高尔顿板与二项分布的关系的证明
高中数学_独立重复试验与二项分布教学设计学情分析教材分析课后反思
栏目：基于课程标准的《独立重复试验与二项分布》的教学设计内容
【课题】独立重复试验与二项分布
【教学内容】高中数学人教B版选修2-3 2.2.3
【课程标准】理解独立重复试验的意义，能求简单的服从二项分布的随机变量的分布列【设计思想】
1.通过分解课程标准和学情分析制定表现型教学目标
2.基于教学目标制定可观察可测量的评价目标
3.基于教学目标和评价目标开展探究性学习
【教学目标】
基于对课程标准的解读和目标分解，现制定教学目标如下：
①通过对几个熟悉的试验的观察和分析，学生自己说出这些试验的共同点，归纳出n次独立重复试验的定义；并能识别二点分布、独立重复试验；
②通过对罚球命中次数的分布列的自主探究，讨论总结归纳得出“n次独立重复试验事件A 恰好发生k次”的概率公式，同时建构出二项分布模型，并分析推证出二项分布与二项展开式之间的联系；
③通过解决实际问题，能辨析二项分布模型，能熟练求出二项分布的随机变量的分布列.【评价目标】
评价设计要基于教学目标，又要先于教学设计。评价的目的是促进学生的学习，发现学生达成目标过程中的问题和差距，从而调整教学方向，解决学生反馈的问题，达到自我完善和自我纠正。
针对目标①的评价方案：
（1）通过类比“抛掷硬币”“林书豪罚球”“产品检验”三个试验，学生第一次自主探究完成表1（学生口答）
（2）通过小组讨论，交流得出这三个试验的共同特点，归纳出n次独立重复试验的定义（小组讨论，师生完善）
（3）设计评价样题1：判断下列试验是否是独立重复试验？（学生集体回答）
针对目标②的评价方案：
（1）设计《时代》榜首人物林书豪图片，简介林书豪，激起学生学习和生活的热情
高尔顿板完整推导过程
高尔顿板完整推导过程
高尔顿板（Gantt chart）是一种项目管理工具，用来展示项目的进度安排和时间表。它以条形图的形式展示任务和时间的关系，使团队成员可以清晰地了解项目的进展情况。下面将为您介绍高尔顿板的完整推导过程。
首先，确定项目的目标和范围。在制作高尔顿板之前，我们需要明确项目的目标以及需要完成的任务和阶段。这有助于我们确定项目的时间范围和需要安排的任务。
其次，列出项目的所有任务。根据项目的目标和范围，我们需要列出所有需要完成的任务和活动。这些任务应该是可量化和可衡量的，以便能够准确地安排时间和资源。
接下来，确定任务的先后顺序。在高尔顿板中，任务的先后顺序非常重要。有些任务必须在其他任务完成之后才能开始，而另一些任务可以同时进行。通过确定任务之间的依赖关系，我们可以确保项目的顺利进行。
然后，估算任务的持续时间。为了制作高尔顿板，我们需要估算每个任务所需的时间。这可以通过过去的经验、专业知识和团队成员的意见得出。确保估算的时间是合理和可行的，以避免项目延期。
接着，安排任务的起始和截止日期。在高尔顿板中，每个任务都有一个起始日期和截止日期。通过将任务的持续时间添加到起始日期，我们可以确定每个任务的截止日期。这有助于我们合理地安排项目的时间表。
最后，制作高尔顿板图表。将所有任务的起始日期、持续时间和截止日期绘制在高尔顿板图表上。确保图表上的任务条形图按照正确的先后顺序排列，并标明任务的名称和持续时间。
制作完成后，团队成员可以使用高尔顿板来了解项目的进展情况和时间安排。他们可以清楚地看到每个任务的开始和结束日期，以及任务之间的依赖关系。这有助于团队成员协调工作，提高工作效率，并及时调整计划以应对任何延迟或问题。
高中数学优质课二项分布优秀教学设计
《二项分布》教学设计
【教学内容】
本节内容是人教A版选择性必修三第七章《随机变量及其分布》的第四节《二项分布与超几何分布》的第一节课。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也非常重要。本节课是从生活实际入手，了解伯努利试验和n重伯努利试验的特点，通过由特殊到一般的方法推导出二项分布的概率模型及其数字特征。发展学生数学抽象、逻辑推理及数学运算的素养。
本节内容是对前边所学知识的综合应用，是对已有知识的“再创造”与“整合”的过程；是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。要鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，从而体会数学的科学价值和应用价值。
【教学目标】
1.学生通过具体实例，理解n次伯努利试验的特点，并会判断一个具体问题是否服从二项分布;
2.学生通过独立思考、相互交流，并借助由特殊到一般的方法，能归纳出二项分布的概率模型，从中体会数学的理性与严谨，提升数学抽象、逻辑推理与数学运算的素养。
3.学生经历实际问题的对比分析，归纳提炼，树立普遍联系的概念；在问题的解决过程中感悟数学与生活的和谐之美，体会数学的文化价值和应用价值。
