3.2.2 直线的两点式方程(2)
课件8：3.2.2 直线的两点式方程
3．本例条件不变，试求与 AB 平行的中位线所在直线方程． [解] 由探究 1 知，kAB＝－38，即中位线斜率 k＝－38，由例题知 BC 中点 为32，－12. 所以由点斜式方程可得，中位线方程为 y＋12＝－38x－32. 即 6x＋16y－1＝0.
[规律方法] 直线方程的选择技巧 1.已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由 其他条件确定直线的斜率. 2.若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线 的一个点或者截距. 3.若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的 交点，就用截距式方程. 4.不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情 况下的直线要单独讨论解决.
(2)线段 AC 的中点为 D(－4,2)，直线 AC 的斜率为12，则 AC 边上的垂直 平分线的斜率为－2，所以 AC 边的垂直平分线的方程为 y－2＝－2(x＋4)， 整理得 2x＋y＋6＝0.
A．3x－y－2＝0 C．x－3y－2＝0
B．x－3y－4＝0 D．3x－y－4＝0－1)，线段 BC 的中点为(2,0)． 因此所求直线方程为0y＋＋11＝2x＋＋11，即 x－3y－2＝0.]
5．已知三角形的三个顶点 A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)． (1)求三角形三边所在直线的方程； (2)求 AC 边上的垂直平分线的方程． [解] (1)直线 AB 的方程为6y－－44＝－x－2－00，整理得 x＋y－4＝0； 直线 BC 的方程为6y－－00＝－x＋2＋88，整理得 x－y＋8＝0； 由截距式可知，直线 AC 的方程为－x8＋4y＝1，整理得 x－2y＋8＝0.
C．3 条
D．4 条
B [①过原点时，直线方程为 y＝－34x. ②直线不过原点时，可设其方程为ax＋ay＝1， ∴4a＋－a3＝1，∴a＝1.∴直线方程为 x＋y－1＝0. 所以这样的直线有 2 条，选 B.]
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程教案 新人教A版必修2
§3.2.2直线的两点式方程[教材]人教A版数学必修2：第三章直线与方程 3.2直线的方程第2课时[学情分析]我校为一所普通高中，部分学苗基础较差，学生在态度习惯、知识结构、思维品质、数学能力等方面相对薄弱。
本节课是在学生学习完直线的方程第一节：直线的点斜式方程之后，学生已经建立了两种具体的直线方程：点斜式、斜截式的概念及会应用它们求直线方程，并对直线方程、方程直线的概念有了一定的理解和认识，已形成了一定的认知结构。
另外对于两点确定一条直线，直线的纵截距的概念也已经明确清晰，所以对本节课的学习，学生应该具备了一定的认知和实践能力的条件。
但由于部分学生观察、类比、迁移、化归、计算等方面能力的薄弱，可能在两点式方程形式的导出、综合性应用的问题上会有一定难度。
[学习内容分析]直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式，在本大节3.2直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。
但它在体现点斜式方程的应用，衬托点斜式方程的重要性，及为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
本节的主要知识点是两个方程的导出及应用，它们的教学基于点斜式方程，同时引领学生学会一个数学方法即待定系数法，说明这种方法在确定曲线方程问题中是常用的重要方法。
另外把方程思想、数形结合思想贯穿于课堂教学的始终，强调解析几何的一般方法和思想。
通过对两点式、截距式方程形式美的认识，让学生感受数学的对称美、和谐美等美的特质。
通过对两点式方程由分式到整式的变形，为学生了解一般式方程中系数A、B的几何意义（直线的方向向量即为（B，-A），法向量为（A，B）），为学习直线的参数方程做一铺垫。
同时教给学生这个整式形式的方程是已知两点求直线方程并化为一般方程的一个小技巧，并为学生感性认识行列式为进一步学习高等数学埋下伏笔。
以体现搭建共同基础，提供发展平台的课程理念。
[教学目标]1.知识与技能：掌握直线的两点式、截距式方程并会用于求直线方程的相关问题；2.过程与方法：理解两点式方程的导出过程，掌握求直线方程的直接法及间接法（待定系数法）；3.态度、情感、价值观：通过对方程形式美的发现，感受数学美和数学文化，进一步体会方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。
3.2.2直线的两点式方程
(3)322直线的两点式方程掌握直线方程的两点式的形式及适用范围； 能熟练利用条件求出直线方程； 了解直线方程的截距式的形式特点及适用范围。
直线方程两点式。
直线两点式方程的推导及对这种形式的理解。
教学目标:(1)(2) (3) 教学重点:教学难点:1、 A. C.2、 、复习回顾：已知直线ax+by+c=0的图象经过一、 若 c>0,则 a>0,b>0 若 c<0,则 a>0,b<0 直线 I:y=ax+2 与以 A(i,4)、 已知直线I 经过两点P i (i, 二、四象限，则(c>0,则 a<0,b>0c<0,则 a>0,b>0BY D.若 B(3,i)两点为端点的线段有交点，贝y a 的取值范围是2), P 2 (3, 5)，求直线I 的方程.二、数学建构问题 1、 已知两点P i (x i , y i ). P 2(X 2, y 2)其中(x i M X 2, y i M y 2).求通过这两点的直线方程问题 若点P i (x i , y i ), P 2 (X 2, y 2)中有X i = X 2,或y i = y 2,此时这两点的直线方程是什么?问题 已知直线I 与X 轴的交点为A(a,O),与y 轴的交点为B(O,b),其中a 丰0,b 丰0,如何用两点式表示直线的方程？此方程适用的条件是什么？三、数学应用例1、已知直线I 与x 轴的交点为 A(a,0),与y 轴的交点为B (0,b),其中a M 0, b 丰0. 求直线I 的方程.例2、 (1) 已知三角形的三个顶点 A(£,0 ),B (3, -B),C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，BC 边上中线所在直线的方程.例3、求经过点 A(4,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。
例4、求与直线6x+y-3=0垂直，且和两坐标轴围成的三角形的面积为 3的直线方程。
