2020年湖北省襄阳市中考数学试题及参考答案(word解析版)
【解析版】2020年湖北省襄阳市中考数学试卷
【解析版】2020年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG ＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．3．（3分）下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（3分）下列说法正确的是（）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解答】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．【点评】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．5．（3分）如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C．D．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A．【点评】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．6．（3分）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据不等式组可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．【解答】解：由不等式组得﹣2≤x＜1，该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C 【分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC ＝∠BAC即可．【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：根据题意可得：，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝＝＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C＝＝＝40°．【点评】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．13．（3分）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．【分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，由概率公式即可得出答案．【解答】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为＝；故答案为：．【点评】本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25秒．【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．【点评】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．（3分）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于60°或120°．【分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．【解答】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．16．（3分）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为15．【分析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，∴EF＝＝3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB＝BF．∴S＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．矩形ABCD故答案为：15．【点评】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【分析】求出∠E的度数，再在Rt△BDE中，依据三角函数进行计算即可．【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝BD•cos∠D，＝560×cos50°，≈560×0.64，＝384（米）．答：点E与点D间的距离是384米．【点评】考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【分析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解答】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x＝8．答：现在每天用水量是8吨．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是76分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是78分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为720人．【分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数．【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝4，n＝2；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为2．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S＝|m|＝＝2，△POM故答案为2．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，根据＝，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD＝，根据勾股定理得到AE＝＝＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵＝，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AE＝AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO ＝∠BOC ＝60°，∴CE ∥AB ，∴S △ACE ＝S △COE ，∵∠OCD ＝90°，∠OCE ＝60°，∴∠DCE ＝30°，∴DE ＝CD ＝1，∴AD ＝3，∴图中阴影部分的面积＝S △ACD ﹣S 扇形COE ＝3﹣＝﹣．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1650元，求a 的最小值．【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．（3）根据（2）的结论分情况讨论．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，解得k＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k1x+b，根据题意得，，解得，∴y＝24x+3000．∴y＝，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，∴40≤a≤60，当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．当a＝40时．w min＝2700元，当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．当a＝60时，w min＝2740元，∵2740＞2700，∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克当时，即0≤a≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，解得a≥，与0≤a≤125矛盾，故舍去；当时，即a＞125，则甲种水果的进货价为24元/千克，，∴a≥126＞125，∴a的最小值为126．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝90°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE 于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．【分析】（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．②利用四点共圆的性质解决问题即可．（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝FE＝，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝5．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M（a，），则N（a，），∴＝，∵，∴S四边形ABCM ＝S△ACM+S△ABC＝，∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置．。
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷-含详细解析
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2的绝对值是()A. −2B. 2C. −12D. 122.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG=64°，则∠EGD的大小是()A. 132°B. 128°C. 122°D. 112°3.下列运算一定正确的是()A. a+a=a2B. a2⋅a3=a6C. (a3)4=a12D. (ab)2=ab24.下列说法正确的是()A. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件B. “汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定5.如图所示的三视图表示的几何体是()A.B.C.D.6.不等式组{x−4≤2(x−1),12(x+3)>x+1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是()A. B. C. D.7.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A. DB=DEB. AB=AEC. ∠EDC=∠BACD. ∠DAC =∠C8. 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是( )A. {x +y =100y =3xB. {x +y =100x =3yC. {x +y =10013x +3y =100D. {x +y =10013y +3x =1009. 已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是( )A. OA =OC ，OB =ODB. 当AB =CD 时，四边形ABCD 是菱形C. 当∠ABC =90°时，四边形ABCD 是矩形D. 当AC =BD 且AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形10. 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①ac <0；②3a +c =0；③4ac −b 2<0；④当x >−1时，y 随x 的增大而减小．其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 函数y =√4x −2中，自变量x 的取值范围是______．12. 如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =20°，则∠C =______．13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成(线形为或)，如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为______．14. 汽车刹车后行驶的距离s 与行驶时间t(秒)的函数关系是s =15t −6t 2，汽车从刹车到停下来所用时间是______秒．15. 在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于______°.16. 如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N，连接BN.若BF⋅AD=15，tan∠BNF=√5，则矩形ABCD的面积为______．2三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.先化简，再求值：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)−2y(3x+5y)，其中x=√2，y=√6−1．218.襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=560米，∠D=50°.那么点E与点D间的距离是多少米？(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方，这样120吨水可多用3天，式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45求现在每天用水量是多少吨？20.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值，不含后端点值)．信息二：第三组的成绩(单位：分)为747173747976777676737275根据信息解答下列问题：(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；(2)第三组竞赛成绩的众数是______分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是______分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为______人．(x>0)和一次函数y2=kx+b的图21.如图，反比例函数y1=mx象都经过点A(1,4)和点B(n,2)．(1)m=______，n=______；(2)求一次函数的解析式，并直接写出y1<y2时x的取值范围；(x>0)的图象上一点，过点P(3)若点P是反比例函数y1=mx作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为______．22.如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EC⏜=BC⏜，连接AE，AC.过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AB=4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)直接写出当0≤x≤50和x>50时，y与x之间的函数关系式；(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w(元)最少？(3)若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．24.在△ABC中，∠BAC═90°，AB=AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．(1)特例发现：如图1，当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：∠ACE=______°；(2)探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；(3)拓展运用：如图3，在(2)的条件下，当EFAF =13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．25.如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．根据绝对值的定义，可直接得出−2的绝对值．【解答】解：|−2|=2．故选：B．2.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∠EFG=64°，∴∠BEF=180°−∠EFG=116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=1∠BEF=58°，2∵AB//CD，∴∠EGD=180°−∠BEG=122°．故选：C．根据平行线的性质得到∠BEF=180°−∠EFG=116°，根据角平分线的定义得到∠BEF=58°，由平行线的性质即可得到结论．∠BEG=12此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．3.【答案】C【解析】解：A.a+a=2a，故本选项不合题意；B.a2⋅a3=a5，故本选项不合题意；C.(a3)4=a12，故本选项符合题意；D.(ab)2=a2b2，故本选项不合题意．故选：C．分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4.【答案】D【解析】解：A、“买中奖率为1的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；10B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．根据随机时间的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A ．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体． 6.【答案】A【解析】解：由不等式组{x −4≤2(x −1),12(x +3)>x +1得−2≤x <1， 该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A ．根据不等式组{x −4≤2(x −1),12(x +3)>x +1可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．7.【答案】D【解析】解：由作图可知，∠DAE =∠DAB ，∠DEA =∠B =90°，∵AD =AD ，∴△ADE≌△ADB(AAS)，∴DB =DE ，AB =AE ，∵∠AEB +∠B =180°∴∠BAC +∠BDE =180°，∵∠EDC +∠BDE =180°，∴∠EDC =∠BAC ，故A ，B ，C 正确，故选：D ．证明△ADE≌△ADB 即可判断A ，B 正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC =∠BAC 即可．本题考查作图−基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】C【解析】解：根据题意可得：{x +y =100x 3+3y =100， 故选：C ．根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：A、根据平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，该结论正确；B、当AB=CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC=BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．10.【答案】B【解析】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a>0，c<0，∴ac<0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x=1，=1，∴−b2a∴b=−2a，∵抛物线经过点(−1,0)，∴a−b+c=0，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2−4ac>0，即4ac−b2<0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x=1，∴当x<1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．11.【答案】x≥12【解析】【分析】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得4x−2≥0，，解得：x≥12故答案为x≥1．212.【答案】40°【解析】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B=180°−∠BAD2=180°−20°2=80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C=180°−∠ADC2=180°−100°2=40°．先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．13.【答案】38【解析】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m=3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为mn =38；故答案为：38．从八卦中任取一卦，基本事件总数n=8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m=3，由概率公式即可得出答案．本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．14.【答案】1.25【解析】解：∵s=15t−6t2=−6(t−1.25)2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．考查了一元二次方程的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15.【答案】60°或120【解析】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB=1：2，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB=1：2，得∠BOC=120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC 所对的圆周角度数．本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．16.【答案】15√5【解析】解：∵将△ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上， ∴AF ⊥DE ，AE =EF ，∵矩形ABCD 中，∠ABF =90°，∴B ，E ，N ，F 四点共圆，∴∠BNF =∠BEF ，∴tan∠BEF =√52， 设BF =√5x ，BE =2x ，∴EF =√BF 2+BE 2=3x ，∴AE =3x ，∴AB =5x ，∴AB =√5BF ．∴S 矩形ABCD =AB ⋅AD =√5BF ⋅AD =√5×15=15√5．故答案为：15√5．由折叠的性质得出∠BNF =∠BEF ，由条件得出tan∠BEF =√52，设BF =√5x ，BE =2x ，由勾股定理得出EF =3x ，得出AB =√5BF ，则可得出答案．本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．17.【答案】解：原式=4x 2+12xy +9y 2−4x 2+y 2−6xy −10y 2=6xy ，当x =√2，y =√62−1时，原式=6×√2×(√62−1)=6√3−6√2．【解析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18.【答案】解：∵A 、C 、E 三点在一条直线上，∠ABD =140°，∠D =50°， ∴∠E =140°−50°=90°，在Rt △BDE 中，DE =BD ⋅cos∠D ，=560×cos50°，≈560×0.64，=38.4(米)．答：点E 与点D 间的距离是38.4米．【解析】求出∠E 的度数，再在Rt △BDE 中，依据三角函数进行计算即可．考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．19.【答案】解：设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045x −120x =3，解得：x =10，经检验，x =10是原方程的解，且符合题意， ∴45x =8． 答：现在每天用水量是8吨．【解析】设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 20.【答案】76 78 720【解析】解：(1)50−4−12−20−4=10(人)，补全频数分布直方图如图所示：(2)第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76， 抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为77+792=78，因此中位数是78，故答案为：76，78；(3)1500×20+450=720(人)，故答案为：720．(1)计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；(2)根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；(3)样本估计总体，样本中80分以上的占20+450，因此估计总体1500人的20+450是80分以上的人数．考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．21.【答案】4 2 2【解析】解：(1)∵把A(1,4)代入y 1=m x (x >0)得：m =1×4=4，∴y =4x ，∵把B(n,2)代入y =4x 得：2=4n ，解得n =2；故答案为4，2；(2)把A(1,4)、B(2,2)代入y2=kx+b得：{k+b=42k+b=2，解得：k=−2，b=6，即一次函数的解析式是y=−2x+6．由图象可知：y1<y2时x的取值范围是1<x<2；(3)∵点P是反比例函数y1=mx(x>0)的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM=12|m|=12×4=2，故答案为2．(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；(2)分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1<y2时x的取值范围；(3)根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．22.【答案】(1)证明：连接OC，∵EC⏜=BC⏜，∴∠CAD=∠BAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠ACO，∴∠CAD=∠ACO，∴AD//OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)解：连接OE，连接BE交OC于F，∵EC⏜=BC⏜，∴OC⊥BE，BF=EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠EFC=90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF=CD=√3，∴BE=2√3，∴AE=√AB2−BE2=√42−(2√3)2=2，∴AE=12AB，∴∠ABE=30°，∴∠AOE=60°，∴∠BOE=120°，∵EC⏜=BC⏜，∴∠COE=∠BOC=60°，连接CE，∵OE=OC，∴△COE 是等边三角形，∴∠ECO =∠BOC =60°，∴CE//AB ，∴S △ACE =S △COE ，∵∠OCD =90°，∠OCE =60°，∴∠DCE =30°，∴DE =√33CD =1，∴AD =3，∴图中阴影部分的面积=S △ACD −S 扇形COE =12×√3×3−60⋅π×22360=3√32−2π3．