高三数学10月月考试题 理 (3)
四川省成都市第七中学2025届高三上学期10月月考数学试题
四川省成都市第七中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}21x B y y ==+，则A B =I （ ）A ．(]1,2B ．(]0,1C ．[]1,2D ．[]0,2 2．已知复数z 满足23i z z +=+，则3iz +=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．2i +D ．2i -3．已知向量a r ，b r 满足222a b a b -=-=rr r r ，且1b =r ，则a b ⋅=r r （ ）A ．14 B ．14- C ．12 D ．12-4．如图为函数y =f x 在[]6,6-上的图象，则()f x 的解析式只可能是（ ）A ．())ln cos f x x x =B ．())ln sin f x x x =C ．())ln cos f x x x =D ．())ln sin f x x x =5．已知()()cos f x x a x =+为奇函数，则曲线()y f x =在点()()π,πf 处的切线方程为（ ） A ．ππ0x y +-= B ．ππ0x y -+= C ．π0x y -+= D ．0x y += 6．在体积为12的三棱锥A BCD -中，AC AD ⊥，BC BD ⊥，平面ACD ⊥平面BCD ，π3ACD ∠=，π4BCD ∠=，若点,,,A B C D 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．32πD ．48π7．若sin()cos 2sin()αβααβ+=-，则tan()αβ+的最大值为（ ）A B C D8．设2024log 2023a =，2023log 2022b =，0.2024log 0.2023c =，则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．a b c <<二、多选题9．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：11a >，202420251,a a >20242025101a a -<-，下列结论正确的是（ ） A ．20242025S S <B ．202420261a a <C ．2024T 是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值10．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件1A =“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件2A =“摸出的两个球的编号都大于2”，事件3A =“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ） A ．事件1A 与事件2A 是互斥事件B ．事件1A 与事件3A 是对立事件C ．事件1A 与事件3A 是相互独立事件D ．事件23A A I 与事件13A A ⋂是互斥事件 11．已知6ln ,6e n m m a n a =+=+，其中e n m ≠，则e n m +的取值可以是（ ） A ．e B ．2e C ．23e D ．24e三、填空题12．若1sin 3α=-，则()cos π2α-=. 13．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，点()()*,n n a n N ∈在直线2y x =上，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为.14．已知点()2,0A ，()1,4B ，M ，N 是y 轴上的动点，且满足4MN =，AMN V 的外心P 在y 轴上的射影为Q ，则点P 的轨迹方程为，PQ PB +的最小值为．四、解答题V的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且15．设ABC()()()b a ABC BACc ABC C+∠-∠=∠-，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交sin sin sin sin于点P．∠；(1)求BACV的面积．(2)若AD=BE＝2，cos DPE∠=ABC16．如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.(1)求证：AD⊥平面BEF；(2)若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.17．为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：附表：2()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++． (1)根据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；(2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X ，每天看电子产品超过一小时的人数为Y ，求()P X Y =的值．18．已知函数()()ln 1f x x =+．(1)求曲线y =f x 在3x =处的切线方程.(2)讨论函数()()()F x ax f x a =-∈R 的单调性；(3)设函数()()1111g x x f f x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：存在实数m ，使得曲线y =g x 关于直线x m =对称.19．已知椭圆C 的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点)和⎛- ⎝⎭． (1)求椭圆C 的标准方程； (2)过点()2,0M 作不与坐标轴平行的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别向x 轴作垂线，垂足分别为点D ，E ，直线AE 与直线BD 相交于P 点．①求证：点P 在定直线上；②求PAB V 面积的最大值．。
