河北省邯郸市永年二中高三数学上学期10月月考试卷 文(含解析)

河北省邯郸市永年二中201 5届高三上学期10月月考数学试卷（文科）一、选择题1．（3分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜2} 2．（3分）已知复数z=，则||=（）A．B．C．1 D．23．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，S2m﹣1=38，则m=（）A．9 B．10 C．20 D．384．（3分）设a=20.3，b=log0.32，c=0.32，则三者的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．（3分）用反证法证明命题：“已知a、b为实数，若a＞0，b＜0，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根6．（3分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值7．（3分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．8．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]9．（3分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．10．（3分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞011．（3分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．（3分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题13．（3分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．14．（3分）已知，则xy的最小值是．15．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=．16．（3分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2），a1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．22．已知函数f（x）满f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．河北省邯郸市永年二中2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）设集合A={x|x＞﹣1}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|﹣1＜x＜2}考点：并集及其运算．分析：根据题意，做出数轴，结合并集的意义，即可得到答案．解答：解：根据题意，做出数轴表示AB可得：即可得A∪B={x|x＞﹣2}，故选A．点评：本题考查并集的计算，细心计算即可．2．（3分）已知复数z=，则||=（）A．B．C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数求出复数z，再利用复数的除法法则化简复数，利用复数模的公式求出的模．解答：解：∵z=====﹣+i．∴===∴||=||=2故选项为D点评：本题考查复数的除法法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数及求复数模的公式．3．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知，S2m﹣1=38，则m=（）A．9 B．10 C．20 D．38考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等差数列的性质可知，第m﹣1项与第m+1项的和等于第m项的2倍，代入a m 2=0中，即可求出第m项的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出前2m ﹣1+a m+1﹣a m﹣1项的和，利用等差数列的性质化为关于第m项的关系式，把第m项的值代入即可求出m 的值．解答：解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，解得：a m=0或a m=2，又S2m﹣1==（2m﹣1）a m，若a m=0，显然（2m﹣1）a m=38不成立，故应有a m=2此时S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，解得m=10故选B．点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．4．（3分）设a=20.3，b=log0.32，c=0.32，则三者的大小顺序是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：判断a，b，c与0，1的大小关系，然后比较bd的大小即可．解答：解：∵c=0.32∈（0，1），b=log0.32＜0，a=20.3＞1，∴a＞c＞b．故选：B．点评：本题考查大小比较，一般情况下，含有指数与对数比较大小时，借助中间值“0”“1”比较．5．（3分）用反证法证明命题：“已知a、b为实数，若a＞0，b＜0，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根考点：反证法与放缩法．专题：证明题；反证法．分析：直接利用命题的否定写出假设即可．解答：解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，若a＞0，b＜0，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．点评：本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．6．（3分）设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划．分析：本题考查的知识点简单线性规划问题，我们先在坐标系中画出满足约束条件对应的平面区域，根据目标函数z=x+y及直线2x+y=4的斜率的关系，即可得到结论．解答：解析：如图作出不等式组表示的可行域，如下图所示：由于z=x+y的斜率大于2x+y=4的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时，z有最小值，但z没有最大值．故选B点评：目判断标函数的有元最优解，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据目标函数斜率与边界线斜率之间的关系分析，即可得到答案．7．（3分）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．解答：解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．8．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9．（3分）如果执行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，执行输出结果．解答：解：经过第一次循环得到 S=，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=4，经过第四次循环得到S=+=，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环得到S=+=，不满足进入循环的条件，执行输出，故输出结果为：，故选：D点评：解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．10．（3分）命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0C．对任意的x∈R，2x＜0 D．对任意的x∈R，2x＞0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是：对任意的x∈R，2x＞0．故选：D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．11．（3分）用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．7考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题．