第26讲 菱形性质练习题
菱形的性质与判定练习题
菱形的性质与判定练习题一、填空、选择题：1、(2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．2、(2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为__________cm2．4、已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是__________cm2．5、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.5题图6题图7题图6、2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是__________．7、如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=__________度．8、(2013南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= __________8题图9题图10题图9、（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为__________10、（2013•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________11、如图：菱形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH ⊥AB，垂足为H．试求点O到边AB的距离OH__________12、如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件____________,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）13、如图:在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF的度数=____________,。
菱形性质及判定练习题
菱形的性质及判定选题
一、填空题(本大题共5小题，共15.0分)
1.如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO=3，则菱形ABCD 的周长是 ______ ．
2.菱形的两条对角线长分别为16和12，则它的面积为 ______ ．
3.已知一个菱形的面积为8cm2，且两条对角线的长度比为1：，则菱形的边长为 ______ ．
4.如图，点O是菱形ABCD两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为8和10时，则阴影部分的面积为 ______ ．
5.如果菱形的两条对角线长分别为6和8，那么这个菱形一边上的高是 ______ ．
二、解答题(本大题共5小题，共40.0分)
6.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD．点E在AB边上，且CE∥AD．（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）如果点E是AB的中点，AC=8，EC=5，求四边形ABCD的面积．
7.已知，如图所示，△ABC中，AD是角平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，试说明四边形ABDF是菱形．
8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若
∠BAD=∠BCD=120°，AM=AN=，
①求证：四边形ABCD是菱形；②求四边形ABCD的面积．
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E．
（1）求证：OC=DE；
（2）若AB=5，BD=8，求△BDE的周长．
10.如图，四边形ABCD是矩形，直线L垂直分线段AC，垂足为O，直线L分别于线段AD，CB的延长线交于点E，F，证明四边形AFCE是菱形．。
菱形的性质练习题
菱形的性质练习题姓名： 号数： 班级：一、 填空：1、在菱形ABCD 中，AC ＝6，DB ＝8，则菱形的面积为： 2、 菱形的周长是9.6，两个邻角之比为1：2，则这个菱形较短的对角线长为：3、 菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5：4，则它的各内角度数为：4、 如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，且△AEF 是等边三角形，AE ＝AB ，则 ∠BAD 的度数5、 如图，菱形花坛DEFG 的边长为6， ∠E ＝60度度，其中由两个正六边形组成的图形的部分种花，则种花部分的周长（粗线部分）为：BA D EF G D6、菱形的两条对角线长之比是5：3，它们的差是4厘米，则这个菱形的面积是7、菱形ABCD的对角线AC＝16厘米，BD＝16厘米，BC＝10厘米，DE⊥BC，垂足为点E，则DE的长是8、菱形的一个内角为120度度，较短的对角线长为15，则该菱形的周长为9、已知菱形的周长为52厘米，∠BAD：∠ABC＝1：2，则BD＝AC＝二、解答题10、如图，在菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为点E，AB＝2厘米，赤诚（1）∠BAD的度数（2）对角线AC的长11、如图，平边ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，试说明四边形AFCE是菱形B DEDABC12、如图，菱形ABCD 中，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，请你猜想CE 与CF 的大小关系？并说明理由。
13、如图，AD 是三形ABC 的角平分线，DE 平行于AC 交AB 于点E ，DF 平行于AB 交AC 于F ，试判断四边形AEDF 是何图形，并说明理由。
C14、如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝24，BD ＝10，则周长是多少？面积呢？若DE ⊥AB 于点E ，求AB 。
DE F A C。
菱形的性质训练题
菱形性质的应用
已知:如图,四边形 是边长为13cm 已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 是边长为 的菱形,其中对角线BD长 的菱形,其中对角线 长10cm. :(1).对角线 的长度; (2).菱形的面积 对角线AC的长度 求:(1).对角线 的长度; (2).菱形的面积
解:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴∠AED=900, DE ∴∠ =90
注意： 注意：
由此可进一步推导得出： 由此可进一步推导得出：对角线互相垂直的 四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。 四边形的面积都等于两条对角线乘积的一半。
D B O A E
的边长为4cm， 例1：如图，菱形 ：如图，菱形ABCD的边长为 的边长为 ， ∠BAD＝2 ∠ABC。对角线 、BD相交于点 ＝ 。对角线AC、 相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。 对角线长和 ，求这个菱形的对角线长 面积。
A
D O C
1.已知菱形的周长是12cm， 1.已知菱形的周长是12cm，那 已知菱形的周长是12cm 3cm 么它的边长是______. 么它的边长是______. 2.菱形ABCD中 ABC＝60度 菱形ABCD 2.菱形ABCD中∠ABC＝60度， 60度 BAC＝ 60度 则∠BAC＝_______.
