2018全国高中数学联赛模拟试题09
2018全国高中数学联赛吉林省预赛高三数学试题(解析版)
2018全国高中数学联赛吉林省预赛高三数学试题一、单选题1．集合的真子集个数为（）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【解析】【详解】，所以0<x≤4，因为x∈Z,所以A={1,2,3,4},所以集合A的真子集个数为.故答案为：C2．三棱锥P-ABC的底面△ABC是边长为3的正三角形，已知PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积为（）A．3 B．C．D．【答案】C【解析】【详解】.故答案为：C3．已知函数满足：，，则（）.A．B．-C．D．-【答案】B【解析】【详解】取x=1，y=0，得；取x=1，y=1，得，故；取x=2，y=1，得，故；取x=n，y=1，有同理，.联立得，故.所以周期为6，故.故答案为：B4．已知，则对任意，下列说法中错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【详解】由得，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；.所以选项B正确；=表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到，所以选项C正确；，所以选项D正确.故答案为：A5．已知在上的最大值为M，最小值为N，则M+N=（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【详解】的图象关于（0，1）对称，故.故答案为：B6．设，，，满足，，则z的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【详解】由已知，所以.因为x＞1，即，所以，故.故答案为：D二、填空题7．函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】【详解】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）8．已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值等于__________.【答案】【解析】【详解】因为圆C的方程可化为，所以圆C的圆心为（4，0），半径为1.若上至少存在一点A（），以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，那么存在，使得成立，即有，又因为为点C到直线的距离，所以，解得，因此k的最大值是.故答案为：9．如图，在直角三角形ABC中，，，点P是斜边AB上一点，且，那么__________.【答案】4【解析】【详解】解法一：因为，所以.解法二：以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（0，2），P（，），有，，.所以.故答案为：410．已知点P在直线上，点Q在直线上，PQ的中点为M （），且，则的取值范围是_____________.【答案】（，）【解析】【详解】注意到两直线是平行的，故点M的轨迹为与两直线的距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为，即M（）满足，而且满足不等式的点都在直线的左上方.问题转化为求射线（）上点M（）的的取值范围，而的几何意义是M（）与原点连线的斜率，故（，）.故答案为：（，）11．若实数满足，则的最大值为_________.【答案】【解析】试题分析：由知，可行域内一点与原点连线的斜率最大时，最大，由得，此时有最小值，得最大值，所以答案应填：．【考点】线性规划．12．在数列中，若，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：①数列是等方差数列；②若是等方差数列，则是等差数列；③若是等方差数列，则（，k为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.其中正确的命题序号为________.（将所有正确的命题序号填在横线上）【答案】①②③④【解析】【详解】①因为，所以符合“等方差数列”定义；②根据定义，显然是等差数列；③符合定义；④数列满足，（d为常数）.若d=0，显然为常数列；若d≠0，则两式相除得，所以（常数），即为常数列.故答案为：①②③④三、解答题13．已知函数的最大值为2.⑴求的值及的最小正周期；⑵求的单调递减区间.【答案】（1），（2）.【解析】【详解】⑴因此，当时，取得最大值.又因为的最大值为2，所以，即.的最小正周期为.⑵由⑴得，令，.得，.因此，的单调递减区间为，.14．数列为等差数列，且满足，数列满足，的前n项和记为.问：当n为何值时，取得最大值，说明理由.【答案】16【解析】【详解】因为，所以.解得.所以d＜0，.故是首项为正数的递减数列.由，即，解得.即，，所以，所以，而，.故，，，，又所以中最大，即n=16时，取得最大值.15．如图，已知抛物线过点P（-1，1），过点Q（，0）作斜率大于0的直线l交抛物线与M、N两点（点M在Q、N之间），过点M作x轴的平行线，交OP于A，交ON于B.△PMA与△OAB的面积分别记为、，比较与3的大小，说明理由.【答案】【解析】【详解】如图，抛物线过点P（-1，1），得，所以抛物线的方程为.设直线l的方程为（其中k＞0），由得.设M（），N（），那么有，A（），，.又ON的方程为，故B（），所以，，有可得由题意知，故，.又因为，，所以.16．设x，y，z≥0，且至多有一个为0，求的最小值.【答案】12【解析】【详解】不妨设.情形一：当时，因为；；.所以当且仅当，且时，取到12.情形二：当时，又，故，从而. 故.综上，.。
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9)
2018年全国高中数学联赛福建赛区预赛模拟(9)一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上）1．已知数列{}n a 满足132a =，12n n a a n +-=（*n N ∈），则na n的最小值为 。
2．对于函数()y f x =，x D ∈，若对任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈M =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为M 。
已知32()1f x x x =-+，[]12x ∈，，则函数32()1f x x x =-+在[]12，上的几何平均数M = 。
3．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。
已知集合{}2013M x x x Z =≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =⊂，，。
若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。
则不同的“好集”的个数为 。
4．已知实数x ，y 满足14xy x y +=+，且1x >，则(1)(2)x y++的最小值为 。
5．如图，在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。
若2AB =，则四面体ABCD 外接球的面积为 。
6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概率为 。
7．方程1sin 222x xx π⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在区间[]02π，内的所有实根之和为 。
8．已知()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，则(2)f = 。
9．已知集合A 的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200。
且除1以外，A 中每一个数都等于A 中某两个数（可以相同）的和。
则A 的最小值为 。
（符号A 表示集合A 中元素的个数）10．已知函数*()1x x f x q q x p q N p q p q p p ⎧⎪=+⎨=∈>⎪⎩，若为无理数，若，其中，，且、互质，，则函数()f x 在区间78()89，上的最大值为。
2018年全国高中数学竞赛试题
2018年全国高中数学竞赛试题数学作为一门科学，一直以来都被视为培养学生逻辑思维和解决问题的能力的重要学科。
在中国，每年都会举行全国高中数学竞赛，以选拔数学方面的优秀人才。
2018年的全国高中数学竞赛试题也是备受关注的焦点。
本文将针对2018年全国高中数学竞赛试题进行分析和解答。
试题一是一道关于函数的题目。
给定一个函数f(x) = x^2 + bx + c，已知f(-1) =2和f(1) = 6，求函数f(x)的解析式。
解答这道题需要运用函数的性质和代数运算的规则。
首先，根据已知条件，我们可以列出两个方程，分别是：1 + b + c = 2和1 -b +c = 6。
解这个方程组可以得到b = -3和c = 4。
因此，函数f(x)的解析式为f(x) = x^2 - 3x + 4。
试题二是一道关于数列的题目。
给定一个等差数列{an}，已知a1 = 2，a2 = 5，求第n项an的表达式。
解答这道题需要运用数列的性质和数学归纳法。
