直线的两点式方程-公开课课件
合集下载
直线的两点式方程(课件
使用范围
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
ax＋by＝1
斜率存在且不为 0，不过原点
三．线段的中点坐标公式 若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设 P(x，y)是线段 P1P2 的中点，
x1 x2
y1 y2
则 x＝ 2 ，y＝ 2
．
思考 1： 过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗？为什么？ 过点(2，3)，(5，3)的直线呢？ 不能，因为 1－1＝0，而 0 不能做分母．过点(2，3)，(5，3)的直 线也不能用两点式表示． 思考 2： 截距式方程能否表示过原点的直线？
二、经典例题
题型一 直线的两点式方程
例 1 如图，已知 A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2). ①求线段 AB 中点 D 的坐标； ②求△ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程.
解
①因为 A(1,2)，B(－1,4)，所以线段 AB 中点 D 的坐标为1＋
－1 2
，2＋2 4，
即 D(0,3).
2.2 直线的方程 2.2.2 直线的两点式方程
一、自主学习
一．直线的两点式方程
名称
已知条件
示意图
两点式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 其中 x1≠x2，y1≠y2
方程
使用范围
yy2－－yy11＝xx2－－xx11 斜率存在且
不为 0
二．直线的截距式方程
名称
已知条件
在 x，y 轴上的截距 截距式 分别为 a，b 且 a≠0，
三、当堂达标
1.(多选)下列说法正确的是( ) A.不经过原点的直线都可以表示为ax＋by＝1 B.若直线与两轴交点分别为 A、B 且 AB 的中点为(4,1)则直线 l 的方程为8x＋2y＝1 C.过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为 y＝x 或 x＋y＝2 D.直线 3x－2y＝4 的截距式方程为4x＋－y2＝1
直线的两点式方程 课件
M2(0,y).因为M是线段AB的中点,所以点M1和点M2分别是A1B1和
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
A2B2的中点,即A1M1=M1B1,A2M2=M2B2.所以x-x1=x2-x,y-y1=y2-y,
即
1 +2
1 +2
x=,y=.222.填空:若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段 P1P2 的中
例1已知条件不变,求:
(1)AC边所在的直线方程;
(2)AC边上中线所在的直线方程.
-0
1-0
解:(1)由两点式方程,得
=
-(-4)
,
-2-(-4)
化简得 x-2y+4=0.
(2)由中点坐标公式得 AC 边的中点 E -3,
-(-3)
的方程为1
2-(-3)
=
-0
,
-3-0
化简得 7x+6y+18=0.
(x-x1).因为 y1≠y2,所以方程两边同除以 y2-y1,得
-1
2 -1
=
2.从直线的两点式方程的形式上看,两点式方程适合求什么样的
直线的方程?
提示:两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程.
3.填空:直线的两点式方程
名称
两
点
式
已知条件
P1(x1,y1),
P2(x2,y2),
其中 x1≠x2,
综上所述,直线 l 的方程为 x+2y=0 或 x+y-1=0.
防范措施当题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互
为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m(m>0)倍”
等条件时,若采用截距式求直线方程,则一定要注意考虑“零截距”的
02教学课件_2.2.2 直线的两点式方程(共25张PPT)
可以确定一条直线。
这样，在直角坐标系中，给定一个点p0(x0,y0)和斜率k,可得出直线方程。
若给定直线上两点p1(x1,y1)p2(x2,y2),你能否得出直线的方程呢?
探究新知
1．直线的两点式方程
(1)直线的两点式方程的定义
y－y1 x－x1
＝
y
－y
x2－x1
2
1
__________________就是经过两点
点的坐标还有限制条件吗?
答案:这个方程对两点的坐标没有限制,即它可以表示过任意两点的直线方程.
2.已知直线l过点A(3,1),B(2,0),则直线l的方程为
y-1
x-3
解析:由两点式,得0-1 = 2-3,化简得 x-y-2=0.
答案:x-y-2=0
.
二、直线的截距式方程
点睛：直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程
2
S 取最大值为-3×152+20×15+54 000=54 150(m2).
