7第七讲 现代投资理论：资本资产定价模型(CAPM)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
* * Z = Z1* , Z 2 ,L, Z n = (λW1* , λW2* , L , λWn* )
(
)
金融学院金融学系
进一步令：
tj =
*
∑Z
Z* j
* j
例7-1：假设存在两种风险证券，它们的预期收益率和 风险分别是：
ER1 = 6.10%;σ 1 = 8% ER2 = 10.20%;σ 2 = 15.1%
两种证券之间的斜方差σ12=0.4%。同时，假设无风险证 券A的收益率为4%，试求该无风险证券与两种风险证券的切 点组合与有效前沿。
于是得到：
λW j* W j* tj = = = = W j* * * λ Z W ∑ j ∑ j ∑W j*
*
Z* j
即T点组合中资产j所占的比例。 求解方法？
金融学院金融学系
根据资本资产定价模型，我们考虑将某证券或证券组 合i的收益率写为如下形式： 9任意证券或证券组合i的风险由两个部分构成：即等式右边 的第一项 β i σ M ，这是与整个市场相关联而产生的风险，即
A(0，4%)与切点坐标即可得到有效集方程：
进行标准化：
t1 = 0 .424 ; t 2 = 0 .576
金融学院金融学系
*
*
ER p = 0.04 + 0.4318σ p
金融学院金融学系
C.市场组合
市场组合指由所有风险证券构成的组合，每一种风险 证券的构成比例等于该证券市值占所有证券市值的比重。 用字母M表示。 均衡时，切点T处投资组合中各证券的构成比例等于 市场组合[market portfolio]中各证券的构成比例。
theory of market equilibrium under conditions of risk”提出了 CAPM模型解决了这一问题。
9证明
βi =
σ iM 2 σM
考虑持有比重w [允许w为负]的证券或证券组合i与比重 1-w的市场组合M所构成的一个新投资组合。
金融学院金融学系 金融学院金融学系
2 2 σ 2 = t12σ12 + 2t1t2σ12 + t2 σ 2 = 0.01067
M
代入具体数据得到：
0 .64 Z 1 + 0 .4 Z 2 = 2 .1 0 .4 Z 1 + 2 .28 Z 2 = 6 .2
解得：
* Z 1* = 1 .776 ; Z 2 = 2 .408
σ M = 10.33% 因此切点坐标为(10.33%,8.46%)。连接无风险证券
现代投资理论
之三：资本资产定价理论 张璟
首先，由Markowitz所创立的现代投资组合理论引发 的问题是：如果市场中的所有投资者都按照Markowitz的 E-V原则选择证券，进行投资组合，那么当市场均衡时， 任意资产或资产组合的均衡的预期收益率应为多少。 其次，Markowitz的投资组合理论认为通过多样化或 分散化的投资行为可以有效地规避非系统风险，只有系统 性风险才能获得补偿。但在分析中未能有效解决系统风险 的定量和定价问题。
Z1σ 1k + Z 2σ 2 k + L + Z N −1σ N −1k + Z Nσ Nk = ERk − R f
∀k = 1, 2... N
对于每一个k值，我们都得到一个类似的方程，因此， 求解这个最大化问题就是求解以下的联立方程组：
金融学院金融学系
M
[*]
假设方差—斜方差矩阵为非奇异矩阵，该方程组的系 数行列式的值不为0，因此，该线性非齐次方程组有且只 有唯一解[Cramer法则]。我们不妨设其唯一解为：
金融学院金融学系
金融学院金融学系
一、资本市场线[CML]
这个方面的研究在1964年左右，由Markowitz的学生 Sharpe以及Mossin和Lintner等人分别独立地解决了。他们 在Markowitz研究基础上，提出了资本资产定价模型 [CAPM]，从而给出了在市场均衡的状态下，任意资产或 资产组合预期收益率的确定方法和系统性风险的定量和定 价问题。
任意证券与证券组合的风险与收益之间的关系是怎样的 呢？1964年William Sharpe在其论文“Capital asset prices: A