分析：在同一坐标系内画出三个函数y=10﹣x，y=x+2，y=2x的图象，以此作出函数f（x）图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．解答：解：10﹣x是减函数，x+2是增函数，2x是增函数，令x+2=10﹣x，x=4，此时，x+2=10﹣x=6，如图：y=x+2 与y=2x交点是A、B，y=x+2与 y=10﹣x的交点为C（4，6），由上图可知f（x）的图象如下：C为最高点，而C（4，6），所以最大值为6．故选：C点评：本题考查了函数的概念、图象、最值问题．利用了数形结合的方法．关键是通过题意得出f（x）的简图．12．（3分）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个考点：对数函数的图像与性质；函数的周期性．专题：压轴题；数形结合．分析：根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．解答：解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在上为减函数，在上为增函数∴函数y=f（x）在区间上有5次周期性变化，在、、、、上为增函数，在、、、、上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间点评：本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题13．（3分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为1830．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣2+a4n+16=b n+16可得数列{b n}是以16为公差的等差数列，而{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：∵，∴令b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，a4n+1+a4n+3=（a4n+3+a4n+2）﹣（a4n+2﹣a4n+1）=2，a4n+2+a4n+4=（a4n+4﹣a4n+3）+（a4n+3+a4n+2）=16n+8，则b n+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n+16=b n+16∴数列{b n}是以16为公差的等差数列，{a n}的前60项和为即为数列{b n}的前15项和∵b1=a1+a2+a3+a4=10∴=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列14．（3分）已知，则xy的最小值是15．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知，由此可知答案．解答：解：∵，∴，∴xy≥15．答案：15．点评：本题考查基本不等式的性质，解题时要认真审题，仔细解答．15．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象如图所示，则=0．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：压轴题．分析：先根据图象可得到周期T进而可知ω的值，确定函数f（x）的解析式后将x=代入即可得到答案．解答：解：根据图象可知，所以T=π，因为，所以ω=3，当x=时，f（）=0，即，可得，所以．故答案为：0．点评：本题主要考查已知三角函数的部分图象求函数解析式的问题．属基础题．16．（3分）已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．点评：本题考查了数量积的性质，属于基础题．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n•S n﹣1=0（n≥2），a1=．（1）求证：{}是等差数列；（2）求a n的表达式．考点：等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）本题关键是将a n=S n﹣S n﹣1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．（2）先求出S n，利用S n求a n，必须分类讨论a n=，求解可得．解答：（1）证明：∵﹣a n=2S n S n﹣1，∴﹣S n+S n﹣1=2S n S n﹣1（n≥2），S n≠0（n=1，2，3）．∴﹣=2．又==2，∴{}是以2为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1），=2+（n﹣1）•2=2n，∴S n=．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣=﹣〔或n≥2时，a n=﹣2S n S n﹣1=﹣〕；当n=1时，S1=a1=．∴a n=点评：本题主要考查了等差数列的证明，以及已知S n求a n，注意分类讨论，属于基础题．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．（1）求角A；（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．考点：正弦定理；余弦定理的应用．专题：计算题．分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．解答：解：（1）由正弦定理==化简已知的等式得：sinC=sinAsinC﹣sinCcosA，∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，∴sinA﹣cosA=1，整理得：2sin（A﹣）=1，即sin（A﹣）=，∴A﹣=或A﹣=，解得：A=或A=π（舍去），则A=；（2）∵a=2，sinA=，cosA=，△ABC的面积为，∴bcsinA=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得：4=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．20．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的取值范围．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简三角函数式，再由周期公式，即可得到；（Ⅱ）由f（x）的表达式，及，有，再运用正弦函数的图象和性质，即可得到取值范围．解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），即f（x）=sin2ωx+sinωxcosωx，则=，∵，∴ω=1．（Ⅱ），∵，∴．∴．∴函数f（x）在区间上的取值范围．点评：本题考查二倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式，周期公式，考查三角函数的值域，属于中档题．21．设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间上成立，根据导数求出函数在上的最大值，进一步求c的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．点评：本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题，而函数①f （x）＜c2在区间上恒成立与②存在x∈，使得f（x）＜c2是不同的问题．①⇔f（x）max＜c2，②⇔f（x）min＜c2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．22．已知函数f（x）满f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；探究型；转化思想．分析：（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值解答：解：（1）令x=1得：f（0）=1∴令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h （x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴当时，即当时，（a+1）b的最大值为点评：本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是2015届高考中的热点题型，难度较大，计算量也大，易马虎出错。