简单的逻辑联结词全称量词及存在量词

简单的逻辑联结词全称量词及存 在量词
二、自主合作 （一）基础梳理
1.简单的逻辑联结词
（1）用逻辑联结词“且”联结命题p和命题
q，记作 p q 读作“p且q”.
（2）用逻辑联结词“或”联结命题p和命题
q，记作 pq 读作“p或q”.
（3）对一个命题p全盘否定,记作 p .
读作“非p”或“p的否
(4)命题 pq,pq,p的真假判
5； 2
命题 q：∀x∈R，都有 x2＋x＋1＞0.给
出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；
② 命 题 “¬p∨q” 是 真 命 题 ； ③ 命 题
“¬p∨¬q” 是 假 命 题 ； ④ 命 题
“p∧¬q” 是 假 命 题 ． 其 中 正 确 的 是
__②__④____．
解析：∵sinx＝ 25＞1，∴命题 p 是假命 题．∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34＞0 恒成立， ∴命题 q 是真命题．由真值表可知，②④ 成立．
跟踪训练
1.写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p 且q”、“非p”形式的复合命题,并判断真假. (1)p：平行四边形的对角线相等; q：平行四边形的对角线互相垂直; (2)p:方程x2＋x－1＝0的两实根符号相同; q:方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等
【解】 (1)p∨q：平行四 边形的对角线相等或互相垂 直.假命题. p∧q：平行四边形的对角线 相等且互相垂直.假命题. ¬p ： 有 些 平 行 四 边 形 的 对
3.含命有题一个量词的命命题题的的否否定 定
∀x∈M,p(x)∃x0∈M,¬_p_(_x__0_)______
∀x∈M,¬p(x)
∃x0∈M,p(x0)
_______________
思考探究 全称命题与特称命题的否定 有什么关系? 全称命题的否定是特称命题
1. 对 命题(二“)课∃前x热0∈身R,x20 － 2x0＋ 4≤0”的否
p q p∧q p∨q ¬p
真真 真 真
假
真假 假 真
假
假真 假 真
真
假假 假 假
真
2.全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称命题
①短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通
常叫做全称量词并用符号“ ”表示.
②含有全称量词的命题，叫做全称命. 题
③全称命题:“对M中任意一个x,有p(x)成立” 可用符号简记为：x∈M, p(x).
例2 判断下列命题的真假.
(1)∀x∈R,x2－x＋1>12; (2)∃α,β,cos(α－β)＝cosα－cosβ; (3)∀x,y∈N,x－y∈N; (4)∃x0,y0∈Z, 2x0＋y0＝3.
【思路分析】 (1)(3)中含全称量词,使
每一个x都成立才为真;(2)(4)中含存在
量词,存在一个x0成立即为真.
解 ： (1)¬p ： 有 些 平 行 四 边 形 的 对 角 线 不相等,真命题. ¬q：有些平行四边形的对角线不互相垂 直,真命题. (¬p)∨(¬q)：有些平行四边形的对角线 不相等或不互相垂直,真命题. (¬p)∧(¬q)：有些平行四边形的对角线 不相等且不互相垂直,真命题.
(2)¬p：方程x2＋x－1＝0的两实根符号 不相同,真命题. ¬q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对 值不相等,真命题. (¬p)∨(¬q)：方程x2＋x－1＝0的两实根 符号不相同或绝对值不相等,真命题. (¬p)∧(¬q)：方程x2＋x－1＝0的两实根 符号不相同且绝对值不相等,真命题.
A.pq
B.pq
C.pq
D.pq
4.P是假命题是“p或q为假命题的必要不充分 条件
5．已知命题 p：∃x∈R，x2＋x12≤2.命
题 q 是命题 p 的否定，则命题 p、q、p∧q、
p∨q 中是真命题的是_p_、__p_∨__q_．
三、探究解疑
考点1 含有逻辑联结词命题真假的判定
例 1．已知命题 p：∃x∈R，使 sinx＝
【误区警示】 在求m的取值范围时,一 是不注意端点值,二是由p,q的真假列关 于m的不等式不正确.
