2第二讲 无穷小量与连续
专升本 高数第二讲 连续 (详细)
在求复合函数的极限时，如果u=g（x），在x0处极限存在， 又y=f（u）在对应的 处连续，则极限符号可以与 函数符号交换。即
定理1.14 （反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连 续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1 （y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
1 , x 0, 例 讨论函数 f ( x ) 在x 0处的连续性. x x , x 0, y
解 f (0 0) 0,
f (0 0) ,
o x
x 1为函数的第二类间断点 .
（三） 闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质， 这些性质以后都要用到。
定理1.15 （有界性定理） 如果函数f（x）在闭区间 [a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。
定理1.16 （最大值和最小值定理）如果函数f（x）在 闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最 小值。 定理1.17 （介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上 连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和 M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C
例1.[9405]设 f（x） ，则f（x）在 A. x=0,x=1处都间断 B. x=0,x=1处都连续 C. x=0处间断，x=1处连续
D. x=0处连续，x=1处间断
解：在x=0处，f（0）=0 ∵f（0-0）≠f（0+0） x=0为f（x）的间断点 在x=1处，f（1）=1 f（1-0）=f（1+0）=f（1） ∴f（x）在x=1处连续 ［答案］C
高等数学-第2章--极限与连续
第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。
微积分第二讲笔记
六、考试题型
1、分段函数分段点处连续的判断 思路：求出分段点处左、右极限。再与此点函数值比较
例：设
f
(x)
=
⎧ ax + b ⎩⎨(a + b)x2
+
x
x≥0 ， a + b ≠ 0 则处处连续的充分必要条件是 b=
Байду номын сангаасx<0
解：f(x)已满足右连续
f−
(0)
=
lim (a
x→0−
+
b)x2
+
x
=
0
f− (0) = f (0) = b ⇒ b = 0
例： 方程kx－e－x＝0，在(0，1)上有一实根
1)k＞1 2)k＜1
e
3
解：方法一：f(x)=kx-e-x
f (0) ⋅ f (1) = (−1) ⋅ (k − 1) < 0 e
⇒ k>1 e
f (x) = kx − e−x 单调增加
方法二：图像法 kx-e-x＝0
kx＝e-x
选择：A
=
lim
x→0−
ex −1 2x
=
1 2
f+
(0)
=
lim (x
x→0+
+
1) 2
=
1 2
f (0) = 1 2
即，f(x)在除了 x=1 处均连续
f− (1)
=
lim ( x
x→1−
+
1) 2
=
3 2
f+ (1)
=
lim
x→1+
x −1 2
=
高数第二讲(清华版)
1
第二讲
函数极限
一、函数极限
二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2019/3/7 2
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
x x0
x
即存在 即存在 M M 0和 0 和 0 N , 使当 0, 使当 0 xx x0 N 时 ,时, 就有 f( xM ) 就有 f ( x) . M.
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性质3:（保号性） 设 lim f ( x ) A 存在
(1) 如果A 0, 则 0, 使当 0 x x0 时, 就有f ( x ) 0. ( 2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
2
都是 x 0 时的无穷小量. 1 x , e , arctanx 2 x 2 x 时的无穷小量.
2019/3/7
都是
22
定义2： 在某个变化过程中,绝对值无限 变大的函数,称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）。 G 0, 0, 使当 0 x x0 时,
2019/3/7 27
（三）三个重要关系 1.（无穷小与无穷大） 若在自变量的某一个变 化过程中 , f ( x ) 是无穷大, 则在这个变化过程中 , 1 是无穷小. f ( x) 2.（极限与无穷小） l i m f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
x ห้องสมุดไป่ตู้x
(1) l i m[c f ( x )] c A
高等数学二
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念〔对极限定义等形式的描述不作要求〕。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较〔高阶、低阶、同阶和等价〕。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数〔含分段函数〕在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
第二章极限与连续PPT课件
当n
时收敛于a,
记作
lim
n
xn
a.
如果数列没有极限,就称该数列是发散的.
