新课标复习学案：对数与对数函数

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对数_对数函数复习教案

一．知识归纳一）对数1、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a即有：⇔=N a b )1,0(log ≠>=a a N b a题型一、指数与对数的互化练习1 把下列指数式写成对数形式：4611(1)5625;(2)2;(3) 5.73643m-⎛⎫=== ⎪⎝⎭练习2 把下列对数形式写成指数形式：12(1)log 164;(2)lg 0.012;(3)ln 10 2.303=-=-=2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a；3、恒等式：NaNa=log；b aba=log)1,0(≠>a a4、运算法则：NM MN aaalogloglog)1(+=NM NMaaalogloglog)2(-=Mn M analog log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>05、换底公式：)10,10,0(loglog log≠>≠>>=m m a a N aN N mm a且且二、题型讲解题型一．对数式的化简和运算例1 计算：练习求下列各式的值：练习、计算下列各式（1）12lg )2(lg5lg 2lg)2(lg222+-+⋅+（2）06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++（4）用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：二）对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质：注意：研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制5. 函数y =的定义域是_____________6.方程0)2lg(lg 2=+-x x 的解集是___________________.7 若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( ) A42 B22 C41 D21例2、已知x,y ,z 为正数，满足zyx643==①求使2x=py 的p 的值， ②求与①中所求的p 的差最小的整数③求证：x zy1121-=④比较3x 、4y 、6z 的大小变式：已知a 、b 、c 均是不等于1的正数，且0111=++==zyxcbazyx，求abc 的值题型三、对数函数图像与性质的运用例3已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1)，若f(3)×g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能为（）练习：比较下列各组中两个值的大小：（1）6log,7log 76；（2）8.0log,log23π例4．判断下列函数的奇偶性：（1）xxx f +-=11lg)(；（2）)1ln()(2x xx f -+=例4、已知不等式0)3(log )12(log 2<<+x x x x 成立，则实数x 的取值范围为（）A )31,0( B)21,0( C)1,31( D)21,31(题型四、指数、对数函数的综合问题例5.设a>0，xeax f +=)(是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数例6.设函数)(log )(2xx b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f（1）求a,b 的值；（2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 最大值备用(2011陕西卷理)已知函数()()0011>≥+++=a ，，x xax ln x f 其中()I 若()f x 在x=1处取得极值，求a 的值；()II 求()x f 的单调区间；（Ⅲ）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。

第8讲模块复习：对数与对数函数教案

第8讲模块复习：对数与对数函数教案第8讲：《对数与对数函数》教案一、教学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型．二、知识梳理[来源:] 1．对数的定义如果______________，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中____叫做对数的底数，____叫做真数．2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)①a log a N ＝____； ②log a 1＝____； ③log a a N ＝____； ④log a a ＝____. (2)对数的重要公式①换底公式：log a N ＝________________(a ，c 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.(3)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝__________________； ②log a MN ＝____________； ③log a M n ＝__________(n ∈R )； ④log a m M n ＝nm log a M . 3．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质(1)定义域：________[来源:学|科|网][来源:][来源:ZXXK][来源:学。

科。

网](2)值域：____(3)过点________，即x ＝____时，y ＝____ (4)当x >1时，______；当0<x <1时，______ (5)当x >1时，______；当0<x <1时，______ (6)是(0，＋∞)上的__函数(7)是(0，＋∞)上的__函数4. 指数函数y ＝a x 与对数函数y =log a x ，它们的图象关于直线______对称．三、题型突破题型一对数式的化简与求值例1 计算：(1)222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++； (2) 5log 3333322log 2log log 859-+-. 变式迁移1 计算： (1)2lg 2lg 2lg 50lg 25+⋅+； (2) 3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+. 题型二含对数式的大小比较例2 比较下列各组数的大小． (1)32log 3与56log 5； (2) 1.1log 0.7与 1.2log 0.7；(3)已知111222log log log b a c <<，比较2,2,2a b c 的大小关系．变式迁移2 已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则,,a b c 的大小关系是______________．题型三对数函数的图象与性质例3 已知()log (0,1)a f x x a a =>≠，如果对于任意的1,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()1f x ≤成立，试求a 的取值范围．变式迁移3 (1)已知函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围为______________．(2)已知函数()log a f x x =在()0,+∞上单调递增，则(2)f -________(1)f a +．(填写“<”“＝”“>”)四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．设[)(]{}21(),0,,log ,0,12x M y y x N y y x x ⎧⎫==∈+∞==∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N U ＝________.2．设2212log ,log ,a b c πππ-===，则,,a b c 的大小关系是________．3．函数2()ln(43)f x x x =+-的单调递减区间是________． 4．函数1()ln(2)1axf x a ax+=≠-为奇函数，则实数a =________． 5．已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[]1,2上的最大值与最小值之和为log 26a +，则a 的值为________．6．若函数212log ,0()log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围为______________．7．对任意实数,a b ，定义运算“*”：()*()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数122()log (32)*log f x x x =-的值域为________．8．下列命题：①若函数2lg()y x x a =++为奇函数，则1a =；②若0a >，则方程lg 0x a -=有两个不相等的实根； ③方程lg sin x x =有且只有三个实数根； ④对于函数()lg f x x =，若120x x <<，则1212()()()22x x f x f x f ++<. 以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上) 二、解答题(共42分)9．(14分)已知[]3()2log ,1,9f x x x =+∈，求22()()y f x f x =+的最大值及y 取最大值时x 的值．10．(14分)已知函数()log (1)log (1),0a a f x x x a =+-->且1a ≠. (1)求()f x 的定义域；(2)判断()f x 的奇偶性并予以证明； (3)若1a >时，求使()0f x >的x 的解集． 11．(14分)已知函数()lg()(10)x x f x a b a b =->>>． (1)求()f x 的定义域；(2)在函数()f x 的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴；(3)当,a b 满足什么条件时，()f x 在()1,+∞上恒取正值．五、参考答案二、知识梳理1．a b ＝N (a >0，且a ≠1) b ＝log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log c Nlog c a ②log a d (3)①log a M ＋log a N ②log a M －log a N ③n log a M 3.(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y <0 (5)y <0 y >0(6)增 (7)减 4.y ＝log a x y ＝x 三、题型突破例1 解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．解 (1)原式=22lg52lg 2lg5(lg 4lg5)lg 2++++22lg 5(2lg 2lg 5)lg 2=+++(2) 原式＝log 34－log 3329＋log 38－3＝log 3(4×932×8)－3＝log 39－3＝2－3＝－1．变式迁移1 解 (1)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝21g 2＋lg 25＝lg 100＝2.（2）原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.例2 解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．解 (1)∵log 323<log 31＝0，而log 565>log 51＝0，∴log 323<log 565. (2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2， ∴0>log 0.71.1>log 0.71.2. ∴1log 0.71.1<1log 0.71.2，由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二作出y ＝log 1.1x 与y ＝log 1.2x 的图象，如图所示，两图象与x ＝0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y ＝12log x 为减函数，且111222log log log b a c <<，∴b >a >c .而y ＝2x 是增函数，∴2b >2a >2c . 变式迁移2 c >a >b解析 0<a ＝132-<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .例3 解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x ∈[13，2]时，|f (x )|恒小于等于1，恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a 为参数，需对a 分类讨论．解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3；当0<a <1时，得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)．变式迁移3 (1)(3，＋∞) (2)<解析 (1)画出函数f (x )＝|lg x |的图象如图所示． ∵0<a 1， ∴lg a <0，lg b >0. 又∵f (a )＝f (b )， ∴－lg a ＝lg b ，ab ＝1. ∴a ＋2b ＝a ＋2a ，易证μ＝a ＋2a 在(0,1)上单调递减，∴μ>3. 即a ＋2b >3.(2)∵f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，∴a >1.∴a ＋1>2.∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．四、针对训练 1．(－∞，1]解析 ∵x ≥0，∴y ＝(12)x ∈(0,1]，∴M ＝(0,1]．当0<x ≤1时，y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]． ∴M ∪N ＝(－∞，1]． 2．a >c >b解析 ∵a ＝log 2π>1，b ＝log 12π<0,0<c ＝1π2<1∴b <c <a . 3．[32，4)解析 y ＝ln t 是单调递增函数，则只需研究函数t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间，并注意t >0的限制．t ＝4＋3x －x 2的单调递减区间为[32，＋∞)，当x ≥4时，t ≤0，所以区间[32，4)符合题意．4．－2解析依题意有f (－x )＋f (x )＝ln 1－ax 1－2x ＋ln 1＋ax1＋2x ＝0，即1－ax 1－2x ·1＋ax1＋2x ＝1，故1－a 2x 2＝1－4x 2，所以a 2＝4，又a ≠2，故a ＝－2. 5．2解析当x >0时，函数a x ，log a x 的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 是(0，＋∞)上的单调函数，f (x )在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝a 2＋a ＋log a 2，由题意得a 2＋a ＋log a 2＝6＋log a 2.即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．6．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 ①当a >0时，f (a )＝log 2a ，f (－a )＝12log a ，f (a )>f (－a )，即log 2a >12log a ＝log 21a ，∴a >1a ，解得a >1.②当a <0时，f (a )＝12log ()a -，f (－a )＝log 2(－a )，f (a )>f (－a )，即12log ()a ->log 2(－a )＝121log a-， ∴－a <1－a ，解得－1<a <0，由①②得－1<a <0或a >1.7．(－∞，0]解析在同一直角坐标系中画出y ＝log 12(3x －2)和y ＝log 2x 两个函数的图象，由图象可得f (x )＝⎩⎨⎧log 2x (0<x ≤1)log 12(3x －2) (x >1)，值域为(－∞，0]．8．①②③解析 ①∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0.∴lg(－x ＋x 2＋a )＋lg(x ＋x 2＋a )＝lg[(x 2＋a )－x 2]＝lg a ＝0，∴a ＝1. ②|lg x |－a ＝0，∴|lg x |＝a .作出y ＝|lg x |，y ＝a 的图象可知，当a >0时有两个交点． ∴方程有两个不等实根． ③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，可知在y 轴右侧有三个交点．故方程有三个实根．④对于f (x )＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，应有y A >y B ，即f (x 1＋x 22)>f (x 1)＋f (x 2)2. 9．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2 ＝log23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.……………………………………………………(5分)∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1，……………………………………………………………………………………………(10分)∴6≤(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13. ∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取最大值13.……………………………………(14分)10．解 (1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．………………………………………………(4分)(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )] ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．………………………………………………………………(9分)(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x的解集是{x |0<x <1}．…………………………………(14分)11．解 (1)由a x－b x>0，得(a b )x >1，且a >1>b >0，得ab >1，所以x >0，即f (x )的定义域为(0，＋∞)．……………………………………………………………………………………(4分)(2)任取x 1>x 2>0，a >1>b >0，则ax 1>ax 2>0，bx 1<bx 2，所以ax 1－bx 1>ax 2－bx 2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)．故f(x1)>f(x2)．所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使直线平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴．…………(10分)(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a －b)≥0，即当a≥b＋1时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)。

