复数复习课件
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《复数复习课》课件
3 模长和角度
复数的模长是复数到原点的距离，角度是复 数与正实轴的夹角。
4 欧拉公式
欧拉公式是复数的一种表示形式，将复数表 示为以e为底的指数函数。
解析式
复数的三角式
将复数写成模长和角度的形式，使用三角函数表示。
指数形式
将复数写成以e为底的指数函数的形式，使用指数运算表示。
复数在实际中的应用
电学中的应用
复数在交流电路分析中起着重 要作用，可以描述电流和电压 之间的关系。
机械中的应用
复数在机械振动和波动的计算 中有广泛应用，可以描述物体 的运动和振幅。
物理中的应用
复数在光学和量子力学中有重 要应用，可以描述光的干涉和 物质的量子态。
结语
复数的重要性
复数在数学和科学领域具有重要的地位，可以描述和解决许多实际问题。
《复数复习课》PPT课件
欢迎来到《复数复习课》！在本课程中，我们将深入了解复数的概念、运算 和性质，以及在实际中的应用。让我们开始吧！
复数概述
定义
复数是由实数和虚数构成的数，形式为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数形式
复数可以写成代数形式、指数形式和三角形式。
复数表示方法
复数可以用直角坐标系或极坐标系表示。
复数的运算
复数加法
复数相加的规则是将 实部相加，虚部相加。
复数法
复数相减的规则是将 实部相减，虚部相减。
复数乘法
复数相乘的规则是使 用分配律进行运算。
复数除法
复数除法的规则是求 复数的共轭，然后进 行乘法运算。
复数的性质
1 共轭复数
2 虚部为零的复数
共轭复数是将复数的虚部取负得到的新复数。
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
高三英语一轮复习名词变复数规则精选课件
名词单,复数形式变化
只有可数名词才有单数和复数两种 形式。
一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s
例：friend→ friends; cat→ cats; style→ styles; sport→ sports; piece→ pieces 。
二,凡是以s、x、ch、sh结尾的词， 在该词末尾加上后辍-es构成复数
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴 在我十八岁那年，我的父亲成了一个傻子。 我可能从没想过我的生活会因为这场意外而变得天翻地覆，我曾经一直想要逃离这个家，后来我的父亲傻了，我自由了，却发现已经无法割舍这里的一切。 一
key---keys
四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写词， 就加-es，否则加-s构成复数。
（有生命的加es，无生命的加s）
口诀：黑人和英雄吃土豆和西红柿 negroes and heroes eat tomatoes and potatoes 反例：radio—radios， piano →pianos（外来 词）; photo →photos; zoo- zoos，bamboobamboos，kimono--kimonos
• 部分单词的单复数同形 口诀：
• 中日警察好友来聚会，鹿、羊、鱼、牛齐 齐把家回。 解释：Chinese, Japanese ,police，people， deer, sheep, fish ，cattle
只有可数名词才有单数和复数两种 形式。
一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s
例：friend→ friends; cat→ cats; style→ styles; sport→ sports; piece→ pieces 。
二,凡是以s、x、ch、sh结尾的词， 在该词末尾加上后辍-es构成复数
唯用一枝瘦笔，剪一段旧时光，剪掉喧嚣尘世的纷纷扰扰，剪掉终日的忙忙碌碌。情也好，事也罢，细品红尘，文字相随，把寻常的日子，过得如春光般明媚。光阴珍贵，指尖徘徊的时光唯有珍惜，朝圣的路上做一个谦卑的信徒，听雨落，嗅花香，心上植花田，蝴蝶自会来，心深处自有广阔的天地。旧时光难忘，好的坏的一一纳藏，不辜负每一寸光阴 在我十八岁那年，我的父亲成了一个傻子。 我可能从没想过我的生活会因为这场意外而变得天翻地覆，我曾经一直想要逃离这个家，后来我的父亲傻了，我自由了，却发现已经无法割舍这里的一切。 一
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四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写词， 就加-es，否则加-s构成复数。
（有生命的加es，无生命的加s）
口诀：黑人和英雄吃土豆和西红柿 negroes and heroes eat tomatoes and potatoes 反例：radio—radios， piano →pianos（外来 词）; photo →photos; zoo- zoos，bamboobamboos，kimono--kimonos
• 部分单词的单复数同形 口诀：
• 中日警察好友来聚会，鹿、羊、鱼、牛齐 齐把家回。 解释：Chinese, Japanese ,police，people， deer, sheep, fish ，cattle
高考数学平面向量与复数复习课件
5
＝
13
+
12
5
i，所以＝
ҧ
13
13
所以其在复平面内对应的点位于第四象限．
故选D.
