第22章 22.2.2 二次函数与一元二次方程(不等式)
人教版九年级上数学第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程(教案)
3.掌握一元二次方程的多种解法，培养问题解决和数学运算的能力。
4.将二次函数和一元二次方程应用于实际问题，增强数学建模和数学应用的意识。
5.在小组讨论和问题解决过程中，培养合作交流、批判性思维和创新意识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数与一元二次方程的关系：理解二次函数图像与一元二次方程解的关系，掌握二次函数标准形式及其图像特征。
-举例：求解x²-5x+6=0，展示不同解法并比较各自优劣。
-实际问题中的应用：学会将实际问题抽象为二次函数与一元二次方程模型，解决最值、交点等问题。
-举例：抛物线与直线的交点问题在实际情境中的应用，如物体抛掷的最高点问题。
2.教学难点
-图像与方程关系的理解：学生往往难以将二次函数图像与一元二次方程的解直观地联系起来。
在实践活动中，学生们的分组讨论进行得相当积极。他们能够将所学的理论知识应用到解决实际问题中去，这让我感到很欣慰。然而，我也观察到，在将实际问题抽象为数学模型的过程中，一些学生仍然感到困难。这告诉我，需要在后续的教学中加强对数学建模能力的培养。
在小组讨论环节，我尝试扮演了一个引导者和启发者的角色，鼓励学生们提出自己的观点和问题。我注意到，当他们被鼓励去探索和发现时，他们的思考变得更加深入。不过，我也发现时间管理上存在一些问题，有时候讨论可能会拖沓，影响到了课堂的整体进度。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数与一元二次方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿
22.2 二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22 章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续. 又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次” 的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的：1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的：1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学. 以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程（一）复习引入活动1:问题1：一次函数与一元一次方程有怎样的联系？师生活动：老师引导，学生回答，最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2：类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系？师生活动：老师展示问题，学生回答.得出当二次函数y=aX+bx+c（a工的函数值y=0时，则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a工;0若把一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）中的常量0变为变量y,则得到二次函数y=ax2+bx+c（a工.0）设计的意图：在学生已有的数学基础上，采用类比的学习方法，探索新知.（二）探究新知活动2：4问题：如图,以40m／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时,小球的飞行路线将是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度h（单位：m）飞行时间t（单位：s）2之间具有函数关系：h= 20t-5t 2问：（1）小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?（2）小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m ?4 小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：第（1）问师生共同分析,先用代数的方法解答,然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析. 第（2）问由学生分析并展示过程,同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m?接着老师又引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成,学生代表分析并展示过程.设计的意图：让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3：小组合作问题：根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单 位对二次函数与 x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论，并请代表展示 结果•二次函数的图象与 x 轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：(1)"数”：二次函数y=ax 2+bx+c ( 0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方 程 ax 2+bx+c=0 (0)的根；(2) "形”：二次函数 y=ax 2+bx+c ( a * 0)的图象与 x 轴交点的横坐标.即为一元二次方程 ax 2+bx+c=0 (a丰 0)的根.设计的意图：通过学生合作交流， 得出二次函数y=ax 2+bx+c(a 丰0)的图象和x 轴交点的 横坐标与一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 丰0)的根的关系，同时培养学生合作学习的能力•活动4：观察发现(1 )观察二次函数①y=x 2+x-2,②y=x 2-6x+9，③y=x 2-x+1的图象，回答下列问题： 函数与x 轴的交点的个数是：① ______________ 个② _________ 个③ _________ 个• 函数与x 轴交点的横坐标为：① _________________② ____________ ③x 2+x-2=0,② X 2-6X +9=0,③ x 2-x+1=0,则元二次方程根的情况： ①厶_0,有_根 ②' _0,有_根，③△ _0,有 _______________________ 根. 一元二次方程的解是：① ___________ ，②, ③ •思考：二次函数y=a/+bx+c(a 工与)x 轴交点情况与一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 却的根的情况有怎样的联系？师生活动： 老师展示问题，学生观察填空•通过观察(1)与(2)的结果，对思考问题进行合作讨论设计意图：通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与 系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法 •(三) 归纳新知(2)已知一元二次方程①x 轴交点个数的情况的关 -2 -1^*11 2 X-2设计意图：培养学生语言表述能力，及用表格法归纳知识的能力。
22.2二次函数与一元二次方程
是否有公共点，并说明理由．
(1) y=x2-4x+3
(2) y=x2-6x+9
(3) y=x2-x+1
• 例2．已知抛物线 y=x2-2x+k
• （1）当k取什么值时，抛物线与x轴有两个交点？ • （2）当k取什么值时，抛物线与x轴有一个公共点？并求
出这个公共点的坐标． • （3）当k取什么值时，抛物线与x轴没有公共点?
决函数问题，同样运用函数知识又可以解决
方程根的问题.(数形结合)
下列情形时，如果a＞0，抛物线y=ax2+bx+c的顶点在什么 位置？
（1）方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；
（2）方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；
（3）方程ax2+bx+c=0无实数根。
如果a＜0呢？
今 天 就休 到息 这一 吧会
O
x
归纳整理、理清关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二 次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
一元二次方程 ax2+bx+c=0根 的判别式Δ=b2-4ac
Δ=b2-4ac > 0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数y=ax2+bx+c的 图象和x轴的交点
有两个相异的实数根
ax²+ bx + c = 0
二次函数与一元二次 方程有什么关系？
y ax2 bx c
一、复习回顾
1. 一次函数y=2x-4与x轴交点坐标是？
2x-4=0 x =2
人教版九年级数学上册第22章《 二次函数：22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系》
2.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的 一个交点为A(1，0)，对称轴是直线x＝－1，则 ax2＋bx＋c＝0的解是D( )
A．x＝－2 B．x＝－3 C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝1
第二十二章 二次函数
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
第二十二章 二次函数
分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h＝20t －5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得 到关于t的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解， 则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则， 说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值．
解：（1）当h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
22.2.1 二次函数与一元二次方程之间的关系
第二十二章 二次函数
以前我们从一次函数的角度看一元一次方 程，认识了一次函数与一元一次方程的联 系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方 程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先 来看下面的问题．
第二十二章 二次函数
第二十二章 二次函数
小结
二次函数与一元二次方程的关系： 已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
第二十二章 二次函数
1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图， 则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( B )
A．无解 B．x＝－1或x＝4 C．x＝－4 D．x＝1或x＝-4
第二十二章 二次函数
问题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时， 球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第22章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程
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5
6
7
7.利用二次函数的图象求方程1
1 2
x +x+2=0的近似解(精确到0.1).