对数与对数函数复习教学案

对数与对数函数复习教学案一、基础知识：1．对数的概念：（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作；（2）指数式与对数式的转化关系：a b =N ⇔log a N= （a ＞0，a ≠1，N ＞0）．两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．2．对数运算性质（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1）①log a （MN ）= ； ②log aM N = ；③log a M n = ．3．对数换底公式： N ＞0，a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，则log b N= ．4．几个常用的结论：（N ＞0，a ＞0，a ≠1）（1）log a a= ；log a 1= ．（2）log N a a = ；log a N a = ．5．对数函数的定义函数叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是．6．对数函数的性质①定义域：；②值域：；③过点，即当x= 时，y= ；④当a ＞1时，在（0，+∞）上是函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是函数。

二、经典例题：○题型一对数的运算例1 计算求值：（1）2221log log 12log 4212--；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)++．变式训练1：计算：（1）18lg 7lg 37lg214lg -+-；⑵ 5log 3333322log 2log log 859-+-．．变式训练2：已知324941log 7log 9log log 2a =，求a 的值．○题型二对数的性质应用例2 已知,,x y z 为正数，且346x y z ==，（1）求使2x py =的p 的值；（2）比较3,4,6x y z 的大小．变式训练：已知35a b c ==，且112a b+=，求c 的值．○题型三对数函数的图象与性质例3 在函数)32(log )(221+-=ax x x f 中，（1）若函数的定义域为),1[+∞-，求实数a 的取值范围；（2）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围．变式训练：已知函数)10(log )21(≠>==a a x y y a x 且与函数两者的图象相交于点),,(00y x P 如果a x 那么,20≥的取值范围是．例4 已知()log ()(1)x a f x a a a =->(1)求函数()f x 的定义域和值域； (2)判断函数在定义域上的单调性．四、巩固练习：1．2log 510＋log 50．25＝2．设554a log 4b log c log ===25，（3），，则则a ，b ，c 的大小是．3．函数y =log 2x 的图象大致是下列图象中的． (1) (2) (3) (4) 4．若函数f(x)=212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是5.已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________．五、课后作业：1．2log 2= ．2．若2log a ＜0，1()2b ＞1，则a ，b 的取值范围是．3．已知函数23()log log 2f x a x b x =-+，若1()42011f =，则(2011)f 的值为． 4．设25a b m ==，且112a b+=，则m = ． 5．设2lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则,,a b c 的大小关系是．6．函数y=3.0log (2x -2x)的单调递减区间为．7．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是．8．已知log (3)a y ax =-在[0，2]上是x 的减函数，则实数a 的取值范围为_____________． 9.计算（1）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+；（2）1.0lg 21036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+⋅．10．已知函数y=log 2a (x 2-2ax-3)在(-∞，-2)上是增函数，求a 的取值范围．11．设不等式2(log 21x )2+9(log 21x )+9≤0的解集为M ，求当x ∈M 时函数f (x )=(log 22x )(log 28x )的最大、最小值．。

对数对数函数的复习课教案

一、课题：对数函数复习二、教学目标：1、知识与技能（1）梳理知识网络，建构知识体系．（2）熟练掌握指数、对数的运算性质，并进行化简计算．（3）熟练掌握对数函数的定义、图像与性质．（4）熟练运用对数函数的图像和性质解答问题．2、过程与方法（1）让学生通过复习对对数函数有一个总体认识，能够形成知识网络．（2）对于公式性质要熟练掌握，．（3）通过掌握函数的图像和性质,懂得解决函数问题要做到数形结合．3、情感．态度与价值观使学生通过复习对数函数的运算、图像和性质，增强代数运算能力，培养研究函数问题的思维方法,．三、教材分析：1、重点:对数函数的运算、图像与性质2、难点：对数函数的性质．四、教学的基本流程：五、教学过程：1、建构知识网络2、对数函数的图像与性质：函数 a y log x = （a>1）a y log x = （0<a<1）图像定义域（0，+∞）（0，+∞）值域 R R 单调性增函数减函数过定点（1，0）（1，0）对数函数对数函数的图像与性质对数函数的图像对数函数的性质3、例题讲解：A 、对数概念及对数式与指数式的互化例1．（P 81）将下列指数式写成对数式：（1）4525=；（2）61264-=；（3）327a =；（4）1 5.373m⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）5log 6254=；（2）21log 664=-；（3）3log 27a =；（4）13log 5.37m =．例2．（P 81）将下列对数式写成指数式：（1）12log 164=-；（2）2log 1287=；（3）lg 0.012=-；（4）ln10 2.303=．解：（1）41162-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）72128=；（3）2100.01-=；（4） 2.30310e =．例3．（1）计算： 9log 27， 625．解：设x =9log 27 则 27x a=， 2333x =, ∴32x =；令x =625， ∴625x=, 44355x =, ∴5x =．（2）求 x 的值：①33log 4x =-；②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．解：①343x -==； ②22232121200,2xx x x x x x +-=-⇒+=⇒==-但必须：2222102113210x x x x ⎧->⎪-≠⎨⎪+->⎩， ∴0x =舍去，从而2x =-．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．解：①3535353(3)x---== ∴533x -=；②77888722x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭==, ∴2x =．B 、对数函数的运算、图象、性质及其应用例4：例5、例6．例7．求函数251-⎪⎭⎫⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。