【解析】(1)连接OC ，根据EC⏜=BC ⏜，求得∠CAD =∠BAC ，根据等腰三角形的性质得到∠BAC =∠ACO ，推出AD//OC ，根据平行线的性质得到OC ⊥CD ，于是得到CD 是⊙O 的切线；(2)连接OE ，连接BE 交OC 于F ，根据垂径定理得到OC ⊥BE ，BF =EF ，由圆周角定理得到∠AEB =90°，根据矩形的性质得到EF =CD =√3，根据勾股定理得到AE =√AB 2−BE 2=√42−(2√3)2=2，求得∠AOE =60°，连接CE ，推出CE//AB ，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：(1)当0≤x ≤50是，设y =kx ，根据题意得50k =1500， 解得k =30；∴y =30x ；当x >50时，设y =k 1x +b ，根据题意得，{50k +b =150070k +b =1980，解得{k =24b =300， ∴y =24x +3000．∴y ={30x(0≤x ≤50)24x +300(x >50)，(2)设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果(100−a)千克，∴40≤a ≤60，当40≤a ≤50时，w 1=30a +25(100−a)=5a +2500．当a =40 时．w min =2700元，当50<a ≤60时，w 2=24a +300+25(100−a)=−a +2800．当a =60时，w min =2740元，∵2740>2700，∴当a =40时，总费用最少，最少总费用为2700元．此时乙种水果100−40=60(千克)．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w(元)最少．(3)由题意得：(40−30)×25a +(36−25)×35a ≥1650，解得x≥1555，53∵a为正整数，∴a≥156，∴a的最小值为156．【解析】(1)由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．(2)设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果(100−a)千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．(3)根据(2)的结论列不等式解答即可．本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．24.【答案】90【解析】(1)①证明：如图1中，∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，∵AD=AF，∴∠ADF=∠AFD，∴∠ADB=∠AFC，∴△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD=CF．②结论：∠ACE=90°．理由：如图1中，∵DA=DE，∠ADE=90°，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACD=∠AED=45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°．故答案为90．(2)结论：∠ACE=90°．理由：如图2中，∵DA=DE，∠ADE=90°，AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ACD=∠AED=45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE=180°，∴∠ACE=90°．(3)如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE=180°，∴AB//CE，∴ECAB =EFAF=13，设EC=a，则AB=AC=3a，AK=3a−163，∵DA=DE，DK⊥AE，∴AP=PE，∴AK=KE=3a−163，∵EK2=CK2+EC2，∴(3a−163)2=(163)2+a2，解得a=4或0(舍弃)，∴EC=5，AB=AC=15，∴AE=√AC2+EC2=√152+52=5√10，∴DP=PA=PE=12AE=5√102，EF=14AE=5√104，∴PF=PE=5√104，∵∠DPF=90°，∴DF=√DP2+PF2=√(5√102)2+(5√104)2=25√24(1)①证明△ABD≌△ACF(AAS)可得结论．②利用四点共圆的性质解决问题即可．(2)结论不变．利用四点共圆证明即可．(3)如图3中，连接EK.首先证明AB=AC=3EC，设EC=a，则AB=AC=3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25.【答案】解：(1)令x =0，得y =−12x +2=2， ∴A(0,2)， 令y =0，得y =−12x +2=0，解得，x =4，∴C(4,0)，把A 、C 两点代入y =−14x 2+bx +c 得，{c =2−4+4b +c =0，解得{b =12c =2， ∴抛物线的解析式为y =−14x 2+12x +2，令y =0，得y =−14x 2+12x +2=0，解得，x =4，或x =−2，∴B(−2,0)；(2)过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1，设M(a,−14a 2+12a +2)，则N(a,−12a +2)，∴S △ACM =12MN ⋅OC =12(−14a 2+a)×4=−12a 2+2a ，∵S △ABC =12BC ⋅OA =12×(4+2)×2=6， ∴S 四边形ABCM =S △ACM +S △ABC =−12a 2+2a +6=−12(a −2)2+8， ∴当a =2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8，此时M 的坐标为(2,2)；(3)∵将线段OA 绕x 轴上的动点P(m,0)顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′=PO=m，O′A′=OA=2，∴O′(m,m)，A′(m+2,m)，当A′(m+2,m)在抛物线上时，有−14(m+2)2+12(m+2)+2=m，解得，m=−3±√17，当点O′(m,m)在抛物线上时，有−14m2+12m+2=m，解得，m=−4或2，∴当−4≤m≤−3−√17或−3+√17≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．【解析】(1)令x=0，由y=−12x+2，得A点坐标，令y=0，由y=−12x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y=0，便可求得B点坐标；(2)过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M(a,−14a2+12a+2)，则N(a,−12a+2)，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；(3)根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第(2)题关键再求函数的解析式，第(3)关键是确定O′，A′点的坐标与位置．。
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷(含解析)印刷版
C．
D．
可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，
得﹣2≤x＜1，
该不等式组的解集在数轴表示如下：
故选：A．
7．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）
8
A．DB＝DE
B．AB＝AE
C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C
【分析】证明△ADE≌△ADB 即可判断 A，B 正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC 即可．
11．（3 分）函数 y＝
中自变量 x 的取值范围是
．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝
°．
2
13．（3 分）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为
或 ），如正北方向的卦为 ，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有 2 根 和 1 根
2）．
（1）m＝
，n＝
；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出 y1＜y2 时 x 的取值范围；
（3）若点 P 是反比例函数 y1＝ （x＞0）的图象上一点，过点 P 作 PM⊥x 轴，垂足为 M，则△POM
的面积为
．
22．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，E，C 是⊙O 上两点，且 ＝ ，连接 AE，AC．过点 C 作 CD⊥
A．“买中奖率为 的奖券 10 张，中奖”是必然事件
B．“汽车累积行驶 10000km，从未出现故障”是不可能事件
C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为 70%”，意味着襄阳明天一定下雨
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D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定 【分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：A、“买中奖率为 的奖券 10 张，中奖”是随机事件，故本选项错误；
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷资料
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）（2020•襄阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．−12D．122．（3分）（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°3．（3分）（2020•襄阳）下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2 4．（3分）（2020•襄阳）下列说法正确的是（）A．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定5．（3分）（2020•襄阳）如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C ．D ．6．（3分）（2020•襄阳）不等式组{x −4≤2(x −1)，12(x +3)＞x +1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2020•襄阳）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A ．DB ＝DE B ．AB ＝AEC ．∠EDC ＝∠BACD ．∠DAC ＝∠C8．（3分）（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ）A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100 9．（3分）（2020•襄阳）已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是（ ）A ．OA ＝OC ，OB ＝ODB ．当AB ＝CD 时，四边形ABCD 是菱形C ．当∠ABC ＝90°时，四边形ABCD 是矩形D ．当AC ＝BD 且AC ⊥BD 时，四边形ABCD 是正方形10．（3分）（2020•襄阳）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）（2020•襄阳）函数y=√x−2中自变量x的取值范围是．12．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．13．（3分）（2020•襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．14．（3分）（2020•襄阳）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为秒．15．（3分）（2020•襄阳）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．16．（3分）（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=√52，则矩形ABCD的面积为．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．（6分）（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x +3y ）2﹣（2x +y ）（2x ﹣y ）﹣2y （3x +5y ），其中x =√2，y =√62−1．18．（6分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E 处同时施工．要使A 、C 、E 三点在一条直线上，工程队从AC 上的一点B 取∠ABD ＝140°，BD ＝560米，∠D ＝50°．那么点E 与点D 间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．（6分）（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20．（6分）（2020•襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．21．（7分）（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=mx（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1=mx（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．22．（8分）（2020•襄阳）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且EĈ=BĈ，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD=√3，求图中阴影部分的面积．23．（10分）（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．24．（11分）（2020•襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF =13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK=163，求DF的长．25．（12分）（2020•襄阳）如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．2020年湖北省襄阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）（2020•襄阳）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．−12D．12【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．2．（3分）（2020•襄阳）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG=12∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．3．（3分）（2020•襄阳）下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）（2020•襄阳）下列说法正确的是（ ）A ．“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件B ．“汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是不可能事件C ．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D ．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【解答】解：A 、“买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B 、汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C 、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D 、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D ．5．（3分）（2020•襄阳）如图所示的三视图表示的几何体是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A ．6．（3分）（2020•襄阳）不等式组{x −4≤2(x −1)，12(x +3)＞x +1中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由不等式组{x −4≤2(x −1)，12(x +3)＞x +1得﹣2≤x ＜1， 该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A ．7．（3分）（2020•襄阳）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A ．DB ＝DE B ．AB ＝AEC ．∠EDC ＝∠BACD ．∠DAC ＝∠C【解答】解：由作图可知，∠DAE ＝∠DAB ，∠DEA ＝∠B ＝90°，∵AD ＝AD ，∴△ADE ≌△ADB （AAS ），∴DB ＝DE ，AB ＝AE ，∵∠AED +∠B ＝180°∴∠BAC +∠BDE ＝180°，∵∠EDC +∠BDE ＝180°，∴∠EDC ＝∠BAC ，故A ，B ，C 正确，故选：D ．8．（3分）（2020•襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是（ ）A ．{x +y =100y =3xB ．{x +y =100x =3yC ．{x +y =10013x +3y =100D ．{x +y =10013y +3x =100【解答】解：根据题意可得：{x+y=100x3+3y=100，故选：C．9．（3分）（2020•襄阳）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．10．（3分）（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）（2020•襄阳）函数y=√x−2中自变量x的取值范围是x≥2．【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B=180°−∠BAD2=180°−20°2=80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C=180°−∠ADC2=180°−100°2=40°．13．（3分）（2020•襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为38．【解答】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n ＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m ＝3， ∴这一卦中恰有2根和1根的概率为m n=38；故答案为：38．14．（3分）（2020•襄阳）汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是s ＝15t ﹣6t 2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒． 【解答】解：∵s ＝15t ﹣6t 2＝﹣6（t ﹣1.25）2+9.375， ∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒． 故答案为：1.25．15．（3分）（2020•襄阳）在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于 60°或120 °． 【解答】解：如图，∵弦BC 垂直平分半径OA ， ∴OD ：OB ＝1：2， ∴∠BOD ＝60°， ∴∠BOC ＝120°，∴弦BC 所对的圆周角等于60°或120°． 故答案为：60°或120°．16．（3分）（2020•襄阳）如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将△ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若BF •AD ＝15，tan ∠BNF =√52，则矩形ABCD 的面积为 15√5 ．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF=√5 2，设BF=√5x，BE＝2x，∴EF=√BF2+BE2=3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB=√5BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD=√5BF•AD=√5×15＝15√5．故答案为：15√5．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．（6分）（2020•襄阳）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x=√2，y=√62−1．【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x=√2，y=√62−1时，原式＝6×√2×（√62−1）＝6√3−6√2．18．（6分）（2020•襄阳）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【解答】解：∵A 、C 、E 三点在一条直线上，∠ABD ＝140°，∠D ＝50°， ∴∠E ＝140°﹣50°＝90°， 在Rt △BDE 中， DE ＝BD •cos ∠D ， ＝560×cos50°， ≈560×0.64， ＝384（米）．答：点E 与点D 间的距离是384米．19．（6分）（2020•襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【解答】解：设原来每天用水量是x 吨，则现在每天用水量是45x 吨，依题意，得：12045x−120x=3，解得：x ＝10，经检验，x ＝10是原方程的解，且符合题意， ∴45x ＝8．答：现在每天用水量是8吨．20．（6分）（2020•襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息： 信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是 76 分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 78 分； （3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为 720 人．【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人）， 补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76， 抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为77+792=78，因此中位数是78， 故答案为：76，78； （3）1500×20+450=720（人）， 故答案为：720．21．（7分）（2020•襄阳）如图，反比例函数y 1=mx（x ＞0）和一次函数y 2＝kx +b 的图象都经过点A （1，4）和点B （n ，2）． （1）m ＝ 4 ，n ＝ 2 ；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y 1＜y 2时x 的取值范围；（3）若点P 是反比例函数y 1=mx（x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，则△POM 的面积为 2 ．【解答】解：（1）∵把A （1，4）代入y 1=mx（x ＞0）得：m ＝1×4＝4， ∴y =4x，∵把B （n ，2）代入y =4x得：2=4n， 解得n ＝2； 故答案为4，2；（2）把A （1，4）、B （2，2）代入y 2＝kx +b 得：{k +b =42k +b =2，解得：k ＝﹣2，b ＝6，即一次函数的解析式是y ＝﹣2x +6．由图象可知：y 1＜y 2时x 的取值范围是1＜x ＜2；（3）∵点P 是反比例函数y 1=mx （x ＞0）的图象上一点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，∴S △POM =12|m |=12×4=2， 故答案为2．22．（8分）（2020•襄阳）如图，AB 是⊙O 的直径，E ，C 是⊙O 上两点，且EC ̂=BC ̂，连接AE ，AC ．过点C 作CD ⊥AE 交AE 的延长线于点D ． （1）判定直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AB ＝4，CD =√3，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC，∵EĈ=BĈ，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵EĈ=BĈ，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD=√3，∴BE＝2√3，∴AE=√AB2−BE2=√42−(2√3)2=2，∴AE=12AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵EĈ=BĈ，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE=√33CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE=12×√3×3−60⋅π×22360=3√32−2π3．23．（10分）（2020•襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．【解答】解：（1）当0≤x ≤50时，设y ＝kx ，根据题意得50k ＝1500， 解得k ＝30； ∴y ＝30x ；当x ＞50时，设y ＝k 1x +b ， 根据题意得，{50k +b =150070k +b =1980，解得{k =24b =300， ∴y ＝24x +3000．∴y ={30x(0≤x ≤50)24x +300(x ＞50)，（2）设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果（100﹣a ）千克， ∴40≤a ≤60，当40≤a ≤50时，w 1＝30a +25（100﹣a ）＝5a +2500． 