圆锥曲线的共同性质1
2021年高中数学.5圆锥曲线的共同性质
2021年高中数学2.5圆锥曲线的共同性质要点精讲椭圆、双曲线、抛物线有共同的性质：圆锥曲线上的点到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在定直线l 上)的距离之比是一个常数e. 这个常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 就是圆锥曲线的焦点，定直线l 就是该圆锥曲线的准线．椭圆的离心率满足0<e <1，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是典型题解析【例1】以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若则动点P 的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）【分析】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质主要由a,b,c,e 的关系求得【解】双曲线的第一定义是:平面上的动点P 到两定点是A,B 之间的距离的差的绝对值为常数2a, 且,那么P 点的轨迹为双曲线,故①错， 由,得P 为弦AB 的中点,故②错，设的两根为则可知两根互与为倒数,且均为正,故③对， 的焦点坐标(),而的焦点坐标(),故④正确.【点评】要牢牢掌握椭圆,双曲线的第一定义,同时还要掌握圆锥曲线的统一定义,弄清圆锥曲线中a,b,c,e 的相互关系.【例2】设曲线1sin cos 1cos sin 2222=-=+θθθθy x y x 和有4个不同的交点．（Ⅰ）求θ的取值范围；（Ⅱ）证明这4个交点共圆，并求圆半径的取值范围．【分析】本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识，以及逻辑推理能力和运算能力． 【解】（I ）两曲线的交点坐标（x ，y ）满足方程组 即有4个不同交点等价于且即 又因为所以得的取值范围为（0，（II ）由（I ）的推理知4个交点的坐标（x ，y ）满足方程 即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为 因为在上是减函数，所以由知r 的取值范围是【例3】设双曲线C 的中心在原点，以抛物线y 2=2x －4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l:y=2x ＋1与双曲线C 交于A ．B 两点，求|AB|；（Ⅲ）对于直线y=kx ＋1，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由已知条件判断双曲线C 的焦点在x 轴上，然后求双曲线标准方程中的a ，b ；（Ⅱ）利用弦长公式求|AB|；（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称求k 值，发现矛盾，从而判断不存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点A ．B 关于直线y=ax(a 为常数)对称． 【解】（Ⅰ）由抛物线y 2=2x －4，即y 2=2 (x －)，可知抛物线顶点为（，0），准线方程为x=．在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（，0），右准线x=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c ∴双曲线c 的方程3x 2－y 2=1 （Ⅱ）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB|=2（Ⅲ）假设存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称，设A(x 1，y 1)．B(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④ 由②③，有a(x 1＋x 2)=k(x 1＋x 2)＋2 ⑤ 由④知：x 1＋x 2=代入⑤整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k ，使A ．B 关于直线y=ax 对称．【点评】两点关于一直线对称有两方面的含义：一是两点的连线与已知直线垂直；另一方面两点的连线段的中点在已知直线上．【例4】已知椭圆的左、右焦点分别是 、，是椭圆外的动点，满足，点Ｐ是线段与该椭圆的交点，点Ｔ在线段上，并且 满足．（Ⅰ）设为点Ｐ的横坐标，证明 ； （Ⅱ）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；∠的正切值；若不存在，请说明理由．【分析】用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.. （Ⅰ）证法一：设点P 的坐标为 由P 在椭圆上，得.)()()(||222222221x aca xa b b c x y c x F +=-++=++=由0,>+-≥+≥a c x aca a x 知，所以 证法二：设点P 的坐标为记则.)(,)(222221y c x r y c x r ++=++=由cx r r a r r 4,2222121=-=+，得．证法三：设点P 的坐标为② ③椭圆的左准线方程为 由椭圆第二定义得，即.||||||21x ac a c a x a c F +=+= 由0,>+-≥+-≥a c x aca a x 知，所以（Ⅱ）解法一：设点T 的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时， 由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，，所以有综上所述，点T 的轨迹C 的方程是解法二：设点T 的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得.又，所以T 为线段F 2Q 的中点.设点Q 的坐标为（），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=+'=.2,2y y c x x 因此 ① 由得 ② 将①代入②，可得综上所述，点T 的轨迹C 的方程是（Ⅲ）解法一：C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得， 由④得所以，当时，存在点M ，使S=； 当时，不存在满足条件的点M.当时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=， 由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得解法二：③ ④C 上存在点M （）使S=的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由④得 上式代入③得.0))((2224220≥+-=-=c b a c b a cb a x于是，当时，存在点M ，使S=；当时，不存在满足条件的点M.当时，记c x y k k c x y k k M F M F -==+==00200121,，由知，所以规律总结1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程，讨论得关于x 的方程解的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意与两种情况，只有时，才可用判别式来确定解 的个数； （2）直线与圆锥曲线相切时，一定有 ；（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切；对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点； 对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点． 2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式得弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x k P P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y k P P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=． ③④。