对数及对数函数教学设计

对数及对数函数教学设计一、教学目标和要求：1. 理解对数的概念和性质；2. 掌握对数换底公式和对数函数的定义；3. 学会解决与对数有关的实际问题。

二、教学内容：1. 对数的概念与性质；2. 对数换底公式；3. 对数函数的定义和性质。

三、教学重点和难点：1. 对数换底公式的理解和应用；2. 对数函数的概念和图像的理解。

四、教学方法：1. 讲述法：通过详细的讲解，向学生介绍对数的概念和性质，以及对数换底公式和对数函数的定义；2. 示例法：通过解决一些实际问题的示例，展示对数在实际中的应用，并加深学生对对数的理解；3. 探究法：引导学生自主探索对数函数的图像和性质，提高学生的思维能力和问题解决能力。

五、教学过程：1. 引入：通过一个实际问题引入对数的概念，例如：有一种细菌每分钟繁殖一倍，假设开始有一个细菌的数量为a个，经过t分钟后，细菌的数量是多少？引导学生思考如何用数学工具表示这个问题。

2. 对数的概念与性质：a. 通过讲解和例题引导，向学生介绍对数的概念和定义：如果a^x=b，那么x=loga(b)；即对于任意正数 a 和 b， b=a^x 成立的充要条件是 x=loga(b)。

强调对数是指数运算的逆运算。

b. 通过示例探讨对数的性质，如对数的基数必须大于0且不等于1，对数的底数必须大于0且不等于1，对数的运算法则等。

3. 对数换底公式：a. 通过问题引入对数换底公式：从实际应用问题出发，如在一般情况下，如何将一个式子中的对数底数改变成任意一个数。

b. 通过具体的例题演示对数换底公式的应用。

4. 对数函数的定义和性质：a. 通过解决实际应用问题引入对数函数的概念，例如：在不同的应用中，我们经常遇到以指数形式表出的式子，这些式子经常涉及到对数函数的概念，如声音的强度和分贝的关系。

b. 引导学生通过探究思考对数函数的定义和性质，例如对数函数的定义域、值域和图像特点等。

5. 实例分析与问题解决：a. 通过实例的分析和问题的解决，加深对对数及对数函数的理解和应用能力。

对数函数复习课 - 教案

对数函数复习课（教案）【复习目标】1.掌握对数函数的概念、图象及性质．2.进一步领会研究函数的基本方法,提高观察、分析、归纳的能力,增强分类讨论、数形结合、换元与等价转化等思想方法的应用.【复习重点】对数函数图象、性质.【复习难点】对数函数图象、性质的综合应用.【知识梳理】1.对数函数的定义：一般地，把形如的函数叫做对数函数.类型一定义域问题例1.求下列函数的定义域:(1)log (4);a y x =- (2)y = 21(3).log y x =解:(1)定义域为}{4x x <. (2)由题意得310log (1)0x x +>⎧⎨+≥⎩ 所以10x x >-⎧⎨≥⎩ 即0x ≥. 所以函数的定义域为}{0x x ≥. (3)由题意得20log 0x x >⎧⎨≠⎩,所以0x >且1x ≠. 所以函数的定义域为}{01x x x >≠且.通法归纳:求函数定义域从以下几个方面入手: (1)分式;(2)偶次根式;(3)对数函数;(4)0(0)x x ≠.类型二利用单调性比较大小例2.比较下列各组数的大小:22(1)log 3.4,log 8.5; 0.30.3(2)log 1.8,log 2.7;34(3)log 5,log 2; 32(4)log 2,log 0.8;(5)log 5,log 3;a a解: 22(1)log 3.4log 8.5;< 0.30.3(2)log 1.8log 2.7;>34(3)log 51,log 21><,所以34log 5log 2>.32(4)log 20,log 0.80,><所以32log 2log 0.8>.(5)当1a >时,log 5log 3;a a >当01a <<时,log 5log 3a a <.通法归纳:利用对数函数单调性比较大小:1.底数相同时,①先看底数判断单调性,②后看真数比较大小.2.底数不同时,通常找中间量0或1.3.当底数a 的大小不确定时,需分类讨论,体现讨论思想.类型三对数函数性质的综合应用例3.已知函数)1,0(11log )(≠>-+=a a xx x f a . (1)求)(x f 的定义域; (2)判断函数)(x f 的奇偶性,并给予证明; (3)当1>a 时,求使0)(>x f 的x 的解集.解: (1)101x x+>-,所以11x -<<. 所以()f x 的定义域为}{11x x -<<. (2)函数为奇函数.证明: 因为11()()log log log 1011aa a x x f x f x x x-+-+=+==+-, 所以()()f x f x -=-,即函数)(x f 为奇函数.(3)当1>a 时,0)(>x f 即111x x +>-,即01x <<. 所以使0)(>x f 的x 的解集为}{01x x <<.通法归纳:有关对数函数的试题每年必考,都是结合其他知识点进行,综合能力要求较高.(1)确定定义域即解简单分式不等式. (2)判断函数奇偶性,学生容易忽略对定义域的判断.(3)实质也是解不等式,利用对数的运算等价转化即可.【课堂小结】(一) 知识1.对数函数的定义;2.对数函数的图象和性质.(二) 思想方法分类讨论、数形结合、等价转化等思想方法.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解.含有参数的对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.在给定的条件下,求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识和单调性在这类问题上的应用,注意知识的相互渗透或综合.【双基检测】1.若312=x ,则x 的值等于( B )． A .3log 2 B .21log 3 C .2log 3 D .2log 312.函数()lg(1)f x x =-的定义域为 }{14x x <≤ ． 3.已知函数log (1)2(0,1)a y x a a =+->≠过定点,则此定点坐标为 (0,2)- ． 4.已知函数()y f x =是奇函数,当0x >时,2()log f x x =,则1(())4f f 的值等于 1- . 5.函数()log (2)a f x x x =≤≤π的最大值比最小值大1,求实数a 的值. 解: 当1>a 时,log log 21a a π-=,即2a π=. 当01a <<时, log 2log 1a a -π=,即a 2=π. 所以实数a 的值为2π或2π. 【能力提升】 1.已知关于x 的的方程a x =3log ,讨论a 的值来确定方程根的个数. 解:(数形结合)当0a >时,方程有两根;当0a =时,方程有一根;当0a <时,方程没有根.2.求函数222(log )3log 2([1,8])y x x x =-+∈的最大值和最小值. 解:(换元法)设2log t x =,[1,8]x ∈,则220log log 8x ≤≤,即[0,3]t ∈. 所以223132()24y t t t =-+=--,[0,3]t ∈所以当32t =,即23log ,2x x ==, min 14y =-. 所以当0t =或3t =,即2log 0x =或2log 3x =,即1x =或8x =时,max 2y =.。

对数函数复习(教案)

