3.2平面直角坐标系的两点距离(数轴或直角坐标系)
3.2平面直角坐标系的两点距离(数轴或直角坐标系)
平面上两点间的距离公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
y
A(x1 ，y1) O
B(x2，y2)
AB2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
P(x2,y1)
x
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
例1 求下列两点间的距离：
（1）A(- 1, 0), B(2,3) （2）A(4,3), B(7,- 1)
点A (3,2)到x轴的距离 2 到y轴的距离 3
到原点的距离
y3
A(3,2)
2
32 +22
= 13
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
-3
-4
过点A作x轴的垂线段的长度叫做点到x轴的距离.
过点A作y轴的垂线段的长度叫做点到y轴的距离.
点A (3,2)到x轴的距离 -2 =2
到y轴的距离 -3 =3
当B为原点时，AB= x12 y12
一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2， y2)，则A,B两点间的距离公式为
| AB | ( x2 x1)2 ( y2 y 1)2
点A 到x轴的距离是3，
到y轴的距离是4，则点A坐标为
。
点A到原点的距离是
。
若点A在第三象限，则点A坐标为
。
已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5， 求P点的坐标
P(5,2) 或P(5,-2) 或P(-5,2)或P(-5,-2)
2. 点C到x轴的距离为1，
到y轴的距离为3，
则C点坐标是
。
(3,1) 或(-3,1)或 (-3,-1)或 (3,-1)
3.2 平面直角坐标系(课件)北师大版数学八年级上册
对称关系、平行关系、中点等 .
3.建立平面直角坐标系的方法是不唯一的，选择不同的
位置作为原点 ,其他位置的坐标是不同的 .
知4－练
例5 [母题 教材P60随堂练习]根据下面的条件画一幅示意图， 并在图中标出各个景点的位置和坐标. 菊花园：从中心广场向北走150 m，再向东走150 m. 湖心亭：从中心广场向西走150 m，再向北走100 m. 松风亭：从中心广场向西走100 m，再向南走50 m. 育德泉：从中心广场向北走200 m.
离为|b|，到 y 轴的距离为|a|，到原点的距离为 a2+b2 .
知2－练
例2 [母题 教材P59例1 ]如图3-2-2，写出点A，B，C，D， E，F，G，O的 坐标.
知2－练
解题秘方：紧扣点的坐标的定义，利用过点向两坐标 轴作垂线，用垂足表示的数求点的坐标.
解：A(3，4)，B(－6，4)，C(－5，－2)，D(－5，2)， E(0，3)，F(2，0)，G(－4，0)，O(0，0).
知4－练
例6 [母题 教材P65例3]如图 3-2-6，已知正方形 ABCD 的
边长为4，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点
的坐标．
(1)如果以点 C 为坐标原点，分别以 CB， CD 所在的直知线4－为练 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，那么各个顶点的坐标分 别为 C(0，0)， A _______， B_______ ， D _______；
解：根据题意，可得点 A(2，2)，点 B(2， －2)， 点 C(－2， －2)，点 D(－2，2) .
知4－练
6-1.如图，建立适当的直角坐标系，写出这个六角星 6 个 顶点 A， B， C，D， E， F 的坐标．
八年级数学上册 3.2.2 平面直角坐标系教案 北师大版(2021学年)
八年级数学上册３.２.2 平面直角坐标系教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册3.２.2 平面直角坐标系教案(新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为八年级数学上册3.2.2 平面直角坐标系教案（新版)北师大版的全部内容。
课题:3。
2.２平面直角坐标系教学目标：1.在给定的直角坐标系下,会根据坐标描出点的位置。
通过找点、连线、观察,确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.2.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
知道不同象限点的坐标的特征。
３.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由坐标找点等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识,培养学生的合作交流能力。
教学重点与难点:重点:在已知的直角坐标系下找点、连线、观察,确定图形的大致形状。
难点：在已知的直角坐标系下找点、连线、观察,确定图形的大致形状;熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定.课前准备:多媒体课件。
教学过程：一、复习回顾,引入新课（一)复习(课件展示）1．平面上组成平面直角坐标系, 叫x轴(横轴),取向为正方向, 叫y轴（纵轴），取向为正方向。
两轴的交点是．这个平面叫平面.2.如何划分象限？3.点的坐标如何确定？处理方式：问题１、2、3由学生口答完成,教师课件展示。
第１题：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴叫ｘ轴（横轴）,取右为正方向，铅直的数轴叫y轴（纵轴),取向上为正方向。