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集R U =，集合{}2230M x x x =--≤和{}21,Z N x x k k ==-∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 2．围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限3613M ≈．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数8010N ≈．则下列各数中与M N 最接近的是（ ）（参考数据：lg30.48≈） A ．9310 B ．8310 C ．7310 D ．53103．lg(tan 1)y x =-的定义域为（ ）A ．ππππ,24x k x k k ⎧⎫+>>+∈⎨⎬⎩⎭Z B ．πππ,π,42x x k x k k ⎧⎫>+≠+∈⎨⎬⎩⎭Z C ．ππ,4x x k k ⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z D ．ππ,42k x x k ⎧⎫>+∈⎨⎬⎩⎭Z 4．设0.302a =.，0.20.3b =，0.2log 2c =，则（ ）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a b c >>5．设函数3()f x x x =，则不等式()()332log 3log 0f x f x +-<的解集是（ ）A ．1,2727⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,27 D ．()27,+∞6．下列选项可以使得1144xy -≤≤成立的一个充分不必要条件的是（ ） A ．221x y += B ．2241x y += C ．1x y += D ．1y x= 7．函数()f x 的导函数()(1)(ln 1)f x x x ax '=-+-，若函数()f x 仅在1x =有极值，则a 的取值范围是（ ）A ．21e a ≤- B ．21e a <-或1a = C ．21e a ≤-或1a = D ．1a =8．存在三个实数1a ，2a ，3a 使其分别满足下述两个等式：（1）1232a a a =-；（2）1230a a a ++=，其中M 表示三个实数1a ，2a ，3a 中的最小值，则（ ）A ．M 的最小值是2-B ．M 的最大值是2-C ．M 的最小值是D ．M 的最大值是-二、多选题9．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其周期为4，当(0,2)x ∈时，()22x f x =-，则（ ） A ．(2024)0f =B ．()f x 的值域为(2,2)-C ．()f x 在(2,2)-上单调递增D ．()f x 在[4,4]-上有9个零点10．已知函数()214()log 21f x x ax =-+，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 关于x a =对称B ．()f x 的值域为R ，当且仅当1a ≥或1a ≤-C ．()f x 的最大值为1，当且仅当a =D ．()f x 有极值，当且仅当1a <11．关于函数()cos sin2f x x x =，下列说法中正确的是（ ）A ．图象关于直线π4x =对称B ．()f x 为偶函数C ．2π为()f x 的周期D三、填空题12．已知α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，其终边上一点P 的坐标为11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为13．甲说：()2ln 23y x ax =-+在(,1]-∞上单调递减，乙说：存在实数x 使得2210x ax -+>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦成立，若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则a 的取值范围是 14．已知不等式11e 2x a ax b -+-≥对任意的实数x 恒成立，则b a的最大值为.四、解答题15．已知函数3212()232a f x x x ax +=-+． (1)若1a =，求函数()f x 的极值；(2)讨论函数()f x 的单调性．16．已知函数()πsin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向右平移π2个单位长度，再将所得函数图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象. (1)求()g x 的解析式；(2)若关于x 的方程()g x k =-在区间π5π,186⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有两个实数解，求实数k 的取值范围.17．已知ππ42α≤≤，3ππ2β≤≤，4sin 25α=，cos()αβ+= (1)求225sin 8sin cos 11cos 82222πsin 2ααααα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)求角βα-的值.18．已知函数()3ln 2(1)2x f x x x x=++--. (1)证明：曲线()y f x =是中心对称图形；(2)若()()214f m f m -+<，求实数m 的取值范围.19．已知函数()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--，函数()f x 与()g x 的图像关于1x =-对称，.(1)求()f x 的解析式；(2)()1f x ax -≤在定义域内恒成立，求a 的值；(3)求证：2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑，*N n ∈.。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期10月月考数学质量检测试卷(含解析)
