《离散数学》期末考试题2222

《离散数学》期末考试题(A)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵. 二、单选题(每小题3分，共15分)1.设A , B 是集合，若A B A =-，则(A)B = ∅ (B) A = ∅ (C)=⋂B A ∅ (D)A B A =⋂2.谓词公式)())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀中量词x ∀的辖域为 (A))())()((x R y yQ x P x ∧∃→∀ (B))()(y yQ x P ∃→(C))())()((x R y yQ x P ∧∃→ (D))()(y yQ x P ∃→和)(x R3.任意6阶群的子群的阶一定不为(A)4 (B)6 (C)2 (D)3 4.设n 是正整数，则有限布尔代数的元素个数为(A)2n (B)4n (C)n2 (D)2n 5.对于下列序列，可构成简单无向图的度数序列为(A)3, 3, 4, 4, 5 (B)0, 1, 3, 3, 3 (C)1, 1, 2, 2, 3 (D)1, 1, 2, 2, 2 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1. 设N N N :⨯→f ，)1,()(+=x x x f ，则f是满射. ( )2. 5男5女圆桌交替就座的方式有2880种. ( )3. 设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x yx ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4. 任何树都至少2片树叶. ( )5. 无向图G 有生成树的充要条件是G 为连通图. ( ) 四、(10分)设C B A ,,和D 是集合，证明)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-，并举例说明上式中不能将⊆改为 = .五、(15分)设N 是自然数集合，定义N 上的关系R 如下：y x R y x +⇔∈),(是偶数，1.证明R 是N 上的等价关系.2.求出N 关于等价关系R 的所有等价类.3.试求出一个N 到N 的函数f ，使得)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=.六、(10分)在实数集合R 中证明下列推理的有效性:因为R 中存在自然数，而所有自然数是整数，所以R 中存在整数. 七、(10分)设R 是实数集合，令}0,R ,|),{(≠∈=a b a b a G，定义G 上的运算如下:对于任意G d c b a ∈),(),,(，),(),(),(b ad ac d c b a +=⋅，证明),(⋅G 是非Abel 群. 八、(10分)若简单平面图G 的节点数7=n 且边数15=m ，则G 是连通图，试证明之.《离散数学》期末考试题(A)参考答案一、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ∅, {{a , b }},{{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3.3.0)(↓∨q p .4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}.5.9.二、1(C); 2(B); 3(A); 4(C); 5(D). 三、1(×); 2(√); 3(×); 4(×); 5(√). 四、证 对于任意)()(),(D CB A y x -⨯-∈，有B A x -∈且DC y -∈，于是B x A x ∉∈,且D y C y ∉∈,，进而D B y x C A y x ⨯∉⨯∈),(,),(，因此)()(),(D B C A y x ⨯-⨯∈，所以)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯⊆-⨯-.例如取}{},{},,{d D c C b a B A ====，这时=-B A ∅，进而=-⨯-)()(D C B A ∅，而)},(),,{()},(),,{()},(),,{()()(c b c a d b d a c b c a D B C A =-=⨯-⨯，故)()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯≠-⨯-.五、证 1.对于任意∈x N ，由于x x x 2=+是偶数，于是R x x ∈),(，因此R 是N 上的自反关系.对于任意∈y x ,N ，若R y x ∈),(，则y x +是偶数，即x y +是偶数，于是R x y ∈),(，因此R是N 上的对称关系.对于任意∈z y x ,,N ，若R y x ∈),(且R z y ∈),(，则y x +是偶数且z y +是偶数，于是y z y y x z x 2)()(-+++=+是偶数，进而R z x ∈),(，因此R 是N 上的传递关系.综上所述，R 是N 上的等价关系.2. N 关于等价关系R 的所有等价类为,...}6,4,2,0{]0[=R 和,...}7,5,3,1{]1[=R .3.令⎩⎨⎧=→是奇数是偶数x x x f f ,1,0)(,N N :，显然)}()(,N ,|),{(y f x f y x y x R =∈=. 六、证 令x x N :)(是自然数，x x Z :)(是整数，则 前提: ))()((),(x Z x N x x xN →∀∃ 结论: )(x xZ ∃构造性证明如下:(1))(x xN ∃ P (2))(c N ES(1) (3)))()((x Z x N x →∀ P(4))()(c Z c N → US(3) (5))(c Z T(2)(4)I (6))(x xZ ∃ EG(5)七、证 (1)对于任意G d c b a ∈),(),,(，有0,≠c a ，进而0≠ac ，于是G b ad ac ∈+),(，即“∙”是G 上的代数(封闭)运算.(2)结合律 对于任意G f e d c b a ∈),(),,(),,(，一方面有 ),(),(),()),(),((f e b ad ac f e d c b a ⋅+=⋅⋅))(,(b ad f ac ace ++⋅=),(b ad acf ace ++=，另一方面有))(,(),(),()),(),((),(b d cf a ace d cf ce b a f e d c b a ++=+⋅=⋅⋅ ),(b ad acf ace ++=，于是)),(),((),(),()),(),((f e d c b a f e d c b a ⋅⋅=⋅⋅.