板块5 高考22题逐题特训 专题3 解答题突破练1 三角函数与解三角形(学生版)备战2020年高考理科数学二轮
高考专题解读之三角函数及解三角形
高考专题解读之三角函数及解三角形【命题分析】综合分析近3年高考试题,我们发现考题三角函数及解三角形专题，常见一小一大的命题形式, 以三角恒等变换和正、余弦定理为解题工具, 考查三角函数的图象、性质及解三角形的有关知识.具体情况如下：1.从考查题型看：命题几乎是1～2个客观题( 选择题或填空题), 1个解答题; 从考查分值比例来看, 该部分分值约占总分的7%～10%.2.从考查知识点看：主要考查对三角函数式的化简、求值，三角函数的图象和性质，解三角形的综合应用等.3.在命题思路上主要有两大类：(1)单独命题①考查解三角形的有关问题;②考查三角函数的化简求值；③考查三角函数的图象、性质；(2)交汇命题①以三角函数为解题工具, 解决实际问题;②渗透平面向量与三角函数间的内在联系，实现平面向量与三角函数的有机结合；③与其他知识结合命题，如与直线的斜率、导数、不等式等知识结合命题，其形式多样, 解法灵活, 极富思维性和挑战性.4.纵观命题趋势, 我们发现正、余弦定理的运用, 三角函数的图象和性质, 尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图象变换、特征分析( 对称轴、对称中心)和三角函数式的恒等变换等仍是命题热点.【备考策略】根据近3年高考命题的特点和规律,复习本专题时,要注意以下几方面：(1)该专题具有基础性和工具性，虽然没有什么大的难点问题，但包含的内容非常广泛，概念、公式、定理很多，不少地方容易混淆，在复习时要根据知识网络对知识进行梳理，系统掌握其知识体系.(2)抓住考查的主要题型进行训练，要特别注意如下几种题型：根据三角函数的图象求函数解析式或者求函数值，根据已知三角函数值求未知三角函数值，与几何图形结合在一起的平面向量数量积，解三角形中正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合运用，解三角形的实际应用问题.(3)注意数学思想方法的应用，该部分充分体现了数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想(变换)，在复习中要有意识地使用这些数学思想方法，强化数学思想方法在解题中的应用.。
高考数学-三角函数及解三角形(含22年真题讲解)
高考数学-三角函数及解三角形（含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】将函数f(x)=sin (ωx +π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16 B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为y =sin [ω(x +π2)+π3]=sin(ωx +ωπ2+π3)，又C 关于y 轴对称，则ωπ2+π3=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=13+2k,k ∈Z ，又ω>0，故当k =0时，ω的最小值为13. 故选：C.2．【2022年全国甲卷】沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB ⌢是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在AB ⌢上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB ⌢的弧长的近似值s 的计算公式：s =AB +CD 2OA．当OA =2,∠AOB=60°时，s =（ ）A ．11−3√32B ．11−4√32C ．9−3√32D ．9−4√32【解析】【分析】连接OC，分别求出AB,OC,CD，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接OC，因为C是AB的中点，所以OC⊥AB，又CD⊥AB，所以O,C,D三点共线，即OD=OA=OB=2，又∠AOB=60°，所以AB=OA=OB=2，则OC=√3，故CD=2−√3，所以s=AB+CD2OA =2+(2−√3)22=11−4√32.故选：B.3．【2022年全国甲卷】设函数f(x)=sin(ωx+π3)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A．[53,136)B．[53,196)C．(136,83]D．(136,196]【答案】C 【解析】由x 的取值范围得到ωx +π3的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【详解】解：依题意可得ω>0，因为x ∈(0,π)，所以ωx +π3∈(π3,ωπ+π3)，要使函数在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，又y =sinx ，x ∈(π3,3π)的图象如下所示：则5π2<ωπ+π3≤3π，解得136<ω≤83，即ω∈(136,83]． 故选：C ．4．【2022年全国乙卷】函数f (x )=cosx +(x +1)sinx +1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为（ ） A ．−π2，π2 B ．−3π2，π2C ．−π2，π2+2 D ．−3π2，π2+2【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得f (x )的单调区间，从而判断出f (x )在区间[0,2π]上的最小值和最大值. 【详解】f ′(x )=−sinx +sinx +(x +1)cosx =(x +1)cosx ，所以f (x )在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f ′(x )>0，即f (x )单调递增； 在区间(π2,3π2)上f ′(x )<0，即f (x )单调递减， 又f (0)=f (2π)=2，f (π2)=π2+2，f (3π2)=−(3π2+1)+1=−3π2， 所以f (x )在区间[0,2π]上的最小值为−3π2，最大值为π2+2.5．【2022年新高考1卷】记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T．若2π3<T<π，且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称，则f(π2)=（）A．1B．32C．52D．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足2π3<T<π，得2π3<2πω<π，解得2<ω<3，又因为函数图象关于点(3π2,2)对称，所以3π2ω+π4=kπ,k∈Z，且b=2，所以ω=−16+23k,k∈Z，所以ω=52，f(x)=sin(52x+π4)+2，所以f(π2)=sin(54π+π4)+2=1.故选：A6．【2022年新高考2卷】若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则（）A．tan(α−β)=1B．tan(α+β)=1C．tan(α−β)=−1D．tan(α+β)=−1【答案】C【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ−sinαsinβ=2(cosα−sinα)sinβ,即：sinαcosβ−cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ=0，即：sin(α−β)+cos(α−β)=0,所以tan(α−β)=−1,故选：C7．【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（）A．f(x)在(−π2,−π6)上单调递减B．f(x)在(−π4,π12)上单调递增C．f(x)在(0,π3)上单调递减D．f(x)在(π4,7π12)上单调递增【答案】C【解析】【分析】化简得出f(x)=cos2x，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】因为f(x)=cos2x−sin2x=cos2x.对于A选项，当−π2<x<−π6时，−π<2x<−π3，则f(x)在(−π2,−π6)上单调递增，A错；对于B选项，当−π4<x<π12时，−π2<2x<π6，则f(x)在(−π4,π12)上不单调，B错；对于C选项，当0<x<π3时，0<2x<2π3，则f(x)在(0,π3)上单调递减，C对；对于D选项，当π4<x<7π12时，π2<2x<7π6，则f(x)在(π4,7π12)上不单调，D错.故选：C.8．【2022年浙江】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为sin2x+cos2x=1可得：当sinx=1时，cosx=0，充分性成立；当cosx=0时，sinx=±1，必要性不成立；所以当x∈R，sinx=1是cosx=0的充分不必要条件.故选：A.9．【2022年浙江】为了得到函数y =2sin3x 的图象，只要把函数y =2sin (3x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出． 【详解】因为y =2sin3x =2sin [3(x −π15)+π5]，所以把函数y =2sin (3x +π5)图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数y =2sin3x 的图象．故选：D.10．【2022年新高考2卷】（多选）已知函数f(x)=sin(2x +φ)(0<φ<π)的图像关于点(2π3,0)中心对称，则（ ） A ．f(x)在区间(0,5π12)单调递减B ．f(x)在区间(−π12,11π12)有两个极值点 C ．直线x =7π6是曲线y =f(x)的对称轴D ．直线y =√32−x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：f (2π3)=sin (4π3+φ)=0，所以4π3+φ=k π，k ∈Z ， 即φ=−4π3+k π,k ∈Z ，又0<φ<π，所以k =2时，φ=2π3，故f(x)=sin (2x +2π3)． 对A ，当x ∈(0,5π12)时，2x +2π3∈(2π3,3π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)在(0,5π12)上是单调递减；对B ，当x ∈(−π12,11π12)时，2x +2π3∈(π2,5π2)，由正弦函数y =sinu 图象知y =f(x)只有1个极值点，由2x +2π3=3π2，解得x =5π12，即x =5π12为函数的唯一极值点； 对C ，当x =7π6时，2x +2π3=3π，f(7π6)=0，直线x =7π6不是对称轴； 对D ，由y′=2cos (2x +2π3)=−1得：cos (2x +2π3)=−12，解得2x +2π3=2π3+2k π或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z ,从而得：x =k π或x =π3+k π,k ∈Z , 所以函数y =f(x)在点(0,√32)处的切线斜率为k =y′|x=0=2cos2π3=−1，切线方程为：y −√32=−(x −0)即y =√32−x ．故选：AD ．11．【2022年全国甲卷】已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB =120°,AD =2,CD =2BD ．当AC AB取得最小值时，BD =________．【答案】√3−1##−1+√3 【解析】 【分析】设CD =2BD =2m >0，利用余弦定理表示出AC 2AB 2后，结合基本不等式即可得解.【详解】设CD =2BD =2m >0，则在△ABD 中，AB 2=BD 2+AD 2−2BD ⋅ADcos∠ADB =m 2+4+2m ， 在△ACD 中，AC 2=CD 2+AD 2−2CD ⋅ADcos∠ADC =4m 2+4−4m ， 所以AC 2AB 2=4m 2+4−4m m 2+4+2m =4(m 2+4+2m)−12(1+m)m 2+4+2m=4−12(m+1)+3m+1≥42√(m+1)⋅3m+1=4−2√3，当且仅当m +1=3m+1即m =√3−1时，等号成立，所以当ACAB 取最小值时，m =√3−1. 故答案为：√3−1.12．【2022年全国乙卷】记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据f (T )=√32求出φ，再根据x =π9为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解； 【详解】解： 因为f (x )=cos (ωx +φ)，（ω>0，0<φ<π） 所以最小正周期T =2πω，因为f (T )=cos (ω⋅2πω+φ)=cos (2π+φ)=cosφ=√32， 又0<φ<π，所以φ=π6，即f (x )=cos (ωx +π6)，又x =π9为f (x )的零点，所以π9ω+π6=π2+kπ,k ∈Z ，解得ω=3+9k,k ∈Z ， 因为ω>0，所以当k =0时ωmin =3； 故答案为：313．【2022年北京】若函数f(x)=Asinx −√3cosx 的一个零点为π3，则A =________；f(π12)=________．【答案】 1 −√2 【解析】 【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为f(x)=2sin(x −π3)，代入自变量x =π12，计算即可.【详解】∵f(π3)=√32A−√32=0，∴A=1∴f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x−π3)f(π12)=2sin(π12−π3)=−2sinπ4=−√2故答案为：1，−√214．【2022年浙江】我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a=√2,b=√3,c=2，则该三角形的面积S=___________．【答案】√234.【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出．【详解】因为S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，所以S=√14[4×2−(4+2−32)2]=√234．故答案为：√234.15．【2022年浙江】若3sinα−sinβ=√10,α+β=π2，则sinα=__________，cos2β=____ _____．【答案】3√10104 5【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】α+β=π2，∴sinβ=cosα，即3sinα−cosα=√10，即√10(3√1010sinα−√1010cosα)=√10，令sinθ=√1010，cosθ=3√1010，则√10sin(α−θ)=√10，∴α−θ=π2+2kπ，k∈Z，即α=θ+π2+2kπ，∴sinα=sin(θ+π2+2kπ)=cosθ=3√1010，则cos2β=2cos2β−1=2sin2α−1=45．故答案为：3√1010；45．16．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知sinCsin(A−B)= sinBsin(C−A)．(1)若A=2B，求C；(2)证明：2a2=b2+c2【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，sinC=sin(C−A)，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由A=2B，sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinCsinB=sinBsin(C−A)，而0<B<π2，所以sinB∈(0,1)，即有sinC=sin(C−A)>0，而0<C<π,0<C−A<π，显然C≠C−A，所以，C+C−A=π，而A=2B，A+B+C=π，所以C=5π8．(2)由sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)可得，sinC(sinAcosB−cosAsinB)=sinB(sinCcosA−cosCsinA)，再由正弦定理可得，accosB−bccosA=bccosA−abcosC，然后根据余弦定理可知，1 2(a2+c2−b2)−12(b2+c2−a2)=12(b2+c2−a2)−12(a2+b2−c2)，化简得：2a2=b2+c2，故原等式成立．17．【2022年全国乙卷】记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)．(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求△ABC的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc，从而可求得b+c，即可得解.(1)证明：因为sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)，所以sinCsinAcosB−sinCsinBcosA=sinBsinCcosA−sinBsinAcosC，所以ac⋅a2+c2−b22ac −2bc⋅b2+c2−a22bc=−ab⋅a2+b2−c22ab，即a2+c2−b22−(b2+c2−a2)=−a2+b2−c22，所以2a2=b2+c2；(2)解：因为a=5,cosA=2531，由（1）得b2+c2=50，由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA，则50−5031bc=25，所以bc=312，故(b+c)2=b2+c2+2bc=50+31=81，所以b+c=9，所以△ABC的周长为a+b+c=14.18．【2022年新高考1卷】记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA =sin2B1+cos2B．(1)若C=2π3，求B；(2)求a2+b2c2的最小值．【答案】(1)π6； (2)4√2−5． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA 1+sinA =sin2B1+cos2B 化成cos (A +B )=sinB ，再结合0<B <π2，即可求出； （2）由（1）知，C =π2+B ，A =π2−2B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将a 2+b 2c 2化成4cos 2B +2cos 2B−5，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为cosA1+sinA =sin2B1+cos2B =2sinBcosB 2cos 2B=sinBcosB ，即sinB =cosAcosB −sinAsinB =cos (A +B )=−cosC =12，而0<B <π2，所以B =π6； (2)由（1）知，sinB =−cosC >0，所以π2<C <π,0<B <π2， 而sinB =−cosC =sin (C −π2)， 所以C =π2+B ，即有A =π2−2B ． 所以a 2+b 2c 2=sin 2A+sin 2Bsin 2C=cos 22B+1−cos 2Bcos 2B=(2cos 2B−1)2+1−cos 2Bcos 2B=4cos 2B +2cos 2B −5≥2√8−5=4√2−5．当且仅当cos 2B =√22时取等号，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2−5．19．【2022年新高考2卷】记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1,S 2,S 3，已知S 1−S 2+S 3=√32,sinB =13．(1)求△ABC 的面积； (2)若sinAsinC =√23，求b ．【答案】(1)√28(2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出S 1,S 2,S 3，再由S 1−S 2+S 3=√32求得a 2+c 2−b 2=2，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得b 2sin 2B=acsinAsinC ，即可求解. (1)由题意得S 1=12⋅a 2⋅√32=√34a 2,S 2=√34b 2,S 3=√34c 2，则S 1−S 2+S 3=√34a 2−√34b 2+√34c 2=√32， 即a 2+c 2−b 2=2，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac，整理得accosB =1，则cosB >0，又sinB=13，则cosB =√1−(13)2=2√23，ac =1cosB=3√24，则S △ABC =12acsinB =√28； (2)由正弦定理得：bsinB =asinA =csinC ，则b 2sin 2B =asinA ⋅csinC =acsinAsinC =3√24√23=94，则b sinB =32，b =32sinB =12.20．【2022年北京】在△ABC 中，sin2C =√3sinC ． (1)求∠C ；(2)若b =6，且△ABC 的面积为6√3，求△ABC 的周长． 【答案】(1)π6 (2)6+6√3 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cosC 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得△ABC 的周长. (1)解：因为C ∈(0,π)，则sinC >0，由已知可得√3sinC =2sinCcosC ，可得cosC =√32，因此，C =π6.(2)解：由三角形的面积公式可得S △ABC =12absinC =32a =6√3，解得a =4√3.由余弦定理可得c 2=a 2+b 2−2abcosC =48+36−2×4√3×6×√32=12，∴c =2√3，所以，△ABC 的周长为a +b +c =6√3+6.21．【2022年浙江】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知4a =√5c,cosC =35． (1)求sinA 的值；(2)若b =11，求△ABC 的面积．【答案】(1)√55；(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sinC ，再根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理的推论cosC =a 2+b 2−c 22ab以及4a =√5c 可解出a ，即可由三角形面积公式S=12absinC 求出面积．(1)由于cosC =35， 0<C <π，则sinC =45．因为4a =√5c ， 由正弦定理知4sinA =√5sinC ，则sinA =√54sinC =√55．(2)因为4a =√5c ，由余弦定理，得cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+121−165a 222a=11−a 252a=35，即a 2+6a −55=0，解得a =5，而sinC =45，b =11， 所以△ABC 的面积S =12absinC =12×5×11×45=22．1．（2022·宁夏·银川一中模拟预测（文））已知点12P ⎛- ⎝⎭在角θ的终边上，且[)0,2πθ∈，则角θ的大小为（ ）． A ．π3B ．2π3C ．5π3D ．4π3【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，确定角θ的范围，再利用三角函数定义求解作答. 【详解】依题意，点12P ⎛- ⎝⎭在第二象限，又[)0,2πθ∈，则ππ2θ<<，而tan θ=所以2π3θ=. 故选：B2．（2022·安徽省舒城中学三模（理））将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在π[0,]4上为增函数，则ω最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据平移法则求出函数()g x 的解析式，进而求出()g x 的含有数0的单调区间，再借助集合的包含关系即可解出. 【详解】依题意，()2sin[()]2sin 33g x x x ππωωω=+-=，由ππ22x ω-≤≤，0>ω得：ππ22x ωω-≤≤，于是得()y g x =的一个单调递增区间是ππ,22[]ωω-，因()y g x =在π[0,]4上为增函数，因此，ππ[π[0,]2]24,ωω-⊆，即有ππ24ω≥，解得02ω<≤，即ω最大值为2． 故选：A.3．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（理））已知函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．6π=ϕ B ．()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减C ．()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2D ．()f x θ+为偶函数，则()23k k Z θππ=+∈【答案】D 【解析】 【分析】由已知得()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，由2πϕ<可求得ϕ，可判断A 选项，由此有()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对于B ，由,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦得12363x πππ-≤-≤-，由正弦函数的单调性可判断；对于C ，由[],x ππ∈-得12366x πππ-≤-≤，由此得()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin16π=；对于D ，()11+2sin +336f x x πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈.【详解】解：因为函数()12sin 32f x x πϕϕ⎛⎫⎛⎫=+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，直线x π=-为()f x 图象的一条对称轴，所以()2sin 23f ππϕ⎛⎫-=-+=± ⎪⎝⎭，所以+,32k k Z ππϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6πϕ=-，故A 不正确；所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于B ，当,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，12363x πππ-≤-≤-，所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增，故B 不正确；对于C ，当[],x ππ∈-时，12366x πππ-≤-≤，()f x 在区间[],ππ-上的最大值为2sin 16π=，故C 不正确；对于D ，若()f x θ+为偶函数，则()()111+2sin +2sin +36336f x x x ππθθθ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()1+362k k Z ππθπ-=∈，解得()23k k Z θππ=+∈，故D 正确，故选：D.4．（2022·全国·模拟预测）已知α，()0,πβ∈，πtan 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πcos 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()cos 2αβ-=（ ）A． B．CD【答案】D 【解析】 【分析】根据待求式的结构，πππ22362αβαβ⎛⎫⎛⎫-=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】解：因为πππππcos(2)cos 2sin 236236αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=ππsin 2()cos()36αβ++-ππcos 2()sin()36αβ++.222πππ2tan 2sin()cos()πππ333sin 22sin()cos()πππ333sin ()cos ()tan 1333ααααααααα⎛⎫+++ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=++=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭，22222222π1tan cos ()sin ()π1333cos 2cos ()sin ()π3333cos ()sin ()tan 1333ππαααππαααππααα⎛⎫-++-+ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+=+-+=== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦+++++ ⎪⎝⎭；πcos 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ0,62β⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以πsin 6β⎛⎫+ ⎪⎝⎭故cos(2)αβ-=． 故选：D.5．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小正整数值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据题意可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πϕωπ=+，1k Z ∈，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调可得()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解，所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有解，最终可得23k x ππωπ+=+，k Z ∈，取值即可得解.【详解】由函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的一个对称中心为,03π⎛-⎫⎪⎝⎭，可得()sin()033f ππωϕ-=-+=，所以13k πωϕπ-+=，1k Z ∈，13k πϕωπ=+，1k Z ∈，()()cos f x x ωωϕ'=+，由()f x 在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调， 所以()()cos 0f x x ωωϕ'=+=在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以22()2x k k Z πωϕπ+=+∈，在区间5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有解， 所以122()32x k k k Z ππωωππ++=+∈，所以23k x ππωπ+=+，21k k k Z =-∈，又5,6x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以74(,)363x πππ+∈， 所以36362(,)873k k k x ππωπ+++=∈+， 当2k =时，1515(,)87ω∈，此时ω的最小正整数为2.6．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知π02θ<<，若πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=（ ）A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的角的范围以及三角函数值，可以确定πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭和角正弦求得3sin 25θ=，从而求得()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，根据角的范围确定符号，开方即可得结果. 【详解】 因为π02θ<<，所以ππ3π2444θ-<-<，又πsin 24θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ2044θ-<-<，所以πcos 24θ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以ππππππ3sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 4444445θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()28sin cos 1sin 25θθθ+=+=，又sin cos 0θθ+>，sin cos θθ+= 故选：B ．7．（2022·全国·模拟预测（理））函数()f x 的图象按以下次序变换：①横坐标变为原来的12；②向左平移23π个单位长度；③向上平移一个单位长度；④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，则()f x 的解析式为（ ）A ．()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B ．()11sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．()12sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D ．()1sin 2123f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象变换的性质逆推求解即可 【详解】由题意，④纵坐标变为原来的2倍，得到sin y x =的图象，故④变换前为1sin 2y x =；③向上平移一个单位长度，故③变换前为1sin 12y x =-；②向左平移23π个单位长度，故②变换前为1si 123n 2y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；①横坐标变为原来的12，故①变换前为211si 3n 122y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的解析式为()112sin 1223f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A8．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，且13π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()g x 的图象．若()()129g x g x =，1x ，[]20,4πx ∈，则21x x -的最大值为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求得()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据图象变换可得()g x 的解析式，结合()()129g x g x =，1x ，[]20,4x π∈，求得21,x x 的值，可得答案.