当a ＝40 时．w min ＝2700 元，当50＜a ≤60时，w 2＝24a +300+25（100﹣a ）＝﹣a +2800． 当a ＝60时，w min ＝2740 元， ∵2740＞2700，∴当a ＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元． 此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w （元）最少．（3）由题意可设甲种水果为25a 千克，乙种水果为35a 千克当0≤25a ≤50时，即0≤a ≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克， （40﹣30）×25a +（36﹣25）×35a ≥1650， 解得a ≥825053＞125， 与0≤a ≤125矛盾，故舍去； 当25a ＞50时，即a ＞125，则甲种水果的进货价为24元/千克，25a ×(40−24)+35a ×(36−25)≥1650，∴a ≥1261213＞125，∴a 的最小值为1261213．24．（11分）（2020•襄阳）在△ABC 中，∠BAC ═90°，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，DE ⊥DA 且DE ＝DA ，AE 交边BC 于点F ，连接CE ． （1）特例发现：如图1，当AD ＝AF 时， ①求证：BD ＝CF ；②推断：∠ACE ＝ 90 °；（2）探究证明：如图2，当AD ≠AF 时，请探究∠ACE 的度数是否为定值，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EF AF=13时，过点D 作AE 的垂线，交AE于点P ，交AC 于点K ，若CK =163，求DF 的长．【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴ECAB =EFAF=13，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a−163，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a−16 3，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a−163）2＝（163）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE=√AC2+EC2=√42+122=4√10，∴DP＝P A＝PE=12AE＝2√10，EF=14AE=√10，∴PF＝FE=√10，∵∠DPF＝90°，∴DF=√DP2+PF2=√(2√10)2+(√10)2=5√2．25．（12分）（2020•襄阳）如图，直线y=−12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=−14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；（3）将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，若线段O ′A ′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．【解答】解：（1）令x ＝0，得y =−12x +2＝2， ∴A （0，2），令y ＝0，得y =−12x +2＝0，解得，x ＝4， ∴C （4，0），把A 、C 两点代入y =−14x 2+bx +c 得，{c =2−4+4b +c =0，解得{b =12c =2， ∴抛物线的解析式为y =−14x 2+12x +2， 令y ＝0，得y =−14x 2+12x +2=0， 解得，x ＝4，或x ＝﹣2， ∴B （﹣2，0）；（2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1， 设M （a ，−14a 2+12a +2），则N （a ，−12a +2）， ∴S △ACM =12MN ⋅OC =12(−14a 2+a)×4=−12a 2+2a ， ∵S △ABC =12BC ⋅OA =12×(4+2)×2=6，∴S 四边形ABCM ＝S △ACM +S △ABC =−12a 2+2a +6=−12(a −2)2+8， ∴当a ＝2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有−14(m+2)2+12(m+2)+2=m，解得，m＝﹣3±√17，当点O′（m，m）在抛物线上时，有−14m2+12m+2=m，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3−√17≤m≤﹣4或﹣3+√17≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．(素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏) (素材文档整理不易，若对您有用建议可收藏)。
湖北省襄阳市2020年中考数学试卷
湖北省襄阳市2020年中考数学试卷一、选择题（共10题；共20分）1. ( 2分) （2017·深圳）-2的绝对值是（）A. -2B. 2C.D.2. ( 2分) （2020·襄阳）如图，，直线分别交，于点E，F，平分，若，则的大小是（）A. B. C. D.3. ( 2分) （2020·襄阳）下列运算一定正确的是（）A. B. C. D.4. ( 2分) （2020·襄阳）下列说法正确的是（）A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是不可能事件C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着襄阳明天一定下雨D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定5. ( 2分) （2016九上·金东期末）如图所示的三视图表示的几何体是（）A. B. C. D.6. ( 2分) （2020·襄阳）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A. B. C. D.7. ( 2分) （2020·襄阳）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A. B. C. D.8. ( 2分) （2020·襄阳）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A. B. C. D.9. ( 2分) （2020·襄阳）已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（）A. ，B. 当时，四边形是菱形C. 当时，四边形是矩形D. 当且时，四边形是正方形10. ( 2分) （2020·襄阳）二次函数的图象如图所示，下列结论：① ；②；③ ；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、填空题（共6题；共7分）11. ( 1分) 函数y= 中，自变量x的取值范围是________；实数2﹣的倒数是________．12. ( 2分) 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=________ ．13. ( 1分) （2020·襄阳）《易经》是中国传统文化的精髓.如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为.从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为________.14. ( 1分) （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是________秒.15. ( 1分) （2020·襄阳）在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于________°.16. ( 1分) （2020·襄阳）如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A 的对应点F恰好落在边上，连接交于点N，连接.若，，则矩形的面积为________.三、解答题（共9题；共80分）17. ( 5分) （2020·襄阳）先化简，再求值：，其中.18. ( 5分) （2020·襄阳）襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中.如图，工程队拟沿方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工，要使A，C，E三点在一条直线上，工程队从上的一点B取，米，.那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：，，）19. ( 5分) （2020·襄阳）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式.改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20. ( 7分) （2020·襄阳）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞賽（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是________分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为________人.21. ( 7分) （2020·襄阳）如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点.（1）________，________；（2）求一次函数的解析式，并直接写出时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数的图象上一点，过点P作轴，垂足为M，则的面积为________.22. ( 10分) （2020·襄阳）如图，是⊙O的直径，E，C是上两点，且，连接，，过点C作交的延长线于点D.（1）判定直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若，，求图中阴影部分的面积.23. ( 15分) （2020·襄阳）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难，八方支援.”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示.（1）直接写出当和时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克.如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分別为40元/千克和36元/千克，经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值.24. ( 11分) （2020·襄阳）在中，，.点D在边上，且，交边于点F，连接.（1）特例发现：如图1，当时，①求证：；②推断：▲ .；（2）探究证明：如图2，当时，请探究的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当时，过点D作的垂线，交于点P，交于点K，若，求的长.25. ( 15分) （2020·襄阳）如图，直线交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线经过点A，点C，且交x轴于另一点B.（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及抛物线的解析式；（2）在直线上方的抛物线上有一点M，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段绕x轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围.答案解析部分一、选择题1.【答案】B【考点】绝对值及有理数的绝对值【解析】【解答】解：依题可得：|-2|=2.故答案为B.【分析】根据正数和0的绝对值是它们本身，负数的绝对值是它的相反数.2.【答案】C【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：，平分，故答案为：C.【分析】利用平行线的性质求解，利用角平分线求解，再利用平行线的性质可得答案.3.【答案】C【考点】同底数幂的乘法，合并同类项法则及应用，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】解：A、，故原式错误；B、，故原式错误；C、，原式正确；D、，故原式错误，故答案为：C.【分析】利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可.4.【答案】D【考点】随机事件，可能性的大小，方差【解析】【解答】A. “买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；B. “汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；故答案为：D.【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可.5.【答案】B【考点】由三视图判断几何体【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选B．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．6.【答案】A【考点】在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组【解析】【解答】解：，解不等式①：去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；解不等式②：去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，系数化为1，得；故原不等式组的解集为.故答案为：A.【分析】分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为，即可选出答案.7.【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【解答】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，在△AED和△ABD中：∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，选项D，题目中缺少条件证明，故答案为：D错误.故答案为：D.【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解.8.【答案】C【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题【解析】【解答】解：设小马有x匹，大马有y匹，由题意可得：，故答案为：C.【分析】设小马有x匹，大马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可.9.【答案】B【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，故A正确，四边形是平行四边形，，不能推出四边形是菱形，故错误，四边形是平行四边形，，四边形是矩形，故C正确，四边形是平行四边形，，，四边形是正方形.故D正确.故答案为：B.【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；（2）根据菱形的判定“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知当AB=CD时，四边形ABCD是菱形错误；（3）根据一个角是直角的平行四边形是矩形可知当∠ABC=90°时，四边形是矩形；（4）根据对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形可知，当且时，四边形是正方形.10.【答案】B【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴，∴a＞0,c＜0∴ac＜0故①正确；②∵抛物线的对称轴是x=1，∴∴b=-2a∵当x=-1时，y=0∴0=a-b+c∴3a+c=0故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解∴∴故③正确；④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大.故④错误所以正确的答案有①、②、③共3个故答案为：B【分析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确；把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误；抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y 随着x的增大而增大，故④错误.二、填空题11.【答案】x≥2；2+【考点】函数自变量的取值范围【解析】【解答】解：y= 中，自变量x的取值范围是x≥2；实数2﹣的倒数是2+ ，故答案为：x≥2，2+ ．【分析】根据被开方数是非负数，倒数的定义，可得答案．12.【答案】40°【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质【解析】【解答】解：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．13.【答案】【考点】简单事件概率的计算【解析】【解答】解：观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根和1根的的情况有3种，所以P= ，故答案为：.【分析】观察图像可知：所有可能的结果有8种，符合题意的只有3种，由概率公式计算即可求解.14.【答案】1.25【考点】二次函数的最值【解析】【解答】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒.故答案为：1.25.【分析】由题意得，先将函数解析式根据公式y=ax2+bx+c=a(x+)2+化为顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.15.【答案】120或60【考点】菱形的判定与性质，圆周角定理【解析】【解答】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形OBAC是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，∵OB=OA，OE= ,∴cos∠BOE= ，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，∴∠BFC= ∠BOC=60°，∴弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120或60.【分析】根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是菱形，再根据OB=OA，OE= 求出∠BOE=60°，即可求出答案.16.【答案】【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：由折叠可得：，，，∴∵，且易得，∴，∴，∵，，∴，∴，即，在中，，解得，∵，∴，故答案为：.【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出，故，在中应用勾股定理，得到，即可求解.三、解答题17.【答案】解：原式.当时代入：原式.故答案为：.【考点】利用整式的混合运算化简求值【解析】【分析】由题意先将整式根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”和平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”化简，再把xy的值代入女化简后的多项式计算即可求解.18.【答案】解：∵，∴，∴，即，解得（米），答：点E与点D间的距离是358.4米.【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】由，根据三角形外角的性质可得，故为直角三角形，根据的余弦值即可求解.19.【答案】解：设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，根据题意得，- =3解得，x=10，经检验，x=10是原方程的根.∴吨，答：现在每天用水量是8吨.【考点】分式方程的实际应用【解析】【分析】设原来每天用水量为x吨，则现在每天用水量为吨，原来使用的天数为天，现在使用的天数为天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.20.【答案】（1）解：第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）补全统计图如下：（2）76；78（3）720【考点】用样本估计总体，频数（率）分布直方图，中位数，众数【解析】【解答】解：（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：（分），故中位数为78（分）；故答案为：76；78；（3）1500× =720（人），故答案为：720.【分析】（1）用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可；（2）根据众数和中位数的定义求解即可；（3）样本估计总体，样本中不低于80分的占，进而估计1500名学生中不低于80分的人数.21.【答案】（1）4；2（2）解：把A(1,4)，B(2,2)分别代入得解得∴y2=-2x+6当y1＜y2时，从图象看得出：1<x<2（3）2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：（1）把x=1,y=4代入得，4= ，解得m=4∴当y=2时，2=解得，n=2设P点横坐标为a,则纵坐标为，∴OM=a，PM= ,∴S△POM=【分析】（1）把A(1,4)代入求出m的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n的值；（2）由（1）可知A、B两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k、b的值即可，再根据t图象判定出时x的取值范围；（3）设P点横坐标为a,则纵坐标为，即可知道OM、PM，进而求出面积即可. 22.【答案】（1）证明：直线DC与⊙O相切.理由如下：连接OC，如图，∵∴∠EAC＝∠OAC∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ACO＝∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切线；（2）解：连接OC、OE、CB，过C作CH⊥AB于H，∵CH⊥AB，CD⊥AE∴∠ADC=∠AHC，∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC∴△ADC≌△AHC∴CH= ，AH=AD，∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°∴∠CAH=∠BCH，又∵∠CHA=∠BHC，∴△CAH∽△BCH∴∴∴AH=3或1（舍去1）∴BH= 1∴S△ACH=在Rt△CHB中，BH=1，HC=∴∠BCH=30°=∠CAB∴∠COB=∠EOC=60°∴S阴影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE=- = -【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OC，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC＝∠OAC，加上∠ACO＝∠OAC，则∠ACO＝∠DAC，于是可判断OC∥AD，则根据平行线的性质得到OC⊥CD，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC是⊙O的切线；（2）连接OE、BC，作CH⊥AB于H，如图，先利用角平分线的性质得到CH＝CD＝，求出△ACH的面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC的面积=△ACHD 的面积，再利用S阴影=S梯形OCDE-S扇形OCE=S△ACD-S扇形OCE= S△ACH-S扇形OCE，即可得出答案.23.【答案】（1）解：当时，设y=kx，将（50，1500）代入得1500=50k，解得k=30，所以；当时，设y=k1x+b，将（50，1500）、（70，1980）分别代入得，解得：，所以；综上；（2）解：甲进货x千克，则乙进货（100－x）千克①40≤x≤50w=30x+（100－x）×25=5x+2500∵k＞0∴当x=40时，w有最小值为2700；②50＜x≤60，w=24x+300+（100－x）×25，=﹣x+2800，∵k＜0，∴当x=60时w有最小值为2740，∵2700＜2740，∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；（3）解：由题可设甲为，乙为；当0≤ ≤50时，即0≤a≤125则甲的进货价为30元/千克，×（40－30）＋×（36－25）≥1650，∴a≥ ＞125，与0≤a≤125矛盾，故舍去，当＞50时，即a＞125，则甲的进货价为24元/千克，×（40－24）＋×（36－25）≥1650，∴a≥ ＞125 ，∴a的最小值为答：a的最小值为，利润不低于1650元.【考点】一元一次不等式组的应用，分段函数，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）根据函数图像利用选定系数法即可求出y与x之间的函数关系式.（2）甲进x千克，则乙进（100－x）千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x与付款y 的关系式为，结合乙水果花费的金额，表示出w关于x的一次函数关系式，根据x取值范围求出w的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x与付款y的关系式为，同样加上乙水果花费金额，表示出w函数关系式，再根据x的取值范围求出w最小值，比较w谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量.（3）通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a的最小值.24.【答案】（1）证明：①②90°（2）证明：为定值，理由如下：由（1）得：（3）解：，设则，解得：【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】（1）②推断：理由如下：【分析】（1）①利用已知条件证明即可得到结论，②先证明利用相似三角形的性质再证明结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设则利用等腰直角三角形的性质分别表示：由表示再证明利用相似三角形的性质建立方程求解，即可得到答案.25.【答案】（1）解：对直线，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4，∴点A的坐标是（0，2），点C的坐标是（4，0），把点A、C两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，∵抛物线的对称轴是直线，C（4，0），∴点B的坐标为（﹣2，0）；∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），抛物线的解析式是；（2）解：过点M作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示.设M（m，），则F（m，），∴，∴S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC=，∵0＜m＜4，∴当m=2时，四边形面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为（2，2）；（3）解：若m＞0，当旋转后点落在抛物线上时，如图2，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；当旋转后点落在抛物线上时，如图3，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m，m），∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴当m＞0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；若m＜0，当旋转后点落在抛物线上时，如图4，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m，m），∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；当旋转后点落在抛物线上时，如图5，线段与抛物线只有一个公共点，∵点的坐标是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；∴当m＜0时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：；综上，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：或.【考点】二次函数图象的几何变换，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）对直线，分别令x=0，y=0求出相应的y，x的值即得点A、C的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B的坐标；（2）过点M 作ME⊥x轴于点E，交直线AC于点F，如图1所示.设点M的横坐标为m，则MF的长可用含m的代数式表示，然后根据S四边形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四边形ABCM关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形面积的最大值及点M的坐标；（3）当m＞0时，分旋转后点与点落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m的代数式表示出点与点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m的值，进而可得m的范围；当m＜0时，用同样的方法可再求出m的一个范围，从而可得结果.试卷分析部分1. 试卷总体分布分析2. 试卷题量分布分析3. 试卷难度结构分析4. 试卷知识点分析。
