2014届高考理科学数学第一轮复习导学案3.doc

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2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章学案13

第3章导数及其应用学案13 导数的概念及运算导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C（C为常数）,y＝x,y＝x2，y＝1x,y＝错误!的导数．熟记基本初等函数的导数公式（c，x m(m为有理数),sin x，cos x,e x，a x，ln x，log a x的导数),能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax＋b))的导数．自主梳理1．函数f（x）在区间[x1，x2］上的平均变化率为________________________．2．函数y＝f（x)在x＝x0处的导数（1)定义设f(x）在区间（a，b)上有定义，x0∈（a，b）,若Δx无限趋近于0时，比值错误!＝____________________无限趋近于一个常数A,则称f(x）在x＝x0处可导,并称常数A为函数f（x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0）．(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点（x0,f(x0)）的____________．(3)导数的物理意义：函数s＝s（t）在点t0处的导数s′(t0），是物体的运动方程s＝s（t）在t0时刻的瞬时速度v，即v＝__________；v＝v(t）在点t0处的导数v′(t0），是物体的运动方程v＝v（t)在t0时刻的瞬时加速度a，即a＝____________。

3．函数f（x）的导函数如果函数y＝f（x)在开区间（a,b）内任一点都是可导的，就说f(x）在开区间(a，b）内可导，其导数也是开区间（a，b）内的函数,又称作f（x）的导函数，记作y′或f′（x）．4．基本初等函数的导数公式表5.(1）[f（x)±g（x)]′＝____________；(2)［f(x）g(x)]′＝________________；(3)错误!′＝________________________ [g(x）≠0]．6．复合函数的求导法则：若y＝f（u），u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a。

2014届高考理科数学第一轮复习导学案66

学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用导学目标： 1.理解二元柯西不等式的几种不同形式.2.掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式.3.会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值．自主梳理1．算术——几何平均不等式(1)如果a ，b >0，那么____________，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)如果a ，b ，c >0，那么________________，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(3)对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立．2．柯西不等式(1)二维形式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥____________，当且仅当__________时，等号成立．(2)向量形式：设α、β是平面上的两个向量，则__________________≥|α，β|，当且仅当α，β共线时等号成立．3．三角形不等式设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.自我检测1．若x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝s ，xy ＝p ，则下列命题中正确的序号是________．①当且仅当x ＝y 时，s 有最小值2p ；②当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24；③当且仅当p 为定值时，s 有最小值2p ；④若s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 有最大值s 24.2．若x ，y ∈R ，且满足x ＋3y ＝2，则3x ＋27y ＋1的最小值是________．3．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________．4．函数y ＝3＋3x ＋1x (x <0)的最大值为________．5．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围为______________．探究点一利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y ，a ，b ∈R ＋，且a x ＋by ＝1，求x ＋y 的最小值．变式迁移1 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．探究点二利用算术—几何平均不等式求最值例2 如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积．变式迁移2 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图)，设容器高为h米，盖子边长为a米．(1)求a关于h的解析式；(2)设容器的容积为V立方米，则当h为何值时，V最大？求出V 的最大值．(求解本题时，不计容器厚度)．探究点三不等式的证明例3(1)已知a、b、c为正数，且满足a cos2θ＋b sin2θ<c.求证：a cos2θ＋b sin2θ<c.(2)设a、b、c∈R＋，求证：(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥27.变式迁移3 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c)≥92.1．从形式结构上看，柯西不等式可简记为“方和积大于积和方”，相比算术—几何平均不等式而言，不要求各项均是正数，从而使用更广泛，在使用柯西不等式证明不等式和求最值时，要注意与柯西不等式的一般形式比较，根据需要，构造“积和方”或“方和积”．柯西不等式等号成立的条件比较特殊，要牢记．2．应用算术—几何平均不等式求最值，要积极创造条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于“和定积最大，积定和最小”，注意满足“一正二定三相等”三个条件，缺一不可．3．利用不等式解决实际问题，首先要认真审题，分清题意，建立合理的不等式模型或函数模型，最终通过解不等式或算术—几何平均不等式实施解题．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．若x >1，则函数y ＝x ＋1x ＋16xx 2＋1的最小值为________．2．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x <0)的值域是________．3．函数y ＝52x 2(25－2x )(0≤x ≤15)的最大值为_____________________________________．4．设a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥na －c恒成立，则n 的最大值是________．5．若3x ＋4y ＝2，则x 2＋y 2的最小值为________． 6．函数y ＝12－2x ＋x －1的最大值为________．7．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n >0，则1m ＋2n 的最小值为________．8．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则p ＝2x ＋y 的最大值是________．二、解答题(共42分) 9．(12分)设a ，b ，c 为正数，求证：(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc .10．(14分)设x 、y 均大于0，且x ＋y ＝1，求证：(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.11．(16分)某养殖厂需要定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元，求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小．学案76 不等式选讲(三)算术—几何平均不等式与柯西不等式的应用答案自主梳理1．(1)a ＋b 2≥ab (2)a ＋b ＋c 3≥3abc (3)a 1＝a 2＝…＝a n 2．(1)(ac ＋bd )2 ad ＝bc (2)|α||β| 自我检测 1．④解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)， ∴x ＋y ≥2xy ，又x ＋y ＝s ，xy ＝p ，∴当s 一定，即x ＝y ＝s 2时，p 有最大值s 24；当p 一定，即x ＝y ＝p 时，s 有最小值2p . 2．7解析 3x ＋27y ＋1≥23x ·27y ＋1＝23x ＋3y ＋1＝7，当且仅当“3x ＝27y ”即x ＝3y 且x ＋3y ＝2时，上式取“＝”，此时x ＝1，y ＝13. 3．9解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 4．3－2 3 解析 ∵x <0，∴y ＝3＋3x ＋1x ＝3－[(－3x )＋(－1x )]≤3－2 3.当且仅当－3x ＝－1x ，即x ＝－33时取等号．∴当x ＝－33时，函数y ＝3＋3x ＋1x 有最大值3－2 3. 5．[－25，25]解析由柯西不等式得，[12＋(－1)2](a 2＋b 2)≥(a －b )2， ∴(a －b )2≤20，∴－25≤a －b ≤25，当且仅当“b ＝－a ”时上式“＝”成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－a a 2＋b 2＝10得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5b ＝5. 课堂活动区例1 解题导引由于a x ＋by ＝1，则可以构造x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2]≥(a ＋b )2的形式，从而利用柯西不等式求出最值．利用柯西不等式求最值，实际上就是利用柯西不等式进行放缩，但放缩时要注意等号成立的条件是否符合题意．解 ∵x ，y ，a ，b ∈R ＋，a x ＋by ＝1，∴x ＋y ＝[(x )2＋(y )2][(a x )2＋(b y )2] ≥(a ＋b )2.当且仅当x ·b y ＝y ·ax ，即x y ＝ab 时取等号． ∴(x ＋y )min ＝(a ＋b )2.变式迁移1 解由柯西不等式得：(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1.∴4x 2＋9y 2≥12. 当且仅当2x ×1＝3y ×1，即2x ＝3y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y2x ＋3y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14y ＝16.∴4x 2＋9y 2的最小值为12.例2 解题导引运用算术—几何平均不等式解决应用问题的步骤是：(1)弄清量与量之间的关系，将要求最大值(或最小值)的变量表示为其他变量的函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为数学中的最值问题；(3)在定义域内求函数的最值；(4)根据实际意义写出正确答案．解如图，设正六棱柱的底面B 1B 2B 3B 4B 5B 6的边长为x (0<x <1)，则OB 1＝B 1B 2＝x .由A 1A 2A 3A 4A 5A 6的边长为1，得OA 1＝A 1A 2＝1，所以A 1B 1＝OA 1－OB 1＝1－x .作B 1C 1⊥A 1A 2于C 1. 在Rt △A 1B 1C 1中，∠B 1A 1C 1＝60°，则容器的高B 1C 1＝A 1B 1sin 60°＝32(1－x )．于是容器的容积为V ＝f (x )＝Sh ＝(6·34x 2)·32(1－x ) ＝94x 2(1－x )(0<x <1)．则f (x )＝94x 2(1－x )＝98·x ·x ·(2－2x ) ≤98·[x ＋x ＋(2－2x )3]3＝13. 当且仅当x ＝2－2x ，即x ＝23时，V max ＝13.故当正六棱柱容器的底面边长为23时，最大容积为13.变式迁移2 解 (1)设h ′是正四棱锥的斜高，由题设可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4·12h ′a ＝2h 2＋14a 2＝h ′2，消去h ′.解得：a ＝1h 2＋1(h >0)． (2)由V ＝13a 2h ＝h3(h 2＋1)(h >0)，得：V ＝13(h ＋1h )，而h ＋1h ≥2h ·1h ＝2.所以0<V ≤16，当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取等号．故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米．例3 证明 (1)由柯西不等式可得a cos 2θ＋b sin 2θ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2]12(cos 2θ＋sin 2θ)12 ＝(a cos 2θ＋b sin 2θ)12<c .(2)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc >0，从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0，又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2>0，∴(1a 2＋1b 2＋1c 2)(a ＋b ＋c )2≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．变式迁移 3 证明 ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )>0，1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c>0， ∴(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c )≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．课后练习区 1．8解析 y ＝x ＋1x ＋16x x 2＋1＝x 2＋1x ＋16xx 2＋1≥216＝8.当且仅当x 2＋1x ＝16xx 2＋1，即x ＝2＋3时等号成立．2．[－3,0)解析 y ＝3x x 2＋x ＋1＝3x ＋1x ＋1.∵x ＋1x ＝－[(－x )＋(－1x )]≤－2.∴x ＋1x ＋1≤－1.∴0>3x ＋1x ＋1≥－3，即－3≤y <0.∴原函数的值域为[－3,0)． 3.4675解析 y ＝52x 2(25－2x )＝52x ·x (25－2x )，∵0≤x ≤15，∴25－2x ≥0，∴y ≤52[x ＋x ＋(25－2x )3]3＝4675.当且仅当x ＝x ＝25－2x ，即x ＝215时，y max ＝4675. 4．4解析 ∵a －c a －b ＋a －cb －c＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －c b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4，∴a －c a －b ＋a －c b －c ≥4，∴1a －b ＋1b －c ≥4a －c. 又∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，∴4a －c ≥n a －c，又∵a >c ，∴a －c >0，∴4≥n ，即n ≤4. 5.425解析柯西不等式(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，所以x 2＋y 2≥425.①不等式①中当且仅当x 3＝y 4时等号成立，x 2＋y 2取得最小值，解方程组⎩⎨⎧ 3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825. 因此当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425. 6.15解析函数的定义域为[1,6]．y 2＝(12－2x ＋x －1)2＝(2×6－x ＋1×x －1)2≤[(2)2＋12]×[(6－x )2＋(x －1)2]＝3×5＝15.∴y 2≤15.∴y ≤15.当且仅当2×x －1＝1×6－x ，即x ＝83时等号成立． ∴原函数的最大值为15.7．8解析函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)．则(－2)m ＋(－1)·n ＋1＝0,2m ＋n ＝1，m ，n >0.1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n ＝8，(m ＝14，n ＝12时取等号)即1m ＋2n 的最小值为8.8.11解析 ∵(3x 2＋2y 2)[(23)2＋(12)2]≥(2x ＋y )2， ∴(2x ＋y )2≤116×6＝11.∴－11≤2x ＋y ≤11，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 32x ＝223y 3x 2＋2y 2＝6时，上式取“＝”．即⎩⎨⎧ x ＝411y ＝311或⎩⎨⎧ x ＝－411y ＝－311.∴x ＝411，y ＝311时，P max ＝11. 9．证明由算术—几何平均不等式可得：a ＋b ＋c ≥33abc ，① a 2＋b 2＋c 2≥33a 2b 2c 2， ②①②相乘得(a ＋b ＋c )(a 2＋b 2＋c 2)≥9abc 即为所证结论．(12分)10．证明方法一要证(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252，只需证x 2＋y 2＋1x 2＋1y 2＋4≥252. (3分)∵x ＋y ＝1，即要证(1－2xy )＋1－2xy x 2y 2≥172，即要证4x 3y 3＋15x 2y 2＋4xy －2≤0， (5分) 即要证(4xy －1)(x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (8分) 即要证[4xy －(x ＋y )2](x 2y 2＋4xy ＋2)≤0， (10分) 即要证(x －y )2(x 2y 2＋4xy ＋2)≥0.(12分)∵x 、y 均大于0，x ＋y ＝1，故上式成立．故所证不等式(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252成立． (14分)方法二 ∵x ＋y ＝1， ∴xy ≤(x ＋y 2)2＝14，∴1xy ≥4. (4分)又∵(12＋12)[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥(x ＋1x ＋y ＋1y )2 (8分)＝(x ＋y ＋x ＋y xy )2＝(1＋1xy )2≥(1＋4)2＝25.(12分)即2[(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2]≥25.∴(x ＋1x )2＋(y ＋1y )2≥252.(14分)11．解设该厂应隔x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的费用为y .∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， (2分) ∴x 天饲料的保管与其他费用共是：6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝3x 2－3x (元)． (8分)从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417.(14分)当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 有最小值417.即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的费用最小． (16分)。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案32

学案30 数列的通项与求和导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n 项和S n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝1，＝，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和：a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________；b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________；c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________；d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝________；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．自我检测1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项的和为________．2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________.3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x 的不等式x 2－x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一求通项公式例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n ＋1，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．探究点二裂项相消法求和例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n 项和．探究点三错位相减法求和例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *)．(1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ；(2)当q ＝1415时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n .分类讨论思想例 (5分)二次函数f (x )＝x 2＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3＋3n 2g (n )(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)n －1a n ＝______________________.答案 (－1)n －1n (n ＋1)2解析当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *)时，函数f (x )＝x 2＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2＋n ，n 2＋3n ＋2](n ∈N *)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *)，于是a n ＝2n 3＋3n2g (n )＝n 2.当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋(2n －1)2·n 2＝－n (n ＋1)2；当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n＝S n －1＋a n ＝－n (n －1)2＋n 2＝n (n ＋1)2，∴S n ＝(－1)n －1n (n ＋1)2.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·广东)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝________.2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S nTn＝7n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________. 3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1a n a n ＋1(n ≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5＝________.5．(2011.南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，...，1＋2＋22＋ (2)－1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是________． 6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________.7．(原创题)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)． (1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列；(2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *)，a 2＝6.(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式；(2)证明1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<18.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1) (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .答案自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测1．22 2.32 3.15 4.8 5.919 课堂活动区例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解(1)由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＝7(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1. (2)由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2. 变式迁移1 4解析设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28＝256，故(4)正确．例2 解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )．(3)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13 ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0012对一切n ∈N *成立．即9n 2n ＋1<m －2 0012，又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，且9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥92，即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎨⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.② ∴①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，即2n ＋1－n ·2n ＋1－2＋n ·2n ＋1＋m ·2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1对任意正整数n ，m <12n －1恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]．例3 解依题意，第1个月月余款为a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300，依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n －300.下面构造一等比数列．设a n ＋1＋x a n ＋x＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300.∴x ＝－5 0003，即a n ＋1－5 0003a n －5 0003＝1.18.∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 0003＝29 5003.∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1，∴a 12－5 0003＝29 5003×1.1811，∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811≈62 396.6(元)，即到年底该职工共有资金62 396.6元．纯收入有a 12－10 000(1＋25%)＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }，由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n ，令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，即50n ＋200>400·(1.08)n －1·0.85. 当n ＝5时，a 5<0.85b 5，当n ＝6时，a 6>0.85b 6，∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.课后练习区1．3＋22 2.② 3.991 4．7解析设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.5．64解析依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2an＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.6．3解析该题是数列知识与函数知识的综合．a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝5·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1－252－45，显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.7．21解析 y ′＝(x 2)′＝2x ，则过点(a k ，a 2k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )，∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .故{a n }是a 1＝16，q ＝12的等比数列，即a n ＝16×(12)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 8．107解析由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .…………………………………………………(1分)a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227；又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 ＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分)∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分)又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分)当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又当n ＝1时，也适合上式，∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.……………………………………………(12分) 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009， ∴满足T n > 1 0002 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)10．解设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]＝43n －n 2，………………………………………………………………………………(5分)当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132－1＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分)∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2＋38n －594，令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)11．(1)解令x ＝n ，y ＝1，得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分)∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列，即f (n )＝(12)n .………………………………………………………………………………(5分)(2)证明记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12)n ，……………………………………………………………………(6分)∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12)n ，12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12)n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12)n ＋1，整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12)n <2.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分)(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f (n ＋1)f (n )＝(9－n )(12)n ＋1(12)n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；当n >9时，b n <0，∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案25