1 = 2× × BD× AE 2 1 = 2× ×10 ×12 = 120 cm2 . 2
D
(
)
C
三、课堂练习（复习巩固） 课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是 、菱形的两条对角线长分别是6cm和 和 8cm，则菱形的周长 ， ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 、菱形的面积为 一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 长为 ， ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是 ：5，高 、已知菱形的两个邻角的比是1： ， 是 8cm，则菱形的周长为 ， 。 4、已知菱形的周长为 、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 ， 比为3： ， 比为 ：4，则两对角线的长分别 是 。
菱形性质习题精选（含答案）
菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。
初中数学菱形的性质菱形的判定练习题(附答案)
初中数学菱形的性质菱形的判定练习题一、单选题1.已知,□ABCD 中,若∠A+∠C=120°,则∠B 的度数是( )A.100°B.120°C.80°D.60°2.四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD 为平行四边形的是( )A.//AD BCB.OA OC =,OB OD =C.//AD BC ，AB DC = D .AC BD ⊥3.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.四个角都相等B.四条边相等C.对角线相等D.对角线互相平分4.如图,在菱形ABCD 中,AC=8,BD=6,则△ABD 的周长等于( )A.18B.16C.15D.145.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A.对边相等B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直6.如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,要使它成为菱形,那么需要添加的条件可以是( )A.AC⊥BDB.AB=ACC.∠ABC=90°D.AC=BD二、证明题7.如图，四边形ABCD 是菱形，DE AB ⊥交BA 的延长线于点,E DF BC ⊥交BC 的延长线于点F.求证:DE DF =.三、填空题8.如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若=6AD ，=16AC BD +，则BOC △的周长为 ．9.如图，在菱形ABCD 中，对角线6,10AC BD ==.则菱形ABCD 的面积为 .10.如图,四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点O ,有下列条件:①,?AO CO BO DO ==;②AO BO CO DO ===.其中能判断ABCD 是矩形的条件是__________(填序号)11.如图,E 是正方形ABCD 边BC 延长线上一点,CE=AC,AE 交CD 于F,则∠AFC 的度数为__________。
菱形的性质练习题及其详解
菱形的性质01 基础题知识点1 菱形的性质1．(2016·莆田)菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(D)A ．对边相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直2．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是(B )A ．∠ADB ＝∠CDB B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AB ＝AD第2题图 第3题图3．如图，已知菱形ABCD 的边长等于2，∠DAB ＝60°，则对角线BD 的长为(C ) A ．1 B .3 C ．2 D ．234．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是(D )A ．10B ．8C ．6D ．55．如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，若EF ＝2，则菱形ABCD 的周长是16．6．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，连接AE ，AF.AE 和AF 有什么样的数量关系？说明理由．解：AE ＝AF.理由：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ，BC ＝CD. 又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点， ∴BE ＝12BC ，DF ＝12CD.∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.知识点2 菱形的面积7. (2016·宁夏)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AD ，CD 边的中点，连接EF.若EF ＝2，BD ＝2，则菱形ABCD 的面积为(A)A ．2 2 B. 2 C ．6 2 D ．82第7题图 第8题图8．(2017·宜宾)如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝6，BD ＝8，则菱形ABCD 的面积是24． 9．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，且∠ACD ＝30°，BD ＝4，求菱形ABCD 的面积．解：∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝4，∴OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12BD ＝2，AC ⊥BD.∵在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴CD ＝2OD ＝4，OC ＝CD 2－OD 2＝42－22＝2 3. ∴AC ＝2OC ＝4 3.∴S 菱形ABCD ＝12AC·BD ＝12×43×4＝8 3.02 中档题10．如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD ＝60°，则花坛对角线AC 的长等于(A )A ．63米B ．6米C ．33米D ．3米第10题图 第11题图11．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为28，则OE 的长等于(A )A ．3.5B ．4C ．7D ．1412．如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM ＝CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO.若∠DAC ＝28°，则∠OBC 的度数为(C )习题解析A ．28°B ．52°C ．62°D ．72°13．(2017·南充)已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，则菱形的面积为(D)A ．2 B.5 C ．3 D ．4 14．