圆锥曲线,极坐标参数方程,导数的定义及求导
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
导数与圆锥曲线内容总结
高二下学期期中复习一、导数1．导数的概念：f ′（x ）= 0lim→∆x xx f x x f ∆-∆+)()(，导函数也简称导数.2．导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处的导数是过点（x 0，y 0）的切线斜率. ⑴函数f(x)在点x 0处有导数，则函数f(x)的曲线在该点处必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x 0处有切线，函数f(x)在该点处不一定可导。
如f(x)=x 在x=0有切线，但不可导。
⑵函数y=f(x)在点x 0处的导数的几何意义是指：曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处的切线的斜率是f ′(x 0),切线方程为y －f(x 0)=f ′(x 0)(x －x 0)如：①（2004年湖南，13）过点P （－1，2）且与曲线y =3x 2－4x +2在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是______.（2x －y +4=0）.②点P 在曲线y =x 3－x +32上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，求α的范围. 解：∵tan α=3x 2－1， ∴tan α∈［－1，+∞）. 当tan α∈［0，+∞）时，α∈［0，2π）； 当tan α∈［－1，0）时，α∈［43π，π）.∴α∈［0，2π）∪［43π，π）.3.求导公式：C ′=0（C 为常数）；（x n ）′=nx n －1;（sin x ）′=cos x ;（cos x ）′=－sin x ;（e x）′=e x; （a x）′=a xln a ;（ln x ）′=x 1;（log a x ）′=x1log a e.. 4.运算法则如果f （x ）、g （x ）有导数，那么［f （x ）±g （x ）]'=f '（x ）±g ′（x ），［c ·f （x ）]'=c f '（x ）. ;（uv ）′=u ′v +uv ′;（v u ）′=2vv u v u '-' （v ≠0）. 5．导数的应用：（一）.用导数求函数单调区间的一般步骤. ⑴确定函数f(x)的定义区间； ⑵求函数f(x)的导数f ′(x)；⑶令f ′(x)>0，或者“0≥”所得x 的范围（区间）为函数f(x)的单调增区间； 令f ′(x)<0，或者“0≤”得单调减区间.特别注意：已知函数式求其单调性与已知单调区间求参数的范围的区别。
导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２２ ２导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用导数在高中数学圆锥曲线参数方程中的应用Һ吴玉辉㊀（福建省永定第一中学，福建㊀龙岩㊀３６４１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ在高中数学课本中，导数是核心知识点之一，并在求圆锥曲线参数方程中得到了很好的运用．导数加入高中数学体系后，使高中数学的知识体系得到了极大的延展，也为一些比较难的数学问题提供了一种新的解题思路．基于此，本文将通过具体例题来说明导数在圆锥曲线参数方程问题中的一些应用策略．ʌ关键词ɔ导数；圆锥曲线；应用ʌ基金项目ɔ本文系福建省教育科学 十三五 规划２０２０年度课题 大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究 （课题编号：ＦＪＪＫＸＢ２０－７９０）系列论文之一．导数是高中数学过渡到高等数学的重要工具，学好导数可以让学生步入大学时能够有一个良好的开端．目前，在高中数学的解题中，导数的概念得到了极大的完善和运用．因此，笔者将着重研究如何在解决圆锥曲线参数方程问题的过程中应用导数．一㊁导数与圆锥曲线的概念１．导数定义导数（Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ），也称为导函数值，是微积分中一个重要的基本概念．函数ｙ＝ｆ（ｘ）的自变量ｘ在点ｘ０处产生增量Δｘ，当Δｘ接近０时，函数输出值的增量Δｙ与自变量的增量Δｘ的比值在Δｘ趋于０时的极限ａ若存在，则ａ是函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数，记作ｆᶄ（ｘ０）或ｄｆ（ｘ０）ｄｘ．对于可导的函数ｆ（ｘ），ｘңｆᶄ（ｘ）也是一个函数，称为ｆ（ｘ）的导数．在某个点上找到已知函数的导数或其导函数的过程称为求导．实际上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来自极限的四则运算法则．已知的导数也可以被逆转，从而找到原始函数，即不定积分．２．导数性质单调性：①若导数大于零，则单调增加；若导数小于零，则单调递减；若导数等于零，则为函数驻点，但不一定是极值点，需要代入驻点左右两侧的值以找到正负导数才能确定单调性．②若已知函数是一个递增函数，则其导数大于或等于零；若已知函数是一个递减函数，则其导数小于或等于零．