【强烈推荐】2019-2020东莞市第一中学 高二年级上学期期中考试 数学(文科)试卷

2019-2020东莞市第一中学 高二年级上学期期中考试 数学(文科)试卷数学（文科）试卷一．选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1． 下列关系式中，正确的是A. 22b a b a >⇒> B .b a b a 110<⇒>>C. 22bc ac b a >⇒> D. c b c a b a -<-⇒>2．在等差数列{}n a 中，若686=+a a ，则数列{}n a 的前13项之和为 A.392 B . 39 C. 1172D.783．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a,b,c ，若a =b =45B =︒，则角A=（ ）A ．30°B ．30°或105°C ．60°D ．60°或120°4． 若a,b 均为正实数,且134=+ba ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋43 D ．7＋435．设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.若等差数列{}n a 满足2d =-,n S 是数列前n 的和,若1011S S =则1a 为 ( )A 18B 20C 22D 24 7．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01508. 设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ） A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项9．数列{}n a 满足1a ，12a a -，23a a -，…，1--n n a a 是首项为1，公比为2的等比数列，那么=n aA .12-n B.121--n C.12+n D.14-n10 ．下面是关于公差0d>的等差数列{}n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（ ）A ．12,p p B ．34,p p C ．23,p p D ．14,p p二．填空题：（每小题5分，共计20分）11.在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

12．设常数0a >,若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立,则a 的取值范围为________. 13．若等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a = .14.已知数列}{n a ,}{n b 都是公差为1的等差数列,且*1111,,5N b a b a ∈=+,设n b n a c =,则数列}{n c 的前10项和等于三．解答题（15、16各12分。

17、18、19、20各14分。

共80分）15.（本题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。

17． （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，36a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若110k S =，求k 的值； （3）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求2013T 的值．18．（本小题满分14分）某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？并求最大利润。

19. （本小题满分14分）在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A 相距海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ，090θ<<)且与点A 相距C . （I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20．（本题满分14分）已知正项数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且1n a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n n na b +=，123n n T b b b b =++++，求证：352n T ≤<； （3）设c 为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数,,m k n ，不等式m n k S S cS +>都成立，求实数c 的取值范围.2014-2015东莞市第一中学 高二年级上学期期中考试数学（文科）试卷 参考答案1—10 BBDDA BBCAD11：120； 12：1[,)5+∞；13：-1 ；14：85 14.解：.15． 解：(1)当a ＝5时，f (x )＝x 2＋5x ＋6．………………………………………..1分f (x )＜0⇔x 2＋5x ＋6＜0⇔(x ＋2)(x ＋3)＜0⇔－3＜x ＜－2．……………..5分(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，则a 2－4×6＜0⇔6262<<-a ……11分 即实数a 的取值范围是)62,62(-…………………………………………12分. 16．（1）解：在ABC ∆ 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin =，于是522s i ns i n===BC A BCC AB …………………………………………………….5分 （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得ACAB BC AC AB A ∙-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55，………………………………………………..8分 从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A …………….10分 1024sin2cos 4cos2sin )42sin(=-=-πππA A A …………………………….12分 17.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，∵131226a a a d =⎧⎨=+=⎩, ∴2d =………………………………………………………………………2分数列{}n a 的通项公式()2122n a n n =+-⋅= ……………………………………………5分（2）方法一：∵21(1)(1)2211022k k k k k S ka d k k k --=+=+⋅=+= ……………7分 解得10k =或11k =-（舍去） ……………………………………………………………9分 方法二：∵()221102k k k S +==， ………………………………………………………7分 解得10k =或11k =-（舍去） ……………………………………………………………9分 （3）∵(22)(1)2n n n S n n +==+，∴1111(1)1n S n n n n ==-++…………………10分∴20131232013T T T T T =++++111111112233420132014⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12013120142014=-=………………………………………………………………………14分 18.解 设生产A ，B 两种产品分别为x 吨，y 吨，利润为z 万元。

…………1分 依题意，得⎩⎨⎧3x ＋10y≤300，9x ＋4y≤360，4x ＋5y≤200，x≥0，y≥0.………………………..7分目标函数为z ＝7x ＋12y …………………………………………………………8分 作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M (20,24)时z 取最大值…..12分． z 4282412207max =⋅+⋅=z ……………………………………………………13分 ∴该企业生产A ，B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．且最大利润为428万元。

……………………………………………………………14分19．.解: （I ）如图，AB,sin BAC θθ∠==由于090θ<<,所以cos θ26= 由余弦定理得=3=/小时）………7分 （II ） 如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B （x 1，y 1）, C （x 2，y 2）,BC 与x 轴的交点为D.由题设有，x 1=y 1=2AB=40, x 2=ACcos )30CAD θ∠=-=, y 2=ACsin )20.CAD θ∠=-= 所以过点B 、C 的直线l 的斜率k =20210=,直线l 的方程为y =2x -40. 又点E （0，-55）到直线l 的距离d7.=<所以船会进入警戒水域…………………………………………………………..14分 20．(本题满分14分)解：（1）法一：由1n a =得当1n =时，11a S =，且11a =，故11a =………………………１分当2n ≥时，1n n n a S S -=-，故11n n S S --=，得211)n S -=，∵正项数列{}n a1=∴是首项为1，公差为1的等差数列.…………………………………４分∴n = ，2n S n =∴121n a n ==-.………………………………………………………5分 法二：当1n =时，11a S =，且11a =，故11a =………………………………1分由1n a =得2(1)4n n a S +=，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=∴ 1n n n a S S -=-2(1)4n a +=21(1)4n a -+-，整理得11()(2)0n n n n a a a a --+--=∵正项数列{}n a ，10n n a a -+>，∴ 12n n a a --=，………………………………………………………………4分 ∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴ 21n a n =-.…………………………………………………………………………5分 （2）22n n na b +=212n n += ∴123n n T b b b b =++++231357212122222n n n n --+=+++++ ∴221572121232222n n n n n T ---+=+++++∴两式相减得231222221322222n n nn T -+=+++++- 111(1())21231212n n n --+=+--2552n n +=- ……………………………………8分∵ n N *∈ ，∴25552n nn T +=-< ∵202n n n a b +=> ∴12132n n T b b b b =+++≥=∴352n T ≤<…………………………………………………………………………10分 （3）∵ 不等正整数,,m k n 是等差数列，∴ 2m n k +=，∴ 222m n k S S m n c S k++<=，…………………………………11分 又22222222224()2(2)2()2m n m n m n mn k m n m n mn++++=>=+++，∴ 2c ≤ 故实数c 的取值范围为(,2]-∞.……………………………………………………14分。