−
12
i
13
3．[2021·湖南永州三模] 已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i)(1＋ai)，
a∈R，若z∈R，则a＝(
)
1
1
A．
B. －
2
2
C. 2
D. －2
答案：B
解析：z＝(2＋i)(1＋ai)＝2－a＋ 1 + 2a i，
·
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数
的最值．
第2讲 平面向量与复数
微专题 1 复数
微专题 2 平面向量
微专题 1 复数
『常考常用结论』
1．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
点到原点距离的最大值是(
)
A．1
B. 3
C. 5
D. 3
答案：D
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|x＋(y－2)i|＝1，所以 x 2 + y − 2 2 ＝1，即x2＋(y－2)2＝1，
所以复数z对应的点的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，
所以|z|max＝2＋1＝3.
所以复平面内z对应的点到原点距离的最大值是3.
解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简
分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
微专题 2 平面向量
『常考常用结论』
1．向量平行(共线)：
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
复数复习课件
证明：（1（）12）
3 2
(1
1( 2
1 3 22
3
i2)3
i
)
(
1 2
3 i)2 2
1 2
3 2
i
(
1 2
)2
32 2
i )12 ( 2
1223i
3( 2
i
3 2)
i
)2
1 2
0;
3 2
i
1( 4
(
1 3 122)2
3
i2
(
3i)( 1
43
i
2 )2
3 i) 2
13
1
22
44
13
练习. 计算: (1+i)2= __2_i ; (1-i)2= _-_2_i;
22
典型例题：二、复数几何意义的运用
例2若复数z满足
1 z i，则
1 z
z +z+ z =3，则z对应点的轨迹
是____________.
解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆.
答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
23
例4 若 z 2，则 z i 的最大值为 . 例5 若 z bi(b R)，若使 z 2 i z 2 3i 的最
点z的集合是什么图形？
{ 解：4≤|z|<8 即
|z|≥4 |z|<8
o
x 48
|z|≥4的解集是圆|z|=4的外部所有
点组成的集合(包括圆)，
|z|<8的解集是圆|z|=8的内部所有 点组成的集合(不包括圆)，
故满足条件的点的集合是以原点为圆心， 分别以4、8为半径的圆所夹的圆环 (包括小圆但不包括大圆)。
复数复习课课件
概念回顾
1、复数的概念
形如a bi ,( a,b R )的数，叫做复数。
虚部 a叫做复数的____， b叫做复数的____。 实部
i2=___ 。 -1 i叫做 虚数单位 ， _______
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
2、复数的分类：
实数 b 0 复数z a bi b 纯虚数 a 0， 0 (a, b R) 虚数 b 0 b 非纯虚数 a 0， 0
虚数集
复数集 实数集
纯虚数集
讨论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
3、复数相等的充要条件： a=c a+bi=c+di b=d .
4、复数的模：
|a+bi|= 5、共轭复数：a+bi与a-bi互为 共轭复数 . 显然，任一实数的共轭复数是它算
1.复数的加法和减法
求实数x，y的值。
例4.计算下列各式的值。
（ (1 3 2i （2） 1 - i） 2i ) （） 1 1 i 2 3i
2i 练习.：(1) 1 2i
(2)已知复数Z满足Z(3+4i)=7+i,求|Z|.
课堂小结：
1、复数的概念。 2、复数的分类（实数、虚数、纯虚数） 3、复数相等的条件。 4、共轭复数和复数的模。 5、复数的运算。
练习： 1.设x，y∈R，并且
(x+y)+(y-1)i=(2x+y)+(2y+1)i，求x，y的值。
x=4，y=-2 2. 设复数 z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i
求实数x，y的值。
x=2，y=4
苏教版高三数学复习课件11.3 数系的扩充与复数的引入
2．设z＝－
答案：1
＋
i，则z3＝________.
琐的计算与技巧的训练．
2．虚数单位i的引入，使数的概念扩充到复数范围，理解好扩充
原则和复数的有关概念是解决简单复数问题的关键；复数问题实数化
是解决复数问题的基本思想方法． 3．高考对复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的几何意 义，一般是填空题，难度不大，预计今后的高考还会保持这个趋势．
是虚数单位)的形式，则p＋q＝________.
