导数与圆锥曲线

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拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释

拉格朗日中值定理圆锥曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉格朗日中值定理以及圆锥曲线作为数学中的两个重要概念，都在不同领域发挥着重要的作用。

拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它为我们提供了一种有力的工具，用于研究函数在某个区间内的性质。

而圆锥曲线则是解析几何中的一个重要分支，它涉及到平面上的曲线形状与其代数方程之间的联系。

拉格朗日中值定理是法国数学家拉格朗日于18世纪所提出的，在微积分学中占据着举足轻重的地位。

它描述了函数在某个闭区间内连续且导数存在的条件下，必然存在着某个点，使得该点的导数等于函数在该区间两端点的函数值之差与两端点之差的比值。

也就是说，拉格朗日中值定理给出了函数在某个区间内平均变化率等于瞬时变化率的条件。

这个定理被广泛应用于微积分、最优化等领域，为我们研究函数的增减性、最值等问题提供了便利。

而圆锥曲线是一个由平面与一个圆锥相交所形成的曲线。

它的特点是在平面上的每个点，到一个定点和一个定直线的距离之比是一个常数，该常数称为离心率。

由于离心率的不同取值，圆锥曲线可以分为椭圆、抛物线和双曲线三种类型。

椭圆是离心率小于1的情况，抛物线是离心率等于1的情况，而双曲线是离心率大于1的情况。

圆锥曲线的研究在解析几何、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。

它们可以描述光学系统中的折射和反射现象，也可以用于建模天体运动的轨迹等。

通过对拉格朗日中值定理和圆锥曲线的研究，我们可以深入理解函数的变化规律以及几何形状的特性。

这两个概念的结合为我们提供了一种数学工具的扩展和应用的可能性。

在本文中，我们将首先介绍拉格朗日中值定理的基本原理和证明方法，然后探讨圆锥曲线的定义和性质，最后总结两者的研究意义。

通过这样的分析，我们可以更好地理解这两个概念在数学和相关学科中的重要性和应用价值。

1.2文章结构文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

1. 引言部分会对拉格朗日中值定理和圆锥曲线进行概述，明确文章的主要研究内容和目的。

专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法

专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法专题14 圆锥曲线切线方程微点1 圆锥曲线切线方程的求法【微点综述】圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式．此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高．下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的方法及常用结论．一、圆锥曲线切线方程方法 1．向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式．在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程．例11．已知圆O 的方程是()()222x a y b r -+-=，求经过圆上一点()00,M x y 的圆的切线l 的方程． 2．变换法设椭圆方程为22221x y a b +=，我们作变换：,,x au y bv =⎧⎨=⎩则可把椭圆化为单位圆：221u v +=，从而可将求椭圆的切线方程问题转化为求圆的切线问题．例22．求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程． 3．判别式法可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一．思维导图：设切线方程⇒联立切线与椭圆的方程⇒消去y （或x ）得到关于x （或y ）的一元二次方程⇒Δ0=求切线斜率⇒写出切线方程．注意：过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．例33．求经过点()2,1M 的双曲线：2222x y -=的切线l 的方程． 4．导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程．例44．设为,A B 曲线2:4x C y =上两点，,A B 的横坐标之和为4．设M 为曲线C 上一点，C在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．例55．证明：过椭圆C ：22221x y m n+=(m >n >0)上一点Q (x 0，y 0)的切线方程为00221x x y y m n +=．5．几何性质法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：（1）若焦点为12,F F 的椭圆或双曲线上有一点M ，则12F MF ∠的平分线一定与圆锥曲线相切；（2）若焦点为F 的抛物线上有一点M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则FN 的中点P 与M 的连线PM 必与抛物线相切．据此，我们也可以利用圆锥曲线的几何性质作出其切线，然后再求出切线的方程．例66．求抛物线2:8C y x =上经过点()8,8M 的切线l 的方程．例77．过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点．例8（2022乙卷理科）8．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，且F 与圆M ：()2241y x ++=上点的距离的最小值为4． (1)求p ；(2)若点P 在M 上，P A ，PB 为C 的两条切线，A ，B 是切点，求△P AB 面积的最大值．【强化训练】（2022桃城区校级模拟）9．已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭（2022聊城一模）10．已知圆22:1C x y +=，直线:20l x y ++=，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．则直线AB 过定点（） A ．11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,1--C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022迎泽区校级月考）11．已知圆()22:14C x y -+=.动点P 在直线280x y +-=上，过点P 引圆的切线，切点分别为,A B ，则直线AB 过定点______.12．过圆2216x y +=外一点P （4，2）向圆引切线． (1)求过点P 的圆的切线方程；(2)若过点P 的直线截圆所得的弦长为(3)若过P 点引圆的两条切线，切点分别为1P 、2P ，求过切点1P 、2P 的直线方程．（2021春·黑龙江期中）13．已知点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上.若点()00,N x y 在圆222:M x y r +=上，则圆M 过点N 的切线方程为200x x y y r +=.由此类比得椭圆C 在点P 处的切线方程为（）A ．13311x y+= B ．111099x y += C ．11133x y += D ．199110x y += （2020．新课标△）14．已知△M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作△M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y +-= C ．210x y -+= D ．210x y ++=（2022宿州期末）15．定义：若点()00,P x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，则以 P 为切点的切线方程为：00221x x y y a b +=.已知椭圆 22:132x y C +=，点M 为直线260x y --=上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线 MA ，MB ，切点分别为A ，B ，则直线AB 恒过定点（） A ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭（2022金安区校级期末）16．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（） A ．1BCD ．2（2022吉安期末理）17．过圆222x y r +=上一定点(),o o P x y 的圆的切线方程为20o x x y y r +=.此结论可推广到圆锥曲线上.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l .则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（） A ．20?x y +-= B ．30x y --= C ．2330x y +-= D ．3100x y --=（2022大连期末）18．已知()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，则过C 上点M 的切线方程为________，若()22,N x y 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>上一点，则过E 上点N 的切线方程为_____________. （2022泸县校级一模）19．椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是______．（2022金安区校级模拟）20．一般情况下，过二次曲线Ax2+By2=C （ABC ≠0）上一点M （x0，y0）的切线方程为Ax0x+By0y=C ，．若过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点M （x0，y0）（x0＜0）作双曲线的切线l ，已知直线l 过点N 0,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，且斜率的取值范围是⎣，则该双曲线离心率的取值范围是______．（2022兴庆区校级一模）21．已知()00,P x y 是抛物线()220y px p =>上的一点，过P 点的切线方程的斜率可通过如下方式求得在22y px =两边同时求导，得：2'2yy p =，则'py y=，所以过P 的切线的斜率0p k y =.试用上述方法求出双曲线22y x 12－＝在P 处的切线方程为_________.（2022亳州期末）22．已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，离心率12e =，点P (2，3)在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程(2)求过点P 的椭圆C 的切线方程(3)若从椭圆一个焦点发出的光线照到点P 被椭圆反射，证明：反射光线经过另一个焦点．（2022福州二模）23．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的两条切线交于点M （4，t ），其中t R ∈，切点分别是A 、B ，试利用结论：在椭圆22221x y a b+=上的点()00,x y 处的椭圆切线方程是00221x x y y a b +=，证明直线AB 恒过椭圆的右焦点2F ；(3)试探究2211AF BF +的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由．（2022香坊区校级三模）24．已知点1(,2)2D -，过点D 作抛物线21:C x y =的两切线，切点为,A B .（1）求两切点,A B 所在的直线方程；（2）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>（1）中直线AB 与椭圆交于点P ，Q ，直线,,PQ OP OQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k k +=，求椭圆的方程. （2022渝中区校级月考）25．已知椭圆22122:1x y C a b+=()0a b >>的离心率为12，过点)E的椭圆1C 的两条切线相互垂直.（△）求椭圆1C 的方程；（△）在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由. （2022杭州模拟）26．已知曲线1C 上任意一点到()0,1F 的距离比到x 轴的距离大1，椭圆2C 的中心在原点，一个焦点与1C 的焦点重合，长轴长为4．(1)求曲线1C 和椭圆2C 的方程；(2)椭圆2C 上是否存在一点M ，经过点M 作曲线1C 的两条切线,MA MB （,A B 为切点）使得直线AB 过椭圆的上顶点，若存在，求出切线,MA MB 的方程，不存在，说明理由．参考答案：1．()()()()200x a x a y b y b r --+--=【分析】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，利用0OM ON ⋅=化简整理可得. 【详解】设切线l 上任意一点N 的坐标是(),x y ，由已知得圆心(),O a b ，()()0000,,,OM x a y b MN x x y y ∴=--=--，又0OM ON ⋅=，即()0000()()()0x x x a y y y b --+--= 所以()()()()()()00000x a x a x a y b y b y b ----+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， △过圆上的点()00,M x y 的圆的切线l 的方程是：()()()()()()220000x a x a y b y b x a y b --+--=-+-，又()()22200x a y b r -+-=，△所求圆的切线l 的方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=．2．340x y +-=【分析】令,43yx u v ==，利用伸缩变换求得椭圆和点M 在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得.【详解】令,43y x u v ==，则椭圆在新坐标系uOv 下的方程是：221u v +=，点M ⎛ ⎝⎭在新坐标系uOv 下的坐标是：⎝⎭，设过圆221u v +=上的点⎝⎭的切线方程为(22v k u -=-（易得斜率必存在），即(v k u =221u v +=整理得2221(1)(1)(21)02k u k u k k +-+--=由题意可知，22222(1)2(1)(21)0k k k k k =--+--=Δ，整理得2(1)0k +=即1k =-，所以切线方程为(v u =-，即：u v +=∴过椭圆上一点M 的切线l的方程是：43x y+340x y +-=． 3．10x y --=【分析】设直线，与双曲线联立，结合判别式分析，即得解【详解】若直线斜率不存在，过点()2,1M 的直线方程为：2x =，代入2222x y -=可得21y =，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设l 的方程是：()12y k x -=-，即：21y kx k =-+，将它代入方程2222x y -=整理得：()()()222214218840k x k k x k k ---+-+=，由已知20210,k -∆=≠，即()()()2224214218840k k k k k -----+=⎡⎤⎣⎦，解得：1k =，故所求切线l 的方程为：21y x =-+，即：10x y --=． 