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应位置2024-2025学年四川省成都市高三上学期10月月考数学质量检测试卷.1. 已知集合{}1,2,4A =，2{N |20}B x x x =Î+-£，则A B =U （ ）A. {}2,1,0,1,2,4-- B. {}0,1,2,4C. {}1,2,4 D. {}1【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法，求得{}0,1B =，结合集合并集的概念与运算，即可求解.【详解】由不等式220x x +-£，可得(2)(1)0≤x x +-，解得21x -££，所以集合{}{N |21}0,1B x x =Î-££=，又因为{}1,2,4A =，可得{}0,1,2,4A B È=.故选：B.2. 2024年巴黎奥运会中国代表队获得金牌榜第一，奖牌榜第二的优异成绩.首金是中国组合黄雨婷和盛李豪在10米气步枪混合团体赛中获得，两人在决赛中14次射击环数如图，则（ ）A. 盛李豪的平均射击环数超过10.6B. 黄雨婷射击环数的第80百分位数为10.65C. 盛李豪射击环数的标准差小于黄雨婷射击环数的标准差D.黄雨婷射击环数的极差小于盛李豪射击环数的极差【答案】C 【解析】【分析】根据图表数据可直接判断选项A ，利用第80百分位数的解法直接判断选项B ，根据图表的分散程度即可判断选项C ，根据极差的求法直接判断选项D.【详解】由题知，盛李豪的射击环数只有两次是10.8环，5次10.6环，其余都是10.6环以下，所以盛李豪平均射击环数低于10.6，故A 错误；由于140.811.2´=，故第80百分位数是从小到大排列的第12个数10.7，故B 错误；由于黄雨婷的射击环数更分散，故标准差更大，故C 正确；黄雨婷射击环数的极差为10.89.7 1.1-=，盛李豪的射击环数极差为10.810.30.5-=，故D 错误.故选：C3. 已知0.10.6a =，0.6log 0.3b =，0.6log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b c a >> B. a b c >>C. c b a >> D. a c b>>【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的底数小于1得到函数单调递减，判断出b ，c 的大小关系，又判断出b ，c 大于1，a 小于1，从而得出结论.【详解】由于0.6log y x =(0,)+¥单调递减，故0.60.60.6log 0.3log 0.4log 0.61b c =>=>=，又∵0.100.60.61a =<=，∴b c a >>.故选：A.4. 已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 22ab cb > B.222a cc a+³C. ||||a b > D. 0ab bc +>【答案】C 【解析】【分析】根据已知等式可确定0,0a c ><，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.【详解】由题，0,0a c ><，取1,0,1a b c ===-，则22ab cb =，故A 错误；在2522a c c a +=-，故B 错误；0ab bc +=，故D 错误；因为22()()()0a b a b a b c a b -=+-=-->，所以22a b >，即||||a b >，故C 正确.故选：C.5. “函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ”的一个充分不必要条件是（ ）A. [B. (C. ()-¥+¥U D. )+¥【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数的性质，先分析出对数的真数部分能取得所有的正数，然后根据二次函数与其对应二次方程的关系，求出a 的范围即可求解.【详解】因为函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ，设222y x ax =-+，则二次函数y 需要取到一切正数，对应于方程2220x ax -+=中，0D ³，即2480a -³，解得a ³或a £，从而)+¥是“函数2()ln(22)f x x ax =-+的值域为R ”的充分不必要条件.故选：D6. 核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化的核燃料，可以不断向反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含有一种放射性同位素氚，它有可能用辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平衡.已知氚的半衰期约为12年，则氚含量变成初始量的110000大约需要经过（ ）年.（lg 20.3010»）A. 155 B. 159C. 162D. 166【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出等量关系，借助换底公式和题目给出的参考量得出结果.【详解】设氚含量变成初始量的110000大约需要经过t 年，则1211()210000t =，121log 1210000t =，即48159lg 2t =»年，故选：B.7. 若函数()y f x =的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是（ ）A. (12)y f x =-B. 1(1)2y f x =-C. (12)y f x =--D. 1(1)2y f x =--【答案】A 【解析】【分析】根据函数定义域求出新函数定义域判断B,D;取特殊值判断C,根据函数平移伸缩变换判断A.【详解】由()y f x =的定义域为(1,)-+¥知，1(1)2y f x =-中111,42x x ->-<，不符合图2，故排除B ，D ；对于C ，当12x =时，(0)0y f =->，不满足图2，故C 错误；将函数()y f x =图关于y 轴对称，得到()y f x =-的图，向右平移1个单位得到(1)y f x =-的图，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数(12)y f x =-的图可能为图2.故选:A.8. 已知函数()11,0,2221,0.x x x f x x ì+>ï=íï-£î，则方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为（ ）A. 0 B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】的【分析】将方程根的问题转化为函数()y f x =和2(3)y f x =--的图象交点横坐标问题，数形结合即可判断交点个数，再根据对称性求解和即可解答.