对数函数、对数方程

函数的应用举例
利用具体函数解决综合问题是我们需要关注的.具体函数的运用在生活中有很多体现，主要是在学习完函数这部分内容以后，重点运用二次函数，对数函数解决问题.二次函数主要涉及到求最大值和最小值的问题，解决这方面的问题主要依靠二次函数的定义域和函数图象的特点解决.
典型例题：
1．设某工厂的经济效益经过5年增长了65%，则每年比上一年平均增长的百分数是_________.
解:设原来的效益是1，每年比上一年平均增长的百分数是x，那么经过第一年的效益是1+x，经过第二年的效益是(1+x)+(1+x)·x=(1+x)2,……经过五年的效益是(1+x)5，列方程为(1+x)5=1+65%，两边取对数：
5lg(1+x)=lg1.65=0.2175.∴lg(1+x)=×0.2175=0.0435, 查反对数表，∴1+x=1.105, x=0.105=10.5%.
2．某种商品，进货价每件50元，据市场调查，当销售价格（每件x元）在50≤x≤80时，每天售出的件数
P=，当销售价格定为_________元时所获利润最多.
解:设销售价每件x元，获利润y元，则有y=(x-50)·=100000[].
将此式视为关于的二次函数，则当=即x=60元时，利润y有最大值.
3．按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为r，存期为x，写出本利和y随存期x 变化的函数式，如果存入本金1000元，每期利率8%，试计算5期后的本利和是多少？
精析：本题考查增长率的概念，指数幂数的应用.在实际问题中，常常遇到有关增长率的问题，如果原来产值的基础数为N，平均增长率为P，则对于时间x的总产值或总产量y，可以用下面的公式y=N(1+P)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式.
解：已知本金为a元.1期后的本利和为y1=a+a×r=a(1+r); 3期后的本利和为y3=a(1+r)3;
……x期后的本利和为y=a(1+r)x.将a=1000（元），r=8%, x=5代入上式得y=1000×(1+8%)5=1000×1.085,由计算器算得y=1469.32(元).
4．某生产饮料的企业准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q（万件）与广告费
x（万元）之间的函数关系为：Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需要再投入32万元，若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
（1）试将年利润W万元表示为年广告费x万元的函数.
（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大，最大利润为多少？
解．（1）年生产成本为32Q+3万元，年收入为150%(32Q+3)+50%x万元.
年利润W=年收入-年生产成本-年广告费，
∴W=(32Q+3-x)=(32·+3-x)=(x≥0).
（2）W==50-()≤42（万元）.(*)
当，即x=7时，W有最大值42.故当年广告费为7万元时，年利润最大为42万.
说明：（*）中运用到不等式的性质：如果a>0,b>0 则有，当且仅当a=b的时候等号成立.
5.某校办工厂有毁坏厂房一间，留有旧墙一面长14米.现准备利用这面旧墙的一段为一面墙，建造平面图形为矩形，面积为126米2的厂房.工程条件：（1）修1米旧墙的费用是用新材料建1米新墙费用的25%；（2）拆1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用是用新材料建1米新墙费用的50%.问如何利用旧墙才能使得建墙费用最低.（建门窗费用与用新材料建新墙费用相同）
解：设保留旧墙x米，拆除旧墙（14-x）米，用新材料建新墙：[x+2·-(14-x)]
设：用新材料建1米新墙的费用为a，修旧墙的费用：a·x·25%
拆旧墙所得材料建新墙的费用：a(14-x)·50%用新材料建新墙的费用：
a[x+2·-(14-x)]总费用y=a(x+-7)≥a(2-7)=(42-7)a=35a.（*）
当且仅当x=，即x=12时，“=”成立.∴保留旧墙12米，拆除2米时费用最少.
说明：（*）中运用到不等式的性质
6.（00全国）公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，
某人一月份交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（）.
A、800-900元
B、900-1200元
C、1200-1500元
D、1500-2800元
本例实际计算量很小，但需要有较好的逆向思维能力及分析问题和解决问题的能力.
解：（数学建模）设公民全月工资、薪金所得为x元，应交纳的个人所复部款为f(x)元，则依题意有：
f(x)=
某人一月份应交纳此项税款26.78元，因26.78∈(25, 175),故26.78=25+(x-1300)×10%, 解得x=1317.8元
7.（01全国）某疏菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t);
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t).
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天）
本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力.
解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为：
f(t)=
由图二可得种植成本与时间的函数关系为: g(t)=(t-150)2+100, 0≤t≤300.
（2）设t时刻的纯收益为h(t), 则由题意得h(t)=f(t)-g(t)，即
h(t)=当0≤t≤200时，配方整理得h(t)=-(t-50)2+100,
所以，当t=50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200<t≤300时，配方整理得：h(t)=- (t-350)2+100,
所以，当t=300时，h(t)取得区间(200,300]上的最大值87.5.
综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.
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选择题
1．图为某一盛水容器中用细线吊着一个下端有很小孔的小铁球，起初小球内充满水，现以恒定速度将铁球提出水面，则水面高度h与时间t的函数关系的图象可能是（）.
2．某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（）.
A、10%
B、1%
C、
D、
3．将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，若每个售价涨价1元，则日销量减少10个.为获最大利润，此商品当日售价应定为每个（）元.
A、16
B、15
C、14
D、13
4．某工厂从1949年的年产值100万元增加到40年后1989年的500万元，如果每年产值增长率相同，则每年年产值增长率是（）.
A、3%
B、4%
C、5%
D、6%
答案与解析
解析：
1．D．一方面由物理知识可知：小孔很小，所以拉出水面时，小球下孔要流出的水在水表面张力下呈曲面，使水不能从小孔流出，所以小球是带着一腔水被拉出的.另一方面，由数学知识可知，由球顶到球中心被拉出时，水面高度下降的速度会加快，所以曲线向下凸；当球从中心开始到整个球被拉出时，水面高度下降的速度会减慢，所以曲线向上凸，但在球顶拉出水面到球被完全拉出水面的过程中，水面均下降，即函数在此过程中是减函数
2．D．设原价为P0，降价后价格为P1，则有P0(1-10%)=P1，即，
再设提价x可恢复原价，即P1(1+x)=P0, 得x=-1=, ∴应选D.
3．C．设每个涨价x元，则售价为10+x元，销出个数为100-10x，成本为8(100-10x)元，利润为y元，则
y=(10+x)(100-10x)-8(100-10x),即y=-10x2+80x+200,∴当x=-=4时y最大.
即当日售价应定为14元.
4．B．设每年产值增长率为x，根据题意，有100(1+x)40=500，即(1+x)40=5.
两边取自然对数，得40ln(1+x)=ln5,∵ lg2=0.3, ∴ lg5=lg=1-0.3=0.7,
而ln5=ln10·lg5=2.3×0.7=1.61,利用已知条件ln(1+x)≈x，则有 x≈=0.04025≈4%.。