2020年湖北省襄阳市中考数学试和答案
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG 平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°3．（3分）下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2 4．（3分）下列说法正确的是（）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定5．（3分）如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C．D．6．（3分）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC ＝∠C8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．9．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．13．（3分）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为秒．15．（3分）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．16．（3分）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE 于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD 的面积为．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E 处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b 的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P 作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y 元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D 作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF 的长．25．（12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．2020年湖北省襄阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．【解答】解：|﹣2|＝2．故选：B．2．【解答】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．3．【解答】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．4．【解答】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．5．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A．6．【解答】解：由不等式组得﹣2≤x＜1，该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A．7．【解答】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．8．【解答】解：根据题意可得：，故选：C．9．【解答】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．10．【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．12．【解答】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝＝＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C＝＝＝40°．13．【解答】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为＝；故答案为：．14．【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．15．【解答】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．16．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，∴EF＝＝3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB＝BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．故答案为：15．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．【解答】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．18．【解答】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D ＝50°，∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝BD•cos∠D，＝560×cos50°，≈560×0.64，＝384（米）．答：点E与点D间的距离是384米．19．【解答】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x 吨，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x＝8．答：现在每天用水量是8吨．20．【解答】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．21．【解答】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P 作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．22．【解答】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵＝，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AE＝AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．23．【解答】解：（1）当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，解得k＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k1x+b，根据题意得，，解得，∴y＝24x+3000．∴y＝，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，∴40≤a≤60，当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．当a＝40 时．w min＝2700 元，当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．当a＝60时，w min＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克当时，即0≤a≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，解得a≥，与0≤a≤125矛盾，故舍去；当时，即a＞125，则甲种水果的进货价为24元/千克，，∴a＝126＞125，∴a的最小值为126．24．【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝FE＝，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝5．25．【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M（a，），则N（a，），∴＝，∵，∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．。
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷和答案解析
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷和答案解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2B．2C．﹣D．解析：根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．参考答案：解：|﹣2|＝2．故选：B．点拨：本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．（3分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG 平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°解析：根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．参考答案：解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．点拨：此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．3．（3分）下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2解析：分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．参考答案：解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．点拨：本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（3分）下列说法正确的是（）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定解析：根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．参考答案：解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．点拨：此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．5．（3分）如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C．D．解析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．参考答案：解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A．点拨：考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．6．（3分）不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：根据不等式组可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．参考答案：解：由不等式组得﹣2≤x＜1，该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A．点拨：本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC ＝∠C解析：证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC＝∠BAC即可．参考答案：解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．点拨：本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（3分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．解析：根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．参考答案：解：根据题意可得：，故选：C．点拨：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形解析：根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．参考答案：解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．点拨：本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个解析：二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．参考答案：解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．点拨：本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的相应位置上．11．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥2．解析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．参考答案：解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．点拨：本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝40°．解析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．参考答案：解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝＝＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C＝＝＝40°．点拨：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．13．（3分）《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．解析：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，由概率公式即可得出答案．参考答案：解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为＝；故答案为：．点拨：本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．14．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25秒．解析：利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．参考答案：解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．点拨：考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．（3分）在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于60°或120°．解析：根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC 所对的圆周角度数．参考答案：解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．点拨：本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．16．（3分）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE 于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD 的面积为15．解析：由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．参考答案：解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，∴EF＝＝3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB＝BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．故答案为：15．点拨：本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，井且写在答题卡上每题对应的答题区域内．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．解析：原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．参考答案：解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．点拨：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E 处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）解析：求出∠E的度数，再在Rt△BDE 中，依据三角函数进行计算即可．参考答案：解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝BD•cos∠D，＝560×cos50°，≈560×0.64，＝38.4（米）．答：点E与点D间的距离是38.4米．点拨：考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？解析：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．参考答案：解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x 吨，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x＝8．答：现在每天用水量是8吨．点拨：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是76分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是78分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为720人．解析：（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数．参考答案：解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．点拨：考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b 的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝4，n＝2；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P 作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为2．解析：（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．参考答案：解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P 作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．点拨：本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．解析：（1）连接OC，根据＝，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF ＝CD＝，根据勾股定理得到AE＝＝＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．参考答案：（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵＝，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AE＝AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．点拨：本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y 元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．解析：（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．（3）根据（2）的结论列不等式解答即可．参考答案：解：（1）当0≤x≤50是，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，解得k＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k1x+b，根据题意得，，解得，∴y＝24x+3000．∴y＝，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，∴40≤a≤60，当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．当a＝40 时．w min＝2700 元，当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．当a＝60时，w min＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．（3）由题意得：（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，解得a≥，∵a为正整数，∴a≥156，∴a的最小值为156．点拨：本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝90°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D 作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF 的长．解析：（1）①证明△ABD≌△ACF（AAS）可得结论．②利用四点共圆的性质解决问题即可．（2）结论不变．利用四点共圆证明即可．（3）如图3中，连接EK．首先证明AB＝AC＝3EC，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，在Rt△KCE中，利用勾股定理求出a，再求出DP，PF即可解决问题．参考答案：（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF，∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠AFD，∴∠ADB＝∠AFC，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD＝CF．②结论：∠ACE＝90°．理由：如图1中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．故答案为90．（2）结论：∠ACE＝90°．理由：如图2中，∵DA＝DE，∠ADE＝90°，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝45°，∴A，D，E，C四点共圆，∴∠ADE+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝90°．（3）如图3中，连接EK．∵∠BAC+∠ACE＝180°，∴AB∥CE，∴＝＝，设EC＝a，则AB＝AC＝3a，AK＝3a﹣，∵DA＝DE，DK⊥AE，∴AP＝PE，∴AK＝KE＝3a﹣，∵EK2＝CK2+EC2，∴（3a﹣）2＝（）2+a2，解得a＝4或0（舍弃），∴EC＝4，AB＝AC＝12，∴AE＝＝＝4，∴DP＝PA＝PE＝AE＝2，EF＝AE＝，∴PF＝FE＝，∵∠DPF＝90°，∴DF＝＝＝5．点拨：本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．25．（12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．解析：（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y ＝﹣x+2，得C点坐标，将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．参考答案：解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，设M（a，），则N（a，），∴＝，∵，∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，此时M的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．点拨：本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置．。