4．7y x =+【分析】在求得直线AB 的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出点M 的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121212,,,444x x x x y y x x ≠==+=，于是直线AB 的斜率为121212121212()()14()4y y x x x x x x k x x x x -+-+====--，由24x y =，得2x y '=．设()33,M x y ，由题意可知：312x =，解得32x =，()2,1M ∴．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段的中点为()2,2N m +，1MN m =+将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=，当()1610m ∆=+>，即当1m >-时，12x =+22x =-从而可得12AB x =-= 因为AM BM ⊥，且BN AN =，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以BN AN MN ==，所以2AB MN =，即()21m =+，解得7m =，直线AB 的方程为7y x =+． 5．证明见解析【分析】方法一：分0y >，0y <和0y =，当0y >，0y <时，利用导数求切线方程可得；方法二：设直线方程联立椭圆方程，利用判别式等于0求切点横坐标，然后可得切线方程. 【详解】法一：由椭圆C ：22221x y m n+=，则有22221y x n m =-当0y >时，y =2nx y m '=-，△当00y >时，2000222001x n n n k x x y mm m y n =-=-=-⋅． △切线方程为()200020x n y y x x m y -=-⋅-，整理为：222222220000n x x m y y m y n x m n +=+=，两边同时除以22m n 得：00221x x y ym n+=．同理可证：00y <时，切线方程也为00221x x y ym n+=．当0=0y 时，切线方程为x m =±满足00221x x y ym n+=．综上，过椭圆上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=．法二：当斜率存在时，设切线方程为y kx t =+，联立方程：22221x y m ny kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222()n x m kx t m n ++=，化简可得： 22222222()2()0n m k x m ktx m t n +++-=，△由题可得：42222222244()()0m k t m n m k t n ∆=-+-=，化简可得：2222t m k n =+，△式只有一个根，记作0x ，220222m kt m kx n m k t =-=-+，0x 为切点的横坐标，切点的纵坐标200n y kx t t =+=，所以2020x m k y n =-，所以2020n x k m y =-，所以切线方程为：2000020()()n x y y k x x x x m y -=-=--，化简得：00221x x y ym n+=．当切线斜率不存在时，切线为x m =±，也符合方程00221x x y ym n+=，综上：22221x y m n+=在点00(,)x y 处的切线方程为00221x x y y m n +=．6．280x y -+=【分析】根据线段NF 的垂直平分线经过点M 即可求得切线方程.【详解】由抛物线2:8C y x =可得其焦点()2,0F ，准线方程为：2x =-，过点()8,8M 作准线的垂线，设垂足为N ，则N 的坐标为()2,8-，又设FN 的中点为P ，则P 的坐标为()0,4，如图所示：故直线PM 的方程为：84480y x --=-，即280x y -+=，△切线l 的方程为280x y -+=． 7．答案见解析.【分析】根据两切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+，且均过均过点P ，可知弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【详解】以22y px =（p ＞0）为例说明．设点00(,)Q x y 是抛物线22y px =上的任意一点，则过点00(,)Q x y 且与抛物线相切的直线方程为00()y y k x x -=-，联立2002()y pxy y k x x ⎧=⎨-=-⎩得：222222000000(222)20k x k x p ky x k x y kx y -+-++-=，因为二者相切，所以Δ0=，即222222000000(222)4(2)0k x p ky k k x y kx y +--+-=，化简得：0p k y =，又2002y px =，代入00()y y k x x -=-得：()00y y p x x =+，即抛物线22y px =在00(,)Q x y 处的切线方程为()00yy p x x =+. 设准线上任一点0,2p P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则切线方程分别为：()11y y p x x =+，()22y y p x x =+两切线均过点P ，则满足1012p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2022p y y p x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．故过两切点的弦AB 方程为：02p y y p x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则弦AB 过焦点．【点睛】（1）点()00,P x y 是抛物线()220y mx m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00y y m x x =+；（2）点()00,P x y 是抛物线()220x my m =≠上一点，则抛物线过点P 的切线方程是：()00x x m y y =+．8．(1)p ＝2(2)【分析】（1）先求42pFM =+，点F 到圆M 上的点的距离的最小值即为FM r -. （2）求出AB =和点P 到直线AB的距离d =322(6)2144PABb S ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭△，根据b 的范围即可求最大值.（1）0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭到圆心4(0,)M -的距离42p FM +，所以点F 到圆M 上的点的距离的最小值为4142pFM r -=+-=，解得p ＝2；（2）由（1）知，抛物线的方程为24x y =，即214y x =，则12y x '=，设切点()11,A x y ，()22,B x y ，则易得PA l ：21124x x y x =-，△PB l ：22224x x y x =-，△联立△△可得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，设AB l ：y kx b =+，联立抛物线方程，消去y 并整理可得2440x kx b --=， △216160k b ∆=+>，即20k b +>，且124x x k +=，124x x b =-， △(2,)P k b -△AB ==点P 到直线AB 的距离d =△()322142PABS AB d k b ==+△△，又点(2,)P k b -在圆M ：()2241y x ++=上，故()22144b k --=，代入△得，332222(6)2112154444PAB b b b S ⎛⎫--+⎛⎫-+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△，而[]5,3p y b =-∈--，△当b ＝5时，()max=PAB S【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 9．A【分析】设(2,)P t ，圆心C 的坐标为(0,0)，可得以线段PC 为直径的圆N 的方程，两圆方程作差，得两圆公共弦AB 的方程可得答案．【详解】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ，由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ，所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 10．A【分析】由P A △AC ，PB △BC 可知点A 、B 在以PC 为直径的圆上，设点P 坐标，写出以PC 为直径的圆的方程，然后可得直线AB 方程，再由直线方程可确定所过定点. 【详解】根据题意，P 为直线l ：20x y ++=上的动点，设P 的坐标为(),2t t --，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A △AC ，PB △BC ，则点A 、B 在以PC 为直径的圆上，又由C （0，0），(),2P t t --，则以PC 为直径的圆的方程为：()()20x x t y y t -+++=，变形可得：()2220x y tx t y +-++=，则有22221(2)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+-++=⎩，联立可得：()120tx t y -++=，变形可得：()120y t x y +--=，即直线AB 的方程为()120y t x y +--=，变形可得：()120y t x y +--=，则有1200y x y +=⎧⎨-=⎩，解可得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 过定点11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故选：A ． 11．118,77⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，设P 的坐标为(82,)t t -，由圆的切线的性质分析可得则A 、B 在以CP 为直径的圆上，进而可得该圆的方程，进而分析可得直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，由圆与圆的位置关系分析可得直线AB 的方程，据此分析可得答案．【详解】根据题意，动点P 在直线280x y +-=上，设P 的坐标为(82,)t t -，圆22:(1)4C x y -+=，圆心为(1,0)，过点P 引圆的切线，切点分别为A ，B ，则PA CA ⊥，PB CB ⊥，则A 、B 在以CP 为直径的圆上，该圆的方程为(1)[(82)](0)()0x x t y y t ---+--=，变形可得：22(92)(82)0x y t x ty t +---+-=，又由A 、B 在圆C 上，即直线AB 为两圆的公共弦所在直线的方程，则有2222230(92)(82)0x y x x y t x ty t ⎧+--=⎨+---+-=⎩，则直线AB 的方程为(711)(22)x t x y -=--，则有7110220x x y -=⎧⎨--=⎩，解可得：11787x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；故直线AB 恒过定点11(7，8)7；故答案为：11(7，8)7．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、公共弦方程求法、直线过定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意两圆相减可得公共弦直线方程的应用. 12．(1)x ＝4或34200x y +-= (2)y ＝2或43100x y --= (3)280x y +-=【分析】（1）分k 不存在和k 存在两种情况讨论，利用圆心到直线距离等于半径，求解即可；（22，结合圆心到直线距离公式，可得解；（3）由题意12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径，写出圆的方程，过切点1P 、2P 的直线即为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的交线，求解即可. （1）当切线斜率不存在时，过点P （4，2）的直线为x ＝4，圆心到直线距离等于半径，故x ＝4为切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=．4=，即430k +=解得：34k =-，此时切线方程为34200x y +-=．△过点P 的圆的切线方程为x ＝4或34200x y +-=；（2）由（1）知，所求切线斜率存在，设直线方程为420kx y k --+=．△r ＝4，且弦长为△圆心到直线420kx y k --+=的距离2d ==，即2340k k -= 解得k ＝0或43k =．△所求直线方程为y ＝2或43100x y --=；（3）由题意，1122,OP PP OP PP ⊥⊥ 故12,,,P O P P 四点共圆，且PO 为直径 △P （4，2），△以PO 为直径的圆圆心为(2,1)，半径||2PO r == 故圆的方程为()()22215x y -+-=，由于12,P P 也在圆2216x y +=上，故过切点1P 、2P 的直线为圆22420x y x y +--=与圆2216x y +=的公共弦两圆方程作差可得过1P 、2P 的直线方程为280x y +-=． 13．C【分析】先根据点在椭圆上，求得2a ，再类比可得切线方程. 【详解】因为点(10,3)P 在椭圆222:199x y C a +=上，故可得21009199a +=，解得2110a =；由类比可得椭圆C 在点P 处的切线方程为： 103111099x y +=，整理可得11133x y+=. 故选：C.【点睛】本题考查由椭圆上一点的坐标求椭圆方程，以及类比法的应用，属综合基础题. 14．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,A P B M 共圆，且AB MP ⊥，根据 44PAMPM AB SPA ⋅==可知，当直线MP l ⊥时，PM AB ⋅最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．【详解】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点 M 到直线l 的距离为2d =>，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAMPM AB SPA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP ， min 1PA =，此时PM AB ⋅最小． △()1:112MP y x -=-即 1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即 2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 15．