2
解: 函数 y=-2x2+x+2 的图象如图.
1 2
设-2x +x+2=0
的两根分别为 x1,x2,且 x1<x2,观察图象可知
-2<x1<-1,3<x2<4.
1
因为当 x=-1 时,y=-2×(-1)2-1+2=0.5>0,
的交点个数是3.故选A.
A
解析
关闭
答案
快乐预习感知
1
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7
3.已知二次函数y=x2-2ax+a2-2a-4(a为常数)的图象与x轴有交点,且
当x>3时,y随x的增大而增大,则a的取值范围是(
)
A.a≥-2
B.a<3
C.-2≤a<3
D.-2≤a≤3
关闭
D
答案
快乐预习感知
1
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7
4.(2023·浙江宁波中考)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说
1
时,y=-2×(-1.5)2-1.5+2=-0.625<0,
当 x=-1.5
所以-1.5<x1<-1.
因为当 x=3
1 2
时,y=-2×3 +3+2=0.5>0,当
1
时,y=- ×3.52+3.5+2=-0.625<0,
专题22.2 二次函数与一元二次方程(讲练)(解析版)
专题22.2二次函数与一元二次方程（讲练）一、知识点二、标准例题：例1：如图，已知二次函数2y ax bx c=++的部分图象，由图象可估计关于x的一元二次方程20ax bx c++=的两个根分别是1 1.6x=，2x=A．-1.6 B．3.2C．4.4 D．5.2【答案】C【解析】由抛物线图象可知其对称轴为x=3，又抛物线是轴对称图象，∴抛物线与x轴的两个交点关于x=3对称，而关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1，x2，那么两根满足2×3=x1+x2，而x1=1.6，∴x2=4.4．故选C．总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．例2：如图，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，则方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为（ ）A ．122,3x x =-=-B ．121,0x x ==C ．122,1x x =-=D ．123,0x x =-=【答案】C【解析】解：∵2(1)10ax b x c +-++=，∴21ax bx c x ++=-. ∴方程2(1)10ax b x c +-++=的根即为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，∵二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）和一次函数1y x =-的图象交于(2,3)A --，(1,0)B 两点，∴方程2(1)10ax b x c +-++=（0a ≠）的根为122,1x x =-=.故选C.总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程2(1)10ax b x c +-++=变形为21ax bx c x ++=-，进一步将所求转化为求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）与一次函数1y x =-的图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.最后结合抛物线的增减性进行判断.例3：二次函数y ＝x 2+bx ﹣t 的对称轴为x ＝2．若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t≥﹣4D ．﹣3＜t ＜5【答案】A【解析】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝2， ∴b ＝﹣4，则方程x 2+bx ﹣t ＝0，即x 2﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 2+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解， ∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣12＝﹣3，又∵y ＝x 2﹣4x ＝（x ﹣2）2﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.例4：．某班“数学兴趣小组”对函数22||y x x =-的图象和性质进行了探究，探究过程如下：（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值如下表：其中，m =__________．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分．（3）观察函数图象，写出一条性质__________．（4）进一步探究函数图象发现：①方程22||0x x -=有__________个实数根．②关于x 的方程22||x x a -=有4个实数根时，a 的取值范围是__________．【答案】（1）0 （2）（3）当1x >时，y 随x 的增大而增大（4）①3 ②10a -<<．【解析】（1）x=-2时，m=x 2-2l-2l=0；．（2）如图所示（3）由函数图象知：1x >时y 随x 的增大而增大；函数图像关于y 轴对称;（4）如图：①22||=0x x -时即0y =，∴令x 轴有3个交点，分别是2-、0、2；即答案为3;②由函数图象知：关于x 的方程22||x x a -=有4个交点，∴a 的取值范围是10a -<<．总结：本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.三、练习1．已知二次函数(1)(1)37y x a x a a =---+-+(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共点，且当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( )A ．2a <B ．1a >-C ．12a -<≤D ．12a -≤<【答案】D【解析】(1)(1)37y x a x a a =---+-+22236x ax a a =-+-+，抛物线与x 轴没有公共点， 22(2)4(36)0a a a ∴∆=---+<，解得2a <，抛物线的对称轴为直线 22a x a -=-=，抛物线开口向上， 而当1x <-时，y 随x 的增大而减小，1a ∴≥-，∴实数a 的取值范围是12a -≤<，故选D ．2．如图所示，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，OA OC =，对称轴为直线1x =，则下列结论：①0abc <；②11024a b c ++=；③10ac b -+=；④2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴0a <， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a =-=，∴20b a =->，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc <，所以①正确；∵2b a =-， ∴102a b a a +=-=，∵0c >， ∴11024a b c ++>，所以②错误；∵(0,)C c ，OA OC =，∴(,0)A c -，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=，∴10ac b -+=，所以③错误；∵(,0)A c -，对称轴为直线1x =，∴(2,0)B c +，∴2c +是关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的一个根，所以④正确；综上正确的有2个，故选B.3．已知0m >，关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为1212,()x x x x <，则下列结论正确的是（ ）A ．1212x x <-<<B ．1212x x -<<<C ．1212x x -<<<D ．