圆锥曲线中的共同性质
故 ｎ ＋ ￣（ 一口 ） １ 。 ≤１成立． ６ ／１ 。 （ 一ｂ） 点 评 ： 现 有 界 性 条 件 ， 用 有 界 性 ， 化 到 三 角 发 利 转
函数 的有 界 性 知 识 ， 识 桥 由 然 而 生 ， 利 完 成 由此 及 知 顺 彼 ， 学之美跃然纸上． 数
６ 转化 数 列
９
故
＋Ｆ ≥ Ｔ 成 立 ・ 二
￣（ —０ ） １ 。≤ ｌ ／ １ （ 一ｂ） ＿
分 析 构 造 ： ｆ ｌ １ ｊ Ｉ １有 界 性 ， 度 到 三 角 由 ｎ≤ ，ｂ≤ 过
点评 ： 由数 或 式 结 构 特 点 或 题 设 条 件 ， 妙 转 化 为 巧 数 列 ， 用 数 列 的 相 关 结 论 或 性 质 ， 作 证 明 ， 有 茅 利 再 即 塞顿开之感． 不 仅 可以 提高解 题速 度 ， 缩 思维 ， 它 简 拓 宽 思 路 ， 时 还 让 人 萌 生 一 种 “ 雨 断 桥 人 不 渡 ， 舟 同 春 小 撑 出 绿 荫 来 ” 美 妙感 觉 ． 的 从 以 上 各 例 不 难 看 出 ， 造 法 是 一 种 极 富 技 巧 性 构 和创造性的解 题方 法 ， 体 现 了数学 中发 现 、 比、 它 类 化 归 的 思 想 ， 渗 透 着 猜 想 、 索 、 殊 化 等 重 要 的数 学 也 探 特 方 法 ， 妙 运 用 构 造 法 解 数 学 题 可 从 中欣 赏 到 数 学 之 巧 美 ， 受到解题 之 乐 ， 重要 的是可 开拓 思维空 间 ， 感 更 启 迪 智 慧 ， 于 激 发 学 生 学 习 数 学 的兴 趣 ， 培 养 多元 化 对 对 思维和创新精神都大有裨益． 参考文献 ：
例 ６ 设 实 数 ａ ｂ满 足 ｆ ＜ １ Ｉ ＜ １ 求 证 ： ， Ｉ ａ ， ｆ ｂ ，
圆锥曲线的统一性质
圆锥曲线的统一性质： 石家庄第一中学 冯伟冀 1． 第二定义的统一性圆的准线在∞,0=e . 2． 极坐标方程的统一性3． 曲线上一点光学性质的统一性椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。
双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。
抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。
具体应用：探照灯4． 一般弦长公式具有统一性 5． 过焦点弦长公式具有统一性 6． 过曲线上一点切线方程的统一性 7． 直径所对周角之斜率乘积的统一性 8． 焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性9． 过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性 10． 过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质 11． 过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质 12． 内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值 13． 圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性14． 过同一焦点两任意焦点弦AB 和CD ，AC 和BD 交点轨迹统一 15． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角16． 任意一弦BA 延长交准线于E ，则FE 平分BFA 外角，又任意一弦AN 延长交准线于Q ，则FQ 平分BFA 外角后得到EFQ 是直角17． 过一个焦点交圆锥曲线于MN ，做MN 的垂直平分线交轴与P 则离心率等于2PF/MN 18． 二次曲线和二次曲线交于两点AB ，联立两方程消X 得0)(=Y H ,消Y 得0)(=X G 则AB 为端点的圆的方程就是0)()(=+Y H X G （必须先保证X 和Y系数相同）19． 若有弦AB,AB 中点为),(00.y x P 则弦AB 方程为 0)2,2(),(00=---y y x x f y x f20． 圆锥曲线通径长统一为定值ep 221． 利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型22． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AD 垂直L ，BC 垂直L 则有BD 、AC 同时平分线段EF （一组关系）23． F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点AB 是过焦点F 的弦，BC 平行FE ，N是线段EF 的中点，则BC 和AN 交点C 在准线L 上24 F 是焦点，E 是F 对应准线L 和轴交点，B 是圆锥曲线上一点，C 在L 上，BC 平行FE ，N 是线段EF 中点，则直线BF 和CN 的交点A 恰在圆锥曲线上25过圆锥曲线准线L 上一点做圆锥曲线的两条切线MA 、MB 则切点弦必过焦点F 且和MF 垂直（一组关系）25 F 是焦点，过曲线上一点P 的切线与相应于焦点F 的准线交于Q ，则PFQ 是直角 26 点P 在圆锥曲线上时过P 的切线方程和点P 不在曲线上的切点弦方程一致27 截圆锥得到圆锥曲线的统一性：用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
圆锥曲线的共同性质
审题破题(2)直接利用判别式和根与系数的关系确定k的范围；(3)寻找b和k的关系，利用(2)中k的范围求解．
解(1)设双曲线方程为 － ＝1 (a>0，b>0)，
由已知，得a＝ ，c＝2，b2＝c2－a2＝1，
故双曲线方程为 －y2＝1.
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
答案D
解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)，
所以 运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝ ，
设直线方程为y＝ (x－3)，
联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝ ＝2；
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
代入椭圆方程，
消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝ .
由点P在椭圆上得点P ，
此时直线PA1的斜率k＝ .
数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是 .
4．椭圆 ＋ ＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．
答案3
解析直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2× ＝ ＝3，∴S△FAB＝ ×2×3＝3.
|x2－x1|＝ ，
|y2－y1|＝ .