【详解】方程()(3)2f x f x +-=的根为函数()y f x =和2(3)y f x =--的图象交点横坐标，由函数()11,0,2221,0.x x x f x x ì+>ï=íï-£î得，()31,3,23232,3,x x x y f x x -ì<ï=--=íï-³î如下图所示，两函数图象共有4个交点，且因为()(3)2f x f x +-=，所以函数()y f x =与函数2(3)y f x =--的图象关于点3(,1)2中心对称，故方程()(3)2f x f x +-=的所有根之和为6.故选：C.二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分，.9. 已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f x y f x f y +=+，则（ ）A. ()00f = B. ()11f =C. ()f x 是奇函数 D. ()f x 在R 上单调递增【答案】AC 【解析】【分析】通过赋值法及特例逐项判断即可.【详解】由()()()22f x y f x f y +=+知，当0x y ==时， ()()030f f =，即()00f =，故A 正确；取()f x x =-，则()f x 满足条件()()()22f x y f x f y +=+，但()11f =-，且()f x 是在R 上单调递减，故B ，D错误；当,x t y t =-=时，()()()2f t f t f t =-+，即()()f t f t -=-，故C 正确.故选：AC.10. 已知复数12,z z 的共轭复数分别为21,z z ，则下列命题为真命题的是（ ）A. 1212z z z z +=+B. 1212z z z z ×=×C. 若120z z ->，则12z z >D. 若2221212z z z z +=+，则21210z z z z +××=【答案】ABD 【解析】分析】设出1i z a b =+，2i z c d =+，,,,R a b c d Î，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项计算可判断A 、B 、D ；举出反例可判断C.【详解】设1i z a b =+，2i z c d =+，且,,,R a b c d Î，则1i z a b =-，2i z c d =-；对A ：12i i ()i z z a b c d a c b d +=+++=+++，12()i a c z b d z +=+-+所以12()i a c z b d z -=+++，所以1212z z z z +=+，故A 正确；对B ：12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad ++=--+=，12i)(i)()i (()z z a b c d ac bd bc ad --=--+=，故B 正确；对C ：当1212i,2i z z =+=时，满足1210z z -=>，但不能得出12z z >，故C 错误；对D ：2121212121211221212()()()()z z z z z z z z z z z z z z z z z z +=++=++=+++22121212z z z z z z =+++，故11220z z z z +=，故D 正确.故选：ABD.11. 设函数()()()ln f x x a x b =++，则下面说法正确的是（ ）A. 当0,1a b ==时，函数()f x 在定义域上仅有一个零点B. 当0,0a b ==时，函数()f x 在(1,)+¥上单调递增C. 若函数()f x 存在极值点，则a b£【D. 若()0f x ³，则22a b +的最小值为12【答案】ABD 【解析】【分析】代入0,1a b ==得到()f x 解析式，结合对数运算可得A 正确；求导分析单调性可得B 正确；当a b £时求导分析，当a b >利用换元法二次求导数分析可得C 错误；由复合函数同增异减得到()f x 的单调性，再结合二次函数取值可得D 正确；【详解】对于A ，当0,1a b ==时，()ln(1)f x x x =+，由()0f x =得，0x =，函数()f x 在定义域上仅有一个零点，故A 正确；对于B ，当0a b ==时，函数()ln f x x x =，当1x >时，()ln 10f x x ¢=+>，故函数()f x 在(1,)+¥上单调递增，故B 正确；对于C ，()ln()ln()1x a a bf x x b x b x b x b+-¢=++=+++++，当a b £时，函数()f x ¢在定义域上单调递增，且当x b ®-时，()f x ¥¢®-，当x ®+¥时，()f x ¥¢®+，此时函数()f x ¢存在零点0x ，即函数()f x 在0(,)b x -上单调递减，在0(,)x +¥上单调递增，故此时函数()f x 存在极值点，当a b >时，设()ln()1a b g x x b x b-=++++，则()2212()()a b x b a g x x b x b x b -+-=-=+++¢，令()0g x ¢=，则2x a b =-，故函数()f x ¢在(,2)b a b --上单调递减，在(2,)a b -+¥上单调递增，故()()2ln()2f x f a b a b ¢³¢-=-+，故当21e b a b <<+时，函数()f x ¢存在零点，函数()f x 存在极值点，综上，当函数()f x 存在极值点时，21eb a b <<+或a b £，故C 错误；对于D ，()()ln 0x a x b ++³恒成立，当()0f x =时，x a =-或1x b =-，当且仅当两个零点重合时， 即1a b -=-，因为y x a =+为增函数，设()()1ln ln 1y x b x a =+=++，则1y 在(1,)a a ---上单调递减，在(,)a -+¥上单调递增，所以函数()f x 在(1,)a a ---上单调递减，在(,)a -+¥上单调递增，满足()()ln 0x a x b ++³， 则22212212a b b b +=-+³，当12b =时取“=”，故D 正确，故选：ABD.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 若函数2()23f x x kx =++在[1,2]上单调，则实数k 的取值范围为_____．【答案】8k £-或4k ³-【解析】【分析】运用二次函数的单调性知识，结合对称轴可解.【详解】函数2()23f x x kx =++的对称轴为04k x =-，故当24k -³或14k-£时，函数()f x 在[1,2]上单调，即8k £-或4k ³-，故答案为:8k £-或4k ³-.13.