对数函数复习(教案)1. 引言对数函数是高中数学中的重要知识点，也是解决复杂计算问题的常用工具。

本教案旨在帮助学生对对数函数有一个全面的复与理解。

2. 复内容2.1 对数的定义对数是数学中一个重要的概念，用来描述指数运算的逆运算。

本部分将回顾对数的定义及其基本属性，如对数的底数、指数和对数运算法则。

2.2 常用对数函数常用对数函数，即以10为底的对数函数，常用符号是log。

本部分将复常用对数函数的特点，包括定义、图像和性质。

2.3 自然对数函数自然对数函数，即以常数e为底的对数函数，常用符号是ln。

本部分将复自然对数函数的定义、图像和性质，并介绍自然对数函数与常用对数函数之间的换底公式。

2.4 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用。

本部分将通过一些实例，复对数函数在指数增长、复利计算、震级计算等方面的应用。

3. 教学方法与活动设计3.1 教学方法本节课采用讲授与互动相结合的教学方法，旨在激发学生的研究兴趣和思维能力。

引导学生主动参与讨论与思考，提高对对数函数的理解和运用能力。

3.2 活动设计- 活动1: 小组讨论- 将学生分组，每组选择一个实际问题，设计如何利用对数函数解决该问题，并向全班展示解决方案。

- 活动2: 探究实验- 引导学生通过实际测量与观察，探究对数函数的特点和性质。

- 活动3: 应用练- 提供一些对数函数应用的练题，让学生巩固和应用所学知识。

4. 教学评价与总结4.1 教学评价本节课的教学评价主要采用多种方式，包括小组展示评价、实验报告评价和练题评价等。

通过综合考量学生的研究表现，对学生的对数函数理解和运用能力进行评价。

4.2 总结通过本节课的复与活动设计，学生能够全面回顾对数函数的定义、性质和应用，提高对对数函数的理解和运用能力，为进一步研究数学打下坚实的基础。

以上是本次对数函数复习的教案内容，希望能够对学生们的学习有所帮助。

对数函数复习教案

对数函数复习教案标题：对数函数复习教案教学目标：1. 复习对数函数的基本概念和性质；2. 掌握对数函数的运算规则；3. 理解对数函数在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教材：对数函数相关章节的教材；2. 教具：黑板、白板、彩色粉笔/马克笔、计算器；3. 学具：练习册、习题集。

教学过程：一、引入（5分钟）1. 利用一个实际问题引入对数函数的概念，例如：某种细菌的数量以指数形式增长，如何用对数函数来表示细菌的增长情况。

二、知识点讲解与讨论（15分钟）1. 回顾对数函数的定义：对于任意正数a和大于1的实数x，记作y=logₐx，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。

2. 讲解对数函数的性质：对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合；对数函数的图像特点等。

3. 探讨对数函数的运算规则：对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。

三、例题演练（20分钟）1. 给出一些简单的对数函数运算例题，引导学生独立完成，并进行讲解和讨论。

2. 针对一些常见的对数函数应用问题，例如：解决指数增长问题、计算酸碱度的pH值等，引导学生运用对数函数进行解答。

四、巩固练习（15分钟）1. 分发练习册或习题集，让学生在课堂上独立完成一些对数函数的练习题。

2. 收集学生的答案并进行讲解，解答学生的疑问。

五、拓展应用（10分钟）1. 提供一些对数函数在实际问题中的应用案例，例如：解决复利计算问题、解决天文学中的测距问题等。

2. 引导学生思考如何运用对数函数的知识解决这些实际问题，并进行讨论。

六、总结与反思（5分钟）1. 总结对数函数的基本概念、性质和运算规则；2. 让学生回顾本节课所学内容，反思自己的学习情况，并提出问题和困惑。

教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习，进一步探究对数函数的更多应用领域；2. 提供一些挑战性的对数函数题目，激发学生的学习兴趣和思维能力。

教学评估：1. 课堂练习中的学生答题情况；2. 学生对于对数函数概念和运算规则的理解程度；3. 学生在实际问题中应用对数函数的能力。

高三数学高考考前复习：对数及对数函数教案

第三节对数及对数函数一、复习目标：1、理解和掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

2、综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

二、重难点：重点：掌握对数的运算性质及对数函数的图像与性质。

难点：综合运用对数函数的图像与性质解决问题。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

学生阅读复资P19教师讲评，增强目标与参与意识。

（二）、知识梳理整合，方法定位。

（学生完成复资P18填空题，教师准对问题讲评）1、对数的概念如果b N a =（a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log N b a = b N a =⇔log N b a =（a ＞0，a ≠1，N ＞0）。

2、对数的运算性质：()loglog log MN M N a a b =+。

()log log log M N M N a a b =-. log log n b b n a a =.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）。

3、对数换底公式：log N b log log N b aa =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4、对数函数的图像及性质：①函数log x y a =（a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R ；过点（1，0），即当x=1时，y=0. 当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。

5、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =互为反函数，它们的图像关于直线y=x 对称.。

6、重难点问题探析：（1）、对数函数性质的拓展（Ⅰ）同底数的两个对数值)(log x f a 与)1,0)((log ≠>a a x g a 的大小比较若0)(,0)(,1>>>x g x f a ，则0)()()(log )(log >>⇔>x g x f x g x f a a若0)(,0)(,10>><<x g x f a ，则)()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <<⇔< （Ⅱ）同真数的对数值大小关系如图对应关系为（1）x y a log =，（2）x y b log =，（3）x y c log =，（4）x y d log =则作直线1=y 得b a d c <<<<<10，即图象在x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大。