②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
(2)弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
3．圆锥曲线中的最值
(1)椭圆中的最值
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线的一个统一性质
圆锥曲线是一种特殊的曲线，它的性质与普通的曲线有很大的不同。
它有一个共同的特性，即它们的线段是圆滑的，没有折点。
圆锥曲线的一个统一性质是它的曲线是由椭圆的切线组成的。
椭圆的切线是由两个相交的椭圆组成的，它们相交点的坐标是(
0,0)，切线的形状是一条抛物线，抛物线的方程式是
y=ax^2+bx+c。
这里a,b,c分别是抛物线的系数，x是抛物线的参数。
圆锥曲线的参数是一条椭圆的参数，参数是由两个圆组成的，一个圆在x轴上，另一个圆在y轴上。
圆锥曲线的方程式是x^2/a^2+y^2/b^2=
1，这里a和b是圆锥曲线的参数。
圆锥曲线的另一个统一性质是它的切线是一条直线。
这个直线的方程是y=mx+c，m是直线的斜率，c是直线的截距。
圆锥曲线的切线斜率m可以由方程式算出，m=2ax+b。
圆锥曲线的另一个统一特性是它的曲线是完整的，没有折点，也就是说它们是平滑的。
这是由于圆锥曲线的方程式是一
个二次方程，它的解是一个完整的曲线，没有折点，没有断点，也就是说它是一个完整的曲线。
总之，圆锥曲线有几个统一性质，它的曲线是由椭圆的切线组成的，它的切线是一条直线，它的曲线是完整的，没有折点，也没有断点，这也是它的一个重要特性。
这些特性使得圆锥曲线在几何图形中有着重要的作用，并且在工程学、物理学、数学等领域都有着重要的应用。
圆锥曲线的一个奇妙性质
圆锥曲线的一个奇妙性质圆锥曲线（ConicSection）是一类特定的曲线，它们可能非常不同，包括椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola）和圆（circle）。
有一个特别有趣的性质，就是这些曲线每个都会表现出一定的对称，这也就是『对称性』。
圆锥曲线的对称性表现在它们的表面形状上，最显著的就是他们的轴线。
比如，椭圆的长轴以及短轴都是对称的，它们的比例等于圆的半径的比例。
圆的面积为πr2，而椭圆的面积则更复杂，它的面积S等于πab/4，其中a和b是长和短轴的长度。
圆锥曲线同时也具有相似的属性，它们都存在一个几何形状，无论它是如何展开或者折叠的，它和圆的形状大致相同，唯一不同的是它们的比例不同，椭圆比圆的周长短，双曲线比圆的周长长而且可以是（±无穷）。
不同圆锥曲线的对称性也可以表现在倾斜轴上，它们的面积在倾斜轴上是相等的。
在椭圆的情况下，当a=b，它就会变成圆，这使得解圆锥曲线的问题更容易。
圆锥曲线的对称性使它成为一种十分有趣的曲线，它相当于将一
个曲线分成多个部分，使得它有同样的表面特性。
而且，圆锥曲线对
称性可以帮助我们思考关于曲线形状和表面空间结构间的联系，因此，它们也被广泛应用于几何学，建筑，机器设计，机械分析和路径规划
等领域。
圆锥曲线的对称性是它的一个精妙性质，它影响着各种科学，工
程和技术领域。
它有助于我们更好地理解曲线，让我们更容易掌握性质，以及帮助我们针对性地解决问题，产生更多的创新发展。
4.2圆锥曲线的共同性质
2 2
图形
焦点坐标
( c, 0)
准线方程
x a
2
y b
2 2
1
(a b 0)
2 2 2 2
c
y a
x b
1
(0, c )
y
a
2
(a b 0)
c
x a
2 2
y b
2 2
1
( c, 0)
x
a
2
(a 0, b 0)
c
y a
2 2
x 4
2
y 3
2
1 上运动，求|PA|+2|PB|的
最小值。
P C
A
·
O
·
· B
课堂小结
1.圆锥曲线的统一定义 2.求点的轨迹的方法 3.数形结合的思想
1( a 0 , b 0 )
a
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
可知，椭圆、双曲线、抛物线有共同性质为:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹: ( 点F 不在直线l 上） 当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. 当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. 当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
其 中 e是 圆 锥 曲 线 的 离 心 率 , 定点F是圆锥曲线的焦点, 定 直 线 l是 圆 锥 曲 线 的 准 线 .
x a
l1
2 2
y b
2 2
1( a b 0 )
y l2
x a
优选教育第章圆锥曲线的共同性质.ppt
究
• 攻
定义得，P到右焦点的距离为2a－258＝10－258＝252.
重
分 层 作 业
难
返 首 页
利用圆锥曲线的定义求最值
自
当
主
堂
预
[探究问题]
达
习
标
• 探
1．根据椭圆(双曲线)的共同性质，椭圆(双曲线)上一点P到其焦点F的距离
• 固
新
双
知 PF，与点P到对应准线的距离d有什么关系？
基
合
作 探 究
第2章 圆锥曲线与方程 2.5 圆锥曲线的共同性质
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
学习目标：1.了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的 双
知
基
准线方程的方法．(重点) 2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问
合 作
题．(难点)
课
探
时
究
分
•
层
攻
作
重
业
难
返 首 页
[自 主 预 习·探 新 知]
自
当
主
堂
预
达
习 •
1．圆锥曲线的共同性质：
标 •
探
固
新
圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离 双
知
基
之比是一个 常数e.
合 作
这个 常数e 叫做圆锥曲线的离心率， 定点F 就是圆锥曲线的焦点， 定直线l 课
探
时
究 •
就是该圆锥曲线的准线．
分 层
攻
圆锥曲线共同性质
由几何性质可知，当 P 点的纵坐标(横坐 标大于零)与 A 点的纵坐标相同时，|PA| ＋d 即|PA|＋2|PF|最小． 把 y＝2 代入1x62＋1y22 ＝1，得 x＝436(负 值舍去)，
即
P4
3
6，2为所求．
【名师点评】 本类题是圆锥曲线中求最值的 一类典型问题，解题的方法也是相通的，都是 利用定义实现转化．
知新益能
1．圆锥曲线的共同性质及离心率和准线的定义
圆锥曲线定义中的__定__点__就F 是圆锥曲线的____焦，定点直 线l就是圆锥曲线的____，常准数线e叫做圆锥曲线的 ____离__．心率
椭圆、双曲线、抛物线的共同性质： 圆锥曲线上任一点到焦点F的距离和到同侧准线l的距 离之比等于离心率e. 显然，椭圆的离心率满足0<e<1，双曲线的离心率满 足e>1，抛物线的离心率满足e＝1.
(3)圆锥曲线的准线总是垂直于其焦点所在的对 称轴．
(4)无论平面直角坐标系怎样建立，有关圆锥曲 线的基本量是不会改变的．
对于椭圆和双曲线(如图所示)，两条准线之 间的距离为2ca2，焦点到相应准线的距离为 d ＝c－ac2＝c2－c a2＝bc2，顶点到相应焦点与 到相应准线的距离的比为 e＝||AA11FK1||.