(2017·东营)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为15．如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E.(1)求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长．解：(1)∵在菱形ABCD 中，AB ＝AD ，∠A ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形． ∴∠ABD ＝60°.(2)由(1)可知BD ＝AB ＝4，又∵O 为BD 的中点，∴OB ＝2. 又∵OE ⊥AB ，∠ABD ＝60°， ∴∠BOE ＝30°. ∴BE ＝12OB ＝1.16．(2016·苏州)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E.(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.∴AE∥CD.又∵DE⊥BD，∴DE∥AC.又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝AO2＋DO2＝5.∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.∴C△ADE＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.03综合题17．在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．证明：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.又∵∠C＝180°－∠B＝120°，∴∠EFC＝30°.∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.又∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.(2)连接AC，由(1)，得△ABC是等边三角形，∴AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝60°，∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ACF＝12∠BCD＝60°＝∠B.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．。
菱形性质经典练习题(详细答案)
菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
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解:（1）在平行四边形 ABCD 中，∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．∵E，F 分别为 AB，CD 的
点 E、F，则 AE 的长
为
_____ 7 cm __________. 8
分析：连 EB,∵EF 垂直 平分 BD,∴ED=EB,设 x²+3²=（4-x）²,解得：
点 O 作 OH⊥AB，垂足 ． 4.如图，菱形 ABCD 的连长是 2㎝，E 是
D
A E B 第4题
AE=x,则 DE=EB=（4-x）,AE²+AB²=BE²,即：
2 四边形 BFDE 是平行四边形，四边形 BFDE 是菱形．
实战演练
1.一菱形周长是 20cm，两条对角线的比是 4∶3，则这菱形的面积是（ B ） A.12cm2
B.24cm2 C.48cm2
D.96cm2
2.如图，已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于
三．菱形的判定办法：1.用菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.四条边都相等的四边形是菱形；
3.对角线垂直的平行四边形是菱形； 4.对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
A
四．菱形的面积：等于两条对角线乘积的一半.（有关菱形问题可转化为直角三角形或
D
等腰三角形的问题来解决.），周长=边长的 4 倍
特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
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C x= 7/8 3.如图,在菱形 ABCD 中，AC＝8，BD＝6，过
为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH＝
12/5
AB 中点，且 DE⊥AB，则菱形 ABCD 的面积为
___ 2 3 ______㎝2．
5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，OE⊥AB，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为 65°
特殊的平行四边形——菱形
一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。 2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴。
11.如图，已知在□ABCD 中，AD=2AB，E、F 在直线 AB 上，CE 与 AD 交与点 M，
DF 与 CB 交与点 N，且
AE=AB=BF，
求证:CE⊥DF.
证明：连接 MN,∵□ABCD, AB=DC, 又∵AB=AE, AE=DC AEM CDM,
M 为我AD去的中人点. 也又∵就AD=有2AB人, ！CD为=DMUR扼CD腕MN入是棱站形,内所信以 C不E⊥存DF.在向你偶同意调剖沙
H KG
△BDE≌△CDF，DE=DF．DEKF 是菱形，EF 与 DK 互相垂直平分．
E
F
点拨：要说明 EF 与 DK 互相垂直平分，只要说明四边形 DEKF 是菱形，要说明四边形 DEKF
是菱形，可先说明四边形 DEKF 是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．
B
DC
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
菱形的性质与判定练习题
对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.
菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
若用a、b表示菱形的两条对角线，那么菱形的面
积为：
1 S ab
2
A B
D O
C
有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角
形的问题来解决.
如图，已知AD平分∠BAC，DE//AC，
DF//AB,AE=5.
（1）判断四边形AEDF的形状？
A
（2）四边形AEDF的周长为多少？
E
F
B
D
C
如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平 分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．
求证：四边形EGFC为菱形． C
F E
A
DG
B
C
证明：
∵ AF是∠BAC的平分线， ∴ ∠1= ∠2 （角平分线的定义） A ∵ ∠3= 90°－∠1, ∠4= 90°－∠2,
B
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AC ⊥ BD，
A
∴ □ABCD是菱形.