高中数学 必修二(3.2.2 直线的两点式方程)示范教案 新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程教学过程导入新课思路1.上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l 经过两点P 1(1,2),P 2(3,5),求直线l 的方程.（2）已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. 思路2.要学生求直线的方程，题目如下：①A(8，-1)，B(-2，4)；②A(6，-4)，B(-1，2)；③A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k 及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?推进新课新知探究提出问题①已知两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(其中x 1≠x 2,y 1≠y 2)，求通过这两点的直线方程. ②若点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)中有x 1=x 2或y 1=y 2，此时这两点的直线方程是什么？ ③两点式公式运用时应注意什么？④已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中a ≠0,b≠0，求直线l 的方程.⑤a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？⑥截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:①教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.∵x 1≠x 2,k=1212x x y y --, ∴直线的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1). ∴l 的方程为y-y 1=1212x x y y --(x-x 1).① 当y 1≠y 2时,方程①可以写成121121x x x x y y y y --=--.② 由于②这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：②式是由①式导出的，它们表示的直线范围不同.①式中只需x 1≠x 2，它不能表示倾斜角为90°的直线的方程；②式中x 1≠x 2且y 1≠y 2，它不能表示倾斜角为0°或90°的直线的方程，但②式相对于①式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y 1)(x 2-x 1)=(x-x 1)(y 2-y 1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程. ②使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③引导学生注意分式的分母需满足的条件.④使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l 的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程.因为直线l 经过(a ，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得a a xb y --=--000.① 就是by a x +=1.② 注意：②这个方程形式对称、美观,其中a 是直线与x 轴交点的横坐标，称a 为直线在x 轴上的截距，简称横截距；b 是直线与y 轴交点的纵坐标，称b 为直线在y 轴上的截距，简称纵截距.因为方程②是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，所以方程②式叫做直线方程的截距式. ⑤注意到截距的定义，易知a 、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：①若x 1≠x 2且y 1≠y 2,则直线l 方程为121121x x x x y y y y --=--. ②当x 1=x 2时，直线与x 轴垂直，直线方程为x=x 1；当y 1=y 2时，直线与y 轴垂直，直线方程为y=y 1.③倾斜角是0°或90°的直线不能用两点式公式表示(因为x 1≠x 2,y 1≠y 2). ④by a x +=1. ⑤a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴x 轴交点的横坐标，与y 轴交点的纵坐标，而不是距离.⑥截距式不能表示平面坐标系下在x 轴上或y 轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.应用示例思路1例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.答案：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=0.变式训练已知Rt△ABC 的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C 在原点，直角边AC 在x 轴负方向上，BC 在y 轴正方向上，求斜边AB 所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1活动:根据A 、B 、C 三点坐标的特征，求AB 所在的直线的方程应选用两点式；求BC 所在的直线的方程应选用斜截式；求AC 所在的直线的方程应选用截距式.解：AB 所在直线的方程，由两点式,得)5(3)5(030----=---x y ,即3x+8y+15=0. BC 所在直线的方程，由斜截式,得y=-35x+2,即5x+3y-6=0. AC 所在直线的方程，由截距式,得25y x +-=1,即2x-5y+10=0. 变式训练如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2活动:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ ，MN ，x 轴，y 轴则不能用截距式，其中PQ ，MN 应选用斜截式；x 轴，y 轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=2224=.因此A 、B 、C 、D 的坐标分别为(22,0)、(0,22)、(-22,0)、(0,-22). 所以AB 所在直线的方程是2222yx+=1,即x+y-22=0.BC 所在直线的方程是2222y x+-=1,即x-y+22=0. CD 所在直线的方程是22722-+-x=1,即x+y+22=0. DA 所在直线的方程是22722-+x=1,即x-y-22=0.对称轴方程分别为x±y=0,x=0,y=0.思路2例1 已知△ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点.（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长;（3）求AB 边的高所在直线方程.