1212x x <-<<【答案】A【解析】解：关于x 的一元二次方程()()120x x m +--=的解为12,x x ，可以看作二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点的横坐标，∵二次函数()()12m x x =+-与x 轴交点坐标为()()1,0,2,0-，如图：当0m >时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时1x <-，或2x >；又∵12x x <∴121,2x x =-=；∴1212x x <-<<，故选：A ．4．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c＝0，所以△=1-4c>0，又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，所以函数y= x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc-⎧⎨++⎩＞＜，解得c＜﹣2，故选B.5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线一定过原点②方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，③a﹣b+c＜0；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0；⑤当x＜2时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；②∵抛物线与x轴的交点坐标为：（0，0），（4，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝0或x＝4，正确；③∵当x＝﹣1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a﹣b+c＞0，结论③错误；④当0＜x＜4时，ax2﹣bx+c＜0，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故选：C ．6．抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230x bx t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．211t ≤<B ．2t ≥C ．611t <<D ．26t ≤<【答案】D【解析】∵23y x bx =++的对称轴为直线1x =，∴2b =-，∴223y x x =-+，∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的有交点，∵方程在14x -<<的范围内有实数根，当1x =-时，6y =，当4x =时，11y =，函数223y x x =-+在1x =时有最小值2，∴26t ≤<，故选D ．7．若函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．﹣2或3B ．﹣2或﹣3C ．1或﹣2或3D ．1或﹣2或﹣3【答案】C【解析】解：当m ＝1时，函数解析式为：y ＝﹣6x + 是一次函数，图象与x 轴有且只有一个交点，当m ≠1时，函数为二次函数，∵函数y ＝（m ﹣1）x 2﹣6x + m 的图象与x 轴有且只有一个交点，∴62﹣4×（m ﹣1）× m ＝0，解得，m ＝﹣2或3，故选：C ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和正比例函数y ＝﹣13x 的图象如图所示，则方程ax 2+（b + 13）x +c ＝0（a ≠0）的两根之和（ ）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】解：设20(0)ax bx c a ++=≠的两根为x 1，x 2，∵由二次函数的图象可知12x x 0+＜，a 0＞， 0b a∴-<． 设方程210(0)3ax b x c a ⎛⎫+++=≠ ⎪⎝⎭的两根为m ，n ，则1133b b m n a a a++=-=-- 010300a a b am m >∴-<-<∴+< . 故选：C ．9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的对称轴是直线x ＝1，与x 轴一个交点A （3，0），则与x 轴的另一个交点坐标是（ ）A ．（0，12-）B ．（12-，0）C ．（0，﹣1） D ．（﹣1，0）【答案】D【解析】解：∵点A 的坐标为（3，0）， ∴点A 关于x ＝1的对称点的坐标为（﹣1，0）． 故选：D ．10．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____. 【答案】92m >【解析】∵二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点，∴△＜0，∴（-6）2-4×2×m ＜0， 解得：92m >； 故答案为：92m >．11．抛物线2243y x x =--，当14x -≤≤时，y 的取值范围是__________． 【答案】513y -≤≤【解析】解：根据二次函数的解析式2243y x x =--可得 由a=2>0，可得抛物线的开口向上 对称轴为：41222b x a -=-=-=⨯ 所以可得在14x -≤≤范围内，二次函数在11x -≤≤ ，y 随x 的增大而减小，在14x <≤ 上y 随x 的增大而增大.所以当1x = 取得最小值，最小值为：2435y =--=- 当4x =取得最大值，最大值为：22444313y =⨯-⨯-= 所以513y -≤≤ 故答案为：513y -≤≤12．抛物线223y x x =--与x 轴的交点坐标是_____【答案】(10)-，，(3,0) 【解析】令y=0，则x 2-2x-3=0，解得x=3或x=-1．则抛物线y=x 2-2x-3与x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）．故答案为（3，0），（-1，0）．13．已知函数 的图象如图所示，若直线 与该图象恰有两个不同的交点，则的取值范围为_____．【答案】【解析】解：直线 与该图象恰有三个不同的交点， 则直线与 有一个交点， ∴ ，∵与 有两个交点， ∴ ， ， ∴， ∴； 故答案为．14．抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx-+=-的解是___________ 【答案】12x =-，25x =.【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b a c a =-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x －1)2＋c ＝b －bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+， 化为：23100x x --=， 解得：12x =-，25x =， 故答案为：12x =-，25x =.15．已知m ，n 是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1＝0（其中a ＜b ）的两根，且m ＜n ，则a ，b ，m ，n 的大小关系是_____． 【答案】m ＜a ＜b ＜n【解析】∵函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴的交点坐标的横坐标为a 与b ， 二次函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）﹣1相当于y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）向下平移一个单位， 又∵二次项系数为1，开口向上，如图所示：∴由图可得：m ＜a ＜b ＜n ． 故答案为：m ＜a ＜b ＜n ．16．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >． 故答案为：3x <-或1x >．17．如图，直线y ＝mx +n 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 交于A （﹣1，p ），B （4，q ）两点，则关于x 的不等式mx +n ＜ax 2+bx +c 的解集是____．【答案】﹣1＜x ＜4．【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x ＜4时，直线y ＝mx+n 在抛物线y ＝ax 2+bx+c 的下方， ∴不等式mx+n ＜ax 2+bx+c 的解集为﹣1＜x ＜4．故答案为：﹣1＜x ＜4．18．