C【解析】设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，即可表示出MA 的方程，又M 在MA 上，即可得到()1126132x t y t++=，即可得到直线AB 的方程，从而求出直线AB 过的定点；【详解】解：因为点M 在直线260x y --=上，设()26,M t t +，()11,A x y ，()22,B x y ，所以MA 的方程为11132x x y y+=，又M 在MA 上，所以()1126132x t y t ++=△，同理可得()2226132x t y t ++=△；由△△可得AB 的方程为()26132x t yt++=，即()22636x t yt ++=，即()()431260x y t x ++-=，所以4301260x y x +=⎧⎨-=⎩，解得1223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线恒过定点12,23⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：C 16．C【解析】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，根据题意，求得过点B 的切线l 的方程，即可求得C 、D 坐标，代入面积公式，即可求得OCD 面积S 的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=，令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x y y x =，即111,x y ==时等号成立，所以OCD. 故选：C【点睛】解题的关键是根据题意，直接写出过点B 的切线方程，进而求得面积S 的表达式，再利用基本不等式求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 17．A【解析】根据类比推理，可得直线l 的方程，然后根据垂直关系，可得所求直线方程.【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -的切线l 的方程为31124x y-+=，即40x y --=，切线l 的斜率为1，与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为(13)y x +=-一，即20x y +-=. 故选：A【点睛】本题考查类比推理以及直线的垂直关系，属中档题. 18． 111x x y y +=22221x x y ya b+= 【分析】由OM 垂直切线可求出切的斜率，再利用点斜式可求出过C 上点M 的切线方程；利用导数的几何意义在点()22,N x y 处切线的斜率，再利用点斜式求出直线方程【详解】解：因为11OM y k x =，切线与直线OM ，所以所求切线的斜率为11x y -，所以所求的切线方程为1111()x y y x x y -=--，即221111y y y x x x -=-+，得221111x x y y x y +=+，因为点()11,M x y 为圆22:1C x y +=上一点，所以22111x y +=，所以过C 上点M 的切线方程为111x x y y +=；当20y >时，设0y >，由22221x y a b +=得22221y x b a=- 22222y a x b a -= △22222()b y a x a =-△y = △1'222()(2)2b y a x x a-=-⋅-1222()bx a x a -=--=△过点()22,N x y的切线的斜率为△过点()22,N x y的切线的方程为22)y y x x -=-△点()22,N x y 在椭圆上，△2222221x y a b+=，222222222,a y a y b x a b b=+=， △2222()bx b y y x x a ay -=-⋅-，即222222()b xy y x x a y -=-- 2222222222a y y a y b x x b x -=-+，2222222222a y y b x x a y b x +=+，△222222a y y b x x a b +=，△所求的切线方程为22221x x y ya b+=，当20y <时，同理可得其切线方程为22221x x y ya b+=所以过E 上点()22,N x y 的切线方程为22221x x y ya b+=，故答案为：111x x y y +=；22221x x y ya b+= 【点睛】此题考查圆锥曲线的切线方程的求法，属于中档题 19．340x y +-=【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程.【详解】△椭圆223144x y +=，△y >0时，y △23xy -'=， △x ＝1时，13y '=-，即切线斜率13k =-，△椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是()1113y x -=--，即340x y +-=．故答案为：340x y +-=． 20．【分析】求得切线方程，将N 代入切线方程，即可求得M 点坐标，求得切线方程，根据斜率公式及离心率公式即可求得答案．【详解】双曲线在M （x 0，y 0）的切线方程为00221x x y ya b-=，将N 代入切线方程，解得y 0＝﹣2b ，代入双曲线方程解得：x 0，21y b =，即y2bx +，由斜率的取值范围是⎣1≤b a ≤2，由双曲线的离心率e ＝c a1≤22b a ≤4，∴双曲线离心率的取值范围，故答案为:．【点睛】本题考查双曲线的切线方程的应用及离心率公式，考查转化思想，属于中档题．21．20-=x y【详解】分析：结合题中的方法类比求解切线方程即可.详解：用类比的方法对2212y x ＝－两边同时求导得，22x yy x y y '∴'=＝，，0002|2x x x k y y =∴='＝， △切线方程为2(y x ，整理为一般式即：20x y －.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 22．(1)2211612x y +=；(2)280x y +-=； (3)证明见解析.【分析】（1）根据已知条件列方程组即可求出,,a b c .（2）由直线与椭圆相切，根据判别式Δ0=即可求出直线斜率k . （3）利用向量数量积证明直线1PF 与2F P 关于直线m 对称即可；【详解】（1）由题意可得：2222212491c a a b c a b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，解得216a =，212b =，△椭圆C 的方程为：2211612x y +=；（2）显然，过点P (2，3)的切线存在斜率，设切线l 的斜率为k ，则l ：3(2)y k x -=-，由22116123(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得()()222348231648120k x k kx k k +--+--=，因为直线l 与椭圆C 相切，∴()()()2222Δ64234341648120k k k k k =--+--=，化为：24410k k ++=，解得12k =-．△求过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=．（3）证明：△椭圆C 的方程为：2211612x y +=，则椭圆左右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ， △过点P 的椭圆切线方程为280x y +-=， △过点P 的椭圆法线方程为m ：210x y --=，法线的方向向量()1,2m =--， △()14,3PF =--，()20,3PF =-， △1112cos ,PF mPF m PF m⋅==-，2222cos ,PF mPF m PF m⋅==- △直线1PF ，2F P 关于直线m 对称；△从椭圆一个焦点发出的光线照到点P ，被椭圆反射后，反射光线一定经过另一个焦点．【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：△定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．△待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a ，b ；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 23．(1)22143x y +=(2)证明见解析(3)是，常数为43【分析】（1）代入点坐标，结合2221b e a=-求解即可；（2）根据结论设出切线方程，两条切线交于点M （4，t ），可得点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，求出定点坐标即可；（3）联立直线AB 与椭圆，点点距公式表示22,AF BF ，结合韦达定理化简即得解【详解】（1）△椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上．△222314b e a =-=，△221914a b +=，△，由△△得：24a =，23b =，△椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）证明：设切点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，则切线方程分别为11143x x y y+=，22143x x y y +=．又两条切线交于点M （4，t ），即1113t x y +=，2213tx y +=，即点A 、B 的坐标都适合方程13tx y +=，令0y =，可得1x = 故对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过椭圆的右焦点()21,0F ．（3）将直线AB 的方程13tx y =-+，代入椭圆方程，得223141203t y y ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭，即2242903t y ty ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， △122612t y y t +=+，1222712y y t =-+，不妨设10y >，20y <，21AF y =，同理22BF y =，△211212221111y y y y y y AF BF -⎫+=-=⎪⎭1243==，△2211AF BF +的值恒为常数43． 24．（1）2y x =+；（2）2214812x y +=. 【分析】（1）设出切点，利用切点处的导数是斜率，表示出切线方程，1(,2)2D -在切线上，求出两解，分别对应切点,A B 坐标，则方程可求. （2a b 、的一个关系；联立直线和椭圆方程，用上韦达定理，结合123k k k +=，再建立a b 、的一个关系，则椭圆方程可求. 【详解】解：（1）设切点11(,)A x y 22(,)B x y ，则221122,x y x y ==切线的斜率为2y x '=，所以抛物线上过11(,)A x y 点的切线的斜率为12x ，切线方程为()2111112,2y y x x x y x x x -=-=-，1(,2)2D -在切线上，所以21120x x --=，12x =或11x =-，当12x =时，2114y x ==；当11x =-，2111y x ==，不妨设()(2,4),1,1A B -，1AB k =，所以两切点,A B 所在的直线方程2y x =+.（2）由e =2234c a =，又222c a b =-，所以224a b =.222244y x x y b=+⎧⎨+=⎩，得225161640x x b ++-=， 21651645P Q P Q x x b x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 21,Q PP Qk k y y x x ==， 1k =，又因为123k k k +=，()()3,3,223P Q P Q Q P Q Q P P P Q P Q P Qx x x x y y x y x y x x x x x x ++++===+，()2P Q P Q x x x x +=，22161642,1255b b --⨯==，248a =，所以椭圆的方程2214812x y +=.【点睛】以直线和抛物线、椭圆的位置关系为载体，考查求直线方程、椭圆方程的方法；中档题.25．(△)22143x y +=；(△)满足条件的点P 有两个.【详解】试题分析：(1) 结合椭圆的离心率可求得1c =，则椭圆方程为22143x y +=.(2)由题意首先求得切线方程的参数形式，据此可得直线BC 的方程为002x y x y =-，则点P 的轨迹方程为112y x =-，原问题转化为直线112y x =-与椭圆1C 的交点个数，即满足条件的点P 有两个. 试题解析：（△）由椭圆的对称性，不妨设在x 轴上方的切点为M ，x 轴下方的切点为N ，则1NE k =，NE的直线方程为y x =因为椭圆22122:1x y C a b+= ()0a b >>的离心率为12，所以椭圆22122:143x y C c c+=，所以22221,43y x x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 0∆=，则1c =，所以椭圆方程为22143x y +=.（△）设点()11,B x y ，()22,C x y ，()00,P x y ，由24x y =，即214y x =，得12y x '=，△抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为()1112x y y x x -=-，即2111122x y x y x =+-， △21114y x =，△112x y x y =-.△点()00,P x y 在切线1l 上，△10012x y x y =-.△ 同理，20022x y x y =-.△ 综合△、△得，点()11,B x y ，()22,C x y 的坐标都满足方程002xy x y =-. △经过()11,B x y ，()22,C x y 两点的直线是唯一的， △直线BC 的方程为002x y x y =-， △点()1,1A 在直线BC 上，△00112y x =-， △点P 的轨迹方程为112y x =-.又△点P 在椭圆1C 上，又在直线112y x =-上， △直线112y x =-经过椭圆1C 内一点()0,1-， △直线112y x =-与椭圆1C 交于两点. △满足条件的点P 有两个.26．(1)21:4C x y =，222:134x y C +=(2)2y =-【分析】(1)依据曲线1C 和椭圆的定义求方程.(2) 假设点M 存在，设切线方程，M 即在抛物线又在椭圆上找到等量关系.【详解】（1）由曲线1C 上任意一点到F （0，1）的距离比到x 轴的距离大1，根据抛物线的定义，曲线1C 为以F （0，1）为焦点的抛物线，则曲线1C ：24x y =；设椭圆2C 的方程()222210y x a b a b+=>>，由24a =，a ＝2，c ＝1，2223b a c =-=，△椭圆2C ：22143y x +=；（2）若存在，由题意设AB 方程：y ＝kx +2代入24x y =，化简得2480x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x =-，△ 由于12y x '=，△切线MA 方程为：()11112y y x x x -=-，即2111124y x x x =-，△同理切线MB 方程为：2221124y x x x =-，△ 由△△得1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭，△M （2k ，-2），又M （2k ，-2）在椭圆上，24113k +=可得：k ＝0，△M （0，-2）k ＝0代入△有：1x =2x =-△椭圆2C 上存在一点M （0，-2）符合题意，此时两条切线的方程为2y =-．【点睛】本题要证明切点弦过定点，设切点弦的直线方程，得到韦达定理，然后通过切点写出两条切线方程，可以得到交点M 的坐标，由点M 的特性可以求出M 坐标，进而求出切点，写出切线方程．。

