高三联考数学试题理科
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省部分学校高三12月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}e x B y y a ==+（a ∈R ），若A B ⋂=∅，则a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．()3,+∞ D ．[)3,+∞【答案】D【分析】分别求出集合A 和集合B ，再由A B ⋂=∅进行求解.【详解】由已知，集合A 即函数y = 由不等式2320x x +-≥，即2230x x --≤，解得13x -≤≤，∴{{}[]131,3A x y x x ===-≤≤=-，集合B 即函数e x y a =+的值域，因为指数函数e x y =的值域为()0,∞+，所以函数e x y a =+的值域为(),a +∞，∴{}()e ,xB y y a a ∞==+=+，∵A B ⋂=∅，∴a 的取值范围是[)3,+∞. 故选：D.2．已知复数z 满足(86i)512i z +=+，则z =（ ）A B ．1310C ．1714D ．1513【答案】B【分析】先由复数的运算化简z ，再计算模长.【详解】()512i (86i)11266i 5633i (86i)(86i)10050z +-++===+-，1310z === 故选：B3．已知直线12:210,:220l x y l x my --=++=，若12l l ∥，则1l 与2l 之间的距离为（ ）A ．1B ．2C D 【答案】A【分析】根据直线平行求出m ，再由平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为12l l ∥，所以40m +=，解得4m =-，经检验符合题意；所以2:210l x y -=， 所以1l 与2l之间的距离1d ===， 故选：A4．我国古代历法从东汉的《四分历》开始，就有各节气初日晷影长度和太阳去极度的观测记录，漏刻、晷影成为古代历法的重要计算项目．唐代僧一行在编制《大衍历》时发明了求任何地方每日晷影长和去极度的计算方法——“九服晷影法”，建立了晷影长l 与太阳天顶距θ之间的对应数表（世界上最早的正切函数表）．根据三角学知识知：晷影长l 等于表高h 与天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=．若对同一表高进行两次测量，测得晷影长分别是表高的2倍和3倍，记对应的天顶距分别为1θ和2θ，则()12tan θθ-=（ ） A ．1- B ．17-C ．13D ．1【答案】B【分析】根据已知条件得出12,tan tan θθ的值，利用两角差的正切公式可得结果. 【详解】由题意知12tan 2,tan 3θθ==，所以()121212tan tan 231tan 1tan tan 1237θθθθθθ---===-++⨯故选：B.5．已知12,F F 是平面内两个不同的定点，P 为平面内的动点，则“12PF PF -的值为定值m ，且12m F F <”是“点P 的轨迹是双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用双曲线的定义，直接判断，可得答案.【详解】“12PF PF -的值为定值m ，12m F F <”，若0m =，则P 点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P 的轨迹是双曲线”，则必有12,F F 是平面内两个不同的定点，且满足1212PF PF m F F -=<，故必要性成立； 故选：B6．已知()sin 2tan 1f x x x =++，则曲线()y f x =在点ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．26π0x y ++-= B ．23π0x y -+-= C ．426π0x y -+-= D ．426π0x y -++=【答案】C【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭，结合π34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得切线方程. 【详解】()212cos 2cos f x x x'=+，2ππ12cos 2π42cos 4f ⎛⎫'∴=+= ⎪⎝⎭， 又πππsin tan 13424f ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，∴所求切线方程为：π324y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即426π0x y -+-=.故选：C.7．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，F 为C 的下焦点．O 为坐标原点，1l 是C 的斜率大于0的渐近线，过Fl 交1l 于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，若||||OA OB =，则C 的离心率为（ ） A ．2 BCD【答案】C【分析】分别表示出A 、B 坐标，利用||||OA OB =求得3a b ，即可求出离心率.【详解】因为F 为双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的下焦点，不妨设()0,F c -，所以过Fy c =-，所以),0B .因为1l 是C 的斜率大于0的渐近线，所以可设1:al y x b=.由y x ca y x b⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩联立解得：A .因为||||OA OB =，所以2223c +=，解得：3ab .所以离心率c e a ====. 故选：C8．函数π()sin()0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x =（ ）A ．2cos2xB π326x ⎛⎫- ⎪⎝⎭C π326x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由函数周期可求出ω，又由特殊值5π()=012f 和(0)=1f ，可求得ϕ和A ，进而可得()f x 的解析式，再利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式．【详解】依题意有2π11π5π2π1212ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，得2ω=， 又5π5π()sin 2+=01212f A ϕ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以5π2+π2π,Z 12k k ϕ⨯=+∈，且π02ϕ<<，得π=6ϕ，又π(0)sin =16f A =，得=2A ，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()πππ2sin 22cos 2666g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A ．9．已知12F F 、分别是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过(2,0)A -和(0,1)B 两点，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的取值范围为（ ）A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．371,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[2,1]-D ．11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据椭圆过点求出,a b ，再求出焦点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解. 【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)A -和(0,1)B ，所以224,1a b ==，可得223c a b - 所以1(3,0)F -，23)F ，设(,)P x y ，由题意直线AB 的方程为12xy +=-，即220x y ， 因为点P 在线段AB 上，所以(,)P x y 满足20,01x y -≤≤≤≤，则222212(,),)3(22)3PF PF x y x y x y y y ⋅=--⋅-=+-=-+-224115815()55y y y =-+=--，[0,1]y ∈，当45y =时，12min 11()5PF PF ⋅=-，当0y =时，12max ()1PF PF ⋅=， 所以12PF PF ⋅的取值范围为11,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：D10．已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①0,()0x f x ∀><；②对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >恒成立．若(0.1)(sin0.1)sin0.1,,(tan0.1)tan0.110f a f b c f ===，则（ ） A ．a b c >> B ．c a b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】A【分析】根据函数性质可知，()f x x在(0,)+∞上单调递减，又根据0,()0x f x ∀><，可构造函数()xf x ，且函数()xf x 为单调递减，又因为sin0.10.1tan0.1<<，即可得出a b c >>. 【详解】由题意可知，对任意正数x ，y ，当x y <时，()()yf x xf y >，即()()f x f y x y> 所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递减，即导函数2()()0xf x f x x -<'在(0,)+∞恒成立； 可得()()xf x f x '<；构造函数()()g x xf x =，则()()()2()0g x f x xf x f x ''=+<<， 所以，()()g x xf x =在(0,)+∞上单调递减；设函数()sin ,(0,1)h x x x x =-∈，则()cos 10h x x '=-<，即()h x 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0h h <=,即sin 0.10.1<； 设函数()tan ,(0,1)x x x x ϕ=-∈，则221()1tan 0cos x x xϕ'=-=-<， 即()ϕx 在(0,1)为单调递减，所以(0.1)(0)0ϕϕ=<，即0.1tan 0.1<； 综上可知，sin0.10.1tan0.1<<，(sin 0.1)(0.1)(tan 0.1)g g g >> 即(0.1)(sin 0.1)sin 0.10.1(0.1)(tan 0.1)tan 0.110f f f f =>> 即得a b c >>. 故选：A.11．在四面体ABCD 中，,AB AC AB BD ⊥⊥，异面直线AC 与BD 所成的角为30︒，二面角C AB D--为锐二面角，4,5,3AB AC BD ===，则四面体ABCD 的体积为（ ） A ．234153- B ．3C ．5D ．10【答案】C【分析】根据题意，如图，将四面体放在长方体中，为三棱锥D ABC -，过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ，结合二面角和异面直线所成的角的定义可得30DBE ︒∠=，求出DE ，利用三棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图，在长方体中，4,5,3AB AC BD ===， 过点D 作DE BE ⊥于E ，则DE ⊥平面ABC ， 所以DBE ∠为二面角C AB D --的所成角，为锐角，DBE ∠为异面直线AC 与BD 的所成角，所以30DBE ︒∠=，所以1322DE BD ==. 由题意知，该四面体ABCD 为三棱锥D ABC -， 由1102ABCSAC AB =⋅=， 所以该三棱锥D ABC -的体积为113105332D ABC ABCV SDE -=⋅=⨯⨯=. 故选：C.12．将曲线221:1(0)169x y C x +=≤和曲线222:1(0)49x y C x +=>合成曲线E ．斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，则下列判断错误的是（ ） A ．曲线E 所围成图形的面积小于36 B ．曲线E 与其对称轴仅有两个交点 C ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上 D ．存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 【答案】D【分析】画出曲线表示的图形，分析AB 选项；选项C ，分析当0k =时，设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y ，然后根据题意分析点P 的轨迹总在某个椭圆上即可；选项D ，结合C 的部分条件，加上中点公式，以及差点法，若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则0000(R)y k x k -∈为常数，化简分析即可解决问题. 【详解】选项A ：如图，曲线E 所围成图形在正方形PQGH 内部，由正方形PQGH 的面积为6636⨯=，所以曲线E 所围成图形的面积小于36，故A 正确； 由A 中图形可知，曲线E 关于x 轴对称，所以曲线E 与其对称轴仅有两个交点，故B 正确； 选项C ：设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x <，()00,P x y 1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 当0k =时，12120,x x y y <<=221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减的：22112202164x x x x -=⇒=- 所以222200200122222x x x x x x y y y y y -+⎧=-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎩， 又2222149x y +=，所以()22220000114992y y x x -+=⇔+= 故存在0k =，使得点P 的轨迹总在某个椭圆上，C 正确选项D ： 由()00,P x y ，1212022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上，则221122221169149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222121201649x x y y --+=即()()2212121201649y y y y x x --++=， 又12012122y y y y y k x x +=⎧⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2201212201649ky x x x x --+=， 即()222101294162x x y k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-， 又1202x x x +=， 所以若存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上， 则0000(R)y k x k -∈为常数，即()222112012941622x x x x k k x x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭--()()()()2221012121212941622x x kk x x x x k x x k x x ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--- ()()2222210121294162x x kk x x k x x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=- ()22020112994162kk x kk x k x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-为定值， 因为分子分母12,x x 次数不同，故若上式为定值，则22020*******kk x kk x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即00990416kk kk +=+=，无解，假设不成立， 所以不存在k ，使得点P 的轨迹总在某条直线上 所以选项D 不正确； 故选：D.