0,+∞),当a>b 时,有() A.af(a)<bf(b)B.af(a)>bf(b)C.af(b)>bf(a)D.af(b)<bf(a)9.如图所示,正方体1111ABCD A B C D -中,点P,Q 分别为边111,AA C D 的中点,过点B,P,Q 作一平面与线段1CC 所在直线有一交点E,若正方体边长为4,则多面体EABCD 的体积为()A.1632.3B64.3C D.3210.设点P 是以12,F F 为左､右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点,且满足120,PF PF ⋅=u u u r u u u u r 直线1PF 与圆2224a x y +=有且只有一个公共点,则双曲线的离心率为()3.2A32.4B10.4C10.2D 11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()2.3A4.3B2.3C2.3D 12.已知函数||(),xx f x e=方程2[()](1)()10f x m f x m -++-=有四个不相等实根,则m 的取值范围是() 22.(,1)e e A e e-+221.(,)e e B e e-++∞+221.(,1)e e C e e-++22.(,)e e D e e-+∞+二､填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分) 13.已知复数z 满足(3+4i)·z=1-2i,则z=_____.14.二项式71(2)x x+的展开式中含x 的项为____.15.在△OAB 中,已知||2,||1,45OB BA AOB ==∠=︒u u u r u u u r ，点P 满足OP =u u u r ,OA OB λμ+u u u r u u u r其中2λ+μ=3,则||OP uuu r的最小值为___.16.已知数列{}n a 满足:对任意*,(0,)2n n Na π∈∈,且11,()3n a f a π+==()n f a '其中f(x)=tanx,则使得12sin sin 11k sina a a ⨯⨯⨯<L 成立的最小正整数k 为____.三､解答题(本大题共6道小题,第17题10分,其余每题12分,共70分) 17.已知函数()2sin()cos ,3f x x x x π=+∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当[,]44x ππ∈-时,求函数f(x)的最大值与最小值｡18.如图所示,AE ⊥平面ABCD,CF//AE,AD//BC,AD ⊥AB,BC=2AB=2AD=2,AE=2CF=2,(1)求证:BF//平面ADE;(2)求二面角E-BD-F 的平面角的余弦值19.新型冠状病毒属于β属的冠状病毒,人群普遍易感,病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现,现阶段也出现无症状感染者｡基于目前的流行病学调查和研究结果,病毒潜伏期一般为1-14天,大多数为3-7天｡为及时有效遏制病毒扩散和蔓延,减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查｡某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查,检查结果统计如下:(1)能否在犯错率不超过0.001的情况下,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关. 临界值表:(2)在全国人民的共同努力下,尤其是全体医护人员的辛勤付出下,我国的疫情得到较好控制,现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者(即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M 抗体检测阳性者)｡根据防控要求,无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎,但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天,已知某人曾与无症状感染者密切接触,而且在家已经居家隔离10天未有临床症状,若该人员居家隔离第k 天出现临床症状的概率为101()2k -，(k=11,12,13,14),两天之间是否出现临床症状互不影响,而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗,若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离,求该人员在家隔离的天数(含有临床症状表现的当天)ξ的分布列以及数学期望值｡(保留小数点后两位)20.已知函数2()1()f x axlnx x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点. (1)求a 的取值范围;(2)设两个极值点分别为:12,,x x 证:221212()()2f x f x x x +<-+.21.已知A(1,2)为抛物线22(0)y px p =>上的一点,E,F 为抛物线上异于点A 的两点,且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数.(1)求直线EF 的斜率;(2)设直线l 过点M(m,0)并交抛物线于P,Q 两点,且,(0),PM MQ λλ=>u u u u r u u u u r直线x=-m 与x 轴交于点N,试探究NM u u u u r 与NP NQ λ-u u u r u u u r的夹角是否为定值,若是则求出定值.22.在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 的参数方程为:12(2sin x cos y ααα=+⎧⎨=⎩为参数),直线l:y=kx(k>0),以坐标原点O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求|OA|+|OB|的取值范围.23.已知已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-a| (1)若不等式f(x)≥3恒成立,求a 的范围;(2)若2()1,g x x ax =-+且对1,x R ∀∈总存在2,x R ∈使得1()f x =2(),g x 求实数a 的取值范围.。
重庆市名校联盟高2020级高三第二次联考理科数学试题
秘密★启用前重庆市名校联盟高三第二次联合考试理科数学试题（高2020级）（本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、座位号及科类名称。
2．请将准考证条形码粘贴在右侧的[考生条形码粘贴处]的方框内。
3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整、笔迹清楚。
4．请按题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
5．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =I ( ) A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3．已知向量()()1,3,2a m b ==-r r ，，且()a b b ⊥r r r+，则m =( )A ．−8B ．−6C ．6D ．84．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A ．32fB ．322fC ．1252fD ．1272f5．以下茎叶图记录了甲乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x +y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．13D ．166．已知)1,0(∈x ，令x x c x b a 3,cos ,5log ===，那么c b a ,,之间的大小关系为（）A ．c b a<< B ．c a b <<C ．a c b<< D ．b a c <<7．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF |+|NF |＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（ ） A ．3B ．C ．5D ．9．函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2π0<<ϕ）的部分图象如图所示，给出下列说法： ①函数)(x f 的最小正周期为π；②直线12π5-=x 为函数)(x f 的一条对称轴； ③点)0,3π2(-为函数)(x f 的一个对称中心； ④函数)(x f 的图象向右平移3π个单位后得到x y 2sin 2=的图象.其中正确说法的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ．240种B ．188种C ．156种D ．120种11．已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，12,F F 为双曲线的左右焦点，P 为渐近线上一点且在第一象限，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，若01230PF F ∠=，则双曲线的离心率为（ ） A 2B ．2C ．2D ．312．已知定义在R 上的函数()2(0)x f x e mx m m =+->，当121x x +=时，不等式()()()()1201f x f f x f +>+恒成立，则实数1x 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞ 第II 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s ，黄灯时间为3 s ，绿灯时间为60 s ．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为____．14．函数()2log 03xxx f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦__________. 15ABCC b c B A b a C B A ABC c b a ∆-=-+=∆则且（的对边，的三个内角分别是已知,sin )()sin )(sin 2,2,,,,面积的最大值为____________．16．已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①//BN 平面1A DM ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥N DMC -的最大体积为223； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.若数列等差数列}{n a 和等比数列}{n b 满足*,32N n n b a n n n ∈+=+,（1）求}{n nb a +的前10项和；（2）若等比数列}{n b 的首项31=b ，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式.18．某中学随机抽取部分高一学生调查其每日自主安排学习的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图，其中自主安排学习时间的范围是[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）从学校全体高一学生中任选4名学生，这4名学生中自主安排学习时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ， 已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；20．