【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图可知372433T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得4T π=，则212T πω==，所以()1sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由题图可知()f x 图象的一个对称中心为点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故1223k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，Z k ∈，故3k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()1sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为1323f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故131135sin sin sin 2323322f A A A A πππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()12sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的14，再向上平移一个单位长度，得到()2sin 213g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象；因为()()129g x g x =，所以12,x x 同时令()g x 取得最大值3，由()2sin 2133g x x π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得()11212k x π+=，Z k ∈，又[]12,0,4x x π∈，要求21x x -的最大值，故令0k =，得112x π=；令3k =，得23712x π=，所以21x x -的最大值为3731212πππ-=， 故选：C.9．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向左平移76π个单位长度 C ．向右平移712π个单位长度 D ．向右平移76π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图像平移的规律，算出答案即可. 【详解】由题意，由于函数477sin(2)sin(2)sin 2()366126y x x x πππππ⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦， 观察发现可由函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移712π个单位长度，得到函数4sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 故选：A.10．（2022·贵州·贵阳一中模拟预测（文））如图是函数()()sin (0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图像的一部分，则要得到该函数的图像，只需要将函数()2cos2g x x x -的图像（ ）A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度D ．向右平移2π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】先由图像求得()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由辅助角公式化简()g x ，最后由三角函数的平移变换即可求解. 【详解】 由题图知：712,1234T T ππππω-=∴==，又()()0,2,sin 2f x A x ωωϕ>∴=∴=+，20,sin 0,0332f A πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∴+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得(),sin 233f x A x ππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭，又()()()0sin2,2sin 2,cos233f A A f x x g x x x ππ⎛⎫=∴==∴=+=-= ⎪⎝⎭2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将()g x 向左平移4π得()2sin 22sin 22sin 246263x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.11．（2022·青海西宁·二模（文））在①6a =；②8a =；③12a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求cos A 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且2224a b c S +-=，c =________？【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C 的值，若选①6a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选②8a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，根据大边对大角原则，可得角A 有两解，根据同角三角函数关系，可求得cos A 的值；若选③12a =，根据正弦定理，可求得sin A 的值，因为sin 1A >，则三角形无解. 【详解】由题意可知在ABC 中， 因为2224a b c S +-=，且in 12s S ab C =， 所以222sin 2a b c C ab+-=， 由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=， 所以cos sin C C = 因为(0,)C π∈， 所以4Cπ；若选①6a =，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得3sin sin5a A C c ==，在ABC 中，因为c a >，所以C A >， 又因为4Cπ，则角A 只有一解，且0,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==．若选②8a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得4sin sin5a A C c ==， 在ABC 中，因为c a <，所以C A <， 又因为4Cπ，则角A 有两解，所以3cos 5A ==±．若选③12a =，由正弦定理可得sin sin a c A C=，解得6sin sin5a A C c ==， 因为sin 1A >，所以ABC 无解，即三角形不存在．12．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B Cb a B +=. (1)求角A 的大小；(2)若D 为BC 边中点，且2AD =，求a 的最小值. 【答案】(1)π3【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解； （2）利用余弦定理及基本不等式即可求解. (1)△sinsin 2B C b a B +=，△πsin sin 2A b aB -=，即cos sin 2Ab a B =.由正弦定理得cos sin sin 2sin AB A B ⋅=⋅. △sin 0B ≠，△cos sin 2sin cos 222A A A A ==. △cos02A ≠，△1sin 22A =，又△π022A <<, △π26A =，△π3A =；(2)△D 为BC 边中点，△2AD AB AC =+，即224()AD AB AC =+, △2AD =，△22162cos c b bc A =++，△2216b c bc +=-,△22216bc b c bc ≤+=-，即163≤bc , 当且仅当b c ==, △222222cos 162a b c bc A b c bc bc =+-=+-=-，△2161616233a ≥-⨯=，即a .故a . 13．（2022·山东聊城·三模）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos()6b Cc B π=-.(1)求角B ；(2)若b =4，求ABC 周长的最大值. 【答案】(1)3B π=；(2)12. 【解析】 【分析】（1）利用差角的余弦公式，结合正弦定理，化简计算作答. （2）利用余弦定理，结合均值不等式求出a +c 的最大值 (1)因为sin cos()6b C c B π=-，则1sin sin )2b Cc B B =+，在ABC 中，由正弦定理得，1sin sin sin sin )2B C C B B =+，而(0,π)C ∈，即sin 0C >，整理得sin B B =，即tan B =()0,πB ∈，解得π3B =， 所以π3B =. (2)在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得：2216a c ac =+-，即()2163a c ac +-=， 而2()2a c ac +≤，于是得()264a c +≤，当且仅当a =c =4时取“=”， 因此，当a =c =4时，a +c 取最大值8，从而a +b +c 取最大值12， 所以ABC 周长的最大值为12.14．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22(cos )2b a b c a B -=-．(1)求角A 的大小；(2)若8c =，ABC 的面积为BC 边上的高． 【答案】(1)3A π=【解析】 【分析】（1）由余弦定理化简可得答案；（2）由三角形的面积公式可得b 值，由余弦定理可得a 值，结合面积公式可得高. (1)22cos 2b a b c a B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222()2cos a b ca B bc -=-．222222()a b c a b bc ∴-=+--，222b c a bc ∴+-=，2221cos =22b c a A bc +-∴=．又(0,)A π∈，3A π∴=．(2)11sin 8sin 223S bc A b π==⨯⨯==2b ∴=．故由余弦定理可知a ==而1122S ah h ==⨯=解得h =，所以BC ． 15．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos A A +=b =①：2a =，222sin sin sin B A C >+；条件②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+．这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)tan 2A 的值； (2)c 和面积S 的值．【答案】(1)条件选择见解析，tan 2A =(2)条件选择见解析，2c =，S =【解析】 【分析】（1）若选①，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，若选②，由已知条件可得πsin 6A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得π6A =或π2，由于a b <，则可得π6A =，进而可求出tan 2A ，（2）若选①，由正弦定理得sin B =222sin sin sin B A C >+得222b a c >+，再由余弦定理得cos 0B <，则2π3B =，求得π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果，若选②，由正弦定理结合三角函数恒等变换公式可得1cos 2B =-，从而可得2π3B =，则π6C =，然后利用三角形面积公式可求得结果， (1)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3， 则π6A =或π2，△2a b =<=π6A =，△πtan 2tan3A == 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+在ABC cos A A +=πsin 6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而ππ7π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ63A +=或2π3，则π6A =或π2，由a b <，得：π6A =，△πtan 2tan 3A ==(2)若选①：2a =，222sin sin sin B A C >+，由正弦定理得：sin sin a b A B =，2πsin 6=sin B =， 由222222sin sin sin B A C b a c >+⇒>+知：222cos 02a c b B ac+-=<，故2π3B =， 则π6C =，△2c a ==，11πsin 2sin 226S ab C ==⨯⨯= 若选②：a b <，21cos cos sin 2a A C c A a =+由正弦定理得：21sin cos cos sin sin sin 2A A C C A A =+，△sin 0A ≠△1cos cos sin sin 2A C A C -=，即()1cos 2A C +=，1cos 2B =-， △0πB <<，故2π3B =，则π6C =， △a c =△由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，22211222c c c ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭，得2c =，△11πsin 2sin 226S bc A ==⨯⨯=。
2018年高考数学二轮复习第二部分高考22题各个击破专题三三角3.3.2三角变换与解三角形课件文
解 (1)由 asin A=4bsin B,及 得 a=2b. 由 ac= 5(a2-b2-c2), 及余弦定理,得 cos A=
������
2
������ sin������
=
������ , sin������
+������2 -������2 2������������
=
5 -5 ������������
sin ������ sin ������ 2 2
1
2
1
=
������������
������������
= .
2
1
-7-Βιβλιοθήκη (2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD= 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, ① AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. ② 因为cos∠ADB=-cos∠ADC, 所以①+2×②得 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
=3,化为 a2+c2-b2=6c,①
������ 2 +������ 2 -������ 2
=1,化为 b2+c2-a2=2c.②
������
解由①,②组成的方程组得2c2=8c,即c=4.
(2)由(1)可得 a -b =8.由正弦定理可得
π 6 π 6
2
2
sin ������
=
π 6
������ sin ������
=
4 sin ������
,
又 A-B= ,∴A=B+ ,C=π-(A+B)=π- 2������ + 可得 sin C=sin 2������ +
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题含答案
高中数学《三角函数与解三角形》知识点归纳一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（ ） ABCD【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <； 当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知cos cos 2b C c B b +=，则ab=( )A ．B ．2CD ．1【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理及题设可知，sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=，又A B C π++=，可得sin 2sin A B =，再由正弦定理，可得解【详解】由正弦定理：2sin sin b cR B C==，又cos cos 2b C c B b += 得到sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即sin()2sin B C B +=在ABC ∆中，A B C π++=故sin()2sin A B π-=，即sin 2sin A B =故sin 2sin a A b B == 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理在边角互化中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，0AB BC ⋅>u ur u u r u u，2a =，则bc +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)2o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得130(120150)sin(30)(,22o o o o B B +∈∴+∈，330))22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题5．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C 【解析】 【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围. 【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C . 【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由函数2cos 2y x x =-的图象（ ） A ．向右平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 B ．向右平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到 C ．向左平移3π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 D ．向左平移6π个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到 【答案】D 【解析】 【分析】合并cos2y x x =-得：2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用平移、伸缩知识即可判断选项。
2023-2024学年高考数学专项复习——三角函数与解三角形(含答案)
决胜3．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.ABC A B C a b c 23a c b +=3A C π-=(1)求；cos B (2)若，求的面积.5b =ABC 4．设()()()()πsin 2πcos 2cos sin πf ααααα⎛⎫++ ⎪⎝⎭=---(1)将化为最简形式；()f α(2)已知，求的值．()3f θ=-()sin 1sin2sin cos θθθθ++5．已知函数．()π1sin 232f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭(1)求函数的单调递增区间，并解不等式；()f x ()0f x ≥(2)关于的方程在上有两个不相等的实数解，求实数的取x 11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x m 值范围及的值．()12f x x +6．已知角为第四象限角，且角的终边与单位圆交于点.αα1,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求的值；sin α(2)求的值.()πtan sin 2sin cos παααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭+7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点xOy αOx ．(),P x y (1)若，求及的值；255y =tan α7sin 2cos sin 4cos αααα+-(2)若，求点P 的坐标．sin 11cos 2αα=-(1)若，求；3BC =ADCD (2)若，求线段的长11cos 14A =AD(1)求函数在区间上的最大值和最小值；()f x ππ[,]64-(2)若函数在区间上恰有2个零点，求的值．5()()4g x f x =-π(0,)212,x x 12cos()x x -11．在中，，点D 在AB 边上，且为锐角，，的面积为ABC 25BC =BCD ∠2CD =BCD △4.(1)求的值；cos BCD ∠(2)若，求边AC 的长.30A =︒12．记三个内角的对边分别为，已知为锐角，ABC ,,A B C ,,a b c B ．sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=(1)求；()sin A C -(2)求的最小值．sin sin A B 13．已知函数且的最小正周期为．()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)若，求x 的取值范围．()22f x ≤14．已知函数在上单调递增．()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(1)求的取值范围：ω(2)当取最大值时，将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来ω()f x π9的3倍，得到的图象，求在内的值域．()g x ()g x ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．在中，角所对的边分别为，已知．ABC ,,A B C ,,a b c sin cos cos cos cos sin sin A B C B C A B +=--(1)求；C (2)若外接圆的半径为，求的面积最大值．ABC 233ABC 16．已知函数.()()πe e sin ,32x xf x xg x --==(1)若，求；321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)设函数，证明：在上有且仅有一个零点，且()()ln h x x f x =+()h x ()0,∞+0x .()()034g f x >-17．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终xOy αO x 边与单位圆交于第三象限点.525,55P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求的值；sin cos αα-(2)若角的终边绕原点按逆时针方向旋转，与单位圆交于点，求点的坐标.αO π2Q Q 18．设函数，且．2()2cos 23sin cos (0)f x x x x m ωωωω=++>(0)1f =(1)求的值；m (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求()f x 的值及的零点．ω()f x 条件①：是奇函数；()f x 条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；()f x π条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，0按第一个解答计分．答案：1．(1)1-(2)12-【分析】（1）根据点坐标求得.P tan α（2）根据点坐标求得，利用诱导公式求得正确答案.P sin ,cos αα【详解】（1）即，3π,cos π3sin 44P ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以.22tan 122α-==-（2）由（1）得，所以，22,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭22222sin 22222α-==-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22222cos 22222α==⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1617πsin πsin πsin sin 808π22αααα⎛⎫⎛⎫-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin sin sin cos 2αααα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.221222⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭2．(1)，1tan 7α=1tan 3β=(2)π4【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系求出，再根据商数关系和两角和正切公式cos α化简得结果；（2）根据二倍角公式得，，再根据两角和余弦公式得，最后根据sin 2,cos 2ββ()cos 2αβ+范围求结果.【详解】（1）因为为锐角，，所以，,αβ2sin 10α=272cos 1sin 10αα=-=所以，2sin 110tan cos 77210ααα===又因为，所以，tan tan 1tan()1tan tan 2αβαβαβ++==-1tan 3β=（2）因为为锐角，，所以，解得，,αβ1tan 3β=22sin 1cos 3sin cos 1ββββ⎧=⎪⎨⎪+=⎩10sin 10310cos 10ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，sin 22sin cos 103103101052βββ==⨯=⨯，24cos 212sin 5ββ=-=所以，()724232cos 2cos cos 2sin sin 21051052αβαβαβ+=-=⨯-⨯=又因为为锐角，所以，,αβ3π022αβ<+<所以.π24αβ+=3．(1)78(2)111512【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化为，结合23a c b +=sin sin 23sin A C B +=已知条件，有，，代入解三角形即可.3A C π-=32B C π=-232B A π=-sin sin 23sin A C B +=（2）根据（1）终结论，利用余弦定理，结合，，解得，利用面5b =23a c b +=443ac =积公式即可求得面积为.11115sin 212ABC S ac B ==△【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，23a c b +=sin sin 23sin A C B +=因为，且，所以，，3A C π-=A B C π++=32B C π=-232B A π=-所以2sin sin 23sin 3232B B B ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，22sin cos cos sin sin cos cos sin 23sin 32323232B B B B B ππππ-+-=所以，所以，3cos 23sin 2B B =cos 4sin cos 222B B B =因为，所以，所以；022B π<<1sin 24B =27cos 12sin 28B B =-=（2）由余弦定理可得，2222cos b a c ac B =+-即，得，得，()27524a c ac ac =+--()2155234b ac =-443ac =因为，所以，所以7cos 8B =15sin 8B =11115sin 212ABC S ac B ==△4．(1)tan α-(2)65【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，结合同角三角函数的商式关系，可得答案；（2）利用正弦函数的二倍角公式以及同角三角函数的平方式，整理齐次式，可得答案.【详解】（1）.()()()()πsin 2πcos sin sin 2tan cos sin πcos sin f αααααααααα⎛⎫++ ⎪-⎝⎭===----（2）由，则，()tan 3f θθ=-=-tan 3θ=，()()()()()22222sin 1sin2sin (sin cos )tan (tan 1)sin cos sin cos sin cos tan 1tan 1θθθθθθθθθθθθθθθ+++==+++++.()()2223(31)34641053131⨯+⨯===⨯+⨯+5．(1)答案见解析(2)(()1212,3,2f x x ⎤--+=-⎦【分析】（1）由题意分别令，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，解不等式即可得解.ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈（2）由题意得在上有两个不相等的实数解，结合三角()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 函数单调性、最值即可求出的取值范围，结合对称性代入求值即可得的值.m ()12f x x +【详解】（1）由题意令，解得，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈π5πππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈即函数的单调递增区间为，()f x ()π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦令，所以，()π1sin 2032f x x ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭π1sin 232x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭所以，解得，ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤-≤+∈π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈所以不等式的解集为.()0f x ≥()π7ππ,π,Z 412k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意即，11022m f x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 032m x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭即在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 当时，，而在上单调递减，在上单[]0,πx ∈ππ2π,333t x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦2sin y t =-ππ,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦调递增，所以当即时，，ππ32t x =-=5π6x =()min 2g x =-当即时，，ππ33t x =-=-0x =()max 3g x =又即时，，π2π33t x =-=πx =()3g x =-所以若在上有两个不相等的实数解，()π2sin 3m x g x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭[]0,πx ∈12,x x 则实数的取值范围为，m (2,3⎤--⎦因为，所以是的对称轴，()min 5π26g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭5π6x =()g x所以.()125π5ππ112sin 263322f x x f ⎛⎫⎛⎫+=⨯=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．(1)223-(2)3-【分析】（1）将点代入单位圆后结合任意角三角函数定义求解即可.（2）利用诱导公式化简求值即可.【详解】（1）在单位圆中，解得，22113y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭223y =±因为第四象限角，所以α223y =-22sin 3α∴=-（2）第四象限角22sin ,3αα=-1cos 3α∴=.()πtan sin 123sin cos πcos ααααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴=-=-+7．(1)，；2-2(2).34(,)55-【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得.P tan α（2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得.【详解】（1）角以Ox 为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，α(),P x y 当时，，则，255y =22551()55x =--=-tan 2y x α==-所以．7tan 27(2)227ta 4sin 2cos sin 42c 4os n αααααα+⨯-++==---=-（2）依题意，，sin 0,cos 0αα><由，得，代入，sin 11cos 2αα=-cos 12sin αα=-22sin cos 1αα+=于是，解得，22sin (12sin )1αα+-=2sin ,cos 1sin 5543ααα==--=-即，所以点P 的坐标为．34,55x y =-=34(,)55-8．(1)；π3A =(2)．2AD =【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由三角恒等变换求解；（2）设，利用由余弦定理求得，从而由正弦定理求得AD x =πADB ADC ∠+∠=cos ADB ∠（用表示），再代入余弦定理的结论中求得值．AC x x 【详解】（1）由正弦定理及已知得2cos cos cos 2c a A B b A =-，sin 2sin cos cos sin cos 2sin 2cos sin cos 2sin(2)C A A B B A A B B A A B =-=-=-或，C 2A B =-2πC A B +-=又，所以，A B ≤22πC A B C B B C B +-≤+-=+<所以，从而，所以；C 2A B =-2πB C A A +==-π3A =（2）由余弦定理得，，2222cos AB BD AD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC CD AD AD CD ADC =+-⋅∠又是角平分线，所以，又，则，记，因为AD 2AC CD AB BD ==3a =2,1CD BD ==AD x =，πADB ADC ∠+∠=所以，所以，2244cos 412cos x x ADC x x ADC +-∠=++∠cos 4x ADC ∠=-，则，0πADC <∠<2sin 116x ADC ∠=-由正弦定理得，sin sin AC CD ADC CAD =∠∠所以，222116π16sin 6x AC x =⋅-=-所以，解得，即．221644()4x x x x -=+-⋅-2x =2AD =9．(1)263(2)677【分析】（1）利用正弦定理及其余弦定理求解；（2）利用三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为平分，，故，AD BAC ∠3AB BC ==2C BAC θ∠=∠=在中，由正弦定理知：，ADC △sin sin 22cos sin sin AD ACD CD DAC θθθ∠===∠由余弦定理有，2222223231cos 2cos 22323CA CB BA C CA CB θ+-+-====⋅⨯⨯又因为，所以,21cos 22cos 13θθ==-6cos 3θ=即；262cos 3AD CDθ==（2）由，得，则，11cos 14A =11cos 214θ=cos 2157cos 214θθ+==又由，()11sin 2sin 22ABC ABD ACD S AB AC S S AB AC AD θθ=⋅=+=+△△△得.