学案33二元一次不等式与简单的线性规划问题导学目标： 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．自主梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)．对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0(或<0)，无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域；②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0________的区域．(2)画不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：直线定“界”、原点定“域”．2．线性规划的有关概念(1)线性约束条件——由条件列出一次不等式(或方程)组．(2)线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．(3)线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．(4)可行解：满足____________的解(x，y)．(5)可行域：所有________组成的集合．(6)最优解：使____________取得最大值或最小值的可行解．3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)作出目标函数的等值线．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．自我检测1．(2010·北京东城1月检测)在平面直角坐标系中，若点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是______________．2．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是________(填序号)．3．(2010·重庆改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x －y ≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为________．4．(2010·浙江改编)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________. 5．已知α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两个根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，则b －3a －1的最大值为________. 探究点一不等式组表示的平面区域例1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？变式迁移1 (2010·安庆模拟)在平面直角坐标系中，有两个区域M 、N ，M 是由三个不等式y ≥0，y ≤x 和y ≤2－x 确定的；N 是随t 变化的区域，它由不等式t ≤x ≤t ＋1 (0≤t ≤1)所确定．设M 、N 的公共部分的面积为f (t )，则f (t )＝______________.探究点二求目标函数的最值例2 (2010·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤3，x －y ≥－1，y ≥1，则目标函数z ＝4x ＋2y 的最大值为_________________________________________________________________．变式迁移2 (2010·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________和________．探究点三线性规划的实际应用例3 某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？变式迁移3 (2010·四川改编)某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大时，甲车间加工原料____箱，乙车间加工原料____箱．数形结合求最值例 (14分)变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；(2)设z ＝y x ，求z 的最小值；(3)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．【答题模板】解由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．[5分](1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z 3.当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z 3最小，z 最大．∴z max ＝4×5－3×2＝14.[8分](2)∵z ＝y x ＝y －0x －0，∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝25.[11分](3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.∴2≤z ≤29.[14分]【突破思维障碍】1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：画出可行域→明确目标函数z 的几何意义→结合图形找最优解→求目标函数的最值2．常见代数式的几何意义主要有以下几点： (1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)y x 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【易错点剖析】本题会出现对(2)(3)无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．1．在直角坐标系xOy 内，已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0与点P (x 0，y 0)，若Ax 0＋By 0＋C >0，则点P 在直线l 上方，若Ax 0＋By 0＋C <0，则点P 在直线l 下方．2．在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外任意取两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，若P 、Q 在直线l 的同一侧，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号；若P 、Q 在直线l 异侧，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．3．线性规划解决实际问题的步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·济南模拟)若点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是________．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为________．3．(2011·广东改编)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA→的最大值为______________．4．(2011·安徽改编)设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为________．5．(2011·四川改编)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z 等于________元．6．(2010·北京改编)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是________．7．(2010·长沙一中月考)已知实数x 、y 同时满足以下三个条件：①x －y ＋2≤0；②x ≥1；③x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是______________．8．(2010·湖南师大月考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －6≤0，x ＋y －3≥0，y ≤2表示的平面区域为M ，若函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象经过区域M ，则实数k 的取值范围是____________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？10．(14分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求：(1)z ＝x ＋2y －4的最大值；(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值；(3)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．11．(14分)预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？学案33 二元一次不等式与简单的线性规划问题答案自主梳理1．(1)①上方 ②下方 2.(4)线性约束条件 (5)可行解(6)目标函数 3.(3)最优解自我检测1．(1，＋∞) 2.③ 3.4 4.1 5.32课堂活动区例1 解题导引在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x ＝m 逐条分段统计．解 (1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]． (2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z . 当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点；当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点；当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点；当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点；当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．变式迁移1 －t 2＋t ＋12解析作出由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥0y ≤x y ≤2－x 组成的平面区域M ，即△AOE表示的平面区域，当t ＝0时，f (0)＝12×1×1＝12，当t ＝1时，f (1)＝12×1×1＝12，当0<t <1时，如图所示，所求面积为f (t )＝S △AOE －S △OBC －S △FDE ＝12×2×1－12t 2－12[2－(t ＋1)]2＝－t 2＋t ＋12，即f (t )＝－t 2＋t ＋12，此时f (0)＝12，f (1)＝12，综上可知f (t )＝－t 2＋t ＋12.例2 解题导引 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．2．线性目标函数z ＝ax ＋by 取最大值时的最优解与b 的正负有关，当b >0时，最优解是将直线ax ＋by ＝0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的，当b <0时，则是向下方平移．答案 10解析画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝4x ＋2y 可转化为y ＝－2x ＋z 2，作出直线y ＝－2x 并平移，显然当其过点A 时纵截距z 2最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝1 得A (2,1)，∴z max ＝10.变式迁移2 3 －11解析作出可行域如图所示．目标函数y ＝34x －14z ，则过B 、A 点时分别取到最大值与最小值．易求B (5,3)，A (3,5)．∴z max ＝3×5－4×3＝3，z min ＝3×3－4×5＝－11.例3 解题导引解线性规划应用问题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答．解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过点M 时，目标函数取得最大值．由方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．答该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．变式迁移3 15 55 解析设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤70，10x ＋6y ≤480，x ≥0，y ≥0.甲、乙两车间每天总获利为z ＝280x ＋200y . 画出可行域如图所示．点M (15,55)为直线x ＋y ＝70和直线10x ＋6y ＝480的交点，由图象知在点M (15,55)处z 取得最大值．课后练习区1．(－7,24) 2.1 3．4解析由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.4．2，－2解析 |x |＋|y |≤1表示的平面区域如图阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，作l 0：x ＋2y ＝0，把l 0向右上和左下平移，易知：当l 过点(0,1)时，z 有最大值z max ＝0＋2×1＝2；当l 过点(0，－1)时，z 有最小值z min ＝0＋2×(－1)＝－2. 5．4 900解析设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7，x ，y ∈N .设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．∴当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900(元)．6．(1,3] 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，6 8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 9．解设该儿童分别预订x ，y 个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z ＝2.5x ＋4y .(3分)可行域为⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋8y ≥64，6x ＋6y ≥42，6x ＋10y ≥54，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≥16，x ＋y ≥7，3x ＋5y ≥27，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .(8分)作出可行域如图所示：(12分)经试验发现，当x ＝4，y ＝3时，花费最少，为2.5×4＋4×3＝22(元)．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．(14分)10．解作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(5分)(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4>0，将点C (7,9)代入z 得最大值为21.(8分)(2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝92.(11分)(3)z ＝2×y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12连线的斜率的两倍，因此k QA ＝74，k QB ＝38，故z 的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，72.(14分)11．解设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，(2分)把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.(6分)由⎩⎪⎨⎪⎧ 50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752.所以B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752.(9分)所以满足条件的可行域是以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2007，2007、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752、 O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．(12分)由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．(14分)。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第7章学案32

第7章不等式、推理与证明学案32 不等关系及一元二次不等式导学目标：1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

3。

会解一元二次不等式并能应用一元二次不等式解决某些实际问题．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是____的不等式叫做一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a〉0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a〉0）的根有两相异实根x1,2＝错误!（x1〈x2）有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0a〉0(－∞，x1）∪（x2，＋∞）(－∞，－错误!)∪（－错误!，＋∞) a〈0（x1，x2）的解集自我检测1．(2010·广州一模)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1〈a<0，则p是q成立的________条件．2．设函数f(x）＝错误!则不等式f(x)〉f（1)的解集是________．3．（2011·上海改编）若a,b∈R，且ab〉0，则下列不等式中，恒成立的是________．(填序号)①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2错误!;③错误!＋错误!〉错误!；④错误!＋错误!≥2.4．已知f（x）＝ax2－x－c>0的解集为（－3，2)，则a＝________，c＝________。

5．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4〈0恒成立，则m的取值范围为________________．探究点一一元二次不等式的解法例1解下列不等式：（1）－x2＋2x－错误!〉0；(2)9x2－6x＋1≥0。

变式迁移1 解下列不等式：(1）2x2＋4x＋3〈0；（2)－3x2－2x＋8≤0；(3）8x－1≥16x2.探究点二含参数的一元二次不等式的解法例2已知常数a∈R，解关于x的不等式ax2－2x＋a〈0.变式迁移2 解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1〈0.探究点三一元二次不等式恒成立问题例3已知f（x)＝x2－2ax＋2 (a∈R),当x∈［－1，＋∞)时,f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．变式迁移3 (1)关于x的不等式错误!〈2对任意实数x恒成立,求实数m的取值范围．(2)若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．转化与化归思想与三个“二次”的关系例(14分)已知不等式ax2＋bx＋c〉0的解集为(α,β），且0<α<β，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．【答题模板】解由已知不等式的解集为（α，β）可得a<0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根,∴由根与系数的关系可得错误![4分]∵a<0，∴由②得c〈0,［6分]则cx2＋bx＋a<0可化为x2＋错误!x＋错误!>0.［8分］①÷②，得错误!＝错误!＝－错误!<0，由②得错误!＝错误!＝错误!·错误!〉0,∴错误!、错误!为方程x2＋错误!x＋错误!＝0的两根．［12分］∵0〈α〈β，∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x｜x<错误!或x> 1α}．［14分］【突破思维障碍】由ax2＋bx＋c>0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a<0，要求cx2＋bx＋a<0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负,由方程根与系数关系知错误!＝α·β>0,因a<0，∴c<0，从而知道cx2＋bx＋a〈0的解集是x大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集,需用已知量α，β代替参数c、b、a，需对不等式cx2＋bx＋a〈0两边同除c或a,用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次"的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即二次函数的零点．2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案4

第1章集合与常用逻辑用语学案1 集合的概念与运算导学目标：1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算．自主梳理1．集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．2．元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．3．集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．4．集合间的基本关系对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．若A⊆B，且在B中至少有一个元素x∈B，但x∉A，则A B(或B A)．若A⊆B且B⊆A，则A＝B.5．集合的运算及性质设集合A，B，则A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x ∈B}．设全集为S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}．A∩∅＝∅，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩B＝A⇔A⊆B.A∪∅＝A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪B＝B⇔A⊆B.A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U.自我检测1．(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号)．①M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}；②M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}；③M ＝{4,5}，N ＝{5,4}；④M ＝{1,2}，N ＝{(1,2)}．答案 ③2．(2009·辽宁改编)已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |－5<x <5}，则M ∩N ＝________.答案 {x |－3<x <5}解析画数轴，找出两个区间的公共部分即得M ∩N ＝{x |－3<x <5}．3．(2010·湖南)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2，m ，4}，A ∩B ＝{2,3}，则m ＝________.答案 3解析 ∵A ∩B ＝{2,3}，∴3∈B ，∴m ＝3.4．(2010·常州五校联考)集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N ＝________.答案 [－1,3]解析 ∵y ＝x 2－1≥－1，∴M ＝[－1，＋∞)．又∵y ＝9－x 2，∴9－x 2≥0.∴N ＝[－3,3]．∴M ∩N ＝[－1,3]．5．已知集合A ＝{1，3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝________.答案－1或2解析由a 2－a ＋1＝3，∴a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a ＝－1或2.探究点一集合的基本概念例1 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }，求b －a 的值．解题导引解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解由{1，a ＋b ，a }＝{0，b a ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1① 或⎩⎨⎧ a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解． ∴b －a ＝2.变式迁移1 设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .解由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 探究点二集合间的关系例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？解题导引一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式迁移2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________．答案 P Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0. ∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P Q .探究点三集合的运算例3 设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解题导引解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性．解 (1)A ＝{x |12≤x ≤3}．当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}．当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，a 的取值范围为a ≥－14.变式迁移3 已知A ＝{x ||x －a |<4}，B ＝{x ||x －2|>3}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，A ＝{x |－3<x <5}，B ＝{x |x <－1或x >5}．∴A ∩B ＝{x |－3<x <－1}．(2)∵A ＝{x |a －4<x <a ＋4}，B ＝{x |x <－1或x >5}，且A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4<－1a ＋4>5⇒1<a <3. ∴实数a 的取值范围是(1,3)．分类讨论思想在集合中的应用例 (14分)(1)若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可取值组成的集合；(2)若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，求由m 的可取值组成的集合．【答题模板】解 (1)P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；[2分]当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a ,[4分]为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.[6分]故所求集合为{0，13，－12}．[7分](2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；[9分] 若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.[13分] 故m <2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．[14分]【突破思维障碍】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论，分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．【易错点剖析】(1)容易忽略a ＝0时，S ＝∅这种情况．(2)想当然认为m ＋1<2m －1忽略“>”或“＝”两种情况．解答集合问题时应注意五点：1．注意集合中元素的性质——互异性的应用，解答时注意检验．2．注意描述法给出的集合的元素．如{y |y ＝2x }，{x |y ＝2x }，{(x ，y )|y ＝2x }表示不同的集合．3．注意∅的特殊性．在利用A ⊆B 解题时，应对A 是否为∅进行讨论．4．注意数形结合思想的应用．在进行集合运算时要尽可能借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，一般地，集合元素离散时用Venn 图表示，元素连续时用数轴表示，同时注意端点的取舍．5．注意补集思想的应用．在解决A ∩B ≠∅时，可以利用补集思想，先研究A ∩B ＝∅.的情况,然后取补集.(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·北京改编)集合P ＝{x ∈Z |0≤x <3}，M ＝{x ∈Z |x 2≤9}，则P ∩M ＝________.答案 {0,1,2}解析由题意知：P ＝{0,1,2}，M ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}．2．(2011·南京模拟)设P 、Q 为两个非空集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q ＝________________.答案 {1,2,3,4,6,7,8,11}解析 P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．3．满足{1} A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________．答案 3解析 A ＝{1}∪B ，其中B 为{2,3}的子集，且B 非空，显然这样的集合A 有3个，即A ＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．4．(2010·天津改编)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x |1<x <5，x ∈R }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是______________．答案 a ≤0或a ≥6解析由|x －a |<1得－1<x －a <1，即a －1<x <a ＋1.由图可知a ＋1≤1或a －1≥5，所以a ≤0或a ≥6.5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则如图中阴影部分所表示的集合是________．答案 {x |1<x ≤2}解析题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M 为{x |x >2或x <－2}，集合N 为 {x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．6．(2011·泰州模拟)设集合A ＝{1,2}，则满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数为________．答案 4解析由题意知B 的元素至少含有3，因此集合B 可能为{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝______________. 答案 {2,4,6,8}解析 A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A ∩(∁U B )＝{1,3,5,7,9}，∴B ＝{2,4,6,8}．8．(2010·江苏)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝____.答案 1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.二、解答题(共42分)9．(14分)集合A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}，B ＝{x |x 2＋3x >0}，求A ∪B 和A ∩B .解 ∵A ＝{x |x 2＋5x －6≤0}＝{x |－6≤x ≤1}．(3分)B ＝{x |x 2＋3x >0}＝{x |x <－3或x >0}．(6分) 如图所示，∴A ∪B ＝{x |－6≤x ≤1}∪{x |x <－3或x >0}＝R .(10分) A ∩B ＝{x |－6≤x ≤1}∩{x |x <－3或x >0}＝{x |－6≤x <－3，或0<x ≤1}．(14分)10．(14分)(2011·南通模拟)已知集合A ＝{x |0<ax ＋1≤5}，集合B＝{x |－12<x ≤2}．若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，显然B ⊆A ；(2分)当a <0时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ≤－12，－1a >2，(6分)∴⎩⎨⎧ a ≥－8，a >－12.∴－12<a <0；(8分)当a >0时，如图，若B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≤－12，4a ≥2，(11分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≤2.∴0<a ≤2.(13分) 综上知，当B ⊆A 时，－12<a ≤2.(14分)11．(14分)已知集合A ＝{x |x －5x ＋1≤0}，B ＝{x |x 2－2x －m <0}， (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解由x －5x ＋1≤0，所以－1<x ≤5，所以A ＝{x |－1<x ≤5}．(3分)(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，(6分)所以A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(10分)(2)因为A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，(12分)所以有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.(14分)。