互动探究 2.在本例中,若将条件“p或q为真,p且q为 假”,改为“p且q为真”,结果如何?
解：p 且 q 为真,则 p、q 同时为真,
m>2
则
,∴2<m<3.故 m 的取值范围为
1<m<3
2<m<3.
至少 有两 个
对任意 x∈A使 p(x)真 存在 x0∈A 使p(x0) 假
例3 已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋ 2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题， 则实数a的取值范围是________． 【思路分析】 先判断p与q的真假，再 各自求出a的范围，p且q是真命题，因 而p、q皆真，可取a的范围的交集，即 为所求．
方法感悟
方法技巧 1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题 语句中,字面上未出现“或”与“且”字,此 时应从语句的陈述中搞清含义,从而分 清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地,若 两个命题属于同时都要满足的为“且”, 属于并列的为“或”.
2.逻辑联结词中,较难理解含义的是“或”, 应从以下两个方面来理解概念：(1)逻辑 联结词中的“或”与集合中的“或”含义的 一致性.(2)结合实例,剖析生活中的“或”与 逻辑联结词中的“或”之间的区别.生活中 的“或”一般指“或此或彼只必具其一,但 不可兼而有之”,而逻辑联结词中的“或” 具有“或此或彼或兼有”三种情形.
定是______ _
_.
2.命题p：∀x∈R,f(x)≥m,则命题p的否定¬p 是___∃_∀x_x0_∈∈__RR__,,fx_(2x_－_0)_2<_xm_＋. 4>0
3 . 命 p : x R 题 ,sx i1 ; 命 nq : x R 题 ,cx o 1
则下列结论是真命题的是（B）
【解】 (1)真命题,∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34 ≥34>12. (2)真命题,如 α＝π4,β＝π2符合题意. (3)假命题,如 x＝1,y＝5,但 x－y＝－4∉N. (4)真命题,如 x0＝0,y0＝3 符合题意.
【规律小结】 (1)要证全称命题是真 命题,必须确定对集合中的每一个元素 都成立,若是假命题,举一反例即可. (2)要证存在性命题是真命题,只要在限 定集合中,找到一个元素使得命题成立 即可.
考点3 全称命题与存在性命题的否定 全称(存在性)命题的否定与命题的否定 有着一定的区别,全称命题的否定是将 全称量词改为存在量词,并把结论否定. 存在性命题的否定是将存在量词改为全 称量词,并把结论否定;而命题的否定是 直接否定其结论.
例3 写出下列命题的否定并判断其假. (1)p：不论 m 取何实数值,方程 x2＋mx－1 ＝0 必有实数根; (2)p：有的三角形的三条边相等; (3)p：菱形的对角线互相垂直;
显然¬p 为假命题.
(3)¬p：有的菱形的对角线不垂直. 显然¬p 为假命题. (4)¬p：∀x∈N,x2－2x＋1>0.
显然当 x＝1 时,x2－2x＋1>0 不成立,故¬p 是假命题.
【名师点评】 常见量词的否定形
原语 句
是
都 是
>
否定 形式
不是
不 都 是
≤
至少 至多
有一 有一
个个
一个 也没 有
(2)p∨q：方程x2＋x－1＝0 的两实根符号相同或绝对值 相等.假命题. p∧q：方程x2＋x－1＝0的 两实根符号相同且绝对值相 等.假命题.
课前热身 1.(2012·本溪质检)下列命题中是全称 命题并且是真命题的是( ) A.所有菱形的四条边都相等 B.若2x为偶数,则x∈N C.若x∈R,则x2＋2x＋1>0 D.π是无理数 答案：A
3.“非”的含义就是对“命题的否定”.课标 只要求能正确地对“含有一个量词的命 题”进行否定.
失误防范 1.p∨q为真命题,只需p、q有一个为真即 可,p∧q为真命题,必须p、q同时为真. 2.p或q的否定为：非p且非q;p且q的否定 为：非p或非q
3.对一个命题进行否定时,要注意命题所 含的量词,是否省略了量词,否定时将存 在量词变为全称量词,将全称量词变为 存在量词,同时也要否定命题的结论.