()sin 21267cos sin 57AB AC AD AB AC θθθ⋅===+10．(1)最大值和最小值分别为；2,1-(2).58【分析】（1）求出函数的解析式，再利用余弦函数的性质求解即得.()f x （2）利用余弦函数图象的对称性，结合诱导公式计算.12cos()x x -【详解】（1）由函数的最小正周期为，得，解得，()f x π2ππω=π2,()2cos(2)3x f x ω==-当时，，则当，即时，，ππ[,]64x ∈-π2ππ2[,]336x -∈-π2π233x -=-π6x =-min ()1f x =-当，即时，，π203x -=π6x =max ()2f x =所以函数在区间上的最大值和最小值分别为.()f x ππ[,]64-2,1-（2）()2222252cos 25222525BD BC CD BC CD BCD =+-⨯∠=+-⨯⨯⨯，故，204816=+-=4BD =有，故，22216420BD CD BC +=+==CD AB ⊥则，即.21sin sin 302CD A AC AC ==︒==4AC =12．(1)；()sin 1A C -=(2)无最小值；【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得，结合为锐角可得，所sin cos A C =B π2A C =+以；()sin 1A C -=（2）利用诱导公式可得，再由导数判断出在3sin sin 2sin sin A B A A =-()32f t t t =-上单调递增，可得无最小值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭sin sin A B 【详解】（1）因为，sin sin sin 2sin sin a A b B c C a A B +-=由正弦定理得，2222sin a b c ab A +-=由余弦定理可得，2222cos a b c ab C +-=所以可得，解得或；sin cos A C =π2A C =-π2A C =+又为锐角，所以（舍），即，B π2A C =-π2A C =+因此；()πsin sin12A C -==（2）结合（1）中，又可得：π2A C =+πA B C ++=；33πsin sin sin sin 2sin cos 22sin sin 2A B A A A A A A ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令，则，sin t A =()3sin sin 2A B f t t t ==-又为锐角，，所以，B 3ππ20,22A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π3π24A <<可得，212t <<所以，当时，恒成立，()261f t t '=-212t <<()2610f t t '=->即可得为单调递增，()32f t t t =-所以时，，所以无最值；2,12t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭()()0,1f t ∈()f t 因此无最小值；sin sin A B 13．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据最小正周期为求得，求出单调递减区间；π=1ω±（2）根据写出x 的取值范围．()22f x ≤【详解】（1）因为的周期为，()πsin 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π故，所以.2ππ2ω==1ω±当时，，=1ω()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，得到，ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+π7πππ1212k x k +≤≤+故的递减区间为.()f x π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦当时，，1ω=-()ππsin 2sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，得到πππ2π22π232k x k -+≤-≤+π5πππ1212k x k -+≤≤+故的递减区间为.()f x π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）当时，，=1ω()π2sin 232f x x ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以，5πππ2π22π434k x k -+≤+≤+解得.19ππππ,Z 2424k x k k -+≤≤-+∈当时，，1ω=-()ππ2sin 2sin 2332f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，π2sin 232x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭所以，ππ5π2π22π434k x k -+≤-≤+解得.π19πππ2424k x k +≤≤+综上：当时，；=1ω19ππππ2424k x k -+≤≤-+当时，.1ω=-π19πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈14．(1)302ω<≤(2)260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题设条件，列出不等式，求解即可.,32πππ4π2ωω-≥-≤（2）根据函数图像平移变换，写出函数，再结合区间和三角函数性质求1π()sin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭出值域.【详解】（1）由，得 ，ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦又函数在上单调递增，()sin (0)f x x ωω=>ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以，解得,32πππ4π2ωω-≥-≤32ω≤因为，所以．0ω>302ω<≤（2）由（1）知的最大值为，此时，ω323()sin 2f x x =根据题意，，31π1π()sin sin 23926g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦当时，．ππ,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1πππ02664x ≤+≤+所以，故值域为．ππ260()sin 644g x +⎛⎫≤≤+= ⎪⎝⎭260,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦15．(1)π3C =(2)3【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可．（2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可.【详解】（1）由已知可得：，222sin sin sin cos cos A A B B C -=-∴，()222sin sin sin 1sin 1sin A A B B C -=---∴，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=根据正弦定理可知：，222a b c ab +-=∴．2221cos 22a b c C ab +-==又．π(0,π),3C C ∈∴=（2）∵外接圆的半径为，ABC 233r =∴，解得．432sin 3c r C==2c =又由（1）得，222a b c ab +-=故，∴，当且仅当时等号成立22424a b ab ab +-=≥-4ab ≤2a b ==∴，13sin 324ABC S ab C ab ==≤△∴的面积最大值为．ABC 316．(1)23(2)证明见解析【分析】（1）化简已知条件求得，利用诱导公式求得.πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭32πf α⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）先求得的表达式，然后对进行分类讨论，结合零点存在性定理证得在()h x x ()h x 上有且仅有一个零点，求得的表达式，然后利用函数的单调性证得不等()0,∞+0x()()0g f x 式成立.()()034g f x >-【详解】（1）由，则，321π3f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π2sin 33α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以32π2sin π3f αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.ππ2sin πsin 333αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（2）证明：由题意得.()πln sin 3h x x x =+①当时，，所以单调递增.30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ππ0,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()h x 又，由于，而，1πsin ln226h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π1sin 62=1ln2ln e 2>=所以.又，102h ⎛⎫< ⎪⎝⎭()3102h =>所以由零点存在定理得在内有唯一零点，使得.()h x 30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦0x ()00h x =当时，，所以，则在上无零点；3,32x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦πln 0,sin 03x x >≥()0h x >()h x 3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦当时，，所以，则在上无零点.()3,x ∈+∞πln 1,1sin 13x x >-≤≤()0h x >()h x ()3,+∞综上，在上有且仅有一个零点.()h x ()0,∞+0x ②由①得，且，0112x <<()00ln 0x f x +=则.()()()()00000011ln ,ln 2f x x g f x g x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭由函数的单调性得函数在上单调递增，()000112x x x ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭则，()01324x ϕϕ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭故.()()034g f x >-求解已知三角函数值求三角函数值的问题，可以考虑利用诱导公式等三角恒等变换的公式来进行求解.判断函数零点的个数，除了零点存在性定理外，还需要结合函数的单调性来进行判断.17．(1)55-(2)255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）直接根据三角函数的定义求解；（2）利用诱导公式求出旋转后的角的三角函数值即可.【详解】（1）由三角函数的定义可得，5sin c 5o 255s αα-=-=，所以；5s 5in 5c 2os 555αα⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭-=-（2）角的终边绕原点O 按逆时针方向旋转，得到角，απ2π2α+则，，π5sin cos 25αα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭π25cos sin 25αα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以点Q 的坐标为.255,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18．(1)1m =-(2)选择①，不存在；选择②，，；选择③，，12ω=ππ,Z 6k k -+∈1ω=ππ,Z 122k k -+∈【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解；(0)1f =（2）根据奇函数性质、三角函数图象的性质以及三角函数的单调性，即可逐个条件进行判断和求解.【详解】（1）2()2cos 23sin cos f x x x x m ωωω=++，πcos 23sin212sin 216x x m x m ωωω⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝⎭又，所以.1(0)2112f m =⨯++=1m =-（2）由（1）知，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭选择①：因为是奇函数，()f x 所以与已知矛盾，所以不存在.()00f =()f x 选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，()f x π所以，，，π2T =2πT =2π21T ω==12ω=则，()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，()π2sin 06f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得.ππ,Z 6k x k -+∈=即零点为.()f x ππ,Z 6k k -+∈选择③：对于，，()π2sin 26f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，πππ2π22π,Z 262k x k k ω-+≤+≤+∈ππ3π2π22π,Z 262k x k k ω+≤+≤+∈解得，，ππππ,Z 36k k x k ωωωω-+≤≤+∈ππ2ππ,Z 63k k x k ωωωω+≤≤+∈即增区间为，()f x ππππ,,Z 36k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦减区间为，()f x ππ2ππ,,Z 63k k k ωωωω⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，()f x π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以时符合，0k =即在上单调递增，在上单调递减，()f x ππ,36ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π2π,63ωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以且，π03ππ66ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩2ππ33ππ66ωω⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解得，则，1ω=()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以令，()π2sin 206f x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭解得，ππ,Z 122k x k =-+∈即零点为.()f x ππ,Z 122k k -+∈。
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析
高三数学 提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题附解析一、三角函数与解三角形多选题1．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，有以下四个命题中正确的是（ ） A ．22S a bc +的最大值为3B ．当2a =，sin 2sin BC =时，ABC 不可能是直角三角形 C ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，ABC 的周长为223+D ．当2a =，sin 2sin B C =，2A C =时，若O 为ABC 的内心，则AOB 的面积为31- 【答案】ACD 【分析】利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A ；利用勾股定理的逆定理即可判断选项B ；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C ；由已知条件可得ABC 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得AOB 的面积即可判断选项D. 【详解】 对于选项A ：2221sin 1sin 222cos 2222cos bc AS A b c a bc b c bc A bc Ac b==⨯++-+++- 1sin 4cos 2A A ≤-⨯-（当且仅当b c =时取等号）.令sin A y =，cos A x =，故21242S ya bc x ≤-⨯+-， 因为221x y +=，且0y >，故可得点(),x y 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：目标函数2yz x =-上，表示圆弧上一点到点()2,0A 点的斜率，数形结合可知，当且仅当目标函数过点12H ⎛ ⎝⎭，即60A =时，取得最小值-故可得,023yz x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎪-⎣⎭，又21242S yx bc x ≤-⨯+-，故可得2124S a bc ⎛≤-⨯= +⎝⎭， 当且仅当60A =，b c =，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确； 对于选项B ：因为sin 2sin B C =，所以由正弦定理得2b c =，若b 是直角三角形的斜边，则有222a c b +=，即2244c c +=，得c =，故选项B 错误； 对于选项C ，由2A C =，可得π3B C =-，由sin 2sin B C =得2b c =，由正弦定理得，sin sin b c B C=，即()2sin π3sin c c C C =-， 所以sin32sin C C =，化简得2sin cos 22cos sin 2sin C C C C C +=， 因为sin 0C ≠，所以化简得23cos 4C =，因为2b c =，所以B C >，所以cos C =，则1sin 2C =，所以sin 2sin 1B C ==，所以π2B =，π6C =，π3A =，因为2a =，所以3c =，b =，所以ABC 的周长为2+，故选项C 正确； 对于选项D ，由C 可知，ABC 为直角三角形，且π2B =，π6C =，π3A =，3c =，b =，所以ABC 的内切圆半径为1212333r ⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ABC 的面积为11122cr ⎛== ⎝⎭所以选项D 正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A 利用面积公式和余弦定理，结合不等式得21sin 1sin 224cos 222cos S A Ab c a bc A A c b=⨯≤-⨯+-++-，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于难题.2．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立； D ．函数()()22t f g θθ=+的最大值为2.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=， 所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.3．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ） A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】 通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确；当12x=时，函数siny x=π取得最大值1，此时21324y x⎛⎫=-+⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x≤=，选项A正确；若()5f x x≤，则32sin555x x x xπ≤-+，令()32555g x x x x=-+，则()()221510553210g x x x x x'=-+=-+>恒成立，则()g x在R上递增，又()00g=，所以当0x<时，()00g<；当0x>时，()0g x>；作出sin xπ和32555x x x-+的图象如图所示：由图象可知32sin555x x x xπ≤-+成立，即()5f x x≤，选项B正确；对于D选项，若存在一点(),a b使得()f x关于点(),a b对称，则()()2f a x f a x b-++=，通过分析发现()()f a x f a x-++不可能为常数，故选项D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.4．已知函数()2sin()05,||2f x xπωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，且对任意x∈R，()12f x fπ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，3y f xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数，则下列说法正确的是（）A．函数()f x的图象关于原点对称B．函数()f x的最小正周期为πC．函数()f x的图象关于直线2xπ=对称D ．函数()f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】BD 【分析】由()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可得212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即()122k k ωππϕπ+=+∈Z ，由3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数可得()3k k ωπϕπ''+=∈Z ，即可求出2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质分别判断即可. 【详解】因为对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以2sin 21212f πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即sin 112ωπϕ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，得()122k k ωππϕπ+=+∈Z ①. 2sin 2sin 333f x x x ππωπωϕωϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，所以()3k k ωπϕπ''+=∈Z ②.由①②可得()(),3122k k k k ωπωπππ''-=--∈Z ，即()(42,)k k k k ω''=--∈Z .又05ω<<，所以1k k '-=，2ω=， 则(2,)33k k k k ππϕππ=+=-'∈'Z ，得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于(0)0f =≠，故()f x 的图象不关于原点对称，所以A 不正确； ()f x 的最小正周期22T ππ==，所以B 正确；2sin 22sin 2sin 222333f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-=± ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以C 不正确；令222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ， 故函数() f x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以D 正确. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意x ∈R ，()12f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立”得到“212f π⎛⎫=± ⎪⎝⎭”；（2）得到“2sin 33f x x πωπωϕ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”后，能根据“3y f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭为奇函数”得到“()3k k ωπϕπ''+=∈Z ”.5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()y f x =的周期为πB ．函数()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减 C ．函数()y f x =的图象关于直线512x π=-对称 D ．该图象向右平移6π个单位可得2sin 2y x =的图象 【答案】ACD 【分析】先根据图像求出()y f x =的解析式，再分别验证A 、B 、C 、D 是否正确. 对于A ：利用周期公式求周期；对于B ：利用复合函数“同增异减”求单调区间； 对于C ：计算512f π⎛-⎫⎪⎝⎭，看512x π=-是否经过顶点； 对于D ：利用“左加右减”判断. 【详解】由图像可知：A =2，周期24,2312T T ππππω⎛⎫=-=∴==⎪⎝⎭；由=2sin 2212122f ππϕπϕ⎧⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪<⎪⎩解得：3πϕ=故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对于A ：4312T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ：当236x ππ-≤≤- 时203x ππ-≤+≤，所以()y f x =在2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上不单调.故B 错误； 对于C ：当512x π=-时255s 2121232in f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎭⎝-⎪⎭+⎝⨯，即直线512x π=-是()y f x =的一条对称轴.故C 正确；对于D ：()y f x =向右平移6π个单位得到2sin 222sin 263y x x ππ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.6．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.7．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2C π>，则22sin sin sin C A B >+【答案】ACDA 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；C 项，显然2A π≠，分02A π<<和2A π>两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判断；D 项，根据2A B π+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02A π<<，则2A B π->，则2A B π+<，于是2C π>； 若2A π>，则cos cos 2A B π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则2A B π->， 于是2A B π>+，故C 选项正确；对于D 选项，由2C π>，则2A B π+<，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<， 此时，22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B=+=+>⋅+⋅=+所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()124F x f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC【分析】首先得到()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可.【详解】 解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2))cos 22423F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ；对于A ，tan tan 6πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC .【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a ＝，且1n n S a λ-＝（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n -+-＝，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值可以为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】AB【分析】 利用11a S =可求得2λ=；利用1n n n a S S -=-可证得数列{}n a 为等比数列，从而得到12n n a ，进而得到n b ；利用10n n b b 可得到关于n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据n *∈N 求得结果.【详解】当1n =时，1111a S a λ==-，11λ∴-=，解得：2λ=21n n S a ∴=-当2n ≥且n *∈N 时，1121n n S a --=-1122n n n n n a S S a a ，即：12n n a a -=∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n a 2920n n a b n n =-+-，219202n n n n b --+-∴= ()()222111912092011280222n n n n n n n n n n n b b +--+++--+--+∴-=-=< 20n >，()()21128470n n n n ∴-+=--<，解得：47n << 又n *∈N ，5n ∴=或6故选：AB【点睛】关键点点睛：本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用n a 与n S 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识，解决本题的关键点是能够得到n b 的通项公式，进而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果，考查学生计算能力，属于中档题．10．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}n a 为等比数列B ．数列{}n S n +为等比数列C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】 由已知可得11222n n n n S n S n S n S n++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S n S n S n++++==++． 又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2n n S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++- ()()()23122412122...2212...224122n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦ 所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S n S n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,。
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形 解答题全集 (学生版+解析版)