首先，我们可以根据已知条件列出递推公式an = a1 + (n-1)d，其中d为公差。
代入已知的a1和a2可以得到2 + d = 5，解得d = 3。
因此，数列{an}的递推公式为an = 2 + 3(n-1)。
进一步化简得到an = 3n - 1。
试题三是一道关于概率的题目。
已知甲、乙两个人轮流掷一个公正的硬币，甲先掷。
如果硬币正面朝上，则甲得1分；反之，乙得1分。
第一个得到5分的人获胜。
问甲获胜的概率是多少？解答这道题需要运用概率的概念和技巧。
首先，我们可以列出甲获胜的可能情况，即甲连续获胜5次或甲获胜4次，乙获胜1次，再甲获胜1次。
根据硬币正反面朝上的概率均为1/2，我们可以计算出甲获胜的概率为1/2^5 + 4/2^5 = 1/32 + 1/32 = 1/16。
以上只是2018年全国高中数学竞赛试题的三道题目，其中涉及到了函数、数列和概率等数学的基础知识和解题技巧。
数学竞赛试题的设计旨在考察学生的数学思维能力和解决问题的能力，因此需要学生具备扎实的数学基础和灵活运用数学知识的能力。
2018年全国高中数学联赛四川赛区预赛试题+答案
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
1、A
2、B
3、B
4、D
………………………………………………………密……………………封……………………线………………………………………………………
2018 年全国高中数学联合竞赛（四川预赛）
（5 月 20 日下午 14：30——16：30）
题目
一
二
13
得分
评卷人
复核人
三
14
15
总成绩 16
考生注意：1．本试卷共有三大题（16 个小题），全卷满分 140 分. 2．用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3．计算器、通讯工具不准带入考场. 4．解题书写不要超过密封线.
k 1
……5 分
若 m 2 ，注意到 n 时， (m 2)(n 1) ，
因此，存在充分大的 n ，使得1 (m 2)(n 1) 4 ，即 an 4 ，矛盾！
参考答案及评分标准 （第 3 页 共 5 页） 第7页
所以， m 2 . 又当 m 2 时，可证：对任意的正整数 n ，都有 0 an 4 .
……5 分
参考答案及评分标准 （第 4 页 共 5 页） 第8页
当 0＜p＜1 时，由 x[1,e]，得 x 1 ≥0， x
故 f(x)p(x 1 )2lnx＜x 1 2lnx＜2，不合题意.
学校：
5. 已知方程1 x x2 x3 x4 x2018 0 的所有实数根都在区间[a, b] 内
2018全国高中数学联赛模拟试题1及参考答案
⎫ ⎩ ⎭⎪ + 2高中联赛模拟试题 1一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1．若 A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是．⎨ x - 2a ⎬2.已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是．2 c os 2⎛ 1 x - 1 ⎫- x 3.函数f ( x ) = ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为 ．x - 1V + V 4.已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体OSCD=V 四面体OSBC + V 四面体OSDA．5.在椭圆 x 2 = 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ，a b则椭圆的离心率为 ．6.平面上 n 个三角形最多把平面分成 部分．sin2π ⋅ sin 8π7.计算： 15 15 = ．cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos4π 5 5 58. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为 ．2y 2BB 1CC 1( )二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2+ 2 交于不同的两点B ,C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足 PC ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2x + cos x ．证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ 2n + 1⎪ 2n + 1⎪ 2n + 1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭p11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．k =1高中联赛模拟试题 1加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）已知a, b, c∈，且+ c = 0 ．证明：a = b = c = 0二、（本题满分 40 分）a2b2 b2c2 c2 a2 31)已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证明：++≥．abc + c4abc + a4abc + b4 2三、（本题满分 50 分）已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．四、（本题满分 50 分）在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．C 3 3高中联赛模拟试题 1解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 0 < a < 5或 -1 < a < 0 ．2解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．2.1 ．4C k C 3-k 解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3(k = 0,1, 2,3)．从而得出6P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1．k =04 3.(1, -1) ．解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对称中心为 (1, -1) ．x -1 x4.1．解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA5.5 -1 ．2解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90 ⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90 ⇒ AB ⊥ BF ' ．又 AB 2= a 2 + b 2 , BF ' 2= a 2 , AF ' 2= (a + c )2．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2，由此， ⇒ c = a6.3n 2 - 3n + 2 ．解析：设 n 个三角形最多把平面分成 S n 个部分． S 1 = 2 ．因为任意一个三角形与另一个三角形至多有 6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多 6(n - 1)1 12 2 0 0⎨ BB 1 CC 1 AB 1 AC 1 1 , ⎝ ⎭段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．7.-2 ． 解析：sin 2π ⋅ sin 8π8sin πsin 2π sin 8π4sin π ⎛cos 2π - cos 2π ⎫2⎛sin 3π - sin π ⎫ + 2sin π15 15515 15 5 5 3⎪ 5 5 ⎪5 cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos 4π= cos 8π⎝ ⎭ = cos 8π ⎝ ⎭ ． sin 8π5 5 555 58.1 +解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，⎫令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ∆ABC 的费马点⎪ 时取值最小． ⎪ ⎝ ⎭二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交点． 故设直线l : y = k ( x - 2)． 与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1） 由 ∆ > 0 ⇒ k > 4 + 2 6或k < 4 - 2）设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ⎧x 1 + x 2 = k , （3）令 λ =CP= = = 2 - x 1 2 - x 2⎩x 1 x 2 = 2k + 2.