B
O
D
∵在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,
C
∴四边形ABCD是菱形.
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱 形
边
四条边都相等的四边形是菱形.
的 判
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定 对角线 对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
边对角线菱形的判定菱形的判定对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
菱形的两组对边分别平行.
边
菱形的四条边相等.
菱 形
角 菱形的两组对角分别相等,邻角互补.
的
菱形的两条对角线互相垂直平分.
(完整版)菱形性质经典练习题(详细答案)
菱形性质经典练习题一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4）D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）20．（2011•南昌）如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（﹣3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？25．（2006•大连）已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________；（2）猜想：_________=_________；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）26．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C 运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
《菱形的性质》练习及答案
《菱形的性质》练习满分100分 80分过关 限时30分钟一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）1．菱形的两条对角线的分别为60cm 和80cm ，那么边长是( )A ．60cmB ．50cmC ．40cmD ．80cm2．若菱形的一条边长为5cm ，则这个菱形的周长为( )A ．20cmB ．18cmC ．16cmD ．12cm3．菱形的对角线不一定具有的性质是( )A ．互相平分B ．互相垂直C ．每一条对角线平分一组对角D ．相等4．如图，已知菱形ABCD 对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE BC ⊥于点E ，则AE 的长是( )A ．53B ．25C ．245D ．485二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）5．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若8AC =，6BD =，则菱形ABCD 的面积为 ．6．已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，23BAE ∠=︒．则FEC ∠= 度．7．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3,4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数(0)k y x x=>的图象经过顶点B ，则k 的值为 ．8．如图1，是一个三节段式伸缩晾衣架，如图2，是其衣架侧面示意图．MN 为衣架的墙体固定端，A 为固定支点，B 为滑动支点，四边形DFGI 和四边形EIJH 是菱形，且AF BF CH DF EH ====．点B 在AN 上滑动时，衣架外延钢体发生角度形变，其外延长度（点A 和点C 间的距离）也随之变化，形成衣架伸缩效果．伸缩衣架为初始状态时，衣架外延长度为42cm ．当点B 向点A 移动8cm 时，外延长度为90cm ．如图3，当外延长度为120cm 时，则BD 和GE 的间距PQ 长为 cm ．三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，10AB =，60ABC ∠=︒，求AC 和BD 的长．10．【猜想】如图1，在平行四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线分别交AD ．BC 于点E ．F ．若平行四边形ABCD 的面积是8，则四边形CDEF 的面积是 ．【探究】如图2，在菱形ABCD 中，对角线相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，若5AC =，10BD =，求四边形ABFE 的面积．【应用】如图3，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，延长BC 到点D ，使DC BC =，连结AD ，若3AC =，210AD =ABD ∆的面积是 ．参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）【分析】由菱形的性质以及两条对角线长可求出其边长．【解答】解：Q 菱形的两条对角线长分别为60cm 和80cm ，∴22304050+=，故选：B ．【点评】此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题比较简单，注意掌握菱形的面积的求解方法是解此题的关键．【分析】根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为5cm，即可求出菱形的周长．【解答】解：Q菱形的四条边都相等，∴其边长都为5cm，∴菱形的周长4520cm=⨯=．故选：A．【点评】本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．【分析】根据菱形的对角线性质，即可得出答案．【解答】解：Q菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的对角线性质，熟记菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．【分析】首先利用菱形的性质结合勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积求出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，6AC cm=，8BD cm=，3AO CO cm∴==，4BO DO cm==，90BOC∠=︒，5()BC cm∴==，AE BC BO AC∴⨯=⨯故524AE=，解得：245AE=．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得利用三角形面积求出AE的长是解题关键．二．填空题（共4小题）【分析】由菱形面积公式即可得出答案．【解答】解：Q四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，8AC=Q，6BD=，∴菱形ABCD的面积为118624 22AC BD⨯=⨯⨯=；故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质；熟记菱形面积公式是解题的关键．