复数的概念PPT优秀课件
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新授课
实部
复数的表示：
虚部
a bi ( a , b R ) 通常用字母 z 表示，即 z 当 b0 时，z 是实数a． 复数
当 b0 时，z 叫做虚数． 当a=0且 b0时，z =bi 叫做纯虚数．
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
两个复数相等的定义：如果两个复数的 实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能 比较大小”对吗？不对 如果两个复数 都是实数，就可以比较大小 只有当两 个复数不全是实数时才不能比较大小
4.1复数的概念
Ssxxcyh
4.1 复数的概念
知识回顾
2 2 bx c 0 对于实系数一元二次方程 ax ，当时 b ， 4 ac 0
没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，
该问题能得到圆满解决呢？
解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类 社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于 计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示 “没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了 解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量 以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就 把数集扩充到有理数集Q. 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在 一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分 数，那么有理数集实际上就是分数集
课堂练习： 1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B= ｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确 的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实 1 1 数x满足( ) 2 2 A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2
1 1 3 i , 3 i , i , 3 5 i 复数的实 例1请说出 2 2 3
部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数 z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x， y∈R，求x与y.
4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数 实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即
i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立． bi ( a , b R ) 形如 a 的数，叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
b
Z(a，b)
o
a
x
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫 做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应 的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上 的点都表示纯虚数
因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来 说，也解决了在原有数集中某种运算不 是永远可以实施的矛盾，分数解决了在 整数集中不能整除的矛盾，负数解决了 在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程 还是无解的，因为没有一个实数的平方 等于－1.由于解方程的需要，人们引入 了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生 的了复数
共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 ｚ表示．若 z=a+bi(a、b∈R) ，则 z=a－bi （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数 的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 ｚ 关于实轴对称．
复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一 对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、 b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有 序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应的关系. y
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一 一对应关系，即 一 一 对 应 i 复数 z ab 复平面内的点Z ( a , b ) 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有 复ห้องสมุดไป่ตู้面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法
有些量与量之间的比值，例如用正方形 的边长去度量它的对角线所得的结果， 无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.所谓无理数，就是 无限不循环小数.有理数集与无理数集合 并在一起，构成实数集R.因为有理数都 可看作循环小数(包括整数、有限小数)， 无理数都是无限不循环小数，所以实数 集实际上就是小数集
RQ Z
N
N
Z
Q
R
C
很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=±I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =i ( n∈N ) 以上性质叫 i 的周期性.
4.1 复数的概念
实部
复数的表示：
虚部
a bi ( a , b R ) 通常用字母 z 表示，即 z 当 b0 时，z 是实数a． 复数
当 b0 时，z 叫做虚数． 当a=0且 b0时，z =bi 叫做纯虚数．
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
两个复数相等的定义：如果两个复数的 实部和虚部分别相等，那么我们就说这 两个复数相等这就是说，如果a，b，c， d∈R，那么a+bi=c+di 有 a=c，b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集 中解方程的重要依据 一般地，两个复 数只能说相等或不相等，而不能比较大 小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 现有一个命题：“任何两个复数都不能 比较大小”对吗？不对 如果两个复数 都是实数，就可以比较大小 只有当两 个复数不全是实数时才不能比较大小
4.1复数的概念
Ssxxcyh
4.1 复数的概念
知识回顾
2 2 bx c 0 对于实系数一元二次方程 ax ，当时 b ， 4 ac 0
没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，
该问题能得到圆满解决呢？
解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类 社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于 计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示 “没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N 随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了 解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题， 人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量 以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就 把数集扩充到有理数集Q. 如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在 一起，构成整数集Z，如果把整数看作分母为1的分 数，那么有理数集实际上就是分数集
课堂练习： 1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B= ｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确 的是( ) A.A∪B=C B. A=B C.A∩B= D.B∪B=C 2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实 1 1 数x满足( ) 2 2 A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2 D.x≠1且x≠－2
1 1 3 i , 3 i , i , 3 5 i 复数的实 例1请说出 2 2 3
部和虚部，有没有纯虚数？ 例2 复数－2i+3.14的实部和虚部是什么？ 例3实数m取什么数值时，复数 z=m+1+(m－1)i是: (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 例4 已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x， y∈R，求x与y.
4.1 复数的概念
自然数 数 系 的 扩 充 整数 有理数 无理数 实数 复数
4.1 复数的概念
新授课 引入一个新数 i ，i叫做虚数单位，并规定： （1）它的平方等于-1，即
i2 1
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有 的加、乘运算律仍然成立． bi ( a , b R ) 形如 a 的数，叫做复数． 全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
b
Z(a，b)
o
a
x
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数 z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫 做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应 的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上 的点都表示纯虚数
因生产和科学发展的需要而逐步扩充， 数集的每一次扩充，对数学学科本身来 说，也解决了在原有数集中某种运算不 是永远可以实施的矛盾，分数解决了在 整数集中不能整除的矛盾，负数解决了 在正有理数集中不够减的矛盾，无理数 解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩 到实数集R以后，像x2=－1这样的方程 还是无解的，因为没有一个实数的平方 等于－1.由于解方程的需要，人们引入 了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生 的了复数
共轭复数 （1）当两个复数实部相等，虚部互为相反 数时，这两个复数叫做互为共轭复数。 （虚部不为零也叫做互为共轭复数） （2）复数z的共轭复数用 ｚ表示．若 z=a+bi(a、b∈R) ，则 z=a－bi （3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数 的共轭复数是它的相反数． （4）复平面内表示两个共轭复数的点z与 ｚ 关于实轴对称．
复平面、实轴、虚轴： 复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一 对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi (a、 b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有 序实数对(a，b)惟一确定，又因为有序实数对(a， b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的， 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集 之间可以建立一一对应的关系. y
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一 一对应关系，即 一 一 对 应 i 复数 z ab 复平面内的点Z ( a , b ) 复数复平面内的点这是因为，每一个复数有 复ห้องสมุดไป่ตู้面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和 它对应. 这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另 一种表示方法，即几何表示方法. z=a+bi(a、b∈R)是复数的代数表示法
有些量与量之间的比值，例如用正方形 的边长去度量它的对角线所得的结果， 无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.所谓无理数，就是 无限不循环小数.有理数集与无理数集合 并在一起，构成实数集R.因为有理数都 可看作循环小数(包括整数、有限小数)， 无理数都是无限不循环小数，所以实数 集实际上就是小数集
RQ Z
N
N
Z
Q
R
C
很明显, 引进虚数单位后, 有 i 2 = -1, (i)2=i 2=-1, 所以方程 x2=-1 的解是 x=±I 虚数单位的幂的性质: i 4n =1, i 4n+1 =i, i 4n+2 =-1, i 4n+3 =i ( n∈N ) 以上性质叫 i 的周期性.
4.1 复数的概念