第四章 矩阵

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第四章 矩阵·行列式·线性方程组

第四章 矩阵·行列式·线性方程组
式中 k1 , k2 , , kn 是将序列 1, 2, , n 的元素次序交换 k 次所得到的一个序列, 号表示对 k1 , k2 , , kn 取遍
1, 2, , n 的一切排列求和,那么数 D 称为 n 阶方阵相应的行列式。例如,四阶行列式是 4! 个形为
(1)k a1k1 a2 k2 a3k3 a4 k4 的项的和,而其中 a13 a21a34 a42 相应于 k 3 ,即该项前端的符号应为 (1)3 。
(6)

2.1.5. 拉普拉斯恒等式
(7)
显然(2) , (3)分别是(6) , (7)的特例。
n 设 A (aij )mn , B (bij ) mn ( m n ) ,又设 l Cm ,A 的所有 n 阶子式为 U1 ,U 2 , ,U l ,B 的相应的 n
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第四章
矩阵·行列式·线性方程组
§1 矩阵与行列式
第四章
矩阵·行列式·线性方程组
本章内容包括矩阵、行列式与线性代数方程组两部分. 在前一部分,叙述了矩阵和行列式的基本概念,重点介绍各种类型矩阵的性质、基本运算,此外, 还介绍了矩阵的特征值与特征矢量的求法,及有关的内容,如相似变换等;在线性方程组部分,着重介 绍含 n 个未知量的 n 个方程的方程组解法,也简单地讨论了解的结构。最后对整系数线性方程组和线性 不等式组也作了扼要说明。
若行列式中有两行(或列)对应的元素完全相同或成比例,则行列式为零。 若行列式中有一行(或列)元素是其他某些行(或列)对应元素的线性组合,则行列式为零。
7°若行列式中某一行(或列)的所有元素都可表示为两项之和,则该行列式可用两个同阶的行列式
之和来表达。例如
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第四章

《高等代数》知识点梳理

《高等代数》知识点梳理

高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念(1)定义:由n s ×个数ij a (s i ,2,1=;n j ,2,1=)排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111,称为s 行n 列矩阵,简记为n s ij a A ×=)(。

(2)矩阵的相等:设n m ij a A ×=)(,k l ij a B ×=)(,如果l m =,k n =,且ij ij b a =,对m i ,2,1=;n j ,2,1=都成立,则称A 与B 相等,记B A =。

(3)各种特殊矩阵:行矩阵,列矩阵,零矩阵,方阵,(上)下三角矩阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵。

2、矩阵的运算(1)矩阵的加法:++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。

运算规律:①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)((2)数与矩阵的乘法:= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律:①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)((3)矩阵的乘法:= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211,s i ,2,1=;m j ,2,1=。

运算规律:①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况,①BA AB ≠②AC AB =,0≠A ,⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A(4)矩阵的转置: =sn s n a a a a A 1111,A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律:①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =(5)方阵的行列式:设方阵1111n n nn a a A a a= ,则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。

计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算

计算方法(5)第四章 矩阵特征值和特征向量的计算

n
使得u 0

i xi
i 1
n
n
uk Auk1 Aku0 Ak (i xi ) iik xi
i 1
i 1

1k [1x1

n i2
( i 1
)k i xi ]
由1 0, 1 i (i 2, 3,L , n) 得
lim(
对矩阵A1用乘幂法得 uk

A-1u
k

1
因为A1 的计算
比较麻烦,而且往往不能保持矩阵A 的一些好性质
(如稀疏性),因此,反幂法在实际计算时以求解
方程组
Auk

u
k
,代替迭代
1
uk
A-1uk1求得uk,每
迭代一次要解一线性方程组。 由于矩阵在迭代过
程中不变,故可对A 先进行三角分解,每次迭代只 要解两个三角形方程组。

2 p 2 n
2 n
2 n 2
1 p 21 2 n 1 n 1 2 1 n 1
因此,用原点平移法求1可使收敛速度加快。
三、反幂法
反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向 量的方法,也是修正特征值、求相应特征向量的最 有效的方法。
0
0.226