【重点难点】
教学重点：n重伯努利试验，二项分布的概率模型及简单应用。
教学难点：在实际问题中抽象出模型的特征，并应用二项分布的概率模型解决实际问题。【学情分析】
通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法及分布列有关内容。但是对于从实际问题中抽象出数学模型还是有些困难的，需要老师启发引导，在老师的启发引导下，学生能从抛硬币的试验中抽象出n重伯努利试验的概念，从掷图钉的试验中归纳出二项分布的概率模型。
7.4 二项分布与超几何分布(精讲)(解析版)
7.4 二项分布与超几何分布（精讲）
考法一 二项分布
【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球.
（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？
（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）
1
4
；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，
若要小球落入4号容器，则需要在通过的四层中有三层向右，一层向左，
∴理论上，小球落入4号容器的概率4
3
411()C 24
P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭. （2）落入4号容器的小球的个数X 的所有可能取值为0，1，2，3，
3
03127(0)C 1464P X ⎛⎫∴==⨯-= ⎪⎝⎭， 2
13
1127
(1)C 14464
P X ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，
21
23119(2)C 14464P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
3
33
11(3)C 464
P X ⎛⎫==⨯=
⎪⎝⎭， X ∴的分布列为
【一隅三反】
1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量14,2X B ⎛
数学实验-伽尔顿板实验的模拟与验证
P = 0.0587
JBSTAT =
3.4091
CV = 3.8011
Ｎ＝１００００
>> X=[]; >> X=[0 0 0.003 0.0015 0.0064 0.0221 0.0494 0.0954 0.1411 0.1785 0.1785 0.1393 0.0983 0.0550 0.0226 0.0091 0.0018 0.0005 0.0002 0];[H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X) H= 0
这样，就可以利用二次回归求出 x 的一次项、二次项和常数项的系数，从而间接的求出σ与 μ。实验中，我们用计算器进行相关运算，结果如下： N=5000 时，μ=9.503236493, σ=2.171502976 ; N=10000 时，μ=，σ=； N=30000 时，μ=，σ=；
四、 结果分析及结论表述
三、 实验过程 1、 编写 C 语言程序进行模拟实验
说明：①我们取槽的数量（ M）为 20，小球数（N ）分别为 5000、10000 、30000 做三次模 拟。 ②最终得到的是每个槽中落入的小球数、 球落入每个槽中的概率和概率取自然对数的 值。 程序如下： #include<stdio.h>
#include<stdlib.h> #include<math.h> #define N 30000 \\小球数 #define M 20 \\槽的数目 void sort(int *p,int n,int m); \\产生随机数，并得出每个槽中的小球数 void gl_f(int *p,int n,float *gl,float *gl_log,int m);\\ 求概率和概率的对数 void output(int *p,float *gl,float *gl_log,int m);\\输出函数 void main() { float gl[M],gl_log[M];\\gl[M] 存放概率，gl_log[M] 存放概率的对数 int a[M]; \\存放槽中的小球数 sort(a,N,M); gl_f(a,N,gl,gl_log,M); output(a,gl,gl_log,M); } void sort(int *p,int n,int m) { int i; int j,k; k=0; for(j=0;j<m;j++) p[j]=0; randomize(); for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<m-1;j++) k+=random(2);\\产生两个随机数 0 或 1，存入 k 中 p[k]++;\\对应槽中小球数加一 k=0; } } void gl_f(int *p,int n,float *gl,float *gl_log,int m) { float gl_n; int i;