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【解析】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2， 当x=2时，y=－5； 当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).19．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下乙写错了常数项，列表如下：通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【答案】(1)2323y x x =-++；(2)13≤；(3)103k <. 【解析】解：（1）由甲同学的错误可知c=3， 由甲同学提供的数据选x=-1，y=6；x=1，y=2，有6323a b a b =-+⎧⎨=++⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩，∴a=1,由甲同学给的数据a=1，c=3是正确的；由乙同学提供的数据，可知c=-1，选x=-1，y=-2；x=1，y=2，有2121a b a b -=--⎧⎨=+-⎩， ∴12a b =⎧⎨=⎩， ∴a=1，b=2，∴y=x 2+2x+3；（2）y=x 2+2x+3的对称轴为直线x=-1，抛物线开口向上，∴当-1x ≥时，y 的值随x 的值增大而增大； 故答案为-1≥；(3)方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，即x 2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根，∴()4-430k ∆=->， ∴2k >；20．已知抛物线232y ax bx c =++.（1）若1a b ==，1c =-，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；（2）若1a b ==，且当11x -<<时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围. 【答案】（1）()1,0-和1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）13c =或51c -<≤- 【解析】（1）当1a b ==，1c =-时，抛物线为2321y x x =+-，方程23210x x +-=的两个根为11x =-，213x =.所以该抛物线与x 轴公共点的坐标是()1,0-和1,03⎛⎫⎪⎝⎭.（2）当1a b ==时，抛物线为232y x x c =++，且与x 轴有公共点.对于方程2320x x c ++=，判别式4120c ∆=-≥，有13c ≤.①当13c =时，由方程213203x x ++=，解得1213x x ==-，此时抛物线为21323y x x =++与x 轴只有一个公共点1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当13c <时，11x =-时，1321y c c =-+=+，21x =时，2325y c c =++=+.由已知11x -<<时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为13x =-，应有1200y y ≤⎧⎨>⎩，即1050c c +≤⎧⎨+>⎩，解得51c -<≤-.综上，13c =或51c -<≤-. 21．已知函数()21y x m x m =-+-+（m 为常数）. （1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（ ）. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2（2）求证：不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上. （3）当23m -≤≤时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.【答案】（1）D （2）详见解析；（3）当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤. 【解析】（1）因为()()()2214110m m m ∆=--⋅-⋅=+≥，故选D.（2）配方得()2221(1)124m m y x m x m x -+⎛⎫=-+-+=--+⎪⎝⎭， 所以该函数的图象的顶点坐标为()211,24m m ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. 把12m x -=代入()21y x =+，得221(1)124m m y -+⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 因此，不论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21y x =+的图象上.（3）设函数的图象的顶点纵坐标()214m z +=.当1m =-时，z 有最小值0.当1m <-时，z 随m 的增大而减小；当1m >-时，z 随m 的增大而增大.又当2m =-时，()221144z -+==；当3m =时，()23144z +==.因此，当23m -≤≤时，该函数的图象的顶点纵坐标z 的取值范围是04z ≤≤.。
初中九年级数学上册第22章二次函数22.2二次函数与一元二次方程课件新版新人教版0
★情景问题引入★ 某火车站在地面上欲建造一个圆形喷水池，如图，点 O 表示喷水池的水面 中心，OA 表示喷水柱子，水流从点 A 喷出，按照图中所示的平面直角坐标系， 每一股水流在空中的路线都可以用 y＝－12x2＋32x＋78来描述，那么水池的半径最 少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？
知识管理
1．二次函数与一元二次方程的关系 关 系：
说 明：根据二次函数与一元二次方程的关系，可以解决两个方面的问 题：
(1)当 y 为某一确定值时，可通过解相应方程，求出自变量 x 的值； (2)也可以利用函数图象来找出相应方程的解．
2．二次函数的图象与 x 轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的
关系
∵由图象可知 x＝－1 时该二次函数取得最大值，∴a－b＋c＞am2＋bm＋ c(m≠－1)．
∴m(am＋b)＜a－b，故④正确， ∴正确的有①②④.
当堂测评
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图 22-2-3 所示，则不等式 ax2＋
bx＋c<0 的解集是( C )
A．x>－3
A．－1≤x≤3 B．x≤－1 C．x≥3 D．x≤－1 或 x≥3
图22-2-6
4．[2017·镇江]若二次函数 y＝x2－4x＋n 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 实数 n＝ 4 .
5．[2017·咸宁] 如图 22-2-7，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y ＝ax2＋bx＋c 交于 A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于 x 的不等 式 mx＋n>ax2＋bx＋c 的解集是 x＜－1或x＞4 .
(1)该函数的图象与 x 轴公共点的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
最新人教版初中九年级上册数学【第二十二章 22.2二次函数与不等式】教学课件
＝1 或 ＝2
1＜2
1＜＜2
＜1 或 ＞2
图像
【答疑过程】
例 1 已知二次函数 = − − .
(1) 画出二次函数的图象(如图 1)；
(2)顶点在第______象限；
(3)对称轴为直线_______；
(4)与轴的交点坐标为____________；
(5)方程 − − = 的解为________；
（3）看清不等号方向（大于零还是小于零）；
（4）写出满足不等式的解集.
2.常用的数学方法：
图象法和数形结合法、观察法.
谢谢观看!
（答疑）
【学习目标】
通过对一道例题的深度剖析，进一步
理解解决二次函数与不等式问题过程中，
数形结合思想的运用以及价值。
【教学回顾】
抛物线 1＝2+b+c 与2＝k+b的交点(1,1)，(2,2)(1
＜2)
＞0
＜0
1＞2
＜1 或 ＞2
1＜＜2
1＝2
＝1 或 ＝2
(6)取什么值时，函数值大于 0?