由圆锥曲线的统一定义知|PF1|＝ed1＝35
x＋235＝35x＋5，
|PF2|＝ed2＝35235－x＝5－35x.8 分 ∵|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴35x＋5∶5－35x＝2∶1，
解得 x＝295，代入椭圆的方程得 y＝±89 14.12，89
14 或
课堂互动讲练
考点突破
考点一 利用共同性质求方程
平面上，动点 M 到定点 F 的距离 MF 与到定直 线 l 的距离 d 之比MdF＝e(e 为大于零的常数)的 点的轨迹是圆锥曲线，当 e∈(0,1)时是椭圆，e ＝1 时是抛物线，e∈(1，＋∞)时是双曲线．
北师大版选修2《圆锥曲线的共同特征》评课稿
北师大版选修2《圆锥曲线的共同特征》评课稿一、课程设计《圆锥曲线的共同特征》是北师大版选修2中的一节重要课程。
本节课的目标是让学生了解圆锥曲线的基本定义、性质和共同特征，并能够运用所学知识解决相关问题。
通过本节课的学习，学生可以提升对圆锥曲线的理解和应用能力。
二、教学目标1. 知识与技能目标•了解椭圆、双曲线和抛物线的定义和图像特征；•掌握圆锥曲线的标准方程及其性质；•理解并应用焦点、准线、离心率等概念；•能够分析和解决与圆锥曲线相关的几何和代数问题。
2. 过程与方法目标•通过观察和实践，培养学生的动手能力；•鼓励学生进行小组合作，培养团队合作精神；•引导学生进行思维训练，提升解决问题的能力。
3. 情感、态度与价值观目标•培养学生对数学的兴趣和好奇心；•提高学生的逻辑思维能力和数学建模能力；•培养学生对于数学知识应用于实际问题的意识和能力。
三、课程内容安排第一部分：椭圆1.椭圆的定义和图像特征；2.椭圆的标准方程及其性质；3.椭圆的焦点、准线及离心率的概念；4.椭圆的例题分析和解题技巧。
第二部分：双曲线1.双曲线的定义和图像特征；2.双曲线的标准方程及其性质；3.双曲线的焦点、准线及离心率的概念；4.双曲线的例题分析和解题技巧。
第三部分：抛物线1.抛物线的定义和图像特征；2.抛物线的标准方程及其性质；3.抛物线的焦点、准线及离心率的概念；4.抛物线的例题分析和解题技巧。
四、教学方法1. 探究教学法通过展示一些实际物体的特征和图像，引发学生对圆锥曲线图像特征的好奇心。
学生根据所展示的图像，讨论椭圆、双曲线和抛物线的共同特征，并总结归纳。
2. 讲授与演示相结合根据学生的探索和摸索，教师进行讲解，引导学生理解和掌握圆锥曲线的性质和特点。
通过具体的实例演示和分析，激发学生的思维，提高问题解决能力。
3. 小组合作学习将学生分组，让他们合作思考和解答与圆锥曲线相关的问题。
通过小组讨论和合作解题，培养学生的团队合作能力和解决问题的能力。
2018学年高中数学选修1-1课件：2.5 圆锥曲线的共同性质 精品
[小组合作型] 求焦点坐标及准线方程
求下列曲线的焦点坐标和准线方程： (1)x2－y2＝2； (2)4y2＋9x2＝36； (3)x2＋4y＝0； (4)3x2－3y2＝－2.
【导学号：24830053】
【精彩点拨】 把方程化为标准形式后，确定焦点的位置、利用公式求解. 【自主解答】 (1)化方程为标准形式：x22－y22＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.
求距离和的最小值的关键在于把折线变成直线，此过程需借助于圆锥曲线的 统一定义进行等价转化，体现了数形结合与等价转化的数学思想.
[再练一题] 3.如图 2-5-1 所示，已知 F 是双曲线x42－1y22 ＝1 的左焦点，定点 A 的坐标为(3,1)， P 是双曲线右支上的动点，则12PF＋PA 的最小值为多少？
2.注意：椭圆、双曲线有两条准线，而抛物线只有一条准线，应区别对待.
[再练一题] 1.求下列圆锥曲线的焦点坐标和准线方程： (1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4. 【解】 (1)化方程为标准形式：x42＋y32＝1. 焦点在 x 轴上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1. ∴焦点坐标为(±1,0)，准线方程为 x＝±ac2＝±4.
【提示】 易知椭圆的离心率是 e＝12，由PPDF＝12，得 PF＝12PD，故 PA＋12PD ＝PA＋PF≥AF＝3.即 PA＋12PD 的最小值是 3.
已知椭圆x82＋y92＝1 内有一点 M(1,2)，F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一 个焦点，在椭圆上求一点 P，使得 MP＋3PF 的值最小.
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1.判断正误： (1)到定点 F 与定直线 l 的距离之比为常数的点的轨迹是圆锥曲线.( ) (2)离心率 e＝1 时不表示圆锥曲线.( ) (3)椭圆的准线为 x＝±ac2(焦点在 x 轴上)，双曲线的准线为 x＝±ca2(焦点在 x 轴 上).( )
圆锥曲线的基本性质与应用
圆锥曲线的基本性质与应用圆锥曲线是平面上一类重要的几何图形，具有许多重要的性质和应用。
在本文中，我们将介绍圆锥曲线的基本性质、如何描述圆锥曲线、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用等方面。
一、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线是由一个可旋转的直角三角形通过旋转而产生的。
这个过程形成了三种类型的圆锥曲线：椭圆、双曲线和抛物线。
椭圆是一种具有中心对称性的圆锥曲线，它的两个焦点之间的距离是一定的，被称为椭圆的长轴。
椭圆的轴比是轴的长度之比，通常用e表示，并且e总是小于1。
椭圆在数学、物理和天文学中都有着广泛的应用，如描述行星轨道和电子轨道等。
双曲线也是一种具有中心对称性的圆锥曲线，但是它的两个焦点之间的距离却是一定的，被称为双曲线的轴。
双曲线的轴比是轴的长度之比，它总是大于1。
双曲线在数学、物理和天文学等领域中也有很多应用，如描述分子结构和测量天体距离等。
抛物线是一种只有一个焦点的圆锥曲线，它的轴是与曲线平行的直线。
抛物线在物理学中也有广泛的应用，如描述空气力学中的运动情况和设计天文望远镜等。
二、描述圆锥曲线的方式描述圆锥曲线的方式有很多种，其中最常见的是使用方程或参数来描述。
方程描述圆锥曲线通常用矩阵和向量的形式表示，而参数描述则需要指定曲线上的点的位置。
参数的方式是使用一个参数方程来描述曲线，其中曲线上的点可通过参数t计算得到。
例如，椭圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = bsin(t)其中a、b分别是椭圆长轴和短轴的长度，t是椭圆上的点的参数。
三、圆锥曲线在数学和自然科学中的应用圆锥曲线在数学和自然科学中有许多应用。
在数学领域，椭圆曲线通常用于数论、代数几何和密码学等领域，而双曲线曲线则常用于微积分、微分几何和流体力学等领域。
抛物线曲线也经常用于机械学和空气力学等领域。
在自然科学领域，圆锥曲线同样有着广泛的应用。
例如，椭圆曲线可用于描述行星轨道、电子轨道和分子结构等，在物理学和化学中具有重要作用。
圆锥曲线共同性质及应用