因此点 P 距 AE 15 m,距 BC 50 m 时所开发的面积最大,
最大面积为 54 150 m2.
归纳总结 二次函数最值问题,一方面要看顶点位置,另一方面还要看定义域的范围.结
合图形求解,有时并非在顶点处取得最值.
当堂检测
不垂直于x、y轴的直线
点P1 ( x1，y1 )和点P2 ( x2，y2 )
y1 y2 x1 x2
在x轴上的截距 a
在y轴上的截距 b
x y
1
a b
不垂直于x、y轴的直线
不过原点的直线
课堂小结
课堂小结：
－3
)
《直线的两点式方程》课件
02
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
直线的两点式方程与斜率的关系
斜率的定义
斜率
直线在平面坐标系中与x轴正方向 之间的夹角的正切值，表示直线 相对于x轴的倾斜程度。
斜率公式
$m = frac{y2 - y1}{x2 - x1}$， 其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上 的两个点。
斜率的计算方法
通过两点坐标计算斜率
已知直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，利用斜率公式计算斜率m。
斜率m是两点式方程中分母的倒数，当分母为0时，斜率不存在，表示直线垂直 于x轴。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
03
直线的两点式方程与截距的关系
截距的定义
01
截距是直线与y轴交点的纵坐标， 表示为a。
02
截距是直线与x轴交点的横坐标， 表示为b。
截距的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
04
直线的两点式方程的实际应用
在几何图形中的应用
01
02
03
确定图形形状
通过两点式方程，可以确 定直线的斜率，从而判断 两条直线的位置关系，如 平行、垂直或相交等。
计算距离和角度
利用两点式方程，可以计 算两点之间的距离和直线 与坐标轴之间的夹角。
通过切线角度计算斜率பைடு நூலகம்
已知直线与x轴的夹角θ，利用三角函 数计算斜率m = tan(θ)。
斜率与两点式方程的关系
两点式方程
通过直线上的两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以得出直线的两点式方程为$frac{y - y1}{y2 - y1} = frac{x - x1}{x2 - x1}$。
2.2.2直线的两点式方程课件(人教版)
− 进行变形？
−
−
=
− −
≠ 且 ≠
−
−
=
−
就是经过两点 , ， , (其中 ≠ ，
−
≠ ）的直线的方程.
把它叫做直线的两点式方程，简称两点式.
5
2
2
整理可得x 13 y 5 0,
这就是边BC 上中线AM 所在直线的方程.
知识小结
课堂总结
直线方程
常数的几何意义
斜率不
存在
斜率为 过原
点
0
, 、
,
−
−
是直线上两点
（ ≠ ， ≠ ）的坐标
×
×
√
截距式方程
a b
0 5
截距之和为2, 1, a b 2, 解得a 3, b 5.
a b
x y
所以所求直线的方程为 1, 即5 x 3 y 15 0.
3 5
3.根据下列条件, 求直线的方程
(1)过点(0, 5), 且在两坐标轴上的截距之和为2;
(2)过点(5, 0), 且在两坐标轴上的截距之差为2.
() (，)， , − ;
y 1 x 2
(1)
;
3 1 0 2
() (，)， ,
y5 x0
(2)
.
05 50
探究二：直线的截距式方程
例3 如图，已知直线与轴的交点为(，)，与轴的交点为(，)，
其中 ≠ ， ≠ . 求直线的方程.
这就是边BC 所在直线的方程 .
例4 已知△ABC的三个顶点A( 5, 0), B(3, 3), C (0, 2), 求边BC 所在直线
2.2.2直线的两点式方程 课件(共20张PPT)
所以所求直线方程为： + − 3 = 0或 = 2.
(，0)
Байду номын сангаас
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
(2) 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条? 并求其方程．
解：三条
①当直线的两截距相等过原点时， = 2
②当直线的两截距相等不过原点时， + − 3 = 0
典例剖析
例3 三角形的顶点分别是(−5,0), (3, −3), (0,2)，求边所在直线的方程，以及该边上
中线所在直线的方程.
变式1 求边上的垂直平分线所在直线的方程.