9定理7-4[资本资产定价模型(CAPM)] 如果市场组合M是有效的，那么，均衡时，任意证券 或证券组合i的预期收益率满足： 其中，
ERi − R f = β i (ERM − R f )
maxθ =
ERP − R f
σp
N i =1 i
, s.t.∑ Wi = 1
i f
+ [ ∑ ∑ (WiW jσ ij )]−1 / 2 ( ER k − R f ) = 0
N N i =1 j =1
⇒ maxθ =
∑W ( ER − R
N N i =1 j =1 i j
)
∀ k = 1, 2... N
N
∑ ∑ (W W σ )
j jk
f
)
∑∑ (W W σ )
ij
](∑W jσ jk ) + ( ERk − R f ) = 0
j =1
N
∀ k = 1,2 ... N
得到： − (
∑λW σ
j =1
N
) + (ERk − Rf ) = 0
∀ k = 1,2 ... N
定义：
Z j = λW j
金融学院金融学系
回忆：无风险资产与风险资产[组合]的组合
ER p = Wr ERr + (1 − Wr )R f
σ p = Wrσ r
因此
ER p
CAL
ER p = R f +
ERr − R f
σr
σp
A
(0, R f )
(σ r , ERr )
B
由此可见，新的投资组合点一定落在由代表无风险资产 的点A和该风险资产[组合]点确定的线上，我们将其称为资 产配置线[capital allocation line，CAL]。
定理7-1[有效前沿定理]：在引入无风险资产和卖空假设 后，有效集就变成了图7-1中的射线AT。该射线由无风险利 率点A处向上延伸，与原有的有效集相切于点T，它是无风 险资产与T点组合的组合。 定理7-2[单基金定理，one-fund theorem]：存在一只由 风险资产组合而成的基金T，使得任意的有效投资组合都可 以由基金T和无风险资产组合而成。
金融学院金融学系
得到：
− (∑ Z jσ jk ) + ( ERk − R f ) = 0
j =1
N
Z1σ 11 + Z 2σ 12 + L + Z nσ 1n = ER1 − R f Z1σ 21 + Z 2σ 22 + L + Z nσ 2 n = ER2 − R f Z1σ n1 + Z 2σ n 2 + L + Z nσ nn = ERn − R f
•i
σ
金融学院金融学系 金融学院金融学系
图7-4证券市场线
ER i = R f + β i (ER M − R f
)
ERi
SML
该模型反映在数学中的函数关系上就是证券市场线
[SML，security market line，图7-4]。
ERM
Rf
βi = 1
金融学院金融学系 金融学院金融学系
βi
2.系统风险与非系统风险的再回顾
3. 资产配置线[CAL]与资本市场线[CML]
回忆一下，假设风险资产[组合]的预期收益率和标准 差分别为ERr , σ r ；无风险资产的收益率为Rf，标准差为0。 引入无风险资产后的投资组合的预期收益率和标准差分别 为ERp,σp，用Wr表示投入到风险资产[组合]的资金比重， 则：
金融学院金融学系 金融学院金融学系
(0, R )
f
A
N
σp
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9推论7-1：[基金管理公司存在的理论基础] 9定理7-3[分离定理]：投资者对风险和收益的偏好状况与 该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。 在齐性预期假设前提下，所有投资者，无论其风险偏 好如何，对最优风险资产组合的看法都是相同的，都会选 择相同的T点组合。而他们对风险的不同厌恶程度则可以 通过无风险资产和最优风险资产组合的不同比例搭配来满 足，即由射线AT与投资者的无差异曲线的切点决定。 对从事投资服务或资产管理业务的金融机构或金融中 介而言，不论其各个具体客户或投资者的风险—收益偏好 及风险厌恶程度如何，金融中介在设计投资组合的具体过 程中，他们只需要找到切点T所代表的有风险证券的投资 组合，再辅之以一定比例的无风险证券，那么就能为该中 介所有的客户或投资者都提供一个最佳的投资方案，而投 资者的风险—收益偏好就只需反映在组合中无风险证券所 占的比重上面。