二、填空题13．已知向量,a b 满足||3,||1,||2a b a b ==+=，则a b +与a b -的夹角为_______________． 【答案】π3【分析】根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】()222||242431240a b a ba b a b a b a b +=⇒+=⇒++⋅=⇒++⋅=⇒⋅=，()2222312a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-，设a b +与a b -的夹角为([0,π])θθ∈，()()22311cos 2242a b a b ab a b a bθ⋅-+--==⨯⋅-==+， 因为[0,π]θ∈， 所以π3θ=， 故答案为：π314．直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________． 【答案】2x =或43110x y +-=.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线l 的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由22(1)9x y ++=，得圆心为(1,0)C -，半径3r =，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，此时直线恰好与圆相切，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，则3=，22(13)9(1)k k -=+，解得43k =-，所以直线l 的方程为41(2)3y x -=--，即43110x y +-=，综上，直线l 的方程为2x =或43110x y +-=， 故答案为：2x =或43110x y +-=.15．如图，直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，D 为C 上异于A ，B 的一点，若AD BD ⊥，则点D 到直线x t =的距离与p 的比值为__________．【答案】2【分析】根据题意得到,A B 的坐标，设(002D x px ，由题意可得1AD BD k k ⋅=-，列出方程即可得到结果.【详解】因为直线x t =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于A ，B 两点，不妨设((2,,2A t pt B t pt 且D 为C 上异于A ，B 的一点，由抛物线的对称性，不妨设(002D x px则00002222AD BD px pt px ptk k -+由AD BD ⊥000022221px pt px pt-+=-化简可得()()02021p x t x t -=--，因为0x t ≠，则02p t x =-即点D 到直线x t =的距离与p 的比值为02t x p-= 故答案为:216．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点，且212x x ≥，则实数a 的取值范围为_____________． 【答案】2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据极值点定义可将问题转化为y a =与()e xg x x=有两个不同交点12,x x ；利用导数可求得()g x 单调性，并由此得到()g x 的图象；采用数形结合的方式可确定1201x x <<<且e a >；假设212x x t ==，由()()12g x g x =可确定2ln 2t =，进而得到()1g x 的值，结合图象可确定a 的取值范围. 【详解】()e x f x ax '=-，12,x x 是()f x 的两个极值点，12,x x ∴是e 0x ax -=的两根，又当0x =时，方程不成立，y a ∴=与e xy x=有两个不同的交点；令()e x g x x =，则()()21e x x g x x -'=， ∴当()(),00,1x ∈-∞时，()0g x '<；当()1,x ∈+∞时，()0g x '>；()g x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，则()g x 图象如下图所示，由图象可知：1201x x <<<且e a >； 212x x ≥，212x x ∴≥； 当212x x =时，不妨令212x x t ==，则2e e 2ttt t =，即2e 2e t t =，2e 2t∴=，解得：2ln 2t =，∴当212x x =时，()()2ln 212e 22ln 2ln 2g x g x ===， ∴若212x x ≥，则2ln 2a ≥，即a 的取值范围为2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：2,ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查根据极值点求解参数范围问题，可将问题转化为已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，解决此类问题的常用的方法有： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin ()sin a A c C b c B -=-． (1)求A 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求bc 的取值范围．【答案】(1)π3(2)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据正弦定理可得到222a b c bc =+-，进而得到2cos 1A =，即可求出A 的大小； （2）根据三角形内角和为π，且ABC 为锐角三角形，从而可得出C 的取值范围，再将bc 转化为关于tan C 的函数即可求解．【详解】（1）由sin sin ()sin a A c C b c B -=-，则根据正弦定理有22()a c b c b -=-，即222a b c bc =+-， 又由余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，得2cos 1A =， 所以在ABC 中，得π3A =；（2）由ABC 为锐角三角形，且π3A =，则有π022ππ032C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ,62C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，即(1tan C ∈，所以根据正弦定理有π1sin sin sin 111322,2sin sin sin tan 22C C Cb Bc C C C C ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭====+∈ ⎪⎝⎭． 18．已知直线12:20,:20()l x ay l ax y a a -+=+-=∈R ，若1l 与2l 的交点P 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)若圆22:220E x y mx ny +--=的圆心在直线y =上，且与曲线C 相交所得公共弦MN的长为m ，n 的值． 【答案】(1)224(2)x y x +=≠(2)1,m n =1,m n =-=【分析】（1）由12,l l 判断出点P 的轨迹为以AB 为直径的圆(除去点(2,0)B )，进而求其方程; （2）由圆E 的圆心的位置得m ,n 的关系,两个圆方程相减得MN 的方程,由弦长求m ,n . 【详解】（1）当0,2y x ==-故直线1:20l x ay -+=过定点(2,0)A -，直线2:l (2)0a x y -+=，当2,0x y ==，故其过定点(2,0)B ， 又110a a ⨯-⨯=,所以12l l ⊥,所以点P 的轨迹为以AB 为直径的圆， 当0a =时，两直线交点为()2,0A -，但交点P 无法与点B 重合， 故需除去点()2,0B其圆心为原点O ,半径为2r =,所以曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠； （2）由(1)知,曲线C 的方程为224(2)x y x +=≠，又圆22:220E x y mx ny +--=的圆心为(,)E m n 在直线y =上,所以n =,0m ≠，两圆方程作差得两个圆的公共弦MN 的方程为224mx ny +=,即20mx -=,因为两个圆的公共弦MN 的长为原点O 到直线MN 的距离为1||d m ==,所以=解得1m =或1m =-,所以1,m n =1,mn =-=19．在正项数列{}n a 中，11a =，2n ∀≥，12113232n n a a a a n --+++=-． (1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11b a =，221b a =-，且21ln ln 2ln n n n b b b +++=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：221n n n T T T ++⋅<．【答案】(1)21n a n =- (2)证明见解析【分析】（1）由12113232n n a a a a n --+++=-可得到12121n n a n a n ++=-，根据累乘法求通项的方法，即可求出{}n a 的通项公式；（2）由21ln ln 2ln n n n b b b +++=可知221n n n b b b ++⋅=，可判断数列{}n b 为等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出n T ，2210n n n T T T ++⋅<-即可求证. 【详解】（1）解：已知1211,23232n n a a a a n n --+++=≥-①， 则212312a a a -=⇒=，且11211,323212n n n a a a aa n n -+-++++=--②， -②①，得1212n n n a a an +-=-，整理得121,221n na n n a n ++=≥-， ∴3253a a =，3475a a =，，212325n n a n a n ---=-12123n n a n a n --=-，， 由累乘法可得()`2212133n n a n a n n a -=-=⇒≥， 又11a =，23a =，符合上式， 所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知111b a ==，221312b a =-=-=，因为21ln ln 2ln n n n b b b +++=，所以221n n n b b b ++⋅=，则数列{}n b 是首项为1，公比为212b b =的等比数列， ∴()1122112n n n T -==--，()()()222121212121n n n n n n T T T ++++∴⋅---=⋅--()2222222221221n n n n n ++++=--+--+20n =-<，即221n n nT T T ++⋅<，得证.20．在边长为2的正方形ABCD 外作等边BCQ △（如图1），将BCQ △沿BC 折起到PBC 处，使得PD =E 为AB 的中点（如图2）．(1)求证：平面PDE ⊥ 平面PCD ； (2)求二面角E PD A --的正弦值． 【答案】(1)答案见解析 7【分析】取BC 中点为O ，建立以O 为原点的空间直角坐标系.（1）设平面PDE 法向量为m ，平面PCD 法向量为n ， 利用0m n ⋅=可证面面垂直.（2）求得平面P AD 的法向量t ，后用向量法可求得二面角E PD A --的余弦值，后可求得正弦值. 【详解】（1）因四边形ABCD 为正方形，则DC CB ⊥.又在三角形PCD 中，2PC CD ==，22PD =222PC CD PD +=， 则DC PC ⊥.又CB ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，∩CBPC C =， 则DC ⊥平面PCD .取BC 中点为O ，AD 中点为F ，连接PO ，OF . 则//,,OF CD PO BC OF BC ⊥⊥.又PO ⊂平面PCD ，则DC PO ⊥， 得FO PO ⊥.故如图建立以O 为原点，以射线OB 方向为x 轴正方向，射线FO 方向为y 轴正方向， 射线OP 方向为z 轴正方向的空间直角坐标系.则()()()()()000120100100120,,，,,，,,，,,，,,O A B C D ----， (()003110,，,,P E -.得()()(103123113,,，,,，,,PC PD PE =--=---=--， 设平面PDE 法向量为()111,,m x y z =，则11111123030PD m x y z PE m x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取(123,,m =-.设PCD 法向量为()222,,x n y z =，则2222223030PD n x y z PC n x z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()3,0,1n =-. 因330m n ⋅=-+=，则平面PDE ⊥ 平面PCD .（2）由（1）分析可知，平面PDE 法向量为()123,,m =-. 又()123,,PA =--，设平面P AD 的法向量()333,,t x y z =， 则333332230230PD t x y z PA n x y z ⎧⋅=---=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取()032,,t =-. 则434342714334227cos ,m t m t m t⋅====++⨯+⨯⋅，又由图可知二面角E PD A --平面角α为锐角，则427cos α=， 得二面角E PD A --的正弦值4271497sin α=-=.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A ，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为7||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上． 【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程． （2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b -，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d ==， 2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b = ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=， 设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ， 将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=， ∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-， 将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ +=可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，∴3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若1a =，函数()()1g x x f x =+-，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，()()122112x g x x g x x x λ->-恒成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. (2)15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出()f x 的导数()22x x af x x'++=，根据a 的取值范围进行分类讨论即可；（2）当120x x >，时，()()122112x g x x g x x x λ->-⇔()()21212111g x g x x x x x λ->-，去绝对值后，构造函数求解即可.