解：（1）由两点式写方程,得121515+-+=---x y ，即6x-y+11=0. （2）设M 的坐标为（x 0,y 0），则由中点坐标公式,得x 0=242+-=1,y 0=231+-=1, 故M （1，1）,AM=22)51()11(-++=25.(3)因为直线AB 的斜率为k AB =2315+-+=-6，设AB 边上的高所在直线的斜率为k, 则有k×k AB =k×(-6)=-1,∴k=61. 所以AB 边高所在直线方程为y-3=61(x-4),即x-6y+14=0. 变式训练求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程. 解：设直线方程为b y a x +=1,则由题意知,有21ab=3,∴ab=4. 解得a=4,b=1或a=1,b=4. 则直线方程是14y x +=1或41y x +=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0. 例2 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.解：当截距为0时，设y=kx ，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设a y a x +=1或ay a x -+=1,过点A(1,2)， 则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.变式训练过点A(-5,-4)作一直线l ，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5. 答案：2x-5y-10=0,8x-5y+20=0.知能训练课本本节练习1、2、3.拓展提升问题：把函数y=f(x)在x=a 及x=b 之间的一段图象近似地看作直线，设a≤c≤b，证明f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.证明：∵A、B 、C 三点共线，∴k AC =k AB , 即a b a f b f a c c f c f --=--)()()()(.∴f(c)-f(a)= a b ac --［f(b)-f(a)］,即f(c)=f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.∴f(c)的近似值是f(a)+a b ac --［f(b)-f(a)］.。
【数学】3.2.2《直线的两点式方程》课件(新人教A版必修2).pptx
教学目标
• 使学生掌握两点式方程及其应用，直 线的截距式方程，中点坐标公式，并 通过与斜截式方程、斜截式方程的对 比，让学生掌握类比思想。
• 教学重点：两点式方程、截距式方程、 中点坐标公式。
• 教学难点：截距式方程的理解。
§3.2直线的方程（2）
一、复习 1、什么是直线的点斜式方程？ 2、求分别过以下两点直线的方程 (1)A(8,-1)B(-2,4) (2)(2)C(x1,y1)D(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
注：两点式适用于与两坐标轴不垂直 的直线。 练习1：课本第41页1
§3.2直线的方程（2）
2、直线方程的截距式
若直线L与x轴交点为(a,0)，与y轴交点为
(0,b),其中a≠0，b≠0，由两点式，得
y0 xa b0 0a
即 x y 1 ab
a叫做直线在x轴上的截距；
b叫做直线在y轴上的截距.
§3.2直线的方程（2）
例3、过点P(-5,4)的直线L与x轴、y轴分
别交于A、B两点，且P分有向线段 AB
的比是2，求L的方程。
§3.2直线的方程（2）
例4、求过点P(2,3)，并且在两坐标轴上 的截距相等的直线的方程。
变题1：上题中改为求截距的绝对值相 等的直线方程，结果如何？ 变题2：求过点P(2,3)，并且在x轴上的 截距是在y轴上的截距2倍的直线的方 程。
§3.2直线的方程（2）
二、新课
1、直线方程的两点式
若直线L经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，并且
x1≠x2，则它的斜率 代入点斜式，得 y Βιβλιοθήκη y1k y2 y1
y2 x2
xy11x(2xxx11 )
3.2.2直线的两点式方程的教学设计
第三章 直线与方程 3.2 直线的方程3.2.2直线的两点式方程（2课时）主备教师：李劲东 一、内容及解析本节课要学的内容直线的两点式方程指的是已知两点坐标，确定过此两点的直线方程，其核心是直线的两点式方程及推导过程,理解它关键就是要理解过直线的点斜式方程。
学生已经学过直线的点斜式方程和斜截式方程，本节课的内容直线的两点式方程就是在此基础上的延伸。
由于它还与直线的一般方程有紧密的联系,所以在本章有重要的地位，并有着重要的作用,是本章的重点内容。
教学的重点是直线的两点式方程和截距式方程，解决重点的关键是理解直线的点斜式方程，即由直线的点斜式方程推导出两点式方程。
二、目标及解析目标定位：1、掌握直线的两点式.；2、掌握直线的截距式.目标解析：1、掌握直线的两点式，截距式就是经过两点111222(,),(,)P x y P x y 其中1212(,)x x y y ≠≠的直线方程，即1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--；2、截距式：与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0,b)，其中0,0a b ≠≠的直线方程为：1x ya b+=（0,0a b ≠≠）三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的困难是由直线的点斜式方程推导两点式方程的理解，产生这一困难的原因是学生对直线的点斜式方程理解不透彻。
要解决这一困难，就要让学生理解直线的点斜式方程，熟练应用方程，其中关键是直线的两点式方程推导过程的理解。
四、教学支持条件分析在本节课的教学中，可以使用多媒体教学，使用多媒体可以增加教学容量，提高教学效率。
五、教学过程设计 （一）温故知新1、直线的点斜式方程，过点000(,)P x y ，斜率为k 的直线方程为00()y y k x x -=-。
2、已知直线上两点的斜率公式：111(,)p x y ,222(,)p x y ，12()x x ≠，过12,p p 的直线的斜率2121y y k x x -=-.（二）探究新知问题一：什么是直线的两点式方程？【设计意图】遵循由浅及深，由特殊到一般的认知规律。
高中数学3.2.2 直线的两点式方程 (2)
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经 过原点
不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开 心扉。
——培根
4
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
【即时训练】
直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
1
_2_a_b__.