(7)取什么值时，函数值小于 0?
(8)取什么值时，函数值等于 0?
【答疑过程】
【答疑过程】
y＞0
y＜0
【答疑过程】
(1,3)
(-2,-1)
【
课堂小结
1.解题一般步骤：
（1）看图象找交点；
（2）确定交点坐标（关键是横坐标）；
课堂小结
1.解不等式时灵活应用图象法与数形结合
法；
课堂小结
3.解题一般步骤：
（1）看图象找交点；
（2）确定交点坐标（关键是横坐标）；
（3）看清不等号方向（大于零还是小于零）；
22.2.2二次函数与一元二次不等式--新人教版初中数学导学案九年级上册《二次函数》【一流精品】
课题： 22.2.2二次函数与一元二次不等式【学习目标】1. 正确理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法；2. 理解一元二次不等式、一元二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式.【学习重点】从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，一元二次不等式的解法.【学习难点】理解二次函数与一元二次不等式解集的关系.【课前预习案】复习1：解下列不等式：①112x>-；②112x->；③1102x-+>.探究一：一元二次不等式的定义制作一个高为2m的长方体容器，底面矩形的长比宽少1m，并且长方体的容积大于12m3,问底面矩形的宽取值范围？一元二次不等式的定义：只含未知数，并且未知数最高次数为的不等式，称为一元二次不等式.探究二：解一元二次不等式解一元二次不等式：①x2-x-6>0 ②x2-x-6<0第一步：解一元二次方程x2-x-6=0第二步：画出二次函数y= x2-x-6的草图第三步：写出不等式的解集：归纳：方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标，不等式的解集即函数图象在x轴上方或下方图象所对应x 的范围。
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .总结出：解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0 (a>0) （标准形）的步骤是：探究三.二次函数，一元二次方程，一元二次不等式的关系例2：解不等式4x2+1>4x 例3：解不等式- x2 + 2x – 3 >0练习：解下列一元二次不等式：（1）3x2-7x+2<0 (2)-6x2-x+2≤0【课末达标案】1、不等式(3x+1)(2x-1)≤０的解集是（ ） Ａ．x ≤－31或x ≥21 Ｂ．－31＜x ＜21 Ｃ.x ＜－31或x ＞21 Ｄ－31≤x ≤21． 2、不等式(x+5)(3-2x)≥６的解集是（ ）A ．ｘ≤－１或ｘ≥29 B.－１≤ｘ≤29 C.x ≤-29或x ≥１ D.－29≤ｘ≤１ 3、不等式(21－x)(31 -x)＞0的解集为（ ）A.31＜x ＜21B.x ＞21C.x ＜31D.x ＜31或x ＞21 4、不等式3x ２-16x+16＞0的解集是 . 5、在下列不等式中,无解的是（ ）A.2x ２-3x+2＞０B.x ２+4x+4≤0C.4-4x-x ２＜0D.-2+3x-2x ２＞06、若函数y=ax ２+bx+c(a ≠０)图象的开口向下,且与x 轴的交点的坐标为x １,x ２（x １＜x ２),则不等式ax ２＋bx+c ＜0的解集为（ ）A.x 1＜x ＜x 2 B ．x ２＜x ＜x １ C ．x ＜x １或x ＞x ２ D ．x ＜x ２或x ＞x １7、已知二次方程ax ２＋bx+c=0的两个根是－2,3,a ＞0,那么ax ２+bx+c ＞0的解集是（ ） A.x ＜－2或x ＞3 B.x ＜－3或x ＞2 C.－2＜x ＜3 D ．－3＜x ＜2 8、解下列不等式（组）：(1) 0532>+-x x （2）0122<--x x （3）01272<++x x（4）0652≤--x x （5）5x+2≥3x 2 （6）（x-2）（3x-5）>0(7) 2245x x ≥+ (8) 3x-x 2<0 (9)2522<-）（x(10)212x x <+ (11)01242<--x x (12)012532>-+x x(13)0442>-+-x x (14)2230x x --+≥ (15)0232≥-+xx【课后拓展案】基础达标： 解下列一元二次不等式：1.0652>++x x2.0672≥+-x x3.0122>-+x x4.2230x x --+≥5.0262≤+--x x6.0142562≤++x x7.0941202≤+-x x 8.(2)(3)6x x +-<应用提高： 10.不等式组⎩⎨⎧+>+<+1,159m x x x 的解集是x ＞2，则m 的取值范围是( )．(A)m≤2(B)m≥2(C)m≤1(D)m≥111.(1) 若不等式012>++mx x 的解集为全体实数，则m 的取值范围是_____________. (2) 不等式220mx mx +-<的解集为全体实数，则实数m 的取值范围为 .思维拓展：12、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围．。
《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿
《22.2二次函数与一元二次方程》说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用《二次函数与一元二次方程》是人教版九年级上册第22章第二节的教学内容.它既是一次函数与一元一次方程关系的延续.又为高中数学求一元二次不等式的解集以及三个“二次”的关系进一步探讨奠定基础.2、重难点的确点重点：从数和形两个角度理解二次函数与一元二次方程的关系；掌握二次函数与一元二次方程的互相转化问题.难点：灵活运用二次函数与一元二次方程的关系解决问题；利用函数的图象求一元二次方程的近似解.二、目标分析知识与技能：掌握二次函数与一元二次方程的联系.数学思考：运用类比、猜想的数学方法解决实际问题.解决问题：经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，认识到事物的互相联系与转化.情感态度：让学生在合作探究中培养学生合作学习的良好意识和团结协作的精神.三、学情分析已形成的：1、能理解二次函数的性质、图象，有一定看图识图能力，并能画一次函数、二次函数的草图.2、能熟练求解一元一次方程与一元二次方程的根.有待形成、提升的：1、由特殊到一般的归纳总结能力.2、理解二次函数与一元二次方程的联系和研究时互相转化的数学思想及数形结合思想.3、用函数的观点解决问题的应用意识.四、教法学法分析1、教法分析在本节课中我采用情景教学法，观察发现法和探讨法为主，多媒体演示为辅的教学方法进行教学.以学生活动为主线，引导学生在观察、操作、合作、交流等具体过程中突破本节课的难点，在学习活动中，尽量让每一位学生积极参与，最终让他们学会学习.2、学法分析通过观察发现、合作交流、归纳总结完成本节课的教学.五、教学过程(一)复习引入活动1:问题1：一次函数与一元一次方程有怎样的联系？师生活动：老师引导，学生回答，最后分别从数与形这两个角度得出一次函数与一元一次方程的关系.问题2：类比猜想一下二次函数与一元二次方程的联系？师生活动：老师展示问题，学生回答.得出当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，则得到了一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)；若把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中的常量0变为变量y ，则得到二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0).