初中数学中考襄阳试题(2020年含点评)
解答：解：A、4a﹣a=3a，选项错误； B、正确； C、（﹣a3）2=a6，选项错误； D、a6÷a2=a4，选项错误． 故选B．
A．
B．
C．
D．
3
考点：简单组合体的三视图． 3801346
分析：判断出组合体的左视图、主视图及俯视图，即可作出判断． 解答：解：几何体的左视图和主视图是相同的，则不同的视图是俯视图，俯视图是D选项所给的图
形． 故选D． 点评：本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，注意理解三视图观察的方向． 9．（3分）（2020•襄阳）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB=5，△OCD的周长 为23，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（ ）
反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．（3分）（2020•襄阳）四川芦山发生7.0级地震后，一周内，通过铁路部门已运送救灾物
资15810吨，将15810吨，将15180用科学记数法表示为（ ）
A．1.581×103
B．1.58．15.81×104
）
2
A．55°
B．50°
C．45°
D．40°
考点：平行线的性质． 3801346
分析：首先根据平行线的性质可得∠ABC+∠DCB=180°，进而得到∠BCD的度数，再根据角平分线 的性质可得答案．
解答：解：∵CD∥AB， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∵∠BCD=70°， ∴∠ABC=180°﹣70°=110°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=55°， 故选：A．
2020学年湖北省襄阳市中考试题数学及答案解析
2020年湖北省襄阳市中考试题数学一、选择题(每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分)1. -2的相反数为( )A.2B.12 C.-2D.-1 2解析：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，-2的相反数为2.答案：A.2.近几年，襄阳市经济呈现稳中有进，稳中向好的态势，2020年GDP突破4000亿元大关，4000亿这个数用科学记数法表示为( )A.4×1012B.4×1011C.0.4×1012D.40×1011解析：4000亿=4×1011，答案：B.3.如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为( )A.55°B.50°C.45°D.40°解析：如图所示：∵∠1=∠3=50°，∠2+∠3=90°，∴∠2=90°-∠3=40°.答案：D.4.下列运算正确的是( )A.a2+a2=2a4B.a6÷a2=a3C.(-a3)2=a6D.(ab)2=ab2解析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解.答案：C.5.不等式组21241x xx x-⎧⎨+-⎩＞＜的解集为( )A.x＞1 3B.x＞1C.13＜x＜1D.空集解析：解不等式2x＞1-x，得：x＞13，解不等式x+2＜4x-1，得：x＞1，则不等式组的解集为x＞1.答案：B.6.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )A.B.C.D.解析：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱.答案：C.7.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E.若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为( )A.16cmB.19cmC.22cmD.25cm解析：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∵AB+AD+BD=13cm，∴AB+BD+DC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm，答案：B.8.下列语句所描述的事件是随机事件的是( )A.任意画一个四边形，其内角和为180°B.经过任意点画一条直线C.任意画一个菱形，是屮心对称图形D.过平面内任意三点画一个圆解析：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件；B、经过任意点画一条直线是必然事件；C、任意画一个菱形，是屮心对称图形是必然事件；D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件. 答案：D.9.已知二次函数y=x2-x+14m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )A.m≤5B.m≥2C.m＜5D.m＞2解析：根据已知抛物线与x轴有交点得出不等式，求出不等式的解集即可.答案：A.10.如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长为( )A.4B.22C.3D.23解析：根据垂径定理得到CH=BH，AC AB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据正弦的定义求出BH，计算即可.答案：D.二、填空题(本题共6小题，每题3分，共18分)11.计算：2|=_____.解析：根据负数的绝对值等于它的相反数解答. 答案：2-1.12.计算2222532x y xx y x y+---的结果是_____.解析：根据同分母分式加减运算法则计算即可，最后要注意将结果化为最简分式.答案：3x-y.13.我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元.问这个物品的价格是多少元？”该物品的价格是_____元.解析：设该商品的价格是x元，共同购买该物品的有y人，根据“每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论.答案：53.14.一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是_____.解析：由于数据2、3、3、4、x的平均数是3，由此利用平均数的计算公式可以求出x，然后利用方差的计算公式即可求解.答案：0.4.15.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=3，AD=1，AB=2AC，则BC的长为_____.解析：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可.答案：3或7.16.如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE=2，则AP的长为_____.解析：设AB=a，AD=b，则ab=322，构建方程组求出a、b即可解决问题.1623三、解答题(本题共9题，72分)17.先化简，再求值：(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2，其中x=2+3，y=2-3.解析：根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.答案：(x+y)(x-y)+y(x+2y)-(x-y)2=x2-y2+xy+2y2-x2+2xy-y2=3xy，当x=2+3，y=2-3时，原式=3×(2+3)(2-3)=3.18.为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离(结果保留根号).解析：作PC⊥AB于C，构造出Rt△PAC与Rt△PBC，求出AB的长度，利用特殊角的三角函数值求解.答案：过P点作PC⊥AB于C，由题意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，PCAC=tan∠PAC，∴AC=3PC，在Rt△PBC中，PCBC=tan∠PBC，∴BC=3PC，∵AB=AC+BC=33PC+3PC=10×40=400，∴PC=1003，答：建筑物P到赛道AB的距离为1003米.19.“品中华诗词，寻文化基因”.某校举办了第二届“中华诗词大赛”，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制了如下不完整的频数分布统计表与频数分布直方图.请观察图表，解答下列问题：(1)表中a=_____，m=_____；(2)补全频数分布直方图；(3)D组的4名学生中，有1名男生和3名女生.现从中随机抽取2名学生参加市级竞赛，则抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为_____.解析：(1)先由A组人数及其百分比求得总人数，总人数乘以C的百分比可得a的值，用B 组人数除以总人数可得m的值；(2)根据(1)中所求结果可补全图形；(3)列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得.答案：(1)∵被调查的总人数为8÷20%=40人，∴a=40×30%=12，m%=1640×100%=40%，即m=40.(2)补全图形如下：(3)列表如下：∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种.∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为61 122=.20.正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时.求高铁的速度.解析：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意列出方程，求出方程的解即可.答案：设高铁的速度为x千米/小时，则动车速度为0.4x千米/小时，根据题意得：3253250.4x x-=1.5，解得：x=325，经检验x=325是分式方程的解，且符合题意，则高铁的速度是325千米/小时.21.如图，已知双曲线y1=kx与直线y2=ax+b交于点A(-4，1)和点B(m，-4).(1)求双曲线和直线的解析式；(2)直接写出线段AB的长和y1＞y2时x的取值范围.解析：(1)先把A点坐标代入y1=kx中求出k得到反比例函数的解析式为y1=-4x，再把B(m，-4)代入y1=-4x中求出m得到B(1，-4)，然后利用待定系数法求直线解析式；(2)利用两点间的距离公式计算AB的长；利用函数图象，写出反比例函数图象在直线上方所对应的自变量的范围得到y1＞y2时x的取值范围.答案：(1)把A(-4，1)代入y1=kx得k=-4×1=-4，∴反比例函数的解析式为y1=-4x，把B(m，-4)代入y1=-4x得-4m=-4，解得m=1，则B(1，-4)，把A(-4，1)，B(1，-4)代入y2=ax+b得414a ba b-+=⎧⎨+=-⎩，解得13ab=-⎧⎨=-⎩，∴直线解析式为y2=-x-3；(2)AB=()()22411452--++=，当-4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2.22.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC 分别交AM，BN于点D，C，且CB=CE.(1)求证：DA=DE ；(2)若AB=6，CD=43，求图中阴影部分的面积.解析：(1)连接OE.推知CD 为⊙O 的切线，即可证明DA=DE ； (2)利用分割法求得阴影部分的面积. 答案：(1)证明：连接OE 、OC. ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB. ∵BC=EC ，∴∠CBE=∠CEB ， ∴∠OBC=∠OEC. ∵BC 为⊙O 的切线， ∴∠OEC=∠OBC=90°； ∵OE 为半径，∴CD 为⊙O 的切线， ∵AD 切⊙O 于点A ， ∴DA=DE ；(2)如图，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，则四边形ABFD 是矩形，∴AD=BF ，DF=AB=6， ∴3∵2223DC DF -= ∴3 ∴3.在直角△OBC 中，tan ∠BOE=3BCBO =，∴∠BOC=60°.在△OEC 与△OBC 中，OE OB OC OC CE CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OEC ≌△OBC(SSS)，∴∠BOE=2∠BOC=120°.∴S阴影部分=S四边形BCEO-S扇形OBE=2×12 BC·OB-2120360OBπ⨯⨯-3π.23.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售.在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为()761202030()mx m x xn x x-≤⎧⎨≤≤⎩＜，正整，正整为数为数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W 元(利润=销售收入-成本).(1)m=-_____，n=_____；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3)在销售蓝莓的30天中，当大利润不低于870元的共有多少天？解析：(1)根据题意将相关数值代入即可；(2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值；(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数，注意天数为正整数. 答案：(1)当第12天的售价为32元/件，代入y=mx-76m得32=12m-76m解得m=-1 2当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n 则n=25(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x-1)=4x+16 当1≤x＜20时W=(4x+16)(-12x+38-18)=-2x2+72x+320=-2(x-18)2+968∴当x=18时，W最大=968当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25-18)=28x+112 ∵28＞0∴W随x的增大而增大∴当x=30时，W最大=952∵968＞952∴当x=18时，W最大=968(3)当1≤x＜20时，令-2x2+72x+320=870解得x1=25，x2=11∵抛物线W=-2x2+72x+320的开口向下∴11≤x≤25时，W≥870∴11≤x＜20∵x为正整数∴有9天利润不低于870元当20≤x≤30时，令28x+112≥870解得x≥1 2714∴12714≤x≤30∵x为正整数∴有3天利润不低于870元∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天.24.如图(1)，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：AGBE的值为_____；(2)探究与证明；将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图(2)所示，试探究线段AG 与BE之间的数量关系，并说明理由；(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG交AD 于点H.若AG=6，2，则BC=_____.解析：(1)①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG=45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG=∠B=90°、∠ECG=45°，据此可得2CGCE=、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；(2)连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；(3)证△AHG∽△CHA得AG GH AHAC AH CH==，设BC=CD=AD=a，知AC=2a，由AG GHAC AH=得AH=23a、DH=13a、CH=10a，由AG AHAC CH=可得a的值.答案：(1)①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴2CGCE=，GE∥AB，∴2 AG CGBE CE==；(2)连接CG，由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，在Rt △CEG 和Rt △CBA 中，CECG =cos45°=2、CB CA =cos45°=2，∴CG CA CE CB ==∴△ACG ∽△BCE ，∴AG CA BE CB ==∴线段AG 与BE 之间的数量关系为BE ；(3)∵∠CEF=45°，点B 、E 、F 三点共线，∴∠BEC=135°，∵△ACG ∽△BCE ，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG ，∴△AHG ∽△CHA ， ∴AG GH AH AC AH CH ==，设BC=CD=AD=a ，则a ， 则由AG GH AC AH =AH =， ∴AH=23a ，则DH=AD-AH=13a ，CH=3a =， ∴AG AH AC CH =得23a =，解得：25.直线y=-32x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，顶点为D 的抛物线y=-34x 2+2mx-3m 经过点A，交x轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示.(1)直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；(2)动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒.PQ交线段AD于点E.①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值.解析：(1)先由直线解析式求得点A、B坐标，将点A坐标代入抛物线解析式求得m的值，从而得出答案；(2)①由(1)知BD=AC、BD∥OC，根据AB=AD=13证四边形ABPQ是平行四边形得AQ=BP，即2t=4-3t，解之即可；②分点N在AB上和点N在AD上两种情况分别求解.答案：(1)在y=-32x+3中，令x=0得y=3，令y=0得x=2，∴点A(2，0)、点B(0，3)，将点A(2，0)代入抛物线解析式，得：-34×4+4m-3m=0，解得：m=3，所以抛物线解析式为y=-34x2+6x-9，∵y=-34x2+6x-9=-34(x-4)2+3，∴点D(4，3)，对称轴为x=4，∴点C坐标为(6，0)；(2)如图1，由(1)知BD=AC=4，根据0≤3t≤4，得：0≤t≤4 3，①∵B(0，3)、D(4，3)，∴BD∥OC，∴∠CAD=∠ADB，∵∠DPE=∠CAD，∴∠DPE=∠ADB，∵AB=222313+=、AD=()2242313-+=，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠DPE=∠ABD，∴PQ∥AB，∴四边形ABPQ是平行四边形，∴AQ=BP，即2t=4-3t，解得：t=4 5，即当∠DPE=∠CAD时，t=45秒；②(Ⅰ)当点N在AB上时，0≤2t≤2，即0≤t≤1，连接NE，延长PN交x轴于点F，延长ME交x轴于点H，∵PN⊥BD、EM⊥BD，BD∥OC，PN=EM，∴OF=BP=2t，PF=OB=3，NE=FH、NF=EH，NE∥FQ，∴FQ=OC-OF-QC=6-5t，∵点N在直线y=-32x+3上，∴点N的坐标为(2t，-3t+3)，∴PN=PF-NF=3-(-3t+3)=3t，∵NE∥FQ，∴△PNE∽△PFQ，∴NE PN FQ PF=，∴FH=NE=3·3PN tFQPF×(6-5t)=6t-5t2，∵A(2，0)、D(4，3)，∴直线AD解析式为y=32x-3，∵点E在直线y=32x-3上，∴点E的坐标为(4-2t，-3t+3)，∵OH=OF+FH，∴4-2t=2t+6t-5t2，解得：t=1+＞1(舍)或t=1-；(Ⅱ)当点N在AD上时，2＜2t≤4，即1＜t≤4 3，∵PN=EM，∴点E、N重合，此时PQ⊥BD，∴BP=OQ，∴2t=6-3t，解得：t=6 5，综上所述，当PN=EM时，t=(1-5)秒或t=65秒.。
2020年襄阳市中考数学试题解析版
湖北省襄阳市2020年中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项总，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答．1．（3分）（2014•襄阳）有理数﹣的倒数是（）B3．（3分）（2014•襄阳）我市今年参加中考人数约为42000人，将42000用科学记数法表示4．（3分）（2014•襄阳）如图几何体的俯视图是（）B5．（3分）（2014•襄阳）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于（）6．（3分）（2014•襄阳）五箱梨的质量（单位：kg）分别为：18，20，21，18，19，则这五8．（3分）（2014•襄阳）若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）解：将分别代入中，得：9．（3分）（2014•襄阳）用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形10．（3分）（2014•襄阳）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，DE=DC，∠C=80°，则∠A等于（）11．（3分）（2014•襄阳）用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这B=212．（3分）（2014•襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）PEBEF==二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请把答案填在答题卡的相应位置上13．（3分）（2014•襄阳）计算：÷=．•=．故答案为：14．（3分）（2014•襄阳）从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机取三条，能构成三角形的概率是．∴能构成三角形的概率是：=故答案为：．15．（3分）（2014•襄阳）如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5m，则大树的高度为（5+5）m（结果保留根号）CE==5mm5+5）5+516．（3分）（2014•襄阳）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是5．17．（3分）（2014•襄阳）在▱ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=2，则▱ABCD的周长等于12或20．，EC==2BE==3，EC==2BE==3三、解答题（本大题共9小题，共69分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写出在答题卡上每题对应的答题区域内．18．（5分）（2014•襄阳）已知：x=1﹣，y=1+，求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值．，y=1+）1+，﹣））2．19．（6分）（2014•襄阳）甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360km．一列动车与一列特快列车分别从A，B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54km/h，当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135km处的C站．求动车和特快列车的平均速度各是多少？=，20．（7分）（2014•襄阳）“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A，B，C，D四个组，各组每人制作的粽子个数分别为4，5，6，7．根据如图不完整的统计图解答下列问题：（1）请补全上面两个统计图；（不写过程）（2）该班学生制作粽子个数的平均数是6个；（3）若制作的粽子有红枣馅（记为M）和蛋黄馅（记为N）两种，该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．P=．21．（6分）（2014•襄阳）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE 交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．22．（6分）（2014•襄阳）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=，点B的坐标为（m，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．BOC== =，即可计算出；BOC=，=，即；23．（7分）（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF 绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．（1）求证：EF∥CG；（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．FE=BE=AB==，×1+，﹣．24．（10分）（2014•襄阳）我市为创建“国家级森林城市”政府将对江边一处废弃荒地进行绿化，要求栽植甲、乙两种不同的树苗共6000棵，且甲种树苗不得多于乙种树苗，．某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程．根据调查及相关资料表明：移栽一棵树苗的平均费设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元．请根据以上信息解答下列问题：（1）设y与x之间的函数关系式，并写出自变量取值范围；（2）承包商要获得不低于中标价16%的利润，应如何选购树苗？（3）政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93%，否则承包商出资补载；若成活率达到94%以上（含94%），则城府另给予工程款总额6%的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？25．（10分）（2014•襄阳）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．（1）求证：△ADP∽△BDA；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．，得出=，求出，则=中，===，AP=AP=BC=AB=2AP=1+26．（12分）（2014•襄阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C （3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．（1）填空：点A坐标为（1，4）；抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？（CE===5 QPC===，t=；QCP===，t=．t=或t=．x=1+，1+x=1+．﹣，FQ FQFQFQ×）（。