若()y f x =是定义在R 上的奇函数，()(2)f x f x =-，(1)2f =，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++=L ________．【答案】2【解析】【分析】根据题意，推得(4)()f x f x +=，得到()y f x =的周期为4，再求得(1),(2),(3),(4)f f f f 的值，结合周期性，即可求解.【详解】因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，故()()f x f x -=-，又因为()(2)f x f x =-，所以(2)()f x f x -=--，故(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，即()y f x =的周期为4，由于()y f x =为定义在R 上的奇函数，且(1)2f =，可得(0)0f =，(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，则(1)(2)(3)(2025)f f f f +++=L 506[(1)(2)(3)(4)](1)2f f f f f ´++++=.故答案为：2.14. 若过点()1,b 作曲线e x y x =的切线有且仅有两条，则b 的取值范围是______．【答案】25[0,e)e ìü-íýîþU 【解析】【分析】由题意，设切点000(,e )xx x ，利用相切性质得到关于0,b x 的关系式0200(1)e xb x x =-+，将切线条数问题转化为关于0x 的方程解的个数问题求解，再分离参数转化为函数2()(1)e x g x x x =-+的图象与直线y b =的交点个数问题，构造函数研究函数的单调性与最值，数形结合求b 的范围即可.【详解】设切点为000(,e )xx x ，()(1)e x f x x ¢=+，故切线方程为00000e (1)e ()x x y x x x x -=+-，将()1,b 代入切线方程得00000e(1)e (1)x x b x x x -=+-，0200(1)e x b x x \=-+，过点()1,b 作曲线e x y x =的切线有且仅有两条,则关于0x 的方程0200(1)e xb x x =-+有两解，可转化为直线y b =与函数2(1)e x y x x =-+的图象有两个交点.令2()(1)e x g x x x =-+，则2()(2)e (1)(2)e x x g x x x x x ¢=--=--+，当2x <-时，()0f x ¢<，()f x 在(),2¥--单调递减；当2<<1x -时，()0f x ¢>，()f x 在()2,1-单调递增；当1x >时，()0f x ¢<，()f x 在(1,+∞)单调递减；故()g x 的单调减区间(,2),(1,)-¥-+¥，增区间是(2,1)-.当x ®-¥时，()0g x ®，当x ®+¥时，()g x ®-¥，且25(1)e,(2)e g g =-=-，当y b =与()y g x =有且仅有两个交点时，25[0,e)e b ìüÎÈ-íýîþ，故答案为：25[0,e)e ìüÈ-íýîþ.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()1ln 1kxf x x -=-为奇函数．（1）求实数k 值；（2）若函数()()2xg x f x m =-+，且()g x 在区间[]2,3上没有零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1-（2）(,4ln 3)(8ln 2,)m Î-¥--+¥U 【解析】【分析】（1）根据奇函数定义建立方程，解得1k =±，检验即可求解；（2）利用导数研究函数的单调性可知()g x 在[2,3]上单调递减，根据零点的概念建立不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为()1ln1kxf x x -=-是奇函数，所以()()f x f x -=-， 即11ln ln ln 1111kx kx x x kx x --+=-=----， 所以1111kx x kxx +=----，故22211k x x -=-，则1k =±，当1k =时，111xx -=--显然不成立；经验证：1k =-符合题意；所以1k =-；【小问2详解】由1()ln21x x g x m x +=-+-，22()2ln 21x g x x ¢=---， 当[2,3]x Î时，()0g x ¢<，故()g x 在[2,3]上单调递减.的的故()[ln 28,ln 34]g x m m Î-+-+.因为()g x 在区间[]2,3上没有零点，所以ln 280m -+>或ln 340m -+<，解得4ln 3m <-或8ln 2m >-，即(,4ln 3)(8ln 2,)m Î-¥--+¥U .16. 已知三棱锥D ABC -，D 在平面ABC 上的射影为ABC V 的重心O ，15AC AB ==，24BC =.（1）证明：BC AD ^；（2）E 为AD 上靠近A 的三等分点，若三棱锥D ABC -的体积为432，求二面角E CO B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得AM BC ^、OD ^平面ABC ，根据线面垂直的性质可得OD BC ^，结合线面垂直的判定定理和性质即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系，利用三棱锥的体积公式求得12OD =，由空间向量的线性运算求得()4,0,4OE =uuu r，结合空间向量法求解面面角即可.