中考复习数学《几何图形中的相关计算》专项检测题(含答案)

几何图形中的相关计算
类型一与折叠、最值有关针对演练
1.将一张宽为4 cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是()
A. 8
3 3 cm
2 B. 8 cm2 C. 16
3 3 cm
2 D. 16 cm2
第1题图
第2题图
2. 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，折痕为BE、BF，则∠EFB的大小为()
A. 45°
B. 60°
C. 65°
D. 67.5°
3. 小王把一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′，再过点A′折
叠使折痕DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，则△ADE的
面积是()
A. 24
B. 30
C. 60
D. 90 第3题图
4.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，点
E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，
使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长
线恰好经过点D，则CD的长为()
A. 2 cm
B. 2 3 cm
C. 4 cm
D. 4 3 cm 第4题图
5.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使
点B 落在CD 的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段B′F 的长为( )
A. 35
B. 45
C. 23
D. 32
第5题图 第6题图
6. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝2，点M ，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM ＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB ＋PM 的和最小时，ME 的长度为( )
A. 13
B. 49
C. 23
D. 59
7. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝64°，∠BAC 的平分线与AC 的垂直平分线交于点O ，将∠B 沿EF(E 在BC 上，F 在AB 上)折叠，点B 与点O 恰好重合，则∠OEB 的度数为( )
A. 108°
B. 120°
C. 126°
D. 128°
第7题图 第8题图
8. 如图，已知点D 是等腰直角△ABC 斜边AB 的中点，M 是边BC 上的点，将△DBM 沿DM 折叠，点B 的对称点E 落在直线AC 的左侧，EM 交边AC 于点F ，ED 交边AC 于点G .若△FCM 的周长为16，则斜边AB 的长为( ) A. 4 2 B. 8 2 C. 16 2 D. 32 2
9. 如图，菱形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△CDE 沿CE 折叠后，点A 和点D 恰好重合，若菱形ABCD 的面积为43，则菱形ABCD 的周长为( ) A. 8 2 B. 16 2 C. 8 3 D. 16 3
10.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，P 是AB 边上
的动点(不与点B重合)，将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是________．
第10题图第11题图
11.如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F 是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B 落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为________．
12. 如图，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝
8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折
痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影
部分的面积为________
第12题图
类型二与旋转有关
1. 如图，已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中
心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
连接DA′.若∠ADC=60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小
为( )
A. 130°
B. 150°
C. 160°
D. 170°
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=10,BC=6.将Rt△ABC
绕点B旋转90°至△DBE的位置，连接EC交BD于F，则CF∶FE 的值是( )
A. 3∶4
B. 3∶5
C. 4∶3
D. 5∶3
第2题图第3题图
3. 如图，已知P为正方形ABCD外的一点，PA=1,PB=2，将△ABP 绕点B顺时针旋转90°，使点P旋转至点P′，且AP′＝3，则∠BP′C的度数为( )
A. 105°
B. 112.5°
C. 120°
D. 135°
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝
，AD＝10.连接BD，∠DBC的
角平分线BE交DC于点E.现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′.当射线BE′和射线BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G.若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为_____.
第4题图
类型三与动点、最值有关
1. 如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 最小，则这个最小值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 2 6 D. 6
第1题图 第3题图
2在平面直角坐标系中，点A(2，2)，点B(32，32)，动点C 在x 轴上，若以A 、B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C 的个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3. 如图，△ABC 中，CA ＝CB ，AB ＝6，CD ＝4，E 是高线CD 的中点，CE 为⊙C 的半径．G 是⊙C 上一动点，P 是AG 的中点，则DP 的最大值为( )
A. 72
B. 352
C. 2 3
D. 412
4. 如图，矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，E 、F 分别是AD 、
BC 上的点，且线段EF 过矩形对角线AC 的中点，PF
∥AC ，则EF ∶BF 的最小值是( ) 第4题图
A. 255
B. 25
C. 2525
D. 12
5. 如图四边形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，AB ＝2，BC ＝
3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是()
A. 3
B. 4
C. 5
D.6
第5题图第6题图
6. 如图：已知P是线段AB上的动点(P不与A，B重合)，AB＝4，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF、PG，设EF的中点为G，当动点P从点A运动到点B时，设PG＝m，则m的取值范围是________．
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
AC＝2AB＝4，E是AD边的中点，点P是CD边上一
动点，则△OEP周长的最小值是_____第7题图【答案】
类型一 与折叠、最值有关
1. B 【解析】如解图，当AC ⊥AB 时，三角形面积
最小，∵∠BAC ＝90°，∠ACB ＝45°，∴AB ＝AC
＝4 cm ，∴S △ABC ＝12×4×4＝8 cm 2. 第1题解图
2. D 【解析】∵将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、CB 均落在对角线BD 上，折痕为BE 、BF ，∴∠ABE ＝∠DBE ＝∠DBF ＝∠FBC ，
BD 垂直平分EF ，∴∠EBF ＝12∠ABC ＝45°，BE ＝BF ，∴∠BFE ＝
∠BEF ＝12(180°－45°)＝67.5°.
