北京西城区北京师范大学附属实验中学2016-2017学年高一上学期期中数学试卷

2016~2017学年北京西城区北京师范大学附属实验中学
高一上学期期中数学试卷
选择
1. 已知集合A= {x|2< x < 4}，B = {x|x<3或x> 5}，则A ∩B=（ ）．
A. {x|2< x < 3}
B. {x|2< x < 5}
C. {x|x< 4或x> 5}
D. {x|x< 2或x > 5}
2. 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ）．
A. y = e −x
B. y = x
C. y = ln x
D. y = |x|
3. 已知函数x x
x f 2log 6(-=），在下列区间中，包含)(x f 零点的区间是（ ）． A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 4) D. (4, +∞)
4. 下列大小关系正确的是 （ ）．
A. 0.42 < 30.4 < log 40.3
B. 0.42 < log 40.3 < 30.4
C. log 40.3 < 0.42 < 30.4
D. log 40.3 < 30.4 < 0.42
5. 与函数y= 10lg(x−1)的定义域相同的函数是（ ）．
A. y = x – 1
B. y = |x− 1|
C. 1-=x y
D. 1
1-=x y
6. 已知)(x f , )(x g 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且)(x f − )(x g = x 3 + x 2 +1，则f (1) + g(1) =（ ）．
A. −3
B. −1
C. 1
D. 3
7. 顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：
则最短交货期为（ ）．
A.24个工作日
B.27个工作日
C. 36个工作日
D. 42个工作日
8. 设函数2
11)1ln()(x x x f +++=，则使得)(x f > )12(-x f 成立的x 的取值范围是（ ）． A. (31, 1) B. (−∞, 31)∪ (1, +∞) C. (−31 , 31) D. (−∞, − 31)∪ (3
1 , +∞)
填空
9. 若点(2, 2)在幂函数)(x f y =的图象上，则)(x f =
10. 若映射f: x → y = 2(x−2)，则8的原象是 ,8 的象是 ． 11. =--10lg 5lg 2
1lg
． 12. 若a x f x +-=121)( 是奇函数，则a= ． 13. 校运会上，学生会组织售卖某种“SDSZ ”纪念品．已知该纪念品进货单价为40元，若销售价为50元，可卖出50个，如果销售单价每涨 1 元，销售量就减少1个．为了获得最大利润，则该纪念品的最佳售价为 元．
14. 已知函数 ⎩⎨⎧+-≤=m x m mx x m
x x x f ,42,)(2．
（1）当m = 1 时，则f (f (−2)) = ；)(x f
（2）若m>0，且存在实数b ，使得关于x 的方程)(x f = b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 ．
15. 函数223)2
1(x x y -+=的定义域为 ，值域为 ． 16. 已知函数)(x f = ax 2 + (1 − 3a) x + a 在区间[1, +∞ )上递增，则实数a 的取值范围是 ．
17. 函数)32(log 221+--=x x y 的单调递减区间是 ．
18. 已知集合U= {1, 2, ⋯ , n}，n ∈ N ∗．设集合A 同时满足下列三个条件．
①A ⊆ U ；②若x ∈A ，则2x ∉ A ；③若x ∈ ∁U A ，则2x ∉ ∁U A ．
（1）当n =4时，一个满足条件的集合A 是 ．（写出一个即可）
（2）当n =7时，满足条件的集合A 的个数为 ．
解答
19. 已知：函数)(x f = x 2 − bx + 3，且f (0) = f (4)．
（1） 求函数)(x f y =的零点，写出满足条件f (x) < 0的x 的集合．
（2） 求函数)(x f y =在区间[0, 3]上的最大值和最小值．
20. 已知函数x
x x f 4)(+= （1） 判断函数)(x f 的奇偶性，并证明．
（2） 判断函数)(x f 在(2, +∞)上的单调性，并用定义加以证明．
21. 已知函数)(x f = x 2 − 2ax+ a 2 − 1．
（1） 若f (1) = 3，求实数a 的值．
（2） 若函数)(x f 在区间[0, 2]上是单调的，求实数a 的取值范围．
（3） 当x ∈ [−1, 1]时，求函数)(x f 的最小值g(a)，并画出最小值函数y = g(a)的图象．
22. 设集合A= {x|x 2 − 2x− 3 < 0 ，B = {x|2
1<12-x < 8 ，C = {x|2x 2 + mx −m< 0}，m ∈ R ． （1） 求A ∪B ．
（2） 若(A ∪B) ⊆ C ，求实数m 的取值范围．
23. 已知函数)(x f 满足：
①任意s ，t ∈R,有f (s + t) = f (s) + f (t) + st ；
②f (3) = 6；
③任意x > 0，有)(x f > 0．
（1） 求f (1)的值．
（2） 证明：函数)(x f 在(0, +∞)上单调递增．
（3） 求满足f (2x ) + f (21−x ) <4的x 的取值范围．
24. 已知函数g(x) = log a x ，其中a > 1．
（1） 当x ∈ [0, 1 ]时，g(a x + 2) >1恒成立，求 a 的取值范围．
（2） 设m(x)是定义在[s, t]上的函数，在(s, t)内任取n-1个数x 1, x 2, ⋯ , x n−2, x n−1 ，设x 1 < x 2< ⋯ < x n−2< x n−1，令s = x 0, t = x n ，如果存在一个常数M > 0，使得∑=--n i i i
x m x m 11)()(⩽ M
恒成立，则称函数m(x i )在区间[s, t ]上的具有性质P ．试判断函数)()(x g x f =在区间[
a 1 , a 2]上是否具有性质P ？若具有性质P ，请求出M 的最小值；若不具有性质P ，请说明理由． （注：
=-∑=-n i i i x m x m 11)()(+-)()(01x m x m +-)()(12x m x m + )()(1--n n x m x m ）
2016~2017学年北京西城区北京师范大学附属实验中学高一上学期期中数学试卷
选择
1. A
2. B
3. C
4. C
5. D
6. C
7. D
8. A
填空
9. 21x 10. 5; 64 11. 23
12. 21 13. 70 14. 4 ;(3, +∞) 15. R; [16
1 , +∞) 16. [0, 1] 17. (−3, −1) 18. 1．A = {1, 4} 或A = {1, 3, 4} 或A = {2} 或A = {2, 3}; 16
解答
19. （1）f (x)的零点为x= 1 或x= 3 ；{x|1 < x < 3}
（2）f (x)max = 3 ，f (x)min = −1 ．
20. （1）f (x)为奇函数；
（2）函数f (x 在(2, +∞)上的单调递增；
21. （1）a= −1 或a= 3 ．
（2）a ⩾ 0 或a ⩽ 2
（3）⎪⎩
⎪⎨⎧≥----≤+=1,211,11,2)(22a a a a a a a a g
22. （1）A ∪B = {x| − 1 < x < 4}
（2）(−∞, −4] ∪ [8, +∞)
23. （1）1
（2）证明略
（3）0 < x < 1
24. （1）(1, 3)
（2）函数f (x)在区间[
a 1 , a 2]上具有性质P . a 的最小值为3．。