第30课时 三角函数的图象和性质(1)

课题：三角函数的图象和性质（一）教学目标：了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，理解,,A ωϕ的物理意义，掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换原理; 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.教学重点：函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的变换方法．（一） 主要知识：1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图.2.函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径．3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.4.会由三角函数图象求出相应的解析式.（二）主要方法：1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ωϕ=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；2.给出图象求sin()y A x B ωϕ=++的解析式的难点在于,ωϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．3.对称性:()1函数sin()y A x ωϕ=+对称轴可由2x k πωϕπ+=+()k Z ∈解出；对称中心的横坐标是方程x k ωϕπ+=()k Z ∈的解，对称中心的纵坐标为0.( 即整体代换法)()2函数()cos y A x ωϕ=+对称轴可由x k ωϕπ+=()k Z ∈解出；对称中心的纵坐标是方程2x k πωϕπ+=+()k Z ∈的解，对称中心的横坐标为0.( 即整体代换法)()3函数()tan y A x ωϕ=+对称中心的横坐标可由2k x ωϕπ+=()k Z ∈解出，对称中心的纵坐标为0，函数()tan y x ωϕ=+不具有轴对称性.4.0A >时，()sin y A x ωϕ=+，当22x k πωϕπ+=+()k Z ∈时，有最大值A ，当22x k πωϕπ+=-()k Z ∈时,有最小值A -；0A >时，与上述情况相反.（三）典例分析：问题1．已知函数cos 22x xy =+()x R ∈.()1用“五点法”画出它的图象；()2求它的振幅、周期和初相； ()3说明该函数的图象可由sin y x =的图象经过怎样的变换而得到.问题2．()1(07海南)函数πsin2y x⎛⎫=-⎪⎝在区ππ⎡⎤-⎢⎥，的简图是()2(05天津文)函数sin()y A xωϕ=+(20,,xπωϕ><的部分图象如图所示，则函数表达式为.A)48sin(4ππ+-=xy.B)48sin(4ππ-=xy.C)48sin(4ππ--=xy.D)48sin(4ππ+=xy()3已知函数sin()y A xωϕ=+（0,||Aϕπ><）的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．问题3．()1将函数5sin(3)y x=-的周期扩大到原来的倍，再将函数图象左移3，得到图象对应解析式是.A335sin()22xyπ=-.B735sin()102xyπ=-.C5sin(6)6y xπ=-.D35cos2xy=x.B.C.D()2（07山东文）要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象 .A 向右平移π6个单位；.B 向右平移π3个单位； .C 向左平移π3个单位；.D 向左平移π6个单位()3（04山东）为了得到函数6sin(2)y x π=-的图象，可以将函数x y 2cos =的图象.A 向右平移6π个单位长度 .B 向右平移3π个单位长度 .C 向左平移6π个单位长度 .D 向左平移3π个单位长度 问题4．()1(07福建)已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则 该函数的图象 .A 关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称 .B 关于直线x π=4对称 .C 关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 .D .关于直线x π=3对称 ()2（05山东）已知函数)12cos()12sin(π-π-=x x y ，则下列判断正确的是 .A 此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭.B 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭.C 此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭.D 此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭问题5．（07陕西）设函数()f x a b =⋅ ，其中向量(cos2)a m x = ，，(1sin 21)b x =+，，x R ∈，且()y f x =的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小值及此时x 值的集合．（四）课外作业：1.要得到x x y 2cos 2sin +=的图象，只需将x x y 2cos 2sin -=的图象.A 向左平移8π .B 向右平移8π .C 向左平移4π .D 向右平移4π2.如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，则a =3.函数tan cos y x x = 的部分图象是.A .B .C.D（五）走向高考：4.（05天津）要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的.A 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度.B 横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 .C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 .D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度 5.（06江苏）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数Rx x y ∈=,sin 2的图像上所有的点.A 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） .B 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）.C 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.D 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）6. (07安徽)函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ，①图象C 关于直线1112x =π对称；②函数()f x 在区间5ππ⎛⎫- ⎪1212⎝⎭，内是增函数； ③由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 以上三个论断中，正确论断的个数是 .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 7.（06安徽）将函数sin (0)y x ωω=>,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是.A sin()6y x π=+ .B sin()6y x π=-.C sin(2)3y x π=+ .D sin(2)3y x π=-8.（05福建）函数sin()y x ωϕ=+(,0x R ω∈>,02ϕπ≤<)的部分图象如图，则.A 4,2πϕπω== .B 6,3πϕπω==.C 4,4πϕπω== .D 45,4πϕπω== 9.（07福建）已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象.A 关于点0π⎛⎫⎪3⎝⎭，对称 .B 关于直线x π=4对称.C 关于点0π⎛⎫⎪4⎝⎭，对称 .D 关于直线x π=3对称10.（07广东文）已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(01)，，则该简谐运动的最小正周期T 和初相ϕ分别为.A 6T =，π6ϕ=；.B 6T =，π3ϕ=；.C 6πT =，π6ϕ=；.D 6πT =，π3ϕ=11.（06陕西）已知函数2())2sin ()().612f x x x x R ππ=-+-∈（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求使函数()f x 取得最大值的x 集合.12.（05全国Ⅰ文）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x .（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像。

13. (03全国)已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数。

求ωϕ和的值。