2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．3．（2021•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C ＝2：1：√2，b=√2．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C−π6）的值．4．（2021•浙江）设函数f（x）＝sin x+cos x（x∈R）．（Ⅰ）求函数y＝[f（x+π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y＝f（x）f（x−π4）在[0，π2]上的最大值．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A ＝2sin B ，求b 、c ； （2）若cos （A −π4）=45，求c ．8．（2020•天津）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＝2√2，b ＝5，c =√13．（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin （2A +π4）的值．9．（2020•北京）在△ABC 中，a +b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求： （Ⅰ）a 的值；（Ⅱ）sin C 和△ABC 的面积． 条件①：c ＝7，cos A =−17； 条件②：cos A =18，cos B =916． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ； （2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．21．（2019•浙江）设函数f （x ）＝sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值； （Ⅱ）求函数y ＝[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域． 22．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B ﹣C ）的值．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． （Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ．（1）求A；（2）若√2a+b＝2c，求sin C．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2√2，求BC．27．（2018•全国）在△ABC中，角A、B、C对应边a、b、c，外接圆半径为1，已知2（sin2A ﹣sin2C）＝（a﹣b）sin B．（1）证明a2+b2﹣c2＝ab；（2）求角C和边c．28．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b sin A＝a cos（B−π6）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A﹣B）的值．29．（2018•北京）在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B=−1 7．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tanα=43，cos（α+β）=−√55．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（−35，−45）．（Ⅰ）求sin（α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=513，求cosβ的值．32．（2018•北京）已知函数f（x）＝sin2x+√3sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[−π3，m]上的最大值为32，求m的最小值．33．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）＝a sin2x+2cos2x．（1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求sin （2B ﹣A ）的值．37．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B =35． （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求sin （2A +π4）的值．38．（2017•山东）设函数f （x ）＝sin （ωx −π6）+sin （ωx −π2），其中0＜ω＜3，已知f （π6）＝0． （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y ＝f （x ）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，求g （x ）在[−π4，3π4]上的最小值．39．（2017•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为a 23sinA．（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．40．（2017•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin （A +C ）＝8sin 2B2．（1）求cos B ；（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积为2，求b ．41．（2017•北京）已知函数f （x ）=√3cos （2x −π3）﹣2sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求证：当x ∈[−π4，π4]时，f （x ）≥−12．42．（2017•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +√3cos A ＝0，a ＝2√7，b ＝2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积．43．（2017•江苏）已知向量a →=（cos x ，sin x ），b →=（3，−√3），x ∈[0，π]． （1）若a →∥b →，求x 的值；（2）记f （x ）=a →⋅b →，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值． 44．（2017•北京）在△ABC 中，∠A ＝60°，c =37a ． （1）求sin C 的值；（2）若a ＝7，求△ABC 的面积．45．（2017•浙江）已知函数f （x ）＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣2√3sin x cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求f （2π3）的值．（Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间．2017-2021年高考真题三角函数与解三角形解答题全集（学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•北京）已知在△ABC中，c＝2b cos B，C=2π3．（1）求B的大小；（2）在三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．①c=√2b；②周长为4+2√3；③面积为S△ABC=3√3 4．【解答】解：（1）∵c＝2b cos B，由正弦定理可得sin C＝2sin B cos B，即sin C＝sin2B，∵C=2π3，∴当C＝2B时，B=π3，即C+B＝π，不符合题意，舍去，∴C+2B＝π，∴2B=π3，即B=π6．（2）选①c=√2b，由正弦定理可得c b =sinCsinB=√3212=√3，与已知条件c=√2b矛盾，故△ABC不存在，选②周长为4+2√3，∵C=2π3，B=π6，∴A=π6，由正弦定理可得asinA =bsinB=csinC=2R，即a12=b12=√32=2R，∴a=R，b=R，c=√3R，∴a+b+c＝（2+√3）R＝4+2√3，∴R＝2，即a＝2，b＝2，c＝2√3，∴△ABC存在且唯一确定，设BC的中点为D，∴CD＝1，在△ACD中，运用余弦定理，AD2＝AC2+CD2﹣2AC•CD•cos∠C，即AD2=4+1−2×2×1×(−12)=7，AD=√7，∴BC边上的中线的长度√7．选③面积为S△ABC=3√3 4，∵A=B=π6，∴a＝b，∴S△ABC=12absinC=12a2×√32=3√34，解得a=√3，余弦定理可得AD2＝AC2+CD2﹣2×AC×CD×cos 2π3=3+34+√3×√32=214，AD=√212．2．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．（Ⅰ）若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（I）∵2sin C＝3sin A，∴根据正弦定理可得2c＝3a，∵b＝a+1，c＝a+2，∴a＝4，b＝5，c＝6，在△ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab=42+52−622×4×5=18，∵sin2C+cos2C＝1，∴sin C=√1−cos2C=√1−(18)2=3√78，∴S△ABC=12absinC=12×4×5×3√78=15√74．（II）∵c＞b＞a，∴△ABC 为钝角三角形时，角C 必为钝角，cosC =a 2+b 2−c 22ab =a 2+(a+1)2−(a+2)22a(a+1)＜0， ∴a 2﹣2a ﹣3＜0， ∵a ＞0， ∴0＜a ＜3，∵三角形的任意两边之和大于第三边， ∴a +b ＞c ，即a +a +1＞a +2，即a ＞1， ∴1＜a ＜3， ∵a 为正整数， ∴a ＝2．3．（2021•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，b =√2． （1）求a 的值； （2）求cos C 的值； （3）求sin （2C −π6）的值．【解答】解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：√2，∴a ：b ：c ＝2：1：√2， ∵b =√2，∴a ＝2b ＝2√2，c =√2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C =a 2+b 2−c 22ab =2×2√2×√2=34．（3）由（2）可得sin C =√1−cos 2C =√74，∴sin2C ＝2sin C cos C =3√78，cos2C ＝2cos 2C ﹣1=18， sin （2C −π6）＝sin2C cos π6−cos2C sinπ6=3√21−116． 4．（2021•浙江）设函数f （x ）＝sin x +cos x （x ∈R ）． （Ⅰ）求函数y ＝[f （x +π2）]2的最小正周期；（Ⅱ）求函数y ＝f （x ）f （x −π4）在[0，π2]上的最大值．【解答】解：函数f （x ）＝sin x +cos x =√2sin(x +π4)，（Ⅰ）函数y ＝[f （x +π2）]2＝[√2sin(x +π2+π4)]2＝2cos 2（x +π4）＝1+cos[2（x+π4）]＝1+cos（2x+π2）＝1﹣sin2x，则最小正周期为T=2π2=π；（Ⅱ）函数y＝f（x）f（x−π4）=√2sin(x+π4)⋅√2sin(x−π4+π4)＝（√2(sin x+cos x）sin x=√2(sin2x+sinxcosx)=√2(1−cos2x2+12sin2x)=sin（2x−π4）+√22，因为x∈[0，π2]，所以2x−π4∈[−π4，3π4]，所以当2x−π4=π2，即x=3π8时，f（x）max＝1+√22．5．（2021•上海）在△ABC中，已知a＝3，b＝2c．（1）若A=2π3，求S△ABC．（2）若2sin B﹣sin C＝1，求C△ABC．【解答】解：（1）由余弦定理得cos A=−12=b2+c2−a22bc=5c2−94c2，解得c2=9 7，∴S△ABC=12bcsinA=√34×2c2=9√314；（2）∵b＝2c，∴由正弦定理得sin B＝2sin C，又∵2sin B﹣sin C＝1，∴sin C=13，sin B=23，∴sin C＜sin B，∴C＜B，∴C为锐角，∴cos C=√1−(13)2=2√23．由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又∵a＝3，b＝2c，∴c2＝9+4c2﹣8√2c，得：3c2﹣8√2c+9＝0，解得：c=4√2±√53．当c=4√2+√53时，b=8√2+2√53，∴C△ABC＝3+4√2+√5；当c=4√2−√53时，b=8√2−2√53，∴C△ABC＝3+4√2−√5．6．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D 在边AC上，BD sin∠ABC＝a sin C．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．【解答】解：（1）证明：由正弦定理知，bsin∠ABC=c sin∠ACB=2R ，∴b ＝2R sin ∠ABC ，c ＝2R sin ∠ACB ，∵b 2＝ac ，∴b •2R sin ∠ABC ＝a •2R sin ∠ACB ， 即b sin ∠ABC ＝a sin C ， ∵BD sin ∠ABC ＝a sin C ， ∴BD ＝b ；（2）法一：由（1）知BD ＝b ， ∵AD ＝2DC ，∴AD =23b ，DC =13b ，在△ABD 中，由余弦定理知，cos ∠BDA =BD 2+AD 2−AB 22BD⋅AD =b 2+(23b)2−c 22b⋅23b =13b 2−9c 212b 2， 在△CBD 中，由余弦定理知，cos ∠BDC =BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD =b 2+(13b)2−a 22b⋅13b =10b 2−9a 26b 2， ∵∠BDA +∠BDC ＝π， ∴cos ∠BDA +cos ∠BDC ＝0， 即13b 2−9c 212b 2+10b 2−9a 26b 2=0，得11b 2＝3c 2+6a 2， ∵b 2＝ac ，∴3c 2﹣11ac +6a 2＝0， ∴c ＝3a 或c =23a ，在△ABC 中，由余弦定理知，cos ∠ABC =a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac2ac， 当c ＝3a 时，cos ∠ABC =76＞1（舍）； 当c =23a 时，cos ∠ABC =712； 综上所述，cos ∠ABC =712．法二：∵点D 在边AC 上且AD ＝2DC ， ∴BD →=13BA →+23BC →，∴BD →2=13BA →⋅BD →+23BC →⋅BD →，而由（1）知BD＝b，∴b2=13bc⋅cos∠ABD+23ab⋅cos∠CBD，即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，由余弦定理知：3b=c⋅b2+c2−49b22bc+2a⋅a2+b2−19b22ab，∴11b2＝3c2+6a2，∵b2＝ac，∴3c2﹣11ac+6a2＝0，∴c＝3a或c=23 a，在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC=a2+c2−b22ac=a2+c2−ac2ac，当c＝3a时，cos∠ABC=76＞1（舍）；当c=23a时，cos∠ABC=712；综上所述，cos∠ABC=7 12．7．（2021•上海）已知A、B、C为△ABC的三个内角，a、b、c是其三条边，a＝2，cos C=−1 4．（1）若sin A＝2sin B，求b、c；（2）若cos（A−π4）=45，求c．【解答】解：（1）因为sin A＝2sin B，可得a＝2b，又a＝2，可得b＝1，由于cos C=a2+b2−c22ab=22+12−c22×2×1=−14，可得c=√6．（2）因为cos（A−π4）=√22（cos A+sin A）=45，可得cos A+sin A=4√2 5，又cos2A+sin2A＝1，可解得cos A=7√210，sin A=√210，或sin A=7√210，cos A=√210，因为cos C=−14，可得sin C=√154，tan C=−√15，可得C为钝角，若sin A=7√210，cos A=√210，可得tan A＝7，可得tan B＝﹣tan（A+C）=tanA+tanCtanAtanC−1=7−√157×(−√15)−10，可得B为钝角，这与C为钝角矛盾，舍去，所以sin A=√210，由正弦定理2sinA=csinC，可得c=5√302．8．（2020•天津）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝2√2，b＝5，c=√13．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sin A的值；（Ⅲ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理以及a＝2√2，b＝5，c=√13，则cos C=a2+b2−c22ab=2×2√2×5=√22，∵C∈（0，π），∴C=π4；（Ⅱ）由正弦定理，以及C=π4，a＝2√2，c=√13，可得sin A=asinCc=2√2×√22√13=2√1313；（Ⅲ）由a＜c，及sin A=2√1313，可得cos A=√1−sin2A=3√1313，则sin2A＝2sin A cos A＝2×2√1313×3√1313=1213，∴cos2A＝2cos2A﹣1=5 13，∴sin（2A+π4）=√22（sin2A+cos2A）=√22（1213+513）=17√226．9．（2020•北京）在△ABC中，a+b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）sin C和△ABC的面积．条件①：c＝7，cos A=−1 7；条件②：cos A=18，cos B=916．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：选择条件①（Ⅰ）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即a2﹣b2＝49﹣14b×（−17）＝49+2b ， ∴（a +b ）（a ﹣b ）＝49+2b ， ∵a +b ＝11， ∴11a ﹣11b ＝49+2b ， 即11a ﹣13b ＝49，联立{a +b =1111a −13b =49，解得a ＝8，b ＝3，故a ＝8．（Ⅱ）在△ABC 中，sin A ＞0， ∴sin A =√1−cos 2A =4√37， 由正弦定理可得a sinA=c sinC，∴sin C =csinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12ab sin C =12×8×3×√32=6√3．选择条件②（Ⅰ）在△ABC 中，sin A ＞0，sin B ＞0，C ＝π﹣（A +B ）， ∵cos A =18，cos B =916， ∴sin A =√1−cos 2A =3√78，sin B =√1−cos 2B =5√716， 由正弦定理可得a sinA=b sinB，∴ab =sinA sinB=65，∵a +b ＝11， ∴a ＝6，b ＝5， 故a ＝6；（Ⅱ）在△ABC 中，C ＝π﹣（A +B ），∴sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√78×916+5√716×18=√74， ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×5×√74=15√7410．（2020•上海）已知函数f （x ）＝sin ωx ，ω＞0． （1）f （x ）的周期是4π，求ω，并求f （x ）=12的解集；（2）已知ω＝1，g （x ）＝f 2（x ）+√3f （﹣x ）f （π2−x ），x ∈[0，π4]，求g （x ）的值域．【解答】解：（1）由于f （x ）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f （x ）＝sin 12x ．令sin 12x =12，故12x =2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3． 故解集为{x |x =4kπ+π3或x =4kπ+5π3，k ∈Z }． （2）由于ω＝1， 所以f （x ）＝sin x ．所以g （x ）=sin 2x +√3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x 2−√32sin2x =−√32sin2x −12cos2x +12=12−sin （2x +π6）． 由于x ∈[0，π4]，所以π6≤2x +π6≤2π3．12≤sin(2x +π6)≤1，故−1≤−sin(2x +π6)≤−12， 故−12≤g(x)≤0．所以函数g （x ）的值域为[−12，0]．11．（2020•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知B ＝150°． （1）若a =√3c ，b ＝2√7，求△ABC 的面积； （2）若sin A +√3sin C =√22，求C ．【解答】解：（1）△ABC 中，B ＝150°，a =√3c ，b ＝2√7，cos B =a 2+c 2−b 22ac =222√3c 2=−√32，∴c ＝2（负值舍去），a ＝2√3， ∴S △ABC =12acsinB =12⋅2√3⋅2⋅12=√3． （2）sin A +√3sin C =√22，即sin （180°﹣150°﹣C ）+√3sinC =√22，化简得12cosC +√32sinC =√22， sin （C +30°）=√22， ∵0°＜C ＜30°， ∴30°＜C +30°＜60°， ∴C +30°＝45°， ∴C ＝15°．12．（2020•山东）在①ac =√3，②c sin A ＝3，③c =√3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A =√3sin B ，C =π6，_______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：①ac =√3．△ABC 中，sin A =√3sin B ，即b =√33a ， ac =√3，∴c =√3a ， cos C =a 2+b 2−c 22ab=a 2+a 23−3a22√3a 23=√32，∴a =√3，b ＝1，c ＝1． ②c sin A ＝3．△ABC 中，c sin A ＝a sin C ＝a sinπ6=3，∴a ＝6．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ，∴b =2√3．cos C =a 2+b 2−c 22ab =36+12−c 22×6×2√3=√32， ∴c =2√3． ③c =√3b ．∵sin A =√3sin B ，即a =√3b ， 又∵c =√3b ，cos C =a 2+b 2−c 22ab =√36≠cos π6，与已知条件C =π6相矛盾，所以问题中的三角形不存在．13．（2020•江苏）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c =√2，B ＝45°．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC =−45，求tan ∠DAC 的值．【解答】解：（1）因为a ＝3，c =√2，B ＝45°．，由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =9+2−2×3×√2×√22=√5，由正弦定理可得csinC=b sinB，所以sin C =c b•sin45°=√2√5√22=√55，所以sin C =√55；（2）因为cos ∠ADC =−45，所以sin ∠ADC =√1−cos 2∠ADC =35， 在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由（1）可得cos C =√1−sin 2C =2√55， 所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin （∠ADC +∠C ）＝sin ∠ADC cos ∠C +cos ∠ADC sin ∠C =2√525，因为∠DAC ∈(0，π2)，所以cos ∠DAC =√1−sin 2∠DAC =11√525， 所以tan ∠DAC =sin∠DACcos∠DAC =211．14．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2（π2+A ）+cos A =54． （1）求A ；（2）若b ﹣c =√33a ，证明：△ABC 是直角三角形．【解答】解：（1）∵cos 2（π+A ）+cos A ＝sin 2A +cos A ＝1﹣cos 2A +cos A =54，∴cos 2A ﹣cos A +14=0，解得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3；（2）证明：∵b ﹣c =√33a ，A =π3， ∴由正弦定理可得sin B ﹣sin C =√33sin A =12，∴sin B ﹣sin （2π3−B ）＝sin B −√32cos B −12sin B =12sin B −√32cos B ＝sin （B −π3）=12， ∵B ∈(0，2π3)，B −π3∈（−π3，π3）， ∴B −π3=π6，可得B =π2，可得△ABC 是直角三角形，得证．15．（2020•浙江）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b sin A −√3a ＝0．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵2b sin A =√3a ， ∴2sin B sin A =√3sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =√32，∵△ABC 为锐角三角形， ∴B =π3，（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形，B =π3， ∴C =2π3−A ，∴cos A +cos B +cos C ＝cos A +cos （2π3−A ）+cosπ3=cos A −12cos A +√32sin A +12=12cos A +√32sin A +12=sin （A +π6）+12， △ABC 为锐角三角形，0＜A ＜π2，0＜C ＜π2， 解得π6＜A ＜π2，∴π3＜A +π6＜2π3， ∴√32＜sin （A +π6）≤1， ∴√32+12＜sin （A +π6）+12≤32，∴cos A +cos B +cos C 的取值范围为（√3+12，32]． 16．（2020•新课标Ⅱ）△ABC 中，sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC ＝3，求△ABC 周长的最大值．【解答】解：（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A ﹣sin 2B ﹣sin 2C ＝sin B sin C ， 由正弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝bc ， 即为b 2+c 2﹣a 2＝﹣bc ，由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc =−bc 2bc =−12， 由0＜A ＜π，可得A =2π3； （2）由题意可得a ＝3， 又B +C =π3，可设B =π6−d ，C =π6+d ，−π6＜d ＜π6， 由正弦定理可得3sin 2π3=b sinB=c sinC=2√3，可得b ＝2√3sin （π6−d ），c ＝2√3sin （π6+d ）， 则△ABC 周长为a +b +c ＝3+2√3[sin （π6−d ）+sin （π6+d ）]＝3+2√3（12cos d −√32sin d +12cos d +√32sin d ），＝3+2√3cos d ，当d ＝0，即B ＝C =π6时，△ABC 的周长取得最大值3+2√3． 另解：a ＝3，A =2π3，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， ∴9＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ≥（b +c ）2−14（b +c ）2， 由b +c ＞3，则b +c ≤2√3（当且仅当b ＝c 时，“＝”成立）， 则△ABC 周长的最大值为3+2√3．17．（2019•全国）已知函数f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1． （1）求f （x ）的最小正周期；（2）设g （x ）＝f （x2），求g （x ）在区间[0，π3]的最大值与最小值．【解答】解：f （x ）＝2sin 2x ﹣4cos 2x +1＝1﹣cos2x ﹣2（1+cos2x ）+1＝﹣3cos2x ． （1）f （x ）的最小正周期T =2π2=π；（2）g （x ）＝f （x2）=−3cos(2⋅x2)=−3cosx ，∵x ∈[0，π3]，∴﹣3cos x ∈[﹣3，−32]．即g （x ）在区间[0，π3]的最大值为−32，最小值为﹣3．18．（2019•上海）如图，A ﹣B ﹣C 为海岸线，AB 为线段，BC ̂为四分之一圆弧，BD ＝39.2km ，∠BDC ＝22°，∠CBD ＝68°，∠BDA ＝58°． （1）求BĈ的长度； （2）若AB ＝40km ，求D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离．（精确到0.001km ）【解答】解：（1）由题意可得，BC ＝BD sin22°，弧BC 所在的圆的半径R ＝BC sin π4=√22BC ， 弧BC 的长度为12πR =12π⋅BC ⋅√22=√24×3.141×39.2×sin22°=16.310km ； （2）根据正弦定理可得，BD sinA=AB sin58°，∴sin A =39.240×sin58°=0.831，A ＝56.2°， ∴∠ABD ＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°， ∴DH ＝BD ×sin ∠ABD ＝35.750km ＜CD ＝36.346km ∴D 到海岸线A ﹣B ﹣C 的最短距离为35.750km19．（2019•新课标Ⅲ）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A+C 2=b sin A ．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解答】解：（1）a sin A+C 2=b sin A ，即为a sinπ−B 2=a cosB 2=b sin A ，可得sin A cosB 2=sin B sin A ＝2sin B 2cos B 2sin A ，∵sin A ＞0， ∴cosB 2=2sin B 2cos B2，若cos B 2=0，可得B ＝（2k +1）π，k ∈Z 不成立，∴sinB 2=12，由0＜B ＜π，可得B =π3；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，由余弦定理可得b =√a 2+1−2a ⋅1⋅cos π3=√a 2−a +1，由三角形ABC 为锐角三角形，可得a 2+a 2﹣a +1＞1且1+a 2﹣a +1＞a 2，且1+a 2＞a 2﹣a +1， 解得12＜a ＜2，可得△ABC 面积S =12a •sinπ3=√34a ∈（√38，√32）． 20．（2019•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b +c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin （2B +π6）的值．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理bsinB=c sinC，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a ．又因为b +c ＝2a ，得b =4a 3，c =2a3，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =a 2+49a 2−169a 22⋅a⋅23a =−14．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B =√1−cos 2B =√154，从而sin2B ＝2sin B cos B =−√158，cos2B＝cos2B﹣sin2B=−7 8，故sin（2B+π6）＝sin2B cosπ6+cos2B sinπ6=−√158×√32−78×12=−3√5+716．21．（2019•浙江）设函数f（x）＝sin x，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解答】解：（1）由f（x）＝sin x，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−√34cos2x+1 =√32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=√32sin(2x−π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．22．（2019•北京）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B=−1 2．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（Ⅱ）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32，由正弦定理有：csinC=b sinB，∴sinC =csinB b =5×√327=5√314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C =1114，∴sin （B ﹣C ）＝sin B cos C ﹣cos B sin C =√32×1114−(−12)×5√314 =4√37．23．（2019•江苏）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝3c ，b =√2，cos B =23，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求sin （B +π2）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． a ＝3c ，b =√2，cos B =23， ∴由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac =10c 2−26c 2=23， 解得c =√33． （2）∵sinA a=cosB 2b， ∴由正弦定理得：sinA a=sinB b=cosB 2b，∴2sin B ＝cos B ，∵sin 2B +cos 2B ＝1， ∴sin B =√55，cos B =2√55， ∴sin （B +π2）＝cos B =2√55．24．（2019•北京）在△ABC 中，a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12．（Ⅰ）求b ，c 的值； （Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【解答】解：（1）∵a ＝3，b ﹣c ＝2，cos B =−12． ∴由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =9+(b −2)2−2×3×(b −2)×(−12)， ∴b ＝7，∴c ＝b ﹣2＝5；（2）在△ABC 中，∵cos B =−12，∴sin B =√32， 由正弦定理有：a sinA=b sinB，∴sin A =asinB b =3×√327=3√314，∴sin （B +C ）＝sin （π−A ）＝sin A =3√314． 25．（2019•新课标Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． （1）求A ；（2）若√2a +b ＝2c ，求sin C ．【解答】解：（1）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． ∵（sin B ﹣sin C ）2＝sin 2A ﹣sin B sin C ． ∴sin 2B +sin 2C ﹣2sin B sin C ＝sin 2A ﹣sin B sin C ， ∴由正弦定理得：b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cos A =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0＜A ＜π，∴A =π3． （2）∵√2a +b ＝2c ，A =π3，∴由正弦定理得√2sinA +sinB =2sinC ， ∴√62+sin(2π3−C)=2sinC 解得sin （C −π6）=√22，∴C −π6=π4，C =π4+π6，∴sin C ＝sin （π4+π6）＝sin π4cos π6+cos π4sin π6=√22×√32+√22×12=√6+√24．26．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5．（1）求cos ∠ADB ； （2）若DC ＝2√2，求BC ．【解答】解：（1）∵∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5． ∴由正弦定理得：AB sin∠ADB=BD sin∠A，即2sin∠ADB=5sin45°，∴sin ∠ADB =2sin45°5=√25， ∵AB ＜BD ，∴∠ADB ＜∠A ， ∴cos ∠ADB =1−(√25)2=√235．（2）∵∠ADC ＝90°，∴cos ∠BDC ＝sin ∠ADB =√25， ∵DC ＝2√2，∴BC =√BD 2+DC 2−2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8−2×5×2√2×√25=5．27．（2018•全国）在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1，已知2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ． （1）证明a 2+b 2﹣c 2＝ab ； （2）求角C 和边c ．【解答】证明：（1）∵在△ABC 中，角A 、B 、C 对应边a 、b 、c ，外接圆半径为1， ∴由正弦定理得：a sinA=b sinB =c sinC=2R ＝2，∴sin A =a2，sin B =b 2，sin C =c2， ∵2（sin 2A ﹣sin 2C ）＝（a ﹣b ）sin B ， ∴2（a 24−c 24）＝（a ﹣b ）•b2，化简，得：a 2+b 2﹣c 2＝ab ， 故a 2+b 2﹣c 2＝ab ． 