圆锥曲线不联立导数压轴不求导

圆锥曲线不联立导数压轴不求导在数学领域，圆锥曲线和导数都是非常重要且广泛应用的概念。

然而，很多人在学习过程中都会对圆锥曲线的联立和导数的压轴求导感到困惑。

本文将从简到繁地分析这两个主题，帮助读者更深入地理解它们的内涵和应用。

一、圆锥曲线不联立圆锥曲线是指平面上由一个固定点F（称为焦点）和一个固定直线L （称为准线）决定的点P到焦点和准线的距离之比是一个常数e（离心率）的点集合。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

在解析几何和微积分中，研究圆锥曲线的方程和性质对于理解曲线的形状和运动规律起着至关重要的作用。

然而，在学习圆锥曲线时，很多人会感到困惑的一个重要问题就是联立。

联立是指将两个或多个方程进行组合，通过求解共同满足的解来研究曲线的交点、相切点等问题。

而有些情况下，圆锥曲线并不需要进行联立，例如在研究特定类型的曲线时，可以直接利用曲线的性质和方程来解决问题，无需进行联立。

以双曲线为例，其方程为x^2 /a^2 - y^2 /b^2 = 1。

我们要求证曲线上一点处的切线斜率不等于2。

这时，我们可以直接利用双曲线的导数性质而无需进行联立方程。

这种情况下，圆锥曲线不需要联立，通过直接利用曲线的性质即可解决问题。

二、导数压轴不求导导数是微积分中的一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。

求导是微积分中的一个核心技能，通过求导可以研究函数的增减性、凹凸性、极值等重要性质。

然而，在实际应用中，有时候我们并不需要通过求导来得到导数的具体数值，而是通过导数的性质和变化规律来分析问题。

当我们要研究函数的增减性或曲线的凹凸性时，可以通过导数的符号和零点来分析，而无需进行具体的导数计算。

这就是所谓的“导数压轴不求导”，即在分析问题时，可以通过导数的性质和规律来得到结论，而无需进行具体的导数计算。

另外，有时候我们也可以通过导数的定义和极限的性质来得到导数的性质和应用，而无需进行具体的导数计算。

这种情况下，导数的计算变得次要，而导数的性质和变化规律成为了重要的研究对象。

圆锥曲线二级结论及证明

圆锥曲线二级结论及证明
圆锥曲线的二级结论是指在圆锥曲线中，一些经过推导和证明的特殊性质和定理。

这些结论通常用于简化解题过程和提高解题效率。

以下是一些圆锥曲线的二级结论及证明：
焦点弦长公式：对于过圆锥曲线焦点的直线与圆锥曲线交于两点A和B，有AB=2ex1ex2*sin(θ)，其中e为离心率，x1和x2为A、B两点对应的横坐标，θ为直线AB的倾斜角。

证明：设直线AB的方程为x=my+n，联立直线和圆锥曲线方程，得到二次方程。

利用韦达定理得到x1+x2和x1*x2的值，再利用弦长公式得到AB的长度。

切线与法线的关系：对于圆锥曲线上的点P(x0,y0)，其切线方程可以表示为y-y0=k(x-x0)，其中k为切线的斜率。

同时，该点的法线方程可以表示为y-y0=-1/k(x-x0)。

证明：设点P处的切线斜率为k，则切线方程可以表示为
y-y0=k(x-x0)。

求出该点处的导数即为切线的斜率。

利用点斜式方程得到切线方程，然后利用法线和切线的垂直关系得到法线方程。

离心率与曲线的形状关系：对于椭圆，离心率e越小，曲线越扁；对于双曲线，离心率e越大，曲线越扁。

证明：利用椭圆的焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率
e与半轴长之间的关系。

对于双曲线，同样利用焦点距离公式和半轴长公式，可以得到离心率e与半轴长之间的关系。

以上是一些圆锥曲线的二级结论及证明，这些结论可以应用于具体的解题过程中，提高解题效率。

圆锥曲线和导数

圆锥曲线和导数圆锥曲线1.位置关系的判定方法一般有两种：（1）代数方法：转化为方程根个数的判定（2）几何方法：通过图形本身的特征，寻找存在交点个数的位置关系，列等量（不等）关系式.2. 直线与椭圆（双曲线）的综合（1）设：设交点A（x1，y1），B（x1，y1），设直线l：y=kx+b，椭圆（双曲线）C：mx2+ny2=1（mn>0椭圆，mn<0双曲线）；（2）联（硬解定理）：联立直线方程与椭圆（双曲线）方程{mx2+ny2=1，消去y得：{y=kx+b（nk2+m）x2+2kbnx+nb2-1=0Δ=nk2-mnb2+m>0，{x1+x2=-2kbn/nk2+m，{y1+y2=2mb/nk2+m，{x1x2=nb2-1/nk2+m {y1y2=mb2-k2/nk2+m根系关系是一种设而不求的思想（设点不求点，用系数代替），其目的是代入到与交点有关的关系式中，实现多元归一.（3）化：条件（结论）几何性质转化为几何等量关系再转化为坐标运算弦长公式，|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2|x1-x2|=√1+k2•√（x1+x2）2-4x1x2；|EF|=√（x1+x2）2+（y1-y2）2=√1+k2•√Δ/|nk2+m|=√1+k2•√nk2-mnb2+m/|nk2+m|（硬解定理）.以AB为直径的圆经过原点O⇒OE⊥OF⇒x1x2+y1y2=0⇒nb2-1+mb2-k2/nk2+m=0，即（n+m）b2=1+k2（硬解定理）.（4）整：抓住元，将结论表示成某参（一般为斜率或点坐标等）的函数式；（5）算：根据结论不同问法选取不同的求解策略求解取值范围一般有两种解题策略：①利用题设中或明或暗的不等式关系构造不等式解得范围；②选择合适的参数构造目标函数，转化为函数值域问题.对于比较复杂的动态过程，理顺动态因素之间的从属关系、先后关系.3. 一般性质结论在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，向量CA=（x1，y2），向量CB=（x2，y2），则S△ABC=1/2|x1y2-x2y1|.在平面直角坐标系中，A、B、C为平面内不共线的三点，且三点坐标分别为A（x1，y2），B（x2，y2），C（x0，y0），O为坐标原点，则S⇒AOB=1/2|x1y2-x2y1|，S⇒ABC=1/2|（x1-x0）（y2-y0）-（x2-x0）（y1-y0）|.对椭圆x2/a2+y2/b2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ACBD的面积为S，若直线l1与l2的斜率之积为-b2/a2（在x轴）或-a2/b2（在y轴），则（1）x12+x22=a2；（2）y12+y22=b2；（3）S=2ab.（在x轴）或（1）x12+x22=b2；（2）y12+y22=a2；（3）S=2ab.（在y轴）4.焦点三角形的相关结论以椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若∠F1PF2=θ，则（1）|PF1|+|PF2|=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1+cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan（θ/2）.以双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y O）（y O≠0）和焦点F1（-c，0），F2（c，0）为顶点的⇒PF1F2（焦点三角形）中，若⇒F1PF2=θ，则（1）||PF1|-|PF2||=2a.（2）4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cosθ.（3）|PF1|•|PF2|=2b2/1-cosθ.（4）S⇒PF1F2=1/2|PF1|•|PF2|•sinθ=b2tan-1（θ/2）.4. 结论：抛物线E：x2=2py第一象限上一动点P的切线，与椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）交于不同的两点A、B，线段AB中点为D，直线OD与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，则点M在定直线y=-pb2/a2上，当且仅当a2=4b2时，S1/S2的最大值为定值9/4；5.曲线一般性质总结：圆锥曲线：过圆锥曲线E：ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0上任一点P（x0，y0）引两条弦PA、PB，若k PA k PB=k或k PA+k PB=k（k≠a/c椭圆双曲线，k≠0抛物线），则直线AB经过定点.曲线过定点题型方法归纳：①参数元关法②探索定点③关系法6.[答题模板]第一步：假设结论存在.第二步：以存在为条件，进行推理求解.第三步：明确规范表述结论，若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.7. 椭圆与双曲线焦点弦性质总结：圆锥曲线上的一点P（x0，y0）到焦点的线段称为焦半径.焦半径常考公式；焦半径公式（I）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|.焦半径公式（Ⅱ）：对左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）上一点P（x0，y0），有|PF1|=b2/a-ccosα（椭圆）或|PF1|=b2/|a+ccosα|（双曲线），|PF2|=b2/a+ccosβ（椭圆）或|PF2|=b2/|a-ccosβ|（双曲线），其中α、β为焦半径PF1、PF2与x轴正半轴所成的角焦点弦长公式：若椭圆x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）或双曲线x2/a2-y2/b2=1（a，b>0）的焦点弦AB，设其倾斜角为α，有|AB|=2ab2/|a2-c2•cos2α|.焦点弦定理已知焦点在x轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF= λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|ecosθ|=|λ-1/λ+1|,e=√1+k2|λ-1/λ+1|推论已知焦点在y轴上的圆锥曲线C，经过其焦点F的直线交曲线于A、B两点，直线AB的倾斜角为θ，斜率为k（k≠0），向量AF=λ向量FB，则曲线C的离心率e满足等式：|esinθ|=|λ-1/λ+1|，e=√1+k-2|λ-1/λ+1|.8.抛物线性质总结：过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点F作直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且A在x轴上方，直线l的倾斜角为θ，A、B在准线上的射影分别为P，Q，线段PQ的中点为R，AB的中点为M.（1）y1•y2=-p2；x1•x2=p2/4；（2）k2=2p/y1+y2；（3）|AF|=x1+p/2=p/1-cosθ，|BF|=x1+p/2=p/1+cosθ（4）|AF|-1+|BF|-1=2/p；（5）|AB|=2p/sin2θ （6）S△OAB=p2/2sinθ；在直角梯形APQB中；（7）⇒PFQ=90o（以PQ为直径的圆与AB相切），⇒ARB=90o（以AB为直径的圆与准线相切）；①|AF|，|RF|，|BF|成等比数列；②|AF|，|AR|，|AB|成等比数列；③|BF|，|BR|，|AB|成等比数列；（8）直角梯形APQB对角线过原点O；（9）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；若过焦点作直线l的垂线n交抛物线于C、D两点，倾斜角为α.（10）|AB|-1+|CD|-1=1/2p；（11）|AB|+|CD|=8p/sin22α⇒[8p，+∞）;（12）|AB|•|CD|=16p2/sin22α⇒[16p2，+∞）;（13）⇒APF的面积，⇒PFQ的面积的一半，⇒BQF的面积，成等比数列；（12）若向量AF=λ向量FB，则cosθ=|λ-1|/|λ+1|，√1+k l2=|λ+1|/|λ-1|9.曲线性质总结：曲线C：x2=2py与直线l：y=kx+b（b>0）交于M、N两点.结论1：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的横坐标与两点的横坐标成等差数列，即2x Q=x m+x N.结论2：曲线C在点M、N处的切线的交点Q的轨迹为y=-b；结论3：过直线y=-b上任一点做曲线C的切线，切点分别为M、N，则直线MN恒过定点T（0，b）；结论4：当直线l经过曲线C的焦点时，有MQ⊥NQ.10.结论已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1或y2/a2+x2/b2=1（a>b>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB 的中点为M.（1）直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值-b2/a2或-a2/b2；（2）若l过点（a，b），延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB 为平行四边形时，则直线l的斜率k l=（4±√7）/3•b/a或k l=（4±√7）/3•a/b.11. 一般性结论：已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），点A为椭圆上的动点，点B为直线y=ab/c上的动点，若OA丄OB，则直线AB与圆x2+y2=b2相切. 导数1.求过某点处的切线方程解题过程①确定切点P（x0，y0）；②求导f'（x）；③求斜率k=f'（x0）；④点斜式y-y0=k（x-x0）（*）⑤将点P代入切线;⑥将求得的切点代入（*）.三次函数切线条数：过三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠O）图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f（x）的图象分割为四个区域，有以下结论：（1）当定点P在中心N或在I和Ⅲ区域时，过点P的切线有1条；（2）当定点P在函数f（x）或切线l上且不在N时，过点P的切线有2条；（3）当定点P在Ⅱ或在Ⅳ区域时，过点P的切线有3条.记法：内一，上二，外三2.隐零点估值与代换解法(1)分而治之寻找充分条件,逐个求解不等式；(2)找点过程中放缩的出发点是使不等式能解，易解;(3)结合“点”所在的区间，以及各部分的“阶”，进行放缩.3. 极值点偏移对数不等式lnx1-lnx2>2（x1-x2）/x1+x2偏移.4.构造法的经验总结有两点：①因为图象y=e x变化递增的速度比y=lnx快，所以才去“分家”构造新函数的形式，而此时的关键是构造怎样的函数形式.②联想到常见幂函数、指数函数、对数函数两两组合构成的新函数. （1）幂函数与指数函数的组合：y=x+e x，y=x-e x，y=xe x，y=e x/x，y=x/e x，y=x n e x，y=e x/x n，y=x n/e x;（2）幂函数与对数函数的组合：y=x+lnx，y=xlnx，y=x/lnx，y=lnx/x，y=x n lnx，y=lnx/x n，y=x n/lnx.5.(1)以导数为工具证明超越不等式大致有三种不同的思路:①直接化为最值(或确界);②调整结构，分离函数，证最小值大于最大值；③部分放缩与函数逼近.(2)证明超越不等式的通性通法为直接化为最值,会涉及导函数的隐零点，也就是无法求出导函数具体零点,这时一般有两个处理方式:①整体代入化为代数式;②缩小导函数隐零点的范围，从而达到确定最值符号.。