设计的意图：在学生已有的数学基础上，采用类比的学习方法，探索新知.（二）探究新知活动2：问题：如图，以40m ／s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h= 20t-5t 2问：(1)小球的飞行高度能否达到15m?如能,需要多少飞行时间?(2)小球的飞行高度能否达到20m?如能,需要多少飞行时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5 m ？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？师生活动：第（1）问师生共同分析，先用代数的方法解答，然后引导学生用图象法对此问进行解释和分析.第（2）问由学生分析并展示过程，同时让学生用图象演示为什只有一个时间小球的飞行高度达到20m ？接着老师又引导学生从二次函数的性质（即二次函数的最大值）来说明为什么只有一个时间？剩下的学生独立完成，学生代表分析并展示过程.设计的意图：让学生用数与形这两种不同的方法解决实际问题.活动3：小组合作问题：根据刚才例题的讲解，类比一次函数与一元一次方程的联系，现在以小组为单位对二次函数与x 轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系进行讨论，并请代表展示结果.二次函数的图象与x 轴交点横坐标与一元二次方程根的关系：（1）“数”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的函数值y=0时相应的自变量的值即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根；（2）“形”：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标.即为一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0)的根.设计的意图：通过学生合作交流，得出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象和x 轴交点的横坐标与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的关系，同时培养学生合作学习的能力.活动4：观察发现（1）观察二次函数①y=x 2+x-2，②y=x 2-6x+9，③y=x 2-x+1的图象，回答下列问题：函数与x 轴的交点的个数是：① 个② 个③ 个.函数与x 轴交点的横坐标为：① ② ③ .22y x x =+-21y x x =-+269y x x =-+（2）已知一元二次方程①x 2+x-2=0，②x 2-6x+9=0,③x 2-x+1=0，则一元二次方程根的情况：①Δ 0,有 根 ②Δ 0,有 根，③Δ 0,有 根. 一元二次方程的解是：① ，② ,③ .思考：二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)与x 轴交点情况与一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的根0 的情况有怎样的联系？师生活动：老师展示问题，学生观察填空.通过观察（1）与（2）的结果，对思考问题进行合作讨论.设计意图：通过学生讨论、观察，得出判别式和二次函数与x 轴交点个数的情况的关系.并让学生掌握特殊到一般的学习方法.（三）归纳新知 二次函数与一元二次方程的关系：师生活动：通过以上环节的探究，教师指导学生思考归纳，并展示结果。
22.2.2二次函数与一元一次不等式
B 4
x
五点法定位作图
函数图像的顶点、图像与x,y坐标轴的交点，以及图 像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
y X=-b/2a
2 y=ax +bx+c
b ( , c) a
(0,c)
o
x
1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4 a
x
2
x
课堂练习
练习1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 的公共点是(－2，0)， (4，0)，求
这条抛物线的对称轴．
2.如图22-2-4是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过
点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，则图象与
x轴的另一个交点坐标是
(-1，. 0)
利用五点法画二次函数y=x2-x-6的图象。
25 1 1 （—，-— ） 直线x=— 4 2 （1）顶点坐标是__________ 对称轴是_________ 2
x1 2, x2 （2)方程x2-x-6=0的两个根是_________
y 1 x=— 2
3
（3）函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0 时,y=0
(-2,0) 0 (0,-6)
x (3,0)
当 x=-2或x=3
当 -2<x<3
时,y<0
(1,-6) （4）求不等式 2 25 1 （—，-— x<-2或x>3 4） 2
[ 注意 ] 当二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图 象与 x 轴有交点时，其交点横坐标就是方程 ax2 ＋bx＋c＝0的根．
1.已知二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示, 则一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解 是 x1 1, x2 .4
人教版九年级数学上册《22.2.2 利用函数的图象解一元二次方程》教学课件
知2－练
1 抛物线y＝ax2＋bx＋ c(a<0)如图，则关于x的 不等式ax2＋bx ＋c>0的解集是( C ) A．x<2 B．x>－3 C．－3<x<1 D．x<－3或x>1
知2－练
2 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋ bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的 是( C ) A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6 C．若点(－2，m)，(－5，n) 在抛物线上，则m＞n D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两 根为－5和－1
人教版九年级数学上册
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
第2课时 用函数的图象解一 元二次方程（不等式）
1 课堂讲解 用图象法求一元二次方程的近似解
用图象法求一元二次不等式的解集
2 课时流程
逐点 导讲练
二次方程有着 紧密联系，我们是否可以利用二次函数的图象 求一元二次方程的根呢？
知2－讲
解：∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x2－4x)＋5 ＝－(x2－4x＋4)＋9＝－(x－2)2＋9.