高尔顿(钉)板与二项分布的关系的证明教程文件
高尔顿(钉)板与二项分布的关系的证明
高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明
“（人教版）选修2—3 57页探索与研究
高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互
相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子
数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一
排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于
两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，
由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落
下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。
有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。
1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？
2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系）
3．计算小球落入各个格子的概率。”
设（如图）高尔顿（钉）板有n行钉，第n行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n共（n+1）个空。
观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （
2
1）n (2
1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （
高尔顿(Galton)
ak+1，i= =
1 2
ak，i-1+
1 2
ak，i
1 2 1 2
1 2
C ik-1 （ ）k-(i-1)( )i-1+
1 2
1 2
C ik （ ）k-i( )i
1 2
1 2
=（ C ik-1 + C ik ） （ ）k+1 = C ik 1 （ ）(k+1)-i（ ）i ∴在 n=k 成立的条件下，n=k+1 也成立。 3．由 1，2 得，原命题成立。 由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第 i 个空的概率正好满足二项分布。 由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有 人发布了试验的动画在此就不做说明） 。
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数理统计
y x
高尔顿（Galton）
“高尔顿等人关于回归分析的先驱性的工作，以及时间序列分析方面的一些工作，…是数理统计 学发展史中的重要事件.”──摘自《中国大百科全书》 （数学卷） 高尔顿是英国人类学家、生物统计学家.1822 年 2 月 6 日生于伯明翰,1911 年 1 月 17 日卒于萨 里郡黑斯尔米尔. 高尔顿是生物学家达尔文的表弟.他早年在剑桥学习数学，后到伦敦攻读医学.1860 年当选为 皇家学会会员，1909 年被封为爵士.1845—1852 年深入到非洲腹地探险、考察. 高尔顿是生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计 方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计 学”的名词.现在统计学上的“相关”和“回归”的概念也是高尔顿第一次使用的，他是怎样产生这些 概念的呢？1870 年，高尔顿在研究人类身长的遗传时，发现下列关系：高个子父母的子女，其身高有 低于其父母身高的趋势，而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势，即有“回归”到平均数 去的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.高尔顿揭示了统计方法在生物学研究中是有用 的，引进了回归直线、相关系数的概念，创始了回归分析.开创了生物统计学研究的先河.他于 1889 年 在《自然遗传》中，应用百分位数法和四分位偏差法代替离差度量.在现在的随机过程中有以他的姓氏 命名的高尔顿─沃森过程（简称 G─W 过程）. 高尔顿发表了 200 篇论文和出版了十几部专著，涉及人体测量学，实验心理学等领域，其中数学 始终起着重要作用.