0.975
做正交相似变换后得到
3.366
A3 =R2 AR2T


0.0735
0.317
0.0735 1.780
0
0.317
0

1.145
雅可比方法是一个迭代过程,它生成的是一个矩阵的
序列 Ak,当k越大时Ak就越接近于对角矩阵,从而

第四章矩阵的特征值和特征向量

第四章矩阵的特征值和特征向量

即,0不是A的特征值,或者,A的任一特征值不等于零
充分性:设A的任一特征值不等于零,假设A不可逆 则 det A 0, 于是det(0E-A)=det(-A)=(-1)n det A 0 所以=0是A的一个特征值,矛盾
m 是A的m个不同 的特征值,1, m分别是A的属于1,2 m的特征向量, 则1, m线性无关
T
特征值1的全部特征向量为c11 (c1 0, 常数)
对于3=2,解对应的齐次线性方程组(2E A) X 0,
1 1 -1 x1 0 0 0 3 x2 0 0 0 1 x 0 3
定义4.2 A (aij )为n阶矩阵,含有未知数的矩阵 E A称为 A的特征矩阵,其行列式
E A
a11 a12 a21 a22
an1 an 2
a1n a2 n
ann
称为A的特征多项式。 det( E A) 0称为A的特征方程。
定理4.1:设A (aij )为n阶矩阵,则0是A的特征值, 是 A的属于0的特征向量的充要条件是,0为特征方程 det( E A) 0的根, 是齐次线性方程组(0 E A) X 0 的非零解。
(2)由(4.1)式知:向量 是齐次线性方程组(0 E A) 0 ( 0)的非零解。而该方程组有非零解的充分必要条件是 其系数行列式 0 E A 0.
(3) 矩阵A的特征值0,即以为变量的一元n次方程
E A 0的根。
(4) 如果已经求出方程 E A 0的根,则齐次线 性方程组(0 E A) X 0的任意非零解,都是A的 属于0的特征向量。
对于1 2, 解齐次线性方程组(2 E A) X=0,即解 -5 -4 x1 0 x -5 -4 2 0

高等数学第四章课件-初等矩阵

高等数学第四章课件-初等矩阵

类似地, 类似地, ⎛ A ⎞ P −1 ⋯ P −1 P −1 ⎜E ⎟ l 2 1 ⎝ n⎠ ⎛ APl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎞ =⎜ E n Pl −1 ⋯ P2 −1 P1−1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ En ⎞ = ⎜ −1 ⎟ ⎝A ⎠
A 施 行 初 等列 变 换 , 即 对 2n × n 矩 阵 E −1 当把 A 变成 E 时,原来的 E 就变成 A .
R( A) = R( B ).
⎛ 1 0 −1 ⎞ 例2 将可逆矩阵 A = ⎜ −2 1 3 ⎟ 表成若干初等 ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 矩阵的乘积. 矩阵的乘积. ⎛ 1 0 −1 ⎞ 左乘P (2,1(2)) ⎛ 1 0 −1 ⎞ → 解: A = ⎜ −2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎜ 3 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 −1 ⎞ 右乘P (1,3(1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,1( −3)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ → → ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎜ 0 −1 5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 1 0 0 ⎞ 右乘P (2,3( −1)) ⎛ 1 0 0 ⎞ 左乘P (3,2(1)) ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ 0 1 0 ⎟ → → ⎜ 0 0 6⎟ ⎜ 0 0 6⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1 0 0⎞ 左乘P (3( )) 6 ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ ⎜ ⋱ ⎟ 1 ⎜ ⎟ P ( i ( c )) = ⎜ ⎟ c ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⋱ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
←第i 行
第i列
倍法矩阵 (倍法矩阵 倍法矩阵)
( 3 )以 数 k 乘 某 行 ( 列 )加 到 另 一 行 ( 列 )上 去 以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上 ( krj + ri ) 以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上 ( kci + c j ),

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

《概率论》第4章矩、协方差矩阵

为 k l 阶混合中心矩
E假(定X )其中各数学1 阶期原望点都矩存在
D“矩(X”) 是来自于2物阶理中学心中矩力矩的概念
Cov(X y,Y )
2 阶混合中心矩
y f (x)
O
x d第x 四章 随机x变量的数字特征
§4 矩、协方差矩阵
2/8
对于二维r.v ( X1,,X记2 )
c11 E[( X1 E( X1))2 ] D( X1) c12 E[(X1 E(X1))(X2 E(X2 ))] Cov(X1, X 2 )
7/8
(X1, X2 ,L , Xn ) ~ N(,C) X1, X2,, Xn 的任一线性
组合 l1X1 l2 X2 ln Xn 服从一维正态分布 正态r.v的线性变换不变性:设
(X1, X2 ,, Xn ) ~ N(,C) 令
Y1 a11 X1 a12 X2 a1n Xn
Y2
§4 矩、协方差矩阵
1/8
对于 r.v X ,Y , 称
E( X k ) ( k 1, 2,)
为 k阶原点矩,简称 k阶矩 .称
E[( X E( X ))k ] ( k 2,3,)
为 k阶中心矩 .称
E( X kY l ) (k,l 1, 2,)
为 k l 阶混合矩 .称
E[( X E(X ))k (Y E(Y ))l ] (k,l 1, 2,)
)e2 xp2{
12(x(X1)1( y)2TC21)(X
(y
)}2
2 2
)2
]}
与一维记再正记C态Xr.vcc12密11xyf度c(c,1x222)函数比11211较2, e2则xp{122(x2
)
2
}

