【精品】2015年吉林省吉林一中高一上学期期末数学试卷

2014-2015学年吉林省吉林一中高一（上）期末数学试卷
一、单项选择
1．（3.00分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）
A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）2．（3.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
3．（3.00分）已知正三棱锥的底面边长为，各侧面均为直角三角形，则它的外接球体积为（）
A．B．C．D．
4．（3.00分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）
A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对
5．（3.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若f（）=f（），且f （x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则ω=（）A．B．C．D．
6．（3.00分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n C．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
7．（3.00分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B（x B，y B），则x A﹣y B的最大值为（）
A．B．C．1 D．
8．（3.00分）若直线过点（1，1），（2，），则此直线的倾斜角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
9．（3.00分）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（）
A．①④B．②③C．②④D．①③
10．（3.00分）过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．x+y=5 B．x﹣y=5
C．x+y=5或x﹣4y=0 D．x﹣y=5或x+4y=0
二、填空题
11．（3.00分）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且，则
的值为．
12．（3.00分）设、、是单位向量，且，则与的夹角为．13．（3.00分）在平行四边形ABCD中，AC=BD，则∠DAB的最大值为．14．（3.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若
•=0，=λ，则实数λ的值为．
15．（3.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．16．（3.00分）直线x﹣y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为．
三、解答题
17．（12.00分）下面的一组图形为某一四棱锥S﹣ABCD的侧面与底面．
（1）请画出四棱锥S﹣ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，E为AB中点，求证面SEC⊥面SCD．
18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=2，E为BC的中点
（1）求点A到面A1DE的距离；
（2）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=且MG⊥平面A1ED 同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
19．（12.00分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC，设AD中点为P．
（I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
20．（12.00分）过点（﹣5，﹣4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
21．（12.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．
2014-2015学年吉林省吉林一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择
1．（3.00分）已知A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M在z轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐标为（）
A．（﹣3，0，0）B．（0，﹣3，0）C．（0，0，﹣3）D．（0，0，3）
【解答】解：设点M（0，0，z），则
∵A（1，0，2），B（1，﹣3，1），点M到A、B两点的距离相等，
∴
∴z=﹣3
∴M点坐标为（0，0，﹣3）
故选：C．
2．（3.00分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ D．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
【解答】解：对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n⊂α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．
故选：D．
3．（3.00分）已知正三棱锥的底面边长为，各侧面均为直角三角形，则它的外接球体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1．
正方体的体对角线是=．
故外接球的直径是，半径是．
故其体积是=．
故选：C．
4．（3.00分）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（）
A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对D．有无数对
【解答】解：任意做过a的平面α，可以作无数个．
在b上任取一点M，过M作α的垂线，b与垂线确定的平面β垂直与α．
故选：D．