高考数学复习讲义：对数与对数函数

第五节对数与对数函数[考纲要求]1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,10，12的对数函数的图象．3．体会对数函数是一类重要的函数模型．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)．突破点一对数的运算[基本知识]1．对数的概念、性质及运算概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x ＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a Nlog a1＝0，log a a＝1，a log a N＝_N_运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)(1)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)；(2)log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(2)log2x2＝2log2x.()(3)存在这样的M，N使得log2(MN)＝log2M·log2N.()答案：(1)×(2)×(3)√二、填空题1．已知log62＝p，log65＝q，则lg 5＝________(用p，q表示)．解析：lg 5＝log65log610＝qlog62＋log65＝qp＋q.答案：q p ＋q2．计算：2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________. 解析：原式＝13＋3(lg 2＋lg 5)＋53＝5.答案：53．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________. 解析：∵4a ＝22a ＝2，∴a ＝12.∴lg x ＝12，∴x ＝10.答案：104．log 225·log 34·log 59＝________.解析：原式＝lg 25lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·2lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝8.答案：8[典例感悟]计算下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64.解：(1)原式＝log 535＋log 550－log 514＋2log 12212＝log 535×5014＋log 122＝log 553－1＝2.(2)原式＝[(log 66－log 63)2＋log 62·log 6(2×32)]÷log 64＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫log 6632＋log 62·(log 62＋log 632)÷log 622 ＝[(log 62)2＋(log 62)2＋2log 62·log 63]÷2log 62 ＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.[方法技巧]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.[针对训练]1．计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________. 解析：原式＝lg ⎝⎛⎭⎫14×125×10012＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－202．计算：lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.解析：原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2＋lg ⎝⎛⎭⎫16×0.06 ＝3lg 5·lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2＝ 3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝1.答案：13．(2019·宁波期末)已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.解析：∵4a ＝5b ＝10，∴a ＝log 410，1a ＝lg 4，b ＝log 510，1b ＝lg 5，∴1a ＋2b ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.答案：2突破点二对数函数的图象及应用[基本知识]1．对数函数的图象函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x,0<a <1图象图象特征在y 轴右侧，过定点(1,0)当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a 0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象不在第二、三象限．( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)的图象恒过定点(0,0)．( ) 答案：(1)√ (2)√ 二、填空题1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．解析：y ＝log a x 的图象恒过点(1,0)，令x －3＝1，得x ＝4，则y ＝－1. 答案：(4，－1)2．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.答案：13．若f (x )＝log 2x ，则f (x )>0的x 的范围是________．答案：(1，＋∞)[全析考法]考法一对数函数图象的辨析[例1] (2019·海南三市联考)函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )[解析] 法一：函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C.法二：||y ＝log a (x ＋1)的图象可由y ＝log a x 的图象左移1个单位，再向上翻折得到，结合选项知选C.[答案] C [方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．考法二对数函数图象的应用[例2] (2019·辽宁五校联考)已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[解析] 由f (a )＝f (b )得|ln a |＝|ln b |，根据函数y ＝|ln x |的图象及0<a g (1)＝5. [答案] C [易错提醒]应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求解错误，要记准记牢图象的变换规律．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝log a|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选A.2.[考法二]已知函数f(x)＝|log12x|的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m，值域为[0,1]，则m的取值范围为________．解析：作出f(x)＝|log12x|的图象(如图)，可知f⎝⎛⎭⎫12＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.答案：[1,2]3.[考法二]使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．解析：在同一坐标系中分别画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象(如图所示)，由图象知使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是(－1,0)．答案：(－1,0)突破点三对数函数的性质及应用[基本知识]对数函数的性质函数y＝log a x(a>0，且a≠1)a>10<a<1性质定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当x>1时，y<0；当0<x <1时，y <0当0<x <1时，y >0[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当x >1时，log a x >0.( )(2)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( ) (3)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________．答案：[2，＋∞)2．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞3．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________. 答案：2或12[全析考法]考法一与对数有关的函数定义域问题[例1] (2018·西安二模)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3][解析] 由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0，符合题意；当m ≠0时，只需⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝(－2m )2－12m <0，解得0<m <3.综上0≤m <3，故选B.[答案] B [方法技巧]已知f (x )＝log a (px 2＋qx ＋r )(a >0，且a ≠1)的定义域为R ，求参数范围时，要注意分p ＝0，p ≠0讨论．同时p ≠0时应结合图象说明成立条件．考法二与对数有关的比较大小问题[例2] (2019·湖北华中师大第一附属中学期中)设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a[解析] ∵a ＝2 01812019>2 0180＝1,1＝log 2 0182 018>b ＝log 2 018 2 019>log 2 018 2 018＝12，c ＝log 2 019 2 018<log 2 019 2 019＝12，所以a >b >c .故选A. [答案] A[方法技巧] 对数函数值大小比较的方法单调性法在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底中间量过渡法寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”图象法根据图象观察得出大小关系考法三与对数有关的不等式问题[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2(－a )＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0.故选C. [答案] C [方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．考法四对数函数性质的综合问题[例4] 若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞ [解析] 由－x 2＋4x ＋5＞0，解得－1＜x ＜5.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋5的对称轴为x ＝2.由复合函数单调性可得函数f (x )＝ log 12(－x 2＋4x ＋5)的单调递增区间为(2,5)．要使函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧3m －2≥2，m ＋2≤5，3m －2＜m ＋2，解得43≤m ＜2.[答案] C [方法技巧]解决对数函数性质的综合问题的3个注意点(1)要分清函数的底数是a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)．(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行．(3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性．[集训冲关]1.[考法一]函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞) C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，ln (3x ＋1)≠0，解得x >－13且x ≠0，故选B.2.[考法二]设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．b <c <a C ．c b >c解析：选B a ＝log 50.5>log 50.2＝－1，b ＝log 20.3<log 20.5＝－1，c ＝log 0.32>log 0.3103＝－1，log 0.32＝lg 2lg 0.3，log 50.5＝lg 0.5lg 5＝lg 2－lg 5＝lg 2lg 0.2.∵－1<lg 0.2<lg 0.3<0，∴lg 2lg 0.3<lg 2lg 0.2，即c <a ，故b <c <a .故选B.3.[考法三](2019·湛江模拟)已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．解析：∵log a 34<1＝log a a ，故当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，0<a <34；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，a >34，∴a >1.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 4.[考法四](2019·盐城中学月考)已知函数f (x )＝log a1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2.答案： 2[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫54×45a ＝2×1＋log a a ＝3. 2．(2018· 衡水名校联考)函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.3．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a解析：选A 因为a ＝log 3π＞log 33＝1，b ＝log 23＜log 22＝1，所以a ＞b ；又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2＞1，c ＞0，所以b ＞c .故a ＞b ＞c .4．(2019·武汉调研)函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)解析：选D 由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)，故选D.5．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝12，故幂函数为f (x )＝x 12.答案：x 126．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)[B 级保分题——准做快做达标]1．(2019·广东普通高中学业水平考试)对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( ) A ．lg y －lg x ＝lg yxB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10解析：选B 由对数的运算性质可知lg x ＋lg y ＝lg(xy )，因此选项B 错误． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12xC ．log 12xD ．2x －2解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．0解析：选A 由函数f (x )的解析式可得：f (x )＋f (－x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2＋lg(1＋4x 2－2x )＋2＝lg(1＋4x 2－4x 2)＋4＝4， ∴f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝f (ln 2)＋f (－ln 2)＝4.故选A. 4．(2019·衡水中学模考)函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析：选B 易知函数y ＝x ln|x ||x |为奇函数，故排除A ，C ；当x >0时，y ＝ln x ，只有B项符合．故选B.5．(2019·菏泽模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log a x ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≤2时，f (x )∈[6，＋∞)，所以当x >2时，f (x )的取值集合A ⊆[6，＋∞)．当0<a <1时，A ＝(－∞，log a 2＋5)，不符合题意；当a >1时，A ＝(log a 2＋5，＋∞)，若A ⊆[6，＋∞)，则有log a 2＋5≥6，得1<a ≤2.综上所述，选C.6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选A ∵a ＞0，∴2a ＞1，∴log 12a ＞1，∴0＜a ＜12.∵b ＞0，∴0＜⎝⎛⎭⎫12b ＜1，∴0＜log 12b ＜1，∴12＜b ＜1. ∵c ＞0，∴⎝⎛⎭⎫12c ＞0，∴log 2c ＞0，∴c ＞1. ∴0＜a ＜12＜b ＜1＜c ，故选A.7．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，1 B.⎣⎡⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1解析：选A 当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[ 12，23 ]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1. 8．(2019·六安一中一模)计算：(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.解析：原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1＋lg 3＋33log 25＝1－lg 3＋lg 3＋25＝26.答案：269．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，得f (x )min ＝log a (8－a )>1，解得a >4，且0<a <1，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，83. 答案：⎝⎛⎭⎫1，83 10．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．解析：令g (x )＝x 2－26x ＋a ，则f (x )＝log a [g (x )]．①若a ＞1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最小值 a ，而g (x )＝x 2－26x ＋a ＝(x －6)2＋a －6，当x ＝6时，取最小值a－6，因此有⎩⎨⎧a ＞1，a ＝a －6，解得a ＝9.②若0＜a ＜1，由于函数f (x )有最小值12，则g (x )应有最大值a ，而g (x )不存在最大值，不符合题意．综上，实数a ＝9.答案：911．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫x ＋ax －2，其中a 是大于0的常数． (1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解：(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x >0，当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0.因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝lg a2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞)．12．(2019·邯郸模拟)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，当x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， ∵当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立． ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)由(1)知函数t (x )＝3－ax 为减函数．∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 在[1,2]上为增函数，∴a >1，当x ∈[1,2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a(3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.[C 级难度题——适情自主选做]1．(2019·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：选D 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，所以两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)，因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)，因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1.2．(2019·安丘一中期中)如图所示，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎫22x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：因为点A 的纵坐标为2，所以令2x ＝2，解得点A 的横坐标为12，故x D ＝12.令x 12＝2，解得x ＝4，故x C ＝4.所以y C ＝⎝⎛⎭⎫224＝14，故y D＝14，所以D ⎝⎛⎭⎫12，14.答案：⎝⎛⎭⎫12，143．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 3x ，0＜x ＜1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ＜1，n ＞1，mn ＝1，所以0＜m 2＜m ＜1，则f (x )在[m 2,1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)＞f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3，所以n m ＝9.答案：9。

对数与对数函数教案

对数与对数函数教案教案标题：对数与对数函数教案教案目标：1. 理解对数的概念和性质；2. 掌握对数的运算规则；3. 理解对数函数的定义和图像特征；4. 能够应用对数和对数函数解决实际问题。

教学重点：1. 对数的概念和性质；2. 对数的运算规则；3. 对数函数的定义和图像特征。

教学难点：1. 对数函数的定义和图像特征；2. 对数函数的应用。

教学准备：1. 教材：包含对数和对数函数的相关知识点；2. 教具：白板、黑板、彩色粉笔、投影仪等；3. 辅助工具：计算器、教学PPT等。

教学步骤：步骤一：导入新知1. 利用一组问题或实例引起学生对对数的兴趣，例如：“如果我告诉你某个数的对数是3，你能告诉我这个数是多少吗？”、“你知道对数函数有什么特殊的性质吗？”等。