第四章 矩阵

第四章 矩阵
8)A为反对称矩阵 对n维向量,有ZAZ 0
Ch5 P234 习题4(1)
13.正交矩阵
定义7:P370CH9
1.正交矩阵的充要条件
A
(a
)正交(A是实矩阵)
ij
A为正交阵
A1为正交阵
A为正交阵
A*为正交阵
A1 A
2)A正交,则A的特征值的模为1;
3)A正交,则 A 1; 4) A、B正交,则AB正交.
,A )为准对角阵,则 S
秩A=秩A +秩A
1
2
L
秩AS
4)A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 1
2
,L
,B ) S
那么 AB diag( A1B1,L , AS BS )
5)A=diag(A1,A 2 ,L
,A ) S
B=diag(B ,B 12
,L
,B ) S
8) 设A为n m复矩阵,则 秩A=秩A=秩AA=秩AA
9) A,B为n n矩阵,AB=0,则 秩A+秩B n,(P200.18)
10) A为n n矩阵, A2 E,则
秩(A+E)+秩(A-E)=n;(P .3) 203
11) A为n n矩阵, A2 A,则
秩A+秩(A-E)=n;(P .4) 203
1)设 A, B 为n阶矩阵,则
① tr(A B) trA trB
② tr(kA) ktrA
③ trA trA ④ trAB trBA
2)A ~ B 那么 trA trB
3) A为n阶方阵,则A的特征多项式为
则有 E A
n
b n1 n1

(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量

(线性代数)第四章 矩阵的特征值和特征向量
an − a1
∴η1
=
a2 − a1
1 0 0 0 ,η 2 = 1 ,L ,η n −1 = 0 M M M 0 1 0
对应λ=0的 =0的 特征向量为 k1η1 + L + kn −1η n −1 , k ,L , k 不全 n −1 1
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.1 相似矩阵
§4.1 相似矩阵 一. 相似矩阵的定义和性质 AP= 都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P 设A, B都是n阶方阵, 若有可逆矩阵P, 使P−1AP=B, 则称矩阵A 相似. 记为A 相似变换矩阵. 则称矩阵A与B相似. 记为A~B. P为相似变换矩阵. 相似是相抵的特例 相似必相抵,反之不然. 特例: 注1: 相似是相抵的特例: 相似必相抵,反之不然. 注2: 矩阵间的相似关系是一种等价关系 (1) 反身性: A~A; 反身性: P−1AP =B (2) 对称性: A~B ⇒ B~A; 对称性: PBP−1 =A (3) 传递性: A~B, B~C ⇒ A~C. 传递性: 相抵关系下的不变量: 相抵关系下的不变量:矩阵的秩 相似关系下的不变量: 相似关系下的不变量: 矩阵的秩
第四章 矩阵的特征值和特征向量
§4.2 特征值与特征向量
解: |λE–A| = (λ+1)(λ –2)2. +1)( 所以A 所以A的特征值为λ1= –1, λ2= λ3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: ξ1=(1,0,1)T. 的基础解系: 对应于λ1= –1的特征向量为kξ1 (0≠k∈R). 的特征向量为k (0≠ (2E–A)x = 0的基础解系: (2E 的基础解系: ξ2=(0, 1, –1)T, ξ3=(1, 0, 4)T. =2的特征向量为 的特征向量为k 对应于λ2=λ3 =2的特征向量为k2ξ2 +k3ξ3 (k2, k3不同时为零). 不同时为零).

高等代数课件--第四章 矩阵§4.4 矩阵的逆

高等代数课件--第四章 矩阵§4.4 矩阵的逆
1.伴随矩阵 定义: 设Aij矩阵A=(aij)nn中元素aij的 代数余子式,矩阵
A11 A 12 A* A1 n A21 A22 A2 n An1 An 2 adj A Ann
称为A的伴随矩阵.
性质 若A为n级方阵,则AA*=A*A=|A|En。
§4.4
矩阵的逆
一、可逆矩阵的定义:
设A为n级方阵,若有n级方阵B,使
AB=BA=En B为A的逆矩阵. 则称A为一个可逆矩阵,
注:
① 对于n级矩阵A,如果存在n级矩阵B, 使得AB=E,则A是可逆矩阵吗?
1=E