已知函数()2122ln 2f x x a x x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. （1）当1=a 时，求()f x 的单调性；（2）已知函数()222e 24ln 2x a g x a x x a x+⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭在[]1,x e ∈时总有()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)，离心率为3，点A 为椭圆C 的右顶点，直线l 与椭圆相交于不同于点A 的两个点1122(,),(,)P x y Q x y . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）当•0AP AQ u u u r u u u r=时，求OPQ ∆面积的最大值；（Ⅲ）若直线l 的斜率为2，求证：APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点.请从下面所给的22、23两题中选定一题做答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（本小题满分10分）【选修4-4:极坐标与参数方程选讲】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线1C ：24sin 20ρρθ-+=，曲线2C ：2cos 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线1C ，2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线1C 与y 轴交于A ，B 两点，P 为曲线2C 上任一点，求PA PB +的最小值. 23.（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()11f x x ax =+--.（Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.答 案选择题1-6：ADDDCA 7-12:BBCDBD 填空题13.512 14．1915. 16．①②解答题17. （原创题）（Ⅰ）2321711+ 5分（Ⅱ）n n b n a 3,2n == 12分18. 18．（Ⅰ）0.0125；（Ⅱ）分布列见解析，()1E X =. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用直方图中矩形面积的和为1，直接求解x 即可； （Ⅱ）依题意得14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:，随机变量ξ的所有可能取值为0、1、2、3、4，由此能求出ξ的分布列及其数学期望． 【详解】（Ⅰ）由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，可得()200.0250.00650.00321x ⨯+++⨯=，解得0.0125x =； 4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，全体高一学生中，自主安排学习时间少于20分钟的学生的频率为1200.01254⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3、4，且14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，()()441304,44kkk P X k C k k N -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为()1414E X =⨯=． 12分 【点睛】本题考查频率直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得1C B ⊥平面ABC .（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面1AB E 和平面11A B E 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解； 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，∴1BC =又∴22211BC BC CC +=，∴1BC BC ⊥，∵AB ⊥侧面11BB C C ，∴1AB BC ⊥. 又∵AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ∴直线1C B ⊥平面ABC . 5分（2）以B 为原点，分别以BC u u u r ，1u u u u r BC 和BA u u u r的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A，()1B -，1,22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()1A -， 设平面1AB E 的一个法向量为()111,,n x y z =r()12AB =--u u u r，122AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ∵100n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，∴1111112012022x z x y z ⎧-+-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1y =，则11x =，∴()n =r 设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =u r ，()110,0,2A B =-u u u u r，13,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，∵11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u v v，∴203202z x y z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令y =1x =，∴()m =u r ， 2m =u r，n =r 4m n ⋅=u r r，∴cos ,m n m n m n ⋅===u r ru r r u r r 设二面角11A EB A --为α，则cos cos ,5m n α==u r r∴设二面角11A EB A --. 12分 【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20．（1）见解析 （2）()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()()2x a x a f x x⎛⎫--⎪⎝⎭'=，即解不等式可求出结果；（2）先构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--，分别讨论0a <，0a >两种情况，用导数的方法研究函数单调性，即可根据题意求出参数范围. 【详解】(1)())()()(是减函数，是增函数，在，和，在21210∞+x f 5分（2）构造函数()()()2e2ln a F x f x g x ax x x+=-=--， 当0a <时，由[]1,x e ∈，得0a ax x -≤，2e2ln 0x x--<，∴()0F x <. 当0a >时，()2222eax x a F x x-++'=， 因为[]1,x e ∈，所以220e x -≥，20ax a +>所以()0F x '>在[]1,e 上恒成立，故()F x 在[]1,x e ∈上单调递增.()max e 40e a F x a =--≤，解得24e e 1a ≤-，又0a >，所以24e0e 1a <≤-. 故a 的取值范围是()24e ,00,e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦U . 12分 【点睛】本题主要考查判断函数的单调性，以及由不等式恒成立求参数的范围，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性，最值等即可，属于常考题型.21．（I ）2214x y +=；（II ）2425；（III ）308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】 【详解】试题分析：(I)根据已知椭圆上的一个点和离心率，列方程组，可求得,a b 的值.（II ）当直线斜率不存在时，设出直线方程，代入椭圆方程，求出,P Q 两点坐标，代入0AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，可求得直线方程，进而求得三角形的面积.当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线的方程和椭圆的方程 ，写出韦达定理，利用弦长公式和点到直线的距离公式计算得面积的表达式，并利用二次函数求最值的方法求得最大值.（III ）设出直线l 方程和外接圆的方程，分别联立直线的方程与圆、椭圆的方程，化简后的两个方程同解，通过对比系数可求得圆方程的表达式并求出定点坐标. 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知：且222222{141c a a b c a b==++=，可得：2{1a b c ===，椭圆C 的标准方程为2214x y +=. 3分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设:=l x m ，与2214x y +=联立得：,,P m Q m ⎛⎛ ⎝⎝. 由于0AP AQ •=u u u r u u u r ，得()222104m m ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得65m =或2m =（舍去）. 此时85PQ =，OPQ ∆的面积为2425. 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，与2214x y +=联立得：()()222418410kx kmx m +++-=.由>0∆，得22410k m -+>；且148221+=+k km x x ()()212241*41m x x k -=+.由于0AP AQ •=u u u r u u u r，得：()()()()()()2212121212221240x x y y k x x km x x m --+=++-+++=.代入()*式得：22125160k m km ++=，即65m k =-或2m k =-（此时直线l 过点A ，舍去）.PQ == 点O 到直线l的距离为：d =.OPQ ∆，将65m k =-代入得： OPQ ∆的面积为24242525.OPQ ∆面积的最大值为2425. 7分 （Ⅲ）设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程2214xy +=得：()221716410x mx m ++-=①.设APQ ∆的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=：联立直线l 的方程y kx m =+的：()()225420x M D E x m mE F ++++++=②.方程①②为同解方程，所以：()22411716542m m m D E m mE F-==++++. 又由于外接圆过点()2,0A ，则24D F +=-. 从而可得到关于,,D E F 的三元一次方程组：22412{2173201717D F DE m mEF m +=-+=+=-，解得：62417312{17122017m D m E m F -=+=+=-. 代入圆的方程为：2262431212200171717m m m x y x y -+++++-=.高2020级【理科数学试题】·第 11 页（共 2 页）整理得：()22241220324017171717m x y x y x y ⎛⎫+-+-++-= ⎪⎝⎭； 所以222412200{171717240x y x y x y +-+-=+-=，解得3017{817x y ==或2{0x y ==（舍去）. APQ ∆的外接圆恒过一个异于点A 的定点308,1717⎛⎫ ⎪⎝⎭. 12分 22（Ⅰ）因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的直角坐标方程为22420x y y +-+=，因为)cos cos sin 14πρθρθρθ⎛⎫-+=++ ⎪⎝⎭， 所以曲线2C 的直角坐标方程为10x y ++=. 5分（Ⅱ）因为曲线1C 与y轴交于(0,2A，(0,2B 两点，点A 关于直线10x y ++=的对称点为()'31A --， 所以'PA PB A B ==+≥，所以PA PB + 10分 23．详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 5分 （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2． 10分。