2014届高三数学一轮复习导学案：等差等比数列

2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是；
3、等比数列中，已知
则；
4、已知是数列的前项和，且，则 =；
5、已知等比数列的公比为，前项和为，且成等差数列，则
6、能使为等差数列的序号是____________
① 为等比数列；②前项和；③
7.已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的公比为项数为
课外作业——等差等比数列姓名：
1.等差数列中, =2700,则
2.等比数列中，已知，则此数列的前17项之积为
3.各项都是正数的等比数列中,公比q=2,且 = ，则的值为____________
4、已知，等差数列的公差为，若，则
5、已知数列为等差数列，公差中的部分项恰成等比数列，其中
三：课堂研讨
例1、数列中，是它的前n项和，且
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）设求证数列是等差数列；（3）求数列的通项公式及前n项和公式。
例2、{an}是等比数列，a1=2，a3=18；{bn}是等差数列，
b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3＞20
（1）求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{bn}的前n项和Sn的公式；
(3)若(2)中的数列{b比数列姓名：
1、等差数列中，
则；
2、已知是数列的前项和，且，则 =；
3、设是公比为的等比数列, , .若数列有连续四项在集合中，则
4、已知等比数列各项为实数，且公比为q，前n项和为，且成等差数列，（1）求q的值；（2）求证：成等差数列

2014届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第三篇--导数及其应用-第2讲-导数的应用(

2014届高考创新方案一轮复习教案(新课标版)(数学理)第三篇--导数及其应用-第2讲-导数的应用(一)第2讲导数的应用(一)【2013年高考会这样考】1．利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．2．由函数单调性和导数的关系，求参数的范围．基础梳理1．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线l的斜率，切线l的方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为s＝f(t)，则f′(t0)是物体运动在t＝t0时刻的瞬时速度．3．函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递增；f′(x)≤0⇔函数f(x)在(a，b)上单调递减．易误警示直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．由f′(x)＞0解得x＜0，或x＞2.答案(－∞，0)，(2，＋∞)考向一求曲线切线的方程【例1】►已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[审题视点] 由导数几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解(1)f′(x)＝3x2－8x＋5f′(2)＝1，又f(2)＝－2∴曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)f′(x0)＝3x20－8x0＋5则切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过(x0，x30－4x20＋5x0－4)点，则x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2，或x0＝1，因此经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.首先要分清是求曲线y＝f(x)在某处的切线还是求过某点曲线的切线．(1)求曲线y ＝f(x)在x＝x0处的切线方程可先求f′(x0)，利用点斜式写出所求切线方程；(2)求过某点的曲线的切线方程要先设切点坐标，求出切点坐标后再写切线方程．【训练1】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．解设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)则y0＝kx0，①y0＝x30－3x20＋2x0，②又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x20－6x0＋2，③由①②③得：(3x 20－6x 0＋2)x 0＝x 30－3x 20＋2x 0，即(2x 0－3)x 20＝0.∴x 0＝0或x 0＝32，∴k ＝2或k ＝－14.考向二函数的单调性与导数【例2】►已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间．[审题视点] 函数单调的充要条件是f ′(x )≥0或f ′(x )≤0且不恒等于0. 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 －13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值∴当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13，[3，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，3时，f (x )单调递减．函数在指定区间上单调递增(减)，函数在这个区间上的导数大于或等于0(小于或等于0)，只要不在一段连续区间上恒等于0即可，求函数的单调区间解f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)即可．【训练2】已知函数f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．(2)由f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a＝e3时f′(x)＝e x－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3.故存在实数a≥e3，使f(x)在(－2,3)上单调递减．考向三利用导数解决不等式问题【例3】►设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a＞ln 2－1且x＞0时，e x＞x2－2ax＋1.[审题视点] 第(2)问构造函数h(x)＝e x－x2＋2ax－1，利用函数的单调性解决．(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表.单调递减单调递增故f(x)f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a＞ln 2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)＞0.于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a＞ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0.即e x－x2＋2ax－1＞0，故e x＞x2－2ax＋1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对∀x∈[a，b]都有f(x)≥g(x)，可设h(x)＝f(x)－g(x)只要利用导数说明h(x)在[a，b]上的最小值为0即可．【训练3】已知m∈R，函数f(x)＝(x2＋mx＋m)e x(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围；(2)当m＝0时，求证f(x)≥x2＋x3.(1)解由已知条件f(x)＝0无解，即x2＋mx＋m＝0无实根，则Δ＝m2－4m<0，解得0<m<4，实数m的取值范围是(0,4)(2)证明当m＝0时，f(x)＝x2e x设g(x)＝e x－x－1，∴g′(x)＝e x－1，g(x)，g′(x)随x变化情况如下：x (－∞，0)0(0，＋∞)g′(x)－0＋g(x)0由此可知对于x∈R，即e x－x－1≥0，因此x2(e x－x－1)≥0，整理得x2e x≥x3＋x2，即f(x)≥x3＋x2.阅卷报告2——书写不规范失分【问题诊断】利用导数求解函数的单调区间是高考的热点内容，这类问题求解并不难，即只需由f′(x)＞0或f′(x)＜0，求其解即得.但在求解时会因书写不规范而导致失分.【防范措施】对于含有两个或两个以上的单调增区间(或单调减区间)，中间用“，”或“和”连接，而不能用符号“∪”连接.【示例】►设函数f(x)＝x(e x－1)－12x2，求函数f(x)的单调增区间．错因结论书写不正确，也就是说不能用符号“∪”连接，应为(－∞，－1)和(0，＋∞)实录f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)·(x＋1)，令f′(x)＞0得，x＜－1或x＞0.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．正解因为f(x)＝x(e x－1)－12x 2，所以f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)·(x＋1)．令f′(x)＞0，即(e x－1)(x＋1)＞0，得x＜－1或x＞0.所以函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝e x·f(x)的单调区间．[尝试解答]f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因为x＝2是函数y＝f(x)的极值点．所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，经验证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，所以g(x)＝e x(x3－3x2)，g′(x)＝e x(x3－3x2＋3x2－6x) ＝e x(x3－6x)＝x(x＋6)(x－6)e x. 因为e x＞0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－6，0)和(6，＋∞)；单调减区间是(－∞，－6)和(0，6)．。

2014届高考理科数学第一轮复习导学案63

学案65随机变量的均值和方差导学目标： 1.理解随机变量均值、方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．自主梳理1．离散型随机变量的均值与方差(1)均值μ＝E(X)＝________________________________为随机变量X的均值或______________，它反映了离散型随机变量取值的____________．(2)方差σ2＝V(X)＝_________________________________＝∑nx2i p i－μ2为i＝1随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的______________，其________________________为随机变量X的标准差，即σ＝V(x).2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝________.(2)V(aX＋b)＝________(a，b为实数)．3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，V(X)＝____________________________________.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，V(X)＝________.自我检测1．若随机变量2.，V(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________和________．3．(2010·课标全国改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．4．(2011·浙江)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.5．随机变量ξ其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝3，则V(ξ)＝________.探究点一离散型随机变量的期望与方差的求法例1袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布、期望和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，试求a，b的值．变式迁移1编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.(1)求随机变量X的概率分布；(2)求随机变量X的数学期望和方差．探究点二二项分布的期望与方差例2 A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ，另2只服用B ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B 有效的概率为12.(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的概率分布和数学期望．变式迁移2 (2010·泰州模拟)在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功，每次射击命中率都是23，每次命中与否互相独立．(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．探究点三离散型随机变量期望与方差的实际应用例3购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元)．变式迁移3(2010·江苏)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．1．若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，V(η)＝a2V(ξ)．2．若ξ～B(n，p)，则E(ξ)＝np，V(ξ)＝np(1－p)．3．求离散型随机变量的期望与方差的常用方法有：(1)已知随机变量的概率分布求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量，是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·福州质检)已知某一随机变量ξ的概率分布如下，且E(ξ)＝6.3，则a的值为2.设ξ～B(n，p)4，则n、p的值分别为________________．3．随机变量X则E(5X＋4)＝4．(2010·成都毕业班第一次诊断)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ为“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)＝________.5．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.6．设离散型随机变量X 的可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3,4)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.7．(2010·辽宁改编)两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为________．8．(2010·重庆)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2011·江西)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一次测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的概率分布；(2)求此员工月工资的期望．10．(14分)(2011·山东)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的概率分布和数学期望E (ξ)．11．(14分)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)．设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ，对乙项目投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量ξ1、ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润．(1)求ξ1、ξ2的概率分布和数学期望E (ξ1)、E (ξ2)；(2)当E (ξ1)<E (ξ2)时，求p 的取值范围．学案65 随机变量的均值和方差答案自主梳理1．(1)x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 数学期望平均水平(2)(x 1－μ)2p 1＋(x 2－μ)2p 2＋…＋(x n －μ)2p n 平均偏离程度算术平方根V (X ) 2.(1)aE (X )＋b(2)a 2V (X ) 3.(1)p p (1－p ) (2)np np (1－p )自我检测1．209 2．6 0.4 3．2004．53解析由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量XE (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.5．59解析由⎩⎨⎧ 2b ＝a ＋c a ＋b ＋c ＝1－a ＋c ＝13 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝16b ＝13c ＝12，故V (ξ)＝(－1－13)2·16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.课堂活动区例1 解题导引要求期望，需先求出概率分布，要求概率分布，需先求随机变量取每个值的概率，而求概率离不开常见事件概率的计算方法．第(2)小题注意性质E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ，V (aξ＋b )＝a 2V (ξ)的应用．解 (1)ξ∴E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.V (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由V (η)＝a 2V (ξ)，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2.又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4.变式迁移1 解 (1)P (X ＝0)＝2A 33＝13； P (X ＝1)＝C 13A 33＝12；P (X ＝3)＝1A 33＝16. ∴随机变量X(2)E (X )＝0×13＋1×12＋3×16＝1.V (X )＝(1－0)2×13＋(1－1)2×12＋(3－1)2×16＝1.例2 解题导引 (1)准确理解事件“甲类组”的含义，把“甲类组”这一复杂事件用几个互斥的基本事件的和来表示；(2)第(2)小题首先判断随机变量ξ服从二项分布，再求其概率分布和均值．解 (1)设A i 表示事件“一个试验组中，服用A 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2，B i 表示事件“一个试验组中，服用B 有效的小白鼠有i 只”，i ＝0,1,2.依题意有P (A 1)＝2×13×23＝49，P (A 2)＝23×23＝49.P (B 0)＝12×12＝14，P (B 1)＝2×12×12＝12.所求的概率为P ＝P (B 0A 1)＋P (B 0A 2)＋P (B 1A 2)＝14×49＋14×49＋12×49＝49.(2)ξ的可能值为0,1,2,3，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，49. P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593＝125729， P (ξ＝1)＝C 13×49×⎝ ⎛⎭⎪⎫592＝100243， P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫492×59＝80243， P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫493＝64729. ξ的概率分布为数学期望E (ξ)＝0×125729＋1×100243＋2×80243＋3×64729＝43.变式迁移2 解 (1)记“油罐被引爆”为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )＝C 15(23)(13)4＋(13)5， ∴P (A )＝1－[C 15(23)(13)4＋(13)5]＝232243. 故油罐被引爆的概率为232243.(2)射击次数ξ的可能取值为2,3,4,5，P (ξ＝2)＝(23)2＝49， P (ξ＝3)＝C 12×23×13×23＝827，P (ξ＝4)＝C 13×23×(13)2×23＝427，P (ξ＝5)＝C 14×(23)(13)3＋(13)4＝19.故ξE (ξ)＝2×49＋3×827＋4×427＋5×19＝7927.例3 解题导引各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，投保人中出险人数ξ～B (104，p )，进而利用二项分布的有关性质求解．解各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B (104，p )．(1)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当ξ＝0，P (A )＝1－P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )104，又P (A )＝1－0.999104，故p ＝0.001.(2)该险种总收入为10 000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和．支出10 000ξ＋50 000.盈利η＝10 000a －(10 000ξ＋50 000)，盈利的期望为E (η)＝10 000a －10 000E (ξ)－50 000，由ξ～B (104,10－3)知， E (ξ)＝10 000×10－3，E (η)＝104a －104E (ξ)－5×104 ＝104a －104×104×10－3－5×104. E (η)≥0⇔104a －104×10－5×104≥0 ⇔a －10－5≥0⇔a ≥15(元)．故每位投保人应交纳的最低保费为15元．变式迁移3 解 (1)由题意知，X 的可能取值为10,5,2，－3. P (X ＝10)＝0.8×0.9＝0.72， P (X ＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P (X ＝2)＝0.8×0.1＝0.08， P (X ＝－3)＝0.2×0.1＝0.02，所以X(2)设生产的4n ∈N *)件，则二等品有(4－n )件．由题设知4n －(4－n )≥10，解得n ≥145. 又n ∈N *，得n ＝3或n ＝4.所以P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 故所求概率为0.819 2. 课后练习区1．7 2．18，23 3．15 4．89 5．2解析设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2. 6.1107．512解析设事件A ：“一个实习生加工一等品”，事件B ：“另一个实习生加工一等品”，由于A 、B 相互独立，则恰有一个一等品的概率P ＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝23×14＋13×34＝512. 8．35解析设此队员每次罚球的命中率为p ，则1－p 2＝1625，∴p ＝35.9．解 (1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4. (2分)P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)．(4分)即(7分)(2)令Y 表示此员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100，2 800,3 500. (9分)则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170，P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835，P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝5370.E (Y )＝3 500×170＋2 800×835＋2 100×5370＝2 280. (12分)所以此员工月工资的期望为2 280元． (14分)10．解 (1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A ，乙不胜B ，丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(2分)红队至少两人获胜的事件有：DE F，D E F，D EF，DEF.由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，(4分)因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE F)＋P(D E F)＋P(D EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (7分)(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.(9分)又由(1)知D E F，D E F，D E F是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，(11分) 因此P(ξ＝0)＝P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(D E F)＋P(D E F)＋P(D E F)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.(12分)所以ξ因此E(ξ)＝0×＝1.6.(14分)11．解(1)ξ1的概率分布为E (ξ1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.(3分)由题设得ξ～(5分)故ξ2所以ξ22×2p (1－p )＋0.2×p 2＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3. (8分)(2)由E (ξ1)<E (ξ2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18，整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3. 因为0<p <1，所以，当E (ξ1)<E (ξ2)时，p 的取值范围是0<p <0.3. (14分)。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章学案14