高尔顿板完整推导过程
高尔顿板完整推导过程
（最新版）
目录
1.高尔顿板的概念与背景
2.高尔顿板的推导过程
3.高尔顿板的应用与意义
正文
一、高尔顿板的概念与背景
高尔顿板（Galton board）是一种用于模拟弹珠落点的实验装置，由英国统计学家弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）于 1890 年提出。高尔顿板主要用于研究随机事件的统计规律，尤其是用于验证泊松分布的规律。在高尔顿板实验中，弹珠从一定高度自由落下，落在木板或金属板上，形成点迹，根据点迹的分布可以推断出事件发生的概率。
二、高尔顿板的推导过程
1.建立坐标系
首先，在平面上建立一个坐标系，以横坐标表示木板或金属板的长度，纵坐标表示宽度。
2.确定落点
将弹珠随机投放在坐标系内的任何一个位置，假设其落点为 (x, y)。
3.计算落点概率
根据概率论中的泊松分布原理，弹珠落在某个区域的概率与该区域面积成正比。因此，我们可以根据落点 (x, y) 计算出其所在区域的面积，然后根据泊松分布的规律计算出落点概率。
4.统计落点分布
重复上述步骤，进行多次实验，统计弹珠在不同区域落点的次数，得到落点分布的统计数据。
5.对比理论分布
将实验得到的落点分布统计数据与泊松分布理论值进行对比，观察其是否一致。如果两者一致，说明泊松分布在高尔顿板实验中得到了验证。
三、高尔顿板的应用与意义
高尔顿板的应用主要在于验证泊松分布的规律，泊松分布在很多实际问题中都有应用，如排队论、生物统计学、保险数学等。通过高尔顿板实验，我们可以直观地观察到随机事件的概率分布规律，加深对概率论的理解。此外，高尔顿板实验还可以作为一种科普手段，向大众普及概率论知识。
高尔顿板和二项分布的关系
高尔顿板和二项分布的关系
高尔顿板和二项分布的关系
介绍高尔顿板和二项分布的概念
高尔顿板是一种用于实验和统计学中的工具，它可以帮助人们更好地
理解概率和统计学中的一些基本概念。它通常由一个长方形木板和一
些小球组成，每个小球都有一个特定的颜色。在实验中，小球会被随
机地放置在木板上，并且会根据它们落在哪个区域来计算概率。
二项分布是一种离散型概率分布，用于描述当进行n次独立重复试验
时成功次数的概率分布。例如，在进行n次投掷硬币的实验中，成功
可能是指出现正面朝上或反面朝上。在这种情况下，二项分布可以用
来计算出每个可能结果发生的概率。
解释高尔顿板如何与二项分布相关联
高尔顿板可以用来模拟二项分布中的试验。例如，在进行10次投掷硬币的实验时，我们可以使用一个有10个区域的高尔顿板来模拟这个过程。每当硬币落在正面朝上时，在相应的区域上放置一个红色小球；
每当硬币落在反面朝上时，在相应的区域上放置一个蓝色小球。最终，
我们可以计算出每个区域中红色小球的数量，并使用这些数据来计算
出每个可能结果发生的概率。
具体地说，假设我们进行了10次投掷硬币的实验，并且成功的定义是硬币正面朝上。在高尔顿板上，我们可以将木板分成10个相等的区域，并为每个区域分配一个数字（从1到10）。然后，我们可以将红色小球放置在与投掷结果相对应的区域中。例如，如果第一次投掷硬币正
面朝上，则将一个红色小球放置在第一个区域中。如果第二次投掷硬
币反面朝上，则将一个蓝色小球放置在第二个区域中。以此类推。
最终，我们可以计算出每种可能结果的概率。例如，我们可以计算出
高尔顿板相关问题,伯努利正态分布
高尔顿板相关问题，伯努利正态分布高尔顿板是一种用于实验室定量分析的设备，其结构简单，容易操作，并能够快速获得实验结果。然而，在使用高尔顿板进行实验时，我们需要注意以下几个方面：
一、高尔顿板的结构与用途
高尔顿板由一片平面的矩形板和一些小孔组成，小孔周围会形成一圈大小不一的洼坑，其主要作用是在小孔周围形成一定的液体面张力差异，使得液体向孔口聚拢。高尔顿板能够帮助我们分析液滴的体积、密度和表面张力等参数，具有广泛的应用价值。
二、高尔顿板实验中的重要参数
在高尔顿板实验中，有几个重要的参数需要控制，包括板的材质、液滴大小、液体的表面张力和温度等。这些参数会直接影响实验结果的准确性和可重复性，因此必须非常谨慎地处理。
三、伯努利原理在高尔顿板实验中的应用