2020年重庆市高三学业检测(第二次)-理科数学(含答案、评分细则)
所以 CM / /DN ,又 DN 平面 AB1N ， CM 平面 AB1N ，
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题计分.
·5·
22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】(本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系
xOy
中，直线
l
的参数方程为
x
2
2t 2
（ t 为参数），以坐标原点 O
y
2t 2
为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 sin2 8cos ．
值为 π ,若将 y f (x) 的图象沿 x 轴向左平移 ( 0) 个单位，所得图象关于原点对称， 2
则实数 的最小值为
·1·
A. 12
B.
6
C.
3
7
D.
12
8.2020 年 2 月，在新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控工作期间，某单位有 4 名员工报名参加
该地四个社区的疫情防控服务工作，假设每名员工均从这四个社区中任意选取一个社区参加疫情
所以 D 为 AB1 的中点．又因为 M 为 AB 的中点，
所以 DM
/
/BB1 ，且 DM
1 2
BB1 .
……………………………………………2 分
因为
N
为 CC1
的中点，所以 CN
1 2
CC1
，
所以 DM CN ，且 DM / /CN ，
所以四边形 CMDN 是平行四边形，………………………………………………4 分
223
n 1 n
n
18.解：（Ⅰ） K 2 200 (85 5 9515)2 50 5.556 6.635 100100 20180 9
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2019-2020年高三下学期联合考试数学理试题含解析
2019-2020年高三下学期联合考试数学理试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.21.( 5分)i为虚数单位，则(2i)=( )A . - 4B . 4 C. 2 D . - 2【考点】：复数代数形式的乘除运算.【专题】：数系的扩充和复数.【分析】：利用复数的运算法则即可得出.【解析】：2 2解：(2i) =4i =- 4.故选：A .【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题2. ( 5分)某种树的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年树的分枝数为(A . 5B . 6 C. 7 D. 8【考点】：【专题】：【分析】：归纳推理.推理和证明.由图形求出这种树的从第一年的分枝数，可发现从第三项起每一项都等于前两项的和，由此规律即可求出第6年树的分枝数.【解析】：解：由题意得，这种树的从第一年的分枝数分别是 1 , 1, 2, 3, 5,…,则2=1 + 1 , 3=1+2 , 5=2+3，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第6年树的分枝数是3+5=8 ,故选：D.【点评】：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力.3. (5分)设随机变量a服从正态分布N ( u, 9),若p ( 3) =p ( M 1),则u=( )A . 2B . 3 C. 9 D. 1【考点】：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】：计算题；概率与统计.【分析】：根据p ( >3) =p ( M 1),由正态曲线的对称性得u==2 .【解析】：解：•••随机变量E服从正态分布N (u, 9) , p ( >3) =p ( M 1),••• u==2故选：A .【点评】：本题考查正态分布，正态曲线有两个特点：(1)正态曲线关于直线x= □对称；(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1 .4. ( 5 分)已知f (x)=，则f ( 3)=( )A . 3B . 2 C. 4 D. 5【考点】：抽象函数及其应用.【专题】：函数的性质及应用.【分析】：直接利用分段函数的解析式，结合抽象函数求出函数值即可.【解析】：解：f (x)=,则f (3) =f (2+3) =f (5) =f (2+5) =f (7) =7 - 5=2.故选：B.【点评】：本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查计算能力.5. ( 5分)《中国好歌曲》的五位评委刘欢、杨坤、周华健、蔡健雅、羽？泉组合给一位歌手给出的评分分别是：X I=18 , x2=19 , X3=20, X4=21 , X5=22，现将这五个数据依次输入下面程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是( )A . S=2，即5个数据的方差为2B . S=2，即5个数据的标准差为2C. S=10,即5个数据的方差为10D . S=10,即5个数据的标准差为10【考点】：程序框图.【专题】：图表型；算法和程序框图.【分析】：算法的功能是求S= (xl - 20) 2+ (x2 - 20) 2+ ••+ ( xi - 20) 2的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值.【解析】：解：由程序框图知：算法的功能是求S= ( xl - 20) 2+ ( x2 - 20) 2+ ••+ (xi - 20)2的值，•••跳出循环的i值为5,2 2 2 2 2•••输出S= 18- 20) + (19- 20) + (20 - 20) + (21 - 20) + (22 - 20) ]= X( 4+1+0+1+4 ) =2.故选：A .【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键，属于基础题.6. ( 5分)下列命题中，是假命题的是( )A . ?x€ (0,), cosx>sinxB . ?x€R, sin2x=2sinxcosxC. |?|=||?||D.【考点】：命题的真假判断与应用.【专题】：简易逻辑.【分析】：A •禾U用三角函数的单调性即可判断出正误；B .根据倍角公式即可判断出正误；C •由于|?|=||,即可判断出正误；D •利用对数恒等式即可判断出正误.【解析】：解：A . ?x€ (0,),利用三角函数的单调性可得cosx> =sinx，因此正确；B . ?x €R,根据倍角公式可得：sin2x=2sinxcosx，正确；C. |?|=||,因此不正确；D •利用对数恒等式可得：=3，因此正确.综上可得：C是假命题.故选：C.【点评】：本题考查了三角函数的单调性、倍角公式、数量积的定义、对数恒等式、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.7. ( 5分)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的A . 2B . 4 C. 6 D. 12【考点】：由三视图求面积、体积.【专题】：空间位置关系与距离.【分析】：由三视图判断出几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，再利用三视图的数据，求出几何体的体积.【解析】：解：如图三视图复原的几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且ABCD是直角梯形，由三视图得，AB 丄AD , AB=AD=2 , BC=4 ,一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥，即PA丄平面ABCD , PA=2所以几何体的体积V X AB >43A= >2 >2=4【点评】：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是准确还原几何体，并由三视图中的相关数据求出所对应的几何元素的长度，考查空间想象能力.2 2 2 2& (5分)如图F i, F2为双曲线C: =1 (a>0, b>0)的左、右焦点，圆O: x +y =a - b , 过原点的直线与双曲线C交于点P,与圆O交于点M、N,且|PF i?|PF2|=15，则|PM|?|PN|=( )A . 5B . 30C . 225D . 15【考点】：双曲线的简单性质.【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】：设P (m, n),代入双曲线的方程，设双曲线的离心率为e,由双曲线的第二定义可得，|PF1|=em+a, |PF2|=em-a,运用平方差公式以及圆的半径，化简整理，结合离心率公式和a, b, c的关系，计算即可得到所求值.【解析】：解：设P (m, n),则-=1，即有n2=b2(- 1),设双曲线的离心率为e,由双曲线的第二定义可得，|PF1|=em+a, |PF2|=em - a,|PF1 |?|PF2|=15，即为(em+a) (em- a) =15,2m =, 则|PM|?|PN|= (-) (+)=(m +n )-( a - b ) =+b ??- b - a +b；「、2 2= _ (15+a ) - a =15.a故选：D.【点评】：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查双曲线的第二定义的运用和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.9. ( 5分)将4名新来的学生分到高三两个班，每班至少一人，不同的分配方法数为( )A . 12B . 16 C. 14 D . 18【考点】：计数原理的应用.【专题】：排列组合.【分析】：本题是一个分类计数问题，四名学生中有两名学生分在一个班的种数，有三个学生分在一个班的种数，两类情况，根据分类计数原理即可得到结果【解析】：解：由题意知本题是一个分类计数问题，•••每个班至少分到一名学生，四名学生中有两名学生分在一个班的种数是=6 ,有三个学生分在一个班有=8种结果，•••不同的分配方法数为 6+8=14种结果. 故选：C .【点评】：本题考查排列组合的实际应用，考查利用排列组合解决实际问题，是一个基础题, 这种题目是排列组合中经常出现的一个问题.【考点】：平面向量数量积的运算. 【专题】：平面向量及应用.【分析】：过点0分别作0E 丄AB 于E, OF 丄AC 于F ,可得E 、F 分别是AB 、AC 的中点.根 据Rt △AOE 中余弦的定义，分别求出 ？，？的值，再由M 是BC 边的中点，得到？= ( +) ?，问 题得以解决.【解析】：解：过点0分别作0E 丄AB 于E , OF 丄AC 于F ,贝U E 、F 分别是AB 、AC 的中点 可得 Rt △AEO 中，cos / 0AE==, •- ?=ll?ll?=『=18,同理可得?=『=8 ,••• M 是边BC 的中点，=(+)• ?= (+) ?= (?+?) = (18+8) =13, 故选：D【点评】：本题将△ABC 放在它的外接圆 0中，求中线 AM 对应的向量与的数量积之值，着 重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题.二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5分，共25分.