3.2《平面直角坐标系》(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面直角坐标系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对坐标系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.2《平面直角坐标系》（教案）
一、教学内容
3.2《平面直角坐标系》：本节课我们将围绕以下内容展开：
1.平面直角坐标系的定义与性质；
2.坐标平面上的点与坐标表示方法；
3.坐标轴上点的坐标特点；
4.两个坐标轴将平面分为的四个象限及其特点；
5.各象限内点的坐标规律；
6.相邻象限内点的坐标关系；
7.平行于坐标轴的直线上的点的坐标规律；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平面直角坐标系的基本概念。平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成的，它可以准确地表示平面上的点。它是解析几何的基础，对于解决实际问题非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过地图上的坐标系，我们可以找到某个地点的精确位置，并计算两点之间的距离。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解坐标系概念和坐标表示方法方面存在一定难度。在讲解过程中，我尽量使用简洁明了的语言和丰富的实例，帮助他们更好地理解。但我也意识到，对于这部分内容，可能需要更多的时间让学生去消化和吸收。在接下来的教学中，我会适当调整教学节奏，给学生更多思考和提问的机会。
再谈谈实践活动，学生们在分组讨论和实验操作环节表现出了很高的热情。他们通过实际操作，对坐标系有了更直观的认识。但同时，我也注意到部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强对学生的引导，培养他们的自主学习能力。
高中数学必修课件第二章平面直角坐标系中的距离公式
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。
北师大版数学八上 3.2 平面直角坐标系 课件
A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限
解析：如图，分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线画出平行四边形， 可知第四个顶点不可能在第三象限。
板书设计
平面直角坐标系
（-，+） （+，+） （-，-） （+，-）
大成殿: ； 中心广场: ； 碑林: 。
建入坐标
1)小红在旅游示意图上画上了方 格，标上数字，并用(0，0)表示 科技大学的位置，用(5，7)表示 中心广场的位置，那么钟楼的位 置如何表示？ 【（3,8）】 (3，5)表示哪个地点的位置？
【大成殿】
12
11 10
9 8
7 6 5
4 3
2 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011
课 堂 练 习 【综合实践类作业】
7、 点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且在y轴的左侧， 则P点的坐标是 __________________
解∵P（x，y）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴x=±3，y=±2； 又∵点P在y轴的左侧， ∴点P的横坐标x=-3， ∴点P的坐标为（-3，2）或（-3，-2）．
A. 5
B. 11
C. 13
ห้องสมุดไป่ตู้D.2
布 置 作 业 【知识技能类作业 选做题】
6.已知点的坐标为（-5，-8），那么该点到y轴的距离为 5 。
7.若P(a+2，a-1)在y轴上，则点P的坐标是 （0，-3） 。
.
8.点P在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标
是 （-3,2）。 9.在平面直角坐标系中，点A是y轴上一点，若它的坐标为（a﹣1，a+1），
必修二示范教案空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
两点间的距离公式-PPT课件
设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
高效课堂
•●互动探究
•求平面上两点间距离
∴kAEkBF＝12×(－2)＝－1，即 BF⊥AE.
•●探索延拓
•两点间距离公式的应用
•
已知△ABC的三个顶点坐标是A(1，
－1)，B(－1,3)，C(3,0)．
• (1)判定△ABC的形状；
• (2)求△ABC的面积．
• [探究] 可按照以下流程进行思考：
• [解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形， 下面进行验证
• A．等边三角形 B．直角三角形 • C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 • [答[解案析]] ∵C|AB|＝ 4－22＋3－12＝2 2，
|AC|＝ 0－22＋5－12＝2 5，
|BC|＝ 5－32＋0－42＝2 5，
∴|AC|＝|BC|.
又∵A、B、C 三点不共线，∴△ABC 为等腰三角形．
当堂检测
• A．重合 B．平行 • C．垂直 D．相交但不垂直 • [答案] A
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a
的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
• [答案] C
• 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点， 且平行于直线x－2x－y＝2y＋0的11＝直0 线方程是 ______________.