5．（3.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），若f（）=f（），且f （x）在区间（，）上有最小值，无最大值，则ω=（）A．B．C．D．
【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0），
由f（）=f（），在区间（，）上有最小值，无最大值结合三角函数的性质，
可得f（x）在处取得最小值．可得ω×+=2kπ，
化简可得：ω=8k﹣
∵ω＞0
当k=1时，ω=．
当k=2时，ω=，考查此时在区间（，）内已存在最大值．
故选：B．
6．（3.00分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n C．m∥n，n⊥α⇒m⊥α D．m⊥α，m⊥n⇒n∥α
【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
A、若平面AC是平面α，平面BC1是平面β，
直线AD是直线m，点E，F分别是AB，CD的中点，则EF∥AD，EF是直线n，显然满足α∥β，m⊂α，n⊂β，但是m与n异面；
B、若平面AC是平面α，平面A1C1是平面β，
直线AD是直线m，A1B1是直线n，
显然满足m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，但是α与β相交；
D、若平面AC是平面α，直线AD是直线n，AA1是直线m，
显然满足m⊥α，m⊥n，但是n∈α；
故选：C．
7．（3.00分）已知A（x A，y A）是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB交单位圆于点B（x B，y B），则x A﹣y B的最大值为（）
A．B．C．1 D．
【解答】解：由题意可得：x A=cosθ，．
∴x A﹣y B=cosθ﹣sin（θ+30°）
===≤1．
∴x A﹣y B的最大值为1．
故选：C．
8．（3.00分）若直线过点（1，1），（2，），则此直线的倾斜角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：∵点A（1，1），B（2，），
∴直线的斜率k AB==
因此，直线的倾斜角α满足tanα=，
∵0°≤α＜180°，∴α=60°
故选：C．
9．（3.00分）设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（）
A．①④B．②③C．②④D．①③
【解答】解：
对于①利用平面与平面平行的性质定理可证α∥β，α∥γ，则β∥γ，正确
对于②面BD⊥面D1C，A1B1∥面BD，此时A1B1∥面D1C，不正确
对应③∵m∥β∴β内有一直线与m平行，而m⊥α，
根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故正确
对应④m有可能在平面α内，故不正确，
故选：D．
10．（3.00分）过点A（4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（）A．x+y=5 B．x﹣y=5
C．x+y=5或x﹣4y=0 D．x﹣y=5或x+4y=0
【解答】解：当直线过原点时，斜率为，由点斜式求得直线的方程是y=x．当直线不过原点时，设直线的方程是：x+y=a，把点A（4，1）代入方程得a=5，直线的方程是x+y=5．
综上，所求直线的方程为y=x 或x+y=5．
故选：C．
二、填空题
11．（3.00分）△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且，则
的值为﹣．
【解答】解：，即有3=﹣5，两边平方可得，
9+16+24=25即25=25，
即有=0，
由于=﹣，则=﹣
=﹣（4﹣3﹣）=﹣（4﹣3﹣0）=﹣．
故答案为：﹣．
12．（3.00分）设、、是单位向量，且，则与的夹角为60°．
【解答】解：设、两个向量的夹角为θ，由，、、是单位向量，
两边平方可得1+2+1=1，即=﹣．
即1×1×cosθ=﹣，∴θ=120°．
由题意可得，以为邻边的平行四边形为菱形，故与的夹角为60°．
故答案为60°．
13．（3.00分）在平行四边形ABCD中，AC=BD，则∠DAB的最大值为60°．【解答】解：设AC、BD相交于点O，并设AO=CO=，BO=DO=1，
设AB=c，BC=b，
则由余弦定理知：
cos∠AOB==，
cos∠BOC=，
而∠AOC+∠AOB=180°，
即有cos∠AOC=﹣cos∠AOB，
所以=﹣，
即有b2+c2=8；
从而在△ABD中再应用余弦定理知：
cos∠DAB==；
而由8=b2+c2≥2bc知，
bc≤4；
所以cos∠ABC≥；
由于∠DAB为锐角，
所以∠DAB≤60°
即知所以锐角DAB最大值为60°
故答案为60°．
14．（3.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，﹣1），=（0，2）．若
•=0，=λ，则实数λ的值为2．
【解答】解：∵=（3，﹣1），=（0，2）
∴=﹣=（﹣3，3）
设=（m，n），可得•=﹣3m+3n=0…①
又∵=（m﹣3，n+1），=λ，
∴m﹣3=0且n+1=2λ…②
将①②联解，可得m=﹣3，n=﹣3，λ=2
故答案为：2
15．（3.00分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC
内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=，
由勾股定理得A1D==
过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=，
如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=，
∴AB1==
∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．
故答案为：
16．（3.00分）直线x﹣y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为．
【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心（0，0），r=2，
∵圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，
∴直线被圆截得的弦长为2=2．
故答案为：2
三、解答题
17．（12.00分）下面的一组图形为某一四棱锥S﹣ABCD的侧面与底面．