【分析】先连接AC ，证明ABE ACF ∆≅∆，然后推出AE AF =，证明AEF ∆是等边三角形，最后运用三角形外角性质，求出CEF ∠的度数．【解答】解：连接AC ，Q 四边形ABCD 是菱形，AB BC CD AD ∴===，60B EAF ∠=∠=︒Q ，ABC ∴∆是等边三角形，120BCD ∠=︒，AB AC ∴=，60B ACF ∠=∠=︒，BAE EAC FAC EAC ∠+∠=∠+∠Q ，BAE FAC ∴∠=∠，且AB AC =，B ACF ∠=∠()ABE ACF ASA ∴∆≅∆，AE AF ∴=，又60EAF D ∠=∠=︒Q ，AEF ∴∆是等边三角形，60AEF ∴∠=︒，又83AEC B BAE ∠=∠+∠=︒，836023CEF ∴∠=︒-︒=︒．故答案为：23【点评】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定以及三角形的内角和定理的综合应用，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．【分析】根据点C 的坐标以及菱形的性质求出点B 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值．【解答】解：(3,4)C Q ，22345OC ∴=+=，5CB OC ∴==，则点B 的横坐标为358+=，故B 的坐标为：(8,4)，将点B 的坐标代入k y x =得， 48k =， 解得：32k =．故答案为：32．【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B 的坐标．【分析】三节段式伸缩晾衣架，相当于三个菱形构成，前半个和后半个组成一个整体，中间共有两个．本题需用到菱形的性质和勾股定理，根据横向对角线的长度等先计算出菱形的边长，然后根据菱形的面积公式容易求出结果．【解答】解：如图，作FK AB ⊥于K ，设2AB xcm =，由题意，7FK cm =，当(28)AB x cm =-时，15FK cm =．则有222227(4)15AF x x =+=-+，24()x cm ∴=，2272425()AF cm ∴=+=，如图，当20OF =时，在Rt DFO ∆中，22252015()OD cm =-=，PQ GI ⊥Q ，∴12FI DG DF PQ =g g g ， 14030224()25PQ cm ⨯⨯∴==．故答案为：24．【点评】本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．三．解答题（共2小题）【分析】依据菱形的性质可得Rt ABO ∆中30ABO ∠=︒，则可得AO 和BO 长，根据2AC AO =和2BD BO =可得结果．【解答】解：Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，1302ABD ABC ∠=∠=︒．………………………………………………4分 在Rt ABO ∆中，10AB =，5AO ∴=，BO =6分210AC AO ∴==，2BD BO ==10分【点评】本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度问题一般转化为在直角三角形中利用勾股定理求解．【分析】猜想：首先根据平行四边形的性质可得//AD BC ，OA OC =．根据平行线的性质可得EAO FCO ∠=∠，AEO CFO ∠=∠，进而可根据AAS 定理证明AEO CFO ∆≅∆，再根据全等三角形的性质可得结论；探究：根据菱形的性质得到//AD BC ，1 2.52AO CO AC ===，152BO BD ==，根据全等三角形的判定定理得到AOE COF ∆≅∆，由于AC BD ⊥，于是得到结果；应用：延长AC 到E 使3CE AC ==，根据全等三角形的判定定理得到ABC CDE ∆≅∆，由全等三角形的性质得到90E BAC ∠=∠=︒，根据勾股定理得到DE =，即可得到结论．【解答】解：猜想：Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，OA OC =．EAO FCO ∴∠=∠，AEO CFO ∠=∠，在AOE ∆和COF ∆中，EAO FCO AEO CFO AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AEO CFO AAS ∴∆≅∆，∴四边形CDEF 的面积12ACD S ABCD ∆==Y 的面积4=； 故答案为：4；…………………………………………………………………………2分探究：Q四边形ABCD是菱形，//AD BC ∴，12.52AO CO AC==，152BO BD==，90AOD∠=︒，……………………4分2255AB AC BO OA∴==+=，OAE OCF∠=∠，OEA OFC∠=∠，…………………6分在AOE∆于COF∆中，OAE OCFAEO CFOAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOE COF AAS∴∆≅∆，……………………………………………………………………7分AC BD⊥Q，5525511522ABCABFES S AC BO∆∴==⋅=⨯⨯=四边形．…………………………………8分应用：延长AC到E使3CE AC==，在ABC∆与CDE∆中，AC CEACB DCEBC CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABC CDE SAS∴∆≅∆，90E BAC∴∠=∠=︒，222DE AD AE∴=-=，1162622ABD ADES S AE DE∆∆∴===⨯⨯=g．故答案为：6 ………………………………………………………………………10分【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的性质，图形面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。
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第26讲菱形性质练习题姓名--------日期-------一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图7题图8题图9题图8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________度．10题图12题13题图14题图11．（2009•朝阳）已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________．12．（2009•安顺）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在_________点．13．（2008•长沙）如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是_________cm．14．（2006•云南）已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为_________．15．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________cm2．16．