（4）⎧ ⎪⎪x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ⎨ (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x- 2)得： 0 0⎪ y = y .⎪⎩ 3 0⎧x = 4 - 4k ⎪⎪ 3(4 - k ) ⎨⇒ 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： ⎪ y = ⎪⎩-4k 4 - k y - 44 y < 4 或 4 < y < 4 G 的轨迹方程为：3 3⎛ 12x - 3y - 4 = 0 4 -y < 4或4 < y < 4 ． 3 3 ⎪1- ，故⎝ ⎭3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ⇒ sin x - cos x ≥ 2 x -1 ⇒ ⎛ x - π ⎫ ≥ 2x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤k π + π ≤ π ． π 4 ⎪ π 2n +1 4⎝ ⎭而 2 sin k π ≥ 2 ⎛ k π + π ⎫ -1 = 2k 12n + 1 π 2n +1 4 ⎪2n +1 2⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ (n + 1)π ⎫⎤ n +1 ⎛ 2k 1 ⎫ 3(n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪⎥ ≥ ∑ - ⎪ = ⎢⎣ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭⎥⎦ k =1 ⎝ 2n + 1 2 ⎭ 2 (2n +1)⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫⎛ (n + 1)π ⎫ n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪ ≥ ． ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ 4(2n +1)11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 =k-1 ．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1． k -1由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于 是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．k =1（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1． 假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b≡ 1(mod p )，矛盾． 因此， x 3 -1≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．p3p p3故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1≡ 3(mod p ) ．k =2 k -1 k =1 k =2 k -1p综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．k =1(( ) ( ) ( )) ( )t1一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分显然， a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为 0． 下面假设 a , b , c 均不为 0．易证明：若 a , b , c 均为非 0 + c = 0 ；（1）d ,e ,f 均为非 0 有理数，且+ f = 0 ，则 a = b = c ．d e f（1+ 3a = 0 ；（1）式两边同时乘以+ 33b= 0 ． 于是， b = c = 3a= k ．（2）c 3a 3b由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ⇒ a = b = c = 0 ．二、（本题满分 40 分）x 2 y 2 z 2令 a 2= yz ,b 2= zx , c 2= xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + x + yz y + zx z + xy．由柯西不等式得：⎛ x 2y 2 z 2 ⎫ 2+ + ⎪x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ⎝ x + yz y + zx z + xy ⎭x 2 y 2 z 2( x + y + z )2( x + y + z )2⇒ + + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1 由 ( x + y + z )2≥ 3( x y + yz + zx ) ⇒ x + y + z ≥t = x + y + z2 因为 f (t ) = (t + 1) + 2 ，在区间) 上单调递增，所以：t + 1 t + 1 331)原式左边 ≥ f (t ) ≥．2三、（本题满分 50 分）连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ． 设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .由 S ∆ABC ⋅ S ∆PBF ⋅ S ∆ABD ⋅ S ∆PBE = 1 ，得AC ⋅ BC sin α ⋅ PB ⋅ FB ⋅ AD ⋅ BD sin β ⋅ PB ⋅ EB = 1．S ∆PBF S ∆ABD S ∆PBE S ∆ABC PF ⋅ BF sin α AB ⋅ DB PE ⋅ BE sin β AB ⋅ C B 整理得 PB 2 ⋅ AC ⋅ AD = AB 2 ⋅ PE ⋅ PF ．在圆 Γ 中，由相交弦定理得：PB 2 ⋅ AG ⋅ AH = AB 2⋅ PG ⋅ PH ．（1） 设 AB = a , PB = b , BG = c > a , BH = d > b ，其中， a , c , d 为常数， b 未定．则（1）式 ⇔ b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ． 整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值． 从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．四、（本题满分 50 分）n 的最小值为 27． 若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”． 首先证明： n ≤ 27 ．反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连 接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2 A 28 以外的至少六座城市通航，城市 A 2A 28 与除去 A 1A 29 以外的至少五座城市通航．设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市 组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0 ≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8) ． 又 X i ⋂ X j = ∅(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线． 故 A ⋃ ( X 0 ⋃ X 1 ⋃ ⋃ X 9 ) ≥ 29 + 6 ⨯ 2 + 5 ⨯ 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ． 其次证明： n = 27 是可以的．事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)． 当 i = 0, 9 时， X i = 6 ；当 i = 1, 2, ,8 时， X i = 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ⋂ X j = ∅ ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ． 对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通 航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航， 与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航． 这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市A 1A 28 至少经过 27 次直航来连接．因此， n = 27 ．。
2018年全国高中数学联赛模拟试题与参考 答案
解得− ≥ ������＞ − 4.