(一)必做题(11-13题) (一)必做题11. ( 5 分)已知全集 I={1 , 2, 3, 4, 5, 6}，集合 A={1 , 2, 4, 6}, B={2 , 4 , 5 , 6}，则 ?I (A AB) ={1 , 3, 5}.【考点】：交、并、补集的混合运算.10. ( 5分)如图，0为A ABC 的外心,AB=6 , AC=4，/ BAC 为钝角,M 是边BC 的中点,36 C . 16 D . 13【专题】：集合.【分析】：根据A与B求出两集合的交集，由全集I，求出交集的补集即可【解析】：解：••• A={1 , 2, 4, 6}, B={2 , 4, 5, 6},••• A AB={2 , 4, 6},•••全集I={1，2, 3，4，5，6},• ?| （A AB）={1 , 3, 5}. 故答案为：{1 , 3, 5}.【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.12. （5分）函数y=的最大值是4 .【考点】：函数的最值及其几何意义.【专题】：计算题；函数的性质及应用.2【分析】：先化简（2+x）（6 -x）= -（x - 2）+16，从而求（2+x）（6 - x）的最大值，再求函数y=的最大值.【解析】：解：•••（2+x）（6 -x）2=-x +4x+122=-（x-2）+1606;.• 0=4 ;故答案为：4.【点评】：本题考查了函数的最值的求法，同时考查了二次函数的应用，属于基础题.13. _____________________________________________________________ （5分）满足条件AB=2 , AC=2BC的三角形ABC的面积最大值是____________________________________ .【考点】：正弦定理的应用.【专题】：解三角形.【分析】：设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x 表示出sinB,代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值.【解析】：解：设BC=x，则AC=2x，由余弦定理可得cosB==.由于三角形ABC的面积为?2?x?sinB=x = ：. [ - '' 「=2再由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得v x v 2,故v X V 4.2 4 2再利用二次函数的性质可得，当x =时，函数-9x +40x +16取得最大值为，故的最大值为，故答案为.【点评】：本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用.当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题.（二）选做题（14-16题，请从中选做两题，若三题都做，只计前两题分数）14. （5分）如图，AB是圆0的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P,若圆0的半径是3，则AC?AP+BD?BP 的值36 .【考点】：与圆有关的比例线段.【专题】：选作题；立体几何.【分析】：连接AD、BC,过P作PM丄AB，则/ ADB= / AMP=90 °可得点D、M在以AP 为直径的圆上；M、C在以BP为直径的圆上•由割线定理，即可得出结论.【解析】：解：连接AD、BC,过P作PM丄AB，则/ ADB= / AMP=90 °•••点D、M在以AP为直径的圆上；同理：M、C在以BP为直径的圆上.由割线定理得：AP?AC=AM ?AB , BP?BD=BM ?BA ,• AP?AC+BP ?BD=AM ?AB+BM ?AB=AB ? （AM+BM ）=AB 2=36.故答案为：36.考查学生分析解决问题的能力，正确运用割线定理是关键.15. （5分）以坐标原点为极点，x的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标方程为p=4cos B的曲线与参数方程（t为参数）的直线交于A、B，则|AB|=【考点】：简单曲线的极坐标方程.【专题】：坐标系和参数方程.【分析】：首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把直线的参数方程转化成直角坐标方程，再利用圆心到直线的距离公式，最后求出所截得弦长.2 2【解析】：解：极坐标方程为p=4cos 0转化成直角坐标方程为：x +y - 4x+4=4整理成标准形式为：（X - 2）+y =4圆心为：（2, 0）半径为2.参数方程（t为参数）转化成直角坐标方程：x+y - 1=0则：圆心到直线的距离为：d=故答案为：【点评】：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用，及相关的运算问题.16. (5分)若函数f( x)=的定义域为R,则实数m的取值范围为(―3 —11] U [7, +〜【考点】：函数的定义域及其求法.【专题】：函数的性质及应用.【分析】：根据绝对值的几何意义得到不等式|m+2|-9%,解出即可.【解析】：解：函数f f x)=的定义域为R,等价于|x+2|+|x —m|—9 为,等价于|x+2|+|x —m|^9,等价于m+2为，或m+2 v- 9,解得：m罗或m w- 11,故答案为：(-3,- 11] U [7 , + ^).【点评】：本题考查了绝对值的几何意义，二次根式的性质，本题属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (13分)设△ABC 的内角A , B, C 的对边分别为a, b, c, (a+b+c) (a- b+c)(1)求证：A+C=;(2)若sinAsinC=，求cos (A - C)的值.【考点】：余弦定理；正弦定理.【专题】：解三角形.2 2 2【分析】：(1)由(a+b+c) (a- b+c) =ac,可得a +c - b = - ac,利用余弦定理可得，可证明.(2)展开cos (A - C) =cosAcosC+sinAsinC=cos (A+C ) +2sinAsinC，即可得出.【解析】：(1)证明：•••( a+b+c) (a- b+c) =ac,.2 2 2--a +c - b = - ac,…=-,••• B € ( 0, n,--A+C= B=;(2)解：cos (A - C) =cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC - sinAsinC+2sinAsinC=cos (A+C ) +2sinAsinC【点评】：本题考查了余弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18. ( 13分)某校高二上期月考语文试题的连线题如下：将中国四大名著与它们的作者连线，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线.其得分标准是：每连对一个得3分，连错得-1分. =ac.解得.即一名考生由于考前没复习本知识点，所以对此考点一无所知，考试时只得随意连线，现将该考生的得分记作E(I)求这名考生所有连线方法总数；(n)求E的分布列及数学期望.【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列.【专题】：概率与统计.【分析】：(I)所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列；(n)手-4, 0, 4, 12,求出相应的概率，即可求得E的分布列及数学期望.【解析】：解：(I) 所有连线方法总数为四个元素在四个位置的全排列，所以连线方法总数是种. (n) E的可能取值为-4, 0, 4, 12,P( e=i2)=,P ( =4)=,P ( =0)=,P ( = - 4)=,E的分布列为：—斗40412PPP241314丄，24数学期望'z - - ■ I.【点评】：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确理解事件，求概率，确定变量的取值，属于中档题19. ( 13分)如图，在直角梯形ABCP 中，AP // BC , AP丄AB , AB=BC=AP=2 , D 是AP 的中点，E, F, G分别为PC、PD、CB的中点，将A PCD沿CD折起，使得PD丄平面ABCD .(1)求证：平面PCD丄平面PAD;(2)求面GEF与面EFD所成锐二面角的大小.【考点】：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定.【专题】：空间位置关系与距离.【分析】：(1)由PD丄平面ABCD，可得PD丄CD，又CD丄AD，可得CD丄平面PAD，利用面面垂直的判定定理即可证明；(2)如图以D为原点，以DA , DC , DP分别为x, y, z轴建立空间直角坐标系D - xyz .不妨设AB=BC==2 .则G ( 1, 2, 0), E (0, 1, 1) , F ( 0, 0, 1),=(0,- 1, 0), = (1 , 1, - 1).设平面EFG的法向量为=(x, y, z),利用，可得，利用法向量的夹角即可得出. 【解析】：(1)证明：T PD丄平面ABCD ,••• PD丄CD ,•/ CD 丄AD , PD A AD=D .•CD丄平面PAD,•/ CD?平面PCD ,•平面PCD丄平面PAD .(2)解：如图以D为原点，以DA , DC, DP分别为x , y , z轴建立空间直角坐标系D - xyz . 不妨设AB=BC==2 .则G (1 , 2 , 0), E (0 , 1, 1) , F ( 0 , 0 , 1),=(0, - 1, 0), = (1, 1, - 1).设平面EFG的法向量为=(x , y , z),•,可得,令x=1 ,解得z=1, y=0,•= (1 , 0 , 1)为平面PCD的一个法向量，=(1, 0, 0).DA ■ n _ 2 _V2|DA||n| = 2V2~【点评】：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角得出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题.20. ( 12分)已知函数.(I)求f (x)的单调区间；(H)若对于任意的x € (0 , +8),都有f (x) S求m的取值范围.【考点】：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】：导数的综合应用.【分析】：(I)先求出函数的导数，通过讨论m 的范围从而得到函数的单调区间；(H)当m > 0时，不会有？x € (0, + 8),当m v 0时--—，从而求 心 e49e 3出m 的范围.兰【解析】：解：(I):，-- I,ID① 当 m > 0 时，：|： 一 |_ 1I- r ' - .■：' ■ ■ .1 ,x或 x 湘上、|- t .■- I' ■- I ,m所以f (x )的单调增区间是(- 8,- m ), (m , + ^),单调减区间是(- m , m );x② 当 m v 0 时，：| ：「一| 厂 • - | 11 ' 1 ■ I.' ■■ .■：' ■- .1 ,m1■ -1J_' 1 :厂--.I 或 x Am ,所以f (x )的单调增区间是(m ，- m ),单调减区间是(- 8, m ), (- m , + 8)； ii+l(H)当 m > 0 时，•••：：「•」—」亠49e 3 (0, - m )单调递增，在(-m , + 8)单调递减,=f (-m)厘maxQ由题意知：:'.■'■^巳49 e• m 的取值范围为.【点评】：本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题.21. (12分)设椭圆E : =1 (a >b >0)的长轴长为6，离心率e=, O 为坐标原点. (I)求椭圆E 标准方程；(□)设卩(xi ,yi ) ,Q(X2,y2)是椭圆 E 上的两点，：J 一；.； ■/ ..:.且，设 M (x 0, y 0),且:'|;」(B€R ),求 x 02+3y o 2 的值;•••不会有？x € ( 0, + 8), 当m v 0时，由(I)知f (x )在••• f (x )在(0, + 8) 上,工(川)如图，若分别过椭圆E的左右焦点F i, F2的动直线?1, ?2相交于P点，与椭圆分别交于A、B与C、D不同四点，直线OA、OB、OC、OD的斜率k2、k3、k4满足k1+k2=k3+k4.是否存在定点M、N，使得|PM|+|PN|为定值.