二、可逆矩阵的判定、求法
且(AB) 1=B 1A1.
问题:3)能否推广到有限个的情况?
4) 若A可逆,则A可逆,且(A ) 1=(A1).
5) 若A可逆, 则A*可逆且(A*) 1 =A/|A
6) 若A可逆, 则Ak可逆,且(Ak) 1 =(A1)k. 注:当|A|0时,定义A0=E,Ak =( A1)k。 当A, B可逆时,A+B不一定可逆。
的 逆 矩 阵 , an
其 中 a i 0, i 1, 2, ..., n .
推论
设A,B为n级方阵, 若AB=E,则A, B都 可逆,且 A1=B, B1= A.
三、逆矩阵的性质
1) 若A可逆,则A1可逆,且(A1) 1=A,
2) 若A可逆,0,则A可逆,且(A) 1= 1A1. 3) 若A,B为n级可逆方阵,则AB可逆,
例3
设方阵A满足A2 3A 10E=0,证明:
A,A 4E都可逆,并求它们的逆矩阵. 解:因为A(A3E)=10E, 所以A可逆,且 A1=(A-3E)/10 又(A+E)(A4E)=6E ,所以A4E可逆,且 (A4E)1=(A+E)/6

线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量

线性代数 第四章 矩阵的特征值与特征向量

例 设 是 A 的一个特征值,证明:(1) 2 是 A2 的一个特征值;(2)当 A 可逆时, 1 是 A1 的一个 特征值.
证 设 是 A 的属于特征值 的特征向量,即 Aα α ( 0 )
(1)在 Aα α 两边左乘 A ,得 A2α Aα 2α 所以, 2 是 A2 的一个特征值,且 是 A2 的属于特 征值 2 的特征向量.
在上述讨论中,表达式 A0 40 反映了矩阵 A 作用在向量0 上只改变了常数倍,我们把具有这 种性质的非零向量0 称为矩阵 A 的特征向量,数 4 称为对应于0 的特征向量.
定义 1 设 A 是 n 阶方阵,如果存在数 和非零 列向量 ,使得 Aα α .则称 为 A 的一个特征值, 称为矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量.
(2)当 A 可逆时,由 Aα α 有 α A1α ,因为 0 , 知 0 ,故 A1α 1α ,则 1 是 A1 的一个特征值.
将此例推广为一般情况,有
结论:若 是 A 的一个特征值,则 m ( m N ) 是 Am 的一个特征值;() 是 ( A) 的特征值,其中 ( ) a0 a1 L am m , ( A) a0 E a1 A L am Am .

已知向量
1 1

A
2 5
1 a
2 3
的一个特
1
1 b 2
征向量,试确定 a,b 及特征向量 所对应的特征值 .
解 由特征值和特征向量的定义 Aα α ,有
2 5 1
1 a b
2 3
1
1
1 1

2 1 1
1
2
a
b 1
于是 1 , 2 a ,b 1 所以 a 3, b 0, 1

代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵

代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵

分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式,所以可将等式进行恒等变形,变成 CD E(或
DC E )的形式,此时有 DC E(或 CD E )。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ,即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵,则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵,从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T

k

T
k 1

T T
k 1
A

当 A 可分解为 A T 时,可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂:对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0, i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1,于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵,且 AB A B ,证明: BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵,满足 AA E,且 A 0 ,

第四章相似矩阵

第四章相似矩阵

2 1 1 求矩阵A 0 2 0 的特征值与特征向量 . 4 1 3 解:令 A E 0, 解得1 1,2 3 2 1 当1 1,解方程组( A E)x 0, 解得基础解析为 1 0 1 则k11为A关于特征值1 1的特征向量,其中 k1 0. 1 1 当2 3 2,解方程组( A 2 E)x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 0 4 则k 2 2 k3 3为A关于特征值2 3 2的特征向量,其中 k 2 , k3不全为零.
2 1 1 1 求相似矩阵 P , 使得 P AP Λ , 其中 A 0 2 0 例1、 . 4 1 3 解:令 A E 0, 解得1 1,2 3 2 1 当1 1,解方程组( A E)x 0, 解得基础解析为 1 0 . 1 1 1 当2 3 2,解方程组( A 2 E)x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 . 0 4 1 1 令P (1 , 2 , 3 ), Λ 2 , 则P AP Λ. 2
由上式可知i为A的特征值,i为A关于i的特征向量 , 又因为相似变换矩阵 P可逆,所以1 , 2 ,, n线性无关. 可知Λ由A的n个特征值构成, P由A的n个线性无关的特征向量 构成.
A可对角化的条件: 定理1:n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 定理2:n阶矩阵A可对角化 A的每个ti重根i都对应ti 个线 性无关的特征向量 定理3:A有n个互异的特征值 n阶矩阵A可对角化
第四章
相似矩阵



方阵的特征值与特征向量

线性代数_第四章

线性代数_第四章


从本例中,我们可看出,对角矩阵中的主对角
元素恰为矩阵A的特征值.相似因子阵P的各
列恰为A的对应于各特征值的特征向量.
定理7 n阶矩阵A相似于对角矩阵的充 要条件是A有n个线性无关的特征向量.