注意：函数的定义域不能为空集。
2.已知函数������(������) = 1 −
（������＞������）若������(������) = 2 ln √������ − ������(������)，则������(������������)的取值范围为____________.
P
注：也可采用联立直线与圆锥曲线的方法解答，但过于繁琐，本解
答采用熟知的结论：������������ + ������������ = ������. 7.对于 ≤ ������ ≤ 1，则(1 + ������) (1 − ������)(1 − 2������) 的最大值为___________.
的等腰三角形，则三棱锥 A-BCD 的高与其外接球的直径的比值为_____________.
A
【解答】如图，易得 AE⊥BE，由等量关系，CE=ED=2，AF=BF=4，AE=BE=2√2.
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
F
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
故������������������������ =
=
=
=
2
²
，若������������������������＜0，则������������������������＜0，这不可能.
∴ ������������������������＞0. ������������������������ ≤ √ .
在 BDP 中由正弦定理得 1 x
sin 2 60
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
．
【解答】展开得，2 + 2 = 2，即s2 + 2 = 2.
故 =
=
∴ ＞0. ≤
√
2
²
=
，若＜0，则＜0，这不可能.
其中任意两个相邻数之和都为 2n-1 或 2n.而由抽屉原理知：当|A|≥n+1 时，A 中必然有两个数在上述数列
中相邻，所以，符合条件的 A 的元素个数不大于 n.
综上可知，|A|的最大值为 n。
二、解答题：本道题共 3 个小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.（本题满分 16 分）设() = + + ( > 0)，方程() = 的两个根是 与 ，且 > 0， − >
2018 全国高中数学联合竞赛模拟试题参考答案
一、填空题：本道题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分.
6 x x 2 的定义域为 A ，函数 y lg kx 2 4 x k 3 的定义域为 B ，当 B A 时，实
1.已知函数 y
数 k 的取值范围是
．
【解答】由题意 得，A = [−2,3], 令() = + 4 + + 3，当 ≥ 0 时，令 x → +∞时不满足题意.故
A
由垂径定理，OF⊥AB，OE⊥CD，由对称性得 O 在 EF 上.
由勾股定理，OF + AF = AO = R = OC = （4 − OF）² + CE²
F
√
解方程得，OF= ，R=
O
,三棱锥 A-BCD 的高 AE=2√2，故三棱锥 A-BCD 的高与
2018 年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛
2 3 sin x cos x 2cos2 x 1 1 a 3 sin 2 x cos 2 x 1 a
p d2 p ，所以 an （常数），即 {an } 为常数列． d 2d
三、解答题
13．【解析】（Ⅰ） f x 4cos x sin x
3 1 sin x cos x a 4cos x a 6 2 2
1
二、填空题
7． 1, 2 8．
4,5
4
2 2
【解析】因为圆 C 的方程可化为 x 4 y 1 ，所以圆 C 的圆心为 4, 0 ，半径为 1 ． 若 y kx 2 上至少存在一点 A x0 , kx0 2 ，以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点， 则存在 x0 R ，使得 AC 1 1 2 成立，即 AC min 2 ．又因为 AC min 为点 C 到直线 y kx 2 的距离
1 ． 2
| sin x | | sin x | | x | | 2 cos x |
x x x x y x2 1 【解析】由已知 y ，所以 z ， 2 x 1 2 x x 1 xy 1 x x 1 1 1 1 1 x x2 x 1 1 3 1 1 4 因为 x 1 ，即 0 1 ，所以 1 2 1 ，故 1 z ． x 4 x x 3
8 4 4． 3 3
1 1 , 2 5
【解析】注意到两直线是平行的，故点 M 的轨迹为与两直线距离相等，且平行于两直线的直线，其方程 为 x 2 y 1 0 ，即 M x0 , y0 满足 x0 2 y0 1 0 ． 而满足不等式 y0 x0 2 的点在直线 y x 2 的左上方． 问题转化为求射线 x0 2 y0 1 0 （ x0 而
2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解
2018年全国高中数学联赛河北预赛试题及详解2018年全国高中数学联赛河北（高二）预赛试题及详解一、填空题：共8道小题，每小题8分，共64分.1.已知集合A={x,xy,x+y}，B={0,x,y}且A=B，则x2018+y2018=（解析：由A=B可知x=0或x=1，若x=0，则y=0，不符合题意，故x=1，代入A=B中得y=-1，故x2018+y2018=2）2.规定：对于任意实数x，当且仅当n≤x<n+1(n∈N*)时，[x]=n，则4[x]-28[x]+45≤2的解集为[9/4,11/4)。
解析：当n≤x<n+1时，[x]=n，所以4[x]-28[x]+45=4n-28n+45=17-24n，要使得17-24n≤2成立，则n=1或n=0，代入解得[9/4,11/4)）3.在平面直角坐标系中，若与点A(2,2)的距离为1，且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有三条，则实数m的取值集合是{1,5}。
解析：由于与点A的距离为1，所以直线必须过点(2,2)的两个垂直平分线上，即x=2或y=2，又因为与点B的距离为3，所以直线必须与以点B为圆心，以3为半径的圆相交于两点，这两点分别在点B的左侧和右侧，故m=1或m=5）4.在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1.动点P在边CD 上，设∠PAB=α，∠PBA=β，则PA·PB·cos(α+β)的最大值为3/4.解析：由于PA+PB=4，所以PA·PB=4(2-PA-PB)，又因为cos(α+β)=sinα·sinβ+cosα·cosβ，所以PA·PB·cos(α+β)=4sinα·sinβ+4cosα·cosβ-4PA-4PB，将PA+PB=4代入，得PA·PB·cos(α+β)=3-4cosα·cosβ，由于-1≤cosα·cosβ≤1，所以PA·PB·cos(α+β)的最大值为3/4，当且仅当cosα·cosβ=-1时取到）5.已知x≥1，y≥1且lg2x+lg2y=lg10x2+lg10y2，则u=lgxy的最大值为1/2.解析：由已知得x·y=10，所以XXX(1/x)-XXX(1/y)，又因为XXX(1/x)+lg(1/y)=XXX[(1/x)(1/y)]=lg(1/xy)=lg0.1，所以u=lg10-lg0.1=1，又因为x≥1，y≥1，所以u≤1/2）6.若△A1A2A3的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连接得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的表面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是40π。
2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)资料