若存在，求出M、N点坐标；若不存在，说明理由.【考点】：椭圆的简单性质.【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】：(I)首先，根据已知条件确定，a, b, c即可；(H)利用向量关系，建立关系式，然后，结合三角关系求解即可；(川)首先，对直线的斜率是否存在进行分类，然后，设直线的方程，联立方程组，建立关系式进行求解即可.【解析】：解：(I) -- -： - 'I，'--所以椭圆标准方程••- (4分)(u) | -1 厂，：.：，| •.一,, M (x o, y o),则(x o, y o) = (x i cos B, y i cos B) + (X2sin 0, y2sin B)=(X1COS0+X2Sin 0 , y1cos 0+y2Sin 0) (6 分)贝y，- | . -- ，一「_ _. i , 丁一二i ：-? ■- ■/::= ・-■：：■■■■- .■ ■- ■：：■■；•匚 :- I . ■ ■■ -. 12 2=9 (sin 0+cos 0) =9••- (8 分)(川)据题，得二-'■ I …当直线丨1或12斜率不存在时,P点坐标为(，0)或(，0), 当直线丨1、12斜率存在时，设斜率分别为m1, m2.「•I1的方程为y=m1 (x+ ), l2的方程为y=m2 (x -).,消去y ,得,设A (X1 , yd , B (X2 , y2), C (X3 , y3), D (X4 , y4),联立方程组(1+3 ni| ) x^+6^6mix+18 mj ~ 9=0 ,由当直线11或12斜率不存在时，P 点坐标为(-，0)或(，0 )也满足， •••点P 在椭圆上，则存在点M 、N 其坐标分别为(-，0)、(, 0),使得|PM|+|PN|=2为定值.••- ( 12 分) 【点评】： 本题重点考查了椭圆的标准方程、椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知 识，属于难题.22. (12 分)已知数列 A n ： a 1, a 2, a 3, --a n (n€N , n 毘)满足 a 1=a n =0，且当 2我薛i (k €N ) 时，(a k - a k -1)=1，令.(I)写出的所有S (A 5)可能值； (n)求S (A n )的最大值和最小值.【考点】：数列的应用.【专题】：点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】：(I)由题意分6种情况考虑即可；2(n)由( a k - a k -1) =1可构造新数列 C 1 , C 2,…，c n -2, c n - 1，则它们各自的绝对值为 1, 和为0，则前项取1，后项取-1时，S (A n )最大；前项取-1,后项取1时，S (A n )最小. 【解析】：解：(I)由题意满足条件的数列 A 5的所有可能情况有： ① 0, 1 , 2, 1 , 0 .此时 S (A 5) =4 ； ② 0, 1 , 0, 1 , 0 .此时 S (A 5)=2 ； ③ 0, 1 , 0,- 1, 0.此时 S (A 5) =0 ； ④ 0，- 1,- 2, - 1, 0.此时 S (A 5) = - 4；同理65/6 m2 1+3ID18mf-91+3歸18rao - 9 -_,「••( 9 分)y 1 m 1 ( K] +V&) 1二尸 7V GITIIID 1 + s k1 ry 2 Tsui]—_ 17 ■ !，zx 21x 2V G^1?又满足 k i +k 2=k 3+k 4.娠10[ ( X 1 +x ?) 细+ -----------丄 Y . V _—2 V6n<2 ( K3+ x 4V6m i (-)2屯]+c 怡叫_1 =2 ITlg2' Hl | ro 2"2lSirig -9设点P (x , y ),则」7=.x+V6(x 丰 ± ••- (11 分)⑤ 0，— 1, 0, 1, 0.此时 S (A 5) =0 ； ⑥ 0, - 1, 0,- 1, 0 .此时 S (A 5)= - 2, 所以S (A 5)的所有可能的值为：4, 2, 0, - 2, - 4.(n)由，可设 a k - a k -1=c k -1,*则 C k -1=1 或 c k -1= - 1 (2詠勺(k €N ), 因为 a n - a n -1=C n - 1,所以 a n =a n - 1+C n -1=a n -2+C n -2+C n -1»=a 1+C 1+C 2+ --+C n -2+C n -1 因为 a n =a 1= 0,所以 C 1 +C 2+ --+C n -2+C n -仁0 ,所以n 为奇数，C 1, C 2,…，C n -2, C n -1是由个1,和个-1构成的数列.所以 S ( A n ) =C 1+ ( C 1+C 2) +••+ ( C 1+C 2+ --+c n - 1) = ( n - 1 ) C 1+ ( n - 2) c 2+ --+2c n -2+c n - 1 则当C 1, C 2,…，C n -2, C n -1的前项取1,后项取-1时，S (A n )最大，2 此时.n max 2 2 4同理知，当C 1 , C 2,…，C n - 2, C n - 1的前项取-1，后项取1时，2S (A n )最小，此时［二- .n nun4【点评】：本题考查数列的知识，看清题意，找出其内在规律是解决本题的关键.2019-2020年高三下学期联合考试文科数学试卷 含答案数学试题（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的•1. 已知集合 A —0,1,2,3,4 \ B —x| x ； 3，则 A.B. C. D.2. 已知复数的虚部为 A.B.C. D.3.命题“若，则的逆否命题为 A.若，则 B.若，则C.若，则D.若，则5.已知 sin 二一二-二-,sin 2： 0,3A. B.C.D.6.已知 a = log 2 0.3,b =log 0.3 2,c= log 0.3 0.4，则A. B. C. D.7. 已知函数y=2sin「x」；I门s0,0 ：：：「:::二的图象上相邻两个最高点的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的解析式为A. B.C. D.J x - y 2 _o,I ，8. 若不等式组＜x-5y+10E0,表示的平面区域为D,则将D绕原点旋转一周所得区域的面积\X + y —8 兰0,为A. B. C. D.9. 若数列为各项都是正数的等比数列，且，则数列的前项和A. B. 15 C. D. 3110. 已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，，若,则实数的取值范围是A.B.C.D.11. 网格纸上小正方形的边长为1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 44B. 56C. 68D. 7212. 已知双曲线双曲线2 2C2:务…占=1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为，a b是双曲线的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若，且双曲线的离心率相同，则双曲线的实轴长为A. 4B. 8C. 16D. 32第口卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第(13) (21) 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第(22) (24) 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 已知平面向量的夹角为，，则_____________________ .14. 运行如下程序框图若输入的的值为3,则输出的的值为 ____________________ .15. 等差数列的前项和为，若，则的最小值为__________________________ .16. 函数在区间上单调递减，则的取值范围是______________________ .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2 ）若，求边上的高.1局，并将小明和小红的得分分别记为,小明6699小红7961018.（本小题满分12分）小明和小红进行了一次答题比赛，共4局，每局10 分,现将小明和小红的各局得分统计如下:（1）求小明和小红在本次比赛中的平均分及方差；（2）从小明和小红两人的4局比赛中随机各选取求的概率.19.（本小题满分12分）已知四棱柱中，平面，底面为菱形.（1 ）若E为线段的中点，证明：；（2）若A1B^2, AA =4, ADC =120；，1.求三棱锥的体积.20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且在椭圆上，圆与直线的一个交点的横坐标为（1）求椭圆的方程与圆C的方程；（2 ）已知为圆C上的任意一点，过点A作椭圆的两条切线，试探究直线是否垂直，并说明理由.21.（本小题满分12分）2 2 2已知函数f（x）=x-2（ a-）d n X g x 2 an x（1）若求函数在处的切线方程；（2）当时若在上恒成立，求实数的取值范围请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，BC为圆0的直径，A为圆0上一点，过点A的直线与圆0相切，且与线段BC的延长线交于点D,E为线段AC延长线上的一点，且ED//AB.（1）求证；（2 ）若，求的长.23.（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程选讲已知曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为.（1 ）写出曲线C的极坐标方程，并求出曲线C在点处的切线的极坐标方程；（2）若过点A的直线与曲线C相切，求直线的斜率的值.24.（本小题满分10分）不等式选讲已知，且（1 ）若，比较与的大小关系，并说明理由; （2 ）若，求的最小值.2016年4月玉林、贵港、梧州高中毕业班联合考试•数学试卷(文科)参考答案、提示及评分细则].D2.A<=譬=_3-213.C原命題的彤式为-若P则g".则連否命题的形式为■若r gW-A".故逆再命題为-若"和或aW-0.則V 5iria =寺• .in2a>0 • •： cos«= =-^ ・ tana =孑・4.B5.B依8.® .7=9.代人>=-0. 7』+10・3中•记彻Y=U・故6+期+3 + 2=16•解得m=5.—2VaV —】=丄・—1 V^<—•c>0. .••c>6>a. a Z6.C7.B由题世知弩・"3・2•向左平移*个瓠位长度的/3・2说2卄于+卩・所側图氟关于”■于轴对称.于+ £■+*"+于・*"・所以产b—寸丄"•因为0<^<洗•序以计年・8. A 4HM4II图所示•其中A(O・2)・〃《5・3)・C(3・5)•可行域中到原点最近距海为|OA|・2・lft远距离为\OB|= 加•梅D绕原点一周所时区域为關环・瓦面积为3"-"=30K・(«^0、9. D a^if =2a& + wg°・g■—『一2・0・孑=2・g・7Z・<i| =护■血一1 ・S•■勺=31.10. /\ 由越童得/(a,-l)</(2> = /(-2).-2<a,-l<2.-V3<a<^.11. C由三视图町知•诛几何体为一个长方体切掉一个綾柱以及一个枝愴得到的几何体. 故所求几何体体V = 1X4X6-yX3X 4X4-yX ^X2X4X3=68・12. C 依题童•不妨设M在> =—为(血丄MF-故| MF* |为点人x的a a距离•故IMF； | 7=/H因为△OMF；为jfi：角三角形• |OF* | w•故|OM| =u-va1+沪故Se»b=16 = *"・故"=32①•因为双曲线G的离心率宀哼=/+务•解谢a = 26②.联立①②•解得a = 8.6=l.故双曲线的实轴氏为16・13.473由題童知a与b的夹角为歆•所以|a-bP = V-4X4X2X(-y) + 16=48.所以|<1一2制="・14.1运行谏段序•鄭一次•第二次m・5.i・2 •溝三次・n・16M・3.第四次上・8.i・4 •第五次•刃=4"=5•第六次第匕次.n=I.t = 7.故输出的兀的值为1.15. — 4 a. = 10—2FI・S.