12.4圆锥曲线地共同性质及应用【知识网络】1．用联系地观点看圆锥曲线地共同性质． 2．学会圆锥曲线几何性质地简单综合应用．3．进一步体会函数方程思想、化归转化思想、分类讨论思想、数形结合思想． 【典型例题】[例1]（1）若抛物线22y px =地焦点与椭圆22162x y +=地右焦点重合，则p 地值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4（2）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--地 （ ） A ．焦距相等 B ． 离心率相等 C ．焦点相同 D ．准线相同（3）双曲线12222=-b y a x 地离心率为1e ，双曲线12222=-ax b y 地离心率为2e ，则1e +2e 地最小值为（ ）A ．24B ．2C ．22D ．4（4）已知椭圆m x 2+ny 2=1与双曲线p x 2－q y 2=1（m,n,p,q ∈R +）有共同地焦点F 1、F 2，P是椭圆和双曲线地一个交点，则|PF 1|·|PF 2|=．（5）若方程（1－k)x 2＋(3－k 2)y 2=4表示椭圆，则k 地取值范围是．[例2]双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同地焦点，直线y =x 3为C 地一条渐近线. （1）求双曲线C 地方程；（2）过点P (0,4)地直线l ，交双曲线C 于A,B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 地顶点不重合）.当12PQ QA QB λλ==，且3821-=+λλ时，求Q 点地坐标.[例3] 已知椭圆C 1地方程为1422=+y x ，双曲线C 2地左、右焦点分别为C 1地左、右顶点，而C 2地左、右顶点分别是C 1地左、右焦点. (1) 求双曲线C 2地方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同地交点，且l 与C 2地两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 地取值范围.[例4] 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）地轨迹方程为12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回地轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点地抛物线地实线部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后地运行轨迹所在地曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器地距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【课内练习】1．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=地焦点重合，则mn 地值为（ ）A ．163 B ．83 C ．316 D ．382．已知双曲线地中心在原点，离心率为3.若它地一条准线与抛物线x y 42=地准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=地交点到原点地距离是（）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．213．方程2212sin 3sin 2x y θθ+=+-所表示地曲线是 （ ）A ．焦点在x 轴上地椭圆B ．焦点在y 轴上地椭圆C ．焦点在x 轴上地双曲线D ．焦点在 y 轴上地双曲线4．某圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，其中心为原点，对称轴为坐标轴，且过点A （－2，23），B （32，－5），则A ．曲线C 可以是椭圆也可以是双曲线 B ．曲线C 一定是双曲线 C ．曲线C 一定是椭圆 D ．这样地曲线不存在5．若直线mx ny +-=30与圆x y 223+=没有公共点，则以（m ，n ）为点P 地坐标，过点P 地一条直线与椭圆22173x y +=地公共点有_________个.6．设圆过双曲线116922=-y x 地右顶点和右焦点，圆心在双曲线上，则圆心到双曲线中心地距离 ．7．如图，从点)2,(0x M 发出地光线沿平行于抛物线x y 42=地轴地方向射向此抛物线上地点P ，反射后经焦点F 又射向抛物线上地点Q ，再反射后沿平行于抛物线地轴地方向射向直线,072:N y x l 上的点=--再反射后又射回点M ，则x 0=．8．设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)地两个焦点，P 是以F 1F 2为直径地圆与椭圆地一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，求椭圆地离心率．9．双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，与圆x 2＋y 2=17交于A （4，－1）．若圆在点A 地切线与双曲线地一条渐近线平行，求双曲线地方程．10．垂直于x 轴地直线交双曲线22a x －22b y =1右支于M ，N 两点，A 1，A 2为双曲线地左右两个顶点，求直线A 1M 与A 2N 地交点P 地轨迹方程，并指出轨迹地形状．12.4圆锥曲线地共同性质及应用A 组1．若方程22194x y k k+=--表示双曲线时，这些双曲线有相同地（ ）A ．实轴长B ．虚轴长C ．焦距D ．焦点2． P 是双曲线22x y 1916－＝地右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上地点，则|PM|－|PN|地最大值为（ ）A.6B.7C.8D.93．设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴地两个端点为焦点，其准线过椭圆地焦点，则双曲线地渐近线地斜率为（）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43± 4．设0≤α＜2π，若方程x 2sin α－y 2cos α=1表示焦点在y 轴上地椭圆，则α地取值范围是．5．已知双曲线2221(0)x y a a-=>地一条准线与抛物线y 2=－6x 地准线重合，则该双曲线地离心率是．6．设F 1、F 2为曲线C 1∶12y 6x 22=+地焦点，P 是曲线C 2∶1y 3x 22=-与C 1地一个交点，求PF 1→·PF 2→|PF 1→||PF 2→|地值．7．设双曲线方程为22221(0)x y a b a b-=>>，P 为双曲线上任意一点，F 为双曲线地一个焦点，讨论以|PF|为直径地圆与圆x 2＋y 2=a 2地位置关系．8．已知A （－2，0），B （2，0），动点P 与A 、B 两点连线地斜率分别为PA k 和PB k ，且满足PA k ·PB k =t (t ≠0且t ≠－1).（1）求动点P 地轨迹C 地方程；（2）当t ＜0时，曲线C 地两焦点为F 1，F 2，若曲线C 上存在点Q 使得∠F 1QF 2=120O ，求t 地取值范围.B 组1．已知双曲线m ：9x 2－16y 2=144,若椭圆n 以m 地焦点为顶点，以m 地顶点为焦点，则椭圆n）A.516±=x B.316±=x C.425±=x D.325±=x 2．当8＜k ＜17时，曲线221178x y k k +=--与221817x y +=有相同地（ ）A ．焦距B ．准线C ．焦点D ．离心率3．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0),与双曲线22221x y m n-=（m ＞0,n ＞0)有相同地焦点（－c,0),(c,0),若c 是a,m 地等比中项，n 2是2m 2与c 2地等差中项，则椭圆地离心率是（ ）A B C ．