根据导数的基本定理，对于可导函数，有如下定义：若函数的导数在某个区间中始终大于零（或始终小于零），则函数在该区间中单调递增（或单调递减），此区间称为函数的单调区间．其中，函数的驻点定义为导数等于零的点．在这些点上，函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）．进一步判断则需要知道导数在驻点附近的符号．ｘ改变时，函数图象的切线也会发生改变，其中，切线的斜率为对应的导数值．进一步介绍一下函数的凹凸性：若函数的导数在某个区间内单调递增，则该区间上的函数图象向下凹，否则上凸．如果函数存在二阶导数，也可以通过其正负性来判断，如果在一区间内始终大于零，则该区间内的函数向下凹，否则上凸．３．圆锥曲线定义圆锥曲线是平面截二次锥面获得的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）㊁抛物线和双曲线．对圆锥曲线的研究始于２０００多年前的古希腊．４．圆锥曲线定理圆锥曲线又叫二次曲线，通过直角坐标系可与二次方程相对应，并由此衍生出很多大家熟知的曲面，如圆柱㊁椭球面㊁单叶和双叶曲面等，这些都证明了圆锥曲线最具代表性的特征便是 焦点 准线 ．帕普斯定理的详细定义如下：圆锥曲线上一点的焦距长度等于从该点到相应方向的距离乘偏心率．帕斯卡定理的详细定义如下：圆锥曲线的内接六边形，如果相对的边不平行，则该六边形的对边的延长线的交点是共线的（这也适用于降级的情况）．布里昂雄（Ｂｒｉａｎｃｈｏｎ）定理的详细定义如下：圆锥曲线的外切六边形在同一点有三条对角线．当德兰（Ｄａｎｄｅｌｉｎ）得出的冰激凌定理的结论如下：圆锥曲线几何定义与焦点 准线定义具有等价性．如图１，若将圆锥的顶点设为Ｑ，则有一平面πᶄ与其相截可以得到圆锥曲线，作球与平面πᶄ及圆锥体相切，当曲线为椭圆或双曲线时，平面与球有两个切点，而抛物线只有一个，也就说明了切点就是焦点．若球与圆锥之交为椭圆，可设此椭圆所在平面π与πᶄ之交为直线ｄ，则ｄ是准线．图１㊀㊀㊀图２虽然该图仅画出一个椭圆，但证明方法适用于抛物线和双曲线．也就是说，任何一个切点都可以是焦点，ｄ为All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２２ ２准线．证明：假设Ｐ是曲线上的一个点，如图２所示，连接ＰＱ与圆Ｏ交于Ｅ，设球与平面πᶄ的切点为Ｆ，令平面πᶄ和π之间的交角为α，圆锥的母线与平面π的交角为β．设Ｐ到平面π的垂足为Ｈ，从Ｈ到直线ｄ的垂足为Ｒ，则ＰＲ为从Ｐ到ｄ的垂线，又øＰＲＨ＝α，其中，由于ＰＥ和ＰＦ都是球体的切线，所以ＰＥ＝ＰＦ．因此有ＰＲ㊃ｓｉｎα＝ＰＥ㊃ｓｉｎβ＝ＰＦ㊃ｓｉｎβ＝ＰＨ，其中ＰＦＰＲ＝ｓｉｎαｓｉｎβ为常数．二㊁用导数方法求圆锥曲线的切线方程的引理论证目前，大多教师仍然采用传统的解题思路进行圆锥曲线问题的求解，导致在当前的高中数学教学中，导数并没有被实际运用到对圆锥曲线问题的求解中．例如在求直线和圆锥曲线结合的题目时，虽然利用导数方法可以更加简单清晰地进行解题，但是教师普遍会教导学生按照传统解题思路进行解题．传统解决方案比较麻烦，尤其是包含参数时．因此，我们可以将圆锥部分划分为 几个函数 以进行单独讨论，以便学生使用导数方法找到曲线的切线．本文将使用导数方法来证明圆锥曲线的一些性质．（一）引理一过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）作该椭圆的切线，则切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形：当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａａ２－ｘ２，ｙᶄ＝－ｂｘａａ２－ｘ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂｘ０ａａ２－ｘ２０．而ｙ０＝ｂａａ２－ｘ２０，ʑａ２－ｘ２０＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为椭圆过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线ｌ的斜率，ʑ切线ｌ：ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｂ２ｘ０ｘ＋ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０＋ａ２ｙ２０，两边同时除以ａ２ｂ２得ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａａ２－ｘ２，同理可得其过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理一得证．（二）引理二过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上的任意一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程可以表示为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．证明㊀先考虑ｙ＞０的情形，当ｙ＞０时，ｙ＝ｂａｘ２－ａ２，ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂｘ０ａｘ２０－ａ２．