[圆锥曲线与导数]文字素材1 新人教a版选修1-1

圆锥曲线与导数的专题复习建议圆锥曲线和导数这两块内容在高考中的地位不言而喻，经过第一轮的复习学生关于圆锥曲线和导数的基础知识有了较为系统的认识，那么在第二轮复习中应着重强调本章综合题型解题方法的归纳与总结及与其他知识点的交汇处命题的研究与探讨，本文结合圆锥曲线与导数的特点就专题复习提出自己的一些个人建议，供广大同行参考。

【圆锥曲线的专题复习】解析几何是高中数学的重要内容之一，也是衔接初等数学和高等数学的纽带。

而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。

所以，如何做好这章的专题复习是每位高三数学教师的当务之急。

（一）圆锥曲线的特点研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。

它的方程形式具有代数的特性，而它的图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。

高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。

结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。

因此，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。

（二）考纲对圆锥曲线的阐述考试内容：椭圆及其标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆的参数方程。

双曲线及其标准方程，双曲线的简单几何性质。

抛物线及其标准方程，抛物线的简单几何性质。

考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程。

（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。

（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。

（4）了解圆锥曲线的初步应用。

（三）圆锥曲线专题复习的备课基于圆锥曲线的特点，我们在复习之前的备课非常关键。

涉及圆锥曲线的题型相对比较集中，如圆锥曲线的弦长求法，标准方程的求法，与圆锥曲线有关的几何性质问题、最值问题、证明问题、角的问题以及圆锥曲线的综合应用问题。

圆锥曲线常用的二级结论

圆锥曲线常用的二级结论有：1.离心率定义式：$e = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

2.曲率公式：$\kappa = \frac{|\text{二阶导数}|}{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}$，其中$\kappa$ 为曲率，$y'$ 为导数。

3.两点之间的弦长公式：$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1,y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为两点的坐标。

4.圆锥曲线的极坐标方程：$r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$，其中$r$ 为点到焦点的距离，$\theta$ 为点的极角，$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率。

5.焦点公式：$F = \sqrt{a^2 - b^2}$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴，$F$ 为焦点到中心的距离。

6.弦的中点公式：$(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$，其中$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$ 为弦两个端点的坐标。

7.椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

8.双曲线的标准方程：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$ 为长半轴，$b$ 为短半轴。

9.抛物线的标准方程：$y = ax^2$，其中$a$ 为常数。

10.焦半径公式：$r_f = \frac{p}{e}$，其中$p$ 为直线到焦点的距离，$e$ 为离心率，$r_f$ 为以焦点为圆心，$p$ 为半径的圆的半径长度。

圆锥曲线常用的二级结论包括但不限于以下内容：1.设直线$l$ 与圆锥曲线$C$ 相交于两点$P,Q$，则$P,Q$ 间的线段垂直于轴线。

近年高考试题导数圆锥曲线及数列精选

1. (2014湖南) 设常数a>0，函数2()ln(1).2xf x ax x =+-+ (1)讨论f (x)在区间(0,＋∞)上的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点x 1,x 2,且f (x 1)＋ f (x 2)>0，求a 的取值范围.112212P(x ,f(x )),Q(x ,g(x )),x 0,x 0,⇒≥>x 已知f(x)=e +sinx,g(x)=x-2，设PQ x P Q 若直线与轴平行，求、的最短距离。

x ax(a 0).(1)e ⇒>已知f(x)=x-e判断曲线f(x)在x=0处的切线能否与曲线y=相切，并说明理由；12x e 2.x a1212()若f(x )=f(x )=0(x <x )，求证:<⇒已知f(x)=ax ，g(x)=lnx ，若存在两个不等实数x 1,x 2,使f(x 1)=g(x 1)，f(x 2)=g(x 2)，求证x 1x 2>e 2⇒ (2013 四川)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩其中a 为常数，设A(x 1,f (x 1))，B(x 2,f (x 2))为函数像上的两点,且x 1<x2(1)指出函数f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)的图像在A 、B 处的切线互相垂直，且x2<0,求x 2－x 1的最小值； (3) 若函数f (x) 的图像在A 、B 处的切线重合，求a 的取值范围。

⇒ (2014天津) 设f(x)=x －ae x(a ∈R), 已知y=f(x)有两个零点x 1,x 2，且x 1<x 2.(1) 求a 的取值范围；(2) 证明：21x a x 随着的减小而增大;(3) 证明x 1+x 2随着a 的减小而增大。

3. (2014全国新课标)设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+,曲线f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=e(x －1)＋2.(1) 求a ，b; (2)证明：f (x)>1()ln ,(1)()f x x x f x ⇒=求在[t,t+2](t>0)上的最小值；12(2)ln x x e ex∈∞>-求证对一切实数x (0,+),都有2013 ⇒（全国）已知函数f (x)=e x －ln(x ＋m)(1) 设x=0 是f (x)的极值点，求m ，并讨论f (x)的单调性；(2) 当m≤2时，证明f (x)>04.(2014浙江)已知函数f (x)=x 3＋3|x －a|(a ∈R).(1) 若f (x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)和N(a)，求M(a )－N(a)； (2) 设b ∈R,若[f (x)＋b]2≤4对x ∈[－1,1]恒成立，求3a ＋b 的范围. 5.(2014陕西)设函数f (x)=ln(1+x),g(x)=x f’(x),其中x≥0, f’(x)是, f (x)的导函数. (1) 令g 1(x)=g(x),g n+1(x)=g(g n (x)),n ∈N +,求g n (x)的表达式；(2) 若f (x )≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；(3) 设n ∈N +,比较g(1)+g(2)+……+g(n)与n －f (n)的大小，并加以证明.6. (2014全国大纲) 函数()ln(1)(1)axf x x a x a=+->+. (1) 讨论f (x)的单调性；(2) 设a 1=1,a n+1=ln(a n ＋1),证明 2322na n n <≤++7. (2014山东)设函数22()(ln )()x e f x k x k e x x=-+为常数，是自然对数的底(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围。