解析：因为(1－i)(1＋2i)2＝(1－i)·(1＋4i－4)＝(1－i)(4i－3)＝1＋
7i，所以p＋q＝8.
答案：8
3．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)复数(2＋i)i在复平面上对 应的点在第________象限．
解析：(2＋i)i＝－1＋2i，所以应填二．
可建立一一对应关系，构成点或点集．如x轴(实轴)表示所有实数组成
的点集，y轴(虚轴)表示所有纯虚数组成的点集(除原点外)．
【发散类比】
因本题的实部为－20，虚部为－2，可得到复数(z1－z2)i表示的点位
于第三象限，这也是高考中的一种常见题型.
1．复数z＝
答案：－1
的虚部是________．
则x＋(k＋2i)x0＋2＋ki＝0，
变式3：下列条件中，使复数z为实数的充分而不必要条件是 ________．
①z2为实数 ②z＋ 为实数 ③z＝
答案：④
④|z|＝z
1．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(3)
定义解题．
高三数学一轮复习课件——复数的三角形式(一)
π 同上例，将其视为第一象限的角， 同上例，将其视为第一象限的角，再用 ( − α ) 的诱 2
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
复数的三角形式16643PPT课件
7
例2：将下列复数化为三角形式；
① 2Co5 s iSin 52Co9 s5 iSin 95 ② 2Sin 34 iCo34 s 2Co7 s4 iSin 74 ③1 2Co3 siSi3 n1 2Co4s3 iSi4 n3
④ 2Co5 siSi5 n2Co4 s5 iSin 45
精品课件
8
（四）课堂练习：
把下列复数化成三角形式： （1）6 （2）-5 （3）2i （4）-I （5）-2+2i
解 (1)6(cos0+isin 0)
(2)5(cosπ+isinπ)
32Cos iSin
2
2
4Co3siSi3n
2
2
52 2Co3siSi3 n
4 精品课件4
9
二、复数三角形式的乘法和除法
• 乘法法则：模相乘， 幅角相加。
• 除法法则：模相除，幅角相减。
棣莫佛定理：复数的n次幂，等于模n次
幂，幅角n倍。
精品课件
10
三、复数的指数形式
• 欧拉公式：cosisinei
指 数 形 式 ： r ( c o s is in) r e i
精品课件
11
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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①r≥0。 ②加号连接。
③Cos在前，Sin在后。
④θ前后一致，可任意值。
精品课件
5
例1：把下列复数代数式化成三角式：
1 3i
解 r 312 3 i对 应 的 点 在 第 一 象
cos
高中数学(理)一轮复习课件：第5章 第36讲 复数的概念与运算
由条件(2)得(x－1)2＋y2－5＝0.②
由①②得x＝y＝2或x＝y＝－1，
故所求复数z＝2＋2i或z＝－1－i.
复数的四则运算
【例3】 设已知z，是复数， (1＋3i) z为纯虚数， z ＝ 且 ＝5 2，求. 2i
【解析】设z＝a＋bi(a，b R )， 则(1＋3i) z＝a－3b＋(3a＋b)i. z 由题意，a＝3b 0.又 ＝ | | ＝5 2， 2i 所以 z ＝ a 2 b 2＝5 10. 将a＝3b代入得a＝ 15，b＝ 5. 15 5i 所以＝ ＝ (7－i)． 2i
【解析】 1 0；
n 2 方法 1 ： ( 利用 i 的周期性)
原式＝(1＋2i－3－4i)＋(5＋6i－7－8i)＋ ＋(997＋998i－999－1000i)＝250(－2－2i) ＝－500－500i.
方法2： (错位相减法求和) 记S＝1＋2i＋3i 2＋＋1000i999，① 则iS＝i＋2i 2＋3i3＋＋999i999＋1000i1000 .② ①－②得 (1－i) S＝1＋i＋i 2＋＋i 999－1000i1000 1 i1000 ＝ －1000＝－1000， 1 i 1000 所以S＝ ＝－500－500i. 1 i
2i 2i1 i 解析：因为z i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i.
的虚部为 2
4.若复数z1 4 29i，z2 6 9i，则复数 z1 z2 i
解析： z1 z2 i 2 20i i 20 2i，所以复 数 z1 z2 i的虚部为 2
本题可以设出z的代数形式， 利用复数相等，列出方程组求出 z ，
也可直接解关于z的方程．
复习课(第2课时+复数)课件课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册
意义及复数的运算的几何意义.复数的几何意义体现了用几何图形的方法
研究代数问题的数学思想.