证明: (必要性)
设A相似于对角矩阵D=diag{l1, l2, …,ln} ,
则存在可逆矩阵P,使得P-1AP=D,即AP=PD。
即可求得对于该特征值的特征向量.
例4 设三阶方阵
1 2 2 A= 2 1 2 2 2 1
求A的特征值与对应于各特征值 的全部特征向量.
解: 求解特征方程|lI – A|=0,
l 1
| l I A |= 2 2 2 2 2 = (l 1) 2 (l 5) l 1
l 1
2
证明: 设A~B,则存在可逆矩阵X,使得B=X-1AX.
于是:
|B|=|X-1AX|=|X-1||A||X|=|A|
故行列式是相似不变量.

定理3
ห้องสมุดไป่ตู้
矩阵的迹是相似不变量.

定理4 矩阵的秩是相似不变量.
证明: 设矩阵A, B相似, 从而有A与B等价. 故A与B的秩相等. 因此, 矩阵的秩是相似不变量.

定理4 如果l1, l2, …,ls如(s<n)是n阶方阵A的
不同特征值,而 X , X , i1 i2
, X iri (i=1,…,s)是
A的对应于特征值li的ri个线性无关的特征向 量,那么向量组
X11 , X12 , , X1r1 , X 21, X 22 ,
, X 2r2
, X s1 , X s 2 ,
对P进行分块有:P=(X1, X2, …,Xn),代入上式

第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解

第四章-矩阵的特征值与特征向量问题讲解

Ax 2 x
1 2 x 0,
则x 0, 与定义矛盾.
12
注记
4. 若λ是矩阵A的r重特征值,对应λ有s个线性 无关的特征向量,则1≤s≤r; 若A为实对称矩阵,则对应特征值λ 恰有r 个线性无 关的特征向量。
5. 实对称矩阵的特征值是实数,属于不同特 征值的特征向量正交。
13
注记
6. 设 n阶方阵 A aij 的特征值为1, 2 ,, n ,记:
定义:设A是n阶方阵, 是一复数,如果方程 Ax x
存在非零解向量,则称 为方阵A的特征值, 相应的非零解向量x 称为与特征值 对应的特征向量, 此特征值与特征向量x称为一特征对, P(A )=det(I A)称为矩阵A的特征多项式。
4
注记
1. 特征向量x 0, 特征值问题是对方阵而 言的. 2. n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组
0.2 0.3 0.1 4
G1 = {z:|z – 1| 0.6};G2 = {z:|z – 3| 0.8}; G3 = {z:|z + 1| 1.8};G4 = {z:|z + 4| 0.6}。
G4
G1
G2
G3
注:定理推断A的n个特征值全落在n个盖氏圆
上,但未说明每个圆盘内都有一个特征值。
20
对应的特征值1,2,…,n,满足
|1| > |2| … |n|
(4.1.1)
26
1.基本思想
因为{v1,v2,…,vn}为Cn的一组基,故:
任给x(0) 0,
n
x (0) aivi
所以有:
i 1
n
n
Ak x(0) Ak ( aivi ) ai Akvi

高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习

高等代数第四章矩阵知识点复习与相关练习
4. 设 A ∈ P n×n, 且 A2 = 2A, 证明 E − A, E + A 都可逆,并求 (E − A)−1, (E + A)−1. 5. 设 A2 = A, 但 A ̸= E, 证明 A 不可逆.
6. 证明关于秩的不等式: 1) r(A) + r(B) − n ≤ r(AB) ≤ min{r(A), r(B)}, r(A + B) ≤ r(A) + r(B); 2) 设 A, B ∈ P n×n, 且 AB = 0, 证明:r(A) + r(B) ≤ n;
()
(
)
对方程 Y C = B, C −初−等−−列−变−换→
E
.
B
Y = BC−1
4.2 相关练习
一. 填空题
1.设 A ∈ P n×m, B ∈ P m×s,则 r(AB) ≤

2
2.对一个 s × n 矩阵 A 作一次初等列变换就相当于在 A 的
边乘上一个相应的
初等矩阵。
3.设 A ∈ P n×n,写出 A 可逆的充要条件:
14. 设 A, B 是 n 级可逆方阵, A 0
=
0A
,
=
.
0 B
B0
k111
15.
设矩阵 A =
1 1
k 1
1 k
1 1
,

r(A) = 3,则 k =
.
111k
16. 设 A 为 3 级方阵,若 |A| = 2, 则 |2A| =
.
17. 设 A 是实对称矩阵,若 A2 = 0, 则 A =
7. 证明:若 A, B 分别为 n × m, m × n 矩阵,则 |λEn − AB| = λn−m|λEm − BA|.