例如上面的数列有
=1
观察前面所举数列的例子, 不难看出：
lim 1 0, n 2n
lim (1)n1 1 0,
n
n
n 1 lim 1. n n
第10页/共44页
例如,
收 敛
第11页/共44页
发 散 趋势不定
例：求下列数列的极限
lim f (x) lim f (x)
xx0 0
xx0 0
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例：函数
不存在。
第32页/共44页
例3 求函数
x 1, f (x) 0,
x 1,
x 0, x 0, x 0.
当 x 0时的左极限和右极限,并证明
解当 x 0 f (x) xFra bibliotek1lim f (x)不存在.
3
(1)
(2)
(5 + )
n2
解(1)原式 =
=1
(2)原式 = 5.
第12页/共44页
下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列 极限的定义.
先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大” ：
我们用 x a 来表示x与a的 接近程度,用
n N 来表示n无限增大 .
第13页/共44页
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
心邻域
o
U (x0 , )
内有界。
3.局部保号性
f (x) 在
x 的某个去 0
定理3 若 lim f (x) A 0 (或A 0), 则
o
x x0
高等数学-无穷小量与无穷大量
8
02 无穷大量
定义1.22 在自变量某一变化趋势下，变量的绝对值
无限增大，则称为自变量在此变化趋势下的无穷大量
（简称无穷大），记作 = ∞.
自变量的变化趋势可为 → ∞， → 0 （或 → 0 + ，
→ 0 − ）， → ∞（或 → +∞， → −∞）等.
9
02 无穷大量
性质1.3 有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小.
推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.
注 (1)无穷多个无穷小的代数和不一定是无穷小.
(2) 两个无穷小的商的极限没有确定的结果，对于这
类问题，要针对具体情况具体分析.
6
01 无穷小量
1
.
例1 求
2
→0 + 1
解 当 →
穷大量.
（2）在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差、
商，以及有界函数与无穷大的乘积，没有确定的结果.
12
01 无穷小量
本节内容
02 无穷大量
03 无穷大量与无穷小量的关系
04 无穷小的比较
05 等价无穷小的替换
13
03 无穷大量与无穷小量的关系
定理1.13 在自变量同一变化过程中：
1
1
→∞
= 0知，当 →
1
但是
→1
1
∞时， 为无穷小；
= 1 ≠ 0 ，所以 →
1
1时， 不是无穷小.
4
01 无穷小量
定理1.12 当 → 0 时，函数()以为极限的充分必
要条件是() = + ，其中 = ()是 → 0 的无穷
第1-2无穷大小量和连续性
练习： 求 (1) lim
2x 3 . 2 x 5x 4
( 型 ， 0) 0
sin x 2 x ( 2) lim x cos x 2 x
key : ,1.
指出下列变量当 x ?时是无穷小量：
1 x 1 , ln(1 x ) , e 1 x x2 1 指出下列变量当x ? 时是无穷大量：
xb
lim f ( x ) f (b ).
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。
例7.
1 x sin x b , 设函数 f ( x ) a , sin x , x
x0 x0 x0
问：（1 ）当 a , b为何值时， f ( x )在 x 0处有极限； （2 ）当 a , b为何值时， f ( x )在 x 0处连续。
x 0
1 2
,
得 1 cos x 1 ( x) 2
x 2
cos x 1
1 2
x 2 x 2 ( x)
当x→0的无穷小量
当x很小时， x 1 cos
1 2
x
2
(2) 无穷小量的性质 性质1: 有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量;
证明：设f1 ( x), f 2 ( x), , f n ( x)是无穷小，
x 0 x 0
1 x
1 x
故当 x→0时, ln(1+x)与x是等阶无穷小, 记 ln( 1 x) ~ x.