2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题(解析版)2018年全国高中数学联赛天津市预赛高三数学试题一、单选题1．如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（）个.A．256 B．959 C．960 D．961【答案】C【解析】【详解】满足的子集C有个，所以满足的子集C有个. 故答案为：C2．等差数列中，，则前17项的和等于（）.A．0 B．-34 C．17 D．34【答案】B【解析】【详解】设公差为d，则，结合条件可知，从而前17项的和等于.故答案为：B3．设的最小正周期为6，则的值是（）.A．0 B．1 C．D．【答案】A【解析】【详解】由最小正周期为6可知，即.于是当k为整数时，即每个完整周期内的6个函数值之和为零.注意，所以原式=.故答案为：A4．在以下四个数中，最大的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】考虑函数，则四个选项分别是、、、.由于，可见在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以在（0，+）上的最大值为.故答案为：B5．设复数z满足，i是虚数单位，则的值不可能是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】【详解】注意我们有.也就是说，它表示点z到3-4i的距离的倍.由于z在单位圆上，易知上式的取值范围是.故答案为：D6．下面左边的平行四边形ABCD是由6个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可以得到如右图所示的粽子形状的六面体，在这个六面体中，AB与CD夹角的余弦值是（）.A．0 B．1 C．D．【答案】C【解析】【详解】如图所示，取中间的虚线EF，将平行四边形分为两部分，各由三个小正三角形构成.左端的三个小正三角形折起来（B和F重合），恰好是一个无底的正三棱锥，AB、EF是它的两条底边；同理，右端的三个小正三角形折起来（D和E重合）构成粽子的另一半，CD、EF也是边线.因此，折起来后，AB、CD是正三角形的两条边，它们夹角的余弦值为.故答案为：C二、填空题7．已知函数和的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】【详解】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：8．若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】【详解】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：9．对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，，设x为正实数，若为偶数，则称x为幸运数.在区间（0，1）中随机选取一个数，它是幸运数的概率为__________【答案】【解析】【详解】注意当时，；因此为偶数当且仅当，也即这些区间的长度之和为.因此，x是幸运数的概率为.故答案为：10．实数x、y满足，则的最大值是____________【答案】42【解析】【详解】注意，，，这三者相加即得.当，时等号成立，所以的最大值是42.也可以直接用柯西（Cauchy）不等式，得到最大值为42. 故答案为：4211．凸六边形ABCDEF的6条边长相等，内角A、B、C分别为134°、106°、134°.则内角E是___________（用度数作答）.【答案】134°【解析】【详解】不妨设边长为1，设AC、DF的中点分别为M、N，且A在DF上的射影为K，则，，，即，.又设，则，利用，我们有，因此，即等腰△DEF的底角为23°，可见其顶角E为134°.故答案为：134°12．半径分别为6、6、6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是________【答案】14【解析】【详解】设四个球的球心分别为A、B、C、D，则AB=BC=CA=12，DA=DB=DC=13，即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X，半径为r.，则由对称性可知DX平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心O.易知，.设OX=x，则由于球A内切于球X，所以AX=r-6即①又DX=OD-OX=11-x，且由球D内切于球X可知DX=r-7于是②从①②两式可解得，即大球的半径为14.故答案为：14三、解答题13．设、、是方程的三个根，且.⑴求的整数部分；⑵求的值.【答案】（1）-2（2）【解析】【详解】由于、、是方程的根，我们有.比较两端的系数可得：，，.⑴由和可知.注意满足，，.所以在区间上有一个根，即.因此的整数部分为-2.⑵设，i=1，2，3.由⑴知，且 .因此.注意从而.这表明，即.14．如图，、是双曲线的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）；⑵、、A、B四点在同一个圆上.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴若直线AB的斜率不存在，即切点位于实轴的顶点，则A、B的坐标分别为（1，2）、（1，-2）.这时，结论成立.若直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为.由于AB与双曲线相切，所以关于x的方程有两个相等的实根，即.整理得.由于A、B的横坐标、是方程的两个实根，我们有.注意A、B的坐标分别为（），（）.可知，，因此.⑵在与中，，且，所以.同理.这样，我们有.即四边形中的一组对角之和等于另一组对角之和，从而对角之和为180°，该四边形内接于圆.15．设，，正实数数列满足，且当时.求证：⑴当时，；⑵.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】⑴我们证明，当x＞0时，.令，则有，，.由知单调递增，从而.由可知单调递增，.最后，由可知单调递增，这样我们就证明了.利用这一点，立即得到.⑵我们先对n用数学归纳法证明.当n=1时，，结论成立.假设当n=m-1时有（其中）.如果，则.注意.可知，与归纳假设矛盾.因此.这样，当时有，令k从1到n求和，就得到.。
2009-2018年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
60° ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为．3.将1, 2, 3，4，5，6 随机排成一行，记为,,,,,,f e d c b a 则def abc +是偶数的概率为 .4.平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的左、右焦点分别是 F 1、F 2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于 x 轴与 y 轴，且相交于点 P ．已知线段 PT PV PS PU ,,, 的长分别为1，2，3，6 ，则△PF 1F 2 的面积为 ．5.设)(x f 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，满足2)2(,1)(==ππf f ,且在区间[0，1]上严格递减，则不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤2)(121x f x 的解集为 ．6.设复数 z 满足1||=z ，使得关于 x 的方程0222=++x z zx 有实根，则所有 z 的和为 ．7.设O 为△ABC 的外心，若 AC AB AO 2+=，则ABC ∠sin 的值为 ．8. 设整数数列10321,...,,,a a a a 满足5821102,3a a a a a =+=，且{},9,...,2,1,2,11=++∈+i a a a i i i 则这样的数列的个数为 ．二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分 16 分）已知定义在R +上的函数 f (x ) 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=9,490|,1log |)(3＞＜x x x x x f .设a , b , c 是三个互不相同的实数，满足f (a ) = f (b ) = f (c ) ，求abc 的取值范围． 10.