(3)单位元为(1, 0) 对于任意G b a ∈),(，由于),()0,(),()0,1(b a b a b a =+=⋅且),()0,()0,1(),(b a b a a b a =+=⋅，于是(1, 0)是单位元.(4)每元素均存在逆元 对于任意G b a ∈),(，因为G a b a ∈⎪⎭⎫⎝⎛-,1且)0,1(,1,1),(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅b a b a a a a b a b a ，而)0,1(1,1),(,1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⋅=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b b a a a b a a b a ， 所以，G 中每元素均有逆元.(5)由于)3,2()1,2()2,1(=⋅且)5,2()2,1()1,2(=⋅，即)2,1()1,2()1,2()2,1(⋅≠⋅，因而“∙”不可交换.综上所述，),(⋅G 是非Abel 群.八、证(反证) 设G 是不连通的，则G 有)2(≥k k 个连通分支k G G G ,...,,21. 对于任意)1(k i i ≤≤，令i G 是),(i i m n 图. 若存在)1(k j j ≤≤使得1=j n ，则另外6个节点所生成的子图恰15条边. 由于G 是简单图，6K 的边数为15，即G 中含6K 子图. 显然，6K 不是平面图，这与已知G 是平面图矛盾.若存在)1(k j j ≤≤使得2=j n ，则另外5个节点所生成的子图恰14条边，这不可能，因为5K 的边数恰为10.于是kj n j ,...,2,1,3=≥, 因此对于每个连通分支有)1(63k j n m i i ≤≤-≤，进而∑∑∑===-=-=-≤=k i ki i i ki i kn k n n m m 1116363)63(. 因为15,7==m n ，所以k 67315-⋅≤，由此得出1≤k ，与2≥k 矛盾. 故G 是连通图.《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图.二、单选题(每小题3分，共15分)1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1-⋃R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为(A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是(A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有(A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r la a =. ( )2.命题联结词→不满足结合律. ( )3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“⋅8”的逆元为4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )5.任何),(m n 平面图的面数2+-=n m r . ( )四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ∅}， {{a , b }, a , b }，16. 2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤，奇数.二、1(B); 2(D); 3(C); 4(B); 5(C). 三、1(×); 2(√); 3(×); 4(×); 5(×). 四、证 对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射. 例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射. 五、解 1. R 的关系图R G 如下：2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的. (5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.综上所述，所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0111011100000111R M .六、解 命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为).()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p A ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=. 七、证 不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n52≤，进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解 设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数()x x x x x x x E +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1!21!3!21)(23265432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .《离散数学》期末考试题(C)一、填空题(每小题3分，共15分)1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号).(1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→；(4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 设A , B , C 是集合，则下述论断正确的是( ).(A)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ∈ C . (B)若A ⊆ B ， B ∈ C ，则A ⊆ C . (C)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ∈ C . (D)若A ∈ B ， B ⊆ C ，则A ⊆ C . 2. 设R ⊆ A ⨯ A ，S ⊆ A ⨯ A ，则下述结论正确的是( ). (A)若R 和S 是自反的，则R ⋂ S 是自反的.