【小问1详解】如图所示，连结AO 并延长交BC 于M ，因为O 为△ABC 的重心，所以M 是BC 的中点，又因为AC AB =，所以由等腰三角形三线合一可得AM BC ^， 因为D 在平面ABC 上的射影为O ，所以OD ^平面ABC ， 又ÌBC 平面ABC ，所以OD BC ^，又,,AM OD O AM OD =ÌI 平面AMD ，所以^BC 平面AMD ， 又AD Ì平面AMD ，所以BC AD ^，【小问2详解】由（1）知AM BC ^，OD ^面ABC ，过M 作z 轴平行于OD ，则z 轴垂直于面ABC ，如图，以,MA MB 为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，在ABC V 中，15AC AB ==，24BC =由（1）知，AM BC ^，故9AM ==，得11082ABC S AM BC =×=V ， 所以三棱锥A-BCD 的体积为 1110843233ABC S OD OD ×=´´=V ，则12OD =因为O 为△ABC 的重心，故133OM AM ==，则()()()()()0,12,0,0,12,0,3,0,0,9,0,0,3,0,12C B O A D -，()()()6,0,0,6,0,12,3,12,0OA AD OC ==-=--uuu r uuu r uuu r因为E 为AD 上靠近A 的三等分点，所以()12,0,43AE AD ==-uuu r uuu r，故()14,0,43OE OA AD =+=uuu r uuu r uuu r设(),,n x y z =r 为平面ECO 的一个法向量，则4403120n OE x z n OC x y ì×=+=ïí×=--=ïîuuu r r uuu rr ，取4x =，则1,4y z =-=-，故()4,1,4n =--r，易得()0,0,1m =r是平面COB 的一个法向量， 设二面角E CO B --的平面角为q ，则q 为钝角，所以cos cos ,m n m n m n q ×=-=-==r r r rr r 所以二面角E CO B --的余弦值为 【点睛】17. 某小区有3000名居民，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占%a .为减轻工作量，随机地按n 人一组分组，然后将各组n 个人的血样混合在一起化验.若混合血样呈阴性，说明这n 个人全部阴性；若混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（1）若0.2,20,a n ==试估算该小区化验的总次数；（2）若0.9a =，且每人单独化验一次花费10元，n 人混合化验一次花费9n +元，求当n为何值时，每个居民化验的平均费用最少.注：假设每位居民的化验结果呈阴性还是阳性相互独立.当00.01p <<时，(1)1n p np -»-.【答案】（1）270 （2）10【解析】【分析】（1）设每组居民需化验的次数为X ，确定其取值，分别求概率，进而可得期望，即得；（2）设每组n 人总费用为Y 元，结合条件计算，然后表示出结合基本不等式即得.【小问1详解】设每组需要检验的次数为X ，若混合血样为阴性，则1X =，若混合血样呈阳性，则21X =， 所以20(1)(10.002)P X ==-，20(21)1(10.002)P X ==--， 所以202020()1(10.002)21[1(10.002)]2120(10.002)E X =´-+´--=-´-2120(1200.002) 1.8»-´-´=一共有300020150¸=组，故估计该小区化验的总次数是1.8150270´=.【小问2详解】设每组n 人总费用为Y 元，若混合血样呈阴性，则9Y n =+；若混合血样呈阳性，则119Y n =+，故(9)(10.009)n P Y n =+=-，(119)1(10.009)n P Y n =+=--()(9)0.991(119)(10.991)11100.9919n n n E Y n n n n =+×++×-=-´+每位居民的化验费用为()11100.99199911100.9911110(10.009)n n E Y n n n n n n n-´+==-´+»-´-+=911100.091 2.8n n -++³+=元 当且仅当90.09n n=，即10n =时取等号，故10n =时，每个居民化验的平均费用最少.18. 在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，且1mn =.设动点P 形成的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22144x y -=（2）不存在直线l 符合题意，理由见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ，则由OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，可得x m n =+，y m n =-，再结合1mn =，消去,m n ，即可得曲线C 的标准方程，（2）判断直线l 的斜率存在，设l ：()22y k x =-+，设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线方程代入曲线C 的方程，化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式表示出MN 的中点H 的坐标，利用弦长公式表示出MN ，表示出线段MN 的中垂线方程，求出其与与x 轴的交点坐标为4,01k Q k æöç÷+èø，而AB 的中垂线为x 轴，所以若A ，B ，M ，N 共圆，则圆心为4,01k Q k æöç÷+èø，从而由2222224MNQA QM QH HM QH ==+=+列方程求解即可.【小问1详解】设(),P x y ，则(),OP x y =uuu r，()1,1OA =uuu r ，()1,1OB =-uuu r ，因为OP mOA nOB =+uuu r uuu r uuu r，所以()()()(),1,11,1,x y m n m n m n =+-=+-，所以x m n =+，y m n =-，所以2x y m +=，2x yn -=，又122x y x y mn +-=×=，整理得22144x y -=，即曲线C 的标准方程为22144x y -=；【小问2详解】易知当l 的斜率不存在时，直线l 与曲线C 没有两个交点，所以直线l 的斜率存在，设l ：()22y k x =-+，将直线l 与曲线C 联立，得22(2)2144y k x x y =-+ìïí-=ïî，消去y ，整理得()22212(22)4880kxk k x k k ----+-=，因为()()22224(22)4148832(1)0k k kkk k D =----+-=->且210k -¹，所以1k <且1k ¹-，设()11,M x y ，()22,N x y ，则1241k x x k +=+，21224881k k x x k -+=-，所以MN 的中点22,11kH k k æöç÷++èø，且1x M N =-=，将1241k x x k +=+，21224881k k x x k -+=-代入上式，整理得4MN =当0k ¹时，线段MN 的中垂线方程为1l ：12214111k y x x k k k k k æö=--+=-+ç÷+++èø，令y ＝0，解得41k x k =+，即1l 与x 轴的交点坐标为4,01k Q k æöç÷+èø，当k ＝0时，线段MN 的中垂线为y 轴，与x 轴交于原点，符合Q 点坐标，因为AB 的中垂线为x 轴，所以若A ，B ，M ，N 共圆，则圆心为4,01k Q k æöç÷+èø，所以2222224MNQA QM QH HM QH ==+=+，所以()2222281442211111(1)(1)k k k k k k k k k +-æöæöæö-+=++ç÷ç÷ç÷++++-èøèøèø，整理得32622100k k k -++=，即()22(1)3450k k k +-+=，因为1k <且1k ¹-，所以上述方程无解，即不存在直线l 符合题意.19. 