电磁场讲稿(只有基本知识部分)

绪论1．电磁学与电磁场理论电磁学：麦克斯韦方程组的积分形式。

它概括了全部已有的宏观电磁现象的实验事实，给出了用积分量描述宏观电磁场的全部规律。

电磁场理论：麦克斯韦方程组的微分形式。

是在电磁学的基础上，进一步研究宏观电磁现象和电磁过程的基本规律及其计算方法的理论，是用数学方法描述空间任意一点、任意时刻电磁现象变化规律的理论。

2．在电气工程与电子工程中的地位电路理论和电磁场理论是电气工程与电子工程学科基础课程。

电路理论：提供了计算由集总元件联接起来的网络和系统行为的方法和理论。

电磁场理论：提供了解决所有电气工程与电子工程问题的根本计算方法和理论，如集总元件伏安关系的建立和难以用电路理论解决的电磁问题等。

电气工程领域：能量的转换、传输、分配和利用，旋转电机、变压器、输电线路与电缆、电容器、电抗器、开关设备、互感器等。

电子工程领域：信息的发送、传输、接收与转换，电波设备、天线、雷达、卫星、光纤、遥感、遥测、遥控等。

其他工程领域：电磁兼容、生物电磁场、无损电磁探伤、磁悬浮、超导等。

电磁场理论是理解、发展和实现一切与电磁现象与电磁效应相关技术必不可少的知识本源。

3．课程的特色与学习方法建议课程学时：48学时。

课程的特色：体系完整、逻辑性强、内容抽象。

教材的特色：电气工程与电子工程相结合、理论与工程的结合，突出理论应用、提高学习兴趣。

学习方法建议：注重物理概念，强调数学方法，培养抽象思维能力，通过例题和习题充分理解电磁场理论。

第一章 电磁场的数学物理基础1．1 电磁场物理模型的构成1．源量点电荷：q 、单位：C 。

电荷体密度：ρ、单位：C/m 3。

电荷面密度：σ、单位：C/m 2。

电荷线密度：τ、单位：C/m 。

如果已知上述各种电荷的分布规律，则对应的q 、ρ、σ 和τ 都应是已知的空间坐标变量的函数。

又若已知电荷均匀分布，则意味着这些源量都将是某个已知的常量。

电流：i 、单位：A 。

电流密度（面积电流）：J 、单位：A/m 2。

面电流密度：K 、单位：A/m 。

2．场量电场强度：E 、单位：V/m 。

磁感应强度（磁通密度）：B 、单位：T 。

3．电磁性能参数电介质：介电常数ε、单位：F/m 。

真空中，12-9-0108.85410361⨯≈⨯π=ε (F/m) 磁介质：磁导率μ、单位：H/m 。

真空中，-70104⨯π=μ (H/m)导电媒质：电导率γ、单位：S/m 4．媒质的构成方程（本构关系） 电位移矢量：D 、单位：C/m 2。

磁场强度：H 、单位：A/m 。

构成方程（本构关系）： E D ε=μBH =E J γ=1．2 矢量分析1．矢量运算标量积（点积）： AB AB θcos =∙B A ，z z y y x x B A B A B A ++=∙B A 。

矢量积（叉积）： c AB AB e C B A θsin ==⨯zy x z x B B B A A Ae e e B A y z y x =⨯正交坐标系统：直角坐标系(x ,y ,z )、圆柱坐标系(ρ,φ,z )和球坐标系(r ,θ,φ)。

环量积分：()⎰⎰++=∙=lz y x ldz F dy F dx F d l F Γ通量积分：()⎰⎰++=∙=Sz y x Sdxdy F dxdz F dydz F d S F ψ2．矢量分析标量场的梯度：考察标量场等值面的变化率。

设等值面方程为ϕ(x ,y ,z ) = C标量场ϕ(x ,y ,z )在图中P 点沿d l 方向的变化率，此即方向导数为γϕβϕαϕϕϕϕϕcos cos cos zy x l z z l y y l x x l ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂图 标量场梯度的图示方向导数值与所选取的方向d l 有关。

记该d l 方向的单位矢量为e l ，可知γβαcos cos cos z l e e e e ++=y x定义zy x zy x∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕe e e grad 为标量场的梯度，记作ϕϕ∇= grad其中， zy x z y x∂∂+∂∂+∂∂≡∇e e e 可见，标量场的梯度是一个矢量。

此时，方向导数可改写成l l le e ∙∇=∙=∂∂ϕϕϕgrad 矢量场的散度：考察通量“源”在场中各点的分布情况。

作包围P 点的一相当小的封闭曲面S 如图示，则当∆V →0时，即∆V 收缩为P 点时，定义通量∆ψ对于体积∆V 的变化率的极限值为矢量F 在P 点的散度，记作Vd d V d lim V lim div S V V ψψ=∆∙=∆∆=⎰→∆→∆S F F 00 ()()2x x F z y x F F z y x F z y 2x x F 000z y x x000x x 000x 000x ∆⋅∂∂+≈∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+,,,,,,,, ()()2x x F z y x F F z y x F z y 2x x F 000z y x x000x x 000x 000x ∆⋅∂∂-≈∆-=⎪⎭⎫⎝⎛∆-,,,,,,,,图 直角坐标系下div F 表达式的推导用图穿出这二个面的净通量值为z y x x F z y z y x x F z y x x F x x x ∆∆∆∂∂=∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆--⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+000000,,2,,2 同理，对于另二组侧面进行类同的分析计算。