学案14 导数在研究函数中的应用导学目标：1。

了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次）。

2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）及最大(最小)值．自主梳理1．导数和函数单调性的关系：（1)对于函数y＝f（x)，如果在某区间上f′(x）〉0，那么f(x)为该区间上的________；如果在某区间上f′（x）〈0，那么f（x）为该区间上的________．（2）若在(a,b)的任意子区间内f′(x）都不恒等于0,f′（x）≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a,b）上,f′（x)≤0，⇔f（x)在(a，b)上为____函数．2．函数的极值（1）判断f（x0）是极值的方法一般地，当函数f（x）在点x0处连续时,①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f（x0）是极大值；②如果在x0附近的左侧________，右侧________,那么f（x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x）；②求方程________的根;③检查f′(x）在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得________;如果左负右正，那么f(x）在这个根处取得________．3．求函数y＝f（x）在［a，b］上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y＝f（x）在（a，b）上的________；(2）将函数y＝f（x）的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．自我检测1．(2010·济宁一模)已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则关于y＝f（x)下列说法正确的是________(填序号）．①在（－∞，0)上为减函数；②在x＝0处取极小值；③在(4，＋∞）上为减函数；④在x＝2处取极大值．2．（2009·广东改编)函数f(x）＝（x－3）e x的单调递增区间为______________．3．函数f(x）＝x3＋ax－2在区间（1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围为______________．4．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：m≥错误!,则p是q的________条件．5．(2010·福州模拟）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10,则f（2)＝________.探究点一函数的单调性例1 已知a∈R，函数f（x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R,e为自然对数的底数)．（1）当a＝2时，求函数f（x)的单调递增区间;(2）若函数f(x)在（－1,1）上单调递增,求a的取值范围;(3)函数f（x)能否为R上的单调函数，若能，求出a的取值范围;若不能，请说明理由．变式迁移1 （2009·浙江)已知函数f(x）＝x3＋（1－a)x2－a(a ＋2)x＋b（a，b∈R)．(1）若函数f（x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；(2）若函数f(x)在区间（－1，1)上不单调，求a的取值范围．探究点二函数的极值例2 若函数f（x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x)有极值－错误!。

2014届高考理科数学第一轮复习导学案51

学案53 曲线与方程导学目标：了解曲线的方程与方程的曲线的对应法则．自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标；(2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．(2011·江西改编)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N .求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C的方程．分类讨论思想例 (14分) 过定点A (a ，b )任作互相垂直的两直线l 1与l 2，且l 1与x 轴交于点M ，l 2与y 轴交于点N ，如图所示，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．多角度审题要求点P 坐标，必须先求M 、N 两点，这样就要求直线l 1、l 2，又l 1、l 2过定点且垂直，只要l 1的斜率存在，设一参数k 1即可求出P 点坐标，再消去k 1即得点P 轨迹方程．【答题模板】解 (1)当l 1不平行于y 轴时，设l 1的斜率为k 1，则k 1≠0.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k 1， [2分]l 1的方程为y －b ＝k 1(x －a )， ①[4分]l 2的方程为y －b ＝－1k 1(x －a )， ②[6分]在①中令y ＝0，得M 点的横坐标为x 1＝a －bk 1， [8分]在②中令x ＝0，得N 点的纵坐标为y 1＝b ＋ak 1， [10分]设MN 中点P 的坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－b 2k 1，y ＝b 2＋a 2k 1，消去k 1，得2ax ＋2by －a 2－b 2＝0 (x ≠a2)．③[12分](2)当l 1平行于y 轴时，MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，其坐标满足方程③.综合(1)(2)知所求MN 中点P 的轨迹方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0. [14分]【突破思维障碍】引进l 1的斜率k 1作参数，写出l 1、l 2的直线方程，求出M 、N 的坐标，求出点P 的坐标，得参数方程，消参化为普通方程，本题还要注意直线l 1的斜率是否存在．【易错点剖析】当AM ⊥x 轴时，AM 的斜率不存在，此时MN 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，易错点是把斜率不存在的情况忽略，因而丢掉点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2.1．求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法．用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点，列式，代换，化简，证明五个步骤，但最后的证明可以省略．(2)定义法：运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义)，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程．(3)代入法：动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x′，y′)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法．(4)参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程．2．本节易错点：(1)容易忽略直线斜率不存在的情况；(2)利用定义求曲线方程时，应考虑是否符合曲线的定义．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆的一个动点，如果M是线段F1P的中点，则动点M的轨迹是___________________________________________________________ ______．2．已知A、B是两个定点，且AB＝3，CB－CA＝2，则点C的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动，AC→＝2CB→，则点C的轨迹方程为____________．4．(2011·淮安模拟)如图，圆O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)为两个定点．直线l是圆O的一条切线，若经过A、B两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P是椭圆x216＋y29＝1上的动点，作PD⊥y轴，D为垂足，则PD中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A ，B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于点M ，求点M 的轨迹方程．10．(14分)(2009·宁夏、海南)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的一点，OPOM ＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．11．(14分)在平面直角坐标系xOy 中，有一个以F 1(0，－3)和F 2(0，3)为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 轴，y 轴的交点分别为A ，B ，且OM→＝OA →＋OB →.求： (1)点M 的轨迹方程； (2)|OM →|的最小值．学案53 曲线与方程答案自我检测1．8x 2－2y －1＝0 2.双曲线的右支 3.y 2－x248＝1(y ≤－1) 4．x 2＋y 2＝95．(－33，0)∪(0，33)解析 C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意，则－33<m <0或0<m <33.综上知－33<m <0或0<m <33. 课堂活动区例1 解题导引 ①在判断含参数的方程所表示的曲线类型时，不能仅仅根据方程的外表草率地作出判断；②由于已知条件中，直线P A 、PB 的斜率存在，因此轨迹曲线应除去A 、B 两点；③一般地，方程x 2A ＋y 2B ＝1所表示的曲线有以下几种情况： 1° A >B >0，表示焦点在x 轴上的椭圆； 2° A ＝B >0，表示圆； 3° 0<A <B ，表示焦点在y 轴上的椭圆； 4° A >0>B ，表示焦点在x 轴上的双曲线； 5° A <0<B ，表示焦点在y 轴上的双曲线； 6° A ，B <0，无轨迹．解设点P (x ，y )，则k AP ＝y x －a ，k BP ＝yx ＋a.由题意得y x －a ·yx ＋a＝k ，即kx 2－y 2＝ka 2.∴点P 的轨迹方程为kx 2－y 2＝ka 2 (x ≠±a )．(*)(1)当k ＝0时，(*)式即y ＝0，点P 的轨迹是直线AB (除去A 、B 两点)．(2)当k ≠0时，(*)式即x 2a 2－y 2ka 2＝1， ①若k >0，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线(除去A 、B 两点)．②若k <0，(*)式可化为x 2a 2＋y2(－ka 2)＝1.1° 当－1<k <0时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)；2° 当k ＝－1时，(*)式即x 2＋y 2＝a 2，点P 的轨迹是以原点为圆心，|a |为半径的圆(除去A 、B 两点)；3° 当k <－1时，点P 的轨迹是焦点在y 轴上的椭圆(除去A 、B 两点)．变式迁移1 y 2＝－8x解析由题意：MN →＝(4,0)，MP →＝(x ＋2，y )， NP→＝(x －2，y )， ∵|MN →||MP →|＋MN →·NP→＝0， ∴42＋02·(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)·4＋y ·0＝0，移项两边平方，化简得y 2＝－8x .例2 解题导引 (1)由于动点M 到两定点O 1、O 2的距离的差为常数，故应考虑是否符合双曲线的定义，是双曲线的一支还是两支，能否确定实轴长和虚轴长等，以便直接写出其方程，而不需再将几何等式借助坐标转化；(2)求动点的轨迹或轨迹方程时需注意：“轨迹”和“轨迹方程”是两个不同的概念，前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．解如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系．由O 1O 2＝4，得O 1(－2,0)、O 2(2,0)．设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1＝r －1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2＝r ＋2. ∴MO 2－MO 1＝3<4. ∴点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支．∴a ＝32，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝74.∴点M 的轨迹方程为4x 29－4y 27＝1 (x <0)．变式迁移2 16x 2a 2－16y 23a 2＝1 (x >a4)解析 ∵sin C －sin B ＝12sin A ，由正弦定理得到AB －AC ＝12BC ＝12a (定值)．∴A 点轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线右支，其中实半轴长为a4，焦距为BC ＝a .∴虚半轴长为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 42＝34a ，由双曲线标准方程得为16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >a4)．例3 解题导引相关点法也叫坐标转移(代入)法，是求轨迹方程常用的方法．其题目特征是：点A 的运动与点B 的运动相关，且点B 的运动有规律(有方程)，只需将A 的坐标转移到B 的坐标中，整理即可得点A 的轨迹方程．解设动点P 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 1，y 1)，则点N 的坐标为(2x －x 1,2y －y 1)．∵N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 1＋2y －y 1＝2. ① 又∵PQ 垂直于直线x ＋y ＝2， ∴y －y 1x －x 1＝1，即x －y ＋y 1－x 1＝0. ② 联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32x ＋12y －1，y 1＝12x ＋32y －1.③又点Q 在双曲线x 2－y 2＝1上， ∴x 21－y 21＝1.④③代入④，得动点P 的轨迹方程是 2x 2－2y 2－2x ＋2y －1＝0.变式迁移3 解设A (x 0,0)，B (0，y 0)，P (x ，y )，AP →＝22PB →，又AP→＝(x －x 0，y )，PB →＝(－x ，y 0－y )，所以x －x 0＝－22x ，y ＝22(y 0－y )得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x ，y 0＝(1＋2)y .因为AB ＝1＋2，即x 20＋y 20＝(1＋2)2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1＋22x 2＋[(1＋2)y ]2＝(1＋2)2，化简得x 22＋y 2＝1.∴点P 的轨迹方程为x 22＋y 2＝1.课后练习区1．以F 1、O 为焦点的椭圆2．双曲线的一支解析 A 、B 是两个定点，CB －CA ＝2<AB ，所以点C 轨迹为双曲线的一支．3．x 2＋y 24＝1解析设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9， ① 又AC→＝2CB →，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎨⎧ a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得x 2＋y 24＝1.4．椭圆解析设抛物线的焦点为F ，因为A 、B 在抛物线上，所以由抛物线的定义知，A 、B 到F 的距离AF 、BF 分别等于A 、B 到准线l 的距离AM 、BN (如图所示)，于是AF ＋BF ＝AM ＋BN .过O 作OR ⊥l ，由于l 是圆O 的一条切线，所以四边形AMNB 是直角梯形，OR 是中位线，故有AF ＋BF ＝AM ＋BN＝2OR ＝8>4＝AB .根据椭圆的定义知，焦点F 的轨迹是一个椭圆．5.x 24＋y 29＝1解析设PD 中点为M (x ，y )，则P 点坐标为(2x ，y )，代入方程x 216＋y 29＝1，即得x 24＋y 29＝1.6．4π解析设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4，可知圆的面积为4π.7．(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0)解析方法一直接法．设A (x ，y )，y ≠0，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2， ∴CD ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋y 24＝3. 化简得(x －10)2＋y 2＝36，∵A 、B 、C 三点构成三角形，∴A 不能落在x 轴上，即y ≠0.方法二定义法．如图所示，设A (x ，y )，D 为AB 的中点，过A 作AE ∥CD 交x 轴于E ，则E (10,0)．∵CD ＝3，∴AE ＝6，∴A 到E 的距离为常数6.∴A 的轨迹为以E 为圆心，6为半径的圆，即(x －10)2＋y 2＝36.又A 、B 、C 不共线，故A 点纵坐标y ≠0.故A 点轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36 (y ≠0)．8．y 2＝8x9．解设M (x ，y )，直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由OM ⊥AB 得k ＝－x y .设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由y 2＝4px 及y ＝kx ＋b 消去y ，得k 2x 2＋x (2kb －4p )＋b 2＝0，所以x 1x 2＝b 2k 2.消去x ，得ky 2－4py ＋4pb ＝0，所以y 1y 2＝4pb k . (6分)由OA ⊥OB ，得y 1y 2＝－x 1x 2，所以4pb k ＝－b 2k 2，b ＝－4kp .故y ＝kx ＋b ＝k (x －4p )． (10分)用k ＝－x y 代入，得x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)． (12分)AB 斜率不存在时，经验证也符合上式．故M 的轨迹方程为x 2＋y 2－4px ＝0 (x ≠0)． (14分)10．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a 、c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，c ＝3，又∵b 2＝a 2－c 2，∴b ＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1. (4分)(2)设M (x ，y )，其中x ∈[－4,4]，由已知OP 2OM 2＝λ2及点P 在椭圆C 上可得9x 2＋11216(x 2＋y 2)＝λ2，整理得(16λ2－9)x 2＋16λ2y 2＝112，其中x ∈[－4,4]． (5分)①当λ＝34时，化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)．轨迹是两条平行于x 轴的线段．(7分)②当λ≠34时，方程变形为x 211216λ2－9＋y 211216λ2＝1，其中x ∈[－4,4]．当0<λ<34时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足－4≤x ≤4的部分．当34<λ<1时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足－4≤x ≤4的部分；当λ≥1时，点M 的轨迹为中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆． (14分)11．解 (1)椭圆的方程可写为y 2a 2＋x 2b 2＝1，其中a >b >0，由⎩⎨⎧ a 2－b 2＝33a ＝32得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4b 2＝1，所以曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1(0<x <1,0<y <2)． (3分) y ＝21－x 2(0<x <1)，y ′＝－2x 1－x2. 设P (x 0，y 0)，因为P 在C 上，有0<x 0<1，y 0＝21－x 20，y ′|x ＝x 0＝－4x 0y 0，得切线AB 的方程为y ＝－4x 0y 0(x －x 0)＋y 0. (6分)设A (x,0)和B (0，y )，由切线方程得x ＝1x 0，y ＝4y 0. 由OM→＝OA →＋OB →得点M 的坐标为(x ，y )，由x 0，y 0满足C 的方程，得点M 的轨迹方程为1x 2＋4y 2＝1(x >1，y >2)． (10分)(2)|OM →|2＝x 2＋y 2，y 2＝41－1x 2＝4＋4x 2－1，所以|OM →|2＝x 2－1＋4x 2－1＋5≥4＋5＝9，当且仅当x 2－1＝4x 2－1，即x ＝3时，上式取等号．故|OM →|的最小值为3. (14分)。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第3章学案15