解：（2）∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab =ab 2ab =12，解得C =π3， ∴c ＝2sin C ＝2•√32=√3．28．（2018•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b sin A ＝a cos （B −π6）．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设a ＝2，c ＝3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值． 【解答】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得a sinA=b sinB，得b sin A ＝a sin B ，又b sin A ＝a cos （B −π6）．∴a sin B ＝a cos （B −π6），即sin B ＝cos （B −π6）＝cos B cos π6+sin B sin π6=√32cos B +12sinB ，∴tan B =√3，又B ∈（0，π），∴B =π3．（Ⅱ）在△ABC 中，a ＝2，c ＝3，B =π3，由余弦定理得b =√a 2+c 2−2accosB =√7，由b sin A ＝a cos （B −π6），得sin A =√3√7，∵a ＜c ，∴cos A =√7， ∴sin2A ＝2sin A cos A =4√37， cos2A ＝2cos 2A ﹣1=17，∴sin （2A ﹣B ）＝sin2A cos B ﹣cos2A sin B =4√37×12−17×√32=3√314． 29．（2018•北京）在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B =−17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【解答】解：（Ⅰ）∵a ＜b ，∴A ＜B ，即A 是锐角，∵cos B =−17，∴sin B =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37， 由正弦定理得asinA =bsinB得sin A =asinB b =7×4√378=√32，则A =π3．（Ⅱ）由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 即64＝49+c 2+2×7×c ×17， 即c 2+2c ﹣15＝0， 得（c ﹣3）（c +5）＝0， 得c ＝3或c ＝﹣5（舍）， 则AC 边上的高h ＝c sin A ＝3×√32=3√32． 30．（2018•江苏）已知α，β为锐角，tan α=43，cos （α+β）=−√55．（1）求cos2α的值； （2）求tan （α﹣β）的值．【解答】解：（1）由{sinαcosα=43sin 2α+cos 2α=1α为锐角，解得{sinα=45cosα=35，∴cos2α=cos 2α−sin 2α=−725；（2）由（1）得，sin2α=2sinαcosα=2425，则tan2α=sin2αcos2α=−247． ∵α，β∈（0，π2），∴α+β∈（0，π），∴sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=2√55． 则tan （α+β）=sin(α+β)cos(α+β)=−2．∴tan （α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]=tan2α−tan(α+β)1+tan2αtan(α+β)=−211．31．（2018•浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （−35，−45）． （Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P （−35，−45）．∴x =−35，y =−45，r ＝|OP |=√(−35)2+(−45)2=1， ∴sin （α+π）＝﹣sin α=−yr =45； （Ⅱ）由x =−35，y =−45，r ＝|OP |＝1， 得sinα=−45，cosα=−35， 又由sin （α+β）=513， 得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±√1−(513)2=±1213， 则cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=1213×(−35)+513×(−45)=−5665， 或cos β＝cos[（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=−1213×(−35)+513×(−45)=1665． ∴cos β的值为−5665或1665． 32．（2018•北京）已知函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解答】解：（I ）函数f （x ）＝sin 2x +√3sin x cos x =1−cos2x 2+√32sin2x ＝sin （2x −π6）+12， f （x ）的最小正周期为T =2π2=π； （Ⅱ）若f （x ）在区间[−π3，m ]上的最大值为32， 可得2x −π6∈[−5π6，2m −π6]， 即有2m −π6≥π2，解得m ≥π3， 则m 的最小值为π3．33．（2018•上海）设常数a ∈R ，函数f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ． （1）若f （x ）为偶函数，求a 的值；（2）若f （π4）=√3+1，求方程f （x ）＝1−√2在区间[﹣π，π]上的解．【解答】解：（1）∵f （x ）＝a sin2x +2cos 2x ， ∴f （﹣x ）＝﹣a sin2x +2cos 2x ， ∵f （x ）为偶函数， ∴f （﹣x ）＝f （x ），∴﹣a sin2x +2cos 2x ＝a sin2x +2cos 2x ， ∴2a sin2x ＝0， ∴a ＝0；（2）∵f （π4）=√3+1，∴a sin π2+2cos 2（π4）＝a +1=√3+1，∴a =√3，∴f （x ）=√3sin2x +2cos 2x =√3sin2x +cos2x +1＝2sin （2x +π6）+1， ∵f （x ）＝1−√2，∴2sin （2x +π6）+1＝1−√2， ∴sin （2x +π6）=−√22，∴2x +π6=−π4+2k π，或2x +π6=54π+2k π，k ∈Z ， ∴x =−5π24π+k π，或x =1324π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]，∴x =13π24或x =19π24或x =−5π24或x =−11π24 34．（2018•上海）已知y ＝cos x（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]，求f(α−π3)的值 （2）求函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）的最小值 【解答】解：（1）若f(α)=13，且α∈[0，π]， 则cos α=13，则sin α=√1−(13)2=√89=2√23， 则f(α−π3)=cos （α−π3）＝cos αcos π3+sin αsinπ3=13×12+2√23×√32=16+√63．（2）函数y ＝f （2x ）﹣2f （x ）＝cos2x ﹣2cos x ＝2cos 2x ﹣2cos x ﹣1＝2（cos x −12）2−32， ∵﹣1≤cos x ≤1，∴当cos x =12时，函数取得最小值，最小值为−32．35．（2017•上海）已知函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12，x ∈（0，π）． （1）求f （x ）的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5，若f （A ）＝0，求△ABC 的面积．【解答】解：（1）函数f （x ）＝cos 2x ﹣sin 2x +12 ＝cos2x +12，x ∈（0，π），由2k π﹣π≤2x ≤2k π，解得k π−12π≤x ≤k π，k ∈Z ， k ＝1时，12π≤x ≤π，可得f （x ）的增区间为[π2，π）；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b ＝5， 若f （A ）＝0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 化为c 2﹣5c +6＝0， 解得c ＝2或3， 若c ＝2，则cos B =19+4−252×√19×20，即有B 为钝角，c ＝2不成立， 则c ＝3，△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×5×3×√32=15√34． 36．（2017•天津）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a sin A ＝4b sin B ，ac =√5（a 2﹣b 2﹣c 2）． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由asinA =bsinB，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：a4b =ba，∴a＝2b．由ac=√5(a2−b2−c2)，得b2+c2−a2=−√55 ac，由余弦定理，得cosA=b2+c2−a22bc=−√55acac=−√55；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得sinA=2√55，代入a sin A＝4b sin B，得sinB=asinA4b=√55．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=2√5 5．于是sin2B=2sinBcosB=45，cos2B=1−2sin2B=35，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A=sin(2B−A)=sin2BcosA−cos2BsinA= 45×(−√55)−35×2√55=−2√55．37．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a＝5，c＝6，sin B=3 5．（Ⅰ）求b和sin A的值；（Ⅱ）求sin（2A+π4）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，故由sin B=35，可得cos B=45．由已知及余弦定理，有b2=a2+c2−2accosB=25+36−2×5×6×45=13，∴b=√13．由正弦定理asinA =bsinB，得sin A=asinBb=3√1313．∴b=√13，sin A=3√13 13；（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cos A=2√1313，∴sin2A＝2sin A cos A=1213，cos2A＝1﹣2sin2A=−5 13．。
高考数学必考突破课时达标含答案解析——三角函数、解三角形、平面向量及其应用
高考必考题突破讲座(二)三角函数、解三角形、平面向量及其应用[解密考纲]近几年的高考全国卷交替考查三角函数、解三角形．该部分解答题是高考得分的基本组成部分，不能掉以轻心．该部分的解答题考查的热点题型有：一是考查三角函数的图象变换以及单调性、最值等；二是考查解三角形问题；三是考查三角函数、解三角形与平面向量的交汇性问题．在解题过程中要抓住平面向量作为解决问题的工具，要注意三角恒等变换公式的多样性和灵活性，注意题目中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．1．(2018·江苏南京、盐城一模)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围． 解析 (1)由图象知A ＝2，又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0，所以T ＝2π＝2πω，解得ω＝1，所以f (x )＝2sin(x ＋φ)． 将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 即φ＝π6＋2kπ(k ∈Z )，又－π2<φ<π2，所以φ＝π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]． 2．(2017·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a .(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解析 (1)在△ABC 中，因为A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314.(2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝6 3.3．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，且AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求角C 的大小和线段BD 的长度； (2)求四边形ABCD 的面积．解析 (1)∵A ＋C ＝π，∴cos A ＝－cos C ．在△BCD 中，由余弦定理，得BD 2＝32＋22－2×3×2×cos C ＝13－12cos C ， 在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝12＋22－2×1×2×cos A ＝5＋4cos C ， 联立上式，解得BD ＝7，cos C ＝12.由于C ∈(0，π)，∴C ＝π3，BD ＝7.(2)∵A ＋C ＝π，C ＝π3，∴sin A ＝sin C ＝32.又四边形ABCD 的面积S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝ 12AB ·AD sin A ＋12CB ·CD sin C ＝32×(1＋3)＝23， ∴四边形ABCD 的面积为2 3.4．已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和点⎝⎛⎭⎫2π3，－2.(1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．解析 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，3和⎝⎛⎭⎫2π3，－2.所以⎩⎨⎧3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，即⎩⎨⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝1.(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)， 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0， 即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝⎛⎭⎫2φ＋π6＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6，因此g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z .所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 5．(2018·湖北重点中学高三起点考试)已知f (x )＝a·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝72，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值．解析 (1)由题意知，f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵y ＝cos x 在[2k π－π，2k π](k ∈Z )上单调递增，∴令2k π－π≤2x ＋π3≤2k π(k ∈Z )，得k π－2π3≤x ≤k π－π6(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π6(k ∈Z )． (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，又π3<2A ＋π3<7π3，∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3，∵a ＝72， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝74.∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ， 由正弦定理得2b ＝3c ，则b ＝32，c ＝1.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋b cos A ＝2c cos A ． (1)若△ABC 的面积S ＝32，求证：a ≥2； (2)如图，在(1)的条件下，若M ，N 分别为AC ，AB 的中点，且BM CN ＝132，求b ，c .解析 (1)由a cos B ＋b cos A ＝2c cos A 及正弦定理可得 sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ， 即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ≠0， 所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，由S ＝12bc sin A ＝32可得bc ＝2.在△ABC 中，由余弦定理可得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝2，当且仅当b ＝c ＝2时取等号，所以a ≥ 2.(2)因为M ，N 分别为AC ，AB 的中点，所以AM ＝12AC ＝12b ，AN ＝12AB ＝12c ，在△ABM 中，由余弦定理可得，BM 2＝c 2＋b 24－12bc ，在△ACN 中，由余弦定理可得，CN 2＝c 24＋b 2－12bc ，由BM CN ＝132可得，c 2＋b 24－12bc ＝134⎝⎛⎭⎫c 24＋b 2－12bc ， 整理得(c ＋8b )(c －2b )＝0，所以c ＝2b ，又bc ＝2可得b ＝1，c ＝2.。
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题(含解析)
高考数学复习专题训练—三角函数与解三角形解答题1.(2021·山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4√3sin x,4sin x),若f(x)=a·(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;]上的最值.(2)求f(x)在区间[0,π22.(2021·北京丰台区模拟)如图,△ABC中,∠B=45°,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MN⊥AC,BC=√6,MN=√3.(1)求∠A;(2)求BM.3.(2021·山东潍坊二模)如图,D为△ABC中BC边上一点,∠B=60°,AB=4,AC=4√3.给出如下三种数值方案:①AD=√5;②AD=√15;③AD=2√7.判断上述三种方案所对应的△ABD的个数,并求△ABD唯一时,BD的长.4.(2021·海南海口月考)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,b cos C+c cos B=4,B=π.请再在下4列三个条件:①(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3a sin B;②b=4√2;③√3c sin B=b cos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求△ABC的面积.5.(2021·辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021·湖北武汉3月质检)在△ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2π3,b=√6.(1)若cos A cos C=23,求△ABC的面积;(2)试问1a +1c=1能否成立?若能成立,求此时△ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021·湖南长沙模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(b-c)sinCb+a=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求1tanB +1tanC的最小值.8.(2021·江苏南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OC⊥AB.在OC上有一座观赏亭Q,其中∠AQC=2π3.计划在BC⏜上再建一座观赏亭P,记∠POB=θ(0<θ<π2).(1)当θ=π3时,求∠OPQ的大小;(2)当∠OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin θ的值.答案与解析1.解由于f(x)=a·(a+b)=|a|2+a·b=1+4√3sin x cos x+4sin2x=1+2√3sin 2x+4·1-cos2x2=2√3sin 2x-2cos 2x+3=4sin(2x-π6)+3.(1)由π2+2kπ≤2x-π6≤3π2+2kπ(k∈Z),解得π3+kπ≤x≤5π6+kπ(k∈Z),所以f(x)的单调递减区间是[π3+kπ,5π6+kπ](k∈Z).(2)由于x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,5π6],故当2x-π6=π2即x=π3时,函数f(x)取最大值7;当2x-π6=-π6即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解(1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MN⊥AC, 所以MC=MA.在Rt△AMN中,MA=MNsinA=√3sinA,所以MC=√3sinA.在△MBC中,由正弦定理可得MCsinB=BCsin∠BMC,而∠BMC=2∠A,所以√3sinA·sin45°=√6sin2A,即√3sinA·√22=√62sinAcosA,所以cos A=12,故∠A=60°.(2)由(1)知MC=MA=√3sin60°=2,∠BMC=2∠A=120°.在△BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC,所以(√6)2=BM2+22-2BM·2·cos 120°,解得BM=√3-1(负值舍去).3.解过点A作AE⊥BC,垂足为点E(图略),则AE=4·sin 60°=2√3,当AD=√5时,AD<AE,所以方案①对应△ABD无解,当AD=√15时,AE<AD<AB<AC ,所以方案②对应△ABD 有两解, 当AD=2√7时,AB<AD<AC ,所以方案③对应△ABD 只有一解. 由方案③知AD=2√7,设BD=x (x>0),所以在△ABD 中由余弦定理得(2√7)2=42+x 2-2×4×x×cos 60°,即x 2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在△ABC 中易得BC=8,BD=6<BC ,符合题意, 所以BD 的长为6.4.解 若选择条件①,则(a+b+c )(sin A+sin B-sin C )=3a sin B ,由正弦定理可得(a+b+c )(a+b-c )=3ab ,所以(a+b )2-c 2=3ab ,整理得a 2+b 2-c 2=ab ,所以cos C=12,故C=π3.又B=π4,所以A=π-π3−π4=5π12. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,即a=4.由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 5π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π3=4(3-√3). 若选择条件②,则b=4√2. 又因为b cos C+c cos B=4,所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b22ac =4,即a=4.又B=π4,所以由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin A=asinBb=4sin π44√2=12,所以A=π6或A=5π6.由于b>a ,所以B>A ,因此A=5π6不合题意舍去,故A=π6,从而C=π-π6−π4=7π12. 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4√2×sin 7π12=4(√3+1). 若选择条件③,因为b cos C+c cos B=4, 所以b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac=4,所以a=4.因为√3c sin B=b cos C ,所以√3sin C sin B=sin B cos C ,所以tan C=√33,于是C=π6,从而A=π-π6−π4=7π12,所以由正弦定理可得a sinA =bsinB , 所以b=asinB sinA=4sin π4sin 7π12=4(√3-1), 故△ABC 的面积S=12ab sin C=12×4×4(√3-1)×sin π6=4(√3-1). 5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.①选择一条水平基线HG ,使H ,G ,B 三点在同一条直线上;②在H ,G 两点用测角仪测得A 的仰角分别为α,β,HG=a ,即CD=a.测得测角仪器的高是h ;③(方法一)在△ACD 中,由正弦定理,得ACsinα=CDsin (β-α), 所以AC=CDsinαsin (β-α)=asinαsin (β-α),在Rt △ACE 中,有AE=AC sin β=asinαsinβsin (β-α), 所以建筑物的高度AB=AE+h=asinαsinβsin (β-α)+h. (方法二)在Rt △ADE 中,DE=AEtanα, 在Rt △ACE 中,CE=AEtanβ, 所以CD=DE-CE=AEtanα−AEtanβ=AE (tanβ-tanα)tanαtanβ,所以AE=atanαtanβtanβ-tanα,所以建筑物的高度AB=AE+h=atanαtanβtanβ-tanα+h. (2)①测量工具问题;②两次测量时位置的间距差; ③用身高代替测角仪的高度.6.解 (1)由B=2π3,得A+C=π3,cos(A+C )=cos A cos C-sin A sin C ,即12=cos A cos C-sin A sin C.因为cos A cos C=23,所以sin A sin C=16.因为a sinA =c sinC =√6√32=2√2,所以a=2√2sin A ,c=2√2sin C.所以S △ABC =12·2√2sin A·2√2sin C·sin B=4sin A·sin B sin C=4×16×√32=√33. (2)假设1a +1c =1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,所以6=a 2+c 2+ac.所以(a+c )2-ac=6,所以(ac )2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3. 不满足a+c ≥2√ac ,所以1a +1c =1不成立.7.解 (1)由(b -c )sinCb+a =sin B-sin A ,可得(b-c )sin C=(sin B-sin A )(b+a ),由正弦定理得(b-c )c=(b-a )(b+a ),即b 2+c 2-a 2=bc , 由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=12,因为0<A<π,可得A=π3.(2)由(1)知A=π3,设△ABC 的外接圆的半径为R (R>0),可得2R=asinA =4√33, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=b 2+c 2-bc ≥bc , 即bc ≤a 2=4,当且仅当b=c=2时取等号, 又1tanB +1tanC =cosBsinB +cosCsinC =cosBsinC+sinBcosCsinBsinC =sin (B+C )sinBsinC =sinAsinBsinC =2R ·2RsinA 2RsinB ·2RsinC=2R ·abc =8√33bc ≥8√33×4=2√33,所以1tanB +1tanC 的最小值为2√33.8.解 (1)在△POQ 中,因为∠AQC=2π3,所以∠AQO=π3.又OA=OB=3,所以OQ=√3. 设∠OPQ=α,则∠PQO=π2-α+θ. 由正弦定理,得3sin (π2-α+θ)=√3sinα,即√3sin α=cos(α-θ), 整理得tan α=√3-sinθ,其中θ∈(0,π2).当θ=π3时,tan α=√33.因为α∈(0,π2),所以α=π6. 故当θ=π3时,∠OPQ=π6.(2)设f(θ)=√3-sinθ,θ∈(0,π2),则f'(θ)=-sinθ(√3-sinθ)+cos 2θ(√3-sinθ)2=1-√3sinθ(√3-sinθ)2.令f'(θ)=0,得sin θ=√33,记锐角θ0满足sin θ0=√33,当0<θ<θ0时,f'(θ)>0;当θ0<θ<π2时,f'(θ)<0, 所以f(θ)在θ=θ0处取得极大值亦即最大值.由(1)可知tan α=f(θ)>0,则α∈(0,π2),又y=tan α单调递增,则当tan α取最大值时,α也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin θ=√33 .。
高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》真题汇编含答案解析
数学《三角函数与解三角形》高考知识点一、选择题1．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.2．能使sin(2)3)y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．5π3B ．43π C ．23π D ．3π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值.【详解】依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由于函数为奇函数，故πππ,π33k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3θ=时，()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是增函数，不符合题意.故选C. 【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．已知函数()sin f x a x x =的一条对称轴为56x π=，函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，且()()12f x f x =-，则下述四个结论：①实数a 的值为1；②()()1,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 图象的一条对称轴对称； ③21x x -的最大值为π， ④12x x +的最小值为23π． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②③ B ．①③④C ．①④D ．③④【答案】B 【解析】 【分析】 根据56x π=是函数()f x 的一条对称轴，确定函数()f x ，再根据函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性，得到21x x -的最大值为2Tπ=，然后由()()12f x f x =-，得到()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称求解验证.【详解】 ∵56x π=是函数()f x 的一条对称轴，∴()53f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令0x =，得()503f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即-1a =，①正确；∴()sin 2sin 3π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭f x x x x ．又因为函数()f x 在区间()12,x x 上具有单调性， ∴21x x -的最大值为2Tπ=，且()()12f x f x =-， ∴()()11,x f x 和()()22,x f x 两点关于函数()f x 的一个对称中心对称，∴121233223x x x x k ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+π⎝⎭⎝⎭=-=π，k Z ∈， ∴12223x x k ππ+=+，k Z ∈，当0k =时，12x x +取最小值23π，所以①③④正确，②错误． 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于中档题.4．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，所以cosC=2222a b cab+-=2224916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．已知函数sin(),0()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩的图像关于y 轴对称，则sin y x =的图像向左平移（ ）个单位，可以得到cos()y x a b =++的图像（ ）. A ．4π B ．3π C ．2π D ．π【答案】D 【解析】 【分析】根据条件确定,a b 关系，再化简()cos y x a b =++，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】因为函数()()(),0,0sin x a x f x cos x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像关于y 轴对称，所以sin cos 22a b ππ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()sin cos a b ππ-+=+，即sin cos sin cos b a a b ，==，因此π2π()2a b k k Z +=+∈， 从而()()cos sin y x a b sinx x π=++=-=+,选D. 【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.6．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7，∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．7．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（ ）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】 【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】 由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈， 又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.8．