当x→0时，常用等价无穷小:
sin x ~ x，
1 cos x ~
1 2
x ,
2
e 1 ~ x,
x
a 1 ~ x ln a,
2第二讲无穷小量与连续
泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室通过教学使学生掌握 无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。
无穷小量与无穷大 量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。
第二讲无穷小与函数的连续性1 .无穷小如果lim P =0 ,就说在这个极限过过程中P 是无穷小量。
2 .无穷大,lim P =—比，lim I P I =处,就说在这个极限过过程中 P 是无穷大量。
3无界量 4. 函数的连续性(1)极限哩f (X )存在；⑵ lim f (X )= f (x o )。
^Xo那么就称y = f （X 在点x 0连续。
5、函数的间断点第一类间断点左右极限相等（可去间断点）（左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在课程名称 高等数学研究 授课对象授课题目第二讲无穷小与函数的连续性课时数教学 目的重 占 八\、 难 点1用等价无穷小量代换求极限 2. 函数的连续性的判 3. 间断点的求法lim P =+ 处 定义1 函数y = f （X 在点x o 的某一领域内有定义，如果间断点教学过程与内容教学后记第二讲无穷小与函数的连续性无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键1 .无穷小如果lim P =0,就说在这个极限过过程中P是无穷小量。
【说明】(1)说一个函数(数列)是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。
在这个极限过程中P是无穷小量，在另一个极限过程中P不一定是无穷小量。
X T 0时，sinx 是无穷小量，但X T 1时，sinx不是无穷小量;(2) 0是唯一可作为无穷小的常数;(3) X2 +3x3作为无穷小量(X T 0),主要看低次方项；作为无穷大量(X T K主要看高次方项；在同一变化过程中如果lim £ = 0,就说P是比a高阶的无穷小，记作P =0(a)；P 如果lim —=处，就说P是比a低阶的无穷小.a如果limP=cH0,就说P与a是同阶无穷小；aP如果lim P =C HO,k >0 ,就说P是关于a的k阶无穷小，a =O(P k). a kp如果lim - =1,就说P与a是等价无穷小，记作a ~ P .例1: 当X T 0时，Ct(X)= kx2与P(x) = J l + xarcsinx -Jcosx 是等价无穷小，则求k.【解】由题设，limE©J l + xarcsinx - Jcosxkx2xarcsin x +1 -cosx=lim 2/ ■—fT kx xarcsinx+vcosx)),X arcsi nx+1 — cosx 34ki ，X 2,'X 例 2： X T 0+时无穷小量 a = 0cost 2dt,P = _0 tan J idt,Y = [ sint 3dt ，排列起来, 使排在后面的是排在前面的一个的高阶无穷小量。
高数讲义系列之二
高数讲义系列之二高数讲义系列之二第二章极限与连续2．1数列的极限1、数列：按照某一规律排列的无穷多个数，叫无穷数列，记为｛a n｝=a1,a2,a3…a n…,其中每一个数叫做数列的项，第n项a n叫数列的通项。
2、观察一组数列，当项数n无限增大时，a n是否无限趋近于一个常数①0，1/2，1/22…1/2n-1… 该数列数值越来越趋近于0，极限等于0②1,-1/2,1/3,-1/4…(-1)n+11/n…该数列数值越来越趋近于0，极限等于0③1,1/2,2/3,3/4…n/n+1…该数列数值越来越趋近于1，极限等于1④1,-1,1,-1…(-1)n+1…该数列数值越来越趋近的数不唯一，极限不存在⑤1,3,5,7…2n-1…该数列数值越来越趋近无穷大，极限不存在（或∞）3、数列极限的定义：对于数列｛a n｝，当项数n趋近无穷大时（n→∞），若通项a n无限接近于一个确定的常数A（a n→A），则A是｛a n｝的极限。
记为：lim a n = A 含义是：n→∞，a n→A注意：①极限是一个常数，极限是A，并不表示取到了A，而是无限趋近于A。
②极限不存在有两种情况：1）无穷大2）不唯一③常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
④若极限存在，则数列收敛，若极限不存在，则数列发散。