伯努利原理是流体力学中的一种重要原理，是高尔顿板实验的基础。它表明，当流体流动时，压力与速度呈反比例关系，即速度越快，压力越低。在高尔顿板实验中，我们可以利用伯努利原理来计算液滴的大小和表面张力等参数，确保实验结果的准确性。
四、高尔顿板实验中的正态分布
正态分布是一种在统计学和概率论中常见的分布形式，它具有对称性
和峰值，是高尔顿板实验中常用的分布形式。我们可以用正态分布来
描述液滴大小和表面张力等参数的分布规律，在数据分析和实验结果
的解释中起到重要作用。
针对高尔顿板和相关的实验注意事项、伯努利原理和正态分布等问题，我们需要具备深入的理解和熟练的操作技能，才能够利用这一设备获
得准确的实验结果。未来，随着科技的不断进步和实验技术的完善，
高尔顿板势必仍将发挥着重要的作用，促进科学研究和工业发展。
高尔顿钉板——精选推荐
高尔顿（Galton ）钉板实验
一、问题描述
Galton 钉板试验是英国生物统计学家
Galton 设计的。
在一板上钉有
n 排钉子，如图示，其中
n=5。右图中15个圆
点表示15颗钉子，在钉子的下方有n+1个各子，分别编号为
0，1，2，,，n 。从Galton 钉板的上方扔进一个小球任其自由下落，在下落的过程中当小球碰到钉子时，从左边落下与从
右边落下的机会相等。
碰到下一排钉子时又是如此。
最后落入
底板中的某一个格子，图中用一条折线显示小球下落的一条轨迹。
二、高尔顿钉板试验中的相关问题
1、小球落入各个格子中的概率与频数
做一个小球的高尔顿钉板试验，其落入第i 个格子的概率正好满足二项分布。
设高尔顿钉板有n 行钉，第n 行铁钉共有n 个，有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左
到右依次编号为
i=0，1，2，,，n 共（n+1）个空。
观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：
小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向
左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为
P （i=0）=C 0
n （
21）n
(
2
1)0
。
观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰
撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空
的概率为P （i=1
）=C 1n
（21）
n-1
(
2
1)1
。
小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选
择向左落下，所以落入第
i 个空的概率为
P （i ）= C i n
（
12
）n-i
(
2
1)i
高尔顿板完整推导过程
高尔顿板完整推导过程
摘要：
1.高尔顿板的概念
2.高尔顿板的推导过程
3.高尔顿板的应用
正文：
高尔顿板是一种在概率论和统计学中经常使用的工具，主要用于计算两个事件同时发生的概率。高尔顿板的概念最早由英国数学家高尔顿在19 世纪末提出，其基本原理是，如果将不同事件的发生概率用矩形面积表示，那么两个事件同时发生的概率就等于这两个矩形面积的重叠部分。
高尔顿板的推导过程分为三步：
第一步，建立矩形坐标系。首先，我们需要建立一个矩形坐标系，将所有可能的事件用矩形表示。例如，如果我们要研究掷两个骰子的事件，那么每个骰子的点数就可以看作是一个事件，我们可以用矩形表示每个事件，矩形的长和宽分别表示事件发生的概率。
第二步，计算重叠部分。然后，我们需要计算所有可能事件的重叠部分，也就是两个矩形面积的交集。这个交集的面积就代表了两个事件同时发生的概率。
第三步，求和。最后，我们需要将所有可能事件的重叠部分求和，得到的结果就是两个事件同时发生的总概率。
高尔顿板的应用非常广泛，不仅可以用于计算概率，还可以用于解决各种实际问题。
高尔顿板背景下的二项分布
变式训练：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小
球将自由下落．小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是1/2.
(1)求小球落入A袋中的概率P(A)； (2)在容器入口处依次放入4个小球， 记ξ为落入A袋中小球的个数，试求ξ＝3的概率与ξ的均值E(ξ)．
列及数学期望．
(2)ξ＝3,2,1，P(ξ＝3)＝P(6,1)＋P(6,6)＝116，
P(ξ＝2)＝P(6,2)＋P(6,5)＝C15(12)5＝156，
P(ξ＝1)＝P(6,3)＋P(6,4)＝58 ξ3 21
m 1 23 456 3 2 1 12 3
P
1 16
5 16
5 8
Eξ＝3×116＋2×156＋1×58＝2136.