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷附详细答案解析
2020年湖北省襄阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）﹣5的倒数是（）A．B．﹣C．5 D．﹣52．（3分）下列各数中，为无理数的是（）A．B． C．D．3．（3分）如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．若∠A=50°，则∠1的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．50°4．（3分）下列运算正确的是（）A．3a﹣a=2 B．（a2）3=a5C．a2•a3=a5D．a6÷a3=a25．（3分）下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查B．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查6．（3分）如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．7．（3分）下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣8）2+1 D．y=2（x﹣8）2﹣3 9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB 于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．810．（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）某天襄阳某镇观赏桃花的游客近16000人，数据16000用科学记数法表示为．12．（3分）分式方程的解是．13．（3分）不等式组的解集为．14．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是．15．（3分）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为．16．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC 上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F 处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．18．（6分）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题做法全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制城如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为度．（2）请将条形统计图补充完整；（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为．19．（6分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过3.4亿元？20．（7分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．21．（6分）如图，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A、B两点，与x 轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并结合图象直接写出y1＜0时x的取值范围．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．23．（10分）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．24．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．25．（13分）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN ∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．2020年湖北省襄阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2020•襄阳）﹣5的倒数是（）A．B．﹣C．5 D．﹣5【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：﹣5的倒数是﹣，故选：B．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．（3分）（2020•襄阳）下列各数中，为无理数的是（）A．B． C．D．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【解答】解：，，是有理数，是无理数，故选：D．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．3．（3分）（2020•襄阳）如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．若∠A=50°，则∠1的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．50°【分析】根据平行线的性质，得到∠ABD=130°，再根据BE平分∠ABD，即可得到∠1的度数．【解答】解：∵BD∥AC，∠A=50°，∴∠ABD=130°，又∵BE平分∠ABD，∴∠1=∠ABD=65°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．4．（3分）（2020•襄阳）下列运算正确的是（）A．3a﹣a=2 B．（a2）3=a5C．a2•a3=a5D．a6÷a3=a2【分析】分别利用幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除法运算法则分别化简求出答案．【解答】解：A、3a﹣a=2a，故此选项错误；B、（a2）3=a6，故此选项错误；C、a2•a3=a5，正确；D、a6÷a3=a3，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、同底数幂的乘除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．5．（3分）（2020•襄阳）下列调查中，调查方式选择合理的是（）A．为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择全面调查B．为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择全面调查C．为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查D．为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【解答】解：A、为了解襄阳市初中每天锻炼所用时间，选择抽样调查，故A不符合题意；B、为了解襄阳市电视台《襄阳新闻》栏目的收视率，选择抽样调查，故B不符合题意；C、为了解神舟飞船设备零件的质量情况，选普查，故C不符合题意；D、为了解一批节能灯的使用寿命，选择抽样调查，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．（3分）（2020•襄阳）如图所示的几何体是由6个大小完全一样的正方体组合而成的，它的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列是一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．7．（3分）（2020•襄阳）下列图形中，既是中心对称图又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图，不是轴对称图形，故本选项错误；C、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．8．（3分）（2020•襄阳）将抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+1 B．y=2x2﹣3 C．y=2（x﹣8）2+1 D．y=2（x﹣8）2﹣3 【分析】根据平移的规律即可得到平移后函数解析式．【解答】解：抛物线y=2（x﹣4）2﹣1先向左平移4个单位长度，得到的抛物线解析式为y=2（x﹣4+4）2﹣1，即y=2x2﹣1，再向上平移2个单位长度得到的抛物线解析式为y=2x2﹣1+2，即y=2x2+1；故选A．【点评】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．9．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4可知AB=2BC=8，再由作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB的中线，据此可得出BD的长，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=6．故选B．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．10．（3分）（2020•襄阳）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2020•襄阳）某天襄阳某镇观赏桃花的游客近16000人，数据16000用科学记数法表示为 1.6×104．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将16000用科学记数法表示为：1.6×104．故答案为：1.6×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．（3分）（2020•襄阳）分式方程的解是x=9 ．【分析】观察可得最简公分母是x（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣3），得3x﹣9=2x，解得x=9．检验：把x=9代入x（x﹣3）=54≠0．∴原方程的解为：x=9．故答案为：x=9．【点评】本题考查了解分式方程，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．13．（3分）（2020•襄阳）不等式组的解集为2＜x≤3 ．【分析】分别求出求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞2．解不等式②，得x≤3，故不等式组的解集为2＜x≤3．故答案为2＜x≤3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．14．（3分）（2020•襄阳）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，出现两枚正面向上，一枚正面向下的概率是．【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到两枚正面向上，一枚正面向下的概率．【解答】解：画树状图得：由树状图可知所有可能情况有8种，其中两枚正面向上，一枚正面向下的情况数为3种，所以两枚正面向上，一枚正面向下的概率=．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．15．（3分）（2020•襄阳）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为1和，则∠BAC的度数为15°或105°．【分析】根据题意画出图形，作出辅助线，由于AC与AB在圆心的同侧还是异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别是D、E．∵OE⊥AC，OD⊥AB，∴AE=AC=，AD=AB=，∴sin∠AOE==，sin∠AOD==，∴∠AOE=45°，∠AOD=30°，∴∠BAO=60°，∠CAO=90°﹣45°=45°，∴∠BAC=45°+60°=105°，或∠BAC′=60°﹣45°=15°．∴∠BAC=15°或105°．故答案是：15°或105°．【点评】本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，解答此题时进行分类讨论，不要漏解．16．（3分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E 分别在AC，BC上，且∠CDE=∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处．若AC=8，AB=10，则CD的长为．【分析】根据D，C，E，F四点共圆，可得∠CDE=∠CFE=∠B，再根据CE=FE，可得∠CFE=∠FCE，进而根据∠B=∠FCE，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=AB=5，再判定△CDF ∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．【解答】解：由折叠可得，∠DCE=∠DFE=90°，∴D，C，E，F四点共圆，∴∠CDE=∠CFE=∠B，又∵CE=FE，∴∠CFE=∠FCE，∴∠B=∠FCE，∴CF=BF，同理可得，CF=AF，∴AF=BF，即F是AB的中点，∴Rt△ABC中，CF=AB=5，由D，C，E，F四点共圆，可得∠DFC=∠DEC，由∠CDE=∠B，可得∠DEC=∠A，∴∠DFC=∠A，又∵∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF2=CD×CA，即52=CD×8，∴CD=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB的中点．三、解答题（本大题共9个小题，共72分）17．（6分）（2020•襄阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x=+2，y=﹣2．【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x、y的值代入求解可得．【解答】解：原式=[+]÷=•y（x+y）=，当x=+2，y=﹣2时，原式===．【点评】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算顺序和法则是解题的关键．18．（6分）（2020•襄阳）中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题做法全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制城如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：（1）本次调查所得数据的众数是 1 部，中位数是 2 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为126 度．（2）请将条形统计图补充完整；（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为．【分析】（1）先根据调查的总人数，求得1部对应的人数，进而得到本次调查所得数据的众数以及中位数，根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°，即可得到“1部”所在扇形的圆心角；（2）根据1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，即可将条形统计图补充完整；（3）根据树状图所得的结果，判断他们选中同一名著的概率．【解答】解：（1）调查的总人数为：10÷25%=40，∴1部对应的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6=14，∴本次调查所得数据的众数是1部，∵2+14+10=26＞21，2+14＜20，∴中位数为2部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为：×360°=126°；故答案为：1，2，126；（2）条形统计图如图所示，（3）将《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》分别记作A，B，C，D，画树状图可得：共有16种等可能的结果，其中选中同一名著的有4种，故P（两人选中同一名著）==．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解题时注意：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．19．（6分）（2020•襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；（2）若2020年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2020年的利润能否超过3.4亿元？【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意2013年创造利润250（1+x）万元人民币，2014年创造利润250（1+x）2 万元人民币．根据题意得方程求解；（2）根据该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率来解答．【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2=2.88，解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．（2）如果2020年仍保持相同的年平均增长率，那么2020年该企业年利润为：2.88（1+20%）=3.456，3.456＞3.4答：该企业2020年的利润能超过3.4亿元．【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．20．（7分）（2020•襄阳）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长．【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠CBD，又∵BD平分∠ABF，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，同理：AB=BC，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=6，∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3，∵∠ADB=30°，∴cos∠ADB==，∴AD==2．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解决问题的关键．21．（6分）（2020•襄阳）如图，直线y1=ax+b与双曲线y2=交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）求点C的坐标，并结合图象直接写出y1＜0时x的取值范围．【分析】（1）由点B的坐标求出k=6，得出双曲线的解析式为y2=．求出A的坐标为（1，6），由点A和B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为直线y1=2x+4；（2）求出点C的坐标为（﹣2，0），即可得出当y1＜0时x的取值范围．【解答】解：（1）∵点B（﹣3，﹣2）在双曲线y2=上，∴，∴k=6，∴双曲线的解析式为y2=．把y=6代入y2=得：x=1，∴A的坐标为（1，6），∵直线y1=ax+b经过A、B两点，∴，解得：，∴直线的解析式为直线y1=2x+4；（2）由直线y1=0得，x=﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，0），当y1＜0时x的取值范围是x＜﹣2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．22．（8分）（2020•襄阳）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧的长l．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，根据角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，根据三角函数的定义得到∠ECD=30°，得到∠OCD=60°，得到∠BOC=∠COD=60°，OC=2，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵∠AEC=90°，∴∠OCF=∠AEC=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=DOC，∠OAC=BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l==π．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）（2020•襄阳）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用y1（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用y2（元）与x（m2）的函数关系式为y2=﹣0.01x2﹣20x+30000（0≤x≤1000）．（1）请直接写出k1、k2和b的值；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．【分析】（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b．（2）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x，得：18000=600k1，解得：k1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：；（2）当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元；（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值27900元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．24．（10分）（2020•襄阳）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，AC=BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AB，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE=4，CF=2，求DN的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，于是得到∠DCE=∠DCF=135°，根据全等三角形的性质即可的结论；（2）①证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2=CE•CF，根据等腰直角三角形的性质得到CD=AB，于是得到AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，求得CD=2，推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到=2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF=90°，∴∠DCE=∠DCF=135°，在△DCE与△DCF中，，∴△DCE≌△DCF，∴DE=DF；（2）解：①∵∠DCF=∠DCE=135°，∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°，∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，∴△CDF∽△CED，∴，即CD2=CE•CF，∵∠ACB=90°，AC=BC，AD=BD，∴CD=AB，∴AB2=4CE•CF；②如图，过D作DG⊥BC于G，则∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，当CE=4，CF=2时，由CD2=CE•CF得CD=2，∴在Rt△DCG中，CG=DG=CD•sin∠DCG=2×sin45°=2，∵∠ECN=∠DGN，∠ENC=∠DNG，∴△CEN∽△GDN，∴=2，∴GN=CG=，∴DN===．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（13分）（2020•襄阳）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线y=ax2+bx+4过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t ＜10）．（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．【分析】（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：（1）在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4；（2）由题意可设P（t，4），则E（t，﹣t2+t+4），∴PB=10﹣t，PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴=，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（﹣t2+t），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴=，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8，①当m=2时，CQ==2，BQ==4，∴sin∠BCQ==，sin∠CBQ==，∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=，②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知。
2020年湖北省襄阳市中考数学试题(教师版含解析)