4、几个常用极限①n→∞, q n→0 (|q|<1)，即-1与1之间的数乘无穷大次方趋近于0②n→∞,a开n次方→1 （a>0），即大于0的数开无穷次方趋近于1③n→∞，a→a，即常数的极限在任何情况下都等于常数本身。
作业：习题2-1（P21）：1、22．2 数项级数的基本概念1、数项级数的定义：给定一个数列：｛u n｝=u1,u2,u3…u n…,将所有项相加：∑u n= u1+u2+u3+…+u n+…形成的式子叫数项无穷级数，简称级数，u n是一般项或通项。
2、级数与数列的区别与联系：①数列关注的是某一项的值，级数关注的是所有项的和。
二、无穷小量及其性质【精选PPT】
05
总结与展望
Chapter
总结：无穷小量的重要性及其应用价值
01
无穷小量是微积分学中的基本 概念，具有独特的性质和广泛 的应用价值。
02
无穷小量在极限、导数、积分 等重要数学概念中起到关键作 用，为研究变量变化率和累计 量提供了基础工具。
03
无穷小量在物理、工程、经济 等领域也有广泛应用，帮助人 们更好地理解和分析实际问题 。
无穷小量的符号表示
无穷小量通常用希腊字母α（阿尔法）或β（贝塔）表示。
在某些情况下，也可以使用其他符号，如ε（艾普西隆）或o（哦）。
无穷小量的性质
无穷小量具有以下性质
无穷小量与任何有限的数相加、相减、 相乘或相除，结果仍然是无穷小量。
无穷小量除以任何不为零的有限数都等 于无穷小量本身。
在任何数x的右侧，无穷小量α可以表示 为xα。
无穷小量在微分方程中的应用
无穷小量在微分方程定义 中的应用
无穷小量在微分方程的定义中扮演了重要角 色，它描述了方程的变化率。
Hale Waihona Puke 无穷小量在微分方程性质中 的应用
微分方程性质是微分方程的理论基础，无穷小量在 此性质的证明中起到了关键作用。
无穷小量在微分方程解法 中的应用
微分方程的解法是微分方程的核心，无穷小 量在此解法的推导中起到了重要作用。
无穷小量在数学中的应用
01
极限理论
02
微积分学
无穷小量是极限理论中的重要概念， 极限的思想就是从无限逼近的角度看 问题，无穷小量提供了这个视角。
无穷小量是微积分学中的基础概念， 导数和积分的计算都涉及到无穷小量 的概念。
03
概率论与统计学
无穷小量在概率论和统计学中也有广 泛应用，例如在计算概率密度函数和 分布函数时，无穷小量可以帮助我们 得到更精确的结果。
无穷小量函数的连续性优质课件
1
lim
x0
ex
ln(
1
2 3
sin
x2
x)
1
lim
x0
x
ln(1
2 3
x2
sin
x)
lim
2 3
sin
x
2
2024/7/26 x0
x
3
ln(1 x) ~ x(x 0)
21
1 2 cos x
[例7]
lim
?
x
3
sin(
x
3
)
[解] 作变换
x u,
则
x u
3
3
并且,当x 时, u 0
又
2024/7/26
32
定义3： （ 函数在区间上的连续性）
(1) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)的 每 一 点 处 都 连 续,则 称 f ( x) 在 开 区 间 (a, b)内 连 续. 记 作 f C(a, b)
(2) 若 函 数 f ( x) 在 开 区 间(a, b)内 连 续,
lim x lna lna x0 x
a x 1 ~ x lna (x 0)
2024/7/26
20
[例6]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
?
[解]
(3 2sin x)x 3x
lim
x0
tan 2 x
ex 1 ~ x(x 0)
lim 3x
x0
(1
2 3
sin x)x x2
称 x0 是 函 数 f 的 一 个 连 续 点;
否 则 称 函 数f 在 点x0 处 间 断,
2—第二讲 极限 函数的连续性
= 1；
lim 不存在， （2） x→ x f ( x) 不存在， (
0
存在， （3）xlim f ( x) 存在， ≠ f ( x0 ) →x
0
称
x0 为 f ( x) 间断点
间断点分类: 间断点分类:
第一类间断点: 第一类间断点 及 若 若
3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1
= f (x0 + ∆x) − f (x0 ).
2. 函数连续性的定义
f (x0 + ∆x)
∆x
y
∆y
f (x0 ) 定义1: 定义1: 设函数 y = f (x)在点 x0 及其附近有定义， 及其附近有定义，如果∆x →0， O 也 ∆x
x
lim ∆y = lim [ f (x0 + ∆x) − f (x0 )]
即 而 即
lim f (x) = 0.
x→0
f (0) = 0,
lim f (x) = f (0).