3. A 【解析】连接AA′，交BC 于点O ，如解图，由折叠的性质可得：
AO ＝12AA′，∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，AC ∶AE ＝AO ∶AA′
＝1∶2，∴S △ABC ：S △ADE ＝(AC AE )2＝14，∵AB ＝4，
AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB·AC ＝12×4×3＝6，∴S △ADE
＝4S △ABC ＝24.
4. B 【解析】∵点E ，F 分别是CD 和AB 的中点，∴EF ⊥AB ，∴EF ∥BC ，∴EG 是△DCH 的中位线，∴DG ＝HG ，由折叠的性质可得：∠AGH ＝∠ABH ＝90°，∴∠AGH ＝∠AGD ＝90°，在△AGH
和△AGD 中，⎩⎪⎨⎪⎧HG ＝DG ∠AGH ＝∠AGD AG ＝AG
，∴△AGH ≌△AGD(SAS)，∴AH ＝AD ，∠HAG ＝∠DAG ，由折叠的性质可得：∠BAH ＝∠HAG ，
∴∠BAH ＝∠HAG ＝∠DAG ＝13∠BAD ＝30°，在Rt △ABH 中，AH
＝AD ＝4 cm ，∠BAH ＝30°，∴AB ＝AH·cos ∠BAH ＝2 3 cm ，∴CD ＝AB ＝2 3 cm.
5. B 【解析】根据折叠的性质可知CD ＝AC ＝3，B′C ＝BC ＝4，∠ACE ＝∠DCE ，∠BCF ＝∠B′CF ，CE ⊥AB ，∴B′D ＝4－3＝1，∠DCE ＋∠B′CF ＝∠ACE ＋∠BCF ，∵∠ACB ＝90°，∴∠ECF ＝45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF ＝CE ，∠EFC ＝45°，∴∠BFC ＝∠B′FC
＝
135°，∴∠B′FD ＝∠B′FC －∠EFC ＝135°－45°＝90°，∵S △ABC ＝12
AC·BC ＝12AB·CE ，∴AC·BC ＝AB·CE ，根据勾股定理求得AB ＝5，∴CE ＝125，∴EF ＝125，ED ＝AE ＝AC 2－CE 2＝95，∴DF ＝EF －ED ＝35，∴B′F ＝B′D 2－DF 2＝45.
6. B 【解析】延长AD 到M′，使得DM′＝DM ＝1，
连接PM′，如解图．当PB ＋PM 的和最小时，M′、
P 、B 三点共线．∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，
BC ＝2，∴DC ＝AB ＝4，AD ＝BC ＝2，AD ∥BC ，
∴△DPM′∽△CPB ，∴DP CP ＝DM′CB ＝12，∴DP ＝12CP ，
∴DP ＝13DC ＝43，设AE ＝x ，则PE ＝x ，DE ＝2－x ，在Rt △PDE 中，
∵DE 2＋DP 2＝PE 2，∴(2－x)2＋(43)2＝x 2，解得x ＝139，∴ME ＝AE －
AM ＝139－1＝49.