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A BC A B A B A B π++=--=-=-=---⋅，所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.9．已知1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）A ．12B ．122C ．24D ．242【答案】C 【解析】 【分析】设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积. 【详解】解：设1MF m =，2MF n =，∵1F 、2F 分别为双曲线22146x y -=的左、右焦点，∴24m n a -==，122210F F c ==.∵120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v， ∴12MF MF ⊥，∴222440m n c +==， ∴()2222m n m n mn -=+-， 即2401624mn =-=， ∴12mn =， 解得6m =，2n =，设2NF t =，则124NF a t t =+=+， 在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++， 解得6t =， ∴628MN =+=， ∴1MF N ∆的面积111862422S MN MF =⋅=⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知sin sin(sin cos)0B AC C+-=，a=2，c，则C=A．π12B．π6C．π4D．π3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵π2＜A＜π，∴A= 3π4，由正弦定理可得csin sinaC A=，∵a=2，，∴sinC=sinc Aa=12=22，∵a＞c，∴C=π6，故选B．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.11．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度， 可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++=⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．12．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12B ．14C．4D．2【答案】A 【解析】 【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+⎪-⎝⎭+，=1cos 22111cos 222223x x x π⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A 【点睛】本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．函数()22sin 3cos 2f x x x =+-，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】化简得到()23sin 2sin 1f x x x =-++，设sin t x =，利用二次函数性质得到答案. 【详解】根据22sin cos 1x x +=，得()23sin 2sin 1f x x x =-++，2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，由2,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得1sin 1,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故[]0,1t ∈，有2321y t t =-++，[]0,1t ∈，二次函数对称轴为13t =， 当13t =时，最大值43y =；当1t =时，最小值0y =， 综上，函数()f x 的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：A . 【点睛】本题考查了三角函数值域，换元可以简化运算，是解题的关键.14．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab +≥=，当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.15．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 BCD．2【答案】A 【解析】 【分析】先求出sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin BAD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．已知函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若()π02f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点，则ω= ( ) A ．23B ．2C ．143D ．263【答案】C 【解析】∵函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴1sin()sin()6262πππω-=--=- ∴2266k πππωπ-=+或52,266k k Z πππωπ-=+∈ ∴243k ω=+或42,k k ω=+∈Z ∵函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有三个零点∴(,)6626x ππωππω-∈-- ∴2326ωππππ<-≤∴131933ω<≤ ∴143ω=或6ω= 故选C.17．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =，∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2，∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（ ）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论． 【详解】 如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD ACCAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD ABCD AC=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=.2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin 4B ==. 1sin 2ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ． 【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（ ）象限角 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】B 【解析】 【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案. 【详解】∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角，∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角. 故选：B . 【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于（ ） A ．直线3πθ=对称B ．直线6πθ=对称C ．点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．极点对称【答案】A 【解析】 【分析】由4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得直角坐标方程：2220x x y -+-= ，圆心为( ，又因为直线3πθ=即：y = 过点(，由此便可得出答案.【详解】由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即：24sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，化简得曲线的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .又因为直线3πθ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于直线3πθ=对称故选：A. 【点睛】本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。
高三数学一轮复习三角函数与解三角形知识点突破训练含答案解析
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第四章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数突破点(一) 角的概念基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 2．角的分类角的分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分类⎩⎪⎨⎪⎧ 正角：按顺时针方向旋转形成的角负角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有旋转按终边位置不同分类⎩⎪⎨⎪⎧象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角轴线角：角的终边落在坐标轴上3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”终边相同的角[例1] (1)设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝xx ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅本节主要包括3个知识点： 1.角的概念；2.弧度制及其应用；3.任意角的三角函数.(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．[解析] (1)法一：由于M ＝xx ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N .法二：由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝45°·(2k ＋1)，k ∈Z,2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ∈Z ，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .(2)所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)， 则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360(k ∈Z)， 从而k ＝－2或k ＝－1.将k ＝－2，k ＝－1分别代入β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，得β＝－675°或β＝－315°.[答案] (1)B (2)－675°或－315° [方法技巧]终边相同角的集合的应用利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．象限角[例2] (1)给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角[解析] (1)－3π4＝5π4－2π＝π4＋π－2π，从而－3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，故③正确；－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，故④正确．(2)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．[答案] (1)C (2)C [方法技巧]确定αn (n ≥2，且n ∈N *)的终边位置的方法(1)讨论法①用终边相同角的形式表示出角α的范围； ②写出αn的范围；③根据k 的可能取值讨论确定αn 的终边所在位置． (2)等分象限角的方法已知角α是第m (m ＝1,2,3,4)象限角，求αn 是第几象限角．①等分：将每个象限分成n 等份；②标注：从x 轴正半轴开始，按照逆时针方向顺次循环标上1,2,3,4，直至回到x 轴正半轴；③选答：出现数字m 的区域，即为αn 的终边所在的象限．1.[考点一、二]给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由于第一象限角如370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．2.[考点一]集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．比较各选项，可知选C.3.[考点二]若α为第一象限角，则β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第________象限角． 解析：∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α的终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α的终边在第三象限．即β＝k ·180°＋α(k ∈Z)是第一或第三象限角．答案：一或三4.[考点一]终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________． 解析：终边在直线y ＝3x 上的角的集合为αα＝k π＋π3，k ∈Z.答案：αα＝k π＋π3，k ∈Z5.[考点一、二]已知α与150°角的终边相同，写出与α终边相同的角的集合，并判断α3是第几象限角．解：与α终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋150°，k ∈Z}． 则α3＝k ·120°＋50°，k ∈Z. 若k ＝3n (n ∈Z)，α3是第一象限角；若k ＝3n ＋1(n ∈Z)，α3是第二象限角；若k ＝3n ＋2(n ∈Z)，α3是第四象限角．故α3是第一、第二或第四象限角． 突破点(二) 弧度制及其应用基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. 2．弧度制下的有关公式角α的弧度数公式 |α|＝lr (弧长用l 表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 弧长l ＝|α|r 扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 2考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”扇形的弧长及面积公式[典例] (1)已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4(2)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. [解析] (1)设此扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.(2)设扇形的半径为r cm ，如图． 由sin 60°＝122r ，得r ＝43(cm)，又α＝2π3， 所以l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π(cm)． [答案] (1)C (2)833π[方法技巧]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度． (2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解．1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( ) A ．40π cm 2 B ．80π cm 2 C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 2．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．解析：设圆的半径为r ，弧长为l ，则其弧度数为lr .将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则弧度数变为32l 12r ＝3·lr ，即弧度数变为原来的3倍． 答案：33．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________． 解析：由题可知，弧长l ＝3π，圆心角α＝135°＝3π4，所以半径r ＝l α＝3π3π4＝4.面积S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.答案：4 6π4．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，S max＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．突破点(三)任意角的三角函数基础联通抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数值的符号判定[例1](1)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角(2)sin 2·cos 3·tan 4的值()A．小于0 B．大于0C．等于0 D．不确定[解析] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角． 由co s αtan α＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)2 rad,3 rad 是第二象限角，所以sin 2>0，cos 3<0，4 rad 是第三象限角，所以tan 4>0，故sin 2·cos 3·tan 4<0.[答案] (1)C (2)A根据三角函数的定义求三角函数值[例2] (1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，则sin α＝________. (2)若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α， cos α和tan α的值． [解析] (1)sin α＝－342＋(－3)2＝－35.(2)设α终边上任一点为P (－4a,3a )，当a ＞0时，r ＝5a ，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.[答案] (1)－35[方法技巧]由三角函数定义求三角函数值的方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．由三角函数值求点的坐标[例3] (1)若角α的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3(2)若420°角的终边所在直线上有一点(x,3)，则x 的值为________．[解析] (1)由三角函数的定义得sin α·cos α＝a(－4)2＋a 2·－4(－4)2＋a 2＝－4a (－4)2＋a2＝34， 即3a 2＋16a ＋163＝0， 解得a ＝－43或－433.故选C. (2)由三角函数的定义知tan 420°＝3x ，所以x ＝3tan 420°＝33＝ 3.[答案] (1)C (2) 3 [方法技巧]求角α终边上点的坐标的类型及方法(1)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(2)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．1.[考点一]若θ是第二象限角，则下列选项中能确定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θ解析：选C 由θ是第二象限角可得θ2为第一或第三象限角，所以tan θ2>0，故选C.2.[考点一]已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( ) A ．大于0 B ．大于等于0 C ．小于0D ．小于等于0解析：选C ∵θ是第四象限角，∴sin θ∈(－1,0)．令sin θ＝α，当－1<α<0时，sin α<0.故sin(sin θ)<0.3.[考点二]已知角α的终边与单位圆的交点P ⎝⎛⎭⎫x ，32，则tan α＝( ) A. 3B ．±3C.33D ．±33解析：选B 因为P ⎝⎛⎭⎫x ，32在单位圆上，所以x 2＋⎝⎛⎭⎫322＝1，解得x ＝±12.所以tan α＝±3.4.[考点二、三]设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析：选D ∵α是第二象限角，∴x <0. 又由题意知x x 2＋42＝15x ， 解得x ＝－3. ∴tan α＝4x ＝－43.5.[考点三]已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，即－2<a ≤3. 答案：(－2,3]近五年全国卷对本节内容未直接考查[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若cos α>0且tan α<0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选D 由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．2．若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( ) A ．重合 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x 轴对称，所以角α与β的终边关于x 轴对称．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )A.π3B.π2C. 3D ．2解析：选C 设圆的半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r .根据题意，由3r ＝αr ，得α＝ 3.4．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：选A ∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n ＝－3，故m －n ＝2. 5．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角． 解析：由角α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z)，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z)，故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0，所以α2只能是第四象限角． 答案：四[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．2．若α是第三象限角，则y ＝sin α2sin α2＋cos α2cos α2的值为( )A ．0B ．2C ．－2D ．2或－2解析：选A 由于α是第三象限角， 所以α2是第二或第四象限角．当α2是第二象限角时，sin α2>0，cos α2<0， y ＝sinα2sin α2＋－cos α2cos α2＝1－1＝0；当α2是第四象限角时，sin α2<0，cos α2>0， y ＝－sin α2sin α2＋cosα2cos α2＝－1＋1＝0.故选A.3．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2解析：选B tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)解析：选A 由三角函数定义知，点P 的横坐标x ＝cos θ，纵坐标y ＝sin θ. 5．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0，则cos 2α＝( ) A ．－12B ．1 C.12D ．－32解析：选A ∵角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P ⎝⎛⎭⎫12，y 0， ∴⎝⎛⎭⎫122＋(y 0)2＝1，∴y 0＝±32， 则cos α＝12，sin α＝±32，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－12.6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4D.11π6解析：选D ∵⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12， ∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.二、填空题7．已知点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角． 解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θcos θ<0，2cos θ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ>0，cos θ<0，所以θ为第二象限角． 答案：二8．已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4， 则m ＝________.解析：由题设知点P 的横坐标x ＝－3，纵坐标y ＝m ， ∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)， 即r ＝3＋m 2.∴sin α＝m r ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±59．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________． 解析：设扇形半径为R ，内切圆半径为r ，如图． 则(R －r )sin 60°＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝π3⎝⎛⎭⎫1＋2332r 2＝7＋439πr 2，S 内切圆＝πr 2，所以S 扇S 内切圆＝7＋439.答案：(7＋43)∶910．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________． 解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sinπ4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π4 三、解答题11．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求角α的集合； (2)求角α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y 轴的非正半轴上； 由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限， 故角α的终边在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(3)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．12．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，l ＝4，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. 此时弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 第二 节同角三角函数的基本关系与诱导公式本节主要包括2个知识点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.三角函数的诱导公式.突破点(一)同角三角函数的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛⎭⎫α≠kπ＋π2，k∈Z.2．同角三角函数基本关系式的应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tan θ＝sin θcos θ化成正弦、余弦，或者利用公式sin θcos θ＝tan θ化成正切表达式中含有sin θ，cos θ与tan θ“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝(sinθ±cos θ)2∓2sin θcos θ＝tanπ4表达式中需要利用“1”转化和积转换利用关系式(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ考点贯通抓高考命题的“形”与“神”化简求值[例1](2017·南京模拟)已知α为第二象限角，则cos α·1＋tan2α＋sin α1＋1tan2α＝________.[解析]原式＝cos αsin2α＋cos2αcos2α＋sin αsin2α＋cos2αsin2α＝cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α＞0, cos α＜0，所以cos α·1|cos α|＋sin α·1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. [答案]0条件求值[例2]若tan α＝2，则(1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝________； (2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________.[解析] (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.[答案] (1)－1 (2)1 [方法技巧]同角三角函数关系式应用的注意事项(1)同角并不拘泥于角的形式，如sin 2α2＋cos 2α2＝1，sin 3xcos 3x ＝tan 3x ⎝⎛⎭⎫3x ≠k π＋π2，k ∈Z 都成立，但是sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．(2)对于含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数商的关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入．sin α±cos α与sin αcos α关系的应用[例3] 已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．[解] (1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425. ∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925. 由x ∈(－π，0)，知sin x <0， 又sin x ＋cos x >0，∴cos x >0，则sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.[方法技巧]同角三角函数关系式的方程思想对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，转化公式为(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，体现了方程思想的应用．1.[考点二]若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512D ．－512解析：选D 因为α为第四象限角，故cos α＝1－sin 2α＝ 1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512.2.[考点三](2017·厦门质检)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为( )A ．－32 B.32 C ．－34 D.34解析：选B ∵5π4<α<3π2，∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32.3.[考点二]已知sin α＋2cos α＝3，则tan α＝( ) A.22 B. 2 C ．－22D ．－ 2解析：选A ∵sin α＋2cos α＝3，∴(sin α＋2cos α)2＝3，即sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2α＝3，∴sin 2α＋22sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝3，∴tan 2α＋22tan α＋2tan 2α＋1＝3，即2tan 2α－22tan α＋1＝0，解得tan α＝22.4.[考点一]sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________.解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋12＝＋12＝4412. 答案：44125.[考点二、三]已知tan α＝－43，求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值； (2)1cos 2α－sin 2α的值； (3)sin 2α＋2sin αcos α的值．解：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－43－45×⎝⎛⎭⎫－43＋2＝87.(2)1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2αcos 2α－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋11－tan 2α＝⎝⎛⎭⎫－432＋11－⎝⎛⎭⎫－432＝－257. (3)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.突破点(二) 三角函数的诱导公式基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z)π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin_α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α2.特殊角的三角函数值 角α 0°30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π6 π4 π3 π2 2π3 5π6 π sin α 0 12 22 32 1 32 12 0 cos α 1 32 22 12 0 －12 －32 －1 tan α 0 3313－3－33考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”诱导公式的应用1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． [典例] (1)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝⎛⎭⎫－α－3π2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αtan 2(2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (π＋α)＝( )A.35B.53C.45D.54(2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________. [解析] (1)方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. [答案] (1)B (2)1[方法技巧]应用诱导公式化简求值的注意事项(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．