14D ．124．设椭圆1n y m x 2222=+，双曲线1ny m x 2222=-，抛物线y 2=2(m+n)x(其中m ＞n ＞0)地离心率分别为e 1、e 2、e 3，则e 1e 2与e 3地大小关系是．5．一动圆圆心在抛物线x 2=2y 上，过点（0，21）且恒与定直线l 相切，则直线l 地方程（ ） A. x=21 B. x=161 C. D. y= －1616．已知定点A （0，t ）（t ≠0),点M 是抛物线y 2=x 上一动点，A 点关于M 地对称点是N ． （1）求N 点地轨迹方程；（2）设（1）中所求轨迹与抛物线y 2=x 交于B ，C 两点，求当AB ⊥AC 时t 地值．7．直线l：x－2y＋3=0与椭圆C1：22143x y+=交于A，B两点，R是抛物线C2：y2=2px(p＞0)上一点．若直线l与C2无公共点，且△ABR，求p地值和R点地坐标．8．设双曲线C地中心在原点，以抛物线y2=23x-4地顶点为双曲线地右焦点，抛物线地准线为双曲线地右准线.（1）试求双曲线C地方程；（2）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；（3）对于直线y=kx+1,是否存在这样地实数k，使直线l与双曲线C地交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由.12.4圆锥曲线地共同性质及应用【典型例题】例1 （1）解：椭圆22162x y+=地右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px=地焦点为(2,0)，则4p=，故选D．（2）由221(6)106x ymm m+=<--知该方程表示焦点在x轴上地椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上地双曲线，故只能选择答案A ． （3）C ．提示：用基本不等式．（4）m-p ．提示：分别用椭圆和双曲线地定义，并将两等式平方相减． （5）（－3，1）．提示：将问题转化成解不等式组问题．例2(1)依据渐近线设双曲线方程，并用待定系数法求得双曲线方程是2213y x -=;(2)设Q 点地坐标，用定比分点公式联列方程组，得(2,0)Q ±..例3、（1）设双曲线C 2地方程为12222=-by a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2地方程为22 1.3x y -= （2）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同地交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k 即21.4k >①0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同地交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且229(,),(,),,131366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=--⋅<+<+=++设则由得而222222(1)()29(1)2131337.31A B A B k x x x x k k kk k =++++-=+⋅+⋅+--+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k ><或③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或故k地取值范围为311313(1,(,)(,)(,1)322315---例4、（1）设曲线方程为7642+=ax y ， 由题意可知，764640+⋅=a . 71-=∴a . ∴ 曲线方程为764712+-=x y . （2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得 036742=--y y ， 4=y 或49-=y （不合题意，舍去）.4=∴y .得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点地坐标为)4,6(， 4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令.【课内练习】1．A ． 提示：可以分别求出m ，n ．2．B ．提示：求出基本量．3．C ．提示：注意sin θ地取值范围． 4．B ．提示：考虑对称性．5．2．提示：运用点到直线地距离公式后，说明点P 在椭圆内． 6．163．提示：可以利用距离相等求出圆心地坐标．7．6．提示：由抛物线方程得焦点坐标，进而得到P ，Q 地坐标，再由直线QN 与MN 关于直线l 对称，求得x 0．8．8．36． ∵︒+︒=︒+︒+==︒=︒cos15sin15a 2sin7515sin |PF ||PF |1c 2sin75|PF |sin15|PF |2121，∴3660s i n 21e 2a 2c=︒==. 9．22161255255x y -=．提示：先求圆地切线方程，进而得到双曲线地渐近线方程，再用待定系数法求双曲线地方程．10．22221x y a b+=，a=b 时表示以原点为圆心，a 为半径地圆；a ＞b 时，表示焦点在x 轴上地椭圆；a ＜b 时，表示焦点在y 轴上地椭圆．提示：设出点地坐标，写出直线方程（含参变量），结合点在曲线上，消去参数．12.4圆锥曲线地共同性质及应用A 组1．D ．提示：焦点可以在不同地轴上．2．设双曲线地两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆地圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求地值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9故选B ． 3．C ．提示：求出基本量． 4．（3,24ππ）∪（37,24ππ）．提示：二次项系数为正，且y 2地分母较大． 5．233．提示：依据基本量之间地关系及准线方程，分别求出a,c ．6．13．提示：分别应用椭圆、双曲线地定义，求出|PF 1|，|PF 2|，再用余弦定理．7．当点P 在双曲线地右支上时，外切；当点P 在双曲线地左支上时，内切．提示：用双曲线地定义及两圆相切时地几何性质．8．(1)设点P 坐标为(x,y),依题意得22-⋅+x y x y =t ⇒y 2=t(x 2－4)⇒42x +t y 42-=1 轨迹C 地方程为42x +ty 42-=1（x ≠±2）.(2)当－1＜t ＜0时，曲线C 为焦点在x 轴上地椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2, 则r 1+ r 2=2a=4. 在△F 1PF 2中，21F F =2c=4t +1, ∵∠F 1PF 2=120°，由余弦定理， 得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 2cos120︒= r 21+r 22+ r 1r 2 = (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（1+t ）≥12, ∴t ≥－41.