湖北省襄阳市2020年中考数学真题一、选择题：本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答1.2-的绝对值是( )A. 2-B. 2C. 12-D. 12【答案】B【解析】【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得一个数的绝对值．【详解】解：2-的绝对值是2，故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2.如图，//AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分BEF ∠，若64EFG ∠=︒，则EGD ∠的大小是( )A. 132︒B. 128︒C. 122︒D. 112︒【答案】C【解析】【分析】 利用平行线的性质求解FEB ∠，利用角平分线求解BEG ∠，再利用平行线的性质可得答案．【详解】解：//AB CD ，180,EFG FEB ∴∠+∠=︒64,EFG ∠=︒18064116,FEB ∴∠=︒-︒=︒EG 平分BEF ∠，58,FEG BEG ∴∠=∠=︒//AB CD180,BEG EGD ∴∠+∠=︒18058122.EGD ∴∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键．3.下列运算一定正确的是( )A. 2a a a +=B. 236a a a ⋅=C. ()1432a a =D. 22()ab ab = 【答案】C【解析】【分析】利用合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方运算法则逐一进行判断即可．【详解】解：A 、2a a a +=，故原式错误；B 、235a a a ⋅=，故原式错误；C 、()1432a a =，原式正确；D 、222()ab a b =，故原式错误，故选：C ．【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．4.下列说法正确的是( ) A. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是必然事件 B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是不可能事件C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质逐一分析即可．【详解】A. “买中奖率为110的奖券10张，中奖”是随机事件，故不符合题意；B. “汽车累积行驶10000km ，从未出现故障”是随机事件，故不符合题意；C. 襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，但是襄阳明天只是有可能下雨，故不符合题意；D. 若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，该说法正确，故符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，以及方差的性质等内容，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，以及方差越小，数据越稳定．5.如图所示的三视图表示的几何体是()A. B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选：A ． 【点睛】本题考查了由三视力还原几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体． 6.不等式组42(1)1(3)12x x x x -≤-⎧⎪⎨+>+⎪⎩中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】 分别解不等式①和②，求得原不等式组的解集为21x ，即可选出答案．【详解】解：42(1) 1(3)12x xx x-≤-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，解不等式①：去括号，得422x x-≤-，移项，得242x x-≤-，合并同类项，得2x-≤，系数化为1，得2x≥-；解不等式②：去分母，得()321x x+>+，去括号，得322x x+>+，移项，得223x x->-，合并同类项，得1x->-，系数化为1，得1x<；故原不等式组的解集为21x．故选A．【点睛】本题考查不等式组，是中考的常考知识点，熟练掌握不等式组的解法是顺利解题的关键．7.如图，Rt ABC中，90ABC∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()A. DB DE= B. AB AE= C. EDC BAC∠=∠ D. DAC C∠=∠【答案】D【解析】【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，在△AED和△ABD中：∵=90⎧∠=∠⎪∠=∠⎨⎪=⎩AED ABDEAD BADAD AD，∴△AED≌△ABD(AAS)，∴DB=DE ，AB=AE ，选项A 、B 都正确，又在Rt △EDC 中，∠EDC=90°-∠C ， 在Rt △ABC 中，∠BAC=90°-∠C ， ∴∠EDC=∠BAC ，选项C 正确，选项D ，题目中缺少条件证明，故选项D 错误．故选：D.【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 8.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹，若设小马有x 匹，大马有y 匹，则下列方程组中正确的是( )A. 1003x y y x+=⎧⎨=⎩ B. 1003x y x y +=⎧⎨=⎩ C. 100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D. 100131003x y y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 【答案】C【解析】【分析】 设小马有x 匹，大马有y 匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100；②大马拉瓦数+小马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小马有x 匹，大马有y 匹，由题意可得： 100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，列出方程组．9.已知四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，下列结论错误的是( ) A. OA OC =，OB OD =B. 当AB CD =时，四边形ABCD 是菱形C. 当90ABC ∠=︒时，四边形ABCD 是矩形D. 当AC BD =且AC BD ⊥时，四边形ABCD 是正方形【答案】B根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，,OA OC OB OD ∴==，故A 正确，四边形ABCD 是平行四边形，AB CD =，不能推出四边形ABCD 是菱形，故B 错误，四边形ABCD 是平行四边形，90ABC ∠=︒，∴ 四边形ABCD 是矩形，故C 正确，四边形ABCD 是平行四边形，AC BD =，AC BD ⊥，∴ 四边形ABCD 是正方形．故D 正确．故选B ．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 10.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：①0ac <；②30a c +=；③240ac b -<；④当1x >-时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】 根据抛物线的开口向上，得到a ＞0，由于抛物线与y 轴交于负半轴，得到c ＜0，于是得到ac ＜0，故①正确；根据抛物线的对称轴为直线x ＝−12b a=，于是得到2a ＋b ＝0，当x=-1时，得到30a c +=故②正确；把x ＝2代入函数解析式得到4a ＋2b ＋c ＜0，故③错误；抛物线与x 轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x ＞1时，y 随着x 的增大而增大，故④错误．【详解】解：①∵抛物线开口向上与y 轴交于负半轴，∴a ＞0,c ＜0②∵抛物线的对称轴是x=1， ∴12b a-= ∴b=-2a∵当x=-1时，y=0∴0=a-b+c∴3a+c=0故②正确；③∵抛物线与x 轴有两个交点，即一元二次方程20ax bx c =++有两个不相等的实数解∴240b ac ->∴240ac b -<故③正确；④当-1＜x ＜1时，y 随x 的增大而减小，当x ＞1时y 随x 的增大而增大．故④错误所以正确的答案有①、②、③共3个故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x 轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．二、填空题：本大题共6个小题，把答案填在答题卡的相应位置上11.函数y =x 的取值范围是_____．【答案】2x ≥【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】依题意，得20x -≥，解得：2x ≥，故答案为2x ≥．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．12.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=_______．【答案】40°【解析】试题解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，∴∠B=1801802022BAD︒-∠︒-︒==80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，∵AD=DC，∴∠C=18018010022ADC︒-∠︒-︒==40°．13.《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成(线形为或)，如正北方向的卦为．从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为______．【答案】3 8【解析】【分析】利用概率公式即可求解．【详解】解：观察图形可得，一共有8种情况，恰有2根和1根的的情况有3种，所以P=38，故答案为：38．【点睛】此题考查了等可能事件的概率求解，对于等可能事件发生的概率＝所求情况数与总情况数之比．14.汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t(秒)的函数关系是s＝15t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是_______秒．【答案】1.25【解析】【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【详解】∵s＝15t﹣6t2＝﹣6(t﹣1.25)2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．【点睛】考核知识点:二次函数应用.理解函数最值是关键.15.在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于_________°．【答案】120°或60°【解析】【分析】根据弦BC垂直平分半径OA及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=12求出∠BOE=60°，即可求出答案.【详解】设弦BC垂直平分半径OA于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形OBAC是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，∵OB=OA，OE=1 2 ,∴cos∠BOE=12，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，∴∠BFC=12∠BOC=60°，∴弦BC所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120°或60°.【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.16.如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若·15BF AD =，5tan 2BNF ∠=，则矩形ABCD 的面积为________．【答案】155【解析】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出CFD BEF ∠=∠，故5BF =，在Rt BEF △中应用勾股定理，得到552AB BE BF ==，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：AN NF =，AF DE ⊥，AE EF =，∴ABN BAF ∠=∠∵2BNF BAF ABN BAF ∠=∠+∠=∠，且易得22ADF ADE BAF ∠=∠=∠，∴ADF BNF CFD ∠=∠=∠，∴5tan tan 2CD BNF CFD CF∠==∠=， ∵90BFE CFD ∠+∠=︒，90BFE BEF ∠+∠=︒，∴CFD BEF ∠=∠，∴tan 2BF BEF BE =∠=，即2BF BE =， 在Rt BEF △中，()222BE BF AB BE +=-，解得52AB BE ==， ∵·15BF AD =，∴AB AD ⋅=故答案为：【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而是得到AB 和BF 的比例关系直接求解矩形的面积．三、解答题：本大题共9个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内17.先化简，再求值：2(23)(2)(2)2(35)x y x y x y y x y +-+--+，其中12x y ==-．【答案】化简结果为6xy ，求值为【解析】【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式和多项式相乘运算法则求解即可.【详解】解：原式2222241294610=++-+--x xy y x y xy y 22222(44)(109)(126)=-+-++-x x y y y xy xy6xy =．当1x y ==时代入：原式61)=-=故答案为：．【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式以及多项式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键18.襄阳东站的建成运营标志者我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC 方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E 处同时施工，要使A ，C ，E 三点在一条直线上，工程队从AC 上的一点B 取140ABD ∠=︒，560BD =米，50D ∠=︒．那么点E 与点D 间的距离是多少米？(参考数据：sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.19︒≈)【答案】点E 与点D 间的距离是358.4米．【解析】【分析】由140ABD ∠=︒，根据三角形外角的性质可得90BED ∠=︒，故BDE 为直角三角形，根据D ∠的余弦值即可求解．【详解】解：∵140ABD ∠=︒，50D ∠=︒∴90BED ∠=︒， ∴cos DE D BD ∠=，即0.64560DE ≈，解得358.4DE ≈(米)， 答：点E 与点D 间的距离是358.4米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用、三角形外角的性质等内容，解题的关键是得到BDE 为直角三角形．19.在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的45，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？ 【答案】现在每天用水量是8吨．【解析】【分析】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量为45x 吨，原来使用的天数为120x 天，现在使用的天数为12045x 天，根据120吨水现在使用的天数比原来使用的天数多用3天列出方程求解即可.【详解】设原来每天用水量为x 吨，则现在每天用水量为45x 吨，根据题意得，1204 5x-120x=3解得，x=10，经检验，x=10是原方程的根.∴44=10=855x 吨，答：现在每天用水量是8吨．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求解后要进行检验．20.3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞賽(竞赛成绩为百分制)，并随机抽取了50名学生的竞赛成绩(本次竞赛没有满分)，经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组(每组数据含前端点值，不含后端点值)．信息二：第三组的成绩(单位：分)为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75根据信息解答下列问题：(1)补全第二组频数分布直方图(直接在图中补全)；(2)第三组竞赛成绩的众数是_________分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是_________分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为_________人．【答案】(1)补全图形见解析；(2)76；78；(3)720．【解析】【分析】(1)用抽取的总人数减去第一组、第三组、第四组与第五组的人数即可得第二组的人数，然后再补全频数分布直方图即可；(2)根据众数和中位数的定义求解即可；(3)样本估计总体，样本中不低于80分的占20+450，进而估计1500名学生中不低于80分的人数． 【详解】(1)第二组人数为：50-4-12-20-4=10(人)补全统计图如下：(2)第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为：77+79=782(分)，故中位数为78(分)； 故答案为：76；78； (3)1500×20+450=720(人)， 故答案为：720．【点睛】考查扇统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．21.如图，反比例函数1(0)m xy x =>和一次函数2y kx b =+的图象都经过点(1,4)A 和点(,2)B n ．(1)m =_________，n =_________；(2)求一次函数的解析式，并直接写出12y y <时x 的取值范围；(3)若点P 是反比例函数1(0)m xy x =>的图象上一点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，则POM 的面积为_________．【答案】(1)4，2；(2)y=-2x+6，1＜x ＜2；(3)2【解析】【分析】(1)把A(1,4)代入1(0)m x y x =>求出m 的值；再将y=2代入反比例函数式，即可求出n 的值； (2)由(1)可知A 、B 两点的坐标，将这两点的坐标代入求出k 、b 的值即可，再根据t 图象判定出12y y <时x 的取值范围；(3)设P 点横坐标为a,则纵坐标为4a，即可知道OM 、PM ，进而求出面积即可． 【详解】解：(1)把x=1,y=4代入1(0)m x y x =>得， 4=1m ， 解得m=4∴14(0)y x x=> 当y=2时，2=4n 解得，n=2(2)把A(1,4)，B(2,2)分别代入2y kx b =+得422k b k b =+⎧⎨=+⎩解得26k b =-⎧⎨=⎩∴y 2=-2x+6当y 1＜y 2时，从图象看得出：1<x<2(3)设P 点横坐标为a,则纵坐标为4a，∴OM=a ，PM=4a , ∴S △POM =1141k 2222OM PM a a ⋅⋅=⋅⋅== 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合，根据是正确掌握待定系数法求函数解析式得方法，能根据图形求不等式的解集以及如何求三角形的面积．22.如图，AB 是⊙O 的直径，E ，C 是O 上两点，且EC BC =，连接AE ，AC ，过点C 作CD AE ⊥交AE 的延长线于点D ．(1)判定直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若4AB =，3CD =【答案】(1)直线DC 与⊙O 相切，理由见解析(2)332-23π 【解析】【分析】(1)连接OC ，如图，由圆周角的的定理推论得到∠EAC ＝∠OAC ，加上∠ACO ＝∠OAC ，则∠ACO ＝∠DAC ，于是可判断OC ∥AD ，则根据平行线的性质得到OC ⊥CD ，然后根据直线与圆的位置关系的判定方法可判断DC 是⊙O 的切线；(2)连接OE 、BC ，作CH ⊥AB 于H ，如图，先利用角平分线的性质得到CH ＝CD 3，求出△ACH 的面积，再根据三角形全等的判定和性质得出△ADC 的面积=△ACHD 的面积，再利用S阴影=S 梯形OCDE -S 扇形OCE =S △ACD -S 扇形OCE = S △ACH -S 扇形OCE ，即可得出答案．【详解】证明：(1)直线DC 与⊙O 相切．理由如下：连接OC ，如图，∵EC BC=∴∠EAC＝∠OAC∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ACO＝∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DC是⊙O的切线；(2)连接OC、OE、CB，过C作CH⊥AB于H，∵CH⊥AB，CD⊥AE∴∠ADC=∠AHC，∵∠EAC＝∠OAC，AC=AC∴△ADC≌△AHCCD=AH=AD，∴CH=3∵∠CAH+∠ACH=∠BCH+∠ACH=90°∴∠CAH=∠BCH，又∵∠CHA=∠BHC，∴△CAH∽△BCH∴CH AH BH CH = ∴33= ∴AH=3或1(舍去1)∴BH= 1∴S △ACH =1333322⨯⨯= 在Rt △CHB 中，BH=1，HC=3∴∠BCH=30°=∠CAB∴∠COB=∠EOC=60°∴S 阴影=S 梯形OCDE -S 扇形OCE =S △ACD -S 扇形OCE = S △ACH -S 扇形OCE=33-2602360π⨯=33-23π 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、扇形的面积公式及三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键，求阴影部分面积时要注意转化思想的应用．23.受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．(1)直接写出当050x ≤≤和50x >时，y 与x 之间的函数关系式；(2)若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的则进量，才能使经销商付款总金额w (元)最少？(3)若甲，乙两种水果的销售价格分別为40元/千克和36元/千克，经销商按(2)中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1650元，求a 的最小值．【答案】(1)()()300502430050x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩；(2)甲进40千克，乙进60千克付款总金额最少；(3)1212613千克． 【解析】【分析】(1)根据函数图像利用选定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式．(2)甲进x 千克，则乙进(100－x )千克，根据甲水果进货量的取值范围，第一，当40≤x≤50时，甲水果进货量x 与付款y 的关系式为y=30x ，结合乙水果花费的金额，表示出w 关于x 的一次函数关系式，根据x 取值范围求出w 的最小值；第二，当50＜x≤60时，甲水果进货量x 与付款y 的关系式为y=24x+300，同样加上乙水果花费金额，表示出w 函数关系式，再根据x 的取值范围求出w 最小值，比较w 谁最小，从而确定甲乙两种水果进货量．(3)通过甲，乙两种水果购进量的分配比例，用a 表示出甲乙进货量，分类讨论甲不同的进货量得出不同的进货价格，表示出利润不低于1650元的不等式，从而求出a 的最小值．【详解】(1)当050x ≤≤时，设y=kx ，将(50，1500)代入得1500=50k ，解得k=30，所以y=30x ；当50x >时，设y=k 1x+b ，将(50，1500)、(70，1980)分别代入得11150050198070k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：124300k b =⎧⎨=⎩， 所以y=24x+300；综上()()300502430050x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩； (2)甲进货x 千克，则乙进货(100－x )千克①40≤x≤50w=30x+(100－x )×25=5x+2500∵k ＞0∴当x=40时，w 有最小值为2700；②50＜x≤60，w=24x+300+(100－x )×25，=﹣x+2800，∵k ＜0，∴当x=60时w 有最小值为2740，∵2700＜2740，∴当甲进40千克，乙进60千克时付款总金额最少；(3)由题可设甲为2a 5 ，乙为3a 5；当0≤2a 5≤50时，即0≤a≤125则甲的进货价为30元/千克， 2a 5×(40－30)＋3a 5×(36－25)≥1650， ∴a≥825053＞125， 与0≤a≤125矛盾，故舍去， 当2a 5＞50时，即a ＞125， 则甲的进货价为24元/千克，2a 5×(40－24)＋3a 5×(36－25)≥1650， ∴a≥1212613＞125 ， ∴a 的最小值为1212613答：a 的最小值为1212613，利润不低于1650元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式应用，解题关键在于理解题意，通过一次函数的性质和一元一次不等式，运用数形结合思想进行解题．24.在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．点D 在边BC 上，DE DA ⊥且DE DA =，AE 交边BC 于点F ，连接CE ．(1)特例发现：如图1，当AD AF =时，①求证：BD CF =；②推断：ACE ∠=_________．；(2)探究证明：如图2，当AD AF ≠时，请探究ACE ∠的度数是否为定值，并说明理由；(3)拓展运用：如图3，在(2)的条件下，当13EF AF =时，过点D 作AE 的垂线，交AE 于点P ，交AC 于点K ，若163CK =，求DF 的长． 【答案】(1)①证明见解析，②90ACE ∠=︒ ；(2)90ACE ∠=︒为定值，证明见解析；(3)5 2.【解析】【分析】(1)①利用已知条件证明,ABD ACF ≌即可得到结论，②先证明,DFE AFC ∽利用相似三角形的性质再证明,AFD CFE ∽结合相似三角形的性质可得答案；(2)由(1)中②的解题思路可得结论；(3)设,EF a = 则3,AF a = 利用等腰直角三角形的性质分别表示：,,,,,DP AP EP PF DF 由DFE AFC ∽表示,,FC AC 再证明,APK ACE ∽利用相似三角形的性质建立方程求解a ，即可得到答案．【详解】证明：(1)①,AD AF =,ADF AFD ∴∠=∠,ADB AFC ∴∠=∠,AB AC =,B C ∴∠=∠,ABD ACF ∴≌.BD CF ∴=②推断：90.ACE ∠=︒理由如下：,,AD DE DA DE =⊥45,AED DAE ∴∠=∠=︒,90,AB AC BAC =∠=︒45,ACB ∴∠=︒,ACF DEF ∴∠=∠,DFE AFC ∠=∠,DFE AFC ∴∽ ,DF FE AF FC∴= ,AFD CFE ∠=∠,AFD CFE ∴∽45,DAF ECF ∴∠=∠=︒90.ACE ACF ECF ∴∠=∠+∠=︒(2)90ACE ∠=︒为定值，理由如下：由(1)得：45,ACF DEF ∠=∠=︒,DFE AFC ∠=∠,DFE AFC ∴∽,DF FE AF FC∴= ,AFD CFE ∠=∠,AFD CFE ∴∽45,DAF ECF ∴∠=∠=︒90.ACE ACF ECF ∴∠=∠+∠=︒(3) 13EF AF =， 设,EF a = 则3,AF a = 4,AE AF EF a ∴=+=,,,DP AE DA DE DA DE ⊥=⊥2,,DP AP EP a PF a ∴====225,22,DF DP FP a DE DA a ∴+===,DFE AFC ∽ ,DF FE DE AF FC AC ∴== 522,3a a a a FC AC== 35610,,55a FC a AC ∴== 90,,APK ACE PAK CAE ∠=∠=︒∠=∠,APK ACE ∴∽,AP AK AC AE ∴= AP AE AK AC ∴•=• 16,3CK =6101661024535a a a a ⎛⎫∴•=- ⎪ ⎪⎝⎭，解得：10,a =55105 2.DF a ∴==⨯=【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，更重要的是考查学生的学习探究的能力，掌握以上知识是解题的关键．