高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算

高等代数课件--第四章 矩阵§4.2 矩阵的运算
A, B为反对称矩阵,则AB不一定反对称; ⑥ A为方阵, 则A+AT为对称矩阵, AAT
为反对称矩阵;A可表示为一个对称矩
阵与一个反对称矩阵之和。
例4 A反对称,B对称.证明: 1)A2对称.2)ABBA对称; AB+BA反对 称. 3)AB反对称的充要条件为 AB=BA. 例5 A为n级实对称矩阵,且A2=0,证明:A=0。
§4.2 矩阵的运算
一、加法
1. 定义
设A=(aij)sn, B=(bij)sn 则矩阵
C = (cij)sn=(aij+bij)sn 称为矩阵A与B的和,记作 C=A+B.
2.性质
1)交换律 2)结合律 3) A+0=A 4) A+(A)=0 A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C )
3.减法:A B= A+(B)
1. 定义
设A=(aij)sn, kP, 记矩阵
B = (kaij)sn 称B为矩阵A与k的数量乘积,记作 B=kA.
2.性质:
1) (k+l)A=kA + lA 2) k (A+B)= kA + kB 3) k(lA)=(kl)A 4) 1A=A
5) k (AB)= (kA)B= A(kB)
6) 若A是n级方阵,则|kA|=
(AB)k与AkBk 是否相等?如果不等,
又需要添加什么条件?
7) 对于两个n级矩阵A, B,当AB=0时, R(A) + R(B) n 8) 对于n级矩阵A, 当A2=0时,
R(A+E) + R(AE) = n
9) 对于n级矩阵A, 当A2=A时, R(A) + R(AE) = n三、数量乘法(数乘) Nhomakorabea 性质:
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第四章 矩阵§1基本知识§1. 1 基本概念 1、矩阵(同型矩阵): 2、矩阵的相等: 3、矩阵的加法: 4、数乘矩阵: 5、矩阵的减法: 6、矩阵的乘法: 7、矩阵的转置: 8、单位矩阵: 9、数量矩阵:10、零矩阵与负矩阵: 11、分块矩阵:12、可逆矩阵与逆矩阵: 13、初等矩阵:14、对称矩阵与反对称矩阵:15、退化(或奇异)矩阵与反退化(或非奇异)矩阵: 16、伴随矩阵:17、对角矩阵(分块对角矩阵):§1. 2 基本定理1、初等变换的性质定理:对一个矩阵施行一次行(列)初等变换相当于用一个相应的初等矩阵左(右)乘这个矩阵,即:设B A ,为n m ⨯矩阵,则(1) A j i P B B A m m r r j i ),(),(⨯=⇔→,这里),(j i P m m ⨯是m m ⨯初等矩阵;),(),(j i AP B B A n n C C j i ⨯=⇔→这里),(j i P n n ⨯是n n ⨯初等矩阵;(2)A k P B B A m m kr i)(⨯=⇔→,这里)(k P m m ⨯是m m ⨯初等矩阵;)(k AP B B A n n kC i⨯=⇔→,这里)(k P n n ⨯是n n ⨯初等矩阵;(3)A k j i P B B A m m kr r ji ))(,(⨯+=⇔→,这里))(,(k j i P m m ⨯是m m ⨯初等矩阵;))(,(k i j AP B B A n n kC C ji ⨯+=⇔→这里))(,(k i j P n n ⨯是n n ⨯初等矩阵.2、矩阵可逆的判定定理:(1)n 阶矩阵A 可逆0||≠⇔A ;且可逆时,有*-=A A A ||11.(2)n 阶矩阵A 可逆A ⇔等价于n 阶单位矩阵,即A 可以通过初等变换化为单位矩阵E PAQ Q P n E =⇔使得阶可逆矩阵存在,,;(3)n 阶矩阵A 可逆A ⇔ 与n 阶单位矩阵行等价,A 可以通过行初等变换化为单位矩阵E PA P n E =⇔使得阶可逆矩阵存在,;(4)n 阶矩阵A 可逆A ⇔ 与n 阶单位矩阵列等价,A 可以通过列初等变换化为单位矩阵E AQ Q n E =⇔使得阶可逆矩阵存在,;(5)n 阶矩阵A 可逆A ⇔可以表示为n 阶初等矩阵的乘积;(6)n 阶矩阵A 可逆n A R =⇔)(,即A 的行(列)向量组是线性无关组.§1. 3 基本性质1、矩阵的运算性质:(1)交换律:A B B A +=+;(2)结合律:)()()(),()(),()(AB k kB A B kA BC A C AB C B A C B A ===++=++;(3)分配律:CA BA A C B AC AB C B A +=++=+)(,)(; lA kA A l k kB kA B A k +=++=+)(,)(;(4)在一个多项式的等式中,将变元x 用一个n 阶矩阵A 替换后(常数项应替换为该项常数与n 阶单位矩阵E 的乘积),得到的是一个矩阵等式; (5)T T T T T TTTkA kA B A B A A B AB =+=+=)(,)(,)(;(6)对角形矩阵的乘积是对角形矩阵,且设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b b b B a a a A2121, 则:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n b a b a b a AB 2211; 2、矩阵可逆的性质:(1)可逆矩阵一定是非奇异矩阵; (2)可逆矩阵的逆矩阵是唯一确定的;(3)可逆矩阵的逆矩阵是可逆矩阵,且A A =-)(1传递性;(4)可逆矩阵的乘积是可逆矩阵,且乘积的逆矩阵等于逆矩阵的乘积颠倒顺序,即若),2,1(m i A i =均是n 阶可逆矩阵,则m A A A 21是可逆矩阵,且:11111121)(-----=A A A A A A m m m ;(5)可逆矩阵A 的转置T A 是可逆矩阵,且T T A A )()(11--=; 