【详解】（1）由已知，()2ln =++f x x x a x （a ∈R ）的定义域为()0,∞+，()2221a x x a f x x x x++'=++=，①当0a ≥时，0f x在区间()0,∞+上恒成立，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；②当0a <时，令()0f x '=，则220x x a ++=，180a ∆=->，解得10x =<（舍），20x >，∴当x ⎛∈ ⎝⎭时，220x x a ++<，∴()0f x '<， ∴()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，220x x a ++>，∴0f x ，∴()f x在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增， 综上所述，当0a ≥时，()f x 在区间()0,∞+上单调递增；当a<0时，()f x在区间⎛ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. （2）当1a =时，()()221ln ln 1g x x x x x x x =+-++=--+，()0,x ∈+∞，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠， ()()122112x g x x g x x x λ->-等价于()()1221121212x g x x g x x x x x x x λ-->， 即()()21212111g x g x x x x x λ->-， 令()()g x h x x=，()0,x ∈+∞，则()()212111h x h x x x λ->-恒成立 ()()()()2222212ln 1ln 2x x x x xg x g x x x x h x x x x ⎛⎫-----+ ⎪'---⎝⎭'===， 令()2ln 2F x x x =--，()0,x ∈+∞，则()21122x F x x x x-'=-=，令()0F x '=，解得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0F x '>，()Fx 在区间⎛ ⎝⎭单调递增；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0F x '<，()F x 在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，∴当()0,x ∈+∞时，()Fx的最大值为1152ln 20222F =--=--<⎝⎭， ∴当()0,x ∈+∞时，()215ln 2ln 2022F x x x =--≤--<，即()22ln 20x x h x x --'=<，∴()()g x h x x=在区间()0,∞+上单调递减，不妨设12x x <，∴1x ∀，2(0,)x ∈+∞，有()()12h x h x >，又∵1y x=在区间()0,∞+上单调递减， 1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，有1211x x >， ∴()()212111h x h x x x λ->-等价于()()121211h x x x x h λ⎛⎫->- ⎪⎝⎭， ∴()()2121h x x x h x λλ->-，设()()G x h x xλ=-，()0,x ∈+∞，则1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x <，()()2121h x x x h x λλ->-等价于()()12G x G x >，即()G x 在(0,)+∞上单调递减，∴()()20G x h x xλ''=+≤，∴()2x h x λ'≤-，∴()222ln 2x x x F x xλ--≤-⋅=-， ∵当()0,x ∈+∞时，()F x的最大值为15ln 222F =--⎝⎭， ∴()F x -的最小值为15ln 222+，∴15ln 222λ≤+，综上所述，满足题意的实数λ的取值范围是15,ln 222⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦.【点睛】本题第（2）问解题的关键点有两个，一个是将()()122112x g x x g x x x λ->-等价转换为()()21212111g x g x x x x x λ->-，便于构造函数；另一个是通过构造函数()()g x h x x =，借助导数判断出函数()h x 的单调性去绝对值.。
2022年安徽省安庆市示范高中高考数学联考试卷(理科)(4月份)+答案解析(附后)
2022年安徽省安庆市示范高中高考数学联考试卷（理科）（4月份）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的定义域为A，集合，则( )A. B. C. D.2.已知，若复数z为纯虚数，则实数( )A. 2B.C.D.3.在数列中，“”是“为等比数列”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.2021年，我国通信业积极推进网络强国和数字中国建设，5G和千兆光网等新型信息基础设施建设覆盖和应用普及全面加速，移动电话用户规模小幅增长．截止2021年，全国电话用户净增4755万户，总数达到亿户，其中移动电话用户总数亿户，全年净增4875万户，其中，4G移动电话用户为亿户，5G移动电话用户达到亿户，固定电话用户总数亿户，全年净减121万户．自2011年以来固定电话与移动电话普及率单位：部/百人如图所示，则以下说法错误的是( )A. 近十年以来移动电话普及率逐年递增B. 近十年以来固定电话普及率逐年递减C. 2021年移动电话普及率为部/百人，比上年末提高部/百人D. 2021年固定电话普及率为部/百人，比上年末降低个百分点5.已知函数的定义域为R，其图象关于原点及对称．当时，，则下列叙述错误的是( )A. 是周期函数B. 为奇函数C. 在单调递增D. 的值域为R6.已知命题p：点在圆C：内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，平面，则下列命题正确的是( )A. B. C. D.7.已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为( )A.B.C.D.8.已知圆锥SO的底面半径为1，母线，过点A的平面将圆锥SO分成两部分，则截面椭圆周长的最小值为( )A. B. C. D.9.已知，设是的导函数，下列结论错误的是( )A. 将图象向左平移可得的图象B. 将图象向右平移可得的图象C. 与的图象关于对称D. 与的图象关于y轴对称10.已知m，n都是正整数，且，则( )A. B. C. D.11.已知抛物线C：的焦点为F，过C上一点P作C的切线与y轴交于点T，则不能为( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形12.在自然界中，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等都遵循了某种数学规律，直到13世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契从兔子繁殖问题发现了一组神奇的数字1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，它揭示了植物生长的规律，我们将其称为斐波那契数列，该数列也可以表示为，，下面结论：①…；②…；③…；④…则以上正确结论的个数是( )A. 4B. 3C. 2D. 1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三大联考试卷数学理科
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，下列说法正确的是（）A. f(x)在x=1处有极值B. f(x)在x=1处有拐点C. f(x)在x=1处既无极值也无拐点D. f(x)在x=1处有极小值2. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=-2，则第10项an等于（）A. -17B. -15C. -13D. -113. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0，则圆C的半径为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)的图像关于点(2, -1)对称，则下列说法正确的是（）A. f(x)的图像关于y轴对称B. f(x)的图像关于x轴对称C. f(x)的图像关于原点对称D. f(x)的图像既不关于y轴对称也不关于x轴对称5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，则f(x)的图像在x轴上有一个零点，另一个零点的值约为（）B. 3C. 4D. 56. 已知数列{an}满足an = an-1 + an-2，且a1 = 1，a2 = 2，则数列{an}的通项公式为（）A. an = nB. an = n^2C. an = n(n+1)D. an = (n+1)^27. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(x)的反函数为（）A. y = (x-1)/(x+1)B. y = (x+1)/(x-1)C. y = (x-1)/(x-1)D. y = (x+1)/(x+1)8. 已知数列{an}满足an = (1/n) (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)，则数列{an}的极限为（）A. 0B. 1C. eD. ln29. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，若f(x)在区间[0, 1]上的最大值为5，则f(x)在区间[-1, 0]上的最小值为（）A. -3C. 3D. 510. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，若f(x)的图像在x轴上有一个零点，另一个零点的值约为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=-2，则第10项an等于__________。
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试题及参考答案
2023届江西省重点中学盟校高三第一次联考数学（理）试题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若集合{}1|4,|1A x x B x x⎧⎫=<=≥⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．(],1-∞B ．(]0,1 C.(),0(1,4)-∞ D ．()(],00,1-∞ 2.若复数z 是方程0222=+-x x 的一个根，则i z ⋅的虚部为（）A ．2B ．i2C ．iD ．13.袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0,1,2,3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023231021122203012231130133231031123122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（）A ．518B ．29C ．16D ．194.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若23141540a a a a +++=，则16S =（）A ．150B ．160C ．170D ．与1a 和公差有关5.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>的蒙日圆为C ：2223b y x =+，则椭圆Γ的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D 6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（）A ．4i ≤B ．5i ≤C ．6i ≤D ．7i ≤7.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为圆O 的直径，AB ＝5，BC ＝3，CD ⊥平面ABC ，E 为AD 的中点，且异面直线BE 与AC 所成角为60°，则点A 到平面BCE 的距离为（）A.3218 B.778C.7214 D.3748.若正项递增等比数列{}n a 满足：()R a a a a ∈=-+-+λλ,0214332,则54a a λ+的最小值为（）A.2B.2C.22 D.49.已知点P 在棱长为2的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PB P A ⋅的最小值为（）A ．-2B ．-3C ．-1D ．010.长白飞瀑，高句丽遗迹，鹤舞向海，一眼望三国，伪满皇宫，松江雾凇，净月风光，查干冬渔，是著名的吉林八景，某人打算到吉林旅游，冬季来的概率是21，夏季来的概率是21，如果冬季来，则看不到长白飞瀑，鹤舞向海和净月风光，若夏季来，则看不到松江雾凇和查干冬捕，无论什么时候来，由于时间原因，只能在可去景点当中选择3处参观，则某人去了“一眼望三国”景点的概率为（）A ．209B ．21C ．2011D ．5311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，A 为双曲线右支上一点，设12AF F α∠=，21AF F β∠=，若2tan 22tanαβ=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．y =B ．y =±C ．3y x=±D ．4y x=±12.定义在R 上的函数)(x f 与)(x g 的导函数分别为)(x f '和)(x g '，满足0)2()(=-'-'x g x f ，()()2f x g x --=-，且)2(-x g 为奇函数，则=∑=20231)(k k f （）A ．4046-B ．4045-C ．4044- D.4043-二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13.设向量b a,满足,1,1,3,===b a b a π则=+b a 3_______．14.设6cos()(π+=x x f ，若)()(21x f x f =且021<x x ，则12x x -取值范围为________.15.已知函数,)(x x e e x f --=所有满足()01)(=-+n f m f 的点()n m ,中，有且只有一个在圆C 上，则圆C 的方程可以是__________.（写出一个满足条件的圆的方程即可）16.若)(1,12*N n n n n n a ∈⎪⎭⎫⎝⎛+++∈时，关于x 的不等式0log >-xaa x 恒成立，则正整数n 的取值集合为__________.（参考数据： 2.718,ln 20.693,ln3 1.099e ≈≈≈）三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)17.在ABC ∆中，已知)C B A C B A sin sin sin 2sin sin sin 3222=-+．(1)求C ∠；(2)若D 是AB 边上的一点，且2,2==DA BD ，求ABC ∆面积的最大值．18.如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，AB DC AD 21==，现将ADC ∆沿AC 翻折成直二面角P AC B --.（Ⅰ）证明：CB PA ⊥；（Ⅱ）若,4=AB 二面角B PA C --余弦值为721，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.19.中医药在抗击新冠肺炎疫情中，发挥了重要作用。
河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评(六)理科数学试题
河南省开封市等2地学校2022-2023学年高三下学期普高联考测评（六）理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
【分析】先作出可行域，令z x y =+，根据截距的变化可得目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为ABC V 及其内部的阴影区域，且
()()()0,1,1,0,2,3A B C ，
令z x y =+，则y x z =-+，当直线y x z =-+经过点C 时，z 取得最大值5.故答案为：515．π
【分析】根据正方体的性质求出外切球的球心及半径，结合球的性质即可求解截面面积的最小值.
