2-3 脉冲响应及离散系统

(0) I
2）传递性
(k2 ) (k2 k1 ) (k1 )
3）可逆性
1 (k ) (k )
2. 状态转移矩阵的计算
有4种状态转移矩阵的计算方法：①按定义计算；②用z反变换 计算；③应用凯-哈定理计算；④通过线性变换计算。 在此，我们仅讨论用z反变换计算。 离散系统的齐次状态方程为： 对上式进行 z 变换
k 0 k 1 k2
（69）
x(1) Gx(0) Hu(0) x(2) Gx(1) Hu(1) G 2 x(0) GHu(0) Hu(1)
x(3) Gx(2) Hu(2) G3 x(0) G 2 Hu(0) GHu(1) Hu(2)
k k 1 x (k ) Gx(k 1) Hu(k 1) G x (0) G k i 1 Hu(i)
0
（48）
而
A
0
0
e e dt
At st
Ae e d t I s
At st 0
0
e At est d t
上式可改写成
1
[sI A]
e At est d t I
（49）
（50） （51） （52）
如果 sI A 存在，则


0
e At est d t [sI A]1
u(t ) u(τ )δ(t τ ) d τ
t0
t
（53）
将（53）式代入（28）式
y(t ) C e Ce
A(t t0 ) A( t t0 )
x(t0 ) C e
t0 t t0 t
t
A(t τ )
Bu(τ ) d τ D u(τ )δ(t τ ) d τ
D(t )e1 D(t )e2 D(t )er δ(t τ ) C (t ) (t , τ ) B(τ ) D(τ )δ(t τ )
线性时变系统脉冲响应矩阵
（44）
C (t ) (t , τ ) B(τ ) D(τ )δ(t τ ) H (t , τ ) 0
k 0 x(1) Gx(0) k 1 x(2) Gx(1) G 2 x(0) k 2 x(3) Gx(2) G 3 x(0)
k k 1 x(k ) Gx(k 1) G k x(0) (k ) x(0)

其中 系统的输出为
(k ) G k
0
kT
x[(k 1)T ] [(k 1)T , kT ] x(kT )
令： G(kT ) [(k 1)T , kT ]
( k 1)T
kT
[(k 1)T , τ ]B(τ )u(τ ) d τ
( k 1)T kT
H (kT )
[(k 1)T , τ ]B(τ )u(τ ) d τ
y(k ) CG k x(0)
（66） （67）
2.7.2 状态转移矩阵
(k ) G k 将其转移到状态 x (k )，故 (k ) 若系统初始状态为 x (0) ，通过
称为状态转移矩阵。 1. (k ) 的基本性质
1）满足自身的矩阵差分方程及初始条件
(k 1) G (k )
2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵
第i 个分量
yi (t ) C (t ) (t, τ )B(τ )ei δ(t τ ) d τ D(t )ei δ(t τ )
C (t ) (t , τ ) B(τ )ei D(t )ei δ(t τ ) ≜ hi (t , τ )
t0
t
（43）
hi (t )为m维向量，它表示系统输出 y(t )对输入u(t ) 的第i个元素 在τ时刻加入单位脉冲时的响应。 i 将 hi (t )， 1,2,, r 按次序排列，则
H (t , τ ) h1 (t , τ ) h2 (t , τ ) hr (t , τ )
C (t ) (t , τ ) B(τ )e1 C (t ) (t , τ ) B(τ )e2 C (t ) (t , τ ) B(τ )er
(k ) G k Z
{[ zI G]1 z}
（68）
例2-13 离散系统齐次状态方程为 x(k 1) 0
求状态转移矩阵
8 / 13 5 / 13 1 z 0.8 z 0.5 z 1 [ zI A] 4 / 13 4 / 13 0.4 z 0.3 z 0.8 z 0.5
t≥ τ
t τ
（47）
2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系 对（47）式求拉普拉斯变换 st At st H (s) L [ H (t )] H (t ) e d t [C e B Dδ(t )]e d t 0 0
C

e At est d tB D
t0
t
x(t0 ) [C e A(t τ ) B Dδ(t τ )]u(τ ) d τ
（54）
t0
C e A(t t0 ) x(t0 ) H (t τ )u(τ ) d τ
当系统初始状态为零时
y(t ) H (t τ )u(τ ) d τ
t0
t
（55）
系统方程为
x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u(k ) y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u(k )
（72）
若系统的解存在且唯一，则解为
x(k ) (k , k0 ) x(k0 ) (k , i 1) H (i)u(i)
i k0
程序执行结果
这表示
2 e t e 2t e t e 2t (t ) t 2t t 2t e 2e 2 e 2 e 2 e t e 2t x (t ) t 2t 2 e 2 e
将（50）式代入（48），得到 H (s) C[sI A]1 B D G(s) 当D = 0 时
H (s) C[sI A]1 B G(s)
可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯 变换就是系统传递函数矩阵。
2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出
如果输入向量表示为
x(k 1) Gx(k )
zx( z) zx(0) Gx( z) [ zI G] x( z ) zx(0) x( z) [ zI G]1 zx(0)
x (k ) Z
可见
1
{[ zI G]1 z}x(0) (k ) x(0) G k x(0)
1
考虑到 u(τ ) u(kT ) τ [kT , (k 1)T ]
于是
x[(k 1)T ] G(kT ) x(kT ) H (kT )u(kT ) x(k 1) G(k ) x(k ) H (k )u(k )
省略T，得到
（61）
输出方程离散化，令 t kT ，即可以得到
x(kT ) (kT , k0T ) x(t0 ) (kT , τ )B(τ )u(τ ) d τ
k0T
kT
（59）
将（59）式两边都左乘 [(k 1)T , kT ]
[(k 1)T , kT ] x(kT ) [(k 1)T , k0T ] x(k0T ) [(k 1)T , τ ]B(τ )u(τ ) d τ kT （60） （58）减（60）并且整理后，得到
2.6 线性连续系统方程的离散化
作以下假定： 1）被控对象上有采样开关； 2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全 部信息；
3）具有零阶保持器。
2.6.1 线性时变系统 x A(t ) x B(t )u y C (t ) x D(t )u 初始状态为 x (t0 ) 状态方程的解为 t x(t ) (t , t0 ) x(t0 ) (t , τ )B(τ )u(τ ) d τ
其中 G e
AT
T e Aτ d τ B H 0
C C
DD
2.7 线性离散系统的运动分析
2.7.1 线性定常离散系统齐次状态方程的解
系统的齐次状态方程为：
x(k 1) Gx(k )
（65）
其中，x(k)为n维状态向量 采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解
1
1 x (k ) 0.4 0.3
10 / 13 10 / 13 z 0.8 z 0.5 8 / 13 5 / 13 z 0.8 z 0.5
解
(k ) G k Z
1
{[ zI G]1 z}
10 10 k (0.8) (0.5) k 13 13 8 5 k k (0.8) (0.5) 13 13
y(k ) C (k ) x(k ) D(k )u(k )
（62）
2.6.2 线性定常系统
x Ax Bu y Cx Du
离散化后得到
（63）
x (k 1) Gx(k ) Hu(k ) y(k ) Cx (k ) Du(k )
（64）
k 1
（73）
（用迭代法可以证明） 系统的输出为
k 1
y(k ) C (k ) (k , k0 ) x(k0 ) C (k ) (k , i 1) H (i)u(i) D(k )u(k )
i k0
（74）
2.8 用MATLAB求解系统方程
2.8.1 线性齐次状态方程的解 使用MATLAB可以方便地求出状态方程的解。我们通过例 子来说明。 例2-16 已知线性系统齐次状态方程为