7.D 【解析】如解图，连接OB 、OC ，∵∠BAC ＝64°，
AO 为∠BAC 的平分线，∴∠CAO ＝12∠BAC ＝12×64°
＝32°，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝12(180°－∠BAC)＝
12(180°
－64°)＝58°，∵DO 是AC 的垂直平分线，∴OA ＝OC ，∴∠CAO ＝∠ACO ＝32°，∴∠OCE ＝∠ACB －∠ACO ＝58°－32°＝26°，在
△AOB 和△AOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAO ＝∠CAO AO ＝AO
，∴△AOB ≌△AOC(SAS)，∴OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝26°，∵将∠B 沿EF(E 在BC 上，F 在AC 上)折叠，点B 与点O 恰好重合，∴OE ＝BE ，∴∠BOE ＝∠OBE ＝26°，∴∠OEB ＝180°－∠BOE －∠OBE ＝128°.
8. C 【解析】如解图，连接CD 、DF 、CE.∵点D 为
AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴CD ＝12AB ，BD ＝12AB
，
∴CD ＝BD.∵△ACB 为等腰直角三角形，∴∠ABC ＝45°，∵CD ＝DB ，∴∠DCB ＝45°.∴∠ACD ＝45°，由折叠的性质可知：∠DEM ＝∠DBM ＝45°，BD ＝DE ，∴CD ＝ED ，∴∠DCE ＝∠DEC.∴∠DEF ＋∠FEC ＝∠DCF ＋∠FCE ，∴∠FEC ＝∠FCE.∴EF ＝FC.△FCM 的周长＝FC ＋FM ＋CM ＝FE ＋FM ＋CM ＝EM ＋CM ＝MB ＋CM ＝CB ，∴BC ＝16.在Rt △ACB 中，由勾股定理得：AB ＝AC 2＋BC 2＝162＋162＝16 2.
9. A 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，又∵CD ＝AC ，∴AD ＝CD ＝AC ，即△ADC 是等边三角形，∴∠D ＝60°，∴CE ＝
CD·sin60°＝32CD ，∵菱形ABCD 的面积＝AD·CE ＝32CD 2＝43，
∴CD ＝22，∴菱形ABCD 的周长为22×4＝8 2.
10. 1【解析】在Rt △ABC 中，由勾股定理可知AC ＝AB 2－BC 2＝52－32＝4，由折叠的性质可知BC ＝CB′＝3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′＋CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A 、B′、C 三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′＝AC －B′C ＝4－3＝1.
11. 16或45 【解析】根据题意，若△CDB′恰为等腰三角形需分三种情况讨论：(1)当DB′＝DC 时，则DB′＝16(易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合)；(2)当CB′＝CD 时，∵EB ＝EB′，FB ＝FB′，∴点E 、F 在BB′的垂直平分线上，∴EF 垂直平分BB′，由折叠
的性质可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去；(3)
如解图，当CB′＝DB′时，作B′G ⊥AB 于点G ，交CD
于点H.∵AB ∥CD ，∴B′H ⊥CD ，∵CB′＝DB′，∴DH ＝12CD ＝8，∴AG ＝DH ＝8，∴GE ＝AG －AE ＝5，∴B′E ＝BE ＝BG
＋EG ＝13，在Rt △B′EG 中，由勾股定理得B′G ＝B′E 2－GE 2＝132－52＝12，∴B′H ＝GH －B′G ＝4，在Rt △B′DH 中，由勾股定理得DB′＝DH 2＋B′H 2＝45，综上所述，DB′＝16
或4 5.
12. 185【解析】由题意知，AF ＝FC ，AB ＝CD ＝AG
＝4，BC ＝AD ＝8，在Rt △ABF 中，由勾股定理知AB 2＋BF 2＝AF 2，即42＋(8－AF)2＝AF 2，解得AF ＝5，∵∠BAF ＋∠FAE ＝∠FAE ＋∠EAG ＝90°，∴∠BAF ＝∠EAG ，又∵∠B ＝∠AGE ＝90°，AB ＝AG ，∴△ABF ≌△AGE(ASA)，∴AE ＝AF ＝5，∴ED ＝AD －AE ＝8
－5＝3，∵S △GAE ＝12AG·GE ＝12AE·AE 边上的高，∴AE 边上的高＝
125，∴S △GED ＝12ED·
AE 边上的高＝12×3×125＝185. 类型二 与旋转有关
1. C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ，∴∠ABC ＝∠ADC ＝60°，AD ∥BC ，∴∠ADA′＝∠CA′D ，∴∠ADA′＋∠DA′B ＝180°，∴∠DA′B ＝180°－ ∠ADA′＝180°－50°＝130°，∵AE ⊥BC ，∴∠EAB ＝90°－∠ABC ＝90°－60°＝30°，由旋转可知∠BA′E′＝∠EAB ＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B ＋∠BA′E′＝130°＋30°＝160°，故选C.