：5 + 3 − 6 = 0 = −
=
1
3
M ,
2
2
+
（1）在轴上的截距为2，在轴上的截距是3；
由截距式得：
x y
1
2 3
整理得：3x 2 y 6
0
（2）在轴上的截距为-5，在轴上的截距是6；
由截距式得：
x
y
1
5 6
整理得： 6 x 5 y 30 0
典例剖析
例2 ⑴ 过点(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条?并求其方程．
斜截式
斜率, 在轴上的纵截距
y kx b
斜
率
必
须
存
在
斜率不存在时，
直线方程为：x x0
思考：已知直线上两点1(1, 1), 2(2, 2)（其中1 ≠ 2, 1 ≠ 2 ），如何求出通过这两点的
直线的两点式方程 课件
1．已知 A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC 中， (1)求 BC 边的方程； (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程．
解析：(1)∵BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)， ∴由两点式得－y－2－－－4 4＝x0－ －55， 即 2x＋5y＋10＝0. 故 BC 边的方程为 2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
解得ab11＝＝43，，
a2＝152， b2＝92，
所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0
或 15x＋8y－36＝0.
(2)设直线 l 的方程为ax＋by＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝12，34a＋b2＝1， 消去 b，得 a2－6a＋8＝0， 解得ab11＝＝43，， ab22＝ ＝26， ， 所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
[错因与防范] 本题易误认为截距是正值导致漏解．直线 y＝kx＋b 在 y 轴上的截距是直线与 y 轴交点的纵坐标，不是直线与 y 轴的交点到原点 的距离，截距的值可能是正数，也可能是零或者负数．
用截距式方程解决问题的优点及注意事项： (1)由截距式方程可直接确定直线与 x 轴和 y 轴的交点的坐标，因此用截 距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题 时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时， 两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中 要注意分类讨论．
探究二 利用截距式求直线方程
[典例 2] (1)过点 A(1,2)，且在 x 轴上的截距和在 y 轴上的纵截距相等 的直线方程是____________． [解析] 分两种情形：若直线过原点，则方程为 y＝2x；若直线不过原 点，则可设直线的方程为ax＋ya＝1，将(1,2)代入，得 a＝3，则直线的方 程为 x＋y＝3. [答案] x＋y＝3 或 y＝2x
直线的方程- 直线的两点式方程 课件(共48张PPT)(2024)人教A版高中数学选择性必修一
=
−0
，即
3−0
2
3
= .
课中探究
［素养小结］
（1）由两点式求直线方程的步骤：
①设出直线所经过的两点的坐标;
②根据题中的条件，列出相关方程，解出点的坐标;
③由直线的两点式写出直线方程.
（2）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式
方程的适用条件（两点的连线不平行于坐标轴），若满足，则考虑用两点式求
（1）已知直线过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 ，则直线一定存在两点式方程.( × )
[解析]
−1
直线的两点式方程是
2 −1
=
−1
，只有当1
2 −1
≠ 2 且1 ≠ 2 时，才存在
两点式方程.
（2）经过两点1 1 , 1 ,2 2 , 2 1 ≠ 2 , 1 ≠ 2 的直线方程可以是
探究点一 利用两点式求直线方程
例1
在△ 中，已知 −3,2 ， 5, −4 ， 0, −2 .
（1）求边所在直线的方程；
解：因为边所在的直线过两点 5, −4 ， 0, −2 ，所以边所在直线的方
− −4
程为
−2− −4
=
−5
，即2
0−5
+ 5 + 10 = 0.
+ =1
−0
−
点 , 0 , 0, 的坐标代入两点式，得
=
,即__________.此方程由直线
−0
0−
在两条坐标轴上的截距与确定，我们把此方程叫作直线的截距式方程，简称
截距式.
课前预习
【诊断分析】判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
直线的两点式方程公开课
53
57
第十七页，课件共有19页
各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式
适用范围
点斜式 斜截式 两点式 截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
不垂直x轴 不垂直x轴
不垂直两个坐标轴
不垂直两个坐标 轴且不经过原点
第十八页，课件共有19页
1.直线的两点式方程
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
两点式适用于与两坐标轴不垂直的直线.