（本小题满分 20 分）已知实数列,...,,321a a a 满足：对任意正整数n ，有1)2(=-n n n a S a ，其中S n 表示数列的前n 项和．证明：对任意正整数n ，有①n a n 2＜；②11＜+n n a a ． 11.（本小题满分 20 分）平面直角坐标系 xOy 中，AB 是抛物线24x y =的过 F (1, 0) 的弦，△AOB 的外接圆交抛物线于点 P （不同于点O , A , B ）．若 PF 平分∠APB ，求|PF|的所有可能值．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1109:22=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为平稳数.平稳数的个数是 .5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________. 7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3π=∠A ，ABC △的面积为3，则ANAM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题：本大题共 3 小题，满分 56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b . 10.（本小题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最值. 11. （本小题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2221==z z . （1）求)Re(21z z 的最小值；（2）求212122z z z z --+++的最小值.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 .2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，则)2)(2(w z w z -+的模为 .3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 .4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 . 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=AP ，则二面角M-BC-A 的大小为 . 6．设函数10cos 10sin )(44kxkx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为 .7．双曲线C 的方程为1322=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1∆的内切圆半径是 .8．4321,,,a a a a 是1，2，…，100中满足2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++的4个互不相同的数，则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为 .二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）在ABC △中，已知CB CA BC BA AC AB ⋅=⋅+⋅32．求C sin 的最大值．10.（本小题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-． 12.（本小题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP 相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2C 的面积之和取到最小值．2015年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f ＝ . 2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα+的值为 . 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示nz 的共轭复数，则2015z 的值为 .4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为 .5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为 .7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是 .8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则()()N P N Q -的值为 .二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.（本小题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424abcabc+=+=，求c 的最小值. 10.（本小题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得{}311424,2,,,1,328ija ai j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭，求1234a a a a +++的值.11.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2212x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.2014年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.1.若正数b a ,满足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为_________.2.设集合}21|3{≤≤≤+b a b a中的最大值与最小值分别为m M ,，则m M -=________.3.若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______.4.数列}{n a 满足)(1)2(2,211⋅+∈++==N n a n n a a n n ，则2013212014...a a a a +++=_________. 5.已知正四棱锥ABCD P -中，侧面是边长为1的正三角形，N M ,分别是边BC AB ,的中点，则异面直线MN 与PC 之间的距离是_____________.6.设椭圆Γ的两个焦点是21,F F ，过点1F 的直线与Γ交于点Q P ,，若||||212F F PF =，且||4||311QF PF =，则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为__________.7.设等边三角形ABC 的内切圆半径为2，圆心为I 。
2018年全国高中数学联赛