x→0
处是连续的。 所以 f (x)在x = 0 处是连续的。
3. 函数的间断点
f ( x) 的以下三种情况为在 x0 处不连续
（1）f ( x)
x2 −1 无定义； 在 x0 无定义；如 f ( x) = 在x x −1
x
x
第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 , 若其中有一个为 ∞, 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
1 f (x) = sin x
若其中有一个为振荡 , 称
x 10
5
12
1
无穷小无穷大极限运算法则
看下 表
X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 ,… 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,… 5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,… x3 1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,…
为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以 下几个概念：设 ( x) 0, ( x) 0 是同一过程的无穷小量 1. ( x)是比 ( x)高阶无穷小 ( x) 0 称 ( x)是比 ( x)高阶无穷小 若 lim
1 1 3 2 x x lim 解：原式= x 1 2 5 2 x x
例5.求
x
lim ( x 1 x )
解：原式= xlim
x 1 x x 1 x
300 500 3 5
lim
x
1 x 1 x
=0
2 x lim1 1. lim(2 x 1) lim x 1 x 1
x 1
2.lim
x 2
2 lim x lim1
x 1 x 1
x 30 x2 ( x 2 5 x 3) x 2 5 x 3 lim x2
5
lim( x 5 30)
=2×1-1 =1
( x)
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度快
2. ( x)是比 ( x)低阶的无穷小 若 lim
( x) ( x)
称 ( x)是比 ( x)低阶的无穷小
( x) 0的速度比 ( x) 0的速度慢
3. ( x)与 ( x)是同阶的无穷小
∴当x→0时
x 2 3x 5与x 2
极限和连续的总结
极限存在性定理 两个重要极限
(1)
sin x lim 1 x 0 x 1 x lim (1 ) e x x
(2)
1 n lim (1 ) e n n
lim ( 1 x ) e x0
x x0 x x0
( x , x ) \ { x } 内 恒 有 f ( x) g ( x) ， 则
0 0 0
A B.
00:38
二、极限的四则运算法则
定理(四则运算法则)设
lim f ( x) A ， lim g ( x) B ,
则
法则 1
法则 2
法则 3
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
第一类间断点 第二类间断点
左右极限至少有一 个不存在
00:38
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
（1）基本极限
（2）分子、分母分解因式，约去趋于 x→∞ 零但不等于零的因子 （3）分子分母同除以高次幂（39页例6）
（4）分子、分母有理化（39页例5） (5)利用两个重要极限公式求极限
（1）间断点分类:
第一类间断点: 及 若 若 第二类间断点: 均存在 , 称 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称
x0 为无穷间断点 . x0 为振荡间断点 .
高数第二章极限与连续讲稿
f ( x) A .
则称 x : 时函数 f ( x) 有极限为 A。记为
பைடு நூலகம்x
lim f ( x ) A
说明几何意义： 2.另外两种情形:
x 情形 : lim f ( x ) A 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
n N 时的一切 xn ，恒有
xn a
称常数 a 是数列 xn 的极限，或者称数列 xn 收敛于 a ，记为
lim xn a,
n
或 xn a
(n ).
如果数列没有极限，就说数列是发散的. 几何解释:
a
2
a
xN 2
x2 x1
xN 1
a
x3
x
当n N时, 所有的点xn都落在(a , a )内, 只有有限个(至多只有N个) 落在其外 .
0 x 3 . （ ） 2 0 x 9
消去零因子法求极限
lim
n 2 2n 1 .( 型) n 2n 2 3
lim
2x3 5 无穷小因子分出法求极限 x 3 x 2 2 x
当a0 0, b0 0, m和n为非负整数时有
一. 夹逼准则 1、夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 xn , yn 及 zn 满足下列条件:
x
x 情形
lim f ( x ) A 0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
x
注： lim f ( x) A
x
x
lim f ( x) lim f ( x) A.