而ｙ０＝ｂａｘ２０－ａ２，ʑｘ２０－ａ２＝ａｙ０ｂ，ʑｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，为双曲线过Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线的斜率．ʑ切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），整理得ｂ２ｘ０ｘ－ａ２ｙ０ｙ＝ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０，进而有ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．当ｙ＜０时，ｙ＝－ｂａｘ２－ａ２，其过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程仍为ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．点Ｐ在（ａ，０）或（－ａ，０）处时，其切线方程为ｘ＝ａ或ｘ＝－ａ，以上结论仍然成立，从而引理二成立．同理，对于焦点在ｙ轴上的椭圆和双曲线，可以使用类似的推理方式得到相同的结论．（三）引理三过圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２上的一点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程为ｘ０ｘ＋ｙ０ｙ＝ｒ２．上述公式在高中课本中已进行推导，因此本文中将不进行具体阐述，而且本公式也可以通过导数进行推导．定理：对于二次方程：αｘ２＋βｙ２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设曲线上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为αｘ０ｘ＋βｙ０ｙ＝γ．由图象平移法则，很容易得到一个更一般的结论．推论：对于二次方程α（ｘ－ｈ）２＋β（ｙ－ｋ）２＝γ（αβγʂ０，γ与α，β中至少一个同号）所表示的曲线，设其上任意一点为Ｐ（ｘ０，ｙ０），那么过点Ｐ且与已知曲线相切的直线方程为α（ｘ０－ｈ）（ｘ－ｈ）＋β（ｙ０－ｋ）（ｙ－ｋ）＝γ．解决切线方程问题是导数的重要应用．圆锥截面通常不是功能性图形，因此教师通常不使用导数解决圆锥截面的切线问题，而使用传统的方法来查找由直线和圆锥截面方程组成的方程组的解，但是这种方法比较麻烦，尤其对于参数而言，计算量很大．因此，应将圆锥部分划分为 几个函数 以单独讨论．三㊁导数在圆锥曲线方程中的实际应用（一）利用导数求圆锥曲线的切线方程例１㊀求过抛物线ｙ＝ｘ２上的点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的切线方程．All Rights Reserved.㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１３０数学学习与研究㊀２０２２ ２解㊀（１）当ｙȡ０时，ｙ＝ｘ，ｙᶄ＝１２ｘ，故切线的斜率为１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（２）当ｙɤ０时，ｙ＝－ｘ，ｙᶄ＝－１２ｘ，故切线的斜率为－１２ｘ０，ʑ所求的切线方程为ｙ－ｙ０＝－１２ｘ０（ｘ－ｘ０）．ȵｙ０＝－ｘ０，ʑ切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．综上可得所求的切线方程为２ｙｙ０－ｘ－ｘ０＝０．（二）利用导数求含参数的圆锥曲线的切线方程例２㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得２ｘａ２＋２ｙｙᶄｂ２＝０，得ｙᶄ｜ｘ＝ｘ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２＋ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．例３㊀设Ｐ（ｘ０，ｙ０）是双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的点，求过该点的切线方程．解㊀对ｘ求导，得ｙᶄ＝ｂｘａｘ２－ａ２，得ｙᶄｘ＝ｘ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，由点斜式得切线方程为ｙ－ｙ０＝ｂ２ｘ０ａ２ｙ０（ｘ－ｘ０），化简得ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２＝１，即ｘ０ｘａ２－ｙ０ｙｂ２＝１．四㊁利用导数求解圆锥曲线问题的方法与注意事项（一）利用导数求解圆锥曲线问题的方法学生在求解圆锥曲线问题时，需要有一定的创新思维能力．在传统的教学模式中，学生一般都先自学，然后对同一类型的多类题进行大量训练，从而提高成绩．但是考虑到学生的学习状况，教师应该兼顾学生的学习特点和学习效率，通过加强典型案例的培训方式，培养学生的创新思维能力，加强学生运用数字和组合图形的能力，提高他们对数学知识的掌握水平与对数学题型的理解能力．传统的教学方式过于单调乏味，无法因材施教．教师的教学方法应注重人性化，在教学过程中，教师的教学进度要以学生为中心，避免使用题海战术．在数学解题过程中，不仅要有创新思维，还要有与之相伴的探索性思维．这对学生来说有一定的难度，对学生的综合学习能力提出了更高的要求．