C73
(
1 2
)3
(
1)4 2
C73
(
1 2
)7
F G
3左0右 2左1右
1左2右 0左3右
6．(2012·丹东模拟)如图，在竖直平面内有一个“游戏滑道”，空白 部分表示光滑滑道，黑色正方形表示障碍物，自上而下第一行有 1个障碍物，第二行有2个障碍物，…，依次类推．一个半径适当 的光滑均匀小球从入口A投入滑道，小球将自由下落，已知小球 每次遇到正方形障碍物上顶点时，向左、右两边下落的概率都是 12.记小球遇到第n行第m个障碍物(从左至右)上顶点的概率为
《引入高尔顿板试验》课件
解释试验结果在实际应用中的意义，如预测概率、估计误差等。
误差分析
误差来源识别
分析试验过程中可能产生 误差的环节，如测量工具 、操作方法等。
误差对结果的影响
评估各误差来源对试验结 果的影响程度，判断是否 需要进行修正。
减小误差的方法
提出减小误差的措施，如 改进测量工具、规范操作 流程等。
高尔顿板试验的应用领域
概率论与wk.baidu.com计学
高尔顿板试验是概率 论和统计学中研究随 机过程和概率分布的
重要实验装置。
物理学
用于研究波动、散射 和随机行走等现象。
生物学与遗传学
模拟基因变异的分布 和遗传规律，有助于 理解生物进化机制。
金融与经济学
用于模拟股价、交易 量等金融市场现象， 探究市场波动和不确
定性。
定律内容
当一个流体在运动时，流层之间会因相对运动而产生内摩擦力，这种内摩擦力就是粘性力。牛 顿粘性定律指出，粘性力的大小与流体的速度梯度和接触面上的法向应力成正比，方向与速度 梯度的方向相反。
定律公式
F=-μ*A*du/dy，其中F为粘性力，μ为流体的动力粘度，A为接触面面积，du/dy为速度梯度。
模型方程
基于流体动力学方程和伯努利定理，结合高尔顿板的几何形 状和边界条件，建立描述高尔顿板试验的数学方程。通过求 解这些方程，可以得到流体的速度分布、压力分布和阻力系 数等参数。
高尔顿板的概率问题
高尔顿板的概率问题
大高尔顿板的概率问题
大高尔顿板是一个著名的数学概率问题，它是由英国数学家查尔斯·高尔顿于1889年创建的。它是一个有趣的概率游戏，可以考验学
生对概率论的理解以及对概率知识的应用能力。大高尔顿板关键在于
要测试出学生进行采样概率预测的可能性，以及在采样概率中必须有
效地反映出各参数之间的关系。
大高尔顿板的概率问题一般分为两大部分：一是实际的概率预测，
也就是抽样试验的正确率；二是理论的概率预测，也就是从采样概率
中得出理论概率结果。要对大高尔顿板进行概率分析，学生首先要掌
握大高尔顿板与概率理论有关内容。
大高尔顿板最初是一边有8个格子、一边有7个格子的2个有限板，各横竖板上都相邻的格子之间的间距相等，把最小的元素记做一个单位，最多的元素记做20个单位，这样就可以用16-20个白色x黑色的
小球来填满板子的每个格子，另外还有17个格子可以放置不同形状的
被称为骰子的元素。从背面看，这两个有限板正好拼成了一个大高尔
顿板，因为从它的正面上可以看到1-16个格子组成的小正方形，就像
棋盘一样。
实现大高尔顿板概率预测时，学生如果拥有基本的概率论知识，就
可以对所有概率值进行逐一计算，可以通过概率中的组合来求出每一
次抽样的概率。实际上，大高尔顿板概率问题的解法依赖于两个常用
的概率概念：乘积公式和加权概率。乘积法指的是，要求出一个事件
第一次发生的概率，就要先求出第二次发生的概率，再求出第一次发
生的概率；而加权概率是把元素的概率融合到抽样的概率中，从而根
据固定的元素分布，可以很容易求出每次抽样的概率。
新课程新教材高中数学选择性必修3：二项分布
均值和方差分别为 E( X ) p ， D(X ) p(1 p) 。
（2）当 n 2 时， X 分布列为
P(X 0) (1 p)2 ， P(X 1) 2 p(1 p) ， P( X 2) p2 ，
它们的共同特点是：1、同一个伯努利试验重复多次； 2、各次试验的结果相互独立。
2、定义 n 重伯努利试验： 将一个伯努利试验独立重复进行 n 次所组成的随机试验。
追问 2 伯努利试验和 n 重伯努利试验有什么区别？
伯努利试验：是一个“只有两个结果的试验”，
我们关注某个事件 A 是否发生。
n 重伯努利试验：是对“伯努利试验”独立、重复进行了 n 次，
0.8 A2
A1
0.8
0.2 A2
0.2
0.8 A2
A1
0.2
A2
0.8 A3
0.2
A3
0.8
A3
0.2 A3
0.8
A3
0.2 A3
0.8
A3
0.2
A3