学案15导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性,并会根据函数的性质求参数范围。

2。

会利用导数解决某些实际问题．自主梳理1．已知函数单调性求参数值范围时,实质为恒成立问题．2．求函数单调区间，实质为解不等式问题，但解集一定为定义域的子集．3．实际应用问题:首先要充分理解题意,列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测1．函数f（x)＝x3－3ax－a在(0，1）内有最小值，则a的取值范围为________．2．（2011·扬州模拟)已知f（x），g(x)都是定义在R上的函数,g(x)≠0,f′（x)g（x）〈f(x)g′（x）,f(x)＝a x·g（x）（a〉0，且a≠1)，错误!＋错误!＝错误!，则a的值为____________．3．(2011·厦门质检)已知函数f（x)＝（m－2）x2＋(m2－4)x＋m 是偶函数,函数g（x)＝－x3＋2x2＋mx＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m为________．4．函数f（x）＝错误!e x(sin x＋cos x)在区间错误!上的值域为______________．5．f(x)＝x（x－c）2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一讨论函数的单调性例1 已知函数f(x）＝x2e－ax（a〉0)，求函数在[1，2］上的最大值．变式迁移1 设a〉0，函数f(x）＝错误!.(1）讨论f(x)的单调性；（2）求f(x)在区间[a，2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f（x）＝错误!x2－a ln x(a∈R),（1）求函数f（x）的单调区间；(2)求证：当x〉1时，错误!x2＋ln x<错误!x3。

变式迁移2 （2010·安徽）设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.（1)求f(x）的单调区间与极值;（2)求证：当a〉ln 2－1且x〉0时，e x〉x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12－x）2万件．（1）求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a）．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t（吨）满足函数关系x＝2 000错误!。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案33

学案42空间几何体的表面积和体积导学目标：1.了解球、柱、锥、台的表面积及体积的计算公式(不要求记忆).2.培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算．自主梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积2．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是________________．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于________________________________．自我检测1．一个长方体上一个顶点所在的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长为________．2．(教材改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．3．(教材改编)球的体积为3π2，一个正方体的顶点都在球面上，则正方体的体积为________．4．圆台的一个底面周长为另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面半径为_________________________________________________________．5．(2010·南京模拟)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为___________________________________________________________ _．探究点一多面体的表面积及体积例1三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为3，一条侧棱与底面相邻两边都成60°角，求此棱柱的侧面积与体积．变式迁移1已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都等于2，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则三棱柱的侧面面积为________．探究点二旋转体的表面积及体积例2如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积．变式迁移2直三棱柱ABC—A1B1C1的各顶点都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于________．探究点三割补法与等积变换法例3如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．变式迁移3 (1)如图所示，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分的母线长最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截下部分的体积是____________．(2)(2009·辽宁改编)正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为________．的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之．(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·东北育才学校三模)如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于________．2．(2009·陕西改编)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．3．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π3，则这个三棱柱的体积是________．4．(2010·南京联考)矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为________．5．(2010·全国改编)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．6．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P —ABCDEF ，则此正六棱锥的侧面积是________．7．(2010·苏州模拟)一块正方形薄铁片的边长为4 cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.8．(2010·湖北) 圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·徐州模拟) 如图组合体中，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面ABB1A1是圆柱的轴截面．点C是弧AB的中点，求四棱锥A1—BCC1B1与圆柱的体积比．10．(14分) (2010·抚顺模拟)如图，四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)试问该四面体的体积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时棱长AD的大小；若不存在，说明理由．11．(14分)(2011·南京模拟)如图，已知三棱锥P －ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，AB ＝20，D 为AB 中点，M 为PB 中点，且△PDB 是正三角形，P A ⊥PC .(1)求证：DM ∥平面P AC ；(2)求证：平面P AC ⊥平面ABC ； (3)求三棱锥M －BCD 的体积．学案42 空间几何体的表面积和体积答案自主梳理1．2πrh Sh πr 2h πrl 13Sh 13πr 2h π(r 1＋r 2)lCh Sh 12Ch ′ 13Sh 12(C ＋C ′)h ′ 4πR 243πR 3 2.(1)各面面积之和 (2)侧面积与底面面积之和自我检测 1.6 2.2 3．1解析设球半径为R ，则43πR 3＝3π2，R ＝32，∴正方体对角线长为3，棱长为1，体积为1.4．7解析设上、下底半径为r 、R ，则2πR ＝3·2πr ，即R ＝3r .又π(R ＋r )·l ＝84π，∴R ＋r ＝843＝28，∴r ＝7.5.212a 3解析设正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点E ，沿AC 折起后依题意得，当BD ＝a 时，BE ⊥DE ，所以DE ⊥平面ABC ，于是三棱锥D －ABC 的高为DE ＝22a ，所以三棱锥D －ABC 的体积V ＝13·12a 2·22a ＝212a 3. 课堂活动区例1 解题导引对于斜棱柱表面积及体积的求解必须求各个侧面的面积和棱柱的高．解决此类斜棱柱侧面积问题的关键：在已知棱柱高的条件下，用线面垂直⇒线线垂直的方法作出各个侧面的高，并在相应的直角三角形中求解侧面的高．解如图，过点A 1作A 1O ⊥面ABC 于点O ，连结AO .过点A 1作A 1E ⊥AB 于点E ，过点A 1作A 1F ⊥AC 于点F ，连结EO ，FO ，易得OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∵AA 1和AB 与AC 都成60°角， ∴△A 1AE ≌△A 1AF ，∴A 1E ＝A 1F . ∵A 1O ⊥面ABC ，∴EO ＝FO .∴点O 在∠BAC 的角平分线上，延长AO 交BC 于点D ， ∵△ABC 是正三角形， ∴BC ⊥AD .∴BC ⊥AA 1.∵AA 1∥BB 1，∴侧面BB 1C 1C 是矩形， ∴三棱柱的侧面积为S ＝2×3×4×sin 60°＋3×4＝12＋12 3. ∵AA 1＝3，AA 1与AB 和AC 都成60°角，∴AE ＝32.∵∠BAO ＝30°， ∴AO ＝3，A 1O ＝ 6.∴三棱柱的体积为V ＝34×16×6＝12 2. 变式迁移1 27＋4解析如图所示，设D 为BC 的中点，连结A 1D ，AD . ∵△ABC 为等边三角形，∴AD ⊥BC ，∴BC ⊥平面A 1AD ， ∴BC ⊥A 1A ，又∵A 1A ∥B 1B ，∴BC ⊥B 1B ，又∵侧面与底面边长都等于2，∴四边形BB 1C 1C 是正方形，其面积为4. 作DE ⊥AB 于E ，连结A 1E ，则AB ⊥A 1E ，又∵AD ＝22－12＝3，DE ＝AD ·BD AB ＝32，∴AE ＝AD 2－DE 2＝32，∴A 1E ＝AA 21－AE 2＝72，∴S 四边形ABB 1A 1＝7，∴S 三棱柱侧＝27＋4.例2 解题导引解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算．求全面积时不要忘记“内表面”．解如图所示，过C 作CO 1⊥AB 于O 1，在半圆中可得∠BCA ＝90°， ∠BAC ＝30°， AB ＝2R ，∴AC ＝3R ，BC ＝R ，CO 1＝32R ， ∴S 球＝4πR 2，S 圆锥AO 1侧＝π×32R ×3R＝32πR 2，S 圆锥BO 1侧＝π×32R ×R ＝32πR 2， ∴S 几何体表＝S 球＋S 圆锥AO 1侧＋S 圆锥BO 1侧＝112πR 2＋32πR 2＝11＋32πR 2，∴旋转所得到的几何体的表面积为11＋32πR 2.又V 球＝43πR 3，V 圆锥AO 1＝13·AO 1·πCO 21 ＝14πR 2·AO 1，V 圆锥BO 1＝13BO 1·πCO 21＝14πR 2·BO 1， ∴V 几何体＝V 球－(V 圆锥AO 1＋V 圆锥BO 1) ＝43πR 3－12πR 3＝56πR 3. 变式迁移2 20π 解析在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，可得BC ＝23，由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径r ＝2，设此圆圆心为O ′，球心为O ，在Rt △OBO ′中，易得球半径R ＝5，故此球的表面积为4πR 2＝20π.例3 解题导引求体积常用方法：割补法和等积变换法． (1)割补法：对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常运用割补法：将原几何体分割成几个可求体积的几何体，或利用平移、旋转或对称等手段，将原几何体补成便于求体积的几何体．(2)等积变换法：求锥体的体积，要选择适当的底面和高，任何一个面均可作为底面，且常用“等积性”求点到面的距离．答案 23解析如图所示，过BC 作EF 的直截面BCG ，作面ADM ∥面BCG ，FO ＝32，FG ＝12.∴GO ＝FO 2－FG 2＝22，∴S △BCG ＝12×1×22＝24，V 1＝V BCG －ADM ＝S △BCG ·AB ＝24，V 2＝2V F －BCG ＝2×13×24×12＝212.∴V ＝V 1＋V 2＝23.变式迁移3 (1)a ＋b 2πr 2(2)2∶1解析 (1)补上一个相同形状的几何体，如图所示，可得底面半径为r ，高为(a ＋b )的圆柱，故所求的体积为12πr 2(a ＋b )．(2)由题意可知V B －GAC ＝V P －GAC ，∵三棱锥V B －GAC ＝V G －BAC ，V D －GAC ＝V G －ADC ，又∵三棱锥G －BAC 与三棱锥G －ADC 等高，且S △BAC ∶S △ADC＝1∶2，综上可知V D －GAC ∶V P －GAC ＝2∶1. 课后练习区 1.S 4S π解析设圆柱的底面半径为r ，则高为2r ，S ＝2πr ×2r ，∴r ＝S2π，V ＝πr 2×2r ＝2πr 3＝2π(12Sπ)3＝2π×18×S πS π＝S 4S π. 2.23解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为22，所以V ＝2×13×1×22＝23.3．48 3解析由43πR 3＝32π3，∴R ＝2.∴正三棱柱的高h ＝4.设其底面边长为a ，则13·32a ＝2，∴a ＝4 3. ∴V ＝34×(43)2×4＝48 3.4.125π6解析易知外接球球心O 即为AC 的中点，故球半径r ＝12AC ＝52，∴V ＝4π3r 3＝4π3×(52)3＝125π6.5.73πa 2解析由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a .如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AO ＝33a ，OO 2＝a 2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.6．67解析取底面中心为O ，AF 中点为M ，连结PO 、OM 、PM 、AO ，则PO ⊥OM ，OM ⊥AF ，PM ⊥AF ，∵OA ＝OP ＝2，∴OM ＝3，PM ＝4＋3＝7.∴S 侧＝6×12×2×7＝67. 7.153π解析围成圆锥筒的母线长为4 cm ，设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝14·2π×4，∴r ＝1，∴圆锥的高h ＝42－12＝15.∴V 圆锥＝13·πr 2·h ＝153π(cm 3)．8．4解析设球的半径为r ，则V 水＝πr 2·8，V 球＝43πr 3，∴πr 2·8＋43πr 3×3＝πr 2·6r ，∴r ＝4(cm)．9．解设圆柱的底面半径为r ，母线长为h ，当点C 是弧AB 的中点时，三角形ABC 的面积为r 2，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为r 2h ，三棱锥A 1—ABC 的体积为13r 2h ，四棱锥A 1—BCC 1B 1的体积为r 2h －13r 2h ＝23r 2h ，圆柱的体积为πr 2h ，(9分)故四棱锥A 1—BCC 1B 1与圆柱的体积比为2∶3π.(14分)10．(1)证明取BC 的中点E ，连结AE ，DE ，∵△ABC 与△DBC 都是边长为4的正三角形，∴AE ⊥BC ，DE ⊥BC .又AE ∩DE ＝E ，∴BC ⊥平面AED .又AD ⊂面AED ，∴BC ⊥AD .(6分)(2)解由已知得，△AED 为等腰三角形，且AE ＝ED ＝23，设AD ＝x ，F 为棱AD 的中点，则EF ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2， S △AED ＝12x 12－x 24＝1448x 2－x 4，(10分)V ＝13S △AED ·(BE ＋CE )＝1348x 2－x 4 (0<x <43)，当x 2＝24，即x ＝26时，V max ＝8，∴该四面体存在最大值，最大值为8，此时棱长AD ＝2 6.(14分)11．(1)证明 ∵D 为AB 中点，M 为PB 的中点，∴DM ∥P A ，又∵DM ⊄平面P AC ，P A ⊂平面P AC ，∴DM ∥平面P AC .(3分)(2)证明 ∵M 为PB 的中点，且△PDB 是正三角形， ∴DM ⊥PB ，又∵DM ∥P A ，∴P A ⊥PB .(6分)又∵P A ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴P A ⊥平面PBC ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴P A ⊥BC .(8分) 又∵∠ACB ＝90°，AC ∩P A ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面P AC ⊥平面ABC .(11分)(3)解由(1)知DM ∥P A ，由(2)知P A ⊥平面PBC ，∴DM ⊥平面PBC .在正三角形PDB 中，由题意易求得DM ＝53，S △BCM ＝12S △PBC ＝12·12BC ·PC ＝14×4×102－42＝221.(12分)∴V 三棱锥M －BCD ＝V 三棱锥D －BCM ＝13×53×221 ＝107.(14分)。