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
a 1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )
A.1
B.- 1
C.- 3
D.2
3
3
2
3
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 4
k b， 2k b，
待定系数 法
解方程组得：kb
1， 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
3.2.2直线的两点式方程 课件(人教A必修2)
令x＝0, 得y＝－2－3k,
栏目 导引
第三章
直线与方程
2 令 y＝0, 得 x＝ ＋ 3. k 2 由题意－ 2－ 3k＝ ＋ 3, k 2 解得 k＝－ 1 或 k＝－ . 3 所以直线 l 的方程为 2 y＋ 2＝－ (x－ 3)或 y＋ 2＝－ (x－3). 3 即为 x＋ y－ 1＝ 0 或 2x＋3y＝0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
y－ 0 x－－5 由两点式得 ＝ , 2－0 0－－5 整理得 2x－5y＋ 10＝0. ∴直线 AC 的方程为 2x－ 5y＋ 10＝ 0. ∵直线 BC 过 B(3, － 3)和 C(0,2), y－ 2 x －0 由两点式得 ＝ . － 3－ 2 3－0 整理得 5x＋3y－ 6＝ 0, ∴直线 BC 的方程为 5x＋ 3y－ 6＝0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
2. 求过点A(4,2), 且在两坐标轴上的截距的绝 对值相等的直线l的方程.
答案: B
栏目 导引
第三章
直线与方程
想一想
1.经过两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)(x1≠x2, y1≠y2) y － y 1 y2 － y1 的直线方程可写为 ＝ 吗？ x－x1 x2－x1 y－ y1 y 2 － y 1 提示: 不可以 . ＝ 中 x≠x1, 即不过 x－x1 x2－x1
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
y
p.
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求 直线的方程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 由已知得：
Q.
解方程组得： O x
3 k b 4 2 k b
用3.2.2直线的两点式方程(高中数学人教版必修二)
课堂小结 想一想：
1．直线的两点式方程 y－ y1 x－ x1 经过两点 P1 (x1， y1 )， P2(x2， y2)(其中 x1≠ x2， y1≠ y2 )的直线的两点式方程为 ＝ . y2 － y1 x2 － x1 与坐标轴垂直的直线没有两点式方程． 2．直线的截距式方程 x y 与两坐标轴的交点分别是 P1 (a,0)， P2 (0， b)(其中 ab≠ 0)的截距式方程为 ＋ ＝ 1. a b 与坐标轴垂直和过原点的直线方程均没有截距式． 3．中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为 (x1，y1 )，(x2，y2)，且线段 P1 P2 的中点 M 的坐标为(x，y)，则 x ＋x x＝ 2 ， y ＋y y＝ 2 .
y
l P1(x1，y1)
x
P2(x2，y2)
说明： （1）这个方程是由直线上两点确定，叫两点式. （2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示；
分子，分母中的减数相同
练 1.求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程 . 习 y 1 x2 y 2x 3 (1)P(2，1)，Q(0，-3)
一般的，在两坐标轴上的截距相等的直线有2条， 在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有3条.
练习 1. △ABC的顶点是A（0，5）、B（1，-2）、C（-7，4），求BC边上的中线 所在直线的方程．
四、各类方程的适用范围
直线方程名称 点斜式
直线方程形式
y y0 k ( x x0 )
适用范围
3 1
02
(2)A(0，5)，B(5，0)
(3)C(-4，-5)，D(0，0) 方法小结
y 5 x0 05 50
y x 5
5 y x 4
3.2.2直线的两点式方程 (2)
设其斜率为 k(k≠0)，
则 l 的方程为 y－3＝k(x＋2)．
令 x＝0，得 y＝2k＋3，令 y＝0，得 x＝－3k－2， 于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为
1 2
2k＋3
－3k－2＝4，
即(2k＋3)3k＋2＝±8.若(2k＋3)3k＋2＝8，
解得xy＝＝82，，
故 A(8,0)，B(0,2)．
由直线方程的截距式得 l 方程为8x＋2y＝1， 即 x＋4y－8＝0.