（1）请画出四棱锥S﹣ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，E为AB中点，求证面SEC⊥面SCD．
【解答】解：（1）存在一条侧棱垂直于底面．
证明：∵SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，
∴SA⊥底面ABCD．
（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF∥EA，GF=EA，∴AF∥EG．
而由SA⊥面ABCD得SA⊥CD，
又AD⊥CD，∴CD⊥面SAD，∴CD⊥AF，
又SA=AD，F是中点，∴AF⊥SD，
∴AF⊥面SCD，EG⊥面SCD，∴面SEC⊥面SCD．
18．（12.00分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=，AB=1，AD=2，E为BC的中点
（1）求点A到面A1DE的距离；
（2）设△A1DE的重心为G，问是否存在实数λ，使得=且MG⊥平面A1ED 同时成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：如图，
（1）由题意求得AE=，DE=，又AD=2，∴AE2+ED2=AD2，
∴AE⊥DE．
又DE⊥AA1，AA1∩AE=A，AA1⊂面A1AE，AE⊂面A1AE，
∴DE⊥面A1AE，∴平面A1AE⊥平面A1ED，
∵，
取A1E的中点H，AH⊥A1E，AH⊥DE，A1E∩ED=E，A1E⊂面A1DE，
ED⊂面A1DE，
∴AH⊥面A1DE，
AH为点A到面A1DE的距离．
∵AH=1，∴点A到面A1DE的距离为1
（2）在三角形A1ED中，∵H是A1E的中点，G为三角形A1ED的重心，
又∵AH⊥面A1ED，过点G作GM∥AH交AD于M，
则MG⊥A1ED，且AM=，
故存在实数，使得，且MG⊥平面A1ED同时成立．
19．（12.00分）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC，设AD中点为P．
（I ）当E为BC中点时，求证：CP∥平面ABEF
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A﹣CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
【解答】解：（I ）证明：取AF的中点Q，连接QE、QP，则有条件可得QP与DF 平行且相等，
又DF=4，EC=2，且DF∥EC，
∴QP与EC平行且相等，∴PQEC为平行四边形，
∴CP∥EQ，又EQ⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，∴CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，BE=x，
∴AF=x （0＜x≤4），FD=6﹣x，
==（6x﹣x2）=[9﹣（x﹣3）2]，
∴V A
﹣CDF
故当x=3时，V A
取得最大值为3．
﹣CDF
20．（12.00分）过点（﹣5，﹣4）作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5．
【解答】解：设直线l的方程为y+4=k（x+5）分别令y=0，x=0，
得l在x轴，y轴上的截距为：，b=5k﹣4，
由条件得ab=±10∴
得25k2﹣30k+16=0无实数解；或25k2﹣50k+16=0，解得
故所求的直线方程为：8x﹣5y+20=0或2x﹣5y﹣10=0
21．（12.00分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是棱PA上的动点．
（Ⅰ）若Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ；
（Ⅱ）若PB=PD，求证：BD⊥CQ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若PA=PC，PB=3，∠ABC=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O．
因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．
因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC，
因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，
所以PC∥平面BDQ．…（5分）
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD为菱形，
所以AC⊥BD，O为BD中点．
因为PB=PD，所以PO⊥BD．
因为PO∩BD=O，所以BD⊥平面PAC．
因为CQ⊂平面PAC，所以BD⊥CQ．…（10分）
（Ⅲ）解：因为PA=PC，所以△PAC为等腰三角形．
因为O为AC中点，所以PO⊥AC．
由（Ⅱ）知PO⊥BD，且AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD，即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．
因为四边形是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，所以BO=，
所以PO=．
所以，即．…（14分）
22．（12.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2π，﹣2）．
（1）求f（x）的解析式及x0的值；
（2）若锐角θ满足，求f（4θ）的值．
【解答】解：（1）由题意可得：，
即∴，，f（0）=2sinφ=1，
由，∴．（3分）
，
所以，，
又∵x0是最小的正数，∴；（7分）
（2），
∵，∴，
∴，
∴．（12分）
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为
AP的中点，则MF的最小值为
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB
=BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且2
EF ，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.。