=9”一・— =聖+刃一15•当幵=5 或6 时・fit小聖+ 5—15= —4•书+ 6—15 =w n 5 6-4.16. a<—c* 或a^e1设—己•■则尺‘5 = €^_ 十=(,"・①当<iV0时.g r(x»0.rtttg(x)为R上的增顒数•所以只# «(x)的零点为大于1?于1即町•満足陶数/S为［0.1］上的单IM横数•丽D的事点为x=-|-ln(-a),JW以寺怙(一GZI •褂aW—宀②当<i・0时.g(x)-c<./(x)-<<不符合題jgh③当a>0 »g/(.r) = c>—= U =0=>x=-|-lna<g< r) fr(—为减顒数•在 < ・+8)上見增険数.同时«(^)^=«(^-10<1) = 2>/7>0. W此只右斗Ina鼻1时•即・第上所述：aW — e1或a^e1・17. ff •( I ) |h acosB—c■无及正孩定理町鮒sin-AcosB—sin<，w—..................................................................... 2分PI为yiMJ“n(A + B)・yin/lco・B+gg・A、inB・所以+ cox.AsinB w0・........................................................ 4 分优为MD B#0.所以CO S= -y.W为OVAVir•所以A = ^・................................................................................ 6分<11 >rtl余戎定理可知/T+J-26reo•警=卩2+氏・.................................................. 7分序以<3+5/3/-^+^+Ac=(6-c),+3Ac-6 + 3Ac•解得庆・2 + 2苗・ ....................................... 9分设BC边上的A为为•由8厶5・=*fcrsinA=夕必■ ................................................ 10分Wy<2+2Vy)sin^-y(3 +庐川•解附〃=1. ............................................................................................................ 12#-〜…、64-6+9+9 . . 7+9+6+10 八l&th« I )xi =--------------- -------- = 7.5.x> = ----------- --------- ・8$>? = y (1.5^4)-2. 25.^«y(lX2+4X2)-2.5i(ft 1 分) ..................................................... 4分(II >记小期的4对比宴为的他分分别是6・6・9・9：小红的4馬比奏为B「艮./^.从.各曷的側分分别是7.9.6.10.則从小明和小红的4騎比祥中Rfi机备透取1局•所令5能的结果侑16种.它们<A l.0l)>(A| V B>)V(A| .0<)>(A IV B1)V(A S>B I)>(A IV B1)><A IV B<)V(A1>B1)«(A1V0|)V (A>.B1).(A>.B<).(A4.B l)aA<.B J).(A4.B J>.(A4.B4). 8 ......................................................................................................................................................................... 分其中*1 足条件的有《A-B I J.CA X.B J J.CA J.B J J.CAj.BjjaAj.BjJ.tAe.Bj ...........10分故所求•(辜卩=爲19•解乙I 》连接A 』・GB ・th AAt-OC^AB-BC-易知△人 ABRZkGCB. .......................................................................................... 故 A 】 "=«<；• .................................................................................................... 因为E 为线段A.G 的中点•故BE±AC. ................................................................. <0)依题jft ・SA5・ = *X2X2X 噜N A /T ・ ............................................................. 故 = \\>!・心 . (10)分=*x 心 XSg =^・ .............................................................................................................................................. 12 分卜=孕20 •解：(J )依题童丄 .故<? = 49•胪= 16.故楠的方用为盘+誥=" .............................. 2分6=4.49 16<? =M+J ・易 181(1.8)ft«C 上•故,H+y=65i ................................................................................................................... 4 分 <n )< i >当过点AO …)与确鬪召+焙T 相切的一条切线的時不存在时・ 此时切线方程为*=±7・・・・点川加・“布関,+"=63上•故A«±7・±4)・ •••戏线y=±4恰好为过点AGw.Q 与+ = 1相切的另一条切«!••••期切域互相tfi. ..................................................................................................................................... 6分< 点AS ・小用課益+呂=1 HI 切的切线的料車存在时.可设切线方用为y —n=k (.r —n9).由lb得 16^+49 [jKx-m) + nT-16X49 = 0.；，—Fl 加)•16 + 49F J r 2 +98«J|—*m)x+49 (w —*m)J — 16X 49=0•••直 切・d=0•整 a»(m ,-49)F-2mn*+(»r ,-16)-0<*l *f 由必P+jr 1 =65 上•故 m 1 +w f —65.故= 即网兼切线垂IS. ...................................................................................................................................... 11分 综上所述•点线A •厶相互垂£i ・ 12# 21-iT ：< I > 依題意・ /<x> = ^-4lar./(x)=2x-y.故 /(1) = ~2.« 为 /(1> = 1- 故所求切线方段为>-l = -2(x-l).即，=一2#+3・X-16 nt 2—49CD)依題童•因为 x6(l. +«) •故 Iru>0-故 /(x»2/r (x)=>3<i , -aV 总对但成立$ .................................................................................... 6分 令旅*>=£ •期力气丹='；?；；；丿)•令"《丹=0•側==人.当*W«1灰)时・人《工)单WiiJtix6(7?. + oo)时・旅工)单刿通增. 所以半工Y 时•施n 取时朵小ffi A (y?)=c.•••AD ■乎. w23 •解：《 I 》依題童•曲线C/+"=3・即p=VT •注童到点(V2.1)fr 曲线《・上・故所求切找方程为逻匸+〉=3•即屁coW+Ki"=3& ..................................................................................... 5分(II 》点A 的2［角仝标为(2.2》•故直钱”：y=*(.r-2》+2与貝,+# = 3相切时.=臬・/.F-M+l-0.*-4± /B............................................................................................................... 10 分24. W i ( I 》依題童.w z + n —(mn+m) = m ,—mw+n —rw —(rn —1 )(m —n) i因为幵>1・故 页>1・抜(m —l)(m —n)>0・即 卅+用>顾幵+质： ................................... 5分(H >依題童？ +丄=(2 +丄)(旳+ 2|0=2+乜+竺+ 2M8s Ff ff9 99 999 W当11仅当刑=2聘・即删=*山=+时零号成立.1_ x/1亠1力6<a< 1+ / + 】％6 11分乂 •••应苏.・・匕牛互V 应夕 XZADB = ZCDA • ••• •••若=架・・・・AC ・ AD=A 〃 • CD. /it(I 〉解:VBC 是戏栓••••ZBA(••• ED//AH • ••• Z DEC- Z BAC- RtZ ・ ZCDE- Z b • 10分10分••• DE= I • DC - 5 • ••• ( £> 3 •2016年4月玉林.贵港、梧州高中毕业班联合考试•数学试卷(理科)参考答案■提示及评分细则1. C 依艺意・C 』="IY2或*事7〉•故AfhC ■旳=《一3.2]・2. B 依•故z=3 + 2i.故夏数攵的虎部2・I3. C 原命趁的形式为•若p 则g-•则逆否命題的彤式为“若r g IM rp-点連否命題为-若aM#或 <|"二4. B 依g«.7-9.代人 >=-O. 7x+10.3 中.记猬亍=1・故 6+炳+ 3 + ?= 16•解得 m =5. 5. A Cja ・ = 15・a>O.a=l ・6. B 由题童知乎 f 叽・2・向左平移*个单位长度lfi^/(x) = 2sin(2x+-2.+f ).所猬图製关于厂于紬 对祢•"!" +于+卩・“+于•疋乃•所以 严虹一专・疋乙•因为0<f<ic.所以9■号・7. D 因为9从・皿皿・厂3・伉・3—・乂因为筈・-駕••所以氓 *“ •汁 ■計+ 2・所以惜｝为&项为2■•公垦为2的芳垦《(列•所以各・1 + 2・一1)・2”一1・所以a.-(2W -l) - 3--'. & A 由题童刊 /(a ,-lX/(2)= /(-2).-2<a ,-l<2.-^<a<y3・9. D 作出二元一次不芳式纽所农示的平面区域Am (-1 •知•从笔匕•西护)・C (乞尹•写3.33 23 c ： w ~时・“・4・nN6y» ■〒时・uG Z. .*.a2a+ 27 ~4~ 8a + 24 — 18+a_9a+ 610. c由三視图可知•谀几何体为一个长方体切持一个技柱以及一个的几何体.故所求几何体MiW V-4X4X6-^-X3X4X4-yX-i-X2X4X3 = 68・11. C依題童•不妨设M在v = -xi«为(|为点巧列茂线y=—x的a a距离•故| |=7^^：=札因为MMF*为H角三他形.|OF, |=c.故\OM\=a.故$亦“=】6=*"•故"=32①展为双曲线G的离心率・=噜=J1 +务・解得《■筋②•联立①②御U-8.A- I.故双曲线的实轴长为16.12. B设尺= •〉•="-<!•由越设原不等式令唯一整数餅・即g(x) = xc*在点线y = a.r-a下方./(.r)=(匸+1)卍.x(.r)ft(—oo. —1) .在G —1 ・+8》上单鸿违埔•以J O—N R—1〉= —a忸过定点P(l.O).结合换数图線町知SWX" •即静GV右13. 4 A14. 