【详解】正方体的外接球球心O 为体对角线1AC 的中点，连接OM ，1BC ，
过点M 且与OM 垂直的平面截得外接球的小圆面积是最小的，
因为1//OM BC ，1AB BC ^，所以OM AB ^，且,A B 两点都在外接球的表面上，。
2022年高三12月大联考(全国乙卷)理科数学试题及参考答案
2022年高三12月大联考（全国乙卷）理科数学试题及参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.砸每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{},0322>-+=x x x A {}1-≥=x x B ，则=B A （）A .()∞+，1B .[)∞+-，1C .(]13，-D .[)11，-2.已知()i i z 7432+-=+⋅，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点的坐标是（）A .()1,1B .()12，C .()2,1D .()2,23.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1674-=+S a ，48a a -=，则=10a （）A .1B .2C .3D .44.已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，直线1-=kx y 过点F 且与抛物线C 交于B A ,两点，则=AB （）A .8B .6C .2D .45.已知向量()3,1=a ，()4,3-=b ，()2,7=c，则下列结论正确的是（）A .15-=⋅b aB .55=++c b aC .b a +与a的夹角为钝角D .b a +与c 垂直6.将函数()162sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则()x g 图象的对称中心可以为（）A .⎪⎭⎫⎝⎛03πB .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0125πC .⎪⎭⎫⎝⎛13，πD .⎪⎭⎫ ⎝⎛-1125π7.中国古代“刍童”作为长方棱台（上、下底面均为矩形的棱台）的专用术语.关于计算的描述，《九章算术》中记载：“倍上袤，下袤从之亦倍下袤，上袤从之各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一”.即体积计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，所得结果再与上底面的宽相乘：将下底面的长乘二，与上底面的长相加，所得结果再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，所得结果与高相乘，再取其六分之一.按照此算法，如图，现有体积为328的长方棱台1111D C B A ABCD -，其高为2，上底面矩形的长11B A为a 2，宽11D A 为a ，下底面矩形的长AB 为a 4，则该长方棱台的三视图中侧视图的面积为（）A .7B .3C .17D .1938.将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（）A .24中B .30种C .62种D .41种9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13+=nn S ，则数列{}2na 的前n 项和为（）A .236-⨯nB .22331++n C .2239+n D .23391-+n 10.若实数y x ,满足()yxyx22244+=+，则1122--+y x 的值可以是（）A .21B .1C .23D .2511.已知e 为自然对数的底数，若()()ea b e b e a ba 122214221-->-+--，且0<a ，则下列结论一定正确的是（）A .322+>b aB .12+>b a C .ab <+32D .eb a +<212.已知圆1C ：31633222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+y x 过双曲线2C ：()0,012222>>=-b a b y a x 的左、右焦点21F F ，，曲线1C 与曲线2C 在第一象限的交点为M ，若1221=⋅MF MF ，则双曲线2C 的离心率为（）A .2B .3C .2D .3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.现从某校2022年高三上学期某次测试成绩中随机抽取部分学生的物理成绩ξ作为样本进行分析，成绩ξ近似服从正态分布()273σ，N ，且()78.077=<ξP ，则()=<<7369ξP .14.()51-x 的展开式中所有有理项的系数之和为.15.已知函数()x f 的导函数()()()m x x m x f -+-='2，若()x f 在m x =处取到极小值，则m 的取值范围是.16.如图，ED 是边长为2的正三角形ABC 的一条中位线，将ADE ∆沿DE 折起，构成四棱锥BCDE F -，若CD EF ⊥，则四棱锥BCDE F -外接球的表面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2=BD ，4=CD ，AB AC >.（1）若32=AB ，6π=C ，求AD 的长；（2）若32π=∠BAC ，求ACD ∆的面积S 的取值范围.18.（12分）2022年11月12日，在湖北黄石举行的2022年全国乒乓球锦标赛中，樊振东最终以4:2战胜林高远，夺得2022年全国乒乓球锦标赛男子单打冠军.乒乓球单打规则时是首先由发球员合法发球，再由接发球员合法还击，然后两者交替合法还击，胜利者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方.甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次合法发球中，得1分的概率为53，乙在一次合法发球中，得1分的概率为52，设在一局比赛中第n 个合法发球出现得分时，甲的累积得分为n a .（假定在每局比赛中双方运动员均为合法发球）（1）求随机变量3a 的分布列及数学期望；（2）求621,,a a a 成等比数列的概率.19.（12分）已知几何体1111D DCC A ABB -为正四棱柱1111D DEE A ABB -沿1DD 和BE 的中点C 截去一个三棱柱后的剩余部分，其中2==BC AB ，如图，平面1CDD 与直线11E B的交点记为1C .（1）过A 点作与平面D BC 1平行的平面α，试确定平面α与11B A 的交点位置，并证明；（2）求二面角B DC A --11的正弦值.20.（12分）已知曲线C 上任意一点()y x P ,满足方程()()4112222=++++-y x y x .（1）求点P 的轨迹方程；（2）如果直线l 交曲线C 于B A ,两点，且0=⋅OB OA ，过原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H .判断OH 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数()x x f cos =，其导函数为()x f '.（1）若对任意0≤x ，()ax x f ≤'恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断函数()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x f x g 2ln π的零点个数，并证明.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()1sin 1=-θρ.（1）求曲线1C 的普通方程，曲线2C 的直角坐标方程；（2）设()1,1M ，曲线1C ，2C 的交点为B A ,，求MB MA ⋅的值.23.（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数()124123---=x x x f .（1）求不等式()2>x f 的解集；（2）若不等式()x k x f ≤恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案一、选择题1.A解析：由0322>-+x x ，得1>x 或3-<x ，∴{}31-<>=x x x A 或，又{}1-≥=x x B ，∴()∞+=，1B A .2.C解析：由()i i z 7432+-=+⋅，得()()()()i i i i i ii z 21323232743274+=-+-+-=++-=，∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1.3.D解析：设等差数列()n a 的公差为d ，由1674-=+S a ，48a a -=，可得：()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⨯+++016217774814a a d a a ，即⎩⎨⎧=+++-=+++0371621731111d a d a d a d a ，解得⎩⎨⎧=-=151d a ，∴()611-=-+=n d n a a n ，则410=a .4.A解析：由题意知抛物线C ：x y 42=的焦点F 的坐标为()0,1，2=p ，又直线1-=kx y 过抛物线C 的焦点()01，F ，∴01=-k ，解得1=k ，∴直线的方程为1-=x y ，由⎩⎨⎧=-=xy x y 412得0162=+-x x ，设()()B B A A y x B y x A ,,，，∴6=+B A x x ，∴826=+=++=p x x AB B A .5.D 解析：∵()3,1=a，()4,3-=b ，∴9123=+-=⋅b a ，A 错误；∵()9,5=++c b a ，∴1068125=+=++c b a，B 错误；∵()019>=⋅+a b a ，∴b a +与a的夹角为锐角，C 错误；由题意，知()7,2-=+b a ，又()2,7=c，∴()0=⋅+c b a ，则b a +与c 垂直，D 正确.6.D解析：由题意得()162sin 1662sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x g ，令Z k k x ∈=-,62ππ，得122ππ+=k x ，Z k ∈，当1-=k 时，125122πππ-=+-=x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛-1125π为函数()x g 图象的一个对称中心.7.B 解析：由题意，的长方棱台的体积()()[]()32832822086122284461222==⨯+=⨯⋅++⋅+⨯=a a a a a a a a a V ，∴1=a ，∴该长方棱台的三视图中侧视图为等腰梯形，其上底长为1，下底长为2，高为2，则侧视图的面积为()322121=⨯+⨯=S .8.A解析：第一步，选一个盒子放3个球，则这样的选法有313=C （种）；第二步，假设③号盒子放3个球，若③号盒子放1绿2白或1绿2红，则①②号盒子只有1种放法，若③号盒子放1红1白1绿，则①②号盒子有2种放法，若③号盒子放2红1白或2白1红，则①②号盒子有2种放法.∴，不同的放法有()242221113=++++⨯C （种）.9.C解析：由13+=n n S 得当2≥n 时，1311+=--n n S ，以上两式相减，得132-⨯=n n a ，又当1=n 时，41=a ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,41n n a n n ，∴⎩⎨⎧≥⨯==-2,941,1612n n a n n ，其前n 项和为()2239919941699941121+=--⨯+=+++⨯=+=-n n n n T .10.C 解析：()y x y xyx22222442⋅⋅-+=+，()y xy x 22212211+=+--，设()022>=+t t yx，则由题意得t t yx22222=⋅⋅-，即t t yx22222-=⋅⋅.∵222222220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≤⋅⋅<y x yx ，即42022t t t ≤-<，当且仅当yx22=，即1==y x 时等号成立，解得42≤<t ，∴1122--+y x 的取值范围是(]2,1.11.B 解析：由题意，知()()122214212-->-+-+a b e b e a b a，∴()()b eb a e a b a 212124212+->++-+，∴()()beb a e a b a2212122212+-+>++-+∴()[]()()21221222212+++-+>++-+b eb a e a b a，设()()22++-=x e x x f x ，则()()11+-='x e x x f ，李陵()()x f x g '=，则()xxe x g ='，当0<x 时，()0<'x g ，()x f '单调递减，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f ；当0>x 时，()0>'x g ，()x f '单调递增，∴()()00='>'f x f ，∴()x f 单调递增，∴()()00=<f x f .∴()()00=<f a f .，∴()()()1220+>>>b f a f a f ，∴()()12+>b f a f ，∴12+>b a .12.C 解析：由题意，知圆1C 的圆心坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3320，，半径334=r ，()()02,0221，，F F -，则421=F F ，在O C F Rt 11∆中（其中O 为坐标原点），∵334332111==F C O C ，，∴︒=∠6011O C F ，∴︒=∠=∠︒=∠602112021121211F C F MF F F C F ，，在21MF F ∆中，由余弦定理得：()221221212221221460cos 2a MF MF MF MF MF MF MF MF F F =+-=︒-+=1612=+，∴1=a ，又2=c ，∴双曲线2C 的离心率为2=e .又11296lg 3125lg 6lg 5lg 5log 45456>==，∴545log 6>=c ，∴c b <.∴c b a <<.二、填空题13.28.0解析：由随机变量ξ服从正态分布()2,73σN ，()78.077=<ξP ，得()()22.06977=≤=≥ξξP P ，∴()28.022.05.07369=-=<<ξP .14.16-解析：由二项式定理，可得()51-x 的展开式通项为()()r rrr x C T 1551-=-+，5,4,3,2,1=r ，当42,05，=-r ，即1,3,5=r 时，1+r T 为有理项，∴所有有理项的系数之和为()()()()16510111115353555-=++-=-+-+-C C C .15.()2,0解析：由题意得0≠m ，当0>m 时，()x f '为图象开口向下的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有20<<m ；当0<m 时，()x f '为图象开口向上的二次函数，若()x f 在m x =处取到极小值，则有2>m ，与0<m 矛盾，不符合题意，故m 的取值范围是()2,0.16.π211解析：由EF BE AE ==得BF AF ⊥，同理CF AF ⊥，又F CF BF = ，∴⊥AF 平面BCF ，如图，取BC 的中点G ，连接AG FG EG ,,，则AC EG ∥，又AC EF ⊥，∴EG EF ⊥，∴在EFG Rt ∆中，2=FG ，在AFG Rt ∆中，122=-=FG AG AF ，∴三棱锥ADE F -为正四面体，设AG 与ED 的交点为M ，易知M 为ED 的中点，连接FM ，则23==MG FM ，在FMG ∆中，由余弦定理得312cos 222-=⋅-+=∠MG FM FG MG FM FMG ，设正三角形EFD 的中心为I ，易知等腰梯形BCDE 的外接圆圆心为BC 的中点G ，设四棱锥BCDE F -外接球的球心为O ，连接OG OI ,，则⊥OI 平面EFD ，⊥OG 平面BCDE ，连接GI ，在MGI ∆中，131236322363cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∠⋅-+=FMG MG MI MG MI GI ，易知I O G M ,,,四点共圆，设四边形MGOI 外接圆的半径为r ，结合正弦定理，得223sin 2=∠==GMI GI r OM ，8322=-=MG OM OG ，设四棱锥BCDE F -外接球的半径为R ，则811831222=+=+=OG BG R，∴四棱锥BCDE F -外接球的表面积为π211.三、解答题17.解：（1）由题意知6=BC ，在ABC ∆中，由余弦定理得C AC BC AC BC AB cos 2222⋅⋅-+=，即236236122⨯⨯⨯-+=AC AC ，即024362=+-AC AC ，解得32=AC 或34=AC ，∵AB AC >，∴34=AC .在ADC ∆中由余弦定理得：C AC DC AC DC AD cos 2222⋅⋅-+=，即1623344248162=⨯⨯⨯-+=AD ，∴4=AD .（2）∵326π=∠=BAC BC ，，∴在ABC ∆中，由正弦定理得34sin sin sin =∠==BACBCB AC C AB ，∴C AB sin 34=，⎪⎭⎫⎝⎛-==C B AC 3sin 34sin 34π，∴C C C AC CD S sin 3sin 34421sin 21⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⋅⋅=πC C C C C C 2sin 34cos sin 12sin sin 21cos 2338-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=()3262sin 342cos 21322sin 6-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=πC C C .又AB AC >，则60π<<C ，∴2626πππ<+<C ，∴162sin 21<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<πC ，可得320<<S ，∴ACD ∆的面积S 的取值范围为()32,0.18.