复数的加、减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则.由减
法的几何意义知,|z-z1|表示复平面内与复数z,z1分别对应的两点Z与Z1之间
1 (cos 1 + isin 1 ) 1
=
cos(1 -2 ) + isin(1 -2 ) (2 (cos 2 + isin 2 ) ≠ 0)
的乘、除运算 除法:
2 (cos 2 + isin 2 ) 2
要点梳理
1.请完成下表.
内容
意义
一般地,当a与b都是实数时,称a+bi
(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,该复数为实数.
(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,该复数为虚数.
2 -5-6 ≠ 0,
(3)当 2
即 k=4 时,该复数为纯虚数.
-3-4 = 0,
2 -3-4 = 0,
(4)当 2
即 k=-1 时,该复数为 0.
-5-6 = 0,
所对应的向量就是.
*4.复数的代数形式与三角形式怎样转化?
提示:非零复数z=a+bi=r(cos θ+isin θ)(a,b∈R),其中,r为在复平面内复数z
对应的向量 的模;θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角.
*5.复数三角形式乘、除运算的运算法则及几何意义是怎样的?设
z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2).请完成下表:
(3)复数加、减法的几何意义
①复数加法的几何意义
六年级名词变复数复习课件
选择题3：以下哪个词的复数形式是错误的？
选择题
01
A. mouse(s)
02 03
B. man(s) C. woman(s)
04
D. child(ren)
填空题
填空题1：请填写正确的名词复数形式 1. I have three ____(tooth).
2. They are ____ (sheep).
ANALYSIS
SUMMAR Y
填空题
3. We saw many ____ (fox) in the zoo.
1. There are two ____ (potato) in the bag.
填空题2：请填写正 确的名词复数形式
填空题
2. I like eating ____ (carrot).
3. The ____ (tomato) are red and ripe.
翻译题
翻译题1：请将以下中文翻译成 英文
1. 我有三个苹果。 (I have three apples.)
2. 那些是绵羊。 (Those are sheep.)
翻译题
3. 我们看到动物园里有很多狐 狸。 (We saw many foxes in
the zoo.)
翻译题2：请将以下英文翻译成 中文
在此添加您的文本16字
解析：以f, fe结尾的名词，变复数时去掉f或fe，加ves， 例如：shelf→shelves。
在此添加您的文本16字
填空题3答案：radios
在此添加您的文本16字
解析：以辅音字母加y结尾的名词，变复数时直接加s，例 如：family→families。
翻译题答案及解析
翻译题1答案
选择题
01
A. mouse(s)
02 03
B. man(s) C. woman(s)
04
D. child(ren)
填空题
填空题1：请填写正确的名词复数形式 1. I have three ____(tooth).
2. They are ____ (sheep).
ANALYSIS
SUMMAR Y
填空题
3. We saw many ____ (fox) in the zoo.
1. There are two ____ (potato) in the bag.
填空题2：请填写正 确的名词复数形式
填空题
2. I like eating ____ (carrot).
3. The ____ (tomato) are red and ripe.
翻译题
翻译题1：请将以下中文翻译成 英文
1. 我有三个苹果。 (I have three apples.)
2. 那些是绵羊。 (Those are sheep.)
翻译题
3. 我们看到动物园里有很多狐 狸。 (We saw many foxes in
the zoo.)