高中生如果能够在实际解决问题的过程中进行探索性思考，那么就能不断提高自身解决问题的能力．在高中阶段的数学科目中，对圆锥曲线参数方程问题的求解，单一理论求解的形式较少，大多都复杂而广泛，也就导致需要使用的知识更加广泛和复杂．学生如果不能充分利用探索性思维，解决问题的难度就会逐渐增加．这里存在的问题是：学生应该如何使用探索性思维？这就要求教师在教学过程中摆脱形式主义，加强学生对基础知识的理解，运用广泛的知识，深入介绍圆锥曲线的本质．（二）利用导数求解圆锥曲线问题的注意事项高中阶段的每个科目都是相互关联的．每个知识都不应该是一个独立的个体．因此，学生在求解圆锥曲线参数方程的问题时，也需要具备一定的知识基础和思维能力．所以从知识库储备的角度来看，学生在学习之前需要了解参数方程的含义．参数方程是充分利用数形结合知识的一个方面，它用函数方程来表示圆锥截面上的一个点，并用中间变量的表达式来表示点的坐标位置．从一般意义来说，就是方程组中的ｘ，ｙ可以代表曲线上所有点的横坐标和纵坐标．目前，在高中数学中，运用导数的概念和方法进行题目解答已经逐渐普及，让高中生在面对数学难题时，多出一种解答手段．如果学生不能完全理解导数与参数方程的含义，他们就不会理解数和形的结合是什么．学生需要明白，数学思维的层次不是单一的，而是多方面的．学生解决圆锥曲线问题时，观察问题的能力是非常重要的，只有充分理解问题中条件给出的方程的表达意义，将图中提供的条件和圆锥截面知识完全整合，才能将问题和图形结合起来，从而找到解决问题的方法和思路．高中数学教学中涉及的知识点较多，教师在教学利用导数解决圆锥曲线问题时需要根据题目的实际情况进行分析，发挥理论联系实际的具体作用，改变以往的教学方式，运用导数概念来处理圆锥曲线问题，从而减轻学生的运算负担．本文主要介绍了导数与圆锥曲线的相关概念及理论论证，并通过举例论证了导数在求解圆锥曲线的切线等问题中的优势，可以使学生的解题思路更加清晰，从而让数学问题变得更加简单．ʌ参考文献ɔ［１］马志良．利用隐函数导数求解圆锥曲线的切线及切点弦方程［Ｊ］．数学学习与研究，２０１７（２１）：１２－１３．［２］罗文军．利用导数破解圆锥曲线中的最值问题［Ｊ］．广东教育（高中版），２０１７（７）：６６－６７．［３］张淑滢．用导数探究圆锥曲线切线问题的方法［Ｊ］．语数外学习，２０１７（１２）：４１－４２．All Rights Reserved.。
高中数学极坐标与参数方程
高中数学—极坐标与参数方程引言在高中数学中，我们学习了许多的数学概念和方法。
而在代数学的领域中，有两个重要的概念是极坐标和参数方程。
它们在解决复杂的几何图形和方程时发挥着重要的作用。
本文将介绍极坐标和参数方程的基本概念，并探讨它们在数学问题中的应用。
极坐标极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角两个参数来确定点的位置。
在极坐标中，每个点的位置由一个正实数和一个角度来表示。
极坐标表示方式在极坐标中，点的位置由两个数值表示，第一个数值表示极径（r），它表示点到原点的距离；第二个数值表示极角（θ），它表示点到正半轴的角度。
例如，一个点的极坐标表示为(r,θ)。
其中，r表示点到原点的距离，θ表示点到正半轴的角度。
可以通过将直角坐标与极坐标之间的转换关系来获得极坐标的表示方式。
极坐标和直角坐标的转换在直角坐标系中，点的位置由两个坐标表示，即横坐标（x）和纵坐标（y）。
而在极坐标系中，点的位置由极径（r）和极角（θ）表示。
要将一个点的直角坐标转换为极坐标，我们可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，“√”表示开方，“arctan”表示反正切函数。
根据这些公式，我们可以计算出一个点的极坐标。
同样地，我们也可以将一个点的极坐标转换为直角坐标。
转换公式如下所示：x = r × cos(θ)y = r × sin(θ)极坐标的应用极坐标在解析几何和物理学中有着重要的应用。
在一些复杂的几何问题中，使用极坐标可以简化计算，简化方程的表示和解决。
例如，在描述圆和椭圆的方程时，使用极坐标比直角坐标更简单。
此外，极坐标也可以用来描述旋转和周期性现象。
对于极坐标系中的点，我们可以将它们视为围绕原点进行旋转的向量。
极角表示向量的方向，而极径表示向量的长度。
参数方程参数方程也是一种表示几何图形的方法，与直角坐标系和极坐标系相比，参数方程可以描述出更复杂的图形。
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析
圆锥曲线的参数方程与极坐标方程的性质解析圆锥曲线是在平面上绕着一个固定点旋转而生成的曲线。
它可以通过参数方程或极坐标方程来描述。
本文将重点分析圆锥曲线的参数方程和极坐标方程的性质，并对其进行解析。
一、参数方程的性质解析参数方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为一个参数的函数。
对于圆锥曲线而言，其参数方程形式为:x = f(t)y = g(t)其中，x和y分别表示曲线上某一点的坐标，t是参数，f(t)和g(t)是关于t的函数。
1. 参数方程的灵活性相比于其他方程形式，参数方程具有较高的灵活性。
它可以描述复杂的曲线形状，并能够轻易地对曲线进行调整和变换。
例如，通过改变参数的取值范围或参数方程的函数表达式，可以得到不同形状的圆锥曲线。
2. 参数方程的解析性质由于参数方程中的每个变量都是独立的，因此可以分别研究x和y与参数t的关系。