解：（1）随机变量3a 的可能取值为0,1,2,3.()12585203033=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()12536525312133=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯==C a P ；()12554525322233=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P ；()125275333333=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C a P .随机变量3a 的分布列为∴()59125273125542125361125803=⨯+⨯+⨯+⨯=a E .（2）若621a a a ，，成等比数列，则11=a ，当12=a 时，则16=a ，()156259652531,1,15621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯====a a a P ；当22=a 时，则46=a ，()1562519445253534,2,122242621=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛====C a a a P ∴事件621a a a ，，成等比数列的概率31254081562519441562596=+=P .19.解：（1）由题意，知1C 为11E B 的中点，如图，取11D A 的中点P ，连接AP P C ，1，则1111112C B P A C B P A ∥，==，∴四边形111B PC A 为平行四边形，∴111B A PC ∥，∴AB PC ∥1，又AB PC =1，∴四边形B APC 1为平行四边形，∴1BC AP ∥，又⊄AP 平面D BC 1，⊂1BC 平面D BC 1，∴AP ∥平面D BC 1，连接11D B ，同理可证11D B BD ∥，设11B A 的中点为Q ，连接AQ PQ ,，则11D B PQ ∥，∴BD PQ ∥，又⊄PQ 平面D BC 1，⊂BD 平面D BC 1，∴PQ ∥平面D BC 1，又P PQ AP = ，∴平面APQ ∥平面D BC 1，从而平面APQ 即为平面α，故平面α与11B A 的交点为11B A 的中点Q .（2）以1A 为坐标原点，11111D A B A A A ，，所在的直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，如图所示.3a 0123P1258125361255412527则()()()()0,2,222040200011B C D A ，，，，，，，，，，∴()4021，，=D A ，()22011，，=C A ，()420，，-=BD ，()2021，，-=BC .设平面D C A 11的法向量为()1111,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011111n C A n D A ，∴⎩⎨⎧=+=+022*******z y z x ，令11=y ，∴()1,1,21-=n 即平面D C A 11的一个法向量为()1,1,21-=n.设平面D BC 1的法向量为()2222,,z y x n =，∵⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00212n BC n BD ，∴⎩⎨⎧=+-=+-022*******z x z y ，令12=x ，∴()1,2,12=n ，∴平面D BC 1的一个法向量为()1,2,12=n.∴21663,cos 212121=⨯=⋅=n n n n n n.设二面角B DC A --11的大小为θ，则23211sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-=θ，∴二面角B DC A --11的正弦值为23.20.解：（1）由题意知，点P 的轨迹是椭圆，设椭圆的标准方程为()012222>>=+b a b y a x ，且12==c a ，，∴32=b ，∴点P 的轨迹方程为13422=+y x .（2）当直线l 的斜率不存在时，0=⋅OB OA ，不妨设点A 在第一象限，易得⎪⎪⎭⎫⎝⎛72127212，A ，∴7212=OH .当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：m kx y +=，且与曲线C 的交点分别为()()2211,,y x B y x A ，，联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y y x 13422，化简得()0124843222=-+++m kmx x k ，∴()0434822>-+=∆mk ，即2243k m+<，且222122143124438k m x x k km x x +-=+-=+，，由此可得2222143123k k m y y +-=，又0=⋅OB OA ，∴0431********22222121=+-++-=+k k m k m y y x x ，即01212722=--k m ，∴()222431712k k m +<+=，则721271212==+=km OH ，综上，OH 为定值7212.21.解：（1）由()x x f cos =可得()x x f sin -='，令()()ax x ax x f x h --=-'=sin ，则()a x x h --='cos .当1-≤a 时，()0cos 1≥-≥'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递增，故()()00=≤h x h ，符合题意；当1≥a 时，()0cos 1≤--≤'x x h ，()x h 在(]0，∞-上单调递减，故()()00=≥h x h ，不符合题意；当11<<-a 时，方程()0='x h 在(]0，∞-上有无数个解，记其中最大的负数解为0x ，则当()0,0x x ∈时，()0<'x h ，故()()00=>h x h ，不符合题意.综上，1-≤a ，即实数a 的取值范围为(]1，∞-.（2）()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛∞+-2π，①当⎪⎭⎫⎝⎛∞+∈2πx 时，1cos ≤x ，1ln 2ln >>⎪⎭⎫⎝⎛+ππx ，∴()0<x g ，此时函数()x g 无零点.②当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，()021sin <+--='xx x g π，()x g 在⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减，∵()02ln10>-=πg ，0ln 02<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππg ，∴函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有且仅有1个零点.③当⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈0,2πx 时，令()2ln 22ln πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x p ，则()022221>⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+='ππππx xx x p ，∴()x p 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π上单调递增，故()()00=<p x p ，即2ln 22ln πππ+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x .令()2ln 2cos ππ--=x x x q ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()π2sin --='x x q ，令()π2sin --=x x n ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ，则()0cos <-='x x n ，可得()x n 在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上单调递减，又02>⎪⎭⎫ ⎝⎛-πn ，()00<n ，故存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 使()00=x n ，则存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx ，使得()00='x q ，且当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,20πx 时，()00>'x q ，()x q 单调递增，当()0,0x x ∈时，()00<'x q ，()x q 单调递减，又()02ln 102>-==⎪⎭⎫⎝⎛-ππq q ，∴当02<<-x π时，()0>x q ，即2ln 2cos ππ+>x x ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+>x x 2ln cos π，即当⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx 时，()0>x g ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x x g 2ln cos π在⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π上无零点.综上，函数()x g 有1个零点.（二）选考题22.解：（1）∵曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=②，①t y t x 21,1，则①-⨯2②，得122-=-y x ，∴曲线1C 的普通方程为：0212=-+-y .由()1sin 1=-θρ得1sin +=θρρ，两边同时平方得1sin 2sin 222++=θρθρρ，将y =θρsin ，222y x +=ρ代入上式，得12222++=+y y y x ，化简得122+=y x ，∴曲线2C 的直角坐标方程为21212-=x y .（2）将曲线1C 的参数方程化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t y t x 361331，代入21212-=x y 得()0662322=-'-+'t t ，设B A ,两点对应的参数分别为21t t ''，，则621-=''t t .∴621='⋅'=⋅t t MB MA .23.解：()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+-<=4,43,2473,x x x x x x x f ，（1）①当3<x 时，2>x ，即32<<x ；②当43≤≤x 时，2247>+-x ，解得722<x ，即7223≤≤x ；③当4>x 时，2>-x ，解得2-<x ，则()2>x f 无解.综上所述，不等式()2>x f 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛7222，.（2）①当0=x 时，显然成立；②当0≠x 时，不等式()x k x f ≤可化为xx xx x k 124123124123---=---≥.又1124123124123=⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤---x x x x ，当且仅当0124123≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 且xx 124123->-时等号成立，∴实数k 的取值范围为[)∞+，1.。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(含答案与解析)
“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间2.答卷前将答题卡上的学校､姓名､班级填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =RB. M ∪N ={x |-3≤x <4} C M ∩N ={x |-2≤x ≤4}D. M ∩N ={x |-2≤x <4}2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495%B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A. 1B.12C.14D.185. 已知p ：0x y +>，q：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.的6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ） A.32B. 2C. 3D.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.568. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 1012. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法的正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.14. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切．21. 已知函数()e 21xf x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ．（1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲.的22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积最大值. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=． （1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<； （2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．参考答案一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =R B. M ∪N ={x |-3≤x <4} C. M ∩N ={x |-2≤x ≤4} D. M ∩N ={x |-2≤x <4}【答案】D 【解析】 【分析】先求集合N ，再求两个集合的并集和交集，判断选项.【详解】2280x x --≤，解得：24x -≤≤，即{}24N x x =-≤≤，{}34M x x =-≤<，{}34M N x x ⋃=-≤≤， {}24M N x x ⋂=-≤<.故选：D2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+【答案】C 【解析】的【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+， 所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+. 故选：C3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A ,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件,B 则()0.5%,()99%P A P B A ==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()P AB P A P B A ==0.5%99%0.495%⨯=，故选：A4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A 1B.12C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩，解方程组得到12q =，116a =，再求8a 即可. 【详解】因为246a a -=，所以1q ≠，由题知：()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩， .所以()141q q =-，解得12q =，所以111242a a +=，即116a =， 所以78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D5. 已知p ：0x y +>，q ：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】令)()ln,R f x x x =+∈,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令)()ln ,R f x x x =+∈，(0)0f =，且))()()ln ln ln10f x f x x x +-=++-==，故)()ln f x x =+为奇函数，0x >x +递增，则)()ln f x x =+也递增，又()f x 为奇函数，则()f x 在R 上递增，p q ⇒，若0x y +>，则x y >-，则()()f x f y >-，即))ln lnx y >即))lnln0x y +-->；p q ⇐，若))lnln0x y ->，则等价于))ln ln x y +>，即()()f x f y >-，由()f x 在R 上递增，则x y >-， 即0x y +>， 故p 是q 的充要条件， 故选：C.6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A.32B. 2C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象， 则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤， 解得：2ω≤，故ω的最大值为2. 故选：B.