圆锥曲线知识点总结大全

圆锥曲线知识点总结大全终于要学习圆锥曲线知识点了，高二数学本身的知识体系而言，它主要是对数学知识的深入学习和新知识模块的补充。

圆锥曲线知识点总结有哪些你知道吗?一起来看看圆锥曲线知识点总结，欢迎查阅!圆锥曲线知识点大全圆锥曲线的应用【考点透视】一、考纲指要1.会按条件建立目标函数研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用数形结合、几何法求某些量的最值.2.进一步巩固用圆锥曲线的定义和性质解决有关应用问题的方法.二、命题落点1.考查地理位置等特殊背景下圆锥曲线方程的应用,修建公路费用问题转化为距离最值问题数学模型求解，如例1;2.考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，如例2;3.考查双曲线的概念与方程，考查考生分析问题和解决实际问题的能力，如例3.【典例精析】例1：(2004?福建)如图,B地在A地的正东方向4km 处,C地在B地的北偏东300方向2km处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B、C两地转运货物.经测算,从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是( )A.(2-2)a万元B.5a万元C. (2+1)a万元D.(2+3)a万元解析:设总费用为y万元,则y=a?MB+2a?MC∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.,∴曲线PG是双曲线的一支,B 为焦点,且a=1,c=2.过M作双曲线的焦点B对应的准线l的垂线,垂足为D(如图).由双曲线的第二定义,得=e,即MB=2MD.∴y= a?2MD+2a?MC=2a?(MD+MC)≥2a?CE.(其中CE是点C到准线l的垂线段).∵CE=GB+BH=(c-)+BC?cos600=(2-)+2×=. ∴y≥5a(万元).答案:B.例2：(2004?北京,理17)如图,过抛物线y2=2px(p0)上一定点P(x0,y0)(y00),作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1),B(x2，y2).(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离;(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.解析:(1)当y=时,x=.又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,由抛物线定义得,所求距离为.(2)设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB.由y12=2px1,y02=2px0,相减得:,故.同理可得,由PA、PB倾斜角互补知, 即,所以, 故.设直线AB的斜率为kAB, 由,,相减得, 所以.将代入得,所以kAB是非零常数.例3：(2004?广东)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m,试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/s,相关各点均在同一平面上)解析：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360.由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5×3402,故双曲线方程为.用y=-x代入上式,得x=±680,∵|PB||PA|,∴x=-680,y=680,即P(-680,680),故PO=680.答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680 m处.【常见误区】1.圆锥曲线实际应用问题多带有一定的实际生活背景, 考生在数学建模及解模上均不同程度地存在着一定的困难, 回到定义去, 将实际问题与之相互联系,灵活转化是解决此类难题的关键;2.圆锥曲线的定点、定量、定值等问题是隐藏在曲线方程中的固定不变的性质, 考生往往只能浮于表面分析问题,而不能总结出其实质性的结论,致使问题研究徘徊不前,此类问题解决需注意可以从特殊到一般去逐步归纳,并设法推导论证.【基础演练】1.(2005?重庆) 若动点()在曲线上变化，则的最大值为( )A. B.C. D.22.(2002?全国)设,则二次曲线的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2004?精华教育三模)一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10] 在杯内放入一个清洁球,要求清洁球能擦净酒杯的最底部(如图),则清洁球的最大半径为( )A. B.1 C. D.24. (2004?泰州三模)在椭圆上有一点P,F1、F2是椭圆的左右焦点,△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有( )A.2个B.4个C.6个D.8个5.(2004?湖南) 设F是椭圆的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i=1,2,3,...),使|FP1|,|FP2|, |FP3|,...组成公差为d的等差数列,则d的取值范围为.6.(2004?上海) 教材中坐标平面上的直线与圆锥曲线两章内容体现出解析几何的本质是.7.(2004?浙江)已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1,(1)若直线AP 的斜率为k,且|k|?[],求实数m的取值范围;(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.8. (2004?上海) 如图, 直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.9.(2004?北京春) 2003年10月15日9时,神舟五号载人飞船发射升空,于9时9分50秒准确进入预定轨道,开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示,椭圆中心在原点.近地点A距地面200km,远地点B 距地面350km.已知地球半径R=6371km.(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程;(2)飞船绕地球飞行了十四圈后,于16日5时59分返回舱与推进舱分离,结束巡天飞行,飞船共巡天飞行了约,问飞船巡天飞行的平均速度是多少km/s?(结果精确到1km/s)(注:km/s即千米/秒)关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P 在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：=.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。

高中数学里面的圆锥曲线和导数哪个更难？为什么？

⾼中数学⾥⾯的圆锥曲线和导数哪个更难？为什么？市重点⾼中任职⼗余年之久的数学教师告诉你，⾼中数学⾥⾯导数肯定更难，为何我会得出这个结论呢？⾸先第⼀个我们从圆锥曲线与导数常考题型来分析。

参加过⾼考的⼈应该都知道。

⾼考题这些顺序都是按照从易到难的顺序出题的。

从近⼏年的全国卷，命题顺序来看，导数始终放在圆锥曲线的后⾯。

⼜或者说导数经常是放在最后⼀题，也就是我们常说的压轴题。

这类题⽬的出现它必然取⼀个选拔决定性的作⽤，也就是真正“学霸”与“中等⽣”的分界点。

真正在⾼考当中导数能得到满分的同学，那么正常试卷我相信他的数学成绩⾃然不会差，⾄少在140以上。

除了粗⼼⼤意，我觉得没有理由，他做出来的题⽬会被扣分。

⼀:圆锥曲线知识点及其对应题型:这这个地⽅我讲述⼀点，就是圆锥曲线⾥⾯⼀个定值问题都分为8类(篇幅有限，我只是选取解析⼏何⾥⾯有个重要的知识点来做出具体的总结):1:⾓为定值；2:斜率定值(倾斜⾓为定值)；3:线段长度为定值；4:⾯积定值；5:数量积为定值；6:直线⽅程定值；7:斜率积定值(椭圆⼀组的性质)；8:运算关系为定值。

其实解析⼏何的问题做多了能够得到每⼀种问题的具体解题⽅法。

我们就圆锥曲线⾯积定制来做出解释吧:只要算出点到直线的距离其实也就是它的⾼以及底边的长，那么⽤代数式来表⽰就能够得到题⽬说要我们找的关系，问题能够解决。

⼆:导数题知识点及其对应题型:导数基本知识点我们就不分析，相信⼤家都有所了解。

但是导数也就是⾼中数学与⼤学数学的⼀个过渡点，在⼤学数学内容⾥与⾼中联系最新的也就是倒数有关概念及其知识点。

相⽐于圆锥曲线这个就显得重要的多。

到时候问题是⽐较抽象的，提醒也是⽐较复杂的，常考的内容就是⼀个“零点的存在性定理”以及⼀个“隐零点”的问题。

很多的学⽣他导数学完，竟然连⼆阶求导的意义何在都弄不清楚，这是⼤部分⼈所反映的问题，但是⼀个基本的把⾓求导却是90%导数题⽬⾥⾯都必须要⽤到的。

以及我们作为⽼师来讲，做过⽆数张各省市的调研卷以及联考试卷，但是对于宝树这⼀张却⽆法得出⼀个⾮常具体机型的详细总结以及解决办法。

2023高考数学常考的知识点与题型归纳

2023高考数学常考的知识点与题型归纳高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。

3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。

6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。

必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分。

2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。

3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分。

必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高中数学圆锥曲线和导数知识点总结

圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθ ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：12222=+b y a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b xa y -,对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．弦长AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线 2.双曲线的简单几何性质：注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222 b a bx a y b a b y a x =-=-.参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB=⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-= 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p 2. 抛物线上任意一条弦的弦长为 (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222p x x p k+=+②|AB |＝2psin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()p p x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°； ⑤1|F A |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()limx yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'xxe e = ⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

高中数学圆锥曲线选知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结高中数学圆锥曲线是高中数学的一门重要内容，主要包括椭圆、双曲线和抛物线三种基本曲线。

以下是一份完整的高中数学圆锥曲线选知识点总结：1.定义：圆锥曲线是平面上的一条曲线，它是由一个交角不为直角的平面截一个圆锥所得到的截面图形。

2.椭圆：椭圆是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之和等于定值的点所形成的轨迹。

椭圆的性质包括离心率、焦点、焦距、长轴、短轴、半焦距等。

3.双曲线：双曲线是一条平面曲线，它的定义是所有到两个给定点的距离之差等于定值的点所形成的轨迹。

双曲线的性质包括离心率、焦点、焦距、渐近线等。

4.抛物线：抛物线是一条平面曲线，它的定义是所有到一个给定点的距离等于定值的点所形成的轨迹。

抛物线的性质包括焦点、焦距、准线、对称轴、顶点等。

5.圆锥曲线的参数方程：圆锥曲线也可以用参数方程表示，例如椭圆的参数方程为x = a cos t，y = b sin t；双曲线的参数方程为x = a sec t，y = b tan t；抛物线的参数方程为x = at^2，y = 2at。

6.圆锥曲线的应用：圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。

例如，在天文学中，行星轨道和彗星轨道就是圆锥曲线；在工程学中，喷气式飞机的外形和空气动力学研究中也常常使用圆锥曲线。

7.椭圆的方程：椭圆的标准方程为(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a和b分别为椭圆长轴和短轴的长度。

可以通过椭圆的焦点坐标和离心率求得椭圆的方程。

8.双曲线的方程：双曲线的标准方程为(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) =1，其中a和b分别为双曲线的顶点到两条渐近线的距离。