x
例 1 证明 lim
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教
学
提
纲
第二讲 无穷小与函数的连续性
１.无穷小
如果 ,就说在这个极限过过程中 是无穷小量。
２.无穷大
， ， ，就说在这个极限过过程中 是无穷大量。
３无界量
4.函数的连续性
定义1函数 在点 的某一领域内有定义，如果
(1)极限 存在；
(2) 。
那么就称 在点 连续。
５、函数的间断点
第一类间断点左右极限相等（可去间断点）
【证】略
２.无穷大
， ， ，就说在这个极限过过程中 是无穷大量。
定理：当自变量在同一变化过程中时，
（１）若 为无穷大量，则 为无穷小量。
（２）若 为无穷小量，且 ，则 为无穷大量。
【说明】常见无穷大量的阶
３无界量
如不存在 使，对 ，都有 ，则称 在 上无界
，则 上无界， ，则 上无界
例4： ０时，变量 是( C )
间断点 的分类:
第一类间断点:左极限 及右极限 都存在，
可去间断点: ，(补充定义使之连续)
跳跃间断点: ，
第二类间断点:左极限 及右极限 至少有一个不存在，
无穷间断点: ，
第一类间断点左右极限相等（可去间断点）
间断点（左右极限都存在）左右极限不相等（跳跃间断点）
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
a) ．b) ．c) ．d) ．
【说明】（1）无穷小量的阶主要看它和哪个 同阶，然后再 阶排定顺序；
（2）无穷小量求导数后阶数降低一阶。
【解】 ，应选Ｂ。
例3：设函数 在Байду номын сангаас＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 ．证明：存在惟一的一组实数 ，使得当 时，
．
【分析】条件告诉我们
因而
同上 ，
。。。。。。。。。。。。。
如果 ,就说 是比 高阶的无穷小,记作 ;
如果 ,就说 是比 低阶的无穷小.
如果 ,就说 与 是同阶无穷小;
如果 ,就说 是关于 的k阶无穷小， .
如果 ,就说 与 是等价无穷小,记作 .
例1：当 时， 与 是等价无穷小，则求k.
【解】由题设，
=
= ，
得
例2： 时无穷小量 ，排列起来，使排在后面的是排在前面的一个的高阶无穷小量。排列顺序是（）
【解】
= =
=
令 ，有 ，得 或 .
当a=-1时， ，即f(x)在x=0处连续.
当a=-2时， ，因而x=0是f(x)的可去间断点.
例5：确定 的值，使得 有第二类间断点 及可去间断点 。
【解】 常数 ，
，
如果 ,就说函数 在点 左连续。
如果 ,就说函数 在点 右连续。
例５： 。
【解】 ， ，
５、函数的间断点
设函数 在点 的某去心领域内有定义.在此前提下,如果函数 有下列三种情形之一:
在 没有定义;
虽在 有定义,但 不存在;
虽在 有定义,且 存在,但 ;
则函数 在点 为不连续,而点 称为函数 的不连续点或间断点.
间断点（左右极限都存在）左右极限不相等（跳跃间断点）
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在
教学过程与内容
教学
后记
第二讲 无穷小与函数的连续性
无穷小量、函数的连续性、间断点的判定等问题的实质是极限问题，理解这些问题的概念，熟练运用求极限的方法是解决这类问题的关键。
１.无穷小
如果 ,就说在这个极限过过程中 是无穷小量。
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第二讲无穷小与函数的连续性
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握无穷小量及无穷小量，无穷大量的概念。无穷小量与无穷大量之间的关系，函数的连续性的判定及函数的间断点的求法。
重
点
难
点
1．用等价无穷小量代换求极限
2．函数的连续性的判
【说明】（1）说一个函数（数列）是无穷小量，必需指明在哪个极限过程中。在这个极限过程中 是无穷小量，在另一个极限过程中 不一定是无穷小量。 时， 是无穷小量，但 时， 不是无穷小量；
（2）0是唯一可作为无穷小的常数；
（3） 作为无穷小量（ ），主要看低次方项；作为无穷大量（ ），主要看高次方项；
在同一变化过程中
例6：求 的间断点，并指出它的类型。
【分析】由于初等函数在定义域内都是连续的，所以间断点必定是无定义的或分段函数的分点。
【解】 ， 是第二类间断点
， 是第一类间断点
， 是第二类间断点
例7： ，求 的间断点，并指出其类型．
【解】
可去间断点， 第二类间断点，
例8： , =？时, 在x=0点连续，x=0是可去间断点。
a)无穷小b)无穷大；c)无界，但不是无穷大；d)有界，但不是无穷小．
4.函数的连续性
函数 在点 的某一领域内有定义，如果
(1)极限 存在；
(2) 。
那么就称 在点 连续。
如果函数 在开区间 内每一点都连续,则称 在开区间 内连续;如果函数 在开区间 内连续,在点 右连续,在点 左连续,则称函数 在闭区间 上连续。