解得 x＝11 或 x＝－5. ∴点 P 的坐标为(－5,0)或(11,0)．
初中北师大版数学八年级上册3.2【教学设计】《 平面直角坐标系》
《平面直角坐标系》第1课时《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容。
本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础。
《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。
【知识与能力目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；2、认识并能画出平面直角坐标系；3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。
【过程与方法目标】1．通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识；2．通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力。
【情感态度价值观目标】由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
【教学重点】1．理解平面直角坐标系的有关知识；2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标；3．由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。
【教学难点】1．横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究；2．坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。
学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片，三角板。
高中数学学案北师大版必修2 平面直角坐标系中的距离公式 教案
教学设计1．5平面直角坐标系中的距离公式第1课时整体设计教学分析在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性．课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生去主动地发现问题和解决问题，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则．根据这样的原则及所要完成的教学目标，采用如下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法．三维目标1．使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程，通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．2．能灵活运用此公式解决一些简单问题，使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题，培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．重点难点教学重点：①平面内两点间的距离公式．②如何建立适当的直角坐标系．教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题．课时安排1课时教学过程导入新课已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.推进新课新知探究提出问题①如果A，B是x轴上两点，C，D是y轴上两点，它们坐标分别是x A，x B，y C，y D，那么|AB|，|CD|又怎样求？②求B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家总结一下我们是怎样推导出来的(回忆过程).活动：①可由图形观察得出．②通过观察图1，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到距离．图1 图2③在直角坐标系中，已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如图2从P1，P2分别向x轴和y 轴作垂线P1M1，P1N1和P2M2，P2N2，垂足分别为M1(x1,0)，N2(0，y1)，M2(x2,0)，N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2.因为|P1Q|＝|M1M2|＝|x2－x1|，|OP2|＝|N1N2|＝|y2－y1|，所以|P1P2|2＝|x2－x1|2＋|y2－y1|2.由此得到两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离公式为|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④我们先计算在x轴和y轴两点间的距离；又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形；猜想了任意两点距离公式；最后得到平面上任意两点间的距离公式．这种由特殊到一般、由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法．同学们在做数学题中可以采用！讨论结果：①|AB|＝|x B－x A|，|CD|＝|y D－y C|.②B到原点距离是5.③|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.④略．应用示例思路1例1 求下列两点间的距离：(1)A (－1,0)，B (2,3)；(2)A (4,3)，B (7，－1)．解：(1)|AB |＝(2＋1)2＋(3－0)2＝32；(2)|AB |＝(7－4)2＋(－1－3)2＝5.例2 已知△ABC 的三个顶点是A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，试判断△ABC 的形状．图3解：如图3，因为|BC |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1＋34＝1， |AB |＝2，|AC |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3， 有|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以△ABC 是直角三角形．例3 △ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，求证：△ABC 为等腰三角形． 解：作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．如图4.图4设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以由距离公式可得b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(c －d )，即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )． 又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．点评：根据图形特点，建立适当的直角坐示系，利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标的方法，也称为解析法．思路2例1 如图5，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(－4,8)，另一个端点B的纵坐标点3，求这个端点的横坐标，并画出这个点．图5 图6解：设B点坐标为(x,3)，根据|AB|＝13，得(x＋4)2＋(3－8)2＝132，解得x＝8或x＝－16.画点B或B′(如图6)．点评：学生先找点，有可能找不全丢掉点，而用代数解比较全面．也可以引至：到A(－4,8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)，是以A点为圆心，13为半径的圆上与y＝3的交点，应交出两个点．变式训练已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是有|P A|＝(x＋1)2＋(0－2)2，|PB|＝(x－2)2＋(0－7)2.由|P A|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.即所求点P的坐标为(1,0)．所以|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.例2 求证：平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和．活动：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤．证明：建立直角坐标系，如图7，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．