2. A 【解析】∵∠ACB ＝90°，AB ＝10，BC ＝6，∴AC ＝AB 2－BC 2＝8，∵Rt △ABC 绕点B 旋转90°至△DBE 的位置，∴BC ＝BE ＝6，AC ＝DE ＝8，∠CBE ＝90°，∠BED ＝∠ACB ＝90°，∴△BCE 为等腰直角三角形，∴∠BCE ＝∠BEC ＝45°，∴∠DEF ＝90°－∠BEF ＝
45°，而∠BFC ＝∠EFD ，∴△BFC ∽△DFE ，∴CF FE ＝BC DE ＝68＝34.
3. D 【解析】连接PP′，如解图，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，∴△ABP 绕点B 顺时针旋转90°得到△CBP′，∴BP
＝BP′，∠BPA ＝∠BP′C ，∠PBP′＝90°，∴△PBP′为等腰直角三角形，∴∠BPP′＝45°，PP′＝2PB ＝22，在△APP′中，∵PA ＝1，PP′＝22，AP′＝3，∴PA 2＋PP′2＝AP′2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′＝90°，∴∠BPA ＝∠BPP′＋∠APP′＝45°＋90°＝135°，∴∠BP′C ＝135°. 4. 9817 【解析】矩形ABCD 中，AB ＝46，AD ＝10，∴BD ＝（46）2＋102＝14.∵△DFB 为等腰三角形，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴FD ＝FB.设FD ＝x ，则AF ＝10－x ，BF ＝x ，在Rt △ABF 中，(46)2＋(10－x)2＝x 2，解得x ＝9.8，∴DF ＝BF ＝9.8.∵AD ∥BC ，∴∠FDB ＝∠DBC ，∵∠FBD ＝∠FDB ，∴∠FBD ＝∠DBC.由题意知BE 平分∠DBC ，∠FBG ＝∠EBC ，∴∠FBG ＝∠DBG .如解图，过点D 作DH ∥BF 交BG 的延长线于H 点，则∠H ＝∠FBG ，
∴∠H ＝∠HBD ，∴BD ＝DH ＝14.∵BF ∥DH ，∴FG DG ＝BF DH ，∴FG ＋DG DG ＝BF ＋DH DH ，即FD DG ＝9.8＋1414，∴9.8DG
＝9.8＋1414，∴DG ＝9817.
类型三 与动点、最值有关
1. B 【解析】由题意可知，点D 与点B 关于AC 对称，
设BE 与AC 交于点P′，连接P′D ，如解图，则此时P′D
＋P′E 取得最小值，即P′D ＋P′E ＝BE ，而BE 与AB 相等，再由正方形ABCD 的面积为12，可得正方形边长为2 3.
2. B 【解析】分三种情况：(1)AB ＝AC ；(2)BC
＝BA ；(3)CA ＝CB.画出图形，即可得到答案．∵
点A(2，2)，点B(32，32)，∴AB ＝4，如解图，以点A 为等腰三角形的顶点时，符合条件的动点C 有两个，C 1(2－14，0)，C 2(2＋14，0)；以点B 为等腰三角形的顶点时，由于B 到x 轴的距离为32>4，此时不存在x 轴上的点使得BC ＝BA ；以点C 为等腰三角形
的顶点时，C 点为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，
此时只有唯一一个点(42，0)符合条件．由上可知，
共有三个点符合条件，即解图中的C 1，C 2，C 3点．
3. A 【解析】连接BG ，如解图，∵CA ＝CB ，CD ⊥AB ，AB ＝6，
∴AD ＝BD ＝12AB ＝3.又∵CD ＝4，∴BC ＝5.∵E 是高线CD 的中点，
∴CE ＝12CD ＝2，∴CG ＝CE ＝2.根据两点之间线段最短可得：BG≤CG ＋CB ＝2＋5＝7.当B 、C 、G 三点共线时，BG 取最大值为7.∵P 是
AG 的中点，D 是AB 的中点，∴DP ＝12BG ，∴DP 的最大值为72.