类型三 直线方程形式的灵活选用
[例 3] 已知直线 l 过点 P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面 积为 4，求直线 l 的方程．
[解] 解法 1：显然，直线 l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，
3.2.2 直线的两点式方程
知识点一 直线的两点式方程 [填一填]
经 是
过yy2－两－yy点 11＝xxP2－－1(xxx111 ，
y1) ， P2(x2 ， y2)(x1≠x2 ，叫做直线的 两点式
， y1≠y2) 的 直 线 方 方程，简称 两点式
程 ．
[答一答]
1．过点 A(5,6)和点 B(－1,2)的直线的两点式方程是( )
故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
[变式训练 1] 梯形 ABCD 四个顶点坐标分别为 A(－5，1)，B(1， －3)，C(4,1)，D(1,3)．求该梯形中位线所在直线的方程．
解：∵kAB＝－23，kCD＝－23，∴AB∥CD. 又 AD 中点 M(－2,2)，BC 中点 N52，－1，由直线的两点式方程得梯形 的中位线 MN 所在直线方程为－y－1－22＝52x＋＋22， 化简得 2x＋3y－2＝0.
[答一答]
第三章 3.2.2 直线的两点式方程
3.2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一 直线的两点式方程知识点二 直线的截距式方程知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.1.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示.( × )2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( √ )3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( √ )4.直线y ＝x 在x 轴和y 轴上的截距均为0.( √ )题型一 直线的两点式方程例1 已知A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)，在△ABC 中， (1)求BC 边所在的直线方程； (2)求BC 边上的中线所在直线的方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程解 (1)BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)， 由两点式，得y －(－4)－2－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0，故BC 边所在的直线方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (a ，b )，则a ＝5＋02＝52，b ＝－4＋(－2)2＝－3，所以M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边的中线过点A (－3,2)，所以y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0，所以BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 引申探究若本例条件不变，试求BC 边的垂直平分线所在的直线方程. 解 k BC ＝－4－(－2)5－0＝－25，则BC 边的垂直平分线的斜率为52，又BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫52，－3， 由点斜式方程可得y ＋3＝52⎝⎛⎭⎫x －52， 即10x －4y －37＝0.反思感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标.跟踪训练1 (1)过点A (－2,1)，B (3，－3)的直线方程为( )A.4x －5y ＋13＝0B.4x ＋5y ＋3＝0C.5x ＋4y ＋5＝0D.5x －4y ＋8＝0考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以y －1－3－1＝x －(－2)3－(－2)，所以y －1－4＝x ＋25，化简得4x ＋5y ＋3＝0.(2)(2018·中山高一检测)如图，已知A (1,2)，B (－1,4)，C (5,2).①求线段AB 中点D 的坐标；②求△ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 解 ①因为A (1,2)，B (－1,4)， 所以线段AB 中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫1＋(－1)2，2＋42，即D (0,3).②△ABC 的边AB 上的中线即线段CD ， 因为C (5,2)，D (0,3).所以线段CD 所在的直线方程为y －32－3＝x －05－0，化简可得x ＋5y －15＝0. 题型二 直线的截距式方程例2 求过点A (5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程解 (1)当直线l 在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；(2)当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5,2)，∴5－2＝a ，解得a ＝3，∴l 的方程为x －y －3＝0.综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0或x －y －3＝0.反思感悟 (1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. 跟踪训练2 (1)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为( ) A.y ＝32xB.x ＋y ＝5C.y ＝32x 和x ＋y ＝5D.y ＝－32x 和x ＋y ＝5考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a ，b . 当a ＝b ≠0时，直线方程为x a ＋ya ＝1，∴2a ＋3a ＝1，∴a ＝5，∴x ＋y ＝5， 当a ＝b ＝0时，k ＝32，∴y ＝32x ，综上所述，y ＝32x 和x ＋y ＝5.(2)(2018·株州高一检测)已知直线l 过点A (1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 解 设l ：x a ＋yb＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧12ab ＝4，1a ＋2b ＝1.a 2－4a ＋4＝0，解得a ＝2，所以b ＝4. 直线l ：x 2＋y4＝1，所以l ：2x ＋y －4＝0.直线方程的灵活应用典例 (2018·临沂高一检测)已知△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别为x ＝0，y ＝x . (1)求直线BC 的方程； (2)求直线AB 的方程. 解 如图.(1)因为∠ABC ，∠ACB 的平分线方程分别是x ＝0，y ＝x ， 所以AB 与BC 关于x ＝0对称，AC 与BC 关于y ＝x 对称. A (3，－1)关于x ＝0的对称点A ′(－3，－1)在直线BC 上， A 关于y ＝x 的对称点A ″(－1,3)也在直线BC 上. 由两点式求得直线BC 的方程为y ＝2x ＋5. (2)因为直线AB 与直线BC 关于x ＝0对称， 所以直线AB 与BC 的斜率互为相反数， 由(1)知直线BC 的斜率为2， 所以直线AB 的斜率为－2， 又因为点A 的坐标为(3，－1)，所以直线AB 的方程为y －(－1)＝－2(x －3)， 即2x ＋y －5＝0.[素养评析] (1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.(2)画出图形，借助图形分析A 关于直线x ＝0的对称点A ′在BC 上，A 关于y ＝x 的对称点A ″也在BC 上，体现了直观想象的数学核心素养.(3)分别求出A ′，A ″两点的坐标，再根据两点式求出BC 边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.1.在x 轴，y 轴上的截距分别是－3,4的直线方程是( ) A.x －3＋y4＝1 B.x 3＋y－4＝1 C.x －3－y4＝1 D.x 4＋y－3＝1 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式求直线方程 答案 A2.经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A.x ＝2 B.y ＝2 C.x ＝3 D.x ＝6 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 3.过坐标平面内两点P 1(2,0)，P 2(0,3)的直线方程是( ) A.x 3＋y2＝1 B.x 2＋y 3＝0 C.x 2＋y3＝1 D.x 2－y 3＝1 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 C4.过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 2x －y ＝0或x －y ＋1＝0解析 当直线过原点时，得直线方程为2x －y ＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为x a －ya＝1，将x ＝1，y ＝2代入方程可得a ＝－1， 得直线方程为x －y ＋1＝0.