图7设B(a,0)，D(b ，c)，由平行四边形的性质知点C 的坐标为(a ＋b ，c)，因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2＝|BC |2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a 2＋b 2＋c 2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2，即平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．点评：上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：第一步，建立直角坐标系，用坐标表示有关的量；第二步，进行有关代数运算；第三步，把代数结果“翻译”成几何关系． 变式训练△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2)．证明：如图8取线段BC 所在的直线为x 轴，点D 为原点，建立直角坐标系，设点A 的坐标为(b ，c )，点C 的坐标为(a,0)，则点B 的坐标为(－a,0)，图8可得|AB |2＝(a ＋b )2＋c 2，|AC |2＝(a －b )2＋c 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|OC |2＝a 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AD |2＋|DC |2＝a 2＋b 2＋c 2.所以，|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|DC |2).知能训练1．在x 轴上求一点P ，使P 点到A (—4,3)和B (2,6)两点的距离相等．2．求在数轴上，与两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标．3．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形解答：1．设点P 坐标为(x,0)，由P 点到A (－4,3)和B (2,6)两点的距离相等知，(x ＋4)2＋32＝(x－2)2＋62，解得x ＝54，即点P 坐标为⎝⎛⎭⎫54，0. 2．当在x 轴上时，设点P (x,0)，则(x ＋1)2＋9＝(x －2)2＋16，解得x ＝53，所以点P 为⎝⎛⎭⎫53，0. 当在y 轴上时，设点P (0，y )，则1＋(y －3)2＝4＋(y －4)2，解得y ＝5，所以点P 为(0,5)．综上，到两点A (－1,3)，B (2,4)等距离的点的坐标为⎝⎛⎭⎫53，0或(0,5)．3．C 提示：由两点间的距离公式可得|BC |＝|AC |≠|AB |.拓展提升已知0＜x ＜1,0＜y ＜1，求使不等式x 2＋y 2＋x 2＋(1－y )2＋(1－x )2＋y 2＋(1－x )2＋(1－y )2≥22中的等号成立的条件．答案：x ＝y ＝12.[提示：可看作是求到(0,0)，(0,1)(1,0)，(1,1)这四个点的距离的和为22的点的坐标．] 课堂小结通过本节学习，要求大家：①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程．②能灵活运用此公式解决一些简单问题．③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题．④通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几何问题的重要性．⑤培养勇于探索、善于发现、独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质．作业习题2—1 A 组10,11,12.设计感想通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳，这样更有利于学生掌握知识．为了加深知识理解，掌握和更灵活地运用所学知识去主动的发现问题、解决问题，更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习．本节课处理过程力求达到解决如下问题：知识是如何产生的？又如何从实际问题抽象成为数学问题，并赋予抽象的数学符号和表达式？如何反映生活中客观事物之间简单的和谐关系？特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课辅助知识产生、发展和突破重难点的优势．备课资料笛卡儿我们现在所用的直角坐标系，通常叫作笛卡儿直角坐标系．是从笛卡儿(Descartes R ．,1596.3.31—1650.2.11)引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分．法国数学家拉格朗日(Lagrange J ．L.,1736.1.25—1813.4.10)曾经说过：“只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄．但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力．从那以后，就以快速的步伐走向完善．”笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺，它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一．笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家．笛卡儿的父亲是一位律师．当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师．他于1617年进入军队．在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学．后来他回到巴黎，被望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题．他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》《世界体系》《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》(包括三个著名的附录：《几何》《折光》和《陨星》)，还有《哲学原理》和《音乐概要》等．其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想．笛卡儿于1649年被邀请去瑞典做女皇的教师．斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了，他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁．笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘．那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达．一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷．他好奇地走到跟前，但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听，有一位能听懂法语的过路人不以为然地看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛．要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案．这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼，出乎意料的是，第二天，笛卡儿真的带着全部问题的答案见他来了；尤其使别克曼吃惊的是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有，于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客．笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语．这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础．而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命：有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵．没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢劫他们钱财的事．笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国．在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹杀不了他对荷兰的美好回忆．正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》，此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝．笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎．开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地——神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓，法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿．(设计者：释翠香)第2课时整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容，它是解决点线、线线间的距离的基础，也是研究直线与圆的位置关系的主要工具．点到直线的距离的公式的推导方法很多，可探究的题材非常丰富．除了本节课可能探究到的方法外，还有应用三角函数、应用向量等方法．因此“课程标准”对本节教学内容的要求是：“探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离．”希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想、化归思想和分类方法，由浅入深、由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维．三维目标1．让学生掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新．3．培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点教学重点：点到直线距离公式的推导和应用．教学难点：对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立．课时安排1课时教学过程导入新课点P(0,5)到直线y＝2x的距离是多少？更进一步，在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0，y0)，直线l的方程是Ax＋By＋C＝0，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢？这节课我们就来专门研究这个问题．推进新课新知探究提出问题①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 均不为0)，求点P 到直线l 的距离．你最容易想到的方法是什么？各种做法的优缺点是什么？②前面我们是在A ，B 均不为零的假设下推导出公式的，若A ，B 中有一个为零，公式是否仍然成立？③回顾前面证法1的证明过程，同学们还有什么发现吗？(如何求两条平行线间的距离) 活动：①请学生观察下面三种特殊情形中的结论：(Ⅰ)x 0＝0，y 0＝0时，d ＝|C |A 2＋B 2； (Ⅱ)x 0≠0，y 0＝0时，d ＝|Ax 0＋C |A 2＋B 2； (Ⅲ)x 0＝0，y 0≠0时，d ＝|By 0＋C |A 2＋B 2. 观察、类比上面三个公式，能否猜想：对任意的点P (x 0，y 0)，d ＝？学生应能猜想：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 求点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离的一般步骤，其算法可用如下流程图表示：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离记为d ，用上述方法，我们可以得到d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. 这就是点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式．今后我们将用向量的方法证明这个公式． ②可以验证，当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③引导学生得到两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离：d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.已知两条平行线直线l 1和l 2的一般式方程为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 证明：设P 0(x 0，y 0)是直线Ax ＋By ＋C 2＝0上任一点，则点P 0到直线Ax ＋By ＋C 1＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C 1|A 2＋B 2. 又Ax 0＋By 0＋C 2＝0，即Ax 0＋By 0＝－C 2，∴d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2. 讨论结果：①已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P 到直线l 的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. ②当A ＝0，或B ＝0时，上述公式也成立．③两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.应用示例思路1例1 (1)求原点到直线l 1：5x －12y －9＝0的距离；(2)求点P (－1,2)到直线l 2：2x ＋y －10＝0的距离．解：(1)原点到直线l 1的距离d ＝|5×0－12×0－9|52＋(－12)2＝913； (2)点P 到直线l 2的距离d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝2 5. 例2 用解析法证明等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．图1证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为BC 延长线上一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F .以BC 所在直线为x 轴，以BC 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系(如图1)．设A (0，b )，B (－a,0)，C (a,0)(a ＞0，b ＞0)，则直线AB 方程为bx －ay ＋ab ＝0，直线AC 方程为bx ＋ay －ab ＝0，取P (x 0,0)，使x 0＞a ，则点P 到直线AB ，AC 的距离分别为 |PD |＝|bx 0－0＋ab |a 2＋b 2＝bx 0＋ab a 2＋b2， |PE |＝|bx 0＋0－ab |a 2＋b 2＝bx 0－ab a 2＋b2 . 点C 到直线AB 的距离为|CF |＝|ab ＋ab |a 2＋b 2＝2ab a 2＋b 2，则|PD |－|PE |＝2ab a 2＋b 2＝|CF |. 点评：有条件的话可以选用数学软件或图形计算器动态呈现例2的图形的变化过程，体会在变化中的不变的数量关系．例3 两平行直线l 1，l 2分别过A (1,0)与B (0,5)．若l 1与l 2的距离为5，求这两直线方程． 解：显然，直线l 1，l 2均不与x 轴垂直．设l 1的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0，则点B 到l 1的距离为|5＋k |k 2＋1＝5，所以k ＝0或k ＝512. l 1的方程为y ＝0或5x －12y －5＝0，可得l 2的方程为y ＝5或y ＝512x ＋5. 故所求两直线方程分别为l 1：y ＝0，l 2：y ＝5；或l 1：5x －12y －5＝0，l 2：5x －12y ＋60＝0.思路2例1 求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程．活动：中心对称的两条直线是互相平行的，并且这两条直线与对称中心的距离相等． 解：设所求直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，则 |0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |22＋112C ＝16(已知直线)或C ＝－38. ∴所求直线为2x ＋11y －38＝0.变式训练已知正方形ABCD 的相对顶点A (0，－1)和C (2,5)，求顶点B 和D 的坐标．答案：B (4,1)，D (－2,3).例2 已知直线l 过两条直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点，且与A (2,3)，B (－4,5)两点的距离相等，求直线l 的方程．解：直线3x ＋4y －5＝0,2x －3y ＋8＝0的交点为(－1,2)．若直线l 平行于直线AB ，易求得直线l 的方程为x ＋3y －5＝0；若直线l 通过线段AB 的中点，易求得直线l 的方程为x ＝－1.所以直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.知能训练1．求点P 0(－1,2)到下列直线的距离：(1)2x ＋y －10＝0；(2)3x ＝2.2．已知点A (1,3)，B (3,1)，C (－1,0)，求△ABC 的面积．3．求平行线2x －7y ＋8＝0和2x －7y －6＝0的距离．4．求两平行线l 1：2x ＋3y －8＝0，l 2：2x ＋3y －10＝0的距离．解答：1.(1)根据点到直线的距离公式得d ＝|2×(－1)＋2－10|22＋12＝105＝2 5.(2)因为直线3x ＝2平行于y 轴，所以d ＝⎪⎪⎪⎪23－(－1)＝53. 点评：(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握．(2)体现了求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式．