1.基本假设 CAPM理论的基本假设除了包括Markowitz资产组合理 论的基本假设外，还包括如下假设： 9投资者完全理性假设：即所有投资者都能遵循Markowitz 投资组合理论的基本原则进行投资组合选择；
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9市场完全竞争假设：投资者的个人交易不能影响市场价 格。这意味着市场上有许多投资者，每个投资者的财富与 社会总财富相比，都是微不足道的。 9允许无限制卖空：投资者可以卖空任意数量的证券； 9市场存在一个无风险利率，所有的投资者都可以按照相 同的无风险利率无限制地进行资金的借入和贷出。 在上述假设与 Markowitz 理论的假设前提下的市场， 称为完全市场[complete market]。
金融学院金融学系
Z1σ 11 + Z 2σ 12 = ER1 − R f Z1σ 21 + Z 2σ 22 = ER2 − R f
于是切点组合应该是M=(42.4%,57.6%)。 因此，我们得到：
ERM = ∑ti ERi = 42.4% × 6.10% + 57.6% ×10.20% = 8.46%
金融学院金融学系
σp
金融学院金融学系
图7-2：
ER p
显然，不论投资者的风险—收益偏好程度如何，随着
II I T/M
CML CAL
CAL线围绕点A逆时针旋转，越在上方的CAL线上的点所代
表的投资组合能够给投资者带来的效用就越大。因此，在存 在无风险资产和允许卖空的情况下，有效投资组合应在过点
A与NB曲线相切的CAL上，就是AT射线，即无风险资产与
金融学院金融学系 金融学院金融学系
B.切点组合的求解：一种替代的方法 我们假设存在N种风险证券Si(i=1, 2, 3, …, n) 。我们 求Wi (i=1, 2, 3, …, N)以最大化夏普比率。
一阶条件为：
N N dθ 1 N N = [ ∑ Wi ( ERi − R f ) ] × {− [ ∑ ∑ (WiW jσ ij )]− 3 / 2 × ( 2∑ W jσ jk )} dW k 2 i =1 i =1 j =1 j =1
图7-3 投资组合曲线 新的组合的预期收益率为：
ER w = wER i + (1 − w )ER M
新的组合的标准差为：
2 σ w = w2σ i2 + 2w(1 − w)σ iM + (1 − w)2 σ M
ER
M
Rf
CML
C
如图7-3所示，随着w的变动，预期收益率与标准差所 代表的各点在均值—标准差平面上描绘出一条曲线C[性 质]:
金融学院金融学系
2.引入无风险借贷和卖空假设后的投资组合选择 A.图形 无风险资产由于其预期收益率在事先是基本确定的， 因此其风险接近于0。因此，在预期收益—风险的二维坐 标系中，无风险资产即是点(0,Rf)。
金融学院金融学系
图7-1
风险资产组合； 最优风险资产组合。
ERp = Rf +
ERM − Rf
σM
σp
因此，CML实际上指出了在市场均衡时，有效组合的 风险与预期收益率之间的关系。
其中，ERM表示市场组合的预期收益率；σp和σM分别 表示有效投资组合与市场组合收益率变动的标准差。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
二、证券市场线（SML)
1.资本资产定价模型(CAPM)与证券市场线(SML)
切点组合T的组合。而当均衡时，切点组合T与市场组合M的 构成一致，因此，这条线就是无风险资产与市场组合M的组 合，被称为资本市场线[capital market line，CML]。
金融学院金融学系
(0, R )
f
A
N
σp
金融学院金融学系
在数学上，该射线的方程为：[两点确定一条直线或将 市场组合坐标代入CAL公式即可]： 因此，根据CML公式知，在市场均衡时，有效组合的 预期收益是： 预期收益=时间价格+风险价格×风险数量
∑∑ (W W σ )
ij
金融学院金融学系
金融学院金融学系
上式两边同时乘以 [
∑∑ (W W σ )]
N N i =1 j =1 i j ij
1/ 2