这使得我们能够更好地理解曲线的性质和特点。
例如，通过对参数t的逐渐增减，可以得到曲线上的点的轨迹，并进一步分析其变化规律。
3. 曲线的方程与参数方程的关系圆锥曲线的参数方程可以通过消除参数t来得到与之对应的方程。
具体而言，将参数方程中的t表示为与x和y有关的表达式后，将其代入另一个参数方程中，消去t即得到方程形式。
这种转换使得我们能够从方程的角度更加全面地理解曲线。
二、极坐标方程的性质解析极坐标方程是将曲线上的每一个点的坐标表示为极坐标下的径向距离r和极角θ。
对于圆锥曲线而言，其极坐标方程形式为: r = f(θ)其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与极轴的夹角，f(θ)是关于θ的函数。
1. 极坐标方程的简洁性极坐标方程是用极坐标形式直接描述曲线的方程形式，相比于笛卡尔坐标系下的方程，更具有简洁性。
通过极坐标方程，我们可以直观地了解曲线在极坐标系下的性质和特点。
2. 极坐标方程的周期性对于某些特定的圆锥曲线，它们的极坐标方程具有周期性。
也就是说，当θ的取值范围在一定的区间内变化时，曲线的形状会在一定的规律下重复出现。
高中数学圆锥曲线和导数知识点总结(word文档物超所值)
圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+p f 椭圆的第二定义：，点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离PFe d=PF 其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθp p ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =,对椭圆：, 则12222=+by a x 2020b x a y -12222=+b x a y k AB =．弦长2020a xb y -AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为.2tan b θ二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-f p 双曲线的第二定义：，点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离PFe d=PF 其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线2.双曲线的简单几何性质：注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222f f b a bx a y b a b y a x =-=-.参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）“长加短减”aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =,对双曲线：22221y x a b -=,2020b x a y 则k AB =．弦长2020a xb y AB =⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为；2222x y a bλ-=常设渐近线方程为的双曲线方程为0mx ny ±=2222m x n y λ-=例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过21,3(-p ，求双曲线的方程？⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：，为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线lPF d =PF 其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0f p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：注：①抛物线通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－，由抛物线定义p2|AF |＝|AA 1|＝x 1＋. 抛物线上任意p2(2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB 的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222p x x p k +=+p 24②|AB |＝＝x 1＋x 2＋p =12222()pp x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=2psin2θ③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的张角为90°；⑤＋＝.1|FA |1|FB |2p 四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10p p e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1f e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹定义2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（0<e<1）2．