∴直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.5.已知点A (3,2)，B (－1,4)，则经过点C (2,5)且经过线段AB 的中点的直线方程为________. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 2x －y ＋1＝0解析 AB 的中点坐标为(1,3)， 由直线的两点式方程可得y －35－3＝x －12－1，即2x －y ＋1＝0.1.当直线斜率不存在(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)·(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.一、选择题1.经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( ) A.5x ＋3y －25＝0 B.5x －3y －25＝0 C.3x －5y －25＝0 D.5x －3y ＋25＝0考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 B解析 由两点式得：y －0－5－0＝x －52－5，所以得5x －3y －25＝0.2.下列说法中正确的是( )A.经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)来表示B.经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 来表示C.不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb＝1来表示D.经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示 答案 D3.直线x a ＋yb ＝1过第一、三、四象限，则( )A.a >0，b >0B.a >0，b <0C.a <0，b >0D.a <0，b <0 答案 B4.已知M ⎝⎛⎭⎫3，72，A (1,2)，B (3,1)，则过点M 和线段AB 的中点的直线的斜率为( )A.－2B.2C.12D.－12答案 B解析 AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， ∴k MN ＝72－323－2＝2.5.以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A.3x －y －8＝0 B.3x ＋y ＋4＝0 C.3x －y ＋6＝0 D.3x ＋y ＋2＝0考点 中点坐标公式题点 与垂直平分线有关的问题 答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)， 化简为3x ＋y ＋4＝0.6.若直线l 过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b )在直线l 上，则b 的值为( ) A.2 019 B.2 018 C.2 017 D.2 016 考点 直线的两点式方程 题点 直线两点式方程的应用 答案 A解析 由直线的两点式方程得直线l 的方程为 y －(－1)5－(－1)＝x －(－1)2－(－1)，即y ＝2x ＋1，令x ＝1 009，则有b ＝2×1 009＋1，即b ＝2 019.7.过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条 考点 直线的截距式方程题点 利用截距式方程求直线的条数 答案 C解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距都为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条.8.两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )考点 直线的截距式方程 题点 截距式方程的意义 答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 符合. 二、填空题9.过点(1,3)且在x 轴上的截距为2的直线方程是______________. 考点 直线的两点式方程 题点 利用两点式求直线方程 答案 3x ＋y －6＝0解析 由题意知直线过点(2,0)，又直线过点(1,3)，由两点式可得，y －03－0＝x －21－2，整理得3x ＋y －6＝0.10.过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_______________________________________________________________________. 考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,6)， 则l 的截距式方程是x 2＋y6＝1.11.若直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，且过定点A (6，－2)，则直线l 的方程为____________________.考点 直线的截距式方程 题点 利用截距式求直线方程 答案 x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1解析 设直线l 在y 轴上的截距为a (a ≠0)， 则在x 轴上的截距为a ＋1(a ≠－1)， 则l 的方程为x a ＋1＋y a ＝1，代入点A (6，－2)得6a ＋1－2a ＝1，即a 2－3a ＋2＝0，∴a ＝2或a ＝1， ∴直线l 的方程为x 2＋y ＝1或x 3＋y2＝1.三、解答题12.已知△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)，B (－2,6)，C (－8,0).(1)求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程. 考点 中点坐标公式题点 与垂直平分线有关的问题解 (1)由截距式，得边AC 所在直线的方程为 x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0. 由两点式，得边AB 所在直线的方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)由题意，得点D 的坐标为(－4,2)，由两点式，得边BD 所在直线的方程为y －26－2＝x －(－4)－2－(－4)，即2x －y ＋10＝0.13.在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的截距式方程.考点 中点坐标公式题点 求过中点的直线方程解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝⎛⎭⎫x 0＋72，y 0＋32，因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0，解得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，解得y 0＝－3. 即C (－5，－3).(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的截距式方程为x 1＋y －52＝1.14.若直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l 的方程为_______________________.考点 直线的截距式方程题点 利用截距式求直线方程答案 x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0解析 ∵直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，∴直线l 在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l 在两坐标轴上的截距相等，且设为a (a ≠0)，则直线方程为x a ＋y a＝1，即x ＋y －a ＝0. ∵12|a |·|a |＝18，即a 2＝36，∴a ＝±6， ∴直线方程为x ＋y ±6＝0.若l 在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a ，则纵截距为－a (a ≠0)，故直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y －a ＝0. ∵12|－a |·|a |＝18，即a 2＝36， ∴a ＝±6，∴直线方程为x －y ±6＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＋y ±6＝0或x －y ±6＝0.15.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ).(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)令x ＝0，得y ＝a －2；令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1(a ≠－1). ∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴a －2＝a －2a ＋1， 解得a ＝2或a ＝0，∴所求的直线l 方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∵l 不过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0，∴a ≤－1， ∴a 的取值范围为(－∞，－1].。
2015高中数学 3.2.2直线的两点式方程课件 新人教A版必修2.