同样可以通过双曲线的焦点坐标和离心率求得双曲线的方程。

9.抛物线的方程：抛物线的标准方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

抛物线的顶点坐标为(-b / 2a, c - b^2 / 4a)，焦距为1 / 4a。

高考数学大题答题技巧

高考数学大题答题技巧高考数学的大题涉及到6个考点，分别圆锥曲线、导数、概率、数列、三角函数和立体几何。

那么这几种题型该如何复习，又有什么解题技巧呢？下面是高考数学各类大题答题技巧，供参考。

高考数学大题答题技巧一、三角函数题注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;3、记准均值、方差、标准差公式;4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;6、注意放回抽样，不放回抽样;7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;8、注意条件概率公式;9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

利用导数解决圆锥曲线中的切线问题

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利用导数解决圆锥曲线中的切线问题
作者：陈建参
来源：《考试周刊》2013年第51期
摘要：文章认为，根据圆锥曲线特别是抛物线的全部或局部函数性，利用导数求导的方法，可以顺利解决圆锥曲线中的切线问题.
关键词：圆锥切线函数性导数切线斜率
圆锥曲线问题与导数的工具性的交叉渗透，很自然地做了一个知识点和能力上的交汇整合.在2012年的高考题中，总体的体现是题型新颖，难度跨度增大，特别是对考生的运算求解能力的要求提高，但如果能利用好导数，则可以使解题变得简捷巧妙.
【点评】化抛物线方程为函数形式，根据曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键.
（I）求抛物线E的方程；
（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相交于点Q，证明：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
【点评】本题考查的知识点为圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，以及定值的证明，关键是把抛物线方程化为函数形式，利用导数的几何意义求解.
【点评】开口向左或向右的抛物线方程不是函数形式，但如果只取轴的上方或下方部分，就是函数关系了，利用导数就可以解决相应切线问题.
【点评】该试题出题的角度不同寻常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，是该试题的创新之处.另外，在第二问中难度加大了，出现了另
外两条公共的切线，这样的问题在我们以后的学习中也是需要练习的.
利用导数求解圆锥曲线的切线问题，关键在于设切点求斜率，把解析几何和导数的工具性结合起来，作为一种思维方式，体现了数学的简捷、实用和综合性.。

圆锥曲线切线方程的五种求法

圆锥曲线切线方程的五种求法作者：姜齐星来源：《新课程·中学》2013年第12期切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。

例1.已知圆O的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2，求经过圆上一点M（x0，y0）的圆的切线l的方程.解：设所求切线l上任意一点N的坐标是（x，y）由已知得：点O的坐标是（a，b），且M的坐标是（x0，y0），值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例3.求经过点M（2，1）的双曲线：x2-2y2=2的切线l的方程.将它代入方程x2-2y2=2中整理得：（2k2-1）x2-4k（2k-1）x+（8k2-8k+4）=0，由已知得：△=[-4k（2k-1）]2-4（2k2-1）（8k2-8k+4）=0，解得：k=1，故所求切线l的方程为：y=x-（2×1-1），即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例4.此处仍以上面的例3为例.解：对方程：x2-2y2=2两边都取关于x的导数，得：2x-4yy′=0，∴过点M（2，1）的双曲线x2-2y2=2的切线l的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M，则∠F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M，过M作准线的垂线，垂足为N，则FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。

据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：例5.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8，8）的切线l的方程.解：由抛物线C的方程可得其焦点F为（2，0），准线方程为：x=-2，过点M（8，8）作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标是（-2，8），又设FN的中点为P，则P的坐标为（0，4），（作者单位山东省滕州市第一中学）编辑刘俊婷。

圆锥曲线中的垂直问题解法

圆锥曲线中的垂直问题解法圆锥曲线是常见的数学曲线之一，在几何学和代数学中具有重要的地位。

垂直问题是学习圆锥曲线时经常会遇到的一个问题，它涉及到如何找到曲线上两点之间的垂线。

下面将详细介绍圆锥曲线中垂直问题的解法。

首先，我们需要了解什么是圆锥曲线。

圆锥曲线是在平面上的一个曲线，它可以通过一根固定在一个点上的线段和一个固定的点（焦点）来定义。

根据这个定义，圆锥曲线分为三种：椭圆、双曲线和抛物线。

1.椭圆：椭圆是一种闭合的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之和等于常数2a。

椭圆的中心在坐标原点上，a是椭圆的半长轴，且a>0。

对于椭圆上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。

2.双曲线：双曲线是一种开口的曲线，它的定义是到两个焦点（F1和F2）的距离之差等于常数2a。

双曲线的中心在坐标原点上，a是双曲线的半长轴，且a>0。

对于双曲线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。

3.抛物线：抛物线是一种开口的曲线，它的定义是到焦点（F）的距离等于直线的距离。

抛物线的焦点位于抛物线的上方，a是抛物线的焦距，且a>0。

对于抛物线上的点P(x,y)，我们要求的是通过P点作曲线的垂线。

下面我们将分别介绍解决圆锥曲线中垂直问题的方法：1.椭圆：对于椭圆上的点P(x,y)，我们可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。

首先，我们需要求解椭圆的切线方程。

椭圆上任意一点(x0,y0)，它的切线方程为：(x-x0)/a^2 + (y-y0)/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

然后，我们得到的切线方程的斜率为k，所以垂线的斜率为-1/k。

最后，我们可以使用点斜式或一般式等方法求解曲线的垂直于切线的直线方程。

2.双曲线：对于双曲线上的点P(x,y)，我们也可以通过求解曲线的切线方程来得到曲线的垂线。

与椭圆类似，双曲线上任意一点(x0,y0)的切线方程为：(x-x0)/a^2 - (y-y0)/b^2 = 1。

高二数学圆锥曲线与导数

一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= ，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。

如f(x)=在x=0有切线，但不可导。

⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)例：1.（20XX 年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______。

2.点P 在曲线y =x 3－x +上移动，设点P 处切线的倾斜角为，求的范围. 3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x ）′=e x ; （a x ）′=a x ln a ;（ln x ）′=;（log a x ）′=log a e …… 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）=（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）=c （x ） ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（）′= （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间；令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。