得到：
定义：
λ=
∑ W ( ER
i =1 N i N i =1 j =1 i
N
i
− Rf )
j ij
1 − [ i =N
∑W (ER − R
i i N i =1 j =1 i j
(
)
金融学院金融学系
进一步令：
tj =
*
∑Z
Z* j
* j
例7-1：假设存在两种风险证券，它们的预期收益率和 风险分别是：
ER1 = 6.10%;σ 1 = 8% ER2 = 10.20%;σ 2 = 15.1%
两种证券之间的斜方差σ12=0.4%。同时，假设无风险证 券A的收益率为4%，试求该无风险证券与两种风险证券的切 点组合与有效前沿。
于是得到：
λW j* W j* tj = = = = W j* * * λ Z W ∑ j ∑ j ∑W j*
*
Z* j
即T点组合中资产j所占的比例。 求解方法？
金融学院金融学系
根据资本资产定价模型，我们考虑将某证券或证券组 合i的收益率写为如下形式： 9任意证券或证券组合i的风险由两个部分构成：即等式右边 的第一项 β i σ M ，这是与整个市场相关联而产生的风险，即
A(0，4%)与切点坐标即可得到有效集方程：
进行标准化：
t1 = 0 .424 ; t 2 = 0 .576
金融学院金融学系
*
*
ER p = 0.04 + 0.4318σ p
金融学院金融学系
C.市场组合
市场组合指由所有风险证券构成的组合，每一种风险 证券的构成比例等于该证券市值占所有证券市值的比重。 用字母M表示。 均衡时，切点T处投资组合中各证券的构成比例等于 市场组合[market portfolio]中各证券的构成比例。
theory of market equilibrium under conditions of risk”提出了 CAPM模型解决了这一问题。
9证明
βi =
σ iM 2 σM
考虑持有比重w [允许w为负]的证券或证券组合i与比重 1-w的市场组合M所构成的一个新投资组合。
金融学院金融学系 金融学院金融学系
2 2 σ 2 = t12σ12 + 2t1t2σ12 + t2 σ 2 = 0.01067
M
代入具体数据得到：
0 .64 Z 1 + 0 .4 Z 2 = 2 .1 0 .4 Z 1 + 2 .28 Z 2 = 6 .2
解得：
* Z 1* = 1 .776 ; Z 2 = 2 .408
σ M = 10.33% 因此切点坐标为(10.33%,8.46%)。连接无风险证券
现代投资理论
之三：资本资产定价理论 张璟
首先，由Markowitz所创立的现代投资组合理论引发 的问题是：如果市场中的所有投资者都按照Markowitz的 E-V原则选择证券，进行投资组合，那么当市场均衡时， 任意资产或资产组合的均衡的预期收益率应为多少。 其次，Markowitz的投资组合理论认为通过多样化或 分散化的投资行为可以有效地规避非系统风险，只有系统 性风险才能获得补偿。但在分析中未能有效解决系统风险 的定量和定价问题。
Z1σ 1k + Z 2σ 2 k + L + Z N −1σ N −1k + Z Nσ Nk = ERk − R f
∀k = 1, 2... N
对于每一个k值，我们都得到一个类似的方程，因此， 求解这个最大化问题就是求解以下的联立方程组：
金融学院金融学系
M
[*]
假设方差—斜方差矩阵为非奇异矩阵，该方程组的系 数行列式的值不为0，因此，该线性非齐次方程组有且只 有唯一解[Cramer法则]。我们不妨设其唯一解为：
金融学院金融学系
金融学院金融学系
一、资本市场线[CML]
这个方面的研究在1964年左右，由Markowitz的学生 Sharpe以及Mossin和Lintner等人分别独立地解决了。他们 在Markowitz研究基础上，提出了资本资产定价模型 [CAPM]，从而给出了在市场均衡的状态下，任意资产或 资产组合预期收益率的确定方法和系统性风险的定量和定 价问题。
任意证券与证券组合的风险与收益之间的关系是怎样的 呢？1964年William Sharpe在其论文“Capital asset prices: A
9定理7-4[资本资产定价模型(CAPM)] 如果市场组合M是有效的，那么，均衡时，任意证券 或证券组合i的预期收益率满足： 其中，