还有其他做法吗？
简单的做法：
y 1 2 1 x 3 1 3
1 5 化简得：y x 2 2
为什么可以这样做，这样做的根据是什么 ？
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这两点的直线方程 ． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点． ∵ kPP1= kP1P2
教学设计
教学过程
知识回顾 提出问题 小组合作 探究新知 讲练结合 巩固新知 归纳总结 布置作业
温故知新
1
在平面中，由哪些几何条件可以确定一条直线 ？
2
直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为经过直线的点
温故知新
3
直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
y y1 y y1 2 x x1 x2 x1
y y1 x x1 可得直线的两点式方程： y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x 2.两边的分母全为常数 3.分子，分母中的减数相同
探究
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 x x1 写出直线方程呢？
教学设计
教学重点
教材分析
教学难点
直线的 两点式 方程、 截距式 方程
直线方 程的应 用
教学设计
能按要求完成任务， 有合作交流的愿望。
学情分析
优势
劣势
数学基础相对较薄弱， 对学好数学信心不足。
教学设计 教法
教法学法
学法
探究式问题教学法
通过创设情境，用问题去引 领学生思考，通过交流合作 ，让学生在做中学，学生经 历观察、分析、类比、概括 的探究过程。
3.2.2直线的两点式方程2（教学设计）
3.2.2直线的两点式⽅程2（教学设计）3.2.2直线的两点式⽅程（教学设计）编写⼈：崔宝蕊⼀教材分析本节内容选⾃⼈教版⾼中数学教材必修2第三章第2节直线的⽅程，第⼆课时：直线的两点式⽅程.本节内容介绍了直线⽅程的两种表达形式（两点式、截距式）.教材中，在第⼀课时呈现了直线⽅程的两种表达形式（点斜式、斜截式），第⼆课时教学内容的探究过程与第⼀课时类似，直线的两点式⽅程利⽤已有的问题引出，直线的截距式⽅程利⽤例题结论给出，⽅法都较为清晰、简单.不同的直线表达式体现了知识之间的相互联系与转化.⼆学情分析直线⽅程有多种表达形式，学⽣在上⼀节的学习中，已经知道了直线的点斜式⽅程和直线的斜截式⽅程，对于直线⽅程有了初步的了解，并能解决简单问题.在学习新知的过程中，学⽣可以利⽤之前的分析⽅法，借助已有的知识，进⾏探究，对于本节课的教学内容，能借助转化和数形结合等思想⽅法理解问题，解决问题.三教学⽬标基于本节课的教材内容和学情分析，把本节课的教学⽬标设计如下：1.能将新问题转化为已经解决的问题，建⽴直线的两点式⽅程；2.掌握直线的两点式⽅程的表达式及其使⽤条件；3.掌握直线的截距式直线⽅程的表达式及其使⽤条件，建⽴数学知识间的联系；4.学⽣学习过程中，能够积极思考问题，主动解决问题，最终实现运⽤新知求解⼀般问题.四教学重点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学重点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程的推导过程；2.掌握直线的点斜式⽅程并学会运⽤；3.理解直线的截距式⽅程的意义并掌握其表达式.五教学难点基于本节课的教材内容、学情分析、教学⽬标，把本节课的教学难点定位如下：1.理解直线的两点式⽅程与截距式⽅程的推导过程；2.对直线的两点式⽅程与截距式⽅程的应⽤；六教学⽅法整节课以讲授法为主，同时利⽤启发和探究的教学⽅式，引导学⽣学习. 七教学⼿段教学内容以板书呈现为主，结合多媒体演⽰⽂稿辅助教学.⼋教学过程【教师活动】布置例题2例2已知三⾓形的三个顶点)0，5(-A ，)3，3(-B ，)2,0(C ，求BC 边所在直线的⽅程，以及该边上中线所在直线的⽅程.【学⽣活动】选择⽅法，解答问题. 【教师活动】等待学⽣⼤致解决问题后，在⿊板上进⾏演⽰并讲解例题2：解：由已知可画图过)3，3(-B ，)2,0(C 的两点式⽅程为 030232--=---x y ，整理得0635=-+y x . 这就是BC 边所在直线的⽅程.BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为 )223,203(+-+，即)2 1,23(-. 1.2.3.4.九板书设计⼗教学反思与评价。
3.2.2直线的两点式方程
【解析】由直线的两点式方程可知,过点(-1,2)与点(2,5)的两点式
方程为
y 5
2 2
x 2
1 1
2.经过点A(-1,3)与点B(2,3)的直线方程为____________.