2.截距式方程 x y 1 ab
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
3.中点坐标公式 （ x1 x2 , y1 y2 )
2
2
2
整理得x 13y 5 0.
这就是BC边上的中线所在的直线的方程.
第十一页，课件共有19页
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等的
直线方程.
分析：截距均为0时，设方程为y=kx,
y
截距不为0，设截距式求解.
o
x
第十二页，课件共有19页
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,
y
y1
y2 x2
y1 x1
(x x1)
y1 y2时，化成比例式：
y y1 x x1 . y2 y1 x2 x1
第四页，课件共有19页
直线的两点式方程
经过直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其中x1≠x2, y1≠y2 ）的直线方程叫做直线的两点式方程，简称两点式.
y y1 y2 y1
3.2.2直线的两点式方程课件人教新课标
b0 0a
x y 1． ab
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 x y应用1 的前提是a≠0且b≠0.
ab
(2)特征：直线的截距式方程 x y，x1,y项的分母对应的是
ab
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
图形
两点式
截距式
方程
__yy_2__yy_11___xx_2__xx_11__
__xa___by___1_
适用 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的
范围
直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
x1 x2
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直 线l的方程是什么? 提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0 或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方 程的关系 (1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾 斜角为0°或90°的直线的方程,但方程情势相对于变化后的方 程式更对称、情势更美观、更整齐,便于记忆. (2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可 以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线方程.
②
ab
由①②解得
a
3
5 3,
x y 1． ab
【探究提升】直线截距式方程的关注点
(1)前提：截距式方程 x y应用1 的前提是a≠0且b≠0.
ab
(2)特征：直线的截距式方程 x y，x1,y项的分母对应的是
ab
直线的横、纵截距，中间以“＋”号连结，等号右边为1.
(3)适用范围：不能表示与坐标轴平行的直线，也不能表示过
图形
两点式
截距式
方程
__yy_2__yy_11___xx_2__xx_11__
__xa___by___1_
适用 不表示平行于坐标轴的直线 不表示平行于坐标轴的
范围
直线及过原点的直线
2.线段的中点坐标公式
(1)条件：点 P(x,y)是线段P1P2的中点且P1(x1,y1),
P2(x2，y2).
x1 x2
(3)若直线l上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),满足x1=x2或y1=y2时,直 线l的方程是什么? 提示：当x1=x2时,直线l平行于y轴,此时的直线方程为x-x1=0 或x=x1;当y1=y2时,直线l平行于x轴,此时的直线方程为yy1=0或y=y1.
【拓展延伸】方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)和原两点式方 程的关系 (1)两点式方程只能表示x1≠x2且y1≠y2的直线,它不能表示倾 斜角为0°或90°的直线的方程,但方程情势相对于变化后的方 程式更对称、情势更美观、更整齐,便于记忆. (2)如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可 以用它来表示平面上过任意两已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直 线方程.
②
ab
由①②解得
a
3
5 3,
《直线的两点式方程》课件
= (y2 - y1) / (x2 - x1)。
3
利用斜率和点的坐标得出方程
将斜率m和点A的坐标代入点斜式方 程y - y1 = m(x - x1)。
通过两点求直线方程的示例
示例一
已知点A(2, 3)和点B(4, -1)，求 通过这两点的直线方程。
示例二
已知点A(-1, 5)和点B(3, -7)， 求通过这两点的直线方程。
《直线的两点式方程》 PPT课件
直线的两点式方程是描述直线的一种常用方程形式，通过给定直线上的两个 点来确定直线的方程。
直线的两点式方程的定义
什么是两点式方程？
直线的两点式方程是通过给定直线上的两个 点，来表示直线的方程。
两点式方程的一般形式
直线的两点式方程一般形式为：y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (x - x1)
示例三
已知点A(0, 2)和点B(5, 2)，求 通过这两点的直线方程。
直线的两点式方程的应用
几何分析
两点式方程可以用来计算 直线的斜率、判断直线是 否垂直或平行于坐标轴。
图形绘制
通过两点式方程，可以在 坐标系上画出直线的图像。
实际应用
两点式方程可以应用于设 计和建筑、工程测量以及 计算机图形学等领域。
两点式方程与斜率的关系
斜率 正斜率 负斜率 零斜率 无穷大斜率
直线的特性 直线向上倾斜 直线向下倾斜 水平直线 垂直直线
总结和要点
1 两点式方程
2 推导过程
通过给定直线上的两个点来确定直线的方 程。
通过计算斜率和利用点斜式方程得出直线 的两点式方程。
3 应用
4 与斜率的关系
两点式方程可以用于几何分析、图形绘制 以及实际应用。
直线的两点式方程 课件
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．
忽视截距为0的情形
典例 3
已知直线 l 过点 P(2，－1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直
线 l 的方程. [错解]
由题意，设直线 l 的方程为ax＋ay＝1
∵直线 l 过点(2，－1)，∴2a＋－a1＝1
∴a＝1，则直线 l 的方程为 x＋y－1＝0．
命题方向2 ⇨直线的截距式方程
典例 2 直线 l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12，求直线 l 的方程.