试验结果
A1A2A3
A1A2 A3 A1 A2A3 A1A2 A3 A1A2A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
X的值
3 2 2 1 2 1 1 0
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高尔顿（钉）板与二项分布的关系的证明
“（人教版）选修2—3 57页探索与研究
高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁休。如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内。
有兴趣的同学可以通过以下的问题研究高尔顿板与二项分布的关系。
1．通过高尔顿板实验课件，做1000个小球的高尔顿板试验，看一看小球在格子中的分布形状是怎样的？
2．计算小球落入各个格子所有可能路线的数目。（提示：考虑它与杨辉三角的关系）
3．计算小球落入各个格子的概率。”
设（如图）高尔顿（钉）板有n 行钉，第n 行铁钉共有（n+2）个，两个铁钉之间一个空，则有（n+1）个空。把这（n+1）个空由左到右依次编号为i=0，1，2，…，n 共（n+1）个空。 观察i=0这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后必须连续向左落下，即连续n 次选择向左落下，所以落入第i=0个空的概率为P （i=0）=C 0n （21）n (2
1)0。 观察i=1这个空，小球从这个空落下的条件是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有且只有一次选择向右落下，其余都只能是向左落下，所以落入第i=1个空的概率为P （i=1）=C 1n （21）n —1(2
1)1。 猜想第i 个空，小球从这个空落下的结论是：小球从第一次与铁钉碰撞后连续n 次碰撞落下过程中，有i 次选择向右落下，其余都选择向左落下，所以落入第i 个空的概率为 P （i ）= C i n （21）n —i (2
1)i 。（i=0，1，2，…，n ） 现对上猜想给出证明：a n ，i = P （i ）= C i n （
21）n —i (21)i 。（i=0，1，2，…，n ） 规定：a i ，j 表示第i 行第j （0≤j ≤n ）个空球落下的概率。
由高尔顿（钉）板可知：a 1，0=21，a 1，1=2
1 ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+===-----i 1,n 1i 1,n i n,1n 0,n 0,1,0n n,0a 21a 21a a 21a a 21a （1≤i ≤n －1，n ≥2） 用数学归纳法证明：
1． 当n=1时，已如上证。
当n=2时，a 2，0=
21 a 1，0=（21）2=C 02（21）2—0(21)0 a 2，1=21 a 1，0+21 a 1，1=21 =C 12（21）2—1(2
1)1
a 2，2=21 a 1，1=（21）2= C 22(21)0（2
1）2—0 显然成立。
2． 假设n=k （k ≥2）成立（即假设第n 行每一个数据都成立）。
即a k ，i = C i k （21）k —i (2
1)i 当n=k+1时，a k+1，0=21 a k ，0= 21C 0k （21）k —0 (2
1)0 = C 01k +（
21）(k+1)－0 (21)0 a k+1，k+1=21 a k ，k =21 C k k （21）k —k (2
1)k = C k k （21）（k+1）—（k+1）(2
1)k+1 = C 1k 1k ++（
21）（k+1）—（k+1）(21)k+1
a k+1，i =21 a k ，i-1+21 a k ，i
=21 C 1-i k （21）k-(i-1)(21)i-1+21 C i k （21）k-i (21)i
=（ C 1-i k + C i k ）（21）k+1 = C i 1k +（21）(k+1)-i （2
1）i ∴在n=k 成立的条件下，n=k+1也成立。
3． 由1，2得，原命题成立。
由此可知：做一个小球的高尔顿（钉）板试验落入第i 个空的概率正好满足二项分布。 由大量小球做高尔顿（钉）板试验可知道，小球在各个空格落入的数量关系满足正态分布（已有人发布了试验的动画在此就不做说明）。