2. 引导学生思考对数的概念和作用，并与实际生活中的问题联系起来。

步骤二：讲解对数的概念和性质1. 通过示意图或实例，简明扼要地介绍对数的定义和性质，包括对数的底数、真数、对数等。

2. 引导学生理解对数的意义和作用，例如在指数运算、科学计数法、解决指数方程等方面的应用。

步骤三：讲解对数的运算规则1. 通过具体的计算实例，向学生介绍对数的运算规则，包括对数乘法法则、对数除法法则、对数的幂等式等。

2. 引导学生掌握对数运算规则的应用，培养其灵活运用对数进行数值计算的能力。

步骤四：讲解对数函数的定义和图像特征1. 引导学生理解对数函数的定义和表示形式，例如y = logₐx。

2. 通过绘制对数函数的图像，向学生展示对数函数的特征，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

3. 引导学生观察对数函数图像的变化规律，比较不同底数对对数函数图像的影响。

步骤五：应用对数和对数函数解决实际问题1. 提供一些实际问题，引导学生运用对数和对数函数解决问题，例如指数增长问题、科学研究中的数据处理等。

2. 引导学生分析问题、建立数学模型，并利用对数和对数函数进行计算和推理。

步骤六：总结与拓展1. 对本节课所学内容进行总结，强调对数和对数函数的重要性和应用价值。

高中复习学案对数函数

学案4 对数和对数函数【知识要点】1、对数的概念一般地，如果的次幂等于，即，那么就称是以为底的对数，记作。

其中，叫做对数的底数，叫做真数。

2、常用对数通常将以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数简记为 3、自然对数在科学技术中，常使用以为底的对数，这种对数称为自然对数，是一个无理数，正数的自然对数一般简记为 4、对数的两个运算性质其中 5、对数的换底公式一般地,,其中 6.对数函数的概念一般地，叫做对数函数，它的定义域是 7．对数函数与指数函数的关系的定义域和值域分别是函数的值域和定义域，它们)1,0(≠>a a a b N N a b =b a N b N a =log a N N 10log N lg e e N N e log N ln N M MN a a a log log )(log +=N M NMa a alog log log -=0,0,1,0>>≠>N M a a aNN c c a log log log =1,1,0,0,0≠≠>>>c a N c a 且x y a log =)10(≠>a a 且),0(+∞x y a log =x a y =互为反函数8、对数函数的图像与性质9、函数与图像的关系时,函数的图像向左平移个单位,得函数的图像时, ,函数的图像向右平移个单位, 得函数的图像10、函数与图像的关系有函数为偶函数易知,时=此时函数图像记为;时, =,即得关于轴对称的图像例1、求值(4) (5)例2、已知均为正数,且,求证: x y a log =)0,1,0)((log ≠≠>+=b a a b x y a 0>b x y a log =b )(log b x y a +=0a a x y a log =0>x x y a log =x a log 1c 0<x x y a log =)(log x a -1c y 2c ()06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 123++++5lg 2lg 3)5(lg )2)(lg 2(33++()3log 2333558log 932log 2log 23-+-91log 81log 251log 532⋅⋅)3log 9log 3(log 32log 2524215325+∙∙∙++⋅z y x ,,z y x 643==yx z 2111=-例3、已知,求例4、已知,求的值.例5、求下列函数的定义域（1）（2）例6、利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小（1），（2），（3），例7、已知，求的值例8、求下列函数的单调区间（1）（2）例9、解下列不等式(1)310log log ,1=+>>a b b a b a a b b a log log -y x y x y x lg lg 2lg )lg()lg(++=++-yx )4(log 2.0x y -=1log -=x y a )10(≠>a a 且4.3log 28.3log 28.1log 5.01.2log 5.05log 77log 6y x y x lg lg )2lg(2+=-yx25.0log x y =2log 4log 222-+-=x x y )10(08log log 22<<>--a x x a a(2) 例10、将函数的图像向左平移一个单位得到,将向上平移一个单位,得到,再作关于直线的对称图形,得到,求的解析式例11.在函数的图像上有A,B,C 三点,它们的横坐标分别是(1) 若的面积为,求 (2) 判断的单调性例12、若,则函数的图像过定点_______,函数的图像过定点____________例13、函数的单调增区间为_____________ 例14、若函数的对称轴为,则实数=___________131log )32(log 2221+>-+x x x x y 2=1c 1c 2c 2c x y =3c 3c )1,10(log ≥<<=x a x y a 4,2,++t t t ABC ∆S )(t f S =)(t f S =10≠>a a 且11-=-x a y 1)1(log --=x y a 56log )(23.0+-=x x x f a x x f +=3log )(1-=xa课后作业：1、求函数的定义域2、求函数，的最小值和最大值3、已知函数在上的最大值比最小值大1，则＝______4、已知,其中,则下列各式正确的是 ( )A B C D5、若函数的图像的对称轴是,求非零实数的值.)32(log )5(-=-x y x 5log log 41241+-=x x y ]4,2[∈x x y a log =)10(≠>a a 且]4,2[∈x a x x f a log )(=10<<a )41()2()31(f f f >>)2()31()41(f f f >>)41()31()2(f f f >>)31()2()41(f f f >>1log 2-=ax y 2=x a。

高二数学第11课时对数与对数函数学案

第11课时对数与对数函数【学习目标】1、理解对数函数的概念，理解对数函数的图象和性质。

2、能够运用函数的性质、对数函数的性质解决有关的问题。

【学习重点】对数函数的图象和性质的应用。

【基本知识点】 1．对数的定义如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1)： ①log a 1＝0；②log a a ＝1；③a log a N ＝N . (2)对数的换底公式基本公式：log a b ＝log c blog c a (a ，c 均大于0且不等于1，b >0)．(3)对数的运算法则：如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ，②log a MN＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的图像与性质a >1 0<a <1图像定义域 (0，＋∞) 值域 R 定点过点(1,0)单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值正负当x >1时，y >0；当0<x <1，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0【基础练习】1．(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．解析：当M ，N 为负数时，不能得到log 2M >log 2N ，而根据函数y ＝log 2x 的单调性可知，当log 2M >log 2N 时，可得M >N .答案：必要不充分2．(2014·常州期末)函数f (x )＝log 2(4－x 2)的值域为________．解析：因为4－x 2∈(0,4]，所以log 2(4－x 2)∈(－∞，2]，故原函数的值域为(－∞，2]．答案：(－∞，2]3．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图像经过定点A ，则A 点坐标是________．答案：(1,0)4．(2013·全国卷Ⅱ改编)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3 x 与y ＝log 5 x 的图像，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式即得log 32>log 52.答案：c >a >b5. 已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则,m n 与1的大小关系是。

人教版数学高一-数学《对数与对数函数》学案

D C B A对数与对数函数姓名____________【知识要点】对数运算：（1）log log log a a a M N M N +=⋅；（2）log log log a a aM M N N -=；（3）log log log a N a M M N =；（4）log log a a b b αββα= （5）log a N a N =对数函数的图象规律：教学目标：1。

理解对数函数的生成，形成与发展。

2。

会基本的对数运算。

3。

会对数函数性质的应用教学重难点：对数函数性质的理解与应用例1．若5log log 3=⋅a b a ，则_______=b 。

求)2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+的值。

已知a =3log 5，试用a 表示9log 45；求下列各式的值：（1）23log 22- （2）22log 39 （3）4log 273例2．函数)(x f 的图像如图所示，则)(log 2.0x f y =的图像示意图为：例3．若函数|log (2)a y ax =-在[]0,1上是增函数，求a 的取值范围。

已知(31)4(1)()log (1)aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，求a 的取值范围。