[思路分析] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线方程．
[解析] 设直线 l 的方程为ax＋by＝1
则 a＋b＝12.
(2)直线方程的截距式在结构上的特点： 直线方程的截距式为ax＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项 对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是 1，由 方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：3x－4y＝1，3x＋4y＝－1 就不是直线的 截距式方程．
3．中点坐标公式
若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 x1＋x2
x＝_____2___________ (x，y)，则有y＝___y_1_＋2__y_2________．
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．
命题方向1 ⇨直线的两点式方程
(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距 的大小，因此，需要进行分类讨论．
[思路分析]
已给出了截 距间的关系
设 别―截 为―距 a→、分b
12ab＝2 |a－b|＝3
忽视截距为0的情形
典例 3
已知直线 l 过点 P(2，－1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直
线 l 的方程. [错解]
由题意，设直线 l 的方程为ax＋ay＝1
∵直线 l 过点(2，－1)，∴2a＋－a1＝1
∴a＝1，则直线 l 的方程为 x＋y－1＝0．
命题方向2 ⇨直线的截距式方程
典例 2 直线 l 过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12，求直线 l 的方程.
[思路分析] 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线方程．
[解析] 设直线 l 的方程为ax＋by＝1
则 a＋b＝12.
(2)直线方程的截距式在结构上的特点： 直线方程的截距式为ax＋by＝1，x 项对应的分母是直线在 x 轴上的截距，y 项 对应的分母是直线在 y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是 1，由 方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：3x－4y＝1，3x＋4y＝－1 就不是直线的 截距式方程．
3．中点坐标公式
若点 P1、P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段 P1P2 的中点 M 的坐标为 x1＋x2
x＝_____2___________ (x，y)，则有y＝___y_1_＋2__y_2________．
此公式为线段 P1P2 的中点坐标公式．
命题方向1 ⇨直线的两点式方程
(2)从题意看，本题只告诉了截距之间的关系，因此解题时，设出了直线的截距式，由于不知截距 的大小，因此，需要进行分类讨论．
[思路分析]
已给出了截 距间的关系
设 别―截 为―距 a→、分b
12ab＝2 |a－b|＝3
直线方程的两点式课件(PPT_10页)
x y + =1 −5 6
3.直线 直线3x-2y=4的截距式方程是（ ） 的截距式方程是（ 直线 的截距式方程是
3x y A. − = 1 4 2
x y B. − = 4 1 1 3 2
X Y D. + =1 4 −2 3
3X y C. + =1 4 −2
4.
题是( 下列四个命题中的真命 题是( B ) A.经过定点P0(x 0 ,y 0 )的直线都可以用 经过定点P 方程y 表示; 方程y − y 0 = k(x − x 0 )表示; B.经过任意两个不同 P1(x 1,y1 ),P2(x 2 ,y 2 )的点的直线 都可以用方程( 表示; 都可以用方程(y −y1 )(x 2 − x1 ) =(x − x1 )(y 2 − y1 )表示; x y 表示; C.不经过原点的直线 都可以用方程 + = 1表示; a b 可以用y 表示. D.经过定点的直线都 可以用y = kx + b表示.