∴抛物线的顶点坐标为(2，9)，对称轴为直线x＝2. 令－x2＋4x＋5＝0，即x2－4x－5＝0， ∴x1＝5，x2＝－1，
∴抛物线与x轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)． 令x＝0，则y＝5，即抛物线与y轴的交点为(0，5). 由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为(4，5)．
如何利用函数图象解一元二次不等式呢？
归纳
知2－讲
画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式 ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应 的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集 为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集 合.如下表：
部编人教版九上数学第22章 二次函数 22.2.2 用二次函数的图象解一元二次方程(不等式)【习题课件】
第二十二章 二次函数
第2节 二次函数与一元二次方程 第2课时 用二次函数的图象解一元
二次方程（不等式）
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横坐标；－
b a
x－
c a
；
1 y＝x2 ；y＝－ b x－ c；3.3
答案显示
7D
8B
3D
6
x1 ＜ x ＜ x2 ； x<x1或x＞x2
看成抛物线y1＝mx2－4mx＋2n－1位于直线y＝－1上方部分的
点的横坐标，由图象可知，此时点的纵坐标有正有负，即对应
的函数值有正有负，故⑤错误． 【答案】B
课后训练
10．小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的解” 总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x2－x－1＝0的两个根． (1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分
课后训练
12．(中考•滨州)根据下列要求，解答相关问题． (1)请补全以下求不等式－2x2－4x≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函 数y＝－2x2－4x，并在下面的坐标系(如图①)中画出二 次函数y＝－2x2－4x的图象(只画出图象即可)；
略
课后训练
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x2－ 4x＝0的解为_x_1_＝__0_，__x_2＝__－__2___，并用锯齿线标示出 函数y＝－2x2－4x的图象中y≥0的部分；
(1)直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根：
___x_1＝__1_，__x_2_＝__3_______________________;
(2) 直 接 写 出 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0 的 解 集 ： ___1_＜__x_＜__3___________________________;
第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数知识点一 二次函数的定义1.二次函数的定义:一般地，形如)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的函数，叫做二次函数.2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的形式，因此，把)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 叫做二次函数的一般式3.二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 中y x ,是变量，c b a ,,是常量.自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于 0的实数.知识点二 实际问题中的二次函数22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质理解 题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系列函数 关系式22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质第一课时 二次函数k ax y +=2的图像和性质第二课时 二次函数()2h x a y -=的图像和性质第三课时 二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质22.1.4 二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的图象和性质第一课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质知识点一 二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的关系 利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:()k h x a y +-=2知识点二 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质 1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，与抛物线2ax y =的形状相同，位置不同，利用配方法可以将c bx ax y ++=2转化成顶点式，即a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 2. 二次函数c bx ax y ++=2的性质（1）当0>a 时，抛物线开口向上，对称轴为直线a bx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 44,22c bx ax y ++=20>a0<a开口方向 向上 向下对称轴 直线ab x 2-= 直线ab x 2-= 顶点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22 增减性当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大最值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最小值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最大值知识点三 二次函数c bx ax y ++=2的图象与系数c b a ,,之间的关系 系数 图像的特征 系数的符号a开口向上 0>a 开口向下0<a b对称轴为y 轴 0=b对称轴在y 轴左侧同号b a ,对称轴在y 轴右侧 异号b a ,c经过原点0=c 与y 轴正半轴相交 0>c 与y 轴负半轴相交0<c第二课时 用待定系数法求二次函数的解析式知识点一 用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题便捷。
人教版九年级上第二十二章 二次函数 22.2 二次函数一元二次方程
22.2 二次函数与一元二次方程一、教学目标（一）学习目标1．了解一元二次方程的根的几何意义，知道抛物线与x 轴的三种位置关系对应着一元二次方程的根的三种情况.2. 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. （二）学习重点：1. 二次函数与一元二次方程之间的联系.2. 用图象法求一元二次方程的近似根并且估算.（三）学习难点：1. 理解一元二次方程的根在二次函数中的意义.2．用函数观点看一元二次方程，二次函数与一元二次方程的区别与联系. 3. 体会数形结合解决问题的思想方法.二、教学设计（一）课前设计 1. 预习任务: 二次函数2yax bx c 的图象与x 轴的交点有三种情况：①有两个交点，②有一个交点，③没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：①有两个不相等的实数根，②有两个相等的实数根，③没有实数根(二)课堂设计1. 知识回顾（1）二次函数的定义：形如20yax bx c a b c a（、、为常数，）的函数，叫做二次函数.（2）二次函数的图象和性质：二次函数2y ax bx c 的图象是一条抛物线，当0a 时，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小，当2bx a时，y 随着x 的增大而增大； 当0a 时，当2bxa时，y 随着x 的增大而增大，当2bx a时，y 随着x 的增大而减小. （3）一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）（4）一元二次方程20ax bx c 的根的情况怎样判定：用根的判别式：ac b d 42-= ①当d ＞0时，方程20ax bx c 有两个不相等的实数根； ②当d=0时，方程20ax bx c 有两个相等的实数根； ③当d<0时，方程20ax bx c 没有实数根. 2. 