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.56【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244C C 24=种可能． 要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224C C 12=种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有1123C C 6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=， 故选：C ．8. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解. 【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ，所以外接球的表面积为223π4π2a =，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题. 故选：A.9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴==， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】通过构造函数()e 1xf x x =--，利用导数研究函数单调性，证得e 1x x >+，则有,a c b c >>，再通过作商法比较,a b .【详解】设()e 1x f x x =--，因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当R x ∈，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+. 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e 13e 33b a -==<<，所以b a <.综上，c b a <<. 故选：A11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若的90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线方程，求得12x x +，12x x ，12y y ，由90ADB ∠=︒可得0DA DB ⋅=，从而可求k 的值，根据弦长公式即可求AB ．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，()()22222244404y k x k x k x k y x⎧=+⇒+-+=⎨=⎩， 由题知，0∆>，故21212244,4k x x x x k-+==， 则()()()222121212122882224448k y y k x k x k x x x x k k ⎛⎫-⎡⎤=+⋅+=+++=++= ⎪⎣⎦⎝⎭， 由()()1212900220ADB DA DB x x y y ∠=⇒⋅=⇒--+=，即()121212240x x x x y y -+++=，即()224142840k k --⋅++=，解得213k=，则12443813x x -+==，则28AB x =-===．故选：C ． 12. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 的【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，结合()()2f x f x +=-，推导出()()f x f x -=-，A 正确；B 选项，求出()f x 的一个周期为4，从而只需求()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数，结合函数性质得到2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；C 选项，求导得到()111cos sin f x x x x'=+，换元后得到()cos sin h t t t t =+，15π1,6t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，再次求导，得到()h t 的单调性，结合()10h >，5π06h ⎛⎫⎪⎝⎭>，得到()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，得到()f x 在6,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，与C 选项一样得到()h t 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到()f x 的单调性，求出()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点. 【详解】函数()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，因为()()2f x f x +=-，所以()()11f x f x +=--， 故()()11f x f x -+=--，将x 替换为1x +，得到()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，A 正确； 因为()()2f x f x +=-，故()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=， 所以()f x 的一个周期为4， 故()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数与在区间12π1,ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的相同，因为22πcos 20ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，而()()()2f x f x f x +=-=-，故2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2212π1,2,ππππ-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 故()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭至少有2个零点，B 错误； 6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，则()111cossin f x x x x'=+，令1t x =，()cos sin h t t t t =+，当5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，所以()sin sin cos cos h t t t t t t t '=-++=，当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π5π,26t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 又()1cos1sin10h =+>，0cos si 5π5π5π5π2n 5π66661h ⎛⎫==⎪⎝⎭=>+， 故()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()0f x ¢>在6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确； D 选项，1,1πx ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，故()111cossin f x x x x '=+，令1t x=，()cos sin h t t t t =+，当()1,πt ∈时， 则()cos h t t t '=， 当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π,π2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 因为()1cos1sin10h =+>，πππππ02222cos 2sin h ⎪=⎛⎫=+⎝⎭>，()0cos s n πππ1i πh =-+<=， 由零点存在性定理，0π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h t =，当()01,t t ∈时，()0h t >，当()0,πt t ∈时，()0h t <，011,πx t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，01,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，D 正确. 故选：ACD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a .第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30 【解析】【分析】首先根据题意得到a b += ，从而得到32a b ⋅= ，再根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅求解即可.【详解】因为(a b +=，所以a b +== ，所以()22223127a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，即32a b ⋅= .所以cos ,a b a b a b⋅===⋅， 因为0,180a b ≤≤，所以a 与b 的夹角为30 .故答案为：3014. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.的【答案】56- 【解析】【分析】先整理二项式为()81x -，由此即可求解. 【详解】解：二项式()()()442822111x x x x ⎡⎤=⎣⎦-+-=-， 所以展开式中含3x 的项为()55338156C x x ⋅-=-，所以3x 项的系数为56-， 故答案为：56-.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．【解析】【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=， 又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴， SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，tan SO SCO OC ∴∠=== 即SC 与BD16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,nn n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】(),48-∞ 【解析】【分析】利用,n n a S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消法求得n T ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数λ的取值范围. 【详解】当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111a S ==满足上式， 所以32,N n a n n *=-∈. 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1)(()(1)343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ ， 由93n T n λ<+，可得9331n n n λ<++，即23(31)13(96)n n n nλ+<=++， 因为函数19y x x =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 所以当1n =时，19n n+有最小值为10， 所以13(96)48n n++≥，所以48λ<， 所以实数λ的取值范围为(),48∞-. 故答案为：(),48-∞.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值. 【答案】（1）π4（2）1 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解. 【小问1详解】在ABC 中，由1cos 3A =-，()22cos sin 1,0,πA A A +=∈,得sin A =.由正弦定理得，sin sin a b A B=3sin B =，故sin B =又因为A 为钝角，所以π4B = 【小问2详解】在ABC 中，()1cos cos sin sin cos cos 3C A B A B A B =-+=-=+=由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅()2223423491=+-⨯⨯=-=-所以1AB =-18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 的中点G ，连接EG FG ，，通过证明平面GEF 平面PAB ，可得EF 平面PAB ；（2）点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PA PAB ==∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，可得P 坐标，后利用向量法可得平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值. 【小问1详解】取AD 的中点G ，连接,EG FG ，F 是PD 的中点，GF AP ∴∥，AP ⊂ 平面,PAB FG ⊄平面PAB ，GF ∴ 平面PAB ，同理可得GE 平面PAB ，，GE GF G GE =⊂ 平面，GEF GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF 平面PAB ，EF ⊂ 平面GEF ，//EF ∴平面PAB ；【小问2详解】以点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0A B D C ，()()400040,,，,,AB AD ==.设(),,P x y z ，因2PA =，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，则2sin 301z == . 又因60,PAB =∠ 则点P 的横坐标2cos 601x == . 又2PA =2=，结合题图可知y =，的则()P，()11,AP =.设()111,,m x y z =r 是平面PAB的一个法向量，则111140m AB x m AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11y =，则(10,1,z m ==.设()222,,n x y z =r 是平面PAD的一个法向量，则222240n AD y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令11x =，则()111,0,1，z n =-=-.又因两平面夹角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设平面PAB 与平面PAD 夹角为θ，cos =cos ,m n m n m n θ⋅===，∴平面PAB 与平面PAD19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（2）0.004 【解析】【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 【小问1详解】把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则2214,6;21,17x y x s y s ====．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14,21x y ==，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++．120149021210⨯+⨯=17,=根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1209022111,210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由()120120111200iii i x x x x ==-=-=∑∑可得()()120120112()2(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，()()9090112()2()0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，因此，()()12012090902222211111()()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(,210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 所以{}22211206(1417)9017(2117)23210s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】由（1）知223σ=，所以()17,23X N ~4.8≈， 所以()()12.221.817 4.817 4.80.6827P X P X ≤≤=-≤≤+≈，()1(12.2)10.68270.15865,2P X <≈⨯-= 因为()3,0.15865X B ~，所以()3333C 0.158650.004P X ==⨯≈． 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切． 【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【小问1详解】菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又椭圆E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=. 