直线AC在 轴上的截距分别是-5， 。 直线 在x 轴，y轴上的截距分别是 ，2。 轴上的截距分别是 x y 由截距式得： 由截距式得： + = 1 − 5 2 即 2x-5y+10=0 这就是直线AC的方程。 这就是直线 的方程。 的方程
小 结： (1)直线的两点式方程 直线的两点式方程: 直线的两点式方程
a是直线在x轴上的非零截距， 不垂直于 和 不垂直于x和 y轴，且不过 轴 b是直线在y轴上的非零截距
原点
作业
根据下列条件，求直线的方程： 根据下列条件，求直线的方程： (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2 (1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2； 过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为 (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2 (2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2； 过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为 求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方 （3）求过点P(2,3),并且在两轴上的截距相等的直线方
2.2.2直线的两点式方程课件(人教版)(1)
概念学习
例3：如图，已知直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)，
其中a ≠ 0，b ≠ 0.求直线的方程.
解：将两点A(a, 0)，B(0, b)的坐标代入两点式，得
y−0
b−0
=
x−a
，
0−a
即
x
a
y
b
+ = 1.
概念学习
例3：如图，已知直线与x轴的交点为A(a, 0)，与y轴的交点为B(0, b)，
3
1
,
)，即( , − ).
2
2
2
2
由中点坐标公式，可得点M的坐标为(
3
1
y−0
过A(−5,0)，M( , − )两点的直线方程为 1
2
2
− −0
2
x+5
=3 ，
2
+5
整理可得x + 13y + 5 = 0.这就是BC边上中线AM所在直线的方程.
变式引申
例4：已知∆ABC的三个顶点A(−5,0)，B(3, −3)，C(0,2).
y−y1
把
y2 −y1
=
x−x1
叫做直线的两点式方程，简称两点式.
x2 −x1
思考：
两点式方程中，分母不能为0，故有x1 ≠ x2 ，y1 ≠ y2 ，据此
我们可以得到两点式方程的适用条件是什么？
思辨
两点式方程的运用条件：
问题3：当 x1 = x2 ，y1 ≠ y2 时，直线方程是什么？ = 1 或 = 2
∴直线的方程是： = 2 + 2（待定系数法）
概念学习
问题2：已知直线经过P1 x1 ，y1 和P2 x2 ，y2 (x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )两点，
选择必修 第二章 2.2.2 直线的两点式方程 课件(共18张PPT)
∴边AB所在直线的方程为 = 2.
−1
∵(2, −1)，(4,1)，由直线方程的两点式可得
−1−1
=
−4
，
2−4
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
−2
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为
1−2
=
−2
，
4−2
即x+2y-6=0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
2.直线的斜截式方程
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
y=kx+b
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条
新知探究
【例4】求过点(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解： 当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为 +
−3
将A(－3,4)代入上式，有
+
4
−
−
= 1，
= 1，
解得a＝－7.
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核
心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点
−1
∵(2, −1)，(4,1)，由直线方程的两点式可得
−1−1
=
−4
，
2−4
∴边所在直线的方程为x-y-3=0.
−2
同理可由直线方程的两点式得直线的方程为
1−2
=
−2
，
4−2
即x+2y-6=0.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2,x-y-3=0,x+2y-6=0.
养.
温故知新
1.直线的点斜式方程
若直线过定点(x0，y0)且斜率为k，则直线方程为
y-y0=k(x-x0)
2.直线的斜截式方程
若直线的斜率为k且它在y轴上的截距为b，则直线方程为
y=kx+b
若直线过定点(x0，y0)且斜率不存在（与x轴垂直），则直线方程为
x-x0=0 ，即 x=x0.
新知探究
已知直线l经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (其中x1≠x2，y1≠y2)，因为两点确定一条
新知探究
【例4】求过点(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
解： 当直线l在坐标轴上截距都不为零时，设其方程为 +
−3
将A(－3,4)代入上式，有
+
4
−
−
= 1，
= 1，
解得a＝－7.
∴直线l的方程为x－y＋7＝0.
当直线l在坐标轴上的截距都为零时，设其方程为y＝kx.