3、初等矩阵的性质:(1)初等矩阵都是可逆矩阵,且:))(,())(,()),/1(())((),,(),(111k j i P k j i P k i P k i P j i P j i P -===---;(2)初等矩阵的转置是初等矩阵,且))(,())(,()),(())((),,(),(k i j P k j i P k i P k i P j i P j i P T T T ===;4、分块矩阵的性质(1)分块矩阵的加法满足交换律;加法与乘法满足结合律;乘法对加法满足两个分配律;分块对角矩阵的乘积是分块对角矩阵;(2)设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=rt r r t t A A A A A A A A A A212222111211是一个分块矩阵,那么 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=T rt T tT tT r T T Tt r TTT A A A A A A A A A A 212221212111; (3)设),2,1(m i A i =都是方阵,那么分块对角矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m A A A A21可逆的),,2,1(m i A i =⇔都是可逆矩阵,且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----112111m A A A A; (4)分块矩阵的初等变换具有和一般矩阵的初等变换的性质定理类似的性质; (5)设B A ,分别是n m ,阶方阵,D C ,分别是m n n m ⨯⨯,矩阵,则分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡B D A B C A 0,0是可逆矩阵B A ,⇔是可逆矩阵,且:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------111111111100,00B DA B A B D A B CB A A B C A ; (6)设B A ,分别是n m ,阶方阵,则分块矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛00BA 可逆B A ,⇔均可逆且 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000111A B B A .§1. 4 基本运算矩阵的运算包括矩阵的加、减、乘、数乘、幂与转置运算,对分块矩阵同样有上述运算. 如下关于矩阵乘法的结论比较重要,读者应该理解并记忆: (1)、AB 的第i 行等于A 的第i 行左乘B ; (2)、AB 的第i 列等于B 的第i 列右乘A .1、矩阵的加法(减法):2、数乘矩阵:3、矩阵的乘法:4、矩阵的幂:5、矩阵的转置:§2 基本题型及其常用解题方法§2. 1 矩阵可逆的判定与证明和逆矩阵的计算1、利用定义例 4.1 设n 阶方阵A 满足0=kA ,其中k 为正整数,证明:A E -为可逆矩阵,并求1)(--A E ,这里E 为n 阶单位矩阵.分析 由)1)(1()1)(1(111x x x x x x x k k k -+++=+++-=--- ,用A 替换x 并利用条件0=kA ,便不难得到结论. 证明:因为E A E AA E A E k k =-=+++--))((1,E A E A E A A E k k =-=-+++-))((1 , 故:A E -可逆且11)(--+++=-k A A E A E .说明 ① 利用定义证明A 可逆,便是要证存在B ,使得E BA AB ==,但由方法2可知只要能证明E AB =成立,或E BA =便可,祥见例4.2;② 将一个多项式等式中的未知量x ,用一个方阵A 替换便得一个矩阵等式.比如),()()(x h x g x f =则)()()(A h A g A f =.但要注意:多项式中的常数项C 应替换为CE ,如A A f A E A f x x f -=-=-=2)(,2)(,2)(是没有意义的.2、利用矩阵的行列式及其伴随矩阵这一方法的理论依据是n 阶方阵A 可逆⇔0≠A ,且可逆时,*-=A AA 11,其中*A 是A 的伴随矩阵. 说明 ① 11,1)(-*-*==A A A A AA ; ② A AA A A n 21)()(--****==.例4.2设B A ,为两个n 阶方阵,如果E AB =或E BA =,其中E 为n 阶单位矩阵,证明A 可逆且B A=-1.证明 仅证E AB =的情形(类似证明E BA =的情形).因为E AB =,所以1=B A ,从而0≠A ,故A 可逆且B EB B A A AB A E A A =====----)()(1111.例4.3(97,6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.计分块矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=*b A Q A A I P T T ααα,0,其中*A 是A 的伴随矩阵,I 是n 阶单位矩阵. (1)计算并化简PQ ;(2)证明:矩阵Q 可逆的充分必要条件是b A T≠-αα1.解(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=***A b A A A A A b AA A IPQ T T T T T αααααααα0而1,-**==A A A I A A A ,因此0=+-=+-*T T T T A A A A A αααα,)(1αααα-*-=+-A b A A b A T T ,故:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-)(01αααA b A A PQ T(2)由(1)得)(12αα--=A b A Q P T,而A P =,因此)(1αα--=A b A Q T ,故:Q 可逆的充分必要条件是0)(1≠-=-ααA b A Q T ,即01≠-ααAT.