问题探究探究一 二次函数与一元二次方程之间的联系 重点、难点知识★▲ ●活动① 通过实际问题，研究二次函数与一元二次方程之间的联系问题 如图，以40m s 的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位: m ）与飞行时间t （单位: s ）之间具有函数关系 师问：考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 一般地，我们可以利用二次函数2y ax bx c 深入讨论一元二次方程20ax bx c . 师问：二次函数223yx x ，221yx x ，222yx x 的图象如下图所示，每个图象与x 轴有几个交点？223yx x 的图象 221yx x 的图象 222y x x 的图象师问：一元二次方程2230x x ，2210x x 有几个实数根？用判别式验证一下. 一元二次方程2220x x 有实数根吗？.师问：二次函数2yax bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程20ax bx c 的根有什么关系？ 总结：一般地，从二次函数2y ax bx c 的图象可得如下结论：（1）抛物线2yax bx c 与x 轴的交点有三种情况：有两个交点，有一个交点，没有交点.这对应着一元二次方程20ax bx c 的根的三种情况：有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，没有实数根.反之亦然.（即：由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数的图象与x 轴的位置关系） （2）如果抛物线2y ax bx c 与x 轴有交点，交点的横坐标是0x ，那么当0xx 时，函数值是0，因此0xx 是一元二次方程20ax bx c 的一个根.由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的. 探究二 利用二次函数的图象求一元二次方程的根 ●活动② 通过例子，解决问题例 利用函数图象求方程2220x x 的实数根（结果保留小数点后一位）.解：画出函数222yx x 的图象（图22.2－3），它与x 轴的公共点的横坐标大约是7.0-、2.7，所以方程2220x x 的实数根为7.01-≈x ，7.22≈x（图22.2－3）我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根. 观察函数222yx x 的图象，可以发现，当自变量为2时函数值小于0（点(2,2)在x 轴的下方），当自变量是3时函数值大于0，（点(3,1)在x 轴的上方）.所以抛物线222yx x 在23x 这一段经过x 轴.（抛物线没有间断点，因而抛物线从x 轴下方通过x 轴上方时一定经过x 轴.）也就是说，当自变量取2,3之间的某个值时，函数值为0，即方程2220x x 在23，之间有根. 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.（每次可以将根所在的范围缩小到原来的一半.）例如，取2,3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0,0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5,2.75之间.重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.5625,2.75之间，在2.6875,2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在的范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875 2.750.06250.1，我们可以将2.6875作为根的近似值.你能用这种方法得出方程2220x x 的另一个根的近似值吗（要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1）？这种求根的近似值的方法也适用于更高的一元方程.【总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： （1） 画出函数的图象（可用计算机画）；（2）根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间； 可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. （3）确定方程的近似根.探究三 例题讲解 学以致用 ●活动① 基础性例题例1：抢答：判断下列抛物线与x 轴的交点个数. （1）2242yx x （2）2621yx x （3） 2324y x x【答案】一个交点，没有交点，两个交点． 练习：二次函数2340y x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，则线段AB 长为 ．【答案】13例2 （1）已知二次函数277y kx x 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围为（ ）A ．74kB ．047≠-≥k k 且 C ．74k D ．704k k -≠＞且 【答案】B （2）若二次函数23yx x m 的图象全部在x 轴的下方，则m 的取值范围为 ． 【答案】94m． 练习：抛物线2yx x b 的图象全部在x 轴的上方，则b 的取值范围为 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点问题 【答案】14b●活动② 提升型例题 例3 下表是一组二次函数235yx x 的自变量x 与函数值y 的对应值：x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 y﹣1﹣0.490.040.591.16那么方程2350x x 的一个近似根是（ ） A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.3【答案】C练习：在平面直角坐标系中，抛物线20yax bx c a （）的部分图象如图所示，直线1x 是它的对称轴．若一元二次方程20ax bx c 的一个根1x 的取值范围是123x ，则它的另一个根2x 的取值范围是 ．【答案】210x●活动③ 探究型例题例4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233yx x 与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（ ， ），点B 的坐标为（ ， ），点C 的坐标为（ ， ），点D 的坐标为（ ， ）； （2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；【答案】(1) 0、2，﹣3、0，1、0，﹣1、83；（2）① 35(,)22E -，② 3522EF =或；练习：如图，抛物线2y ax bx =+过A （4，0），B （1，3）两点，点C 、B 关于抛物线的对称轴对称，过点B 作直线BH ⊥x 轴，交x 轴于点H ． （1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C 的坐标，并求出△ABC 的面积；（3）点P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP 的面积为6时，求出点P 的坐标． 【答案】24y x x =-+,3 , （5，﹣5） 3. 课堂总结 【知识梳理】（1）填表：二次函数2y ax bx c =++与一元二次方程20ax bx c ++=的关系：判别24b ac - 0∆> 0∆= 0∆<函数2y ax bx c =++(0)a ≠的图象0a >0a <20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根12,x x有两个相等的实数根122b x x a==-没有实数根抛物线与x 轴 的交点情况有两个交点 有一个交点 无交点（2）一般地：已知二次函数2y ax bx c =++的函数值为m ，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程2ax bx c m ++=．反之，解一元二次方程2ax bx c m ++=又可以看作已知二次函数2y ax bx c =++的值为m 的自变量x 的值．（3）利用二次函数的图象求一元二次方程的根的一般步骤： ①画出函数的图象（可用计算机画）；②根据图象确定抛物线与x 轴的交点分别在哪两个相邻的整数之间；③可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. （可以利用计算器计算）. ④确定方程的近似根. 【重难点归纳】1. 注意抛物线与x 轴的交点与抛物线的对称轴之间的关系：当已知方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x 时，那么抛物线2y ax bx c =++的对称轴为122x x x +=. 2. 注意四个“二次”之间的区别与联系，即二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次三项式；利用他们之间的转化解决问题.（1）二次三项式2ax bx c ++恒正⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴上方0a ⇔>且0∆<； （2）二次三项式2ax bx c ++恒负⇔抛物线2y ax bx c =++全在x 轴下方0a ⇔<且0∆<. 3. 利用二次函数图象求不等式解集的方法：“一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“0,0y y ><或0,0y y ≥≤”，从图象看是指曲线在x 轴上方或x 轴下方时的x 值（对应的自变量x 的取值范围）。