2014届高考理科数学第一轮复习导学案52

第10章概率与统计学案54 随机抽样导学目标： 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法．自主梳理1．简单随机抽样(1)定义：从个体数为N 的总体中____________取出n 个个体作为样本(n <N )，如果每个个体都有________的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：__________和____________．2．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)采用随机的方式将总体的N 个个体进行________；(2)将编号按间隔k ________，当N n 是整数时，取k ＝N n ；当N n 不是整数时，从总体中剔除一些个体，使剩下的总体中个体的个数N ′能被n 整除．这时取k ＝N ′n ，并将剩下的总体重新编号；(3)在第1段中用______________确定起始个体编号l ；(4)按照一定的规则抽取样本，通常将编号为l ，l ＋k ，l ＋2k ，…，l ＋(n －1)k 的个体抽出．3．分层抽样(1)定义：当总体由________的几个部分组成时，我们将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几部分，然后按__________________实施抽样，这种抽样方法叫分层抽样．(2)分层抽样中的抽样比＝样本容量个体总量＝各层样本容量各层个体数量. 自我检测1．某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①是________抽样，②是____________抽样．2．(2010·四川改编)一个单位有职工800人，其中具有高级职称的为160人，具有中级职称的为320人，具有初级职称的为200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·重庆改编)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．4．(2010·天津河东区一模)在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．5．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,7,13,17,23,27，…，93,97的产品进行检验，则这样的抽样方法是______________.探究点一简单随机抽样例1某车间工人加工100件某种轴，为了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？变式迁移1今用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本．问：(1)总体中的某一个体a在第一次抽取时被抽到的概率是多少？(2)个体a不是在第1次被抽到，而是在第2次被抽到的概率是多少？(3)在整个抽样过程中，个体a被抽到的概率是多少？探究点二系统抽样例2(2010·湖北)将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为____________．变式迁移2(2009·广东)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作为样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_________________________人．探究点三分层抽样例3某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________．变式迁移3某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为________ h.1．简单随机抽样的特点：(1)样本的总体个数不多；(2)从总体中逐个不放回地抽取，是不放回抽样；(3)是一种等机会抽样，各个个体被抽取的机会均等，保证了抽样的公平性．2．系统抽样的特点：(1)适用于总体个数较多的情况；(2)剔除多余个体并在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；(3)是等可能抽样．3．对于分层抽样的理解应注意：(1)分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；(2)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；(3)分层抽样充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；(4)分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·台州第一次调研)现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是①采取______________，②采用____________，③采用____________．2．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是___________________________________________________________ _____________．3．(2010·宿迁模拟)某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如表所示：其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的25.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．4．某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生的人数为________．5.(2010·随机抽取90名学生进行家庭情况调查，经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查，发现有20名同学上次被抽到过，估计这个学校高一年级的学生人数为________． 6．一个总体有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10组，组号依次为1,2,3，…，10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组中随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m ＋k 的个位数字相同，若m ＝6，则在第7组中抽取的号码是________．7．某学院的A ，B ，C 三个专业共有1 200名学生．为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A 专业有380名学生，B 专业有420名学生，则在该学院的C 专业应抽取________名学生．8．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B 层中每个个体被抽到的概率都为112，则总体中的个体数为________．二、解答题(共42分)9．(14分)某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．10．(14分)(2010·潮州模拟)潮州统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽多少人？11．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽(1)关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？(3)在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率．学案54 随机抽样答案自主梳理1．(1)逐个不放回地相同(2)抽签法随机数表法2．(1)编号(2)分段(3)简单随机抽样3．(1)差异明显各部分在总体中所占的比自我检测1．系统简单随机解析因为①中牛奶生产线上生产的牛奶数量很大，每隔30分钟抽取一袋，这符合系统抽样；②中样本容量和总体容量都很小，采用简单随机抽样．2．8,16,10,6解析由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×420＝8,40×820＝16,40×520＝10,40×320＝6.3．15解析由题意知青年职工人数∶中年职工人数∶老年职工人数＝350∶250∶150＝7∶5∶3.由样本中青年职工为7人，得样本容量为15.4.16解析每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即20120＝16.5．系统抽样解析本次质检相当于把100件产品平均分成了10组，在第一组中取了2件产品，其他组的产品是采用这两件加间隔的形式取得的，符合系统抽样的要求．课堂活动区例1 解题导引 (1)随机数表法的步骤：①将总体的个体编号；②在随机数表中选择开始数字；③读数获取样本号码．随机数表法简单易行，它很好地解决了抽签法在总体个数较多时制签难的问题，但是当总体中的个体很多，需要的样本容量也很大时，用随机数表法抽取样本仍不方便．(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键要看：①制签是否方便；②号签是否容易被搅匀．一般地，总体容量和样本容量都较小时，可用抽签法．解简单随机抽样一般采用两种方法：抽签法和随机数表法．方法一 (抽签法)将100件轴编号为1,2，…，100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，与这10个号签号码相同的轴的直径即为所要抽取的样本．方法二 (随机数表法)将100件轴编号为00,01，…，99，在随机数表(见教材附表)中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开始，选取10个数为68,34,30,13,70,55,74,77,40,44，这10个号码对应的轴的直径即为所要抽取的样本．变式迁移1 解 (1)用简单随机抽样，从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1N ；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n N ；(2)抽签有先后，但概率都是相同的．故(1)16，(2)16，(3)13.例2 解题导引系统抽样是一种等间隔抽样，间隔k ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤N n (其中n 为样本容量，N 为总体容量)．预先定出规则，一旦第1段用简单随机抽样确定出起始个体的编号，那么样本中的个体编号就确定下来．从小号到大号逐次递增k ，依次得到样本全部．因此可以联想等差数列的知识结合Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ营区的编号范围来求解．答案 25,17,8解析由题意，系统抽样间隔k ＝60050＝12，故抽到的个体编号为12k ＋3 (其中k ＝0,1,2,3，…，49)．令12k ＋3≤300，解得k ≤24.∴k ＝0,1,2，…，24，共25个编号．所以从Ⅰ营区抽取25人；令300<12k ＋3≤495，解得25≤k ≤41.∴k ＝25,26,27，…，41，共17个编号．所以从Ⅱ营区抽取17人；因此从第Ⅲ营区抽取50－25－17＝8(人)．变式迁移2 37 20解析由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.40岁以下的年龄段的职工数为200×0.5＝100(人)，则应抽取的人数为40200×100＝20(人)．例3 解题导引分层抽样中各层抽取的个体数依各层个体数成比例分配．因此要善于利用列比例等式来解决该类问题．必要时引进字母来表示一些未知量．答案 18解析设该单位老年职工有x 人，从中抽取y 人．则160＋3x ＝430⇒x ＝90，即老年职工有90人，则90160＝y 32⇒y ＝18.变式迁移3 1 013解析利用分层抽样可知从3个分厂抽出的100个电子产品中，每个厂中的产品个数比也为1∶2∶1，故分别有25,50,25个．再由三个厂子算出的平均值可得100件产品的总的平均寿命为980×25＋1 020×50＋1 032×25100＝1 013(h)．课后练习区1．简单随机抽样系统抽样分层抽样解析 ①总体较少，宜用简单随机抽样；②已分段，宜用系统抽样；③各层间差距较大，宜用分层抽样．2．分层抽样解析由分层抽样的定义可知，该抽样为按比例的抽样．3．36解析 ∵登山占总数的25，故跑步的占总数的35，又跑步中高二年级占32＋3＋5＝310. ∴高二年级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36.4．16解析 ∵二年级女生有2 000×0.19＝380(人)，∴三年级共有2 000－(373＋377)－(380＋370)＝500(人)．∴应在三年级抽取的人数为642 000×500＝16(人)．5．450解析设这个学校高一年级人数为x ，则90x ＝20100，∴x ＝450.6．63解析由题意知，第7组中抽取的号码的个位数与6＋7的个位数相同，即为3；又第7组中号码的十位上的数为6，所以在第7组中抽取的号码是63.7．40解析由题知C 专业有学生1 200－380－420＝400(名)，那么C 专业应抽取的学生数为120×4001 200＝40(名)．8．120解析分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，则10x ＝112⇒x ＝120.9．解按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把295名同学分成59组，每组5人．(4分)第1组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生．(10分)采用简单随机抽样的方法，从第1组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为l (1≤l ≤5)，那么抽取的学生编号为(l ＋5k ) (k ＝0,1,2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当l ＝3时的样本编号为3,8,13，…，288,293.(14分)10．解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3 000)＝0.15.(2分)(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400.(8分)(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0．000 5×(3 000－2 500)＝0.25，所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．(14分)11．解 (1)因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)(2)从题中所给条件可以看出收看新闻节目的共45人，随机抽取5人，则抽样比为545＝19，故大于40岁的观众应抽取27×19＝3(人)．(10分)(3)抽取的5名观众中大于40岁的有3人，在20至40岁的有2人，记大于40岁的人为a1，a2，a3,20至40岁的人为b1，b2，则从5人中抽取2人的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(b1，b2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)共10个，其中恰有1人为20至40岁的有6个，故所求概率为610＝35.(14分)。

2014届高考理科数学第一轮复习导学案64

第12章算法初步、复数学案66算法与流程图导学目标： 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解三种基本算法结构：顺序结构、选择结构、循环结构．自主梳理1．算法的含义一般而言，对一类问题的________、________求解方法称为算法．2．流程图流程图是由一些________和________组成的，其中________表示各种操作的类型，________中的文字和符号表示操作的内容，________表示操作的先后次序．3．流程图的三种基本结构：________、________、________.其结构形式为①________②________③________________④直到型循环结构自我检测1．下列关于算法的说法正确的有________(填序号)．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后产生确定的结果．2．如图所示的是一个算法的流程图，已知a1＝3，输出的结果为7，则a2的值是________．第2题图第3题图3．(2010·课标全国改编)如果执行如图所示的流程图，输入N＝5，则输出的数为________．4．(2011·北京改编)执行如图所示的流程图，输出的s值为________．第4题图第5题图5．(2011·山东)执行如图所示的流程图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________.探究点一算法的顺序结构例1 已知点P (x 0，y 0)和直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，求点P (x 0，y 0)到直线l 的距离d ，写出其算法并画出流程图．变式迁移1 阅读右面的流程图，若输入的a 、b 、c 分别是21、32、75，则输出的a 、b 、c 分别是________________．探究点二算法的选择结构例2函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2 (x >0)0 (x ＝0)2 (x <0)，写出求该函数的函数值的算法，并画出流程图．变式迁移2 给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x 值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是___________________________________________________________ __．探究点三算法的循环结构例3写出求1×2×3×4×…×100的一个算法并画出流程图.变式迁移3(2010·天津和平区一模)在如图所示的流程图中，当程序被执行后，输出s的结果是______．1．流程图主要包括三部分：(1)表示相应操作的框；(2)带箭头的流程线；(3)框内外必要的文字说明，读懂流程图要从这三个方面研究．流程线反映了流程执行的先后顺序，主要看箭头方向，框内外文字说明表明了操作内容．2．两种循环结构的区别：(1)执行情况不同：当型循环是先判断条件，当条件成立时才执行循环体，若循环条件一开始就不成立，则循环体一次也不执行．而直到型循环是先执行一次循环体，再判断循环条件，循环体至少要执行一次．(2)循环条件不同：当型循环是当条件成立时循环，条件不成立时停止循环，而直到型循环是当条件不成立时循环，直到条件成立时结束循环．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．中山市的士收费办法如下：不超过2公里收7元(即起步价7元)，超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元(不考虑其他因素)．相应收费系统的流程图如图所示，则①处应填______________．第1题图第2题图2．(2010·福建改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的i值为________．3．(2010·浙江改编)某流程图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为________．第3题图第4题图4．(2010·辽宁改编)如果执行下面的流程图，输入n ＝6，m ＝4，那么输出的p 为________．5．阅读下面的流程图，则输出的S 为________．第5题图第6题图6．(2011·浙江，12)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是________．7．执行下面的流程图，输出的T ＝________.8．(2010·江苏)如图是一个流程图，则输出的S 的值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知某算法的流程图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，…，(1)若程序运行中输出一个数组是(9，t)，求t的值；(2)求程序结束时，共输出(x，y)的组数；(3)求程序结束时，输出的最后一个数组．10．(14分)(2010·内蒙古包头一模)对一个作直线运动的质点的运(其中a 是这8个数据的平均数)，求输出的S 的值．11．(14分)(2011·汕头模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，观察流程图，若k ＝5，k ＝10时，分别有S ＝511和S ＝1021.(1)试求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝2a n ，求b 1＋b 2＋…＋b m 的值．学案66 算法与流程图答案自主梳理 1．机械的统一的 2.图框流程线图框图框流程线 3.顺序结构选择结构循环结构 ①顺序结构②选择结构 ③当型循环结构自我检测 1．②③④ 2．11解析已知图形是一个顺序结构的框图，表示的算法的功能是求两数a 1、a 2的算术平均数，已知a 1＝3，输出结果为7，有a 1＋a 22＝7，解得a 2＝11.3．56解析第一次运行N ＝5，k ＝1，S ＝0，S ＝0＋11×2，1<5成立，进入第二次运行；k ＝2，S ＝11×2＋12×3，2<5成立，进入第三次运行；k ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4，3<5成立，进入第四次运行；k ＝4，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5，4<5成立，进入第五次运行；k ＝5，S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝1－16＝56，5<5不成立，此时退出循环，输出S .4．2解析由框图可知i ＝0，s ＝2→i ＝1，s ＝13→i ＝2，s ＝－12→i ＝3，s ＝－3→i ＝4，s ＝2，循环终止，输出s ，故最终输出的s 值为2. 5．68解析当输入l ＝2，m ＝3，n ＝5时，不满足l 2＋m 2＋n 2＝0，因此执行：y ＝70l ＋21m ＋15n ＝70×2＋21×3＋15×5＝278.由于278>105，故执行y ＝y －105，执行后y ＝278－105＝173，再执行一次y ＝y －105后y 的值为173－105＝68，此时68>105不成立，故输出68. 课堂活动区例1 解题导引顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．流程图中一定包含顺序结构．解算法如下：S1 输入x 0，y 0及直线方程的系数A ，B ，C . S2 计算Z 1←Ax 0＋By 0＋C . S3 计算Z 2←A 2＋B 2.S4 计算d ←|Z 1|Z 2.S5 输出d . 流程图：变式迁移1 75、21、32解析由流程图中的各个赋值语句可得x ＝21，a ＝75，c ＝32，b＝21，故a 、b 、c 分别是75、21、32.例2 解题导引求分段函数函数值的流程图的画法，如果是分两段的函数，则需引入一个判断框；如果是分三段的函数，则需引入两个判断框．解算法如下：S1 输入x ；S2 如果x >0，则y ←－2；如果x ＝0，则y ←0；如果x <0，则y ←2； S3 输出函数值y .相应的流程图如图所示．变式迁移2 3解析本问题即求函数y ＝⎩⎨⎧ x 2，x ≤2，2x －3，2<x ≤5，1x ，x >5的值．若x ≤2，由x 2＝x 得，x ＝1或0；若2<x ≤5，由x ＝2x －3得，x ＝3；若x >5，由x ＝1x 得，x ＝±1，不符合．故符合要求的x 值有3个．例3 解题导引数学中的累加、累乘、累差等重复性操作可以用循环结构来实现．循环结构分当型和直到型两种，二者的区别是：前者是，当满足条件时执行循环体，而后者是“直到”条件满足时结束循环．解 S1 设S 的值为1.S2 设i 的值为2.S3 如果i ≤100执行S4，否则转去执行S7.S4 计算S 乘i 并将结果赋给S .S5 计数i 加1并将结果赋给i .S6 转去执行S3.S7 输出S 的值并结束算法．根据自然语言描述，流程图如下：变式迁移3 286解析数列{a n }：4,7,10，…为等差数列，令a n ＝4＋(n －1)×3＝40，得n ＝13，∴s ＝4＋7＋…＋40＝(4＋40)×132＝286. 课后练习区1．y ←8＋2.6(x －2)解析根据题意可知x >2时，收费应为起步价7元＋超过2公里的里程收费2.6(x －2)元＋燃油附加费1元＝8＋2.6(x －2)．2．4解析由框图可知i ＝1，s ＝1×21＝2；i ＝2，s ＝2＋2×22＝10；i ＝3，s ＝2＋2×22＋3×23>11，此时输出的i ＝4.3．k >4解析当k ＝1时，k ＝k ＋1＝2，S ＝2×1＋2＝4；当k ＝2时，k ＝k ＋1＝3，S ＝2×4＋3＝11；当k ＝3时，k ＝k ＋1＝4，S ＝2×11＋4＝26；当k ＝4时，k ＝k ＋1＝5，S ＝2×26＋5＝57.此时S ＝57，循环结束，k ＝5，所以判断框中应为“k >4”．4．360解析由框图可知：当n＝6，m＝4时，第一次循环：p＝(6－4＋1)×1＝3，k＝2.第二次循环：p＝(6－4＋2)×3＝12，k＝3.第三次循环：p＝(6－4＋3)×12＝60，k＝4.第四次循环：p＝(6－4＋4)×60＝360，此时k＝m，终止循环．输出p＝360.5．30解析第一次循环：S＝12；第二次循环：S＝12＋22；第三次循环；S＝12＋22＋32；第四次循环：S＝12＋22＋32＋42＝30.6．5解析初始值：k＝2，执行“k＝k＋1”得k＝3，a＝43＝64，b ＝34＝81，a>b不成立；k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，a>b不成立；k＝5，a＝45＝1 024，b＝54＝625，a>b成立，此时输出k＝5.7．30解析按照流程图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2＋4＝6；S＝15，n＝6，T＝6＋6＝12；S＝20，n＝8，T＝12＋8＝20；S＝25，n＝10，T＝20＋10＝30>S，输出T＝30.8．63解析当n＝1时，S＝1＋21＝3；当n＝2时，S＝3＋22＝7；当n＝3时，S＝7＋23＝15；当n＝4时，S＝15＋24＝31；当n＝5时，S＝31＋25＝63>33.故S＝63.9．解(1)循环体运行结果如下：输出(1，0) n＝3x＝3y＝－2n<2 011输出(3，－2)n＝5x＝9y＝－4n<2 011输出(9，－4)n＝7x＝27y＝－6n<2 011……∴输出数组(9，t)中的t值是－4.(6分)(2)计数变量n的取值为：3,5,7，…，构成等差数列，由3＋(m－1)×2＝2 011，解得m＝1 005.由于当m＝1 005时，n＝2 011，循环体还要执行一遍，会输出第1 006个数组，然后n＝2 013>2 011，跳出循环体．故共输出1 006个数组．(3)程序输出的数组(x n，y n)按输出的先后顺序，横坐标x n组成一个等比数列{x n}，首项x1＝1，公比q＝3.纵坐标组成一个等差数列{y n }，首项y 1＝0，公差d ＝－2.∴x 1 006＝31 005，y 1 006＝－2×1 005＝－2 010.故程序结束时，输出的最后一个数组是(31 005，－2 010)．(14分)10．解该流程图即求这组数据的方差，∵a ＝40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋488＝44， (5分)∴S ＝18∑8i ＝1 (a i －a )2＝18×[(40－44)2＋(41－44)2＋…＋(48－44)2]＝7. (14分)11．解由题中框图可知S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1， ∵数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则有1a k a k ＋1＝1d (1a k －1a k ＋1)， ∴S ＝1d (1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a k－1a k ＋1) ＝1d (1a 1－1a k ＋1)． (3分) (1)由题意可知，k ＝5时，S ＝511；k ＝10时，S ＝1021.∴⎩⎪⎨⎪⎧1d (1a 1－1a 6)＝511，1d (1a 1－1a 11)＝1021，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去)．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1. (10分)(2)由(1)可得b n ＝2a n ＝22n －1，∴b 1＋b 2＋…＋b m＝21＋23＋…＋22m －1＝2(1－4m )1－4＝23(4m －1)． (14分)。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案30