不同但本质一致，都是对直线的定量刻画.在对直线的定量刻画中，斜率处于核
心地位.点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② 请同学们研究交流直线方程两点式的结 构并记忆.
练习1：分别求过以下两点的直线的方程。
（1）A（-3,2），B（5,2）； （2） A (0,5) ， B（-3,0）； （3）A (-5, 2) ， B（3,2）； （4）A (-2,5) ， B（-2,3）； 总结直线方程的两点式的使用条件。
练习2：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴
的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条 直线l的方程.
y
x a
y b
1
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) O 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
3.2.2 直线的两点式方程
问题1
1. 上一节课我们学习了直线方程的哪些形式？ 点斜式方程是由哪些特征量确定的?它是怎 样推导的？
2. 已知直线上的一点和直线的斜率(倾斜角) 可以确定一条直线,除此之外,还可以有其它 条件确定一条直线吗?
3、已知直线 l 过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线 l 的方程
4.已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) （其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两
点的直线方程呢？
请同学们独立完成推导过程,并研究交流
直线l 的方程表示成什么形式更美观易记.
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
①这个方程是由直线上两点确定的，请你 给它取个直观的名字？
练习3：
（1）课本第97页练习的第2题； （2）求过点P（2，3）且在两轴上
的截距相等的直线方程。
练习4：三角形的顶点是A(-5,0),B(3,3),C(0,2)，
求: (1) 这个三角形三边所在的直线的方程;
(2) BC边上中线所在的直线的方程。
y
.C
.
A
.M
O
x
.
B
提高练习：
求经过点P（4，3），且在x轴上截 距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
三、小结
（1）本节课我们学过哪些知识点? （2）直线方程的两点式、截距式的形
式特点和适用范围是什么？ （3）注意转化及分类讨论的数学思想
的应用； （4）体会由特殊到一般及由一般到特
殊的认识事物的一0页A组第3、4、8题,B组第1题。 2．提高练习：
已知直线在y轴上的截距为 - 4，且它与坐标轴 围成的三角形面积为4，求直线 l 的方程。
练习1：分别求过以下两点的直线的方程。
（1）A（-3,2），B（5,2）； （2） A (0,5) ， B（-3,0）； （3）A (-5, 2) ， B（3,2）； （4）A (-2,5) ， B（-2,3）； 总结直线方程的两点式的使用条件。
练习2：已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴
的交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条 直线l的方程.
y
x a
y b
1
lB
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) O 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫
做直线方程的截距式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
3.2.2 直线的两点式方程
问题1
1. 上一节课我们学习了直线方程的哪些形式？ 点斜式方程是由哪些特征量确定的?它是怎 样推导的？
2. 已知直线上的一点和直线的斜率(倾斜角) 可以确定一条直线,除此之外,还可以有其它 条件确定一条直线吗?
3、已知直线 l 过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线 l 的方程
4.已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) （其中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两
点的直线方程呢？
请同学们独立完成推导过程,并研究交流
直线l 的方程表示成什么形式更美观易记.
y y1 y2 y1
x x1 x2 x1
( x1
x2 ,
y1
y2 )
①这个方程是由直线上两点确定的，请你 给它取个直观的名字？
练习3：
（1）课本第97页练习的第2题； （2）求过点P（2，3）且在两轴上
的截距相等的直线方程。
练习4：三角形的顶点是A(-5,0),B(3,3),C(0,2)，
求: (1) 这个三角形三边所在的直线的方程;
(2) BC边上中线所在的直线的方程。
y
.C
.
A
.M
O
x
.
B
提高练习：
求经过点P（4，3），且在x轴上截 距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
三、小结
（1）本节课我们学过哪些知识点? （2）直线方程的两点式、截距式的形
式特点和适用范围是什么？ （3）注意转化及分类讨论的数学思想
的应用； （4）体会由特殊到一般及由一般到特
殊的认识事物的一0页A组第3、4、8题,B组第1题。 2．提高练习：
已知直线在y轴上的截距为 - 4，且它与坐标轴 围成的三角形面积为4，求直线 l 的方程。