(2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．1．已知sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝15，那么cos α＝( ) A ．－25 B ．－15 C.15 D.25解析：选C ∵sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α，∴cos α＝15. 2．sin 210°cos 120°的值为( )A.14 B ．－34 C ．－32 D.34解析：选A sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝－12×⎝⎛⎭⎫－12＝14. 3．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.则A 的值构成的集合为{2，－2}．4．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α＝tanπ－π6－α＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33.答案：－335．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15， ∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－cos α＝265. [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A. 2．(2016·全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＞0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. 则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2 ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－43[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45B.45C.35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45. 2．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( )A ．－2B ．2C ．±2D.12解析：选B tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2. 3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43. 答案：－435.1－2sin 40°cos 40°cos 40°－1－sin 250°＝________. 解析：原式＝sin 240°＋cos 240°－2sin 40°cos 40°cos 40°－cos 50°＝|sin 40°－cos 40°|sin 50°－sin 40°＝|sin 40°－sin 50°|sin 50°－sin 40°＝sin 50°－sin 40°sin 50°－sin 40°＝1.答案：1[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．sin(－600°)的值为( ) A.32B.22 C ．1D.33解析：选A sin(－600°)＝sin(－720°＋120°)＝sin 120°＝32. 2．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B 由tan(α－π)＝34得tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角，由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，可得，sin α＝－35，cos α＝－45.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 3．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选D ∵f (4)＝a s in(4π＋α)＋b cos(4π＋β)＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－(a sin α＋b cos β)＝－3.4．已知2tan α·sin α＝3，－π2<α<0，则sin α＝( )A.32B ．－32C.12 D ．－12解析：选B 因为2tan α·sin α＝3，所以2sin 2αcos α＝3，所以2sin 2α＝3cos α，即2－2cos 2α＝3cos α，所以cos α＝12或cos α＝－2(舍去)，又－π2<α<0，所以sin α＝－32.5．若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin θ·cos θ＝3716，则sin θ＝( ) A.35 B.45 C.74D.34解析：选D ∵sin θ·cos θ＝3716，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝8＋378，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝8－378，∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，∴sin θ＋cos θ＝3＋74①，sin θ－cos θ＝3－74 ②，联立①②得，sin θ＝34.6．(2017·长沙模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A ．1＋ 5 B ．1－ 5 C ．1±5D ．－1－ 5解析：选B 由题意知，sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4.∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.二、填空题7．化简：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝________. 解析：cos (α－π)sin (π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α.答案：－cos2α8．若f(α)＝sin[(k＋1)π＋α]·cos[(k＋1)π－α]sin(kπ－α)·cos(kπ＋α)(k∈Z)，则f(2 017)＝________.解析：①当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，原式＝sin(2nπ＋π＋α)·cos(2nπ＋π－α) sin(2nπ－α)·cos(2nπ＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；②当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[(2n＋2)π＋α]·cos[(2n＋2)π－α] sin[(2n＋1)π－α]·cos[(2n＋1)π＋α]＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1.综上所述，当k∈Z时，f(α)＝－1，故f(2 017)＝－1.答案：－19．若角θ满足2cos⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin(π＋θ)－3cos(π－θ)＝3，则tan θ的值为________．解析：由2cos⎝⎛⎭⎫π2－θ＋cos θ2sin(π＋θ)－3cos(π－θ)＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1. 答案：110．已知角A为△ABC的内角，且sin A＋cos A＝15，则tan A的值为________．解析：∵sin A＋cos A＝15①，①式两边平方得1＋2sin A cos A＝1 25，∴sin A cos A＝－1225，则(sin A－cos A)2＝1－2sin A cos A＝1＋2425＝4925，∵角A为△ABC的内角，∴sin A>0，又sin A cos A＝－1225<0，∴cos A<0，∴sin A－cos A>0，则sin A －cos A ＝75②.由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.答案：－43三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.12．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12， 故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m2， 又1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.第三节三角函数的图象与性质突破点(一) 三角函数的定义域和值域基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 三角函数 正弦函数y ＝sin x余弦函数y ＝cos x正切函数y ＝tan x图象定义域 R Rxx ∈R ，且x⎭⎬⎫≠k π＋π2，k ∈Z值域 [－1,1][－1,1]R最值 当且仅当x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x ＝π＋2k π(k ∈Z)时，取得最小值－1本节主要包括2个知识点： 1.三角函数的定义域和值域； 2.三角函数的性质.时，取得最小值－1考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”三角函数的定义域[例1] 函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域是________． [解析] 要使函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12.解得2k π＋π3≤x <2k π＋5π6，k ∈Z.即函数的定义域为⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z. [答案] ⎣⎡⎭⎫2k π＋π3，2k π＋5π6，k ∈Z [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．三角函数的值域(最值)求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋k 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[例2] (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3(2)函数y ＝3－sin x －2cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，76π的值域为________． [解析] (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min＝78； 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.故该函数的值域为⎣⎡⎦⎤78，2. [答案] (1)A (2)⎣⎡⎦⎤78，2 [方法技巧]三角函数值域或最值的三种求法(1)直接法：直接利用sin x ，cos x 的值域求出．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题．1.[考点一]函数y ＝ cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R解析：选C 要使函数有意义，则cos x －32≥0，即cos x ≥32，解得2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z. 2.[考点二]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1B ．－22 C ．0 D.22解析：选B 因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≤1，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22. 3.[考点一]函数y ＝1tan x －1的定义域为________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为xx ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 4.[考点一]函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3. ∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 5.[考点二]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，则y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. ∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. 突破点(二) 三角函数的性质基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象最小正周期 2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k π－π2，2k π＋π2为增；2k π＋π2，2k π＋3π2为减，k ∈Z [2k π，2k π＋π]为减；[2k π－π，2k π]为增，k ∈Zk π－π2，k π＋π2为增，k∈Z对称中心 (k π，0)，k ∈Z ⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z对称轴 x ＝k π＋π2，k ∈Zx ＝k π，k ∈Z考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”三角函数的单调性考法(一) [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]； (2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2. [解] (1)当－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数．当2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4， 单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4，π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是k π－π2，k π，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是－5π12，π12，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2.[方法技巧]求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．考法(二) 已知单调区间求参数范围[例2] 已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数，则ω的取值范围是________．[解析] 由π2＜x ＜π，得π2ω＋π4＜ωx ＋π4＜πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)且2πω≥2×⎝⎛⎭⎫π－π2，则⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，。
高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》真题汇编含答案
数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（ ）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】 【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．△ABC 中，已知tanA =13，tanB =12，则∠C 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和为180o ，可得：tan tan()tan(+)C A B A B π=--=-，利用两角和公式和已知条件，即可得解. 【详解】 在△ABC 中，11tan tan 32tan tan()tan(+)=-1111tan tan 132A B C A B A B A B π++=--=-=-=---⋅， 所以135C ?o .故选：D. 【点睛】本题考查了正切的两角和公式，考查了三角形内角和，考查了转化思想和计算能力，属于中档题.3．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【解析】 【分析】设AE BF a ==，13B EBF EBF V S B B '-'=⨯⨯V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】设AE BF a ==，则()()23119333288B EBFa a V a a '-+-⎡⎤=⨯⨯⨯-⨯≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当3a a =-，即32a =时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=352AF =2292A F AA AF ''=+=，13222EF AC ==， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，由余弦定理得222819452424cos93222222A F EF A EA FEA F EF+-''+-'∠==='⋅⋅⨯⨯，∴4A FEπ'∠=．方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则()0,3,0A，()3,0,0C，()0,3,3A'，3,0,02F⎛⎫⎪⎝⎭，∴3,3,32A F⎛⎫'=--⎪⎝⎭u u u u r，()3,3,0AC=-u u u r，所以9922cos,9322A F ACA F ACA F AC+'⋅'==='⋅⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u ru u u u r u u u r所以异面直线A F'与AC所成的角为4π．故选：C【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a﹣c cos B）sin A＝c cos A sin B，则△ABC的形状一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形【答案】C【解析】【分析】根据题意，由(cos)sin cos sina c B A c A B-=变形可得sin sina A c C=，进而由正弦定理可得22a c=，即a c=，即可得答案．【详解】根据题意，在ABC∆中，(cos)sin cos sina c B A c A B-=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．5．若函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位后，得到()y g x =，则关于()y g x =的说法正确的是（ ） A ．图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称 B ．图象关于6x π=-轴对称C ．在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用左加右减的平移原则，求得()g x 的函数解析式，再根据选项，对函数性质进行逐一判断即可. 【详解】函数()sin 2f x x =向右平移6π个单位，得()sin 2()sin(2)63g x x x ππ=-=-． 由23x π-＝k π，得26k x ππ=+()k ∈Z ，所以,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是()g x 的对称中心，故A 错； 由23x π-＝2k ππ+， 得212k x π5π=+()k ∈Z ，所以()g x 的图象不关于6x π=-轴对称，故B 错；由222232k x k πππππ-≤-≤+，得1212k x k π5ππ-≤≤π+()k ∈Z ， 所以在区间5,126ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上()g x 不单调递增，在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故C 错，D 对； 故选：D ． 【点睛】解答三角函数问题时一般需将解析式化简为sin()y A x B ωϕ=++或cos()y A x B ωϕ=++，从而可利用正（余）弦型周期计算公式2||T πω=周期，对正弦型函数，其函数图象的对称中心为,k B πϕω-⎛⎫⎪⎝⎭，且对称中心在函数图象上，而对称轴必经过图象的最高点或最低点，此时函数取得最大值或最小值．6．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=（）A ．5-B ．CD 【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式可确定()max f x =sin 2cos θθ-=平方关系可构造出方程组求得结果. 【详解】()()sin 2cos f x x x x ϕ=-=+Q ，其中tan 2ϕ=- ()max f x ∴sin 2cos θθ-=又22sin cos 1θθ+= cos θ∴=【点睛】本题考查根据三角函数的最值求解三角函数值的问题，关键是能够确定三角函数的最值，从而得到关于所求三角函数值的方程，结合同角三角函数关系构造方程求得结果.7．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A ．12-B ．2C ．D ．12【答案】B 【解析】分析：要求53f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x Q 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c，若()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，b =c =，则角B =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π 【答案】B 【解析】 【分析】先由()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭求出3A π=，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】因为()sin 03A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭所以11sin cos sin 02222A A A A A +=-=所以tan A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=所以由余弦定理得：22222co 1232222s a b c bc A ⎛-=+-=+⨯= ⎝⎭所以a =所以222232cos 22a c b B ac +-+-===因为0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4B π=故选：B 【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.9．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=，∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．10．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D ，2BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（ ） A ．2 B ．2C ．3D ．62【答案】A 【解析】 【分析】先求出6sin 4BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=， ∴6sin BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， ∴3sin 222sin 6BAD BD BAD =⋅=⋅=∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．函数y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在一个周期内的图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二倍角余弦公式化简得到函数的解析式，再由函数表达式得到函数的单调性和周期，进而得到选项. 【详解】根据两角和差公式展开得到： y=ππππcos sin cos -sin 4444x x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22πππcos sin cos 2424x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎝⎭⎭=-sin2x ,函数在0的右侧是单调递减的，且周期为π，故选B. 故答案选B . 【点睛】这个题目考查了三角函数的恒等变换，题型为已知函数表达式选择函数的图像，这种题目，一般是先根据函数的表达式得到函数的定义域，或者值域，进行排除；也可以根据函数的表达式判断函数的单调性,周期性等，之后结合选项选择.12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ； 令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ． 【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．已知函数()3cos(2)2f x x π=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．14．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭求得2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由余弦二倍角公式可得22237cos 212sin 1233525ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23626ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以27sin 2cos 26325ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛⎫+==± ⎪⎝⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,而3sin 035πα⎛⎫+=> ⎪⎝⎭ 所以,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭则,33ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭32,3262ππππα⎛⎫⎛⎫+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即32,662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭又因为7sin 20625πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭,所以32,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故cos 206πα⎛⎫+< ⎪⎝⎭所以24cos 2625πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 故选:B 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.15．将函数cos y x =的图象先左移4π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，所得图象的解析式为（ ） A ．sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．13sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，变为3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若121cos 4F MF ∠=,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )A ．y =B ．y x =C ．y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ∆使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】Q 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点∴ 121222MF MF a MF MF ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ∆中,根据余弦定理可得:∴ 12121222122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-⋅⋅可得:2221(2)(4)(2)2424c a a a a =+-⋅⋅⋅ 化简可得:2c a =由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-= 可得:b =Q 双曲线渐近线方程为:b y x a=±则双曲线渐近线方程为: y = 故选:A. 【点睛】本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.17．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3C π<”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，整理得，2212cos a b C ab++>，由基本不等式，222a b ab ab+≥=，当且仅当a b =时等号成立，此时，12cos 2C +>，即1cos 2C >，解得3C π<， 充分性得证；必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291cos 247562C +-==>⨯⨯，故3C π<，但228ab c =<，故3C π<推不出2ab c >.故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A ===cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1 BC D 【答案】C 【解析】 【分析】将sin b A = cos 6a B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭结合正弦定理化简，求得B ，再由余弦定理即可求得b ． 【详解】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+⎪⎝⎭，展开得sin b A =1?cos sin 2B a B -，由正弦定理化简得sin sinB A =1?cos sin 2B sinA B -= cos B即3tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(2223236b π=+-⨯⨯解得b =所以选C 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．19．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】D 【解析】 【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.20．已知曲线1:sin C y x =，21:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ）A ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移3π个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的周期变换和左右平移变换依次得到各选项中所得的函数解析式，从而得到正确选项. 【详解】A 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向右平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；B 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向右平移3π个单位长度后得：11121sin sin cos cos 232622632y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 中，将sin y x =横坐标缩短到原来的12倍得：sin 2y x =；向左平移3π个单位长度后得：2sin 2sin 2sin 2cos 233266y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；D 中，将sin y x =横坐标伸长到原来的2倍得：1sin2y x =；向左平移3π个单位长度后得：1111sin sin cos cos 232622623y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的周期变换和平移变换的问题，关键是能够准确掌握变换原则，得到变换后的函数解析式.。
三角函数与解三角形高考专题大题练习(含答案)
（Ⅰ）由正弦定理得 ，
所以 ，因 ，故 .
，故 .
（Ⅱ） ，由正弦定理 ，及 得 ，∴ ，
∴ 周长
∵ ∴当 即 时
所以 周长 的最大值为6．
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.三角形中的关于边的最值问题，可以利用正弦定理化为关于某角的三角函数式的最值问题（多元问题转化为一元函数问题）.
由 知 ,在 中利用余弦定理得到关于 的方程,与方程 联立求出 ,进而求出 ,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】
由题意得， ,
由二倍角的余弦公式可得,
,
又因为 ，所以 ，
解得 或 ，
∵ ，∴ .