1运仃该稈序•第一次,=10“=1・第二次上=5・『=2・第三次上=16「= 3 •第㈣次・用=8" = 4 •第五次e- t.f = 5.mA次・rr・2r・6•第匕次.w-lu = 7.故输岀的刃的值为1.15.216沅SA丄半囱ABC.SV=SB* —八出= 36.SA = 6・AB*+«(■=・％*•・故以= 9门可梅三域BU卜成长方体•瓦外接球£(乜为SC长.ST uSV+AC1 =36 + 36X5 =35X6..*.SC W-6V6 .R-3#•故所求农面Bl 5-1^-216^.16. 9)令rr = 1 •得ai =丄血丐・血=2•由S. = *</”■“ ・S■“•得Su+sar-a.Z s-a. = 2・所以数列 3 的奇敦環为以1为甘项・2、券的等杀数列•偶数度为以2为杵項・2为公羞的等杀数列・所以a. = n.° _n(n+l) 1 _ 1 _ 1 1 , 1 a 1 1 a ( 1 1 _ n _ 99S"- 以^&i-T+7--+-+--7n"^H=io6-m”="•17. ............................................................................................................................................................................. f lFs( I > |l] aco»B~c•及正技定理町得sin-AcosB—sinC= • ................................................................................... 2分Ifl 为sin(，BB sin(/l + 〃)■ 5in-AcosB+cosAsinB・所以聖嬰 + cosA“nB・0•Ul为sinB#0.所以gl■ — +•因为 OVAVl所以A=y. ....................................................................................... 6 分(D)由余孩定理4 to a1 =M +c l-26ccos y-M +bc• ............................................................................................... 7 分质以(3+>/3)：=M+^+frr=(6-c),+36c=6 + 3Ar.Mf9 ZU尽 ........................................................................................ 9分。
普通高等学校招生全国统一考试重庆卷理科数学试题及答案
2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题本试卷分第Ⅰ部分（选择题）和第Ⅱ部分（非选择题）共150分考试时间120分钟.第Ⅰ部分（选择题共60分）参照公式：假如事件A、B互斥，那幺P(A+B)=P(A)+P(B)假如事件A、B互相独立，那幺P(A·B)=P(A)·P(B)假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那幺n次独立重复试验中恰巧发生k次的概率P n(k)C n k P k(1P)nk一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1 .函数y log1(3x2)的定义域是（）2A．[1,)B．(2,)C．[2,1]D．(2,1]3332.设复数Z12i,则Z22Z()A–3B3C-3i D3i3.圆x2y22x4y30的圆心到直线x y1的距离为：（）A2B2C1D2 224．不等式x2的解集是：（）x1A B(1,0)(1,(,1)(0,1) C(1,0)(0,1)D(,1)(1,) 5．sin163sin223sin253sin313()A 1B1C3D3 22226．若向量a与b的夹角为60，|b|4,(a2b).(a3b)72,则向量a的模为：（）A2B4C6D127．一元二次方程ax22x10,(a0)有一个正根和一个负根的充足不用要条件是：（）Aa0Ba0Ca1D a18．设P是60的二面角l内一点，PA平面,PB平面,A,B为垂足，PA4,PB2,则AB的长为：（）A 23 B25C27D 429．若数列{a n }是等差数列，首项a 10,a2003a20040,a 2003.a 20040，则使前n项和S n 0建立的最大自然数n 是：（）A4005B 4006 C4007D 400810．已知双曲线x 2y 2 1,(a0,b0)的左，右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲a 2b 24|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：()线的右支上，且|PF 1| A4 B5 C2D733311．某校高三年级举行一次演讲赛共有 10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序， 则一班 有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的 2位同学没有被 排在一同的概率为：（ ）A1 B1 C1D110201204012．若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 究竟面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 构成图形可能是：（ ）AAPPB CBCAAPPBCB C第Ⅱ部分（非选择题共90分）三题号 二总分17 18 19 20 21 22 分数二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13.若在(1ax)5的睁开式中x 3的系数为80，则a_______14．曲线y21 x 2与y 1 x 3 2在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）2 4 1的 15 ．如图1是一块半径为1的半圆形纸板，在P 1的左下端剪去一个半径为P2半圆后获得图形 P 2，而后挨次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、..P n ,记纸板P n 的面积为S n，则limS n ______xP 1P 2P 4P 316．对随意实数K ，直线：ykxb 与椭圆：x 32cos(02)恰有y 1 4sin一个公共点，则 b 取值范围是_______________三、解答题：此题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分 12分）求函数y sin 4x2 3sinxcosxcos 4x 的取小正周期和取小值； 并写出该函数在[0,]上的单一递加区间18．（本小题满分12分）设一汽车在行进途中要经过4个路口，汽车在每个路口碰到绿灯的概率为3，碰到红灯（严禁通行）的概率为1假设汽车只在碰到红灯或抵达目的44地才停止行进，表示泊车时已经经过的路口数，求：（1）的概率的散布列及希望E;(2)泊车时最多已经过3个路口的概率19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA 底面ABCD,AE PD,EF//CD,AM EF证明MF是异面直线AB与PC的公垂线；(2) 若PA 3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值PEA FDM B C20．（本小题满分12分）设函数f(x) x(x 1)(x a),(a1)求导数f/(x);并证明f(x)有两个不一样的极值点x1,x2;(2)若不等式f(x1)f(x2) 0建立，求a的取值范围21．（本小题满分12分）设p0是一常数，过点Q(2p,0)的直线与抛物线 y 22px交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）试证抛物线极点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程YB yH OQ(2p,0)xA22．（本小题满分14分）设数列a n知足a 12,a n1a n 1,(n1,2,3.......)a n(1) 证明a n 2n1对全部正整数n 建立；(2) 令b na n ,(n1,2,3......),判断b n 与b n1的大小，并说明原因n2020年一般高等学校招生重庆卷理工农医类数学试题参照答案一、选择题：每题5分，共60分.1．D2．A3．D4．A5．B6．C7．C8．C9．B10．B11．B12．D11．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，此中一班有3位，二班有2位，其余班有5位，若采纳抽签的方式确立他们的演讲次序，则一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：（）A 1B111 1020C D40120解：10位同学参赛演讲的次序共有：A1010;要获得“一班有3位同学恰巧被排在一同而二班的2位同学没有被排在一同的演讲的次序”可经过以下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一同，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其余班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个空隙（包含两头的地点）中选2个地点，将二班的2位同学插入，有A72种方法依据分步计数原理（乘法原理），共有A33A66A72种方法所以，一班有3位同学恰巧被排在一同（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一同的概率为：A33A66A721P20A1010应选B二、填空题：每题4分，共16分.13．－214．15．16．[－1，3]43三、解答题：共74分.17．（本小题12分）解：y sin4x 23sinxcosx cos4x222(sinx cosx)(sinx3sin2xcos2x23sin2xcosx)2sin2(x)6故该函数的最小正周期是 ；最小值是－ 2；单增区间是[0,1]，[5, ]3618．（本小题12分）解：（I ） 的全部可能值为 0，1，2，3，4用A K 表示“汽车经过第 k 个路口时不断（遇绿灯）”， 则P （A K ）= 3(k1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立.41,故P(0) P(A 1)4P(1)P(A 1 A 2)3 1 34416P(2)P(A 1A 2 A 3)(3)219,4464P(3)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)3127,4 4 256 P(4)P(A 1A 2 A 3A 4)(3)4814256进而 有散布列：0 1 2 3 4P1 3 9 27 81 416642562561 3 9 2781525E0 1234256 41664256256 （II ）P(3)1 P(4)81 1751256256答：泊车时最多已经过3个路口的概率为175.25619．（本小题 12分）I）证明：因PA⊥底面，有PA⊥AB，又知AB⊥AD，故AB⊥面PAD，推得BA⊥AE，又AM∥CD∥EF，且AM=EF，证得AEFM是矩形，故AM⊥MF.又因AE⊥PD，AE⊥CD，故AE⊥面PCD，而MF∥AE，得MF⊥面PCD，故MF⊥PC，所以MF是AB与PC的公垂线.II）解：连接BD交AC于O，连接BE，过O作BE的垂线OH，垂足H在BE上.易知PD⊥面MAE，故DE⊥BE，又OH⊥BE，故OH//DE，所以OH⊥面MAE.连接AH，则∠HAO是所要求的线AC与面NAE所成的角设AB=a，则PA=3a，AO 1AC2a. 22因Rt△ADE~Rt△PDA，故EDAD2a2aPD a2(3a)2,10OH 1a. ED210进而在RtAHO中sinHAO OH a215.AO2102a2010 20．（本小题12分）解：（I）f(x)3x22(1 a)x a.令f(x)0得方程3x22(1 a)x a0.