第6章数列学案27 数列的概念与简单表示法导学目标： 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．自主梳理1．数列的定义按____________着的一列数叫数列，数列中的________都叫这个数列的项；在函数意义下，数列是______________________的函数，数列的一般形式为：________________________，简记为{a n }，其中a n 是数列的第____项．2．通项公式：如果数列{a n }的________与____之间的关系可以______________来表示，那么这个式子叫做数列的通项公式．但并非每个数列都有通项公式，也并非都是唯一的．3．数列常用表示法有：____________________、________、________.4．数列的分类：数列按项数来分，分为____________、____________；按项的增减规律分为____________、____________、____________和________．递增数列⇔a n ＋1____a n ；递减数列⇔a n ＋1____a n ；常数列⇔a n ＋1____a n .5．a n 与S n 的关系：已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，n ＝1，，n ≥2，.自我检测1．(2010·湖南长郡中学)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1an＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝______. 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________.3．已知数列－1，85，－157，249，…按此规律，则这个数列的通项公式是______________________________．4．下列对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N *(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数；②数列的项数是有限的；③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的序号是________．5．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第________项的和最大．探究点一由数列前几项求数列通项例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)23，415，635，863，1099，… (2)12，－2，92，－8，252，…变式迁移1 写出下列数列的一个通项公式：(1)3,5,9,17,33，… (2)2，5，22，11，…(3)1,0,1,0，…探究点二由递推公式求数列的通项例2 根据下列条件，写出该数列的通项公式．(1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ；(2)a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1 (n ≥2)．变式迁移2 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ；(3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .探究点三由a n 与S n 的关系求a n例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1，求{a n }的通项公式．变式迁移3 (1)已知{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋b ，求{a n }的通项公式．(2)已知在正项数列{a n }中，S n 表示前n 项和且2S n ＝a n ＋1，求a n .函数思想例 (14分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．【答题模板】解方法一令⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ≥n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1(n ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1011n ≥(n ＋2)·⎝⎛⎭⎪⎫1011n ＋1[4分]⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 10n ＋10≥11n 11n ＋11≥10n ＋20⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10n ≥9，∴n ＝9或n ＝10时，a n 最大，[10分]即数列{a n }有最大项，此时n ＝9或n ＝10.[14分]方法二 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ·9－n11，[2分] 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n .[8分] 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴数列{a n }中有最大项，为第9、10项．[14分] 【突破思维障碍】有关数列的最大项、最小项，数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性常用①作差法，②作商法，③图象法．求最大项时也可用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项，则用a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1.数列实质就是一种特殊的函数，所以本题就是用函数的思想求最值．【易错点剖析】本题解题过程中易出现只解出a 9这一项，而忽视了a 9＝a 10，从而导致漏解．1．数列的递推公式是研究的项与项之间的关系，而通项公式则是研究的项a n 与项数n 的关系．2．求数列的通项公式是本节的重点，主要掌握三种方法：(1)由数列的前几项归纳出一个通项公式，关键是善于观察；(2)数列{a n }的前n 项和S n 与数列{a n }的通项公式a n 的关系，要注意验证能否统一到一个式子中；(3)由递推公式求通项公式，常用方法有累加、累乘．3．本节易错点是利用S n 求a n 时，忘记讨论n ＝1的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2010·安徽改编)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．2．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2 014＝________.3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2＝________.4．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6＝________.5．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12 (n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.6．数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n (0≤a n <12)，2a n －1 (12≤a n <1)，若a 1＝67，则a 2 010的值为________．7．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且有S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项a n ＝__________________.8．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … …根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是____________．二、解答题(共42分)9．(12分)写出下列各数列的一个通项公式．(1)112，223，334，445，…(2)－1，32，－13，34，－15，36…10．(14分)由下列数列{a n }递推公式求数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)；(3)a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2)．11．(16分)(2009·安徽)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1<c n .答案自主梳理1．一定次序排列每一个数定义域为N *(或它的子集)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… n 2.第n 项 n 用一个公式 3.解析法(通项公式或递推公式) 列表法图象法 4.有穷数列无穷数列递增数列递减数列摆动数列常数列 > < ＝ 5.S 1 S n －S n －1自我检测 1.1n 2.－303．a n ＝(－1)n·(n ＋1)2－12n ＋1解析 ∵a 1＝－33＝－(1＋1)2－12×1＋1，a 2＝85＝(2＋1)2－12×2＋1，a 3＝－157＝－(3＋1)2－12×3＋1，a 4＝249＝(4＋1)2－12×4＋1，∴a n ＝(－1)n·(n ＋1)2－12n ＋1.4．①③解析由数列与函数的关系知①对，③对，由数列的分类知②不对，数列的通项公式不是唯一的，④不对．5．10或11解析 a n ＝－n 2＋10n ＋11是关于n 的二次函数，它是抛物线f (x )＝－x 2＋10x ＋11上的一些离散的点，从图象可看出前10项都是正数，第11项是0，所以前10项或前11项的和最大．课堂活动区例1 解题导引 (1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，要使用添项、还原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求；(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴涵着“从特殊到一般”的思想，得出的结论不一定可靠，在解答题中一般应用数学归纳法进行证明．解 (1)原数列为222－1，2×242－1，2×362－1，2×482－1，2×5102－1，…，∴a n ＝2n (2n )2－1＝2n4n 2－1.(2)原数列为12，－42，92，－162，252，…，∴a n ＝(－1)n ＋1·n 22. 变式迁移1 解 (1)∵a 1＝3＝21＋1，a 2＝5＝22＋1，a 3＝9＝23＋1，…，∴a n ＝2n ＋1.(2)将数列各项统一成f (n )的形式得2，5，8，11，…；观察知，数列各项的被开方数逐个增加3，且被开方数加1后，又变为3,6,9,12，…，所以数列的通项公式是a n ＝3n －1.(3)从奇数项，偶数项角度入手，可以得到分段形式的解析式，也可看作数列1,1,1,1，…和1，－1,1，－1，…对应项相加之和的一半组成的数列，也可用正弦函数和余弦函数的最值和零点值来调整表示．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3，5，…，0，n ＝2，4，6，…，或a n ＝1＋(－1)n ＋12(n ∈N *)，或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2或a n ＝sin 2n π2 (n ∈N *)，或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos n －12π (n ∈N *)．例2 解题导引利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有以下三种方法：(1)累加法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的差的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的差的关系式，然后把这n －1个式子相加，整理求出数列的通项公式．(2)累积法：如果已知数列{a n }的相邻两项a n ＋1与a n 的商的一个关系式，我们可依次写出前n 项中所有相邻两项的商的关系式，然后把这n －1个式子相乘，整理求出数列的通项公式．(3)构造法：根据所给数列的递推公式以及其他有关关系式，进行变形整理，构造出一个新的等差或等比数列，利用等差或等比数列的通项公式求解．解 (1)当n ＝1,2,3，…，n －1时，可得n －1个等式，a n －a n －1＝n －1，a n －1－a n －2＝n －2，…，a 2－a 1＝1，将其相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)．∴a n ＝a 1＋(1＋n －1)(n －1)2＝2＋n (n －1)2.(2)方法一 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1)＝(1)21()2n n -，∴a n ＝(1)21()2n n -. 方法二由2n －1a n ＝a n －1，得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1.∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2a n －2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫121a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝(1)21()2n n - 变式迁移2 解 (1)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.(2)∵a n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1a n＝n ＋1.∴a na n －1＝n ，a n －1a n －2＝n －1， …… a 3a 2＝3， a 2a 1＝2， a 1＝1.累乘可得，a n ＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1＝n ！. 故a n ＝n ！.(3)∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln n ＋1n . ∴a n －a n －1＝ln nn －1，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……a 2－a 1＝ln 21，累加可得，a n －a 1＝ln n n －1＋ln n －1n －2＋…＋ln 21＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n .又a 1＝2，∴a n ＝ln n ＋2.例3 解题导引 a n 与S n 的关系式a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，求a n 时切勿漏掉n ＝1，即a 1＝S 1的情况．一般地，当a 1＝S 1适合a n ＝S n －S n －1时，则需统一“合写”．当a 1＝S 1不适合a n ＝S n －S n －1时，则通项公式应分段表示，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝1，4n －5， n ≥2.变式迁移3 解 (1)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式；当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b (n ＝1)2·3n －1 (n ≥2).(2)由2S n ＝a n ＋1，得S n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122，当n ＝1时，a 1＝S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋122，得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋122－⎝⎛⎭⎪⎫a n －1＋122，整理，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵数列{a n }各项为正，∴a n ＋a n －1>0. ∴a n －a n －1－2＝0.∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)×2＝2n －1. 课后练习区 1．15解析 a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 2．1 0解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0. 3．4解析当n ＝1时，a 1＝2.当n ＝2时，a 1＋a 2＝2(a 2－1)，∴a 2＝4. 4.111解析方法一 ∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，∴a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19，a 6＝111.方法二 ∵a n ＋1＝a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n＋2，∴1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1，∴a 6＝111.5.72解析 a 1＝12－a 2＝12－2，a 2＝2，a 3＝12－2，a 4＝2，…，知T ＝2，a 1＋a 2＝12，∴S 21＝10×12＋a 1＝5＋12－2＝72.6.37解析 a 1＝67，a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，…，此数列是以3为周期的数列，故可知a 2 010＝a 3＝37. 7.⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2，n ∈N *)解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋1＝2，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1.此时对于n ＝1不成立，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，2n －1 (n ≥2，n ∈N *).8.n 2－n ＋62解析前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2(个)，因此第n 行第3个数是全体正整数中的第n 2－n 2＋3个，即为第n 2－n ＋62个．9．解 (1)∵a 1＝1＋12，a 2＝2＋23，a 3＝3＋34，…，∴a n ＝n ＋n n ＋1(n ∈N *)．…………………………………………………………………(6分)(2)∵a 1＝－2－11，a 2＝2＋12，a 3＝－2－13，a 4＝2＋14，…，∴a n ＝(－1)n ·2＋(－1)n n(n ∈N *)．………………………………………………………(12分)10．解 (1)由题意得，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式等号两边累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2，故a n ＝n (n ＋1)2.…………………………………………………………………………(6分)(2)由题意得，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12. 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，故a n ＝1n .………………………………………………(10分)(3)由a n ＝2a n －1＋1，得a n ＋1＝2(a n －1＋1)，又a 1＋1＝2≠0，所以a n ＋1a n －1＋1＝2，即数列{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．所以a n＋1＝2n，即a n＝2n－1.…………………………………………………………(14分)11．(1)解a1＝S1＝4.……………………………………………………………………(1分)对于n≥2，有a n＝S n－S n－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也适合，∴{a n}的通项公式a n＝4n.………………………………………………………………(3分) 将n＝1代入T n＝2－b n，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.…………………………………(4分)对于n≥2，由T n－1＝2－b n－1，T n＝2－b n，得b n＝T n－T n－1＝－(b n－b n－1)，∴b n＝12b n－1，b n＝21－n.……………………………………………………………………(6分) b1＝1也适合．综上，{b n}的通项公式b n＝21－n.………………………………………………………(10分)(2)方法一由c n＝a2n·b n＝n225－n，……………………………………………………(11分)得c n＋1c n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n2.当且仅当n≥3时，1＋1n≤43<2，∴c n＋1c n<12·(2)2＝1，又cn＝n2·25－n>0，即c n＋1<c n.………………………………………………………………………………(16分)方法二由c n＝a2n·b n＝n225－n，得c n＋1－c n＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]．…………………………………………………………………(14分) 当且仅当n≥3时，c n＋1－c n<0，即c n＋1<c n.………………………………………………………………………………(16分)。