在 中,由余弦定理得 ,
即 ①
又因为 ,把 代入①整理得，
，解得 ， ，
所以 为等边三角形， ，
∴ ,
（2）BM平分角B交AC于点M，且 ， ，求 ．
4．已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间；
（Ⅱ）设 的内角 对边分别为 ，且 , ,
若 ,求 的值．
5．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 的最大值，并求此时角 的大小．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角C满足
（2）根据（1）中的结论，根据三角形面积之间的和关系，结合角平分线的性质、三角形面积公式进行求解即可.
【详解】
解法一：（1）因为 且 ，
所以 ，
根据正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）由（1）知， ，
因为 ， ，
解三角形与三角函数题型综合训练 解析版--高考专项练习
解三角形与三角函数题型综合训练一、梳理必备知识1.正弦定理a sin A=b sin B =csin C =2R .(其中R 为ΔABC 外接圆的半径)⇔a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(边化角)⇔sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R;(角化边)2.余弦定理：cos A =b 2+c 2-a 22bc,cos B =a 2+c 2-b 22ac,cos C =a 2+b 2-c 22ab.⇒a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C .3.三角形面积公式：S ΔABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =12a +b +c r r 为三角形ABC 的内切圆半径 4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )⇔C 2=π2-A +B2⇔2C =2π-2(A +B ).5.二倍角的正弦、余弦、正切公式①sin2α=2sin αcos α②cos2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α升幂公式：1+cos2α=2cos 2α1-cos2α=2sin 2α 降幂公式：cos 2α=12(1+cos2α)sin 2α=12(1-cos2α)③tan2α=2tan α1−tan 2α.6.辅助角公式a sin x ±b cos x =a 2+b 2sin (x ±φ)，(其中tan φ=ba)；求f (x )=A sin (ωx +φ)+B 解析式A ,B 求法方法一：代数法A +B =f (x )max-A +B =f (x )min方法二：读图法B 表示平衡位置；A 表示振幅ω求法方法一：图中读出周期T ，利用T =2πω求解；方法二：若无法读出周期，使用特殊点代入解析式但需注意根据具体题意取舍答案.φ求法方法一：将最高(低)点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B 求解；方法二：若无最高(低)点，可使用其他特殊点代入f (x )=A sin (ωx +φ)+B求解；但需注意根据具体题意取舍答案.7.三角形中线问题如图在ΔABC 中，D 为CB 的中点，2AD =AC +AB，然后再两边平方，转化成数量关系求解！(常用)8.角平分线如图，在ΔABC 中，AD 平分∠BAC ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法S ΔABC =S ΔABD +S ΔADC ⇒12AB ×AC ×sin A =12AB ×AD ×sin A 2+12AC ×AD ×sin A2(常用)②内角平分线定理：AB BD =AC DC 或AB AC =BDDC ③边与面积的比值：AB AC =S △ABDS △ADC 9.基本不等式(最值问题优先用基本不等式)①ab ≤a +b2②a 2+b 2≥2ab10.利用正弦定理化角(函数角度求值域问题)利用正弦定理a =2R sin A ，b =2R sin B ，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积或者周长的最值。
专题01 三角函数与解三角形【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训新高考专用原卷版
专题01三角函数与解三角形题型简介三角函数与解三角形一般作为全国卷第17题或第18题，主要考查三角函数的图象及其性质，解三角形主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题等，主要题型：1三角函数图像及性质问题，2结构不良试题3三角形面积周长问题4三角形三线问题5三角函数实际应用问题在新课标中强调情景复杂化，更容易将实际问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.典例在线题型一：三角函数的图象及其性质1．()π1cossin 2264xx f x ωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，已知点A ，B 是函数()f x 的图像与直线12y =的两个交点.且AB 的最小值为π.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若对于ππ,123x ⎡⎤∀∈⎢⎣⎦都有()274f x m m ≥--，求m 的取值范围.变式训练1已知函数π()2sin cos 3f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭x ∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(3)若0π2410f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，0π7π,48x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值．题型二：结构不良试题设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．①向量()cos ,1m B =u r与向量(),2n b c a =+ 平行．②22a b bc=+2cos 2cos 242424A B B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)确定角A 和角B 之间的关系；(2)若D 为线段BC 上一点，且满足BD ＝AD ＝4，若2a ＝3b ，求b ．变式训练1．已知函数()21cos cos 2222x x x f x =-.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()0,f A a ==D 为BC 上一点，且满足____________，求ABC 的面积S .cos B b C =；②AD 为ABC的中线，且2AD =；③AD 为ABC的角平分线，且AD =这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）题型三：三角形面积，周长问题1ABC 中，74,cos ,8AB A AC AB ==>.(1)若12AB BC ⋅=，求BC ；(2)若1cos()4B C -=，求ABC 的面积.变式训练1．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B =.(1)求cos C 的值；(2)若b =3cos a c B =，求ABC 的周长.题型四：三角形三线问题1．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，()sin sin 4sin C B a C =-.(1)求A ；(2)若O 是ABC 的内心，2a =，且224b c +>，求OBC △面积的最大值.变式训练1已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin a C C b c +=+．(1)求A ；(2)已知ABCM 为BC的中点，且AM =BAC ∠的平分线交BC 于N ，求线段AN 的长度．题型五三角函数实际应用问题1如图，在ABC 中，cos 23cos()20B A C +++=，()0||||CA CB CA CB CA CB ⎛⎫+⋅-= ⎪⎝⎭，D 为ABC 外一点，2,1DA DC ==．(1)求角B 的大小，并判断ABC 的形状；(2)求四边形ABCD 的面积的最大值．变式训练1．如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD 的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB ∠和DAB ∠为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD 相切.(1)若AD =AB =，37BD =（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135︒，则BDA ∠多大时，平行四边形绿地ABCD 占地面积最小？模拟尝试1．如图,在平面四边形ABCD中,(0π),1ABC AB BC CD ∠θθ=<<===,AC CD ⊥.(1)试用θ表示BD 的长;(2)求22AC BD +的最大值.2．已知平面四边形ABCD 中，180,3A C BC ︒∠+∠==，若120ABC ∠= ，ABC(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c是2a 与πsin 6C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的等比中项．(1)求A ﹔(2)若ABC 是锐角三角形，且2c =，求sin a B 的取值范围．4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长依次是a ，b ，c，b =222sin sin sin sin sin A C A C B ++=．(1)求角B 的大小；(2)当△ABC 面积最大时，求∠BAC 的平分线AD 的长．5．某地区组织的贸易会现场有一个边长为1的正方形展厅ABCD ，,M N 分别在BC 和AB 边上，图中DMN 区域为休息区，ADN △，CDM V 及BMN区域为展览区．(1)若BMN 的周长为2，求MDN ∠的大小；(2)若π6NDM ∠=，请给出具体的修建方案，使得展览区的面积S 最大，并求出最大值．真题再练一、解答题1．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+；(2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长．2．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ；(2)求222a b c +的最小值．3．（2022·全国·统考高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知1231,sin 23S S S B -+==．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin 3A C =，求b ．4．（2022·北京·统考高考真题）在ABC中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC的面积为ABC 的周长．5．（2021·全国·统考高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.6．（2021·全国·统考高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．。
高考数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及解析
高考数学提高题专题复习三角函数与解三角形多选题练习题及解析一、三角函数与解三角形多选题1．设函数()2sin 1xf x x x π=-+，则（ ）A ．()43f x ≤B ．()5f x x ≤C ．曲线()y f x =存在对称轴D ．曲线()y f x =存在对称中心【答案】ABC 【分析】 通过()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭可发现函数()y f x =具有对称轴及最大值，再利用函数对称中心的特点去分析()y f x =是否具有对称中心，再将()5f x x ≤化为32sin 555x x x x π≤-+，通过数形结合判断是否成立.【详解】函数解析式可化为：()22sin sin 11324x xf x x x x ππ==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭，因为函数sin y x =π的图象关于直线12x =对称，且函数21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象也关于直线12x =对称，故曲线()y f x =也关于直线12x =对称，选项C 正确； 当12x =时，函数sin y x =π取得最大值1，此时21324y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭取得最小值34，故()14334f x ≤=，选项A 正确； 若()5f x x ≤，则32sin 555x x x x π≤-+，令()32555g x x x x =-+，则()()221510553210g x x x x x '=-+=-+>恒成立，则()g x 在R 上递增，又()00g =，所以当0x <时，()00g <；当0x >时，()0g x >； 作出sin x π和32555x x x -+的图象如图所示：由图象可知32sin 555x x x x π≤-+成立，即()5f x x ≤，选项B 正确；对于D 选项，若存在一点(),a b 使得()f x 关于点(),a b 对称，则()()2f a x f a x b -++=，通过分析发现()()f a x f a x -++不可能为常数，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的综合应用，涉及函数的单调性与最值、对称轴于对称中心、函数与不等式等知识点，难度较大. 对于复杂函数问题一定要化繁为简，利用熟悉的函数模型去分析，再综合考虑，注意数形结合、合理变形转化.2．ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ） A ．AB AC →→⋅为定值B ．2210AC AB += C ．co 415s A << D ．BAD ∠的最大值为30【答案】ABD 【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A 范围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可. 【详解】 对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确； 对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB ∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++ 2221110=⨯++=，故B 正确；对于C，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bccosAbc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c=时，等号成立）,由A选项知cos3bc A=，22coscos1133cosAAA∴≥-=-，解得3cos5A≥，故C错误；对于D，2222213233cos4442c c cBADc c c+-+∠==≥=（当且仅当3c=时，等号成立），因为BAD ABD∠<∠，所以(0,)2BADπ∠∈，又3cos2BAD∠≥，所以BAD∠的最大值30，D选项正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题. 3．已知函数()()cos0,0,2f x A x Aπωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则下列关于函数()f x的说法中正确的是（）A．函数()f x最靠近原点的零点为3π-B．函数()f x的图像在y3C．函数56f xπ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数D．函数()f x在72,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ABC【分析】首先根据图象求函数的解析式，利用零点，以及函数的性质，整体代入的方法判断选项.【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的部分图像知，2A =， 设()f x 的最小正周期为T ，则24362T πππ=-=，∴2T π=，21T πω==． ∵2cos 266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2πϕ<，∴6πϕ=-， 故()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令()2cos 06f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得62x k πππ-=+，k Z ∈， 即23x k ππ=+，k Z ∈，因此函数()f x 最靠近原点的零点为3π-，故A 正确；由()02cos 6f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()f x 的图像在y B 正确； 由()52cos 2cos 6f x x x ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，因此函数56f x π⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，故C 正确； 令226k x k ππππ-≤-≤，k Z ∈，得52266k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，此时函数()f x 单调递增，于是函数()f x 在132,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在137,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故D 不正确． 故选：ABC ． 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.4．对于函数()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，下列结论正确的是（ ） A ．把函数f (x )的图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则π是函数y =g (x )的一个周期B ．对123,,2x x ππ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，若12x x <，则()()12f x f x <C ．对,44x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 成立D ．当且仅当,4x k k Z ππ=+∈时，f (x )1【答案】AC 【分析】根据三角函数的变换规则化简即可判断A ；令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()21f t t t =+-，判断函数的单调性，即可判断B ；代入直接利用诱导公式化简即可；首先求出()f t 的最大值，从而得到x 的取值； 【详解】解：因为()2()sin cos 2sin cos sin cos sin cos 1f x x x x x x x x x =++=+++-，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣，所以()21f t t t =+-， 对于A ：将()sin cos 2sin cos f x x x x x =++图象上的各点的横坐标变为原来的12倍，则()sin 2cos 22sin 2cos 2g x x x x x =++，所以()()()()()sin 2cos22sin 2cos2g x x x x x πππππ+=++++++()sin 2cos22sin 2cos2x x x x g x =++=，所以π是函数y =g (x )的一个周期，故A 正确；对于B ：因为3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以57,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则)14t x π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 又()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，对称轴为12t =-，开口向上，函数()21f t t t =+-在)1⎡-⎣上单调递减， 所以函数()f x 在5,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在53,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 故B 错误； 对于C ：sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=----⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭sin c 4os 2sin cos 4444f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭+⎝⎭c 2424242sin os 2sin cos 4x x x x ππππππππ⎥++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦4444sin cos 2sin cos 4x x x x f x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭+，故C 正确；因为()2215124f t t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，t ⎡∈⎣，当t =时()f t 取得最大值()max 1f t =，令4t x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 14x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,42x k k Z πππ+=+∈，解得2,4x k k Z ππ=+∈，即当2,4x k k Z ππ=+∈时，函数()f x1，故D 错误；故选：AC 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，解答的关键是换元令sin cos t x x =+，将函数转化为二次函数；5．下列结论正确的是（ ）A ．在三角形ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则三角形ABC 为等腰三角形D ．在锐角三角形ABC 中,sin sin cos cos A B A B +>+ 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ，由余弦定理判断B ，由正弦函数性质判断C ，利用锐角△ABC 这个条件,可得2A B π+>，结合三角函数的单调性比较sin A 与cos B 大小即可判断D ． 【详解】ABC 中，A B a b >⇔>，由sin sin a bA B=，得sin sin A B >，A 正确； 在锐角三角形ABC 中，222222cos 0,02b c a A b c a bc+-=>∴+->，B 正确；ABC 中，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22180A B ︒+=，即A B =或90A B ︒+=，ABC 为等腰三角形或直角三角形，C 错误；在锐角三角形ABC 中,2A B π+>,022A B ππ∴>>->,sin sin 2A B π⎛⎫∴>- ⎪⎝⎭,即sin cos A B >，同理：sin cos B A >sin sin cos cos A B A B ∴+>+，D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，诱导公式等，学会公式的灵活应用是解答本题的关键.6．设函数()sin()(0)4f x x πωω=+>，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）A ．()1y f x =+在()02π，有且仅有2个零点 B ．()f x 在023π⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增C ．ω的取值范围是192388⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．将()f x 的图象先右移4π个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数1()sin()2g x x ω=【答案】BC 【分析】首先利用图象直接判断A 选项；再利用函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，求得ω的范围，并利用整体代入的方法判断B 选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D. 【详解】A.如图，[]0,2π上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是()1y f x =+在()0,2π上的3个零点；B.[]0,2x π∈时，,2444t x πππωωπ⎡⎤=+∈⋅+⎢⎥⎣⎦ 若函数()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，则5264ππωππ≤⋅+<，得192388ω≤<，当023x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，,448t x πππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，此时函数单调递增，故BC 正确； D. 函数()f x 的图象先右移4π个单位后得到sin sin 4444y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到()1sin 244g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故D 不正确；故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出ω的取值范围，首先根据函数在区间[]0,2π有5个零点，首先求4t x πω=+的范围，再分析sin y t =的图象，求得ω的范围.7．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）A ．2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．(2021)1f π=C ．函数|()|y f x =为偶函数D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 【答案】AD 【分析】先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12x π=-时取得最大值求得ϕ，得到解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω==,2ω=， 由12x π=-时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫=⨯-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，A 正确；22(2021)2sin 22021=2sin 33f ππππ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭B 错误； 由2()2sin 23y f x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是恒成立，故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6x π=时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫⎪⎝⎭，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心，故,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.8．已知函数()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭，()()1224F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（ ）A ．tan 3ϕ=B ．()f x 在[],a a -上存在零点，则a 的最小值为6π C ．()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移2π个单位得到 【答案】ABC 【分析】首先得到()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数ϕ，最后结合三角函数的性质一一验证即可. 【详解】解：因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以11()()+cos(2)sin(2)cos 2224223F x f x f x x x x ππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即cos 03πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为||2ϕπ<，所以6π=ϕ； 对于A，tan tan63πϕ==，故A 正确； 对于B ，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得26k x ππ=+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为6π，故B 正确； 对于C ，()cos 2sin 263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确. 对于D ，因为()cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()cos 266F x x ππ⎡⎤⎛⎫=++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据“左加右减”，()F x 的图象可由()f x 的图象向左平移6π个单位得到，故D 错误.故选：ABC . 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是先根据()()124F x f x f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为奇函数，确定参数ϕ的值，再结合三角函数的性质逐一判断即可.二、数列多选题9．设数列{}n a 前n 项和n S ，且21n n S a =-，21log n n b a +=，则（ ） A ．数列{}n a 是等差数列 B ．12n n aC ．22222123213n na a a a -++++= D ．122334111111n n b b b b b b b b +++++< 【答案】BCD 【分析】利用n S 与n a 的关系求出数列{}n a 的通项公式，可判断AB 选项的正误；利用等比数列的求和公式可判断C 选项的正误；利用裂项求和法可判断D 选项的正误. 【详解】对任意的n *∈N ，21n n S a =-.当1n =时，11121a S a ==-，可得11a =； 当2n ≥时，由21n n S a =-可得1121n n S a --=-， 上述两式作差得122n n n a a a -=-，可得12n n a a -=，所以，数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=，A 选项错误，B选项正确；()221124n n na --==，所以，22221231441143nn n a a a a --==-++++，C 选项正确； 212log log 2n n n b a n +===，()1111111n n b b n n n n +==-++， 所以，12233411111111111111112233411n n b b b b b b b b n n n +++++=-+-+-++-=-<++， D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.10．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．6016a =B ．18128S =C ．2122k k k a -+=D ．2221kk kS k +=--【答案】AC 【分析】对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()12k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C由C 得到9552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得22k kS +，即前k 组数之和18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21222k k kS k ++=--结论计算即可. 【详解】A.由题可将数列分组第一组：02 第二组：012,2, 第三组：0122,2,2,则前k 组一共有12++…()12k k k ++=个数 第k 组第k 个数即12k -，故2122k k k a -+=，C 对又()10101552+=，故9552a = 又()11111662+=， 60a 则为第11组第5个数第11组有数：0123456789102,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故460216a ==，A 对对于D. 每一组的和为0122++ (1)2122121k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221k k k k k k +-+-=-=---21222k k k S k ++=--故D 错. 对于B.由D 可知，615252S =--()551152+=，()661212+=01261815222252764S S =+++=--+=故B 错 故选：AC 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．。
21版：高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形问题（步步高）
思维升华
SI WEI SHENG HUA
三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化， 结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响.
跟踪训练 3 已知函数 f(x)＝4sin x·cosx＋π3＋ 3，x∈0，π6. (1)求函数f(x)的值域；
解
f (x)＝4sin
x12cos
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(2)若f (x)<3，求x的取值范围.
解 6sin2x－π6<3，即 sin2x－6π<12，
在一个周期－32π，π2中，要使 sin2x－π6<12，则－76π<2x－π6<π6，
∴－76π＋2kπ<2x－π6<π6＋2kπ，k∈Z，
解得 kπ－π2<x<kπ＋π6，k∈Z.
∴x 的取值范围为xkπ－π2<x<kπ＋6π，k∈Z
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2.设函数 f(x)＝2tan 4x·cos24x－2cos2x4＋1π2＋1. (1)求f (x)的定义域及最小正周期；
解
f
(x)＝2sin
x 4cos
4x－cosx2＋π6
＝sin
2x－cosx2＋6π＝sin
2x－
3 2 cos
2x＋21sin
x 2
＝
3sinx2－π6.
由4x≠π2＋kπ(k∈Z)，得f (x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，
5.已知函数f(x)＝cos 2ωx＋ 3 sin 2ωx＋t(ω>0)，若f(x)的图象上相邻两条对称 轴的距离为 π，图象过点(0,0).
4 (1)求f (x)的表达式和f (x)的单调递增区间；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.