与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.标准方程12222=+b y a x (b a >>0)12222=-b y a x (a>0,b>0)y 2=2px 方程参数方程为离心角）参数θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==b y a x 为离心角）参数θθθ(tan sec ⎩⎨⎧==b y a x ⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)范围─a ≤x ≤a ，─b ≤y ≤b |x| ≥ a ，y ∈R x ≥0中心原点O （0，0）原点O （0，0）顶点(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)(a,0), (─a,0)(0,0)对称轴x 轴，y 轴；长轴长2a,短轴长2bx 轴，y 轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x 轴焦点F 1(c,0), F 2(─c,0)F 1(c,0), F 2(─c,0))0,2(p F 焦距2c （c=22b a -）2c （c=22b a +）离心率)10(<<=e ace )1(>=e ace e=1准线x=c a 2±x=ca 2±2p x -=渐近线y=±ab x 焦半径exa r ±=)(a ex r ±±=2p x r +=通径a b 22ab 222p导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1'()'m mn n m x xn -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =- ⑤()'xxe e = ⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差).法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导)法则3：2()'()()()'()[(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠(口诀：(上导下不导-上不导下导) ÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =题型一、导数定义的理解题型二：导数运算1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
高中数学圆锥曲线和导数知识点总结
圆锥曲线方程 知识要点一、椭圆方程及其性质.1. 椭圆的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+椭圆的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为椭圆焦点，l 为椭圆准线①椭圆的标准方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （20πθ ）（现在了解，后面选修4-4要详细讲）.②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③设椭圆：12222=+b y a x 上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =22bx a y -,对椭圆：12222=+b x a y , 则k AB =2020a xb y -．弦长AB =⑸若P 是椭圆：12222=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb （可用余弦定理与a PF PF 221=+推导）. 若是双曲线，则面积为2tan b θ.二、双曲线方程及其性质.1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=-双曲线的第二定义：PFe d=，PF 点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 的距离 其中F 为双曲线的焦点，l 为双曲线的准线 注：①双曲线标准方程：)0,(1),0,(12222 b a bx a y b a b y a x =-=-. 参数方程：⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x 或⎩⎨⎧==θθsec tan a y b x . （现在了解，后面选修4-4要详细讲）②通径：垂直于对称轴且过焦点的弦叫做通径，椭圆通径长为ab 22③焦半径：对于双曲线方程12222=-b y a x （21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或上、下焦点）aex MF a ex MF -=+=0201 构成满足aMF MF 221=-aex F M a ex F M +-='--='0201④设双曲线22221x y a b -=：上弦AB 的中点为M (x 0,y 0),则斜率k AB =2020b x a y ,对双曲线：22221y x a b -=, 则k AB =2020a xb y ．