ERi − R f = β i (ERM − R f )
maxθ =
ERP − R f
σp
N i =1 i
, s.t.∑ Wi = 1
i f
+ [ ∑ ∑ (WiW jσ ij )]−1 / 2 ( ER k − R f ) = 0
N N i =1 j =1
⇒ maxθ =
∑W ( ER − R
N N i =1 j =1 i j
)
∀ k = 1, 2... N
N
∑ ∑ (W W σ )
j jk
f
)
∑∑ (W W σ )
ij
](∑W jσ jk ) + ( ERk − R f ) = 0
j =1
N
∀ k = 1,2 ... N
得到： − (
∑λW σ
j =1
N
) + (ERk − Rf ) = 0
∀ k = 1,2 ... N
定义：
Z j = λW j
金融学院金融学系
回忆：无风险资产与风险资产[组合]的组合
ER p = Wr ERr + (1 − Wr )R f
σ p = Wrσ r
因此
ER p
CAL
ER p = R f +
ERr − R f
σr
σp
A
(0, R f )
(σ r , ERr )
B
由此可见，新的投资组合点一定落在由代表无风险资产 的点A和该风险资产[组合]点确定的线上，我们将其称为资 产配置线[capital allocation line，CAL]。
定理7-1[有效前沿定理]：在引入无风险资产和卖空假设 后，有效集就变成了图7-1中的射线AT。该射线由无风险利 率点A处向上延伸，与原有的有效集相切于点T，它是无风 险资产与T点组合的组合。 定理7-2[单基金定理，one-fund theorem]：存在一只由 风险资产组合而成的基金T，使得任意的有效投资组合都可 以由基金T和无风险资产组合而成。
金融学院金融学系
得到：
− (∑ Z jσ jk ) + ( ERk − R f ) = 0
j =1
N
Z1σ 11 + Z 2σ 12 + L + Z nσ 1n = ER1 − R f Z1σ 21 + Z 2σ 22 + L + Z nσ 2 n = ER2 − R f Z1σ n1 + Z 2σ n 2 + L + Z nσ nn = ERn − R f
•i
σ
金融学院金融学系 金融学院金融学系
图7-4证券市场线
ER i = R f + β i (ER M − R f
)
ERi
SML
该模型反映在数学中的函数关系上就是证券市场线
[SML，security market line，图7-4]。
ERM
Rf
βi = 1
金融学院金融学系 金融学院金融学系
βi
2.系统风险与非系统风险的再回顾
3. 资产配置线[CAL]与资本市场线[CML]
回忆一下，假设风险资产[组合]的预期收益率和标准 差分别为ERr , σ r ；无风险资产的收益率为Rf，标准差为0。 引入无风险资产后的投资组合的预期收益率和标准差分别 为ERp,σp，用Wr表示投入到风险资产[组合]的资金比重， 则：
金融学院金融学系 金融学院金融学系
(0, R )
f
A
N
σp
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9推论7-1：[基金管理公司存在的理论基础] 9定理7-3[分离定理]：投资者对风险和收益的偏好状况与 该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。 在齐性预期假设前提下，所有投资者，无论其风险偏 好如何，对最优风险资产组合的看法都是相同的，都会选 择相同的T点组合。而他们对风险的不同厌恶程度则可以 通过无风险资产和最优风险资产组合的不同比例搭配来满 足，即由射线AT与投资者的无差异曲线的切点决定。 对从事投资服务或资产管理业务的金融机构或金融中 介而言，不论其各个具体客户或投资者的风险—收益偏好 及风险厌恶程度如何，金融中介在设计投资组合的具体过 程中，他们只需要找到切点T所代表的有风险证券的投资 组合，再辅之以一定比例的无风险证券，那么就能为该中 介所有的客户或投资者都提供一个最佳的投资方案，而投 资者的风险—收益偏好就只需反映在组合中无风险证券所 占的比重上面。