2014届高考理科学数学第一轮复习导学案20

学案18 三角函数的图象与性质导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理 1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定域内的每一个x 值，都满足__________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f (x )的最小正周期．1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．2．函数y ＝3－2cos(x －π4)的最大值为________，此时x ＝________.3．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是________．4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．探究点一求三角函数的定义域例1 求函数y ＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间；(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域： (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]； (3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . 【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32，∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[14分] 【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(2010·江苏6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．3．(2011·江苏四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．4．把函数y ＝cos(x ＋4π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．5．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题： (1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；(3)y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)6．(2011·泰州调研)定义函数f (x )＝{ sin x ，sin x ≥cos x ，x ，sin x <cos x ，给出下列四个命题： ①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0. 上述命题中正确的个数为________．7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(2010·江苏)定义在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(2010·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．10．(14分)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．11．(14分)(2010·宿迁高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案自主梳理1．(1)f (x ＋T )＝f (x ) T (2)最小的正数最小的正数2．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2ππ 奇函数偶函数奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )自我检测1．π 2.5 5π4＋2k π(k ∈Z ) 3.{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }4．> 5.π6 课堂活动区例1 解题导引求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2 (k ∈Z )，得⎩⎨⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z ).所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4. 变式迁移1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .例2 解题导引求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解方法一 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化成y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. ∵y ＝sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )，∴令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4 (k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间、单调递增区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z )．方法二 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间．由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间．综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )；递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )．变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π.(2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6，由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π(k ∈Z )．例3 解题导引解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.变式迁移3 解 ∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝sin(2x －π3)，周期为π. 课后练习区 1．3解析由图可知，T ＝2π3，∴ω＝2πT ＝3. 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) 3.34 4.2π3解析向左平移φ个单位后的解析式为y ＝cos(x ＋4π3＋φ)，当4π3＋φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝cos(x ＋4π3＋φ)为偶函数，∴φ＝k π－4π3(k ∈Z )．当k ＝2时，φmin ＝2π3.5．(2)(3)解析 (1)不正确．可举反例，如f (－π6)＝f (π3)＝0但－π6－π3＝－π2.(2)正确．∵y ＝4sin(2x ＋π3)＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．(3)正确．∵f (－π6)＝0，∴y ＝f (x )的图象与x 轴交于(－π6，0)点．(4)不正确．∵f (－π6)既不是y 的最大值也不是y 的最小值．故答案为(2)(3)．6．1解析当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )时，sin x ≥cos x ，所以f (x )＝sin x ，f (x )∈[－22，1]；x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值；当且仅当2k π＋π<x <2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )<0.当2k π－3π4<x <2k π＋π4(k ∈Z )时，sin x <cos x ，所以f (x )＝cos x ，f (x )∈[－22，1]；x ＝2k π(k ∈Z )时，该函数取得最大值；当且仅当2k π－3π4<x <2k π－π2(k ∈Z )时，f (x )<0.综合得：①②错误，④正确，周期还是2π，所以③错误．7．4π解析由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x 4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π (k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23. 9．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，…………………………………(3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. …………………………………………………………(5分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．………………………………………………………………(10分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(12分)∴当x ＝π2时，f (x )取得最小值，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.……………………………………………………(14分)10．解由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4 (k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………(4分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ＝(2cos 2x －1)(cos 2x －1)2cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(8分)又∵定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．…………………………………………(10分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12.∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(14分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分) (1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。

2014版高考数学一轮复习(苏教版,理)配套导学案：第1章学案3

学案3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词导学目标: 1.了解逻辑联结词“或、且、非"的含义。

2。

理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．自主梳理1．逻辑联结词命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q,“p 或q”记作p ∨q，“非p”记作綈p。

2．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p q p∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真3.全称量词与存在量词（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p（x)，它的否定∃x∈M，綈p（x）．(2)短语“存在一个”“至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题,可用符号简记为∃x∈M，p(x),它的否定∀x∈M，綈p（x）．自我检测1.命题“∃x∈R，x2－2x＋1<0"的否定是__________________答案∀x∈R，x2－2x＋1≥0解析因要否定的命题是存在性命题，而存在性命题的否定为全称命题．对x 2－2x ＋1〈0的否定为x 2－2x ＋1≥0。

2．若命题p :x ∈A ∩B ，则綈p 是________________答案 x ∉A 或x ∉B解析 ∵“x ∈A ∩B "⇔“x ∈A 且x ∈B ”，∴綈p ：x ∉A 或x ∉B .3．(2010·苏州调研)命题“若x >0，则x 2〉0”的否命题是________命题．(填“真"或 “假”)答案假解析其否命题是“若x ≤0,则x 2≤0”，为假命题．4．若“x ∈[2,5］或x ∈{x ｜x 〈1或x 〉4｝”是假命题,则x 的取值范围是________．答案［1，2）解析 x ∉[2,5]且x ∉｛x ｜x <1或x 〉4}是真命题．由｛ x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2，故填[1,2)．5．（2009·辽宁改编)下列4个命题：①∃x ∈（0，＋∞），(错误!)x 〈（错误!）x ；②∃x ∈（0,1），log 错误!x 〉log 错误!x ；③∀x ∈（0，＋∞），（错误!）x >log 错误!x ；④∀x ∈(0，错误!）,(错误!)x <log 错误!x 。

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学案5 函数的单调性与最值导学目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．自主梳理 1．单调性(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)(f (x 1)>f (x 2))，那么就说f (x )在区间I 上是单调________________．(2)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________；(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是单调________．(3)单调区间：如果函数y ＝f (x )在某个区间上是单调增函数或减函数，那么说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为__________．(4)函数y ＝x ＋ax (a >0)在 (－∞，－a )，(a ，＋∞)上单调________；在(－a ，0)，(0，a )上单调________；函数y ＝x ＋ax (a <0)在____________上单调递增．2．最值一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≤f (x 0)(或≥f (x 0))，则称f (x 0)为y ＝f (x )的最____(或最____)值．自我检测1．若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是________________．(用“单调减函数”、“单调增函数”、“不单调”填空)2．(2011·连云港模拟)设f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a 为实数，则有f (a 2＋1)________f (a )．(填“>”、“<”或“＝”)3．下列函数在(0,1)上是增函数的是________(填序号)． ①y ＝1－2x ；②y ＝x －1；③y ＝－x 2＋2x ；④y ＝5.4．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋4是区间(－∞，4]上的减函数，则实数a 的取值范围是________．5．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为______________________．探究点一函数单调性的判定及证明例1 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)，求f (x )的单调区间，并说明f (x )在其单调区间上的单调性．变式迁移1 已知f (x )是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有f (x )>0，且f (5)＝1，设F (x )＝f (x )＋1f (x )，讨论F (x )的单调性，并证明你的结论．探究点二函数的单调性与最值例2 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．变式迁移2 已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．探究点三抽象函数的单调性例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．变式迁移3 已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.分类讨论及数形结合思想例 (14分)求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值．【答题模板】解 f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .[2分](1)当a <0时，由图①可知，f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[5分](2)当0≤a <1时，由图②可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (2)＝3－4a .[8分](3)当1<a ≤2时，由图③可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1.[11分](4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，(1)当a<0时，f(x)min＝－1，f(x)max＝3－4a；(2)当0≤a<1时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝3－4a；(3)当1<a≤2时，f(x)min＝－1－a2，f(x)max＝－1；(4)当a>2时，f(x)min＝3－4a，f(x)max＝－1.[14分]【突破思维障碍】(1)二次函数的单调区间是由图象的对称轴确定的．故只需确定对称轴与区间的关系．由于对称轴是x＝a，而a的取值不定，从而导致了分类讨论．(2)不是应该分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论吗？为什么成了四种情况？这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．函数的单调性的判定与单调区间的确定常用方法有：(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)单调性的运算性质．总结如下：若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I 上具有以下性质：(1)f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性．(2)f(x)与af(x)，当a>0时，具有相同的单调性，当a<0时，具有相反的单调性．(3)当f(x)恒不等于零时，f(x)与1f(x)具有相反的单调性．(4)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)＋g(x)是增(减)函数．(5)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x)·g(x)当两者都恒大于零时，是增(减)函数；当两者都恒小于零时，是减(增)函数．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·泰州模拟)“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的____________条件．2．(2009·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ， x ≥0，4x －x 2， x <0，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围为________．3．(2009·宁夏，海南改编)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为________．5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的符号为________(填“正”、“负”、“不确定”)．6．(2011·淮安调研)函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数； ④y ＝|f (x )|是增函数．8．(2011·苏州质检)设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x的最小值是________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．10．(14分)已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明；(2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．答案自主梳理1．(1)增函数(减函数) (2)增函数减函数 (3)单调区间 (4)递增递减 (－∞，0)，(0，＋∞) 2.大小自我检测1．单调减函数 2．> 3．③ 4．a ≤－35．[－43＋c,55＋c ] 课堂活动区例1 解题导引对于给出具体解析式的函数，判断或证明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤为：取点，作差或作商，变形，判断)来求解．可导函数则可以利用导数求解．有些函数可以转化为两个或多个基本初等函数，利用其单调性可以方便求解．解在定义域内任取x 1，x 2，且使x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2＋a )(x 1＋b )－(x 2＋b )(x 1＋a )(x 1＋b )(x 2＋b )＝(b －a )(x 2－x 1)(x 1＋b )(x 2＋b ). ∵a >b >0，∴b －a <0，∴(b －a )(x 2－x 1)<0，又∵x ∈(－∞，－b )∪(－b ，＋∞)，∴只有当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，函数才单调．当x1<x2<－b，或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0，即Δy<0.∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．变式迁移1解在R上任取x1、x2，设x1<x2，∴f(x2)>f(x1)，F(x2)－F(x1)＝[f(x2)＋1f(x2)]－[f(x1)＋1f(x1)]＝[f(x2)－f(x1)][1－1f(x1)f(x2)]，∵f(x)是R上的增函数，且f(5)＝1，∴当x<5时，0<f(x)<1，而当x>5时f(x)>1；①若x1<x2<5，则0<f(x1)<f(x2)<1，∴0<f(x1)f(x2)<1，∴1－1f(x1)f(x2)<0，∴F(x2)<F(x1)；②若x2>x1>5，则f(x2)>f(x1)>1，∴f(x1)·f(x2)>1，∴1－1f(x1)f(x2)>0，∴F(x2)>F(x1)．综上，F(x)在(－∞，5)上为减函数，在(5，＋∞)上为增函数．例2解(1)当a＝12时，f(x)＝x＋12x＋2，设x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x1＋12x1－x2－12x2＝(x1－x2)(1－12x1x2)．∵x1<x2，∴x1－x2<0，又∵1<x1<x2，∴1－12x1x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)方法一在区间[1，＋∞)上，f(x)＝x2＋2x＋ax>0恒成立，等价于x2＋2x＋a>0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1递增，∴当x＝1时，y min＝3＋a，于是当且仅当y min＝3＋a>0时，函数f(x)恒成立，故a>－3.方法二 f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞)，当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，满足题意，当a <0时，函数f (x )递增；当x ＝1时，f (x )min ＝3＋a ，于是当且仅当f (x )min ＝3＋a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3.方法三在区间[1，＋∞)上f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立．即a >－x 2－2x 恒成立．又∵x ∈[1，＋∞)，a >－x 2－2x 恒成立，∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞)的最大值． ∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1)2＋1.当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3. 变式迁移2 解设1<x 1<x 2.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－(x 2－a x 2＋a2)＝(x 1－x 2)(1＋ax 1x 2)<0.又∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2恒成立．∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，－x 1x 2<－1.∴a ≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．例3 解题导引 (1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值说明抽象函数的特点．证明f (x )为单调减函数，首选方法是用单调性的定义来证．(2)用函数的单调性求最值．解 (1)方法一 ∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )．在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在R 上是减函数．方法二设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)．又∵x >0时，f (x )<0.而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．又∵f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1) ∴f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 变式迁移3 解 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，∴f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)，∴x >9；当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)， ∴－x >9，故x <－9，∴不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．课后练习区 1．充分不必要解析 f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．(－2,1)解析由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1.3．6解析由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．4．(0,1]解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．正解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0， ∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)， f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)， f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)，∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.6．[0，32]解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －3)x (x ≥0)(x －3)x (x <0).画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．7．③解析举例：设f (x )＝x ，易知①②④均不正确． 8．4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14.∴y ≥4.9．(1)证明当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2) ＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.………………………………………………………………………(5分)∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．…………………………………………(6分)(2)解由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．……………………………………(8分)∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)∵2－1x 2>0，x ∈(1，＋∞)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．………………………………………………………(12分)故a ≤h (1)，即a ≤3.∴a 的取值范围为(－∞，3]．…………………………………………………………(14分)10．解设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，由题意知，f (x )的对称轴为－a 2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．…………………………………………………………(4分)(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.……………………………………………………………(8分)(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.………………………………………………………………(13分)综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.………………………………………………(14分)11．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上单调递增．……………………………………………………………(4分)(2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴错误!∴－32≤x <－1.……………………………………………………………………………(9分)(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增．∴在[－1,1]上，f (x )≤1.…………………………………………………………………(10分)问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，自然对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或|m|≥2.………………………………………………………(14分)。