弯曲梁的正应力计算解析

1 FL 2 bh3
12
c
h
3 1.65MPa （拉
M B yc IZ
1 FL h

2 bh3
2

MB
）
IZ
2.47MPa
1 FL 2
bh3 12
（压）
12
例2 图所示悬臂梁，自由端承受集中荷载F 作用，已知：h=18cm，b=12cm，y=6cm， a=2m，F=1.5KN。 计算A截面上K 点的弯曲正应力。
max

M ymax IZ
M WZ
Wz

Iz y max
Wz 称为抗弯截面系数 与截面形状和尺寸有关 M3 ，mm3
公式适用范围：
①正应力小于比例极限σp； ②精确适用于纯弯曲梁；
③横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立,但当梁跨度 l 与高 度 h 之比大于5（即为细长梁）时上述公式近似成立。
实验现象
1、变形前互相平行的纵向直线、
F
F
变形后变成弧线，且凹边纤维缩
mn
短、凸边纤维伸长。
mn
2、变形前垂直于纵向线的横向线 变形后仍为直线，且仍与弯曲了 的纵向线正交，但两条横向线间 相对转动了一个角度。
1、平面假设：
变形前杆件的横截面变 形后仍为平面。
2.单向受力假设： 各纵向纤维之间互不挤压。纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态 。因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
解： 先计算截面上的弯矩
M A -Fa -1.5 2 -3kNm
截面对中性轴的惯性矩
IZ

bh3 12
120 180 3 12
5.832 107 mm 4
k

MA IZ
y

3 106 5.832 107
60

3.09MPa
A 截面上的弯矩为负，K 点是在中性轴的上边， 所以为拉应力。
6-4.1梁的 正应力计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题
教学 方法
教学 目的
洪单平
授课 班级
12建筑工程
梁的弯曲应力（正应力）
授课 时间
2013/3 课型
学 时
2
面授
讲练结合
掌握梁弯曲时横截面正应力分布规律；掌握正应力的计 算.
教学 重点
教学 难点
正应力分布规律；正应力的计算. 横截面上正应力的计算。
纤维是天然或人工合成的细丝状物质
中性层
Z
中性轴
y
梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为 中性层。
中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴通过截面形心，是一条 形心轴。且与截面纵向对称轴y垂直，将截面分为受拉区及受压区。梁弯 曲变形时，各横截面绕中性轴转动。
Wy

hb2 6
Wz
Wy

d 3
32
型钢------查型钢表
Iz

Iy

64
(D4
-
d4)
D4 (1- 4 ) 64
Wz
Wy

D3 32
(1- 4 )
式中: d D
组合图形
m
I z I zi , i 1
m
I yi i 1
整个图形对某一轴的惯性矩（等于各个分图形对同 一轴的惯性矩之和。
平面分布图
二、正应力的计算公式(推导略——难点)
1.横截面上任意点正应力计算
My
IZ
M为横截面的弯矩 y为计算点到中性轴的距离 Iz截面对Z轴的惯性矩，与截面形状和 尺寸有关 m4 , mm4
2.横截面上的最大正应力
t

M y1 IZ
,
c

M y2 IZ
当中性轴是横截面的对称轴时：
若： y1 y2 ymax 则 t c max
梁的截面如图所示。已知： l 1.5m, q 8kN / m
求梁截面中的的最大拉应力和最大压应力。
使用此公式注意：公式中的M、y都用绝对值，σ的正负 由M的正负判断
M>0时：下侧受拉，中性轴以下σ>0，以上σ<0 M<0时：上侧受拉，中性轴以下σ<0，以上σ>0
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数计算公式
惯性矩
IZ

bh3 12
Iy

hb3 12
d 4
IZ IY 64
弯曲截 面系数
Wz

bh2 6
153.6mm
ymax
96.4mm
50
max

Mymax IZ
24.09MPa
max

Mym-ax IZ
15.12MPa
试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大 正应力，并加以比较。
q 2kN m
200
100
200
4m
100
竖放
qL2
max

M max WZ

I y1 I y b2 A
Iz1 Iz a2 A
举例1: 长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中
力F，已知b＝120mm，h＝180mm、l＝2m，F＝1.6kN，试求
B截面上a、b、c各点的正应力。
A
F
h6
a
B
z
C
b
h
l2
l2
h2
FL
c
b
a
M B ya IZ
b 0
8 bh2
6MPa
qL2 8
6 横放
qL2
max
M max WZ

8 hb2
12MPa
6
作业
1、 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1 与F2作用，且F1=2、F2=5kN。试计算梁内的最 大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的 弯曲正应力。
2、 一对称T形截面的外伸梁，梁上作用均布荷载，
横截面上正应力分布规律： 1、受拉区 : 拉应力，受压区 : 压应力； 2、中性轴上应力为零； 3、沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布； 4、最大正应力发生在距中性轴最远处，即截面边缘处。
注：若截面对称于中性轴，则最大拉应力等于最大压应力

σ-max
M
M
M
σmax

max
M
空间分布图
中性轴
max
拉压杆 连接件
轴 梁
回顾与比较
内力
轴力
F
F
剪力
扭矩
应力
N
A
=V/A
Mn
IP
剪力和弯矩
变形后梁的轴线所在平面与外力作用面重合的弯曲称为平面弯曲
一、梁横截面上的正应力分布规律
F
F
a
a
A
B
平面弯曲
纯弯曲—只有M无V 横力弯曲—V M同时存在
F
F Fa
F
纯弯曲：梁受力弯曲后，如其横截 面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯 弯曲。
3、图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的
长度l＝2m。yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝
1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压
应力。
F
y

A
B
150
l
l
2
2
50
96.4
z
200
C
M max

FL 4
16kNm
y max
200 50 - 96.4