2．设AB 边上的高为h ，则S △ABC ＝12|AB |·h ，|AB |＝(3－1)2＋(1－3)2＝22，AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离．AB 边所在直线方程为y －31－3＝x －13－1，即x ＋y －4＝0. 点C 到x ＋y －4＝0的距离为h ＝|－1＋0－4|12＋12＝52. 因此，S △ABC ＝12×22×52＝5. 点评：通过这道题，使学生能够进一步理解点到直线的距离问题，能逐步体会用代数方法解决几何问题的优越性．3．在直线2x －7y －6＝0上任取一点，例如取P (3,0)，则点P (3,0)到直线2x －7y ＋8＝0的距离就是两平行线间的距离．因此d ＝|2×3－7×0＋8|22＋(－7)2＝1453＝145353. 点评：把求两平行线距离转化为点到直线的距离．4．解法一：同上题解法．解法二：l 1∥l 2又C 1＝－8，C 2＝－10，则d ＝|－8－(－10)|22＋32＝21313. 拓展提升问题：已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点O (0,0)，M (0,3)，试在l 上找一点P ，使得||PO |－|PM ||的值最大，并求出这个最大值．解：点O (0,0)关于直线l ：2x －y ＋1＝0的对称点为O ′⎝⎛⎭⎫－45，25，则直线MO ′的方程为y －3＝134x ，直线MO ′与直线l ：2x －y ＋1＝0的交点P ⎝⎛⎭⎫－85，－115即为所求，相应的||PO |－|PM ||的最大值为|MO ′|＝1855. 课堂小结1．掌握点到直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离．2．构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新，培养学生勇于探索、善于研究的精神．3．本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离，后者实际上可作为前者的变式应用．作业习题2—1A组第13题；B组第1,2题．设计感想本节课采用探究式的教学方法，通过设问、启发、铺垫，为学生搭建探究问题的平台，让学生在问题情境中，自己去观察、归纳、猜想并证明公式，经历数学建模的过程，在自主探究、合作交流中获得知识，在多角度、多方面的解决问题中，使不同层次的学生都能有所收获与发展．根据本节课的内容特点，学习方法为接受学习与发现学习相结合．学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究；教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣．备课资料数学史话多产的数学家瑞士数学家列昂纳德·欧拉(1707—1783)在其一生中，为人类作出了卓越的贡献，留下了886篇论文和著作，几乎在数学的每个部门都留下了他的足迹．“聪明来自劳动，天才出于勤奋”，智慧的金花不会为懒汉开放.1735年，当欧拉还只有28岁时，就瞎了一只眼睛.1766年，另外一只眼睛也瞎了，但是他仍然以高度的毅力坚韧不拔地从事数学研究．他的研究工作是大量和杰出的．晚年，他口述其发现，让别人把它笔录下来，为人类文明史谱写了许多光辉的篇章．在欧拉的886篇著作中，属于他生前发表的有530本书和论文，其中有不少是教科书．由于文笔浅显，通俗易懂，引人入胜，甚至在今天读起来也毫无困难．尤其值得一提的是他所编写的平面三角课本，采用了近代记号sin，cos等，实际上他的讲法已经成为最后的形式，三角学到他手里已完全成熟了．欧拉在数学上的贡献多得不胜枚举，经常为人称道和引证的有几个例子．一个是所谓“哥尼斯堡七桥问题”，由于欧拉解决了这个历史上流传甚久的趣题，因而被誉为“拓扑学的鼻祖”．另一个例子是多面体的欧拉公式v－e＋f＝2(v是多面体的顶点数，e是边数，f是面数)．第三个例子，差不多任何关于复数的课本中都不可避免地要提到它，即eix＝cos x＋i sin x.任何科学都有其相关性．尤其在中学时代，学好语文，对于理解和掌握数学知识是非常重要的．作为教育家的欧拉也高度重视这一点．怎样列出代数方程来解文字题，虽是十分古老的题材，但是它在数学发展史上曾起过重大作用，促进了代数学的发展．和牛顿的观点一样，欧拉并不认为解决这类初等数学问题是有损尊严的事，在他的名著《代数基础》中就着意搜集了许多题目．下面就是他的一个题目：“一位父亲临死时叫他的几个孩子按照下列方式瓜分他的财产：第一个儿子分得一百克朗与剩下财产的十分之一；第二个儿子分到二百克朗与剩下财产的十分之一；第三个儿子分到三百克朗与剩下财产的十分之一；第四个儿子分到四百克朗与剩下财产的十分之一……依此类推．问这位父亲共有多少财产？他一共有几个孩子？每个孩子分到多少？”最后发觉这种分法简直太好了，因为所有的孩子分得的数字恰恰相等．中国有句老话说，“一碗水端平”，真是平得不能再平了．这位父亲有九个孩子，他共有财产8 100克朗，每人分到900克朗．(设计者：张新军)。
北师大版八年级数学上册课件 ：3.2平面直角坐标系(第1课时)
1
-4 -3 -2 -1 0
原点 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
-2
第三象限 -3
第四象限
-4
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
纵轴 y
5
4
3 2
·B（- 4,1） 1
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2 -3
-4
A点在x 轴上的坐标为4 A点在y 轴上的坐标为2
A点的坐标为(4, 2) 记作：A（4，2）
发现 归纳
• 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点， 都有唯一的一对有序实数对（即点的坐标） 与它对应；
• 反过来，对于任意一对有序实数对，都有 平面上唯一的一点和它对应．
• 教学目标 • 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定的直
角坐标系中，由点的位置写出坐标也能由坐标 确定点的位置。 • 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的坐标 特征。 • 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展数形 结合思想，积累数学活动经验，激发学习数学 知识的兴趣。
思考 对比
1．平面直角坐标系中，点P(3,5)与Q(5,3)是 同一个点吗?
2.在平面直角坐标系下，点与实数对之间有何 关系？
*3.引入平面直角坐标系，有什么好处？
• 教学目标 • 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定的
直角坐标系中，由点的位置写出坐标也能由 坐标确定点的位置。 • 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的坐 标特征。 • 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展数
B（0，-3）
D（4，0） •
F（0，3）•
•
•
教学目标 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定 的直角坐标系中，由点的位置写出坐标也 能由坐标确定点的位置。 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的 坐标特征。 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展 数形结合思想，积累数学活动经验，激发 学习数学知识的兴趣。
北师大版八年级数学上册课件：3.2 平面直角坐标系(共26张PPT)
2.对于边长为4的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，
写出各个顶点的坐标.
y A 3
2
B
1
C
- –3–2– O 1 2 3 4 x
4
1–
–1
解:A(0,2 ), B(-2,0) ,C(2,0).
2–3
– 4
3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2） 和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4， 4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？
y
5 4
·（4，4）
3 2
·（3，2）
·1
-4 -3 -2 -1-O1 1 -2
2
345 x
· （3，-2）
解：如图所示
-3
课堂 小结
坐标的特征
建立直角坐 标系
建立适当的 直角坐标系
第三章 位置与坐标 3.2 平面直角坐标系 建立平面直角坐标系确定点的坐标
学习目标
1.了解、掌握点的坐标及特殊位置上点的坐标特征；（重点） 2.能建立直角坐标系求点的坐标.（难点）
导入 1.你还记得什么是平面直角坐标系吗？ 新课 2.两条坐标轴把平面分成了几部分？（不包括坐标轴）
3.给你平面上的一个点，如何确定它的坐标？
在直角坐标系中，对于平面上任意一点， 都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与 它对应；
反过来，对于任意的一个有序实数对，都 有平面上唯一一点与之对应.