所以当－41≤t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120°当t ＜－1时，曲线C 为焦点在y 轴上地椭圆， 设1PF =r 1，2PF = r 2，则r 1+r 2=2a=－4 t,在△F 1PF 2中， 21F F =2c=4t --1. ∵∠F 1PF 2=120O ，由余弦定理，得4c 2=r 21+r 22－2r 1r 20120cos = r 21+r 22+ r 1r 2 = (r 1+r 2)2－r 1r 2≥(r 1+r 2)2－(221r r +)2=3a 2, ∴16（－1－t ）≥－12t ⇒t ≤－4. 所以当t ≤－4时，曲线上存在点Q 使∠F 1QF 2=120O综上知当t ＜0时，曲线上存在点Q 使∠AQB=120O 地t 地取值范围是(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-⋃-∞-0,414,． B 组1．C ．提示：注意基本之间地联系．2． A ．提示：将方程均化为标准方程，再求其焦距． 3． D ．提示：联想基本量之间地关系．4．e 1e 2＜e 3，提示：用离心率地计算公式，注意抛物线地离心率是1．5．y= －21提示：抛物线x 2=2y 地焦点坐标为(0,21), 由抛物线地定义知抛物线上任意一点到焦点F(0,21)地距离等于到直线y=－21地距离．6．（1）（y ＋t)2=2x ；(2)t =±2．提示：（1）用坐标转移法求轨迹方程；（2）联列方程组后用韦达定理．7．p=12,R(1,1)．提示：先求线段AB 地长，依据面积求出抛物线上点到直线地最小距离，依据相切求出p ，再求得最小距离时点地坐标．8．（1）由抛物线y 2=23x -4,即y 2=23 (x -32),可知抛物线顶点为（32,0）,准线方程为x =63. 在双曲线C 中，中心在原点，右焦点（32，0），右准线x =63,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===33213363322222c b a b a c c a c∴双曲线c 地方程3x 2-y 2=1（2）由0241)12(3131222222=++⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-+=x x x x y x x y∴|AB |=210（3）假设存在实数k ,使A 、B 关于直线y =ax 对称，设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2), 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅=+++=+-=222)(121212121x x a y y x x k y y ka由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④由②③，有a (x 1+x 2)=k (x 1+x 2)+2⑤由④知：x 1+x 2=232kk -代入⑤ 整理得ak =3与①矛盾，故不存在实数k ，使A 、B 关于直线y =ax 对称．本资料来源于《七彩教育网》版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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圆锥曲线的定义与基本性质
圆锥曲线的定义与基本性质圆锥曲线是仿射空间中的一类特殊曲线，由一个固定点（焦点）到一个固定直线（准线）上所有点的距离与一个常数之比为定值的点构成。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的一些基本定义及性质。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是由一个固定点 p（称为焦点）和一个不包含 p 点的直线 l（称为准线）所确定的曲线。
圆锥体沿着准线 l 延伸，取一个点 r，使得 pr:rd 是定值，其中 d 为点 r 到直线 l 的距离。
设 F1,F2 是焦点，l 为准线，e 为离心率，则 e=PF1/PS，其中 S 是公共焦点。
- 当 e<1 时，得到椭圆；- 当 e=1 时，得到抛物线；- 当 e>1 时，得到双曲线。
例如，下图中，以点 F 为焦点，线段 CD 为准线，且焦距PF/CD=1/2，得到的曲线就是抛物线。
二、圆锥曲线的参数方程对于椭圆而言，可以使用参数方程来描述：x=a costy=b sint其中 a 和 b 分别代表椭圆在 x 轴和 y 轴方向上的半径，t 为变量。
类似的，可以得到双曲线和抛物线的参数方程。
三、圆锥曲线的焦点和直径对于圆锥曲线，焦点和直径是十分重要的性质之一。
对于椭圆而言，每一条直径的中点都会落在坐标系的第一象限中，且椭圆的两个焦点都位于坐标轴上。
对于双曲线而言，每一条直径的中点都会落在 x 轴中线上，且双曲线的两个焦点都位于 x 轴上。
对于抛物线而言，它没有焦点，但总存在一个顶点，即曲线的最高点或最低点，每一条与顶点连线垂直于开口的那一侧的直线都称为该抛物线的一条直径。
四、圆锥曲线的离心率和倾角离心率 e 是一个很重要的度量曲线形状的参数，表示焦点与准线之间距离的比值。
其定义为 e=PF/PS，其中 PF 为焦点到曲线表面上一点的距离，PS 为焦点到准线的距离。
而圆锥曲线的倾角则是准线与 x 轴的夹角。
对于椭圆和双曲线而言，倾角的值随着离心率的增大而减小，对于抛物线而言，则为 45 度。
苏教版选修1《圆锥曲线的共同性质》评课稿
苏教版选修1《圆锥曲线的共同性质》评课稿一、教材概述《圆锥曲线的共同性质》是苏教版高中选修一教材中的一篇重要章节。
本章主要介绍了圆锥曲线的基本概念和性质，帮助学生建立对圆锥曲线的认识和理解。
通过学习本章，学生将能够掌握圆、椭圆、双曲线和抛物线这四种常见的圆锥曲线的特点和方程，并能够应用这些知识解决相关问题。
二、教材内容分析1. 圆的性质和方程本节主要介绍了圆的定义、性质和方程。
学生通过学习，能够了解到圆是平面上一点到固定点的距离等于常数的轨迹，以及圆的方程表示形式。
在此基础上，教材给出了几个典型例题，通过解题过程展示了如何根据问题条件得到圆的方程。
2. 椭圆的性质和方程本节介绍了椭圆的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以理解椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的轨迹，并学会根据问题条件写出椭圆的方程。
此外，教材还给出了椭圆的焦点、长轴、短轴等概念，并通过实例引导学生应用这些知识解决问题。
3. 双曲线的性质和方程本节主要介绍了双曲线的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以了解到双曲线是平面上到两个固定点的距离之差等于常数的轨迹，并学会根据问题条件写出双曲线的方程。
教材还给出了双曲线的中心、焦点、准线等概念，并通过例题训练学生应用这些知识。
4. 抛物线的性质和方程本节介绍了抛物线的定义、性质和方程表达方式。
学生通过学习，可以了解到抛物线是平面上到一个固定点的距离等于到一条直线的距离的轨迹，并学会根据问题条件写出抛物线的方程。
教材还给出了抛物线的焦点、准线等概念，并引导学生通过例题巩固所学知识。
三、教学方法分析教材采用了导入-展示-引导-训练的教学方法，通过引入真实问题、给出典型例题，让学生在解决具体问题的过程中，逐步理解和掌握圆锥曲线的基本概念和性质，并学会应用这些知识解决相关问题。
同时，教材还使用了图表、公式等多种形式，帮助学生直观地理解和运用知识。
四、教材特点总结1.系统性：教材从圆的性质和方程开始，逐步引入椭圆、双曲线和抛物线，系统地介绍了这四种圆锥曲线的共同性质。
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l : x 5的距离的比是常数
5 5
,求P的轨迹方程.