翻译题2：请将以下英文翻译成 中文
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解析：以f, fe结尾的名词，变复数时去掉f或fe，加ves， 例如：shelf→shelves。
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填空题3答案：radios
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解析：以辅音字母加y结尾的名词，变复数时直接加s，例 如：family→families。
翻译题答案及解析
翻译题1答案
第3讲平面向量和复数-2021届高三高考数学二轮复习课件
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
2．(2020·吉安一模)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E
为 AO 的中点，若D→E＝λA→B＋μA→D(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 等于
( A)
A．－12
B．12
分值 10 10
10
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
年份 卷别
Ⅰ卷 2019
Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 1、8
2、3 2、13
考查角度 复数的乘法运算，复数模的计算；向 量的数量积及各个向量的模，在利用 向量夹角公式求出夹角的余弦值，求 出夹角 数的运算及共轭复数；平面向量模长 的计算 复数的商的运算；复数的商的运算，
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
● (理科)
年份 卷别 Ⅰ卷
Ⅱ卷 2020
Ⅲ卷
题号
考查角度
1
复数的运算法则和复数的模的求解
向量垂直的充分必要条件；复数模长 13、15
的求解、复数及其运算的几何意义
复数的除法运算；平面向量数量积的
2、6 计算以及向量模的计算、平面向量夹
一组基底．
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
● 考向1 平面向量的线性运算
1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若O→A＝a，O→B＝b，O→C
＝c，B 是线段 AC 靠近点 C 的一个四等分点，则下列等式成立的是
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
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2．(2020·吉安一模)如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E
为 AO 的中点，若D→E＝λA→B＋μA→D(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 等于
( A)
A．－12
B．12
分值 10 10
10
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
年份 卷别
Ⅰ卷 2019
Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 1、8
2、3 2、13
考查角度 复数的乘法运算，复数模的计算；向 量的数量积及各个向量的模，在利用 向量夹角公式求出夹角的余弦值，求 出夹角 数的运算及共轭复数；平面向量模长 的计算 复数的商的运算；复数的商的运算，
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
● (理科)
年份 卷别 Ⅰ卷
Ⅱ卷 2020
Ⅲ卷
题号
考查角度
1
复数的运算法则和复数的模的求解
向量垂直的充分必要条件；复数模长 13、15
的求解、复数及其运算的几何意义
复数的除法运算；平面向量数量积的
2、6 计算以及向量模的计算、平面向量夹
一组基底．
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
● 考向1 平面向量的线性运算
1．(2020·吉林省重点高中第二次月考)如图，若O→A＝a，O→B＝b，O→C
＝c，B 是线段 AC 靠近点 C 的一个四等分点，则下列等式成立的是
第3讲平面向量和复数-2021届高三高 考数学 二轮复 习课件
第5章 §5.5 复 数--新高考数学新题型一轮复习课件
ac＋bd bc－ad ④除法：zz12＝ac＋＋dbii＝((ac＋＋dbii))((cc－－ddii))＝ c2＋d2 ＋ c2＋d2 i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意 义，即O→Z＝ O-→Z1＋O-→Z2 ，Z-→1Z2＝ O-→Z2－O-→Z1 .
方法二 因为(1＋ai)i＝3＋i，所以 1＋ai＝ i ＝1－3i，所以 a＝－3.
z(1＋i)i3 (2)(2022·新余模拟)若复数 z 满足 2－i ＝1－i，则复数 z 的虚部为
A.i
B.－i
√C.1
D.－1
z(1＋i)i3 ∵ 2－i ＝1－i，∴z(1＋i)(－i)＝(2－i)(1－i)， ∴z(1－i)＝(2－i)(1－i)，∴z＝2－i， ∴ z ＝2＋i，∴ z 的虚部为 1.
3－i (3－i)(1－i)
故 z4＝1＋i＝
2
＝1－2i.
所以z4的虚部是－2.
思维升华
(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算. (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭 复数.
跟踪训练2 (1)(2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z等于
A.－3－4i
B.－3＋4i
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB， 则 z1－z2 对应向量B→A，且|O→A|＝|A→C|＝|O→C|＝2， 可得|B→A|＝2|O→A|sin 60°＝2 3. 故|z1－z2|＝|B→A|＝2 3.
教师备选
1.(2020·北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z等于
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复数单元复习
【复习目标】：
掌握复数的基本题型，主要是讨论复数
的概念，复数相等，复数的运算及几何 表示，计算复数的模，共轭复数等问题。
一、基本知识
1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位i，规定： （1）它的平方等于-1，即
i
思考：in
4n
2
1
i, i
4 n 2
有什么特点吗？
4 n1
i 1, i
三、复数的几何运算：
复数的几何运算转化为向量的几何运算
如下图所示：
复数加法的几何运算
设OZ1， OZ 2分Байду номын сангаас与
y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
复数a + bi,c + di对应， 则OZ1 = (a,b),OZ 2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算，
O
x
得OZ = OZ1 + OZ 2 OZ1 + OZ 2 = (a + c,b + d).
【知识要点】
二、复数的代数运算：
设z1 a bi, z2 c di,(a, b, c, d R ) 则(1)z1 z2 (a c) (b d )i (2) z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i z1 a bi (a bi )(c di ) ac bd bc ad (3) 2 2 2 2i z2 c di (c di )(c di ) c d c d
复数减法的几何运算
设OZ1， OZ 2分别与
y
Z2(c,d)
复数a + bi,c + di对应，
OZ1-OZ2
则OZ1 = (a,b),OZ 2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算， 得OZ = OZ1 - OZ 2 OZ1 - OZ 2 = (a - c,b - d).