已知函数lg(3)(0,1)ax y aa a -=>≠在其定义域[]1,1-上是减函数，求实数a 的取值范围。

例4（扩展例题）．设方程03log 3=-+x x 的根为1x ，方程033=-+x x 的根为2x ，求21x x +的值。

a 取何值时，方程)1lg()3lg()1lg(ax x x -=-+-有一解，有两解，无解？讨论下面方程实数解的个数：（1）x x sin 2log 3= （2）1)9(lg 2+--=x x如果不等式2log 0a x x -<在区间1(0,]2上恒成立，求实数a 的取值范围。

学案6：§2.6对数与对数函数

§2.6对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数的图象通过的特殊点；3.知道对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数.知识梳理1.对数2.对数函数的图像与性质3.反函数指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数(18)___________ (a>0且a≠1)互为反函数,它们的图像关于直线(19)______对称.基础自测1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若MN>0,则log a(MN)=log a M+log a N. ()(2)log a M=lgMlga =lnMlna. ()(3)函数y=log2x及y=lo g133x都是对数函数. ()(4)若M>N>0,则log a M>log a N. ()(5)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a,−1). ()2.函数f(x)=√log x−1的定义域为()A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)3.设a=log32,b=log52,c=log23,则()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b4.lg 0.01+log216的值是.5.若log a34>1(a>0,且a≠1),则实数a的取值范围是___________.自测点评1.应用对数的运算性质及换底公式时,一要熟记公式及公式成立的条件,防止混用、错用,二要会公式的正用、逆用和变用.2.对数值的大小比较的常用方法: (1)化同底后利用函数的单调性; (2)作差或作商法; (3)利用中间值(0或1); (4)化同真数后利用图像比较.3.判断对数函数的单调性、求对数函数的最值、求对数不等式中的参数范围,都与底数a 有关,解题时要注意按0<a<1和a>1分类讨论,否则易出错. 考点1：对数式的化简与求值例1(1) lg 52+2lg 2-(12)−1= . (2)计算:log 2√22= ,2log 23+log 43= . 思考:对数运算的一般思路如何? 解题心得:对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算. 对点训练1(1)(log 29)·(log 34)=( ) A.14B.12 C.2 D.4(2)设2a =5b =m ,且1a+1b=2,则m 等于( )A.√10B.10C.20D.100(3)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2= . 2 考点2对数函数的图像及其应用例2(1)函数f (x )=ln x 的图像与函数g (x )=x 2-4x+4的图像的交点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3(2)当0<x ≤12 时,4x <log a x ,则a 的取值范围是( ) A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2) D.(√2,2)思考:应用对数型函数的图像主要解决哪些问题?解题心得:应用对数型函数的图像可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解.对点训练2 若不等式x 2-log a x<0对x ∈(0,12)恒成立,则实数a 的取值范围为__________. 考点3对数函数的性质及其应用(多维探究) 类型一比较对数值的大小例3设a =log 2π, b=lo g 12π,c=π-2,则( )A.a>b>c B .b>a>c C .a>c>b D .c>b>a 类型二解简单的对数不等式例4(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (lo g 12a )≤2f (1),则a 的取值范围是( )A.[1,2]B.(0,12]C.[12,2] D.(0,2](2)设函数f (x )={log 2x,x >0,log 12(−x),x <0.若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( )A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1) 类型三对数型函数的综合问题例5已知f (x )=log a (a x -1)(a>0,且a ≠1). (1)求f (x )的定义域; (2)讨论函数f (x )的单调性.思考:在判断与对数函数有关的复合函数的单调性时需要注意哪些条件?解题心得:1.对数的大小比较,同底数的可借助函数的单调性;底数不同、真数相同的可以借助函数的图像;底数、真数均不同的可借助中间值(0或1).2.解简单对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意底数a 的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a 对增减性的影响,以及真数必须为正的限制条件.对点训练3 (1)已知a=2−13,b=log 213,c=lo g 1213 ,则( )A .a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D .c>a>b(2)已知函数f(x)=log a(8-ax)(a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.知识方法1.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过图像与直线y=1交点的横坐标进行判定.2.研究对数型函数的图像时,一般从最基本的对数函数的图像入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,要注意底数a>1和0<a<1的两种不同情况.有些复杂的问题,借助于函数图像来解决,就变得简单了,这是数形结合思想的重要体现.3.利用对数函数单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题,其基本方法是“同底法”,即把不同底的对数式化为同底的对数式,然后根据单调性来解决.参考答案知识梳理1.对数(1)a x=N(2)log a N(3)底数(4)真数(5)log a N=x(6)零(7)0(8)1(9)1(10)N(11)log a M+log a N(12)log a M-log a N(13)n log a M2.对数函数的图像与性质(14) (0,+∞)(15) (1,0)(17)减函数 3.(18)y =log a x (19)y =x 基础自测 1.(1)-(5)×√××√ 2.C【解析】∵f (x )有意义, ∴{log 2x −1>0,x >0.∴x>2,∴f (x )的定义域为(2,+∞). 3.D【解析】∵log 25>log 23>1, ∴log 23>1>1log 23>1log 25>0,即log 23>1>log 32>log 52>0, ∴c>a>b. 4. 2【解析】lg 0.01+log 216=lg 10-2+log 224=-2+4=2. 5. (34,1)【解析】当a>1时,log a 34>1=log a a ,得a ∈⌀; 当0<a<1时,log a 34>1=log a a ,故34<a<1.所以实数a 的取值范围是(34,1). 考点1：对数式的化简与求值例1(1) -1【解析】根据对数的运算法则知, lg 52+2lg 2-(12)−1=lg 5-lg 2+2lg 2-2 =lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. (2) -12 3√3log 2√22=log 22−12=-12;对点训练1 (1)D 【解析】(log 29)·(log 34)=lg9lg2·lg4lg3=2lg3lg2·2lg2lg3=4.(2)A【解析】∵2a =5b =m ,∴a =log 2m ,b=log 5m , ∴1a+1b =1log 2m+1log 5m=log m 2+log m 5=log m 10=2.∴m=√10. (3) 2 【解析】原式=lg 52+(1+lg 5)lg 2+(lg 2)2 =2lg 5+(lg 2+lg 5+1)lg 2 =2lg 5+(1+1)lg 2=2(lg 2+lg 5)=2. 考点2对数函数的图像及其应用例2(1)C 【解析】同一直角坐标系中作出函数f (x )=ln x 与g (x )=x 2-4x+4=(x -2)2的图象,如图所示.由图知f (x )与g (x )的图象的交点个数为2,故选C. (2)B【解析】设函数f (x )=4x 和g (x )=log a x ,画出两个函数在(0,12]上的图象,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,可知,f (12)<g (12),即2<log a 12,则a>√22,所以a 的取值范围为(√22,1).对点训练2 [116,1)【解析】由x 2-log a x<0得x 2<log a x ,设f 1(x )=x 2,f 2(x )=log a x , 要使x ∈(0,12)时,不等式x 2<log a x 恒成立,只需在(0,12)上f 1(x )=x 2的图象在f 2(x )=log a x 图象的下方即可.当a>1时,显然不成立;当0<a<1时,如图所示, 要使x 2<log a x 在x ∈(0,12)上恒成立,需f 1(12)≤f 2(12), 所以有(12)2≤log a 12,解得a ≥116,∴116≤a<1.即实数a 的取值范围是[116,1).考点3对数函数的性质及其应用(多维探究) 类型一比较对数值的大小例3 C 【解析】∵a =log 2π>log 22=1,b=lo g 12π<lo g 121=0,c=π−2=1π2∈(0,1),∴a>c>b.故选C.类型二解简单的对数不等式例4(1)C【解析】因为lo g 12a=-log 2a ,所以f (log 2a )+f (lo g 12a )=f (log 2a )+f (-log 2a )=2f (log 2a ),原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1), 即f (log 2a )≤f (1).又因为f (x )是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上递增, 所以|log 2a|≤1,即-1≤log 2a ≤1,解得12≤a ≤2,故选C.(2)C【解析】由题意可得{a >0,log 2a >−log 2a,或{a <0,log 12(−a)>log 2(−a),解得a>1或-1<a<0.类型三对数型函数的综合问题例5解:(1)由a x -1>0,得a x >1. 当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.∴当a>1时,f (x )的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f (x )的定义域为(-∞,0). (2)当a>1时,设0<x 1<x 2,则1<a x 1<a x 2,故0<a x 1-1<a x 2-1, ∴log a (a x 1-1)<log a (a x 2-1). ∴f (x 1)<f (x 2).故当a>1时,f (x )在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当0<a<1时,f (x )在(-∞,0)上为增函数. 对点训练3 (1)D【解析】∵0<a=2−13<20=1,b =log 213<log 21=0,c=lo g 1213>lo g 1212=1,∴c>a>b.故选D.(2) (1,83)【解析】当a>1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数, 由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-2a )>1,解得1<a<83.若0<a<1时,f (x )在x ∈[1,2]上是增函数,由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-a )>1,且8-2a>0.∴a>4,且a<4,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是(1,83).(3)解:①f (x )=log a (x+1)-log a (1-x ), 则{x +1>0,1−x >0,解得-1<x<1. 故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}. ②f (x )为奇函数.证明如下:由(1)知f (x )的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x).故f(x)为奇函数.③因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,>1,解得0<x<1.由f(x)>0,得x+11−x所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}.。