2018年全国高中数学联赛山东预赛试题解析一、填空题(每小题8分，共80分)1.若复数z 满足|z －1|+|z －3－2i|=22，则|z |的最小值为 . 【解析】答案：1.设z =x +y i ，则|z －1|+|z －3－2i|=22的几何意义为点P (x ，y )到点A (1，0)，B (3，2)的距离之和为22，因为|AB |=22，从而点P 在线段AB 上，从而：|OP |≥1.即当z =1时有最小值|z |=1. 2.在正三棱锥S —ABCD 中，已知二面角A —SB —D 的正弦值为63，则异面直线SA 与BC 所成的角为 . 【解析】答案：60°.A —SB —D 的二面角等于A —SD —B 的二面角，设底面的中心为O ，取AD 的中点M ，连接SO 、SM 、OM ，过点O 作OE ⊥SM 于E ，易证OE ⊥平面SAD ，过点E 作EP ⊥SD 于点P ，连接OP ，从而：A —SD —B 的二面角为∠EPO .设底面边长为2a ，侧棱长为2b ，于是：OM =a ，SO =4b 2－2a 2，OD =2a ， 所以：OE =a 4b 2－2a 24b 2－a 2，OP =2a ·4b 2－2a 22b ，所以：sin ∠OPE =OE OP =2b 4b 2－a 2=63，解得：a =b .于是：△SAD 为正三角形，从而：直线SA 与BC 所成的角为60°.OP MDEC SA3.函数f (x )=[2sin x ·cos x ]+[sin x +cos x ]的值域为 (其中[x ]表示不超过x 的最大整数). 答案：{－1，0，1，2}.【解析】 f (x )=[sin2x ]+⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4，当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π4时，[sin2x ]=1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=2； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x =π2时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=1，此时f (x )=1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =3π4时，[sin2x ]=－1，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=－1； 当x ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=0，此时f (x )=0； 当x =π时，[sin2x ]=0，⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=－1；此时f (x )=－1； 其他区间按此方法讨论.4.在△ABC 中，∠BAC =60°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，且有AD →=14AC →+tAB →，若AB =8，则AD = . 答案：6 3.【解析】易知t =34，从而：AC =24，AD 2=116×242+916×82+316×8×24=108，从而：AD =6 3.5.甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢：前一场输者，则下一场先掷，若第一场甲先掷，则甲赢得第n 场的概率为 . 【解析】答案：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 设甲赢得第n 场的概率为P n ，则P n +1=23(1－P n )+13P n ，P 1=23，解得：P n =12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13n . 6.若直线6x －5y －28=0交椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0，且a ，b 为整数)于A 、C ，设B (0，b )为椭圆的上顶点，而△ABC 的重心为椭圆的右焦点F 2，则椭圆的方程为 . 【解析】设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，依题意知：⎩⎨⎧x 1+x 2=3c ，y 1+y 2+b =0，联立椭圆方程和直线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2+y 2b 2=1，6x －5y －28=0，得：⎩⎨⎧x 1+x 2=336a 236a 2+25b 2=3c ①，y 1+y 2=－280b 236a 2+25b 2=－b ②，①÷②可得：2a 25b 2=c b， 即：2a 2=5bc ，两边平方，并有c 2=a 2－b 2可得：4a 4－25a 2b 2+25b 4=0，解得：a 2=5b 2或者a 2=54b 2，7.设a 、b ∈R ，则max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}的最小值为 . 【解析】答案：12.max{|a +b |，|a －b |，|1－b |}=max{|a |+|b |，|1－b |}≥|a |+|b |+|1－b |2≥|a |+12≥12. 当且仅当a =0，b =12时等号成立.8.已知a 、b ∈Z ，且a +b 是方程x 2+ax +b =0的一个根，则b 的最大可能值为 . 【解析】答案：9.将a +b 代入方程可得：(a +b )2+a (a +b )+b =0，整理可得：b 2+(3a +1)b +2a 2=0，显然a 、b 中至少有一个为负数，欲求b 的最大值，则a <0，b >0. 视b 为主元，解得：b =－(3a +1)－(3a +1)2－8a 22=－(3a +1)－a 2+6a +12，其中：a ≥22－3或者a ≤－(22+3)，因为b ∈Z ，从而：a 2+6a +1=m 2，m ∈Z ， 即：a 2+6a +1－m 2=0有整数解.=36－4(1－m 2)=4(m 2+8)为完全平方数，令m 2+8=n 2，其中：n ∈Z ，所以：(n +m )(n －m )=8=2×4=(－2)×(－4)，解得：⎩⎨⎧n =±3，m =±1，a =0或－6，b =－1或9，于是b max = 9，此时a =－6.9.设集合A 、B 满足A ∪B ={1，2，…，10}，若A ∩B = ，若集合A 的元素个数不是集合A 的元素，集合B 元素个数不是集合B 的元素，则满足条件的所有集合A 的个数为 . 【解析】令|A |=k ，则|B |=10－k ，k ≠5，否则5∈A ∩B ，从而由题意可知：k ∈B ，10－k ∈A ，此时A 中剩余的k －1个元素有C k －18种选择，且剩余的9－k 个元素必定属于集合B .于是，满足题意的集合A 的个数为m =∑k =19C k －18－C 5－18=28－70=256－70=186个.10.设f (n )为最接近4n 的整数，则∑k =120181f (k )= . 【解析】答案：28867.用[n ]表示与4n 最接近的整数，则：当n ∈[1，8]时，[n ]=1，f (n )=1，其中n =1，2，…，8；故∑k =181f (k )=8， 当n ∈[9，48]时，[n ]=2，f (n )=2，其中n =9，10，…，48，故∑k =9481f (k )=20；当n ∈[49，168]时，[n ]=3，f (n )=3，其中：n =49，50，…，168，故∑k =491681f (k )=40； 当n ∈[169，440]时，[n ]=4，f (n )=4，其中n =169，170，…，440，故∑k =1694401f (k )=68； 当n ∈[441，960]时，[n ]=5，f (n )=5，其中：n =441，…，960，故∑k =4419601f (k )=104； 当n ∈[961，1848]时，[n ]=6，f (n )=6，其中n =961，…，1848，故∑k =96118481f (k )=148. 当n ∈[1849，2018]时，[n ]=7，其中n =1849，…，2018，故∑k =184920181f (k )=1707， 综上：∑k =120181f (k )=8+20+40+68+104+148+1707=28867. 事实上，当k ≤4n ≤k +1时，若n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]时，[n ]=k ，当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1. 