【小问2详解】由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+， 由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k-=+， 21212228221414k t t y y kx t kx t t k k∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1Ee ∴==224=m n ， 2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=， ()()()22222222216441444164k t k t n k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+， ()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数()e 21x f x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ． （1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．【答案】（1）12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）① 212e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，；②证明见解析 【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过对a 的讨论，求出()f x 在给定区间的最值即可求出a 的值；（2）①由函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x 得，()e 22x F x ax a '=-+有两个不同零点，通过参数分离有112e x x a -=，构造函数()1e x x x ϕ-=，确定()1ex x x ϕ-=的单调性和极值，进而可求a 的取值范围； ②由已知得21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---，通过换元111x t -=，221x t -=，构造函数()ln u t t t =-，讨论函数()ln u t t t =-的单调性，确定12t t ，的不等关系，再转化为1x ，2x 的关系即可证明．【小问1详解】由()e 21x f x ax =+-，得()e 2xf x a '=+， 当0a ≥时，因为()11120e f a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，不合题意； 当a<0时，当()()ln 2x a ∈-∞-，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()ln 2x a ∈-+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()min ()ln 222ln 21f x f a a a a =-=-+--，要()0f x ≥，只需()min ()22ln 210f x a a a =-+--≥，令()ln 1g x x x x =--，则()ln g x x '=-， 当()01x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，则由()()222ln 210g a a a a -=-+--≥得21a -=， 所以12a =-，故实数a 取值的集合12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 【小问2详解】 ①由已知()2e 21x F x ax ax =-+-，()e 22x F x ax a '=-+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以()e 22xF x ax a '=-+有两个不同零点， 若0a ≤时，则()F x '在R 上单调递增，()F x '在R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a >时，由e 220x ax a -+=，得112e x x a -=，令()1ex x x ϕ-=所以()2ex x x ϕ-'=，当()2x ∈-∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 所以max 21()2e x ϕϕ==（）， 因为(1)0ϕ=，1lim 0e x x x →+∞-=，所以21102e a <<，所以22e a >， 故实数a 的取值范围为21e 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，． ②设12x x <，由①则1212x x <<<，因为()()120x x ϕϕ==，所以11e 22x ax a =-，22e 22x ax a =-， 则21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---， 令111x t -=，221x t -=，则2121ln ln t t t t -=-，即221112ln ln (01)t t t t t t -=-<<<，令()ln u t t t =-，则()()12u t u t =，因为()1tu t t '=-，所以()ln u t t t =-在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 令()()112ln v t u t u t t t t⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则()22(1)0t v t t-'=≥，()v t 在()0+∞，上单调递增， 又10v =（），所以当()01t ∈，时，()10v t v <=()，即()1u t u t ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为21t >，121t ->，()ln u t t t =-在()1+∞，上单调递增，所以211t t <， 所以21111x x -<-，即1212x x x x <+，所以))12121212x x x x x x x x <+<+<+，故)12123x x x x <+成立．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21+【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程；（2）求出OA 、OB ，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，结合π02α≤<可求得AOB S 的最大值. 【小问1详解】解：由11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩可得()()))2222112x y θθ++-=+=，即22220x y x y ++-=，故曲线C 的普通方程为22220x y x y ++-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即2sin 2cos ρθθ=-.【小问2详解】解：由题意知2sin π2cos π2OA =-=，ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为π02α≤<，则ππ5π2444α≤+<，所以当242ππα+=，即当π8α=时，AOB 1+. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=．（1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<；（2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答. （2）利用柯西不等式求解最小值作答.【小问1详解】依题意，(1)0a b c ++-=，且,,(1)a b c -均不为零， 则22221(1)(1){[(1)][(1)2]}ab b c c a a b c a b c +-+-=++--++-2221[(1])02a b c =-++-<， 所以(1)(1)0ab b c c a +-+-<.【小问2详解】因为2222222](111[(2)(2)1()))[112(2)(2(2)]a b c a b c ⨯-++++-+++++≥⨯⨯+2(2)9a b c =+++=， 当且仅当222111a b c -++==，即3,1,1a b c ==-=-时取等号，因此222(2)(2)(2)3a b c -++++≥， 所以222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值为3.。
高三数学三月联考试题理含解析试题
2021届高三年级三月份联考数学〔理科〕制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕，，假设，那么实数的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合交集和空集的概念，结合集合A,B的不等式，求得的取值范围.【详解】依题意可知当时，，应选C.【点睛】本小题主要考察两个集合交集不为空集的知识，考察不等式的方向，属于根底题.2.“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，将条件和结论互相推导，根据能否推导出的情况，判断充分、必要条件.【详解】由不等式性质可知，，假设，有，假设，不满足上述条件，未必成立；如不能推出，故推不出，故是既不充分也不必要条件.应选D.【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的知识，考察不等式的性质，属于根底题.3.某位老师2021年的家庭总收入为80000元，各种用处占比统计如下图的折线图年收入的各种用处占比统计如下图的条形图，2021年的就医费用比2021年增加了4750元，那么该老师2021年的家庭总收入为A. 100000元B. 95000元C. 90000元D. 85000元【答案】D【解析】【分析】先求出2021年的就医费用，从而求出2021年的就医费用，由此能求出该老师2021年的家庭总收入．【详解】由得，2021年的就医费用为元，年的就医费用为元，该老师2021年的家庭总收入元．应选：D．【点睛】此题考察老师2021年的家庭总收入的求法，考察折线图和条形统计图的性质等根底知识，考察运算求解才能，是根底题．4.，，那么的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值.【详解】，得，而.应选A.【点睛】本小题主要考察正切值求两弦值的方法，考察三角函数诱导公式、二倍角公式，属于根底题.展开式中含项的系数为21，那么实数的值是〔〕A. 3B. -3C. 2D. -2【答案】A【解析】【分析】先求得展开式的通项公式，求得其中的系数，与相乘得到；求求得的值. 【详解】展开式的通项公式为，所以令，此时含的项的系数为，又令，舍去，所以含项的系数为，所以，得.应选A.【点睛】本小题主要考察二项式展开式的通项公式，考察乘法的分配律，考察运算求解才能，属于根底题.6.如图是某几何体的三视图，那么过该几何体顶点的所有截面中，最大的截面面积是〔〕A. 2B.C. 4D.【答案】A【解析】【分析】所有截面都是等腰三角形，根据三角形的面积公式可知，当顶角为时，面积获得最大值，由此求得最大的截面面积.【详解】将三视图复原，可知几何体是一个轴截面的顶角为的半圆锥，故过其顶点的截面面积.应选A.【点睛】本小题主要考察三视图复原为原图，考察圆锥的截面面积最大值的计算，考察三角形面积公式，属于中档题.的局部图象符合的是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法分别计算，的值进展排除即可．【详解】故得到函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C，，排除A，D，应选：B．【点睛】此题主要考察函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决此题的关键．知式求图的问题常见的方法是先通过函数的定义域和值域进展排除，再由函数的特殊值进展排除，也可以采用判断极限的方法进展排除.8.某次考试一共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论.【详解】设学生答对题的个数为，那么得分〔分〕，，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.应选A.【点睛】本小题主要考察二项分布的识别，考察方差的计算，考察阅读理解才能，考察数学在实际生活中的应用.随机变量分布列的方差为，那么分布列的方差为.的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】因为三角形为锐角三角形，所以过C做于D，D在边AB上，根据面积算出，再根据勾股定理表示出，由二次函数知识可求得．【详解】因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：因为：，所以，在三角形ADC中，，在三角形BDC中，，，，．设结合二次函数的性质得到：．应选：D．【点睛】此题考察了三角函数的应用以及二次函数的值域，最值问题；题目难度中等.这个题目考察了二元问题的应用，一般采用的是二元化一元.中，，，，过点作的垂线，垂足为，以为折痕将折起使点到达点处，满足平面平面，那么三棱锥的外接球的外表积为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出三角形为直角三角形，由此求出各条边长.根据，，两两互相垂直，可知三棱锥的外接球的直径即以，，为边构造长方体的体对角线，由此计算出球的直径和半径，进而求得外接球的外表积.【详解】由，，及可知，，所以，由题可知在三棱锥中，，两两互相垂直，所以分别以，，为边构造长方体，那么三棱锥的外接球的直径，所以，所以三棱锥的外接球的外表积为.应选D.【点睛】本小题主要考察几何体外接球外表积的求法，考察补形的思想，属于中档题.：的左、右焦点分别为，，过右焦点作其渐近线的垂线，垂足为，交双曲线右支于点，假设，且，那么双曲线的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设出渐近线方程，计算出到渐近线的间隔，由此求得的值，根据双曲线的定义，求得，利用余弦定理解方程，化简得，进而求得双曲线的离心率.【详解】依题可知，不妨设渐近线方程为，代入点到直线的间隔公式得，从而，又由双曲线的定义可知，所以在中，由余弦定理得，化简得，即，所以离心率为.应选A.【点睛】本小题主要考察双曲线离心率的求法，考察双曲线的定义，考察双曲线渐近线的求法，考察点到直线的间隔公式，考察余弦定理，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.求解双曲线离心率有关的问题，首先根据题意列一个方程，根据这个方程求得的值，进而求得离心率.12.数列：；，，；，，…，；…，，，，…；…，那么此数列的前2036项之和为〔〕A. 1024B. 2048C. 1018D. 1022【答案】C【解析】【分析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组个数，第二组个数，……，第组个数，分别计算出各组数的和.计算出组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；…；第组：.而由，得，所以.因此前2036项之和正好等于前10组之和，由于.应选C.【点睛】本小题主要考察数列求和，考察观察才能，考察化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕，，，假设向量与向量一共线，那么实数k的值是______．【答案】【解析】【分析】先由，得出向量的坐标表示，再由向量与向量一共线，即可求出结果. 【详解】因为向量，，所以；又，向量与向量一共线，所以，解得.故答案为【点睛】此题主要考察向量的坐标运算，熟记一共线向量定理即可，属于根底题型.在点处的切线经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】对函数求导，求得在处切线的斜率，根据点斜式写出切线方程，将点坐标代入切线方程，解方程求得的值.【详解】由得，所以，又当时，，所以，所以切线方程为，将点代入切线方程，得.【点睛】本小题主要考察函数的导数，考察曲线的切线方程的求法，考察方程的思想，属于根底题.在区间内有最值，那么的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】当函数获得最值时有，由此求得的值，根据列不等式组，解不等式组求得的取值范围〔含有〕，对赋值求得的详细范围.【详解】由于函数取最值时，，，即，又因为在区间时，有解，所以，即，由得，当时，，当时，又，，所以的范围为.【点睛】本小题主要考察三角函数最值的求法，考察不等式的解法，考察赋值法，属于中档题.16.如图，为椭圆上一个动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，那么当四边形面积最大时，的值是______．【答案】【解析】【分析】根据切线的性质得到，以及，故四边形面积最大时，即最大，根据椭圆的性质可知当点为椭圆的左顶点时，最大，根据向量数量积公式计算出两个向量的数量积.【详解】连接，设，那么，由切线的性质知，所以，故四边形面积最大时，即最大，且.易知当点为椭圆的左顶点时，最大，所以，如下图，此时，，，所以，.【点睛】本小题主要考察圆的切线的几何性质，考察椭圆的几何性质，考察向量数量积的计算，属于中档题.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分〕，，函数.〔1〕求的单调区间；〔2〕在锐角中，，，分别是内角，，所对的边，假设，，求周长的取值范围.【答案】〔1〕单调递增区间是，，单调递减区间是，.〔2〕【解析】【分析】〔1〕先求得的表达式，利用正弦函数的单调区间，求得的单调区间.〔2〕根据正弦定理求得边的表达式，由此求得的取值范围，进而求得的取值范围.【详解】解：〔1〕依题意，. 