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________cm2．17．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_________．17题图18题图19题图18．（2003•温州）如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________．19．如图：点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=_________度．三．解答题（共7小题）21．（2011•广安）如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．22．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．24．（2009•贵阳）如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E 连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？答案与评分标准一．选择题（共4小题）1．（2011•衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4） C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．解答：解：过P作PE⊥OM，∵顶点P的坐标是（3，4），∴OE=3，PE=4，∴OP==5，∴点M的坐标为（5，0），∵5+3=8，∴点N的坐标为（8，4）．故选A．点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．2．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．考点：菱形的性质；等边三角形的判定。
分析：根据菱形的性质，求出菱形的边长，由菱形的两边和较短的对角线组成的三角形是等边三角形，进而求出较短的对角线长．解答：解：如图，∵四边形ABCD为菱形，且周长为4，∴AB=BC=CD=DA=1，又∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，所以AC=AB=BC=1．故选C．点评：本题既考查了菱形的性质，又考查了等边三角形的判定，是菱形性质应用中一道比较典型的题目．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1考点：菱形的性质；含30度角的直角三角形。
分析：根据已知可求得菱形的边长，再根据三角函数可求得其一个内角从而得到另一个内角即可得到该菱形两邻角度数比．解答：解：如图所示，根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5：1．故选C．点评：此题主要考查的知识点：（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；（2）菱形的两个邻角互补．4．（2010•宜昌）如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．考点：菱形的性质。
分析：先求出∠A等于60°，连接BD得到△ABD是等边三角形，所以BD等于菱形边长．解答：解：连接BD，∵∠ADC=120°，∴∠A=180°﹣120°=60°，∵AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=15．故选A．点评：本题考查有一个角是60°的菱形，有一条对角线等于菱形的边长．二．填空题（共15小题）5．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是3cm2．考点：菱形的性质。
分析：由知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可求得答案．解答：解：∵菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，∴它的面积是：×2×3=3（cm2）．故答案为：3．点评：此题考查了菱形的性质．注意菱形的面积等于对角线乘积的一半．6．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=．考点：菱形的性质；点到直线的距离；勾股定理。
分析：因为菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出OH的长．解答：解：∵AC=8，BD=6，∴BO=3，AO=4，∴AB=5．AO•BO=AB•OH，OH=．故答案为：．点评：本题考查菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四边相等，根据面积相等，可求出AB边上的高OH．7．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为2 cm2．考点：菱形的性质；勾股定理。
分析：因为DE丄AB，E是AB的中点，所以AE=1cm，根据勾股定理可求出BD的长，菱形的面积=底边×高，从而可求出解．解答：解：∵E是AB的中点，∴AE=1cm，∵DE丄AB，∴DE==cm．∴菱形的面积为：2×=2cm2．故答案为：2．点评：本题考查菱形的性质，四边都相等，菱形面积的计算公式以及勾股定理的运用等．8．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为60．考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB，然后利用平行四边形的判定及性质就可以求出△BDE的周长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=13，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC=5，∴OB==12，BD=2OB=24，∵AD∥CE，AC∥DE，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=BC=13，DE=AC=10，∴△BDE的周长是：BD+BC+CE+DE=24+10+26=60．故答案为：60．点评：本题主要利考查用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，关键是根据菱形的性质得出AC⊥BD，从而利用勾股定理求出BD的长度，难度一般．9．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=65度．考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：因为AB=AD，∠BAD=80°，可求∠ABD=50°；又BE=BO，所以∠BEO=∠BOE，根据三角形内角和定理求解．解答：解：∵ABCD是菱形，∴AB=AD．∴∠ABD=∠ADB．∵∠BAD=80°，∴∠ABD=×（180°﹣80°）=50°．又∵BE=BO，∴∠BEO=∠BOE=×（180°﹣50°）=65°．故答案为：65．点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．属基础题．10．（2009•江西）如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 120度．考点：菱形的性质。