25.如图，直线122y x =-+交y 轴于点A ，交x 轴于点C ，抛物线214y x bx c =-++经过点A ，点C ，且交x 轴于另一点B ．(1)直接写出点A ，点B ，点C 的坐标及抛物线的解析式；(2)在直线AC 上方的抛物线上有一点M ，求四边形ABCM 面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)将线段OA 绕x 轴上的动点(),0P m 顺时针旋转90°得到线段O A ''，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】(1)A (0，2)，B (﹣2，0)，C (4，0)，抛物线的解析式是211242y x x =-++；(2)四边形ABCM 面积的最大值为8，点M 的坐标为(2，2)；(3)34m --≤≤-或32m -+≤≤．【解析】【分析】(1)对直线122y x =-+，分别令x=0，y=0求出相应的y ，x 的值即得点A 、C 的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，利用抛物线的对称性即可求出点B 的坐标；(2)过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设点M 的横坐标为m ，则MF 的长可用含m 的代数式表示，然后根据S 四边形ABCM =S △ABC +S △AMC 即可得出S 四边形ABCM 关于m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形ABCM 面积的最大值及点M 的坐标；(3)当m ＞0时，分旋转后点A '与点O '落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用m 的代数式表示出点A '与点O '的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出m 的值，进而可得m 的范围；当m ＜0时，用同样的方法可再求出m 的一个范围，从而可得结果．【详解】解：(1)对直线122y x =-+，当x=0时，y=2，当y=0时，x=4， ∴点A 的坐标是(0，2)，点C 的坐标是(4，0)，把点A 、C 两点的坐标代入抛物线的解析式，得：2214404c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩，解得：122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为211242y x x =-++， ∵抛物线的对称轴是直线1x =，C (4，0)，∴点B 的坐标为(﹣2，0)；∴A (0，2)，B (﹣2，0)，C (4，0)，抛物线的解析式是211242y x x =-++； (2)过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，如图1所示．设M (m ，211242m m -++)，则F (m ，122m -+)， ∴221112424122m m m m MF m ⎛⎫⎛⎫=--+=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝， ∴S 四边形ABCM =S △ABC +S △AMC=1122BC AO MF OC ⋅+⋅ 2111624224m m ⎛⎫=⨯⨯+⨯-+⨯ ⎪⎝⎭21262m m =-++ ()21282m =--+， ∵0＜m ＜4，∴当m=2时，四边形ABCM 面积最大，最大值为8，此时点M 的坐标为(2，2)；(3)若m ＞0，当旋转后点A '落在抛物线上时，如图2，线段O A ''与抛物线只有一个公共点，∵点A '的坐标是(m+2，m )，∴()()21122242m m m -++++=，解得：317m =-+或317m =--(舍去)；当旋转后点O '落在抛物线上时，如图3，线段O A ''与抛物线只有一个公共点，∵点O '的坐标是(m ，m )，∴211242m m m -++=，解得：m=2或m=﹣4(舍去)； ∴当m ＞0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：3172m -+≤≤；若m ＜0，当旋转后点O '落在抛物线上时，如图4，线段O A ''与抛物线只有一个公共点，∵点O '的坐标是(m ，m )， ∴211242m m m -++=，解得：m=﹣4或m=2(舍去)；当旋转后点A '落在抛物线上时，如图5，线段O A ''与抛物线只有一个公共点，∵点A '的坐标是(m+2，m )，∴()()21122242m m m -++++=，解得： 317m =--或317m =-+(舍去)； ∴当m ＜0时，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：3174m --≤≤-；综上，若线段O A ''与抛物线只有一个公共点，m 的取值范围是：3174m --≤≤-或3172m -+≤≤．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．。
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2020年襄阳市初中毕业生学业水平考试数学试题（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°3．下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab24．下列说法正确的是（）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定5．如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C．D．6．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．9．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．函数y＝中自变量x的取值范围是．12．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．13．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为秒．15．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A 的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE 交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．25．（12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．答案与解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【知识考点】绝对值．【思路分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解题过程】解：|﹣2|＝2．故选：B．【总结归纳】本题考查了绝对值的定义，关键是利用了绝对值的性质．2．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠EFG＝64°，则∠EGD的大小是（）A．132°B．128°C．122°D．112°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质得到∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，根据角平分线的定义得到∠BEG＝∠BEF＝58°，由平行线的性质即可得到结论．【解题过程】解：∵AB∥CD，∠EFG＝64°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFG＝116°，∵EG平分∠BEF交CD于点G，∴∠BEG＝∠BEF＝58°，∵AB∥CD，∴∠EGD＝180°﹣∠BEG＝122°．故选：C．【总结归纳】此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等的知识点．3．下列运算一定正确的是（）A．a+a＝a2B．a2•a3＝a6C．（a3）4＝a12D．（ab）2＝ab2【知识考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【思路分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解题过程】解：A．a+a＝2a，故本选项不合题意；B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；C．（a3）4＝a12，故本选项符合题意；D．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意．故选：C．【总结归纳】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．下列说法正确的是（）A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件B．“汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是不可能事件C．襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着襄阳明天一定下雨D．若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定【知识考点】算术平均数；方差；随机事件；概率的意义；概率公式．【思路分析】根据随机事件的概念、概率的意义和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【解题过程】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，故本选项错误；B、汽车累积行驶10000km，从未出现故障”是随机事件，故本选项错误；C、襄阳气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，故本选项错误；D、若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，故本选项正确；故选：D．【总结归纳】此题考查了随机事件、概率的意义和方差的意义，正确理解概率的意义是解题的关键．5．如图所示的三视图表示的几何体是（）A．B．C．D．【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解题过程】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：A．【总结归纳】考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体．6．不等式组中两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【思路分析】根据不等式组可以得到该不等式组的解集，从而可以在数轴上表示出来，本题得以解决．【解题过程】解：由不等式组得﹣2≤x＜1，该不等式组的解集在数轴表示如下：故选：A．【总结归纳】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．7．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）A．DB＝DE B．AB＝AE C．∠EDC＝∠BAC D．∠DAC＝∠C【知识考点】作图—基本作图．【思路分析】证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC ＝∠BAC即可．【解题过程】解：由作图可知，∠DAE＝∠DAB，∠DEA＝∠B＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADB（AAS），∴DB＝DE，AB＝AE，∵∠AED+∠B＝180°∴∠BAC+∠BDE＝180°，∵∠EDC+∠BDE＝180°，∴∠EDC＝∠BAC，故A，B，C正确，故选：D．【总结归纳】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马，大马各有多少匹．若设小马有x匹，大马有y匹，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出二元一次方程组．【思路分析】根据“3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解题过程】解：根据题意可得：，故选：C．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（）A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【知识考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【思路分析】根据正方形的判定，矩形的判定、菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解题过程】解：A、根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，该结论正确；B、当AB＝CD时，四边形ABCD还是平行四边形，该选项错误；C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、当AC＝BD且AC⊥BD时，根据对角线相等可判断四边形ABCD是矩形，根据对角线互相垂直可判断四边形ABCD 是菱形，故四边形ABCD是正方形，该结论正确；故选：B．【总结归纳】本题考查了正方形的判定，矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【知识考点】二次函数图象与系数的关系．【思路分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解题过程】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．【总结归纳】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．11．函数y＝中自变量x的取值范围是．【知识考点】函数自变量的取值范围．【思路分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．【解题过程】解：依题意，得x﹣2≥0，解得：x≥2，故答案为：x≥2．【总结归纳】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝20°，则∠C＝°．【知识考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．【思路分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．【解题过程】解：∵AB＝AD，∠BAD＝20°，∴∠B＝＝＝80°，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°+20°＝100°，∵AD＝DC，∴∠C＝＝＝40°．【总结归纳】本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．13．《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经的一种卦图，图中每一卦由三根线组成（线形为或），如正北方向的卦为，从图中三根线组成的卦中任取一卦，这一卦中恰有2根和1根的概率为．【知识考点】概率公式．【思路分析】从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，由概率公式即可得出答案．【解题过程】解：从八卦中任取一卦，基本事件总数n＝8，这一卦中恰有2根和1根的基本事件个数m＝3，∴这一卦中恰有2根和1根的概率为＝；故答案为：．【总结归纳】本题考查了概率公式、古典概率；熟练掌握概率公式是解题的关键．14．汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为秒．【知识考点】二次函数在给定区间上的最值．【思路分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．【解题过程】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．故答案为：1.25．【总结归纳】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．15．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于°．【知识考点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；圆周角定理．【思路分析】根据弦BC垂直平分半径OA，可得OD：OB＝1：2，得∠BOC＝120°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可得弦BC所对的圆周角度数．【解题过程】解：如图，∵弦BC垂直平分半径OA，∴OD：OB＝1：2，∴∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴弦BC所对的圆周角等于60°或120°．故答案为：60°或120°．【总结归纳】本题考查了圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF＝，则矩形ABCD的面积为．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【思路分析】由折叠的性质得出∠BNF＝∠BEF，由条件得出tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，由勾股定理得出EF＝3x，得出AB＝BF，则可得出答案．【解题过程】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF＝，设BF＝x，BE＝2x，∴EF＝＝3x，∴AE＝3x，∴AB＝5x，∴AB＝BF．∴S矩形ABCD＝AB•AD＝BF•AD＝×15＝15．故答案为：15．【总结归纳】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共9个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（6分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）﹣2y（3x+5y），其中x＝，y＝﹣1．【知识考点】整式的混合运算—化简求值．【思路分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解题过程】解：原式＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2﹣6xy﹣10y2＝6xy，当x＝，y＝﹣1时，原式＝6××（﹣1）＝6﹣6．【总结归纳】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（6分）襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E 处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD ＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】求出∠E的度数，再在Rt△BDE 中，依据三角函数进行计算即可．【解题过程】解：∵A、C、E三点在一条直线上，∠ABD＝140°，∠D＝50°，∴∠E＝140°﹣50°＝90°，在Rt△BDE中，DE＝BD•cos∠D＝560×cos50°≈560×0.64＝358.4（米）．答：点E与点D间的距离是358.4米．【总结归纳】考查直角三角形的边角关系，构造直角三角形是解决问题的关键．19．（6分）在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天用水量是原来每天用水量的，这样120吨水可多用3天，求现在每天用水量是多少吨？【知识考点】分式方程的应用．【思路分析】设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，根据现在120吨水比以前可多用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【解题过程】解：设原来每天用水量是x吨，则现在每天用水量是x吨，依题意，得：﹣＝3，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，∴x＝8．答：现在每天用水量是8吨．【总结归纳】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（6分）3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙．”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）．信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75 根据信息解答下列问题：（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；（2）第三组竞赛成绩的众数是分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是分；（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为人．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；中位数；众数．【思路分析】（1）计算出第2组60～70组的人数，即可补全频数分布直方图；（2）根据中位数、众数的意义，分别求出第3组的众数，样本中位数；（3）样本估计总体，样本中80分以上的占，因此估计总体1500人的是80分以上的人数．【解题过程】解：（1）50﹣4﹣12﹣20﹣4＝10（人），补全频数分布直方图如图所示：（2）第3组数据出现次数最多的是76，共出现3次，因此众数是76，抽取的50人的成绩从小到大排列处在第25、26位的两个数的平均数为＝78，因此中位数是78，故答案为：76，78；（3）1500×＝720（人），故答案为：720．【总结归纳】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．21．（7分）如图，反比例函数y1＝（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝，n＝；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B 的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解题过程】解：（1）∵把A（1，4）代入y1＝（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y＝，∵把B（n，2）代入y＝得：2＝，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1＝（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM＝|m|＝＝2，故答案为2．【总结归纳】本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且＝，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，CD＝，求图中阴影部分的面积．【知识考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．【思路分析】（1）连接OC，根据＝，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD＝，根据勾股定理得到AE＝＝＝2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解题过程】（1）证明：连接OC，∵＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，∵＝，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴EF＝CD＝，∴BE＝2，∴AE＝＝＝2，∴AE＝AB，∴∠ABE＝30°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∵＝，∴∠COE＝∠BOC＝60°，连接CE，∵OE＝OC，∴△COE是等边三角形，∴∠ECO＝∠BOC＝60°，∴CE∥AB，∴S△ACE＝S△COE，∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，∴∠DCE＝30°，∴DE＝CD＝1，∴AD＝3，∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE＝3﹣＝﹣．【总结归纳】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（10分）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．【知识考点】一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【思路分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，根据实际意义可以确定a的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．（3）根据（2）的结论分情况讨论．【解题过程】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝kx，根据题意得50k＝1500，解得k＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k1x+b，根据题意得，，解得，∴y＝24x+3000．∴y＝，（2）设购进甲种水果为a千克，则购进乙种水果（100﹣a）千克，∴40≤a≤60，当40≤a≤50时，w1＝30a+25（100﹣a）＝5a+2500．当a＝40 时．w min＝2700 元，当50＜a≤60时，w2＝24a+300+25（100﹣a）＝﹣a+2800．当a＝60时，w min＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少．（3）由题意可设甲种水果为千克，乙种水果为千克当时，即0≤a≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×a+（36﹣25）×≥1650，解得a≥，与0≤a≤125矛盾，故舍去；当时，即a＞125，则甲种水果的进货价为24元/千克，≥1650，解得x≥150，∴a的最小值为150．【总结归纳】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．24．（11分）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE 交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD＝AF时，①求证：BD＝CF；②推断：∠ACE＝°；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当＝时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若CK＝，求DF的长．。