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§3.1 导数的概念及运算知识梳理：1．基本初等函数的导数公式(1)c ′＝(c 为常数)，(x α)′＝(α∈Q *)； (2)( sin x )′＝______， (cos x )′＝_______； (3)(ln x )′＝_______， (log a x )′＝_______； (4)(e x )′＝______， (a x )′＝________. 4．导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__.(2)[f (x )g (x )]′＝____；当g (x )＝c (c 为常数)时，即[cf (x )]′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________ (g (x )≠0)．基础自测：函数f (x )＝a 3＋5a 2x 2的导数f ′(x )＝( ) A ．3a 2＋10ax 2B ．3a 2＋10ax 2＋10a 2xC ．10a 2xD ．以上都不对曲线y ＝1ln x 在x ＝e 处的切线方程为( )A ．x ＋ey －e ＝0B ．ex ＋y －e ＝0C ．x －ey －2e ＝0D ．x ＋ey －2e ＝0已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( ) A ．3B ．2C ．1D .12曲线y ＝－5e x ＋3在点(0,－2)处的切线方程为________．例题分析：求下列函数的导数：(1)y ＝5x 2－4x ＋1；(2)y ＝x ln x ；(3)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2)．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程； (2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线方程；(3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程．作业：1．函数f (x )＝x 3＋sin x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2－cos x B ．3x 2－cos x C ．x 2＋cos x D ．3x 2＋cos x2．已知f (x )＝(x －2)(x －3),则f ′(2)的值为( ) A ．0B ．－1C ．－2D ．－33．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．154．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )A ．(0,＋∞)B ．(－1,0)∪(2,＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－16．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1，0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A .278B ．－2C ．2D ．－2787．曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标是________________．8．(2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.9．求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程．10．函数f (x )＝13x 3－ax (a ＞0),g (x )＝bx 2＋2b －1.若曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在它们的交点(1,c )处有相同的切线,求实数a ,b 的值,并写出切线l 的方程．11．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值；(2)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，求l 的直线方程．§3.2 导数的应用(一)知识梳理：1．函数的单调性与导数在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内____________．2．函数的极值与导数 3．函数的最值与导数基础自测：关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A ．导数为0的点一定是函数的极值点 B ．函数的极小值一定小于它的极大值 C ．f (x )在定义域内最多只能有一个极大值，一个极小值D ．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数已知函数f (x )＝12x 2－x ，则f (x )的单调增区间是( )A ．(－∞，－1)和(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－1，0)和(1，＋∞)D ．(1，＋∞)若在区间[1，2]内有f ′(x )＞0，且f (1)＝0，则在[1，2]内有( )A ．f (x )≥0B ．f (x )≤0C ．f (x )＝0D ．f (x )≥1已知函数f (x )＝x 3＋6x 2＋nx ＋4在x ＝－1时有极值，则n ＝__________．函数f (x )＝x ＋2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________．例题分析：设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是()(2014·北京联考)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是()A ．在(－2，1)上f (x )是增函数B ．在(1，3)上f (x )是减函数C ．当x ＝2时，f (x )取极大值D ．当x ＝4时，f (x )取极大值已知函数f (x )＝x 3－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．(2014·山东)设函数f (x )＝e xx 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k ≤0，k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)，求函数f (x )的单调区间．已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2.(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．已知函数f (x )＝ax 2＋2，g (x )＝x 3＋bx .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，1]上的最大值．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值．作业：1．(2014·新课标Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是()3．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0，3)C ．(1，4)D ．(2，＋∞)4．(2012·陕西)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A . x ＝12为f (x )的极大值点B . x ＝12为f (x )的极小值点C . x ＝2为 f (x )的极大值点D . x ＝2为 f (x )的极小值点5．函数f (x )＝x 3－3x 2＋m 在区间[－1，1]上的最大值是2，则常数m ＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．46．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列判断正确的是()A ．a <0，b <0，c <0B ．a >0，b >0，c <0C ．a >0，b <0，c >0D ．a >0，b >0，c >07．函数f (x )＝x 3＋2xf ′(－1)，则函数f (x )在区间[]－2，3上的值域是____________．8．已知圆柱的体积为16π cm 3，则当底面半径r ＝________cm 时，圆柱的表面积最小．9．(2014·重庆)已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 10．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ，a ≠0.(1)若x ＝1是函数f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．§3.3 导数的应用(二)知识梳理：1．可导函数求最值的方法基础自测：函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B .⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D .⎝⎛⎭⎫－∞，－12函数f (x )＝ax 3＋x ＋1在x ＝－1处有极值，则a 的值为( )A ．1B ．0C ．－13D ．－12已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．2已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (2a )＜f (a －1)，则a 的取值范围是________．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋3x (a ＜0)在区间(1，2)是增函数，则a 的取值范围是________．例题分析：已知函数f (x )＝ax 3－3x 2，a ∈R . (1)若a ＞0，讨论函数f (x )的单调性； (2)若函数f (x )在区间[0，1]上单调递减，求a 的取值范围．若函数f (x )＝ax 2－x 在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B .⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C .⎝⎛⎦⎤－∞，12 D .⎝⎛⎭⎫－12，12(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．已知函数f (x )＝(x －k )e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值．已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与直线y ＝ex 有唯一公共点．方程ln x －x ＝0的实根的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个已知函数f (x )＝e x ，当x ∈[0，1]时，求证：(1)f (x )≥1＋x ； (2)(1－x )f (x )≤1＋x . 作业：1．函数f (x )＝43x 3－x 2的单调减区间是( )A .⎝⎛⎭⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫12，＋∞D .⎝⎛⎭⎫0，12 2．函数f (x )＝ln x ＋x 2－3在区间[1，2]上的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．ln2＋13．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( )A ．a ＝3，b ＝－3，或a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝1，或a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上都不正确4．(2014·河北模拟)若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D .⎝⎛⎭⎫0，12 5．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫1，32B .⎝⎛⎭⎫32，＋∞ C .⎣⎡⎭⎫0，12 D .⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 6．(2014·湖南)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．2e x －1e x >ln x 2－ln x 1 B ．2e x －1e x<ln x 2－ln x 1 C ．x 21e x>x 12e xD ．x 21e x<x 12e x7．关于函数f (x )＝x 3e x ，有以下4个命题：①f (x )在x ＝0处有极小值；②f (x )在x ＝3处有极大值； ③f (x )在(－∞，1)上单调递增；④y ＝f (x )的图象与直线y ＝1仅有1个交点．其中正确的命题是________．(填写对应命题的序号)8．已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为____________．9．(2013·辽宁)证明：当x ∈[0，1]时，22x ≤sin x≤x .10．已知函数f (x )＝12ax 2＋(a －1)x ＋1，a ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的图象在(0，f (0))处的切线方程；(2)若函数f (x )在区间(1，4)上为减函数，求实数a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 3＋52x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)，其图象是曲线C .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间； (2)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若存在唯一的实数x 0，使得f (x 0)＝x 0与f ′(x 0)＝0同时成立，求实数b 的取值范围．§9.5 椭圆知识梳理：1．椭圆的定义基础自测：椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A .13B .12C .33 D .22“m ＞n ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2013²全国课标Ⅱ)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )A .36B .13C .12D . 33已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是____________．已知椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．例题分析：求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)过点P (－3，2)，且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点．过两点P 1(2，2)，P 2(－3，－1)作一个椭圆，使它的中心在原点，焦点在x 轴上，求椭圆的方程，椭圆的长半轴、短半轴的长度以及离心率．设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A .⎝⎛⎦⎤0，22B .⎝⎛⎦⎤0，33 C .⎣⎡⎭⎫22，1D .⎣⎡⎭⎫33，1 (2014·江西)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于____________．经过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，椭圆的离心率为23.如果|AB |＝154，求椭圆C的方程．已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，求|P A |＋|PF |的最大值和最小值．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．52B .46＋2C ．7＋2D ．62作业：1．若椭圆经过原点，且焦点分别为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为( )A .34B .23C .12D .142．方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，2)C ．(1，＋∞)D ．(0，1)3．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则椭圆的离心率等于( )A .12B .23C .14D .324．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 5．(2013·四川)从椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1()a >b >0上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )A .24B .12C .22D .326．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且||AB ＝3，则C 的方程为( )A .x 22＋y 2＝1B .x 23＋y 22＝1 C .x 24＋y 23＝1 D .x 25＋y 24＝1 7．已知椭圆x 225＋y2m＝1的焦点在x 轴上，离心率为35，则m ＝________． 8．(2014·辽宁)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．9．已知椭圆中心在原点，长轴在坐标轴上，离心率为53，短轴长为4，求椭圆的方程．10．如图,椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．11．(2014·辽宁)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P (2，2)，且与直线l ：y ＝x ＋3交于A ，B 两点．若△P AB 的面积为2，求C 的标准方程．§9.6 双曲线(－y 2cos 2θ＝1与C 2：y 2cos 2θ－x 2sin 2θ＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A .x 25－y 220＝1B .x 220－y 25＝1 C .3x 225－3y 2100＝1 D .3x 2100－3y 225＝1 双曲线x 216－y29＝1的离心率为__________．已知曲线方程x 2λ＋2－y 2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________．例题分析：求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)对称轴为坐标轴，经过点P (3，27)，Q (－62，7)；(3)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)．(1)(2014·北京)设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A . x 220－y 25＝1B . x 25－y 220＝1C . x 280－y 220＝1D . x 220－y 280＝1设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(1)(2014·重庆)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A .2B .15C ．4D .17 (2)设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两焦点，P 为双曲线上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．已知双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB . y ＝±13xC . y ＝±12x D . y＝±x在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．作业：1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是( )A .5B .32C .52D .32．(2014·全国卷Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A .3B ．3C .3mD ．3m3．(2014·广东)若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( ) A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等4．(2013·广东)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A .x 24－y 25＝1 B .x 24－y 25＝1C .x 22－y25＝1 D .x 22－y 25＝15．(2014·全国)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．42 6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右支上的一点P (x 0，y 0)到左焦点的距离与到右焦点的距离之差为22，且到两条渐近线的距离之积为23，则该双曲线的离心率为( )A .5B .6C .52D .627．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为__________；渐近线方程为__________．8．(2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为____________．9．已知双曲线的两焦点坐标F 1(0，－2)，F 2(0，2)，以及双曲线上一点P 的坐标(3，－2)，求双曲线的方程、顶点坐标、渐近线方程以及离心率．10．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)相交于B ，D 两点，且BD 的中点为M (1，3)，求C 的离心率．§9.7抛物线知识梳理：1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉______)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程及几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点①②()－p2，0③④()0，－p2准线⑤x＝－p2⑥⑦y＝－p2⑧范围⑨x≥0，y∈R⑩⑪⑫y≤0，x∈R 对称轴⑬⑭y轴顶点⑮原点O(0，0)离心率⑯开口⑰⑱向左⑲向上⑳基础自测：准线方程为y＝4的抛物线的标准方程是( )A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝－16y D．x2＝－8y已知抛物线y2＝2px上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为( ) A．x＝8B．x＝－8C．x＝4D．x＝－4(2014·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝54x0，则x0＝( ) A．4B．2C．1D．8若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p ＝__________；准线方程为_________．已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为12，则P到x轴的距离是__________．例题分析：(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出抛物线的方程．(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A．2B．3C.115D.3716(2013·全国课标Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，||MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( ) A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x如图，AB为过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：(1)||AB＝x1＋x2＋p；(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)1||AF＋1||BF＝2p.设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F 的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)若点A ，B 在准线上的射影分别为M ，N ，则∠MFN ＝90°；(2)取MN 的中点R ，则∠ARB ＝90°； (3)以MN 为直径的圆必与直线AB 相切于点F ； (4)若经过点A 和抛物线顶点O 的直线交准线于点Q ，则BQ 平行于抛物线的对称轴．作业：1．(2013·四川)抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )A ．23B ．2C .3D ．1 2．(2014·辽宁)已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－123．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或64．过点(1，－2)的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x 或x 2＝12y B ．y 2＝4xC ．y 2＝4x 或x 2＝－12yD ．x 2＝－12y5．已知O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．46．(2014·湖南)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝()A ．2B .2C ．1＋2D ．2＋27．抛物线y 2＝4x 的准线方程为____________． 8．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽__________ m .9．已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2，求曲线Γ的方程．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且||AB ＝9，求该抛物线的方程．11．(2014·全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |，求C 的方程．§9.8 直线与圆锥曲线的位置关系基础自测：双曲线x 24－y 2＝1与直线y ＝kx ＋1有惟一公共点，则k 的值为( )A .22B ．－22 C．±22 D ．±22或±12设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2，1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝( )A．12B ．10C ．6D ．8过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则这样的直线有________条．例题分析：(1)已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A ，B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1，1)，求直线AB 的方程．(2)(2013·浙江)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝2，则直线l 的斜率等于________．(2014·江西)过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两11点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于____________．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4，0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1，0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．作业：1．已知直线x ＝1过椭圆x 24＋y 2b 2＝1的焦点，则直线y ＝kx ＋2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A ．k ∈⎣⎡⎦⎤－12，12B ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．k ∈⎣⎡⎦⎤－22，22D ．k ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－22∪⎣⎡⎭⎫22，＋∞2．设斜率为2的直线过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OF A (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x3．若直线mx ＋ny －5＝0与圆x 2＋y 2＝5没有公共点，则过点P (m ，n )的一条直线与椭圆x 27＋y 25＝1的公共点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或24．(2014·湖北)设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．a ≠0，b ≠0，则方程ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线可能是( )6．已知椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22，则mn ＝( )A .22B .322C ．1D ．27．已知P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点，则直线l 的方程为________．8．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若|FQ |＝23，则直线l 的斜率等于________．9．如图，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值．10．已知双曲线2x 2－y 2＝2.(1)求以M (2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2)过点N (1，1)能否作直线l ，使直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，且点N 是弦P 1P 2的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．。