人教版八年级数学下册课件 16.1 第1课时 二次根式的概念 (共29张PPT)

例4 已知y= x 3 3 x 8 ,求3x+2y的算术平方根.
x 3≥0， 解：由题意得
∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25.
3 x≥0，
∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5．
【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a， b满足 b 3 a 2a 6 4 ，求此三角形的周长．
问题2 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2; ②被开方数为非负数.
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“ ”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ (1) 32; (2) 6; (3) 12; (4) -m m≤0 ；
∵(x+3)2≥0，
∴m-9≥0，即m≥9.
6.若x，y是实数，且y＜
x 1 1 x
1 1 y , 求 2 y 1
的值.
≥0， x 1 解：根据题意得， 1 x≥0，
1 2
∴x=1. ∵y＜
x 1 1 x
,
1 ∴y＜ ， 2 ∴ 1 y 1 y 1 . y 1 y 1
当a＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0 时，a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就是说，当 a≥0时，a ≥0.
归纳总结
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术 平方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术≥0，得 x≥2.
当x≥2时， x 2 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，∴x≥-3.
二次根式
在有意义条 件下求字母 的取值范围
二次根式的 双重非负性
二次根式 a 中,a≥0且 a ≥0
2
(2) x2 2 x 3.
2 2
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 x 1 x 1 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2 x 3在实数范围内都无意义. 归纳 被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
解得x=1，y=2．
∴x+4y=1+2×4=9，
∴x+4y的平方根为±3.
1、形如________
的式子叫做二次根式．
2、若 3 x + x 3 有意义，则 x =_______． 3、下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 7
3
C． x
D．x
4、当x是多少时，
2x 3 x
二次根式的被开 方数非负
二次根式的值 非负
二次根式的 双重非负性
典例精析
例3
若 a2
，求a -b+c的值. b 3 (c 4)2 0
解：由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0, 解得a=2,b=3,c=4. 所以a-b+c=2-3+4=3. 归纳 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为 零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及 二次根式.
能力提升： 7.先阅读，后回答问题： 当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
由乘法法则得 解得x≥1 或x≤0 即当x≥1 或x≤0时， x x 1 有意义.
x≥0， x≤0， 或 x 1≥0， x 1≤0，
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时，
(3) 一个位图从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位： s）与开始落下时的高度 h( 单
；(4)0 的算术平方根为
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为3m2,则边长为 3 _____m ；若面积为S m2，则边长为_____m ． S
图 (2)如图的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积 65 ． 为130m2，则它的宽为_____m
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有
意义？
(1) a 1 ; (2) 2 a 3; 2 (4) . 5a
(3) a ;
解： (1)
(2)
a-1 0，a 1.
3 2a 3 0， a . 2 a 0， a 0.
(3)
(4)
5 a＞0， a＜5.
x2 ≥0， 解：由题意得 2x 1
x2 有意义？ 2x 1
则 x 2≥0， x 2≤0，
或 2 x 1＞0， 2 x 1＜0，
1 ， 2 即当x≥2或x＜ 1 时， x 2 有意义． 2x 1 2
解得x≥2或x＜
课堂小结
带有二次根号 定 义 被开方数为非负数 抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 求出其解集.
第十六章
二次根式
16.1 二根次式
第1课时 二次根式的概念
学习目标
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点） 3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.（难点）
复习引入
问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数 叫做a的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
3 a≥0， 解：由题意得 2a 6≥0，
∴a=3， ∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
归纳 若 y a a b，则根据被开方数大于等于0，
可得a=0.
练一练 已知|3x-y-1|和 2 x y 4 互为相反数，求x+4y的平 方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0．
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； B≥0； 条件： ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
图
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时 间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为
h _____ ． 5
讲授新课
一 二次根式的概念及有意义的条件
h 上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S，65， ． 5
问题1 这些式子分别表示什么意义？ h 分别表示3，S，65， 的算术平方根． 5
∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 归纳
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范 围内有意义？
(1) x 2 x 1;
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2． (2)无论x取任何实数，代数式 x2 6x m 都有意 义，求m的取值范围． 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0.
用 a (a 0) 表示.
问题3 什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内
开平方时，被开方数只能是正数或0.
平方根的性质：正数有 平方根。
个平方根，它们
；0 的平方根是
；负数
思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1) 面积为 5 的正方形的边长为 ； m； 。 。 （用 表示） (2) 要修建一个面积为 3 的圆形喷水池，它的半径为 位：m)满足关系 h=t2 如果用含有 h 的式子表示 t,则 t= （4）6 的算术平方根的相反数为
在实数范围内有意义？
5 、已知 a、b 为实数，且满足 a 1 2 b 0 ，求b
a
的值．
当堂练习
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ C ）

2 3x 6
a

C
D
2.式子 A.x＞2
有意义的条件是 C.x＜2
（ A ） D.x≤2
B.x≥2
-1 时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值 3.当x=____ 为______ 0 ．
(2)若式子
1 x x2
在实数范围内有意义，则x的
x ≥0且x≠2 取值范围是___________.
二 二次根式的双重非负性
问题1 当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意
义？ x3 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 问题2 二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？
它本身的取值范围又是什么？
A 1 B
B A
有意义的条件：