牛顿运动定律之小球在空气中竖直上抛运动的规律

mg mg 2 mg
T'→v0/g。
这是不计空气阻力时小球自由下落到原处的时间。
上升的初速度越大，小 球上升的高度就越大。
当初速度比较大时， 小球上升的高度随时 间几乎呈直线增加。
上升的初速度越大，小球 达到最大高度所需要的时 间越长，但是小于小球从 最高点下落到原处的时间。
小球在空气中上升和下 落到原处的总时间比不 计阻力的总时间要短。
的变化关系为
k
m
由于v = dh/dt，所以
dh mg [1 exp( k t)]dt
k
m

mg k
dt

m2 g k2
d[
exp(
k m
t)]
mg m2g
k
h
k
t
k2
[1 exp( t)] m
这是小球下落的高 度与时间的关系。
当小球落回原处 时，h = H，可得
k T 1 exp( k T ) kv0 ln(1 kv0 )
[解析](1)小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向竖 直向下，取竖直向上的方向为正，根据牛顿第二定律得方程
f mg kv m dv dt
分离变 dt m dv m d(mg kv)
量得
mg kv k mg kv
积分得 t m ln (mg kv) v m ln mg kv m ln mg / k v
f mg kv m dv 分离变 dt m dv m d(mg kv)
dt 量得
mg kv k mg kv
积分得 t m ln (mg kv) v m ln mg kv m ln(1 kv )
k
0
k mg
k
mg
小球速度随时间 v mg [1 exp( k t)]
初速度 越大， 小球达 到的最 大高度 越高。
不论初速度为多少，小 球的速度随高度都减小， 在最高点速度为零。
{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律
(2)求小球落回原处的时间和速度。
[解析](2)当小球从最高点竖直下落时，速度方向向下，空气阻
力的方向向下，取向下的方向为正，根据牛顿第二定律得方程
m
m mg
mg
积分得
如果求得时 间T'，即可求 得小球落回 原处的速度。
这是关于时间的超越方程。
{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律
(2)求小球落回原处的时间和速度。
[讨论]
v mg [1 exp( k t)],
k
m
mg m2g
k
h t [1 exp( t)]
k
k2
m
k T 1 exp( k T ) kv0 ln(1 kv0 )
m
m mg
mg
当k→0时，利用公式ex→1 + x，得
v mg k t gt 这是不计空气阻力时小球自由下落的速度。 km
利用公式ex→1 + x + x2/2，得
h

mg k
t

m2 g k2
{1 [1
k
v0
k mg kv0 k mg / k v0
小球速度随时间 的变化关系为
mg
k mg
v (v0
k
) exp( t) m
k
.
{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律
小球速度随时间 的变化关系为
v

(v0

mg k
)
exp(
k m
t)

mg k
由于v = dh/dt，所以
{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律
一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直上抛。在运动过 程中，小球所受空气阻力的大小与速率成正比，比例系数
为k。(1)求小球上抛过程的速度和高度与时间的关系，速度
和高度有什么关系？小球上升的最大高度和到达最大高度
的时间是多少？(2)求小球落回原处的时间和速度。
上升的初速度越大，小球回 到原处的速度也越大，与小 球上升的初速度相差也越大。
k
mk
H

mv0 k

m2g k2
ln(1
kv0 ) mg
当k→0时，利用公式ex →1 + x，可得
即 v→v0 – gt。
v

(v0

mg )(1 k
k m
t)
mg k

v0 (1
k m
t)
gt
这是不计空气阻力时竖 直上抛运动的速度公式。
再利用公式ex →1 + x + x2/2，可得
k
mk
根据高度与时间的关系和速度与时 当小球上升到最高点
间的关系，可得高度与速度的关系。 时，其速度为零。
小球到最高点所 需要的时间为
T m ln mg / k v0 m ln(1 kv0 )
k mg / k k
mg
可见：小球上升 到最高点的时间
小球上升的 最大高度为
H

mv0 k

m2g k2
ln(1
kv0 mg
)
和高度由比例系 数和初速度决定。
{范例2.6} 小球在空气中竖直上抛运动的规律
[讨论]
mg
k mg
v (v0
k
) exp( t) m
k
,
T m ln(1 kv0 )
k
mg
h m(v0 mg / k) [1 exp( k t)] mg t,
即
h

m(v0
mg k
/
k)
[
kt m

1 2
(
kt m
)2
]

mg k
t

v0t

kv0 2m
t
2

1 2
gt
2
,
h

v0t

1 2
gt
2
这是不计空气阻力时竖直上抛运动的高度公式。
利用公式ln(1
+
x)→x，可得T

m k
kv0 mg

v0 g
这是不计空气阻力 时小球竖直上升最
再利用公式ln(1 + x)→x – x2/2，可得
k m
t

1 2
(k m
t)2 ]}
1 2
gt 2
这正是自由 落体下落的 高度公式。
再利用公式ln(1 + x)→x – x2/2，得
化简得
k T 1 [1 ( k T ) 1 ( k T )2 ...] kv0 [ kv0 1 ( kv0 )2 ...]
m
m 2m
dh

[(v0

mg k
)
exp(
k m
t)

mg k
]dt
m(v0 mg / k) d[ exp( k t)] mg dt
k
mk
积分得 h m(v0 mg / k) exp( k t) mg t t
பைடு நூலகம்
k
m
k0
小球高度随时间 的变化关系为
h m(v0 mg / k) [1 exp( k t)] mg t
大高度的时间。
H

mv0 k

m2 g k2
[ kv0 mg

1 2
( kv0 )2 ] mg

v02 2g
这是不计空气阻力时小球竖 直上抛运动的最大高度。
不论初速度为多少，小球的速度 随时间逐渐减小，直到零为止。
初速度越大，小球到达最 高点所需要的时间越长。
不论初速度为多少，小球的高 度都随时间增加，开始的时候 几乎直线增加，在最高点附近 缓慢增加，直到最大高度为止。