【解析】因为A、B两点的纵坐标相等,无法用两点式方程来表示, 但是直线AB平行x轴,故直线AB的方程为y=3.
已知条件
示意图
方程
使用范围
在x,y轴上的截 截距式
距a,b且ab≠0
__xa___by___1
___截_距__存_在__且__ __不__等__于_0_
2.线段的中点坐标公式
(1)条件:点P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),P2(x2,y2).
x1 x2
y1 y2
(2)结论:x=____2____,y=___2___.
3.2.2 直线的两点式方程
-1-
3.2.2 直线的两点式方程
首页
课前预习案 课堂探究案
学习目标
1.掌握直线的两点式方程和截距式方程, 以及各自的适用条件. 2.会选择适当的方程形式求直线方程. 3.能用直线的两点式方程与截距式方程 解答有关问题.
思维脉络
-2-
3.2.2 直线的两点式方程
首页
课前预习案 课堂探究案
提示:当a≠0且b≠0时,直线l的两点式方程为
y0 x a， b0 0a
化简得：
x a
y b
1，
称为直线的截距式方程.
-9-
3.2.2 直线的两点式方程
首页
课前预习案 课堂探究案
➡根据以上探究过程,试着完成下列直线的截距式的相关内容，并试 着填写与线段的中点坐标公式有关的内容.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种 是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式 的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的 培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公 式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问 题的能力； 2．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记 忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略 的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化 训练的目的．
3.掌握中点坐标公式；
4.通过与斜截式方程、斜截式方程的对比，掌握类比思
想.
各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
y y0 k ( x x0 )
y kx b
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0，得x=3,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3=2-3k，解得k=-1或k= , k 3 ∴直线l的方程为 2 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 3 即x+y-5=0或2x-3y=0.
相等；
（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 思维启迪 的条件求出即可.
解 （1）方法一
设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0. 3
x y 若a≠0，则设l的方程为 1, a a 3 2 ∵l过点（3，2），∴ 1, a a ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
在本节课的学习过程中，掌握数学思想、方 法；将教材知识和实际生活联系起来 ，激发学 生勇于探索、勤于思考的精神； 通过讨论、交流、合作、思考、操作等活动 激发学生学习数学的兴趣；培养学生合作学习和 数学交流的能力；培养学生严谨的学习态度 。
情感态度 与价值观
1.掌握两点式方程及其应用； 2.掌握截距式方程及其应用；
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
2.截距式方程 x y 1 a b 截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
x1 x2 y1 y2 3.中点坐标公式（ 2 , 2 )
教 后 反 思
2.求经过下列两点的直线方程:
(1) P (2， P (0， 3); (2) A(0， B(5，0). 1), 2 5), 1
y 1 x 2 y 5 x 解：（） 1 （2） ; . 4 2 5 5
1 2 ab 3.直线ax+by=1 (ab≠0)与两坐标轴围成的面积是_____.
天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！
3.2.2 直线的两点式方程(2)
高中数学组：唐春梅
动 脑 筋 想 一 想
①掌握两点式方程及其应用
教 学 目 标
知识与技能
②掌握截距式方程及其应用．
③ 培养学生分析、抽象、概括等思维能力。
过程与方法
用问题、思考、启发、讲解、练习、等 活动提高 应用的能力 通过本节课所讲思想和方法的具体运用， 使学生达到思维方式的迁移，了解科学的思 维方法。
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
1.下列四个命题中为真命题的是（ B ）.
A.经过定点P0 (x 0 ,y 0 )的直线都可以用方程 y-y 0 =k(x-x 0 )表示; B.经过任意不同两点P1 (x1 ,y1 ),P2 (x 2 ,y 2 )的直线; 都可以用方程(y-y 1 )(x 2 -x1 )=(x-x1 )(y 2 -y1 )表示; C.不经过原点的直线都可以用方程 x y + =1表示; a b D.经过定点的直线都可以用y=kx+b表示.
x y 解： 由b 5, 知a 3，故直线方程为 1； (1) 3 5 （2)由a 5, 知b 3或b 7, x y x y 故直线方程为 1, 或 1. 5 3 5 7
6. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距
4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?
解: ⑴ 两条 y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y 1, 当截距都不为0时，设直线的方程为: a a 1 2 1, 把(1,2)代入得： a a 即：a=3.
所以直线方程为：x+y-3=0.
5.根据下列条件，求直线的方程: (1)过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； (2)过点（5,0），且在两坐标轴上的截距之差为2.
（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为2 .
3 . ∵tan =3,∴tan 2 = 2 4 1 tan 2 tan
又直线经过点A（-1，-3），
3 因此所求直线方程为y+3=(x+1), 4
即3x+4y+15=0.
1.直线的两点式方程