【思路分析】 (1)利用“或”、“且 ”、“非”把两个命题联结成新命题; (2)根据命题p和命题q的真假判断复合 命题的真假.
【名师点评】 正确理解逻辑联结词“ 或”、“且”、“非”的含义是解题的 关键,应根据组成各个复合命题的语句 中所出现的逻辑联结词,进行命题结构 与真假的判断.
互动探究 1.把例1中的要求改为“写出下列各组命 题构成的(¬p)∨(¬q),(¬p)∧(¬q)形式的 复合命题,并判断真假”.
【解析】 ∵p 且 q 为真命题，∴p、q
均为真命题，
p： ∀x∈[1,2]，x2－a≥0 为 真命题 ， ∴a≤x2min＝1， ∴a≤1. q：∃x∈R，使 x2＋2ax＋2－a＝0 为真 命题，∴x2＋2ax＋2－a＝0 有实数根， ∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
∴a≤－2 或 a≥1，
∴a≤－2 或 a＝1. 【答案】 a≤－2或a＝1
【名师点评】 命题q的理解要避免出现 遗漏，如只考虑Δ＝0或Δ＞0的情况．
考点4 求参数的取值范围 解决这类问题时,应先根据题目条件,推 出每一个命题的真假(有时不一定只有 一种情况),然后再求出每个命题是真命 题时参数的取值范围,最后根据每个命 题的真假情况,求出参数的取值范围.
例4 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两 个不等的负实根;q：方程4x2＋4(m－2)x ＋1＝0无实根,若p或q为真,p且q为假,求 实数m的取值范围. 【思路分析】 先求出当p、q为真命题 时m的取值范围.再根据“p或q”,“p且q” 的真假进一步求出m的取值范围.
读作“对任意x属于M，有p(x)成立”
（2）存在量词与特称命题
①短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词并用符号“ ”表示.
②含有存在量词的命题，叫做特称命. 题
③特称命题 “M中存在一个x0，使p(x0)成立” 可用符号简记为：x0∈M, p(x0.)
读作“存在一个x0属于M，有p(x0)成 立”
考点2 全称(存在性)命题及真假判断 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须 对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成 立;但要判断全称命题为假命题,只要能 举出集合M中的一个x＝x0,使得p(x0)不 成立即可.
(2)要判断一个存在性命题为真命题,只 要在限定集合M中,至少能找到一个x＝ x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在性命 题就是假命题.
6.命题 p：∃x0∈R,x20＋ax0＋1≤0 为假命题, 则实数 a 的取值范围是________.
答案：(－2,2)
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 判断含有逻辑联结词的命题的 真假 “p∨q”“p∧q”“¬p”形式命题真假的判 断步骤：
(1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p、q的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”形式命题的 真假.
【解】 p：Δ＝m2－4>0 ,解得 m>2. m>0
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0. 解得 1<m<3. ∵p 或 q 为真,p 且 q 为假.
∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真.
即mm>≤21或m≥3
或m≤2 1<m<3
.
解得 m≥3 或 1<m≤2.
综上,m 的取值范围是 m≥3 或 1<m≤2.
(4)p：∃x0∈N,x20－2x0＋1≤0.
分析命题所 【思路分析】 含量词
明确Baidu Nhomakorabea题是全称命题还 对命题否定
→ 是存在性命题
→ 并判断真假
【解】 (1)¬p：存在一个实数 m0,使方程 x2＋m0x－1＝0 没有实数根.因为该方程的 判别式 Δ＝m20＋4>0 恒成立,故¬p 为假命题. (2)¬p：所有的三角形的三条边不全相等.
2.(2011·高考辽宁卷)已知命题p： ∃n∈N,2n>1000,则¬p为( ) A.∀n∈N,2n≤1000 B.∀n∈N,2n>1000 C.∃n∈N,2n≤1000 D.∃n∈N,2n<1000 解析：选A.由于存在性命题的否定是全 称命题,因而¬p为∀n∈N,2n≤1000.
3.设p：大于90°的角叫钝角,q：三角形 三边的垂直平分线交于一点,则p与q的 复合命题的真假是( ) A.“p∨q”假 B.“p∧q”真 C.“¬q”真 D.“p∨q”真 答案：D