弦长AB=⑤常设与22221x y a b -=渐近线相同的双曲线方程为2222x y a bλ-=；常设渐近线方程为0mx ny ±=的双曲线方程为2222m x n y λ-=例如：若双曲线一条渐近线为x y 21=且过)21,3(-p ，求双曲线的方程？ ⑥从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b⑦直线与双曲线的位置关系：将直线方程代入双曲线方程得到一元二次方程，讨论方程二次项系数和∆三、抛物线方程及其性质.抛物线的定义：PF d =，PF 为点P 到定点F 的距离,d 为点P 到直线l 其中F 为抛物线的焦点，l 为抛物线的准线设0 p ，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：焦半径12x pPF +=12x pPF +=12y pPF +=12y pPF +=②px y 22=（或py x 22=）的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222（或⎩⎨⎧==222pt y ptx ）（t 为参数）. （现在了解，后面选修4-4要详细讲）4.抛物线的焦半径、焦点弦.（抛物线中常用结论和方法）如图所示，抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)．(1)焦半径设A 点在准线上的射影为A 1，设A (x 1，y 1)，准线方程为x ＝－p 2，由抛物线定义|AF |＝|AA 1|＝x 1＋p2.抛物线上任意一条弦的弦长为21ka∆+ (2)关于抛物线焦点弦的几个结论设AB 为过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点的弦，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为00(,)M x y ，直线AB 的倾斜角为θ，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，12x x ≠时，有1222px x p k+=+②|AB |＝2p sin 2θ＝x 1＋x 2＋p =12222()pp x x k+≠，0AB p k y =，22sin AOB p S θ∆=③以AB 为直径的圆与准线相切；④焦点F 对A 、B 在准线上射影的X 角为90°； ⑤1|FA |＋1|FB |＝2p .四、圆锥曲线的统一定义..4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹.当10 e 时，轨迹为椭圆；当1=e 时，轨迹为抛物线；当1 e 时，轨迹为双曲线；当0=e 时，轨迹为圆（a ce =，当b a c ==,0时）.5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证AD 与BC 的中点重合即可. 椭圆双曲线抛物线 定义1．到两定点F 1,F 2的距离之和为定值2a(2a>|F 1F 2|)的点的轨迹1．到两定点F 1,F 2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F 1F 2|)的点的轨迹导数的基础知识一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；③取极限得导数：00'()lim x y f x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：①'0()C C =为常数；②1()'nn x nx-=；11()'()'n n n x nx x---==-；1()'m mn n m x x n -==③(sin )'cos x x =； ④(cos )'sin x x =-⑤()'xxe e =⑥()'ln (0,1)xxa a a a a =>≠且； ⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和差的导数等于导数的和差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：左导右不导+左不导右导) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：(上导下不导-上不导下导)÷下平方)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：(理科必须掌握)①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x = 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知()22sin f x x x π=+-，则()'0f =2、若()sin x f x e x =，则()'f x =3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，4)1(=-'f ，则a =（ ）319.316.313.310.D C B A 三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析
圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的性质推导解析圆锥曲线是数学中常见的一类曲线形状，参数方程和直角坐标方程是描述和推导圆锥曲线性质的两种常用方法。
本文将分析圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系，并推导解析圆锥曲线的性质。
一、圆锥曲线的参数方程参数方程是用参数表示曲线上的点，参数通常用t表示，通过给定不同的参数值，可以得到曲线上的一系列坐标。
对于圆锥曲线，其参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数，通过给定不同的参数值t，可以得到曲线上的点坐标(x, y)。
以常见的椭圆为例，椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)y = b * sin(t)其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
二、圆锥曲线的直角坐标方程直角坐标方程是使用x和y的关系来描述曲线的方程。
对于圆锥曲线，其直角坐标方程通常可以写成：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个包含x和y的函数，通过令F(x, y)等于零，可以得到曲线上的点坐标。
以椭圆为例，椭圆的直角坐标方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
三、圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程的关系圆锥曲线的参数方程与直角坐标方程是等价的，通过互相转换可以得到相同的曲线信息。
圆锥曲线的参数方程(x = f(t), y = g(t))可以转化为直角坐标方程F(x, y) = 0的形式。
同样地，直角坐标方程F(x, y) = 0也可以转化为参数方程(x = f(t), y = g(t))的形式。
以椭圆为例，可以将椭圆的参数方程(x = a * cos(t), y = b * sin(t))转化为直角坐标方程：((a * cos(t))^2 / a^2) + ((b * sin(t))^2 / b^2) = 1化简后得到：cos^2(t) / a^2 + sin^2(t) / b^2 = 1这正是椭圆的直角坐标方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
荣县一中高2017级第11周周六练习题（圆锥曲线，极坐标参数方程，导数的定义及求导）一．选择题（每小题4分，共40分）
1. 椭圆（为参数）的离心率为（）
A. B. C. D.
2. 极坐标方程所表示的曲线是（）
A.双曲线
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
3. 下列参数方程（为参数）中，与方程表示同一曲线的是（）
A. B. C. D.
4. 若，则等于（）
A. B. C. D.
5. 设为可导函数，，则在点（）处的切线斜率为（）
A. B. C. D.
6. 设是三角形的一个内角，且，则方程表示的曲线是（）
A.焦点在轴上的双曲线
B.焦点在轴上的椭圆
C.焦点在轴上的双曲线
D.焦点在轴上的椭圆
7. 双曲线的离心率为，则的最小值为（）
A. B.C.
D.
8 已知函数的图象在点（）处的切线方程是，则的值等于（）
A.
B.
C. D.
9. 已知两点，，点是椭圆上的动点，则面积的最大值为（）
A. B. C. D.
10. 已知两个点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”，给出下列直线是“型直线”的是（）
A.
B. C. D.
二、填空题（本题共计4 小题，每题4 分，共计16分，）
11. 已知函数，则________．
12.已知直线与函数的图象相切于点，则________.
13. 点，为抛物线的焦点，点在抛物线上运动，当取最小值时的点的坐标是________．
14. 如图，是椭圆的一个焦点，，是椭圆的两个顶点，椭圆的离
心率为．点在轴上，，，，三点确定的圆恰好与直线相切．则椭圆的方程为________．
三、 解答题 （共 4 大题，共计44分 ， ）
15.（6分） 解下列各题：
（1）求椭圆369422=+y x 的焦点和顶点的坐标；
（2）求抛物线 的焦点坐标，准线方程和对称轴；
（3）求焦点在轴上，两顶点间的距离是，
的 双曲线的标准方程．
16.（6分） 求下列函数的导数：
（1） （2） （3）
17.（6分）如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．
18（8分）. 已知直线经过点，倾斜角．
（1）写出直线的参数方程；
（2）设与圆（是参数）相交于两点、，求点到、两点的距离之积与AB 的长度．
19.（8分）已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求证：曲线的直角坐标方程为；
（2）设是曲线上的点，是曲线上的点，求的最小值．
20.（10分）已知椭圆过点，且它的离心率，直线与椭圆交于、两点，若直线与圆：相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．。