1.基本假设 CAPM理论的基本假设除了包括Markowitz资产组合理 论的基本假设外，还包括如下假设： 9投资者完全理性假设：即所有投资者都能遵循Markowitz 投资组合理论的基本原则进行投资组合选择；
金融学院金融学系
金融学院金融学系
9市场完全竞争假设：投资者的个人交易不能影响市场价 格。这意味着市场上有许多投资者，每个投资者的财富与 社会总财富相比，都是微不足道的。 9允许无限制卖空：投资者可以卖空任意数量的证券； 9市场存在一个无风险利率，所有的投资者都可以按照相 同的无风险利率无限制地进行资金的借入和贷出。 在上述假设与 Markowitz 理论的假设前提下的市场， 称为完全市场[complete market]。
金融学院金融学系
Z1σ 11 + Z 2σ 12 = ER1 − R f Z1σ 21 + Z 2σ 22 = ER2 − R f
于是切点组合应该是M=(42.4%,57.6%)。 因此，我们得到：
ERM = ∑ti ERi = 42.4% × 6.10% + 57.6% ×10.20% = 8.46%
金融学院金融学系
σp
金融学院金融学系
图7-2：
ER p
显然，不论投资者的风险—收益偏好程度如何，随着
II I T/M
CML CAL
CAL线围绕点A逆时针旋转，越在上方的CAL线上的点所代
表的投资组合能够给投资者带来的效用就越大。因此，在存 在无风险资产和允许卖空的情况下，有效投资组合应在过点
A与NB曲线相切的CAL上，就是AT射线，即无风险资产与
金融学院金融学系 金融学院金融学系
B.切点组合的求解：一种替代的方法 我们假设存在N种风险证券Si(i=1, 2, 3, …, n) 。我们 求Wi (i=1, 2, 3, …, N)以最大化夏普比率。
一阶条件为：
N N dθ 1 N N = [ ∑ Wi ( ERi − R f ) ] × {− [ ∑ ∑ (WiW jσ ij )]− 3 / 2 × ( 2∑ W jσ jk )} dW k 2 i =1 i =1 j =1 j =1
图7-3 投资组合曲线 新的组合的预期收益率为：
ER w = wER i + (1 − w )ER M
新的组合的标准差为：
2 σ w = w2σ i2 + 2w(1 − w)σ iM + (1 − w)2 σ M
ER
M
Rf
CML
C
如图7-3所示，随着w的变动，预期收益率与标准差所 代表的各点在均值—标准差平面上描绘出一条曲线C[性 质]:
金融学院金融学系
2.引入无风险借贷和卖空假设后的投资组合选择 A.图形 无风险资产由于其预期收益率在事先是基本确定的， 因此其风险接近于0。因此，在预期收益—风险的二维坐 标系中，无风险资产即是点(0,Rf)。
金融学院金融学系
图7-1
风险资产组合； 最优风险资产组合。
ERp = Rf +
ERM − Rf
σM
σp
因此，CML实际上指出了在市场均衡时，有效组合的 风险与预期收益率之间的关系。
其中，ERM表示市场组合的预期收益率；σp和σM分别 表示有效投资组合与市场组合收益率变动的标准差。
金融学院金融学系
金融学院金融学系
二、证券市场线（SML)
1.资本资产定价模型(CAPM)与证券市场线(SML)
切点组合T的组合。而当均衡时，切点组合T与市场组合M的 构成一致，因此，这条线就是无风险资产与市场组合M的组 合，被称为资本市场线[capital market line，CML]。
金融学院金融学系
(0, R )
f
A
N
σp
金融学院金融学系
在数学上，该射线的方程为：[两点确定一条直线或将 市场组合坐标代入CAL公式即可]： 因此，根据CML公式知，在市场均衡时，有效组合的 预期收益是： 预期收益=时间价格+风险价格×风险数量
∑∑ (W W σ )
ij
金融学院金融学系
金融学院金融学系
上式两边同时乘以 [
∑∑ (W W σ )]
N N i =1 j =1 i j ij
1/ 2
得到：
定义：
λ=
∑ W ( ER
i =1 N i N i =1 j =1 i
N
i
− Rf )
j ij
1 − [ i =N
∑W (ER − R
i i N i =1 j =1 i j