当堂 练习 1.在 y轴上的点的横坐标是（ 0 ），在 x轴上的点的纵坐标是（ ）0.
2.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ （）2.,3）
当堂
练习 1. （南通·中考）在平面直角坐标系xOy中，已 知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形， 则满足条件的点Q共有(B ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
3.2平面直角坐标系教案
B
0
A
1 2 3 4
-4 -3 -2 -1
坐标为－4 的点在数轴上的什么位置？
在点 C 处.
这就是说，知道了数轴上一个点的坐标，这个点的位置就确定了。 （二）平面直角坐标系 思考：平面内的点又怎样表示呢？
什么是平面直角坐标系？
加速度专修学校
y
5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 3 4 5 6
【学习目标】
【学习重点】
重点：理解平面直角坐标系的有关概念,能由点位置写出坐标, 由坐标描出点的 位置. 难点：理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系.
【教学内容】
（一）复习导入 数轴上的点可以用什么来表示？ 可以用一个数来表示，我们把这个数叫做这个点的坐标。 如图，点 A 的坐标是 2，点 B 的坐标是－3.
第一象限 第二象限 （ －，＋ ） （ ＋，＋ ）
第二象限 第二象限 （ －，－ ） （ ＋， － ）
各象限上的点有何特点? 各象限坐标的符号： 第一象限上的点，横坐标为正数，纵坐标为正数， 第二象限上的点，横坐标为负数，纵坐标为正数， 第三象限上的点，横坐标为负数，纵坐标为负数， 第四象限上的点，横坐标为正数，纵坐标为负数，
加速度专修学校
D
C
A(O)
B
x
(1)如果以点 A 为原点，AB 所在的直线为 x 轴，建立平面坐标系，那么 y 轴是哪条线？ y 轴是 AD 所 在直线。 (2)写出正方形的顶点 A、B、C、D 的坐标. A(0，0)， B(0，6)， C(6，6)， D(6，0).
(3)请你另建立一个平面直角坐标系，此时正方形的顶点 A、B、C、D 的坐标又分别是多少？与同学交 流一下。
平面直角坐标系中两点间的距离
平面直角坐标系中两点间的距离一教材分析：“平面直角坐标系中两点间的距离”内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修二第三章第三节第二小节。
平面直角坐标系中两点间的距离是在学习平面直角坐标系内的直线的方程和直线的交点坐标之后，也为以后学习空间内两点间的距离内容起铺垫作用，承上启下。
学习平面直角坐标系中两点间的距离有助于学生对数形结合思想的理解，进一步感受数形结合的魅力．在解题中渗透函数和方程思想。
二学情分析：学生在初中的时候已经学习数轴上两点间的距离，同时还学习了勾股定理，因此有着一定研究两点间的距离公式的基本方法，在解题中渗透函数和方程思想。
然而学生在思维方面对于抽象、推导方面的能力比较薄弱，造成对平面直角坐标系中两点间的距离公式的形成相对困难。
三教学目标：1、知识与技能：（1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；（2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系解决相应问题。
2、过程与方法：培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生不断超越自我的创新品质。
四 教学重难点： 教学重点：（1）平面内两点间的距离公式； （2）如何建立适当的直角。
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 五 教法学法：教法：以引导发现为主，推导验证 学法：重视学生知识形成和学习体验 六 教学用具 三角板 七 教学过程（一）复习旧知，导入新课数轴上两点间的距离公式？如果数轴上两点2和-3，那么这两点之间的距离是5，公式为|2-（-3）|=|-3-2|=5 （二）提出问题，探究新知问题1：如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD又怎么样求？解：易得A BAB x x =-，C DCD y y =-；问题2：求(3,4)B 到原点的距离？解：3,4OMBM ==，11221PQ N N x x ==-21221PQ M M y y ==-2221212PP PQ P Q =+12PP ⇒=总结：两点间的距离公式12PP =特殊的：①当x 1=x 2时，2121y y p p -=； ②当y 1=y 2时，2121x x p p -=；③原点O 与任一点P(x,y)间的距离OP= （三）典型例题例、求下列两点间的距离。
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| AB |= 2,| AC |= ( 3)2 + ( 3 )2 = 3 , 22
·
A(-1,0) O
·
B(1,0) x
有 | AC |2 + | BC |2= | AB |2 ， 所以 DABC 是直角三角形.
根据边的 关系判断.