因为当n 4∈[k 4，k 4+2k 3+3k 2+2k ]，则n 4－k 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<(k +1)4－n 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 而当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，(k +1)4－n 4∈[0，2k 3+3k 2+2k ]<n 4－k 4∈[2k 3+3k 2+2k +1，4k 3+6k 2+4k +1]； 于是：当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4]时，[n ]=k +1； 当n 4∈[(k +1)4，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，即当n 4∈[k 4+2k 3+3k 2+2k +1，(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)]时，[n ]=k +1，此时共有(k +1)4+2(k +1)3+3(k +1)2+2(k +1)－(k 4+2k 3+3k 2+2k )=4k 3+12k 2+16k +8=4(k +1)(k 2+2k +2)个数，于是：∑k 4－2k 3+3k 2－2k +1k 4+2k 3+3k +2+2k1f (k )=4(k 2+1)， 所以：∑k =120181f (k )=∑k =164(k 2+1)+∑i =184920181f (i )=388+1707=28867. 二、解答题(本大题共4小题，共70分)11.已知圆O ：x 2+y 2=4与曲线C ：y =3|x －t |，A (m ，n )，B (s ，p )(m ，n ，s ，p ∈N*)为曲线C 上的两点，使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值.【解析】答案：t =43.取圆上的点C (2，0)，D (－2，0)，E (0，2)，F (0，－2)，依题意有：⎩⎨⎧(2－m )2+n 2(2－s )2+p 2=(2+m )2+n 2(2+s )2+p 2=ms，m 2+(2－n )2s 2+(p －2)2=m 2+(2+n )2s 2+(2+p )2=np，于是：OA →=tOB →，所以，点A 、B 、O 三点共线.由阿波罗尼斯圆的性质：OA ·OB =R 2=4，且OA =Rλ，OB =Rλ，其中λ>1，则OA <OB ，所以：OA <2；因为：m 2+n 2=OA 2=4λ2，又m 、n ∈N*，从而：OA 2=4λ2∈N*，(1)若OA 2=4λ2=1，则λ=2，此时：m 2+n 2=1，必有mn =0，因为m 、n ∈N*，不符合题意；(2)若OA 2=4λ2=2，则λ=2，此时：m 2+n 2=2，得：m =n =1，s =p =2，直线AB 的方程为y=x ，则点A (1，1)，B (2，2)在曲线C 上，代入解得：t =43.(3)若OA 2=4λ2=3，此时：m 2+n 2=3，无正整数解，不合题意.综上：t =43.12.已知数列{a n }满足：a 1=π3，0<a n <π3，sin a n +1≤13sin3a n (n ≥2)， 求证：sin a n <1n. 证明：由于0<a n <π3，于是：sin a n ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 当n =1时，有sin a 1=12<1；当n =2时，sin a 2∈⎝⎛⎭⎫0，12<12成立； 设当n =k 时，有sin a k <1k， 则当n =k +1时，sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )，令f (x )=3x －4x 3，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， 则f ′(x )=3－12x 2>0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12单调递增， 于是：sin a k +1≤13sin3a k =13(3sin a k －4sin 3a k )≤1k －43k k，所以只需证明：1k －43k k <1k +1(k ≥2) 即可. 即证明：3k －43k<k k +1， 平分后整理可得：15k 2+8k －16>0，即证明对任意k ≥2有：(3k +4)(5k －4)>0，显然成立.于是：对任意n ∈N*，有sin a n <1n. 13.实数a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=λ(λ>0)，试求f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}的最大值.【解析】由i 对称性，不妨设a ≥b ≥c ， 从而：a －b >a －c >0，于是有：f =min{(a －b )2，(b －c )2，(c －a )2}=min{(a －b )2，(b －c )2}≤(a －b )(b －c )≤⎣⎡⎦⎤(a －b )+(b －c )22=(a －c )24≤λ2.当且仅当b =0，a =－c =2λ2时等号成立. 14.证明对所有的正整数n ≥4，存在一个集合S ，满足如下条件： (1)S 由都小于2n－1的n 个正整数组成；(2)对S 的任意两个不同非空子集A 、B ，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和.【解析】当S ={20，21，22，…，2n －1}时满足题意.法一、证明：用|T |表示集合T 中的元素个数，M (A )表示集合A 中的元素之和. 当n =4时，若|A |=1，则M (A )={1，2，4，8}； 若|A |=2，则M (A )={3，5，9，6，10，12}， 若|A |=3，则M (A )={7，11，13，14}， 若|A |=4，则M (A )={15}，即集合S 的15个子集，其和值也有15个，每个子集的和值各不相同， 所以：当A ≠B 时，总有M (A )≠M (B ). 故：当n =4时，S ={1，2，4，8}满足题意；假设当n =k 时，集合S ={20，21，22，…，2k －1}满足题意， 此时集合S 的2k －1个非空子集有2k －1个不同的值，其集合为{1，2，…，2k －1}，则当n =k +1时，集合S 的2k 个子集的和值组成的集合为{1，2，3，…，2k －1，2k ，2k +1，…，2k +2k －1}，即：{1，2，3，…，2k －1，2k ，…，2k +1－1}，所以当n =k +1时，集合S 的2k +1－1个子集有2k +1－1个不同的值. 综上：集合S ={20，21，22，…，2n －1}总是满足题意.法二、不妨假设a 1<a 2<…<a m ，b 1<b 2<…<b t ，且对任意的i ，j ，a i ≠b j ，b t <a m ， 根据题意只需证明：∑i =1m 2a i≠∑j =1t2b j即可.若不然，设∑i =1m2a i=∑j =1t2bj ，则：2a m<∑i =1m2a i=∑j =1t 2bj ，所以：1<2b 1－a m+2b 2－a m+…+2b t －a m≤12+122+…+12t －m =1－12t －m +1<1，矛盾. 从而：集合S ={20，21，…，2n －1}的任意的两个子集之和不同. 所以：存在满足题意的集合S ={20，21，…，2n －1}.。
2018全国高中数学联赛模拟试题(九) 精品
2018全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集（D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是 （A ）16966（B ）16975（C ）16984（D ）170093、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知、是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）-3（C ）4（D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4（B ）6（C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、，F (a ,)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n+x +1被x k+x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分） 过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分） 已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．第一试一、选择题：二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．。