在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢=+¢-+-+×××+-+×××（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数*3,N n n ³Î），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.当00x =时泰勒展开式也称为麦克劳林公式.比如e x 在0x =处的麦克劳林公式为：22111e 12!3!x n x x x x n =++++++L L ！，由此当0x ³时，可以非常容易得到不等式223111e 1,e 1,e 1,226x x x x x x x x x ³+³++³+++L 请利用上述公式和所学知识完成下列问题：（1）写出sin x 在0x =处的泰勒展开式.（2）若30,2x æö"Îç÷èø，sin e 1a xx >+恒成立，求a 的范围;（参考数据5ln 0.92»）（3）估计5ln3的近似值（精确到0.001）【答案】（1）1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ； （2）1a ³； （3）0.511【解析】【分析】（1）求导，根据题意写出sin x 在0x =处的泰勒展开式；（2）结合sin x 在0x =处的泰勒展开式，构造函数证明3310,,sin 26x x x x æö"Î>-ç÷èø，再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x æöÎç÷èø，求导得到函数单调性，证明出30,,()02x g x æö"Î>ç÷èø，当1a ³时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ³>->+ ，满足要求，当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x æöÎç÷èø，易求得(0)10h a ¢=-<，所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减， 所以(0,)x m Î时，()(0)0h x h <=，不合要求，从而得到答案；（3）求出ln(1)x +和ln(1)x -的泰勒展开式，得到35122ln 2135x x xx x +=+++-L ，令14x =，估计5ln3的近似值.【小问1详解】()sin cos x x ¢=，()cos sin x x ¢=-，()sin cos x x ¢-=-，()cos sin x x ¢-=，其中cos 01,sin 00==，sin x 在0x =处的泰勒展开式为：1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ，【小问2详解】因为1352111(1)sin 3!5!(21)!n n x x x x x n --+-=-+++-L L ，由sin x 在0x =处的泰勒展开式，先证3310,,sin 26x x x x æö"Î>-ç÷èø，令3211()sin ,()cos 1,()sin 62f x x x x f x x x f x x x =-+¢=-+¢¢=-，()1cos f x x ¢¢¢=-，易知()0f x ¢¢¢>，所以()f x ¢¢在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f ¢¢>¢¢=，所以()f x ¢在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f ¢>¢=，所以()f x 在30,2æöç÷èø上单调递增，所以()(0)0f x f >=，再令31()ln(1)6g x x x x =--+，30,2x æöÎç÷èø，易得1(1)(2)2()1x x x g x x --+¢=+，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在31,2æöç÷èø上单调递减，而3155(0)0,ln 02162g g æö==->ç÷èø，所以30,,()02x g x æö"Î>ç÷èø恒成立，当1a ³时，31sin sin ln(1)6a x x x x x ³>->+ ，所以sin e 1a x x >+成立，当1a <时，令()sin ln(1)h x a x x =-+，30,2x æöÎç÷èø，易求得(0)10h a ¢=-<，所以必存在一个区间(0,)m ，使得()h x 在(0,)m 上单调递减， 所以(0,)x m Î时，()(0)0h x h <=，不符合题意. 综上所述，1a ³.【小问3详解】因为1154ln ln,1314+=-转化研究1ln 1x x +-的结构，23456ln(1)23456x x x x x x x +=-+-+-+L ，23456ln(1)23456x x x x x x x -=-------L ，两式相减得35122ln 2135x x x x x +=+++-L ，取1,4x =得35512121ln 2((0.5108343454=´+´+´+»L ，所以估计5ln 3的近似值为0.511（精确到0.001）.【点睛】麦克劳林展开式常常用于放缩法进行比较大小，常用的麦克劳林展开式如下：()21e 12!!n x n x x x o x n +=+++++L ，()()()352122sin 13!5!21!n n n x x x x x o x n ++=-+-+-++L ，()()()24622cos 112!4!6!2!nn n x x x xx o x n =-+-++-+L ，()()()2311ln 11231n n n x x xx x o x n +++=-+-+-++L ，()2111n n x x x o x x =+++++-L ，()()()221112!nn n x nx x o x -+=+++。