(B)若R 和S 是对称的，则S R 是对称的. (C)若R 和S 是反对称的，则S R 是反对称的. (D)若R 和S 是传递的，则R ⋃ S 是传递的.3.在谓词逻辑中，下列各式中不正确的是( ). (A))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀=∨∀(B))()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀=∧∀ (C))()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃=∨∃ (D)),(),(y x xA y y x yA x ∀∃=∃∀4. 域与整环的关系为( ).(A)整环是域 (B)域是整环 (C)整环不是域 (D) 域不是整环5.设G 是(n , m )图，且G 中每个节点的度数不是k 就是k + 1，则G 中度数为k 的节点个数为( ). (A)2n. (B)n (n + 1). (C)nk . (D)m k n 2)1(-+. 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.设f : Z → Z ，x x x f 2||)(-=，则f是单射. ( )2.设ϕ是群G 1到群G 2的同态映射，若G 1是Abel 群，则G 2是Abel 群. ( )3.设),(≤L 是格，对于L z y x ∈,,，若z x yx ⋅=⋅且z x y x +=+，则z y =. ( )4.元素个数相同的有限布尔代数都是同构的. ( )5.设G 是n (n ≥ 11)阶简单图，则G 或G 是非平面图. ( ) 四、(15分)设A 和B 是集合，使下列各式(1)A B A =⋂；(2)AB B A -=-；(3)A A B B A =-⋃-)()(成立的充要条件是什么，并给出理由.五、(10分) 设S 是实数集合R 上的关系，其定义如下∈=y x y x S ,|),{(R 且是3yx -是整数}， 证明: S 是R 上的等价关系. 六、(10分) 求谓词公式)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃的前束范式.七、(10分) 若n 个人，每个人恰有3个朋友，则n 必为偶数，试证明之. 八、(10分) 利用生成函数求解递归关系⎩⎨⎧=-+=-2)1(211a n a a n n .《离散数学》期末考试题(C)参考答案一、1.22,2,m mnmn .2.g , g , g .3.1,2,4.4.8，不存在，不存在.5.连通，3，10.二、1(C); 2(A); 3(B); 4(A); 5(D). 三、1(√); 2(×); 3(×); 4(√); 5(√). 四、证 (1) 显然，B A A B A ⊆⇔=⋂.(2)可以证明：B A A B B A =⇔-=-. (⇐)当A = B 时，A – B = ∅且B – A = ∅, 于是A B B A -=-.(⇒)假定A B B A -=-，先证明B A ⊆: 对于任意A x ∈，若B x ∉，则B A x -∈，进而A B x -∈，根据差运算定义知B x ∈，与B x ∉矛盾. 所以B x ∈，因此B A ⊆. 同理可证A B ⊆.故A = B .(3)容易证明：=⇔=-⋃-B A A B B A )()(∅.(⇐)显然.(⇒)(反证)若B ≠ ∅，则存在B x ∈. 分两种情况讨论：若A x ∉，则A B x -∈，由于A A B B A =-⋃-)()(，于是A x ∈，矛盾；若A x ∈，则B A x -∉且A B x -∉, 进而A x ∉，矛盾. 证毕.五、证 1. 对于任意x ∈ R , 因为03=-xx 是整数，所以(x , x ) ∈ S ，即S 是R 上的自反关系. 2. 对于任意x , y ∈ R , 若(x , y ) ∈ S ，则3y x -是整数，而33yx x y --=-也是整数，于是(y , x ) ∈ S .3. 对于任意x , y , z ∈ R , 若(x , y ) ∈ S 且(y , z ) ∈ S ，则3y x -是整数且3zy -是整数. 由于333zy y x z x -+-=-是整数，由此得出(x , z ) ∈ S . 综上所述，知S 是R 上的等价关系.六、解)))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀→∃⌝→→∃= )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝→→∃ = )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝→∃ = )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ∀∨⌝∃⌝∨⌝∨⌝∃ = )))()(()(()(x xD y yC y B x xA ⌝∀∧∃∨⌝∨⌝∃ = )))()(()(()(x D x y yC y B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀ = )))()(()(()(z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀ = ))))()(()(()((z D z y yC t B x A x ⌝∃∧∃∨⌝∨⌝∀ = ))))()(()(()((z D z y C t B x A y x ⌝∃∧∨⌝∨⌝∃∀ = )))()(()()((z D y C t B x A z y x ⌝∧∨⌝∨⌝∃∃∀.七、证 用n 个节点代表n 个人，两个人是朋友则在相应的两个节点之间连一条无向边，于是得到一个n 阶图, 其中每个节点的度数均为3.由于每个节点度数为3, 根据握手定理知m n v Vv 23)deg(==∑∈, 其中m 为G 的边数. 于是n 必为偶数. 证毕.八、解 由数列a 1，a 2，…，a n ，…，构造组合计数生成函数++++=n n x a x a x a x G 221)(.因为)1(21-+=-n a a n n，于是n n n x n a x a x G ))1(2()(211-++=∑∞=-222121)1(22-∞=-∞=-∑∑-++=n n n n n xn xxa x xnn nn n xn xx a x x ∑∑∞=∞=+++=021)1(2222)1(2)(2x x x xG x -++=，因而32)1(212)(x x x x x G -+-=∑∑∞=+∞=+=022222n nn n nx Cxx x∑∑∞=∞=+=12122n nn n nxC x()∑∞=+=1212n n n x C ()∑∞=+-=122n nx n n ，故22+-=n n a n .。