合成可得穿过整个平行六面体的净通量z y x zFz y x y F z y x x F z y x S∆∆∆∂∂+∆∆∆∂∂+∆∆∆∂∂=∙⎰S F d 而∆V = ∆x ∆y ∆z ，在直角坐标系下散度的表达式为zF y F x F Vd limdiv zy x SV ∂∂+∂∂+∂∂=∆∙=⎰→∆SF F 0又记为F F ∙∇= div可见，矢量场的散度是一个标量，它描述了矢量场在给定点的通量密度。

若div F =0，则表明该点没有产生通量的“源”（无源）；若div F ≠0，则表明该点有产生通量的“源”，div F >0为正源，div F <0为负源。

矢量场的旋度：考察环量“源”在场中各点的分布情况。

作一条围定面积为∆S 的微小的有向曲线l ，令e n 为∆S 的法向单位矢量，它与有向曲线l 构成右螺旋关系，如图所示。

记作n lS Se ld F F ⋅∆∙=⎰→∆maxlimcurl可见，矢量场的旋度是一个矢量，其方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定则，且为获得最大环量位置的面积元的法线方向e n ；其大小表征了每单位面积上矢量场的最大环量。

因此，旋度描述了旋涡源的强度。

图 环量强度的图示图 直角坐标系下(curl F )表达式的推导用图由旋度定义可知，()()y F x F y F x Fd d d d d 4y 3x 2y 1x l l l l l4321∆-+∆-+∆+∆=∙+∙+∙+∙=∙⎰⎰⎰⎰⎰l F l F l F l F l F可得()2,00,001y yF y x F F y x x x x ∆⋅∂∂-≈ 同理 ()2,00,002x x F y x F F y x y y y ∆⋅∂∂+≈ ()2,00,003y yF y x F F y x x x x ∆⋅∂∂+≈ ()2,00,004x xF y x F F y x y y y ∆⋅∂∂-≈ 代入环量计算式，有y x y F x F d x y l∆∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∙⎰l F由此根据旋度的定义式，有()yF xF yx d xy lS z ∂∂-∂∂=∆∆∙=⎰→∆lF F limcurl 同理，可得(curl F )x 与(curl F )y 的计算式。

合成为一个矢量式，得矢量场的旋度为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=++=y F x F x F z F z F y F x y z z x y y z x z z y y x x e e e F e F e F e F curl curl curl curl 或写成便于记忆的行列式，即zy x F F F z y xe e e F F zy x ∂∂∂∂∂∂=⨯∇=curl 3．场论基础散度定理（高斯定理）：()⎰⎰∙∇=∙VSdV d F S F斯托克斯定理：()⎰⎰∙=∙⨯∇lSd d l F S F无散场：无散场是散度恒为零的场，即0=∙∇F由矢量恒等式()0≡⨯∇∙∇A 可以看出，无散场可以用另一个矢量的旋度表达，即A F ⨯∇=一般称矢量A 是矢量场F 的矢量位。

无旋场：无旋场是旋度恒为零的场，即0F =⨯∇由矢量恒等式()0≡∇⨯∇ϕ可以看出，无旋场可以用另一个标量的梯度表达，即ϕϕ-∇=∇= F F or一般称标量ϕ是矢量场F 的标量位。

亥姆霍兹定理：若矢量场F (r )在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域V '中，则该矢量场唯一地由其散度和旋度所确定，且可被表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和，即()()()r A r r F ⨯∇+-∇=ϕ式中()()⎰'''-'∙∇'π=VV d r r r F 41r ϕ()()⎰'''-'⨯∇'π=V V d r r r F 41r A可见，对于无界空间，当所论矢量场的散度和旋度均为零时，即ϕ(r ) = 0与A (r ) = 0，则矢量场F (r )也随之消失。

常用矢量恒等式：∇(ψV ) = ψ∇V + V ∇ψ ， ∇∙(ψA ) = ψ∇∙A + A ∙∇ψ ∇⨯(ψA ) = ψ∇⨯A + ∇ψ⨯A ， ∇∙(A ⨯B ) = B ∙(∇⨯A ) - A ∙(∇⨯B )∇∙∇V = ∇2V ， ∇⨯∇⨯A = ∇(∇∙A ) -∇2A∇⨯∇V = 0 ， ∇∙(∇⨯A ) = 04．电磁场的基本规律-麦克斯韦方程组电磁感应定律：⎰⎰∙∂∂-=∙Sld t d S Bl E 应用斯托克斯定理，得()⎰⎰⎰∙∂∂-=∙⨯∇=∙SSld t d d S BS E l E 式中，两个面积分是对同一表面S 求积，并考虑到S 的随意性，有t∂∂-=⨯∇B E 全电流定律：⎰⎰⎰⎰∙+∙∂∂+∙=∙SS Sld d t d d S v S DS J l H c ρ 一般而言，传导电流和云流电流不能共存同一空间，如仅考虑传导电流，上式为⎰⎰⎰∙∂∂+∙=∙SSld t d d S DS J l H c 应用斯托克斯定理，得J H =⨯∇其中，tD v ∂∂+⎭⎬⎫=+⎭⎬⎫=Dv E J J J J ργc 由矢量恒等式()0≡⨯∇∙∇A ，得电流连续性方程的微分形式为∇ ∙ J = 0由散度定理，其积分形式为0S J =∙⎰Sd磁通连续性定理：0d S=∙⎰S B由散度定理，得0dV d VS⎰⎰=∙∇=∙B S B并考虑到V 的随意性，有∇ ∙ B = 0高斯定理：⎰⎰=∙VSdV d ρS D由散度定理，得∇ ∙ D = ρ麦克斯韦方程组的微分形式：tv ∂∂+⎭⎬⎫=⨯∇DJ J H c t∂∂-=⨯∇B E ∇ ∙ B = 0 ∇ ∙ D = ρ麦克斯韦方程组奠定了宏观电磁理论的基础。