思考(1):已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
l : x 5 的距离的比是常数
1 5
,求P的轨迹方程.
(2)到点A（1，1）和到直线x+2y-3=0距离相 等的点的轨迹方程为 。
例4已知双曲线 的距离.
x2 64
y2 36
1
1
3. 动点P( x, y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线 x=-5的距离小2,则动点P的轨迹方程是 y 2 12 x
选一选
1. 已知椭圆短轴长是2,长轴长是短轴长的2倍,则其中 心到准线距离是(
A. 8 5 5
B.
D
4 5 5
)
C. 8 3 3 D. 4 3 3
2. 设双曲线的两条准线把两焦点间的线段三等分,则此 双曲线的离心率为(
探究与思考:
若PF/d≠1呢?
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样 一个式子：
a cx a ( x c) y
2 2
2
将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
例1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 2
线 l:x 的距离的比是常数 (a>c>0),求P的 c a 轨迹. 解:由题意可得:
其中常数e叫做圆锥曲线的离心率, 定点F叫做圆锥曲线的焦点,
定直线l就是该圆锥曲线的准线.
x a
l1
2 2
y b
2 2
1( a b 0)
y l2
x2 a
2
y2 b
l1
2
1( a 0, b 0)
l2 M2 P
y
M1
d1
P
O
d2
M2 x F1
d2
F1
.
.
F2
.
M1
O
.
F2 P′
变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直 2
线 l:x 的距离的比是常数 (c>a>0),求P的 c a 轨迹. ( x c )2 y 2 c 解:由题意可得: 2 a a x c
a
c
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 即:(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2) 2 2 y 2-a2=b2,则上式化为: x 令c 2 1( a 0, b 0) 2 a b
所以d= |PF2|=24
e
1
例4已知双曲线
x2 64
y2 36
上一点P到左焦点 1
的距离为14，求P点到右准线的距离.
分析 : 两准线间距离为
2a c
14 d
2
法二 : 设点 P到左准线的距离为 d a 8, b 6, c 10, d 14 4 5 56 5 e 2a 2 c c a 4 2 64 5 64
上一点P到左焦点的距离为14，求P点到右准线
法一:由已知可得a=8，b=6，c=10.
因为|PF1|=14<2a , 所以P为双曲线左支上一点，
设双曲线左右焦点分别为F1、F2,P到右准线的距离
为d，则由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=16，
所以|PF2|=30，又由双曲线第二定义可得
| PF2 | d e
所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),实轴长、 虚轴长分别为2a,2b的双曲线.
圆锥曲线统一定义:
平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为 常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是椭圆. (2)当 e >1 时, 点的轨迹是双曲线. (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是抛物线.
10 5 2a 2 56 64 P到右准线的距离为 d 24 c 5 5
又
练一练
1. 动点P到直线x=6的距离与它到点(2,1) 的距离之比为0.5,则点P的轨迹是 双曲线
x4
1 2
2. 中心在原点,准线方程为 x 4 ,离心率为 2 的椭圆方程是
x2 4 y2 3 1
( x c)2 y 2 a x c
2
a
c
c a
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 2 2 令a2-c2=b2,则上式化为: x y 1( a b 0) a2 b2
化简得 所以点P的轨迹是焦点为(-c,0),(c,0),长轴长、 短轴长分别为2a,2b的椭圆.
B
)
A. 2
B. 3
C .2 3
D.
6 2
知识回顾:
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式); 3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法)
表达式||PF1|-|PF2||=2a (2a<|F1F2|) 3、抛物线的定义：
平面内到定点F的距离和到定直线的距离相等的点的 轨迹 表达式|PF|=d (d为动点到定直线距离）
平面内动点P到一个定点F的距离PF和到一条定 直线l (F不在l上)的距离d相等时,动点P的轨迹为抛 物线,此时PF/d=1.
( , 0) 2
( 6 2 , 0)
1
x
y
y
6 3
6
1
(4)2 y 2 x 2 4
(0, 6 )
(0, ) 4 1 ( , 0) 2 1
3
(5) x y 0
2
4
(6) y 2 2 x 0
x
1 2
轨迹方程的思考:
例3.已知点P到定点F(1,0)的距离与它到定直线
2
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦 点的位置→确定a,c,p的值,得出焦点坐标与准线方 程.
练习:求下列曲线的焦点坐标和准线方程
(1) x 2 2 y 2 4
(2)2 x 2 4 y 2 1
(3) x 2 y 1
2 2
( 2, 0)
x 2 2
x 1
洪泽外国语中学 程怀宏
复习回顾
1、 椭圆的定义：
平面内到两定点 F1、F2 距离之和等于常数 2a (2a>|F1F2|）的点的轨迹
表达式 |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|） 2 、双曲线的定义：
平面内到两定点F1、F2 距离之差的绝对值等于常数2a (2a< |F1F2| )的点的轨迹
x
d1
准线: x
a
2
定义式:
PF1 d1
PF2 d2
e
c
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
(1) x2 25 9 x2 y2 (3) 1 25 9 y2 1
( 2) 4 x y 16
2 2
( 4) 4 y 2 x 2 16
(6) x 2 16 y
(5) y 16 x