4. A 【解析】如解图，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，
设AB ＝x ，BF ＝y ，∵AD ＝2AB ，∴AD ＝2x ，∵线段
EF 过矩形对角线AC 的中点，∴H 是BC 的中点，∴FH
＝x －y ，OH ＝12x ，由勾股定理得，OF ＝（x －y ）2＋（12x ）2，由矩形的对称性得，EF ＝
2（x －y ）2＋（12x ）2，设EF ∶BF ＝m ，则m 2＝4（x －y ）2＋x 2y 2
，整理得，(m 2－4)y 2＋8xy －5x 2＝0，∵y 有正解，∴Δ＝(8x)2－4(m 2－
4)×(－5x 2)≥0，解得m 2≥45，∴m≥255，∴m 的最小值是255，即EF ∶BF
的最小值是255.
5. B 【解析】在平行四边形PCQD 中，设对角线PQ
与DC 相交于点O ，则O 是DC 的中点，如解图，过点
Q 作QH ⊥BC ，交BC 的延长线于点H ，
∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＝∠DCH ，即∠ADP ＋
∠PDC ＝∠DCQ ＋∠QCH ，∵PD ∥CQ ，∴∠PDC
＝∠DCQ ，∴∠ADP ＝∠QCH ，又∵PD ＝CQ ，
在Rt △ADP 和Rt △HCQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADP ＝∠QCH ∠A ＝∠QHC
PD ＝CQ ，
∴Rt △ADP ≌Rt △HCQ(AAS)，∴AD ＝HC ，∵AD ＝1，BC ＝3，∴BH ＝4，∴当PQ ⊥AB 时，PQ 的长最小，即为4. 6. 3≤m ＜2 【解析】如解图，分别延长AE 、BF 交于点H ，∵∠A ＝∠FPB ＝60°，∴AH ∥PF ，∵∠B ＝∠EPA ＝60°，∴BH ∥PE ，∴四边形EPFH 为平行四边形，∴EF 与HP 互相平分．∵G 为EF 的中点，∴G 正好为PH 的中点，即在P 的运动过程中，G 始终为PH 的中点，∴G 的行动轨迹为△HAB 的中位线MN ，∴MN ∥AB ，PG ＜AM ，∵当P 在AB 中点时，PH ⊥AB ，∴当P 在AB 中点时，PG 的值最小，∵△AEP 和△PFB 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°，∴△AHB 是等边三角形，∴AH ＝AB ＝4，∴当P 在AB 中点时，
PH ＝23，∴PG ＝3，∴PG 的最小值是3，∴3
≤m ＜2.
7. 1＋13 【解析】∵2AB ＝4，∴AB ＝2，∵四
边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝2, AO ＝CO,
在Rt △ACD 中，AC ＝4，CD ＝2，根据勾股定理，得AD ＝42－22＝23，∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ＝3，又∵AO ＝CO ，∴OE
是△ACD 的中位线，∴OE ＝12CD ＝1，OE ∥CD ，∴∠OED ＝90°，
∵△OPE 的周长＝OE ＋OP ＋EP ＝1＋OP ＋EP ，∴求△OPE 的周长的最小值就是求OP ＋EP 的最小值．如解图，延长ED 至E′，使DE′
＝
DE，连接OE′，交CD于点P′，此时OP′＋EP′＝OP′＋E′P′＝OE′，即OE′为OP＋EP的最小值，在Rt△OEE′中，OE＝1，EE′＝2ED＝23，根据勾股定理，得OE′＝12＋（23）2＝13，即OP＋EP的最小值为13，∴△OEP的周长的最小值为1＋13.。