Z1(a,b)
O
x Z
1, i
4 n 3
i
可以把它推广到n∈Z.
2、复数的代数形式： Z=a+bi,(a,b∈R), a----实部，b----虚部， i是虚数单位 3、复数的分类： 复数z=a+bi (a,b∈R)
实数(b = 0) 虚数(b 0)
纯虚数(a = 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
复平面内与一对共轭复数对应的 点Z 和 Z 关于实轴对称.
b o -b
Z :a-bi
x
5、复数的模：
设z a bi, (a, b R), 则复数z的模 z a 2 b 2
【知识要点】
6.复数的两个几何意义： 一一对应
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ 即：复平面内任意一点 Z(a,b)可以与以原点 为起点，点 Z(a,b) 为终点的向量 OZ 对应。
4、复数的相等： a+bi与c+di相等的充要条件是： a=c且b=d. 注：两个实数可以比较大小，两个复数不能比较大小， 只能说相等或不相等.
4、共轭复数： 一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数.
设z a bi,(a, b R) 则z=a-bi,(a,b R) y Z:a+bi 特别地，实数的共轭复数是实数本身。
【变式训练】
1.已知复数
x x 2 ( x 3x 2)i 是4 20i的
2 2
共轭复数，求x的值． 2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点在直线x+y+4=0上，求实数m的值。
【作业布置】 1、优化设计 本章整合选择填空题 2、预习2-3
【复习目标】：
掌握复数的基本题型，主要是讨论复数
的概念，复数相等，复数的运算及几何 表示，计算复数的模，共轭复数等问题。
一、基本知识
1.虚数单位是怎样定义的？
虚数单位i，规定： （1）它的平方等于-1，即
i
思考：in
4n
2
1
i, i
4 n 2
有什么特点吗？
4 n1
i 1, i
三、复数的几何运算：
复数的几何运算转化为向量的几何运算
如下图所示：
复数加法的几何运算
设OZ1， OZ 2分Байду номын сангаас与
y
Z2(c,d)
Z
Z1(a,b)
复数a + bi,c + di对应， 则OZ1 = (a,b),OZ 2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算，
O
x
得OZ = OZ1 + OZ 2 OZ1 + OZ 2 = (a + c,b + d).
【知识要点】
二、复数的代数运算：
设z1 a bi, z2 c di,(a, b, c, d R ) 则(1)z1 z2 (a c) (b d )i (2) z1 z2 (ac bd ) (ad bc)i z1 a bi (a bi )(c di ) ac bd bc ad (3) 2 2 2 2i z2 c di (c di )(c di ) c d c d
复数减法的几何运算
设OZ1， OZ 2分别与
y
Z2(c,d)
复数a + bi,c + di对应，
OZ1-OZ2
则OZ1 = (a,b),OZ 2 = (c,d). 由平面向量的坐标运算， 得OZ = OZ1 - OZ 2 OZ1 - OZ 2 = (a - c,b - d).
Z1(a,b)
O
x Z
1, i
4 n 3
i
可以把它推广到n∈Z.
2、复数的代数形式： Z=a+bi,(a,b∈R), a----实部，b----虚部， i是虚数单位 3、复数的分类： 复数z=a+bi (a,b∈R)
实数(b = 0) 虚数(b 0)
纯虚数(a = 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b 0)
复平面内与一对共轭复数对应的 点Z 和 Z 关于实轴对称.
b o -b
Z :a-bi
x
5、复数的模：
设z a bi, (a, b R), 则复数z的模 z a 2 b 2
【知识要点】
6.复数的两个几何意义： 一一对应
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ 即：复平面内任意一点 Z(a,b)可以与以原点 为起点，点 Z(a,b) 为终点的向量 OZ 对应。
4、复数的相等： a+bi与c+di相等的充要条件是： a=c且b=d. 注：两个实数可以比较大小，两个复数不能比较大小， 只能说相等或不相等.
4、共轭复数： 一般地，当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数.
设z a bi,(a, b R) 则z=a-bi,(a,b R) y Z:a+bi 特别地，实数的共轭复数是实数本身。
【变式训练】
1.已知复数
x x 2 ( x 3x 2)i 是4 20i的
2 2
共轭复数，求x的值． 2. 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对 应的点在直线x+y+4=0上，求实数m的值。
【作业布置】 1、优化设计 本章整合选择填空题 2、预习2-3