说明 ① 0=+-*T T A A A αα,这里的0是一行n 列的零矩阵;② αααα1-*-=-A A A T T 是一行一列矩阵,因此已是一个数.3、利用因式分解这一方法的理论依据是例4.2. 例4.4 题目同例4.1.证 因为E A E A A E A E k k =-=+++--))((1 ,故:A E -可逆且11)(--+++=-k A A E A E .说明 ① 与例4.1比较,这里只需证明E A A E A E k =+++--))((1 便得结论; ② 给定一个矩阵等式,要证明某个矩阵A 可逆,常常是从这个矩阵等式出发进行因式分解得E AB =,从而得结论.例4.5(01,3分)设矩阵A 满足042=-+E A A ,其中E 为n 阶单位矩阵,证明E A -可逆,并求1)(--E A .分析 由)2)(1(22+-=-+x x x x 结合042=-+E A A 便得E E A E A E E A E A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+-)2(21)(,2)2)((.证 因为042=-+E A A ,所以,2)2)((E E A E A =+-从而E E A E A =+-)21)((, 故:E A -可逆,且E A E A +=--21)(1. 说明①若本题改为证明E A 3-可逆,并求1)3(--E A ,考生可在草稿纸上从等式)0())(3(≠=+-b bE aE A E A 出发得0)3()3(2=+--+E b a A a A与条件042=-+E A A 比较得43,13=+=-b a a ,从而8,4-==b a ,即知由042=-+E A A 可得E aE A E A 8))(3(-=+-, 从而E E A E A =---)2181)(3(,故:E A 3-可逆且E A E A 2181)3(1--=--;② 解矩阵方程常常需要利用方法4.3.例4.6(98,3分)设矩阵B A ,满足E BA BA A 82-=*,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100020001A ,E 为3阶单位矩阵,*A 是A 的伴随矩阵,则________=B .解 因为E BA BA A 82-=*,所以E BA A E 8)2(=-*,故:1111)2(8))2((8)2(8--*--*-=-=-=E A A A E A A A E B又:⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4000800042000400022000400022E A A故:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-4100081000414000800041B . 4、利用矩阵的初等变换这一方法的理论依据是(1) n 阶方阵A 可逆A ⇔可以通过行初等变换化成单位矩阵E ;()()1-−→−A EE A(2) n 阶方阵A 可逆A ⇔可以通过列初等变换化成单位矩阵E , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A .例4.7(01,6分)已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011101110,111011001B A ,且矩阵X 满足:E BXA AXB BXB AXA ++=+,其中E 是3阶单位矩阵,求X .分析 由E BXA AXB BXB AXA ++=+,利用因式分解不难得:E B A X B A =--)()(,从而11)()(----=B A B A X ,问题转化为逆矩阵1)(--B A 的计算. 解()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-++→1001001100102110011001000101100112011001000101100011113132221r r r r r r E BA 故:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--100110211)(1B A ,又由E BXA AXB BXB AXA ++=+,可得 E B A X B A =--)()(,故:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--100210521100110211100110211)()(11B A B A X . 5、利用可逆矩阵和初等矩阵的性质例4.8(01,3分)设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000001001000001,0001010000101000,,214142434431323334212223241112131444434241343332312423222114131211P P a a a a a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a a a a a a a a A 其中A 可逆,则1-B等于211)(P P A A - 211)(P A P B - 121)(-A P P C 112)(P A PD - 本题应该选择)(C ;解 因为B 是由A 交换1,4列与2,3列所得的矩阵,由初等矩阵与初等列变换的关系知:12P AP B =,故:121112111-----==A P P A P P B 。

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