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值
是（ C ）
Ｂ点在第四象限,到X轴的距离是3,到Y轴的距 离是1,求B点的坐标___________
E点在Y轴上,到原点的距离是3, 求E点的坐标 ___________
横数轴上的距离公式
A
B
x －1 0 1 1
x2
x
AB =x2-x1
=右-左
A（-2，0），B（3，0）两点间的距离__________
y AB =3-2 5
点A 到x轴的距离是3，
到y轴的距离是4，则点A坐标为
。
点A到原点的距离是
。
若点A在第三象限，则点A坐标为
。
已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5， 求P点的坐标
P(5,2) 或P(5,-2) 或P(-5,2)或P(-5,-2)
2. 点C到x轴的距离为1，
到y轴的距离为3，
则C点坐标是
。
(3,1) 或(-3,1)或 (-3,-1)或 (3,-1)
3
2
1
A
-2 -1
01
-1
B
23
x
-2
y
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
P1P2 =x2 -x1
P1(x1 , 0) O P2(x2 , 0)
x
x
B
纵数轴上的距离公式
x2
AB =x2-x1
=上-下 x1
－1 0 1
A
A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是_______
y
3
2 A AB =2-2 4
3.已知点P（3，a），并且P点到x轴的 距
离是2个单位长度，求P点的坐标。 •分析：由一个点到x轴的距离是该点 纵坐标的绝对值，所以a的绝对值等 于2，这样a的值应等于±2。
解：因为P到X轴的距离是2 ，所以， a的值可以等于±2，因此P（3，2） 或P（3，-2）。
Ａ点在第二象限,到X轴的距离是3,到Y轴的距 离是1,求A点的坐标___________
1
-2 -1 0 1 2 3 x
-1 -2 B
结论：
y
P1P2 =y1-y2
P1(0, y1) P1(x1 , y1)
O P2(0, y2)
x P2(x1 , y2)
x轴上两点M1(x1,0), M2(x2,0)的距离M1M2=
x
1
x2
,
Y轴上两点N1(0,y1), N2(0,y2)的距离 N1N2= y1 y2 .
平面上两点间的距离公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
y
A(x1 ，y1) O
B(x2，y2)
AB2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
P(x2,y1)
x
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
例1 求下列两点间的距离：
（1）A(- 1, 0), B(2,3) （2）A(4,3), B(7,- 1)
4.已知 DABC 的三个顶点是 A(1,1),B(4:|AB|=5,|BC|= 5 ,|AC|= 2 5 ,
满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以 三角形.
D
ABC
是直角
已知 DABC 的三个顶点是 A(1, 2), B(3, 4),C(5,0) ,试判断 DABC 的形状. 解：因为| BC |= (3- 5)2 + (4 - 0)2 = 2 5 ， | AB |= (1- 3)2 + (2 - 4)2 = 2 2, | AC |= (1- 5)2 + (2 - 0)2 = 2 5,
解: (1) AB 2 12 3 02 3 2. 2 AB 7 42 1 32 5.
3.判定下列两点间的距离:
(1)A（-3，1），B（5，1）. |AB|=8
(2)A（1,-2）,B(1,7). |AB|=9 (3)A(3,2), B(-1,5). |AB|=5
点A (3,2)到x轴的距离 2 到y轴的距离 3
到原点的距离
y3
A(3,2)
2
32 +22
= 13
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
-3
-4
过点A作x轴的垂线段的长度叫做点到x轴的距离.
过点A作y轴的垂线段的长度叫做点到y轴的距离.
点A (3,2)到x轴的距离 -2 =2
到y轴的距离 -3 =3
A.1
B.-5 C.1或-5
D.-1或5
2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N
的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（ B ）
A.x+3y-8=0
B.3x-y-4=0
x
-1
= 9+4 = 13
-2
B(-3,-2) -3 -4
点P (x,y)到x轴的距离 y 纵坐标 到y轴的距离 x 横坐标 到原点的距离
x2 y2 横坐标2 + 纵坐标2
点A (-6,-8)到x轴的距离 -8 8 。
到y轴的距离 -66 。
到原点的距离
。
-62 +10-82
有 | AC |= | BC | , 所以 DABC 是等腰三角形.
例 2.已知 DABC 的三个顶点是 A(- 1, 0), B(1, 0), C( 1 , 3 ) , 22
试判断 DABC 的形状.
解：如图,因为 | BC |= (1- 1)2 + ( 3 )2 = 1，
2
2
y
·C(1 , 3 ) 22
y3
2
到原点的距离
1
-32 + -22
= 9+4 = 13
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
B(-3,-2) -3 -4
点A (3,2)到x轴的距离 -2 =2
到y轴的距离 -3 =3
y3
2
到原点的距离
1
-32 + -22
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
1、在平面直角坐标系中，若点A（1，3）与 B（x，3）点之间的距离为4，则x的值是___
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，y）与 B（2，1）点之间的距离为4，则x的值是___
y
y2 y1
P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q | y2 y1
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q | x2 x1