令，，解得的单调递增区间是，，令，.解得的单调递减区间是，.〔2〕由得.设三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得.于是.因为是锐角三角形且，所以由，得，因此的取值范围是.而由得，所以，所以，即周长的取值范围是.【点睛】本小题主要考察平面向量数量积的坐标运算，考察三角函数单调区间的求法，考察正弦定理解三角形，知识综合较多，属于中档题.18.2021年，中国某的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进展一场比赛，赢了就可以晋级，否那么，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄〔单位：岁〕分成六组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，下列图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.〔1〕务实数的值；〔2〕假设先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样一共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取3人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望.【答案】〔1〕〔2〕①②见解析【解析】【分析】〔1〕根据频率和为列方程，解方程求得的值.〔2〕利用分层抽样的知识计算出每组的抽取人数. ①用古典概型的概率计算公式计算出这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②利用超几何分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】解：〔1〕直方图中的组距为5，可得，得.〔2〕从直方图中可得第四组的人数为〔人〕，第五组的人数为〔人〕，第六组的人数为〔人〕，三组一共100人，按组用分层抽样法抽取10人，那么第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率；②的可能取值为0，1，2，3，，，，，的分布列为0 1 2 3.【点睛】本小题主要考察频率分布直方图有关的计算，考察古典概型，考察超几何分布，属于中档题.的前n项和为，，公差为假设，求数列的通项公式；是否存在d，n使成立？假设存在，试找出所有满足条件的d，n的值，并求出数列的通项公式；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】由求得公差，直接代入等差数列的通项公式得答案；由，得到，然后依次取n值，求得d，分类分析即可得到所有满足条件的d，n的值，并求得通项公式．【详解】当时，由，得，即．；由题意可知，，即，．令时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，符合．此时数列的通项公式为；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，得，不合题意；时，，均不合题意．存在3组，其解与相应的通项公式分别为：，，；，，；，，．【点睛】此题考察等差数列的通项公式，考察等差数列的前n项和，考察分类讨论的数学思想方法，考察计算才能，是中档题．20.如图，在梯形中，，，，是的中点，将沿折起得到图〔二〕，点为棱上的动点.〔1〕求证：平面平面；〔2〕假设，二面角为，点为中点，求二面角余弦值的平方.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据，证得平面，从而证得平面平面.〔2〕以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，通过计算和的法向量，计算出二面角余弦值的平方.【详解】证明：〔1〕在图〔一〕梯形中，∵是的中点，，，∴，.∴四边形为平行四边形.又∵，∴，在图〔二〕中，∵，，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.解：〔2〕由及条件关系，得，由〔1〕的证明可知，，∴为二面角的平面角，∴，由〔1〕的证明易知平面平面，且交线为，∴在平面内过点作直线垂直于，那么平面，∴，，两两互相垂直，∴分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，那么，，，，∵为中点，∴，，.设平面的一个法向量，那么，即，令，那么，，∴，而平面的一个法向量，∴，∴.【点睛】本小题主要考察面面垂直的证明，考察利用空间向量法计算二面角的余弦值，属于中档题. E：，圆C：．假设过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；在的条件下，假设直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕；〔2〕存在定点【解析】【分析】求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求直线方程；设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．【详解】由题意可得抛物线的焦点，当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，即，由圆心到直线的间隔为，当直线与圆相切时，，解得，即直线方程为；可设直线方程为，，，联立抛物线方程可得，那么，，x轴上假设存在点使，即有，可得，即为，由，，可得，即，即，符合题意；当直线为，由对称性可得也符合条件．所以存在定点使得．【点睛】此题考察直线与圆的位置关系和直线与抛物线的位置关系，考察相切的条件和联立方程，运用韦达定理，考察直线的斜率公式的运用，以及方程思想和变形才能，属于中档题．涉及方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用．.〔1〕假设，证明：；〔2〕，假设函数有两个零点，务实数的取值范围.【答案】〔1〕见证明；〔2〕【解析】【分析】〔1〕当时，利用导数求得函数的最大值，由此证得不等式成立.〔2〕先求得的表达式，将零点问题转化为，构造函数，利用导数来求得当有一个不为零的零点时的取值范围.【详解】证明：〔1〕当时，，所以，所以当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减.所以当时，函数有极大值，也为最大值，所以最大值为，所以.〔2〕因为函数有两个零点可转化为有两个零点，即关于的方程有两个不相等的实根，易知0为方程的一个根，此时.当时，只需有一个不为0的零点即可，当时，，故为减函数，因为，，故在上仅有1个零点，且不为0，满足题意；当时，，不合题意；当时，，，，根据零点的存在性定理可知在上至少有1个零点，当时，为负数，故在上也有零点，故不合题意.综上，.【点睛】本小题主要考察利用导数求函数的最值，考察利用导数求解零点个数问题，考察化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.要证明一个函数小于某一个数值，那么可以利用导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值，根据最大值证明不等式成立.制卷人：打自企；成别使；而都那。
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安徽省野寨中学岳西中学高三联考数学试题（理科）总分：150分 时间：120分钟 命题：黄开宇 审题： 胡革非（命题范围：集合与逻辑、函数与导数、三角与向量、数列与不等式、解析几何）第Ⅰ卷（选择题·填空题 共75分）一、选择题（每小题5分，共50分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若P=｛1、2、3、4、5｝，Q=｛0、2、3｝，且定义｛且｝，那么（ ）A. B. ｛0、1、2、3、4、5｝ C ｛0｝ D ｛0、1、4、5｝2. 2＜＜6是方程表示椭圆的（ ）条件。
A . 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3．等差数列中，，公差，且、、恰好是某等比数列的前三项， 那么该等比数列的公比为（ ） A ．2B ．C ．D ．4 4、若直线和圆O ：没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 5. 已知函数，若，则（ ） A.B. C. D. 6. 双曲线的一条准线被它的两条渐近线所截得线段长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率是（ ）A.3B.2C.D.7. 若a, b, c 是三角形ABC 的角A 、B 、C 所对的三边，向量，,若,则三角形ABC 为（ ）三角形。
A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定A B -=|x A x ∈B x ∉()()P Q Q P --=Φm 16222=-+-mym x }{n a 21=a 0≠d 1a 3a 11a 21414mx ny +=422=+y x (,)m n 22194x y+=xe xe xf -+=ln)(b a f -=-)(=)(a f b 1b1-b b -12222=-by a x 32)sin ,sin sin (C B b A a -=),1(c b n +-=n m ⊥8. 如图，F 为抛物线的焦点，A 、B 、C 在抛物线上，若，则（ ）A. 6B. 4C. 3D.2 9. 若是定义在上的函数，对任意的实数，都有和且，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如果函数对任意的实数，存在常数M,使得不等式恒成立，那么就称函数为有界泛函，下面四个函数：①； ②；③； ④．其中属于有界泛函的是（ ）．A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④ 二、填空题：（每小题5分，共25分，把答案填写在答题卷的相应位置） 11. 已知函数若对任意都有则=________．12. 对于任意，函数的值恒大于零，那么的取值范围是13. 曲线上一点到直线的距离的最小值为 14. 由曲线及轴围成的封闭图形的面积为 15．已知是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，，，（），考察下列结论，①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列，其中正确的是_______ （填序号）第Ⅱ卷（解答题 共75分）x y 42=0FA FB FC ++=FA FB FC ++=()f x R x (4)()4f x f x +≤+,2)()2(+≥+x f x f 21=）（f ）（2009f ()f x x ()f x M x ≤()f x 1)(=x f 2)(x x f =x x x x f )cos (sin )(+=1)(2++=x x xx f ()3sin(),()3cos(),f x x g x x ωϕωϕ=+=+,x R ∈()(),33f x f x ππ+=-()3g π]1,1[-∈a a x a x x f 24)4()(2-+-+=x 42x y =1--=x y 141,122+-=+-=x y x y x )(x f a R b ∈)()()(a bf b af b a f +=⋅2)2(=f n f a n n )2(=*)(N n ∈nnn f b 2)2(=*N n ∈)1()0(f f =)(x f }{n b }{n a三、解答题：（本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，向量m = (sinB, 1 – cosB)与向量n = (2，0)夹角的余弦值为．（1）求角B 的大小； （2）求sinA + sinC 的取值范围．17. （本小题满分12分）已知：， ：． 若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围．18. （本小题满分12分） 对于三次函数。
定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。
（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。
19．（本小题满分13分）已知函数． （I ）求的单调区间；（II）若不等式恒成立，求实数的取值组成的集合． θ12p 1123x --≤q 222(1)0x x m -+-≤⌝p ⌝q m 32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()f x ()f x '()f x ()f x ''()f x ()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =0x R ()y f x =x 000()()2()f x x f x x f x ++-=()y f x =00(,())x f x 32()322f x x x x =-++()f x A ()f x A 32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()ln 2f x x =-()f x ln x mx x->m20. (本题满分13分)已知数列中，， ．且k 为等比数列， (Ⅰ) 求实数及数列、的通项公式；(Ⅱ) 若为的前项和，求； (Ⅲ) 令数列｛｝前项和为．求证：对任意，都有＜3.21．（本小题满分13分）如图，已知直线与抛物线相切于点P （2，1），且与轴交于点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）.(1)若动点M 满足，求动点M 的轨迹Q ；(2) F1,F2是轨迹Q 的左、右焦点，过F1作直线（不与轴重合）,与轨迹Q 相交于，并与圆相交于．当,且时,求的面积的取值范围．{}n a 11a =n a n na n n +-=-112*(2,)n n N ≥∈λ+=na b n n λ{}nb {}n a n S {}n a n n S ,)1(2-=n nn b b c n c n n T *n N ∈n T l 24x y =x 2||0AB BM AM ⋅+=l x l D C ,322=+y x F E ,λ=⋅F F E F 222[,1]3λ∈CD F 2∆S答 案1-10：D B D B C B C A C B11. 0 12. 【】 13. 【】 14. 【】 15．【①③④】 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，向量m = (sinB, 1 – cosB)与向量n = (2，0)夹角的余弦值为．（1）求角B 的大小； （2）求sinA + sinC 的取值范围． 【解析】（1）m =…………………………………3分由题知，，故 ∴ ∴B = …………6分 （2）sinA + sinC = sinA + sin()= = …………………………10分∵A +∈ ∴sin(A +)∈∴sinA + sinC 的取值范围是． …………………………………………12分 17. （本小题满分12分）已知：， ：． 若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围． 【解法一】由：，解得， ∴“”： ． ……………………3分 由： 解得：),3()1,(+∞⋃-∞162534θ122(2sincos ,2sin )2sin (cos ,sin )222222B B B B B B=2sin cos cos||||22sin 22B B B θ⋅===⋅⋅m n m n 1cos 2θ=1cos 22B =23B π=23π3A π-sin sincos cos sin 33A A A ππ+-1sin sin()23A A A π=+(0,)3A π∈3π2(,)33ππ3πp 1123x --≤q 222(1)0x x m -+-≤⌝p ⌝q m p 1123x --≤210x -≤≤⌝p (,2)(10,)A =-∞-⋃+∞q 22210x x m -+-≤11 mx m -≤≤+∴“”： ……………………6分由“”是“”的必要而不充分条件可知：． ………………8分解得． ∴满足条件的m 的取值范围为． ……………………12分 【解法二】由：， 解得 由：, 解得：由“”是“”的必要而不充分条件可知：， 即：（等号不同时成立）， 解得：∴满足条件的m 的取值范围为．18. （本小题满分12分） 对于三次函数。
定义：（1）的导数（也叫一阶导数）的导数为的二阶导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有恒成立，则函数的图象关于点对称。
（1）己知， 求函数的“拐点”的坐标；（2）检验（1）中的函数的图象是否关于“拐点”对称;（3）对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）。
【解析】（1）依题意，得： ，。
……………2分由 ，即。
∴，又 ，∴的“拐点”坐标是。
……………………4分⌝q (,1)(1,)B m m =-∞-⋃++∞⌝p ⌝q B A ⊆12110m m ⎧-≤-⎪⎨⎪+≥⎩9m ≥(][),99,-∞-⋃+∞p 1123x --≤{}210P x x =-≤≤q 22210x x m -+-≤}{11Q x m x m =-≤≤+⌝p ⌝q ⌝q ⇒⌝p ⇔p ⇒q Q P ⊆12101m m -≤-≤+9m ≥(][),99,-∞-⋃+∞32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠()f x ()f x '()f x ()f x ''()f x ()0f x ''=0x 00(,())x f x ()y f x =0x R ()y f x =x 000()()2()f x x f x x f x ++-=()y f x =00(,())x f x 32()322f x x x x =-++()f x A ()f x A 32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠2()362f x x x '=-+()66f x x ''∴=-()0f x ''=660x -=1x =(1)2f =32()322f x x x x =-++(1,2)（2）由(1)知“拐点”坐标是。