因4(a2a1)4a0,故方程有两个不一样实根x1,x2不如设x1由可判断的符号以下: x2,f(x)3(xx1)(xx2)f(x)当xx1时,f(x)0;当x1x x2时,f(x)0;当xx2时,f(x)0所以x1是极大值点，x2是极小值点.（II）因f(x1)f(x2)0,故得不等式x13x23(1a)(x12x22)a(x1x2)0.即(x1x2)[(x1x2)23x1x2](1a)[(x1x2)22x1x2]a(x1x2)0.又由（I）知x1x22(1a), 3x1x2a.3代入前方不等式，两边除以（1+a），并化简得2a25a20.解不等式得a 2或a1(舍去)2所以,当a2时,不等式f(x1)f(x2)0建立. 21．（本小题12分）解法一：由题意，直线AB不可以是水平线，故可设直线方程为：ky x2p.又设A(x A,y A),B(x B,y B)，则其坐标知足ky x2p, y22px.消去x得y22pky4p20由此得y A y B2pk, y A y B4p2.x A x B4pk(y A y B)(42k2)p,x A x B(y A y B)24p2(2p)2所以OAOB x A x B y A y B0,即OA OB.故O必在圆H的圆周上.又由题意圆心H（x H,y H）是AB的中点，故x H x A x B(2k2)p,2y B y A y Bkp.2由前已证，OH应是圆H的半径，且|OH|x H2y H2k45k24p.进而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.解法二：由题意，直线 AB 不可以是水平线，故可设直线方程为： ky=x －2p又设A(x A ,y A ),B(x B ,y B )，则其坐标知足ky x2p, y22px.y 2 2pky4p 20,分别消去x ，y 得2p(k 22)x4p 2x 20.故得A 、B 所在圆的方程x 2y 2 2p(k 2 2)x2pky0.显然地，O （0，0）知足上边方程所表示的圆上，又知A 、B 中点H 的坐标为(x Ax B ,y A y B)((2k 2)p,kp),22故|OH|(2k 2)2p 2k 2p 2而前方圆的方程可表示为 [x(2k 2)p]2(ypk)2 (2k 2)2p 2k 2p 2故|OH|为上边圆的半径 R ，进而以AB 为直径的圆必过点O （0，0）.又R 2|OH|2 (k 4 5k 2 4)p 2，故当k=0时，R 2最小，进而圆的面积最小，此时直线 AB 的方程为：x=2p.解法三：同解法一得 O 必在圆H 的圆周上又直径|AB|=(x A x B )2(y Ay B )2x A 2 x B 2 y A 2 y B 2x A 2 x B 2 2px A2px B2x A x B4px A x B4p.上式当x Ax B 时，等号建立，直径|AB|最小，进而圆面积最小.此时直线AB的方程为x=2p.。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(重庆卷,含答案)(2)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（理工类）数学试题卷（理工农医类）共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡规定的位置上；2、答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其它答案标号。
3、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。
特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ）（A ）A ＝B （B ）A B =∅∩ （C ）A B Ü （D ）B A Ü（2）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝（ ）（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）6（3）重庆市2020年各月的平均气温（ºC ）数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是（ ）（A ）19 （B ）20 （C ）21.5 （D ）23（4）“1x >”是“12log (2)0x +<的”（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）13π+ （2）23π+ （3）123π+ （4）223π+（6）若非零向量a ，b 满足223a b =，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（ ） （A ）4π （B ）2π（C ）34π （D ）π（7）执行如题（7）图所示的程序框图，若输出k 值为8，则判断框内可填入的条件是（ ） （A ）34s ≤ （B ）56s ≤ （C ）1112s ≤ （D ）2524s ≤（8）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝（ ）（A ）2 （B ）42 （C ）6 （D ）210（9）若tan 2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα--＝（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410、设双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线，两垂线交于点D 。
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C.[-1, 2 )
D .( 2, 2]
2.已知 a, b, c R, 则 “实数 a,b,c 均不为零 ”是 “实数 a,b,c 成等比数列 ”的 ()
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C.充要条件
r
r
3.如果向量 a =(k,1) 与 b
D. 既不充分也不必要条件
(6, k 1) 共线且方向相反 ,那么实数 k 的值为 ()
D. 先减后增函数
7.已知函数 f(x)=2sin( ω x+ φ )(0< 的φ图<像π与）直线 y=2 的某两个交点的横坐标分别为 x1, x2 , 若 | x1 x2 | 的最
小值为 π且，将函数 f(x) 的图象向右平移 个单位后得到的函数 g(x) 为奇函数 ,则函数 f(x) 的一个递减区间为 ()
,现阶段也出现
无症状感染者 ?基于目前的流行病学调查和研究结果 ,病毒潜伏期一般为 1-14 天 ,大多数为 3-7 天 ?为及时有效遏制
病毒扩散和蔓延 ,减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害
,需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检
查?某地区对与确诊患者有接触史的 1000 名人员进行检查 ,检查结果统计如下 :
者) ?根据防控要求 ,无症状感染者虽然还没有最终确诊患
2019 新冠肺炎 ,但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离
医学观察 14 天 ,已知某人曾与无症状感染者密切接触 ,而且在家已经居家隔离 10 天未有临床症状 ,若该人员居家隔
D.af(b)<bf(a)
9.如图所示 ,正方体 ABCD A1B1C1 D1 中 ,点 P,Q 分别为边 AA1, C1 D1 的中点 ,过点 B,P,Q 作一平面与线段
CC1 所在直线有一交点 E,若正方体边长为 4,则多面体 EABCD 的体积为 ()
32
64
A.16
B.
C.
D.32
3
3
x2 10.设点 P 是以 F1 , F2 为左 ?右焦点的双曲线 a 2
uuur uuur OA OB, 其中 2λ+μ=3则,
16.已知数列 { an} 满足 :对任意 n N * , an (0, ) ,且 a1
, f (an 1)
2
3
1
sina1 sin a2 L
sin ak
成立的最小正整数
10
k 为 ____.
f (an ) ,其中 f(x)=tanx, 则使得
13.已知复数 z 满足 (3+4i) z·=1-2i, 则 z=_____.
14.二项式 ( 2 x 1 ) 7 的展开式中含 x 的项为 ____. x
uuur
uuur
uuur
15.在△ OAB 中 ,已知 | OB | 2,| BA | 1, AOB 45 ，点 P 满足 OP
uuru | OP | 的最小值为 ___.
4
A.( ,0) 2
B.( , ) 44
C.(0, ) 2
3 D.( , )
44
8.已知 y=f(x) 为 (0,+ ∞上）的可导函数 ,且有 f ( x)
f ( x) x
0 ,则对于任意的 a,b∈ (0,+ ∞当), a>b 时 ,有 ()
A.af(a)<bf(b)
B.af(a)>bf(b)
C.af(b)>bf(a)
y2 b2
uuur uuuur 1(a 0, b 0) 右支上一点 ,且满足 PF1 PF2 0, 直
线 PF1 与圆 x 2
y2
a2
有且只有一个公共点 ,则双曲线的离心率为 ()
4
A. 3
32 B.
10 C.
2
4
4
11.已知某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ()
10 D.
2
2
4
A.
B.
(1)能否在犯错率不超过 0.001 的情况下 ,认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关
.
临界值表 :
(2)在全国人民的共同努力下 ,尤其是全体医护人员的辛勤付出下 ,我国的疫情得到较好控制 点主要在境外输入病例和无症状感染者 (即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白
,现阶段防控重难 M 抗体检测阳性
3
3
22
2
C.
D.
3
3
12.已知函数 f ( x)
|x| ex ,
方程
[
f
(
x)] 2
( m 1) f ( x) 1 m
0 有四个不相等实根 ,则 m 的取值范围是 ()
A.(
e2 e2
e ,1) e
B
.(
e2 e2
e 1, e
)
C
.(
e2 e2
Hale Waihona Puke e 1,1) eD.(
e2 e2
e, e
)
二 ?填空题 (本大题共 4 道小题 ,每小题 5 分 ,共 20 分 )
18.如图所示 ,AE ⊥平面 ABCD,CF//AE,AD//BC,AD ⊥ AB,BC=2AB=2AD=2,AE=2CF=2,
(1)求证 :BF// 平面 ADE; (2)求二面角 E-BD-F 的平面角的余弦值
19.新型冠状病毒属于 β属的冠状病毒 ,人群普遍易感 ,病毒感染者一般有发热咳嗽等临床表现
三 ?解答题 (本大题共 6 道小题 ,第 17 题 10 分 ,其余每题 12 分 ,共 70 分 )
17.已知函数 f ( x) 2sin( x )cos x, x ∈ R. 3
(1)求函数 f(x) 的最小正周期 ;
(2)当 x [ , ] 时 ,求函数 f(x) 的最大值与最小值 ? 44
A.-3
B.2
1
C.
7
4.若函数 y=asinx+bcosx( 其中 a,b∈ R,且 a,b>0) 可化为 y
1 D.
7 a2 b2cos( x ), 则 φ应满足条件 ()
b A.tan
a
B. cos
a a2 b2
a C.tan
b
D .sin
b a2 b2
5.已知 a=ln0.5 ， b
1
1
, C 满足 e
重庆市七校联考 2019-2020 学年度第二学期复学高三年级
数学试卷（理科）试题
一、选择题 (本大题共 12 道小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 )
1.已知集合 A { x | x2 2}, B { x | x 2 0}, 则 A∩B=() x1
A.( , 2) [ 1, )
B.(-1, 2 )
ec
lnc ,则实数 a,b,c 满足 ()
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<C
D.c<a<b
6.函数 f(x) 是 R 上的偶函数 ,且 f(x+1)=-f(x), 若 f(x) 在 [-1,0] 上单调递减 ,则函数 f(x) 在 [3,5] 上是 ()
A. 增函数
B.减函数
C. 先增后减函数