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对数与对数函数一．基础知识 1．对数(1)对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a (2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0(4)对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且2．对数函数一般形式： y =a log x (a>0且a≠1)定义域：(0,+ ∞) 值域：(0,+ ∞) 过定点：（1，0）图象：单调性： a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数值分布：当时且1,1>>x a y>0 当时且1,10><<x a y<0时且10,1<<>x a y<0 时且10,10<<<<x a y>03.记住常见对数函数的图形及相互关系二、题型剖析1．对数式的化简和运算题组①指数式与对数式的互化 ⑴将下列指数式改写成对数式；1624=；27133=-；205=a ；45.021=⎪⎭⎫⎝⎛b⑵将下列对数式改写成指数式；3125log 5=； 23log 31-=；699.1lg -=a题组②计算：（1）1log 2log 2a a +；（2）33log 18log 2-；（3）1lg lg 254-；（4）552log 10log 0.25+；（5）522log 253log 64+；（6）22log (log 16)。

题组③计算：①2lg 50lg )5(lg 2⋅+ ②12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+2．换底公式及应用例2（1）已知4.1log ,35log 75求m = （2）若aa a +-==3)3(416log :,27log 612求证思维分析：用换底公式化成相关数质数为对数的底数与真数，再进行代换。

3．指对数互化例3．已知x,y,z 为正数，满足zyx643== ① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。

4．对数函数的图象例4.图中的曲线是对数函数x y a log =的图象，已知a 的取值为2、34、52、61四个值，则相应于曲线1C 、2C 、3C 、4C 的a 的值依次为【】A ．2、34、52、61B ．34、2、61、52C ．2、34、61、52D ．34、2、52、61训练：⑴若01a <<，则函数log (5)a y x =+的图象不经过【】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 ⑵若143log <a ，则a 的取值范围是【】A ．)43,0( B ．),43(+∞ C ．)1,43( D ．)43,0(),1(+∞5．对数函数的性质例4.已知函数()x f 是实数集R 上的奇函数，且当0>x 时，()()1log 2+=x x f （其中0>a 且1≠a ）2C3 4⑴求函数()x f 的解析式；⑵画出函数()x f 的图像；⑶当()1>x f 时，写出x 的范围例5. 已知函数()x f ＝()10,0log ≠>>-+a b a bx bx a且. ⑴求()x f 的定义域；⑵判断()x f 的奇偶性；⑶讨论()x f 的单调性。

6.综合运用⑴已知()3log 1x x f +=，()2log 2x x g =，试比较()x f 与()x g 的大小⑵已知11log )(--=x mxx f a是奇函数（其中)1,0≠>a a ，（1）求m 的值；（2）讨论)(x f 的单调性；（3）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值.(3)对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围；（4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值；（5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值；（6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.(4)解答下述问题：（Ⅰ）设集合}03log 21log 2|{8221≤+-=x x x A ，若当A x ∈时，函数4log 2log )(22x x x f a⋅=的最大值为2，求实数a 的值.（Ⅱ）若函数22724)(21+⋅-=-x x a x f 在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a 的值.（Ⅲ）设关于x 的方程∈=--+b b x x (0241R ），（1）若方程有实数解，求实数b 的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解.高一数学对数与对数函数复习题一、选择题1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（）（A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2 2.2log a (M-2N)=log a M+log a N,则NM的值为（）（A ）41 （B ）4 （C ）1 （D ）4或13．已知x 2+y 2=1,x>0,y>0,且log a (1+x)=m,logaya n xlog ,11则=-等于（）（A ）m+n （B ）m-n （C ）21(m+n) （D ）21(m-n)4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（）（A ）lg5·lg7 （B ）lg35 （C ）35 （D ）351 5.已知log 7[log 3(log 2x)]=0，那么x 21-等于（）（A ）31 （B ）321 （C ）221 （D ）3316．函数y=lg （112-+x）的图像关于（）（A ）x 轴对称（B ）y 轴对称（C ）原点对称（D ）直线y=x 对称7．函数y=log (2x-1)23-x 的定义域是（）（A ）（32，1）⋃（1，+∞）（B ）（21，1）⋃（1，+∞）（C ）（32，+∞）（D ）（21，+∞）8．函数y=log 21(x 2-6x+17)的值域是（）（A ）R （B ）[8，+∞] （C ）（-∞，-3）（D ）[3，+∞]9．函数y=log 21(2x 2-3x+1)的递减区间为（）（A ）（1，+∞）（B ）（-∞，43］（C ）（21，+∞）（D ）（-∞，21］ 10．函数y=(21)2x+1+2,(x<0)的反函数为（）（A ）y=-)2(1log )2(21>--x x （B ）)2(1log )2(21>--x x （C ）y=-)252(1log )2(21<<--x x （D ）y=-)252(1log )2(21<<--x x11.若log m 9<log n 9<0,那么m,n 满足的条件是（）（A ）m>n>1 （B ）n>m>1 （C ）0<n<m<1 （D ）0<m<n<112.log a 132<，则a 的取值范围是（）（A ）（0，32）⋃（1，+∞）（B ）（32，+∞）（C ）（1,32）（D ）（0，32）⋃（32，+∞） 13．若1<x<b,a=log ２b x,c=log a x,则a,b,c 的关系是（）（A ）a<b<c （B ）a<c<b （C ）c<b<a （D ）c<a<b 14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）（A ）y=log 21(x+1)（B ）y=log 212-x （C ）y=log 2x1（D ）y=log21(x 2-4x+5)15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（）（A ）y=2xx e e -+（B ）y=lg x x +-11（C ）y=-x 3 （D ）y=x16.已知函数y=log a (2-ax)在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）（A ）（0，1）（B ）（1，2）（C ）（0，2）（D ）[2，+∞) 17．已知g(x)=log a 1+x (a>0且a ≠1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a 1+x 是（）（A ）在（-∞，0）上的增函数（B ）在（-∞，0）上的减函数（C ）在（-∞，-1）上的增函数（D ）在（-∞，-1）上的减函数 18．若0<a<1,b>1,则M=a b ，N=log b a,p=b a 的大小是（）（A ）M<Nf(b)，则（）（A ）ab>1 （B ）ab<1 （C ）ab=1 （D ）(a-1)(b-1)>0 二、填空题1．若log a 2=m,log a 3=n,a 2m+n = 。

2．函数y=log (x-1)(3-x)的定义域是。

3．lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。

4.函数f(x)=lg(x x -+12)是（奇、偶）函数。

5．已知函数f(x)=log 0.5 (-x 2+4x+5),则f(3)与f （4）的大小关系为。

6．函数y=log 21(x 2-5x+17)的值域为。

7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-∞，1），则a= 。