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题(含答案)
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
数学丨黑龙江省哈尔滨市第三中学2025届高三10月月考数学试卷及答案
哈三中2024—2025学年度上学期高三学年十月月考数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.323.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.44.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.57.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A.B. C.D.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A.B.0C.1D.2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成的角为D.三棱锥外接球的表面积为11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点第II卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.数学试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整，字迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.4.保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I卷（选择题，共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合，，再根据交集的定义求.【详解】对集合：因为，所以，即；对集合：因为恒成立，所以.所以.故选：B2.已知是关于的方程的一个根，则（）A.20B.22C.30D.32【答案】D【解析】【分析】根据虚根成对原理可知方程的另一个虚根为，再由韦达定理计算可得.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另一个虚根为，所以，解得，所以.故选：D.3.已知，，，则的最小值为（）A.2B.C.D.4【答案】D【解析】【分析】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.4.数列中，若，，，则数列的前项和（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合递推关系利用分组求和法求.【详解】因为，，所以，，，，，又，，，所以.故选：C.5.在中，为中点，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】选择为平面向量的一组基底，表示出，再根据表示的唯一性，可求的值.【详解】选择为平面向量的一组基底.因为为中点，所以；又.由.故选：C6.在三棱柱中，点在棱上，且，点为中点，点在棱上，若平面，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件及线面平行的判定定理，利用面面平行的判定定理和性质定理，结合平行四边形的性质即可得结论.【详解】依题意，作出图形如图所示设为的中点，因为为的中点，所以，又平面，平面，所以平面，连接，又因为平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又，所以，所以，所以.故选：B.7.已知偶函数定义域为，且，当时，，则函数在区间上所有零点的和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数在区间上的零点的集合等于函数和函数在区间内的交点横坐标的集合，分析函数的图象特征，作出两函数的图象，观察图象可得结论.【详解】因为函数，的零点的集合与方程在区间上的解集相等，又方程可化为，所以函数，的零点的集合与函数和函数在区间内的交点横坐标的集合相等，因为函数为定义域为的偶函数，所以，函数的图象关于轴对称，因为，取可得，，所以函数为偶函数，所以函数的图象关于对称，又当时，，作出函数，的区间上的图象如下：观察图象可得函数，的图象在区间上有个交点，将这个交点的横坐标按从小到大依次记为，则，，，，所以函数在区间上所有零点的和为.故选：A.8.已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】可设，，，由得到满足的关系，再求的最小值.【详解】可设，，，则.可设：，则.故选：B【点睛】方法点睛：由题意可知：，都是单位向量，且夹角确定，所以可先固定，，这样就只有发生变化，求最值就简单了一些.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数，下列说法正确的是（）A.函数的最大值为B.是函数图象的一个对称中心C.是函数图象的一个对称轴D.将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先利用两角和与差的三角函数公式和二倍角公式，把函数化成的形式，再对函数的性质进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为.所以，故A正确；函数对称中心的纵坐标必为，故B错误；由，得函数的对称轴方程为：，.令，得是函数的一条对称轴.故C正确；将函数的图象向右平移个单位，得，即将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.故D正确.故选：ACD10.在正方形中，，为中点，将沿直线翻折至位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则下列结论中正确的是（）A.若点在线段上，则的最小值为B.三棱锥的体积为C.异面直线、所成角为D.三棱锥外接球的表面积为【答案】AC【解析】【分析】对于A，的最小值为可判断A；对于B，过作于，求得，可求三棱锥的体积判断B；对于C；取的中点，则，取的中点，连接，求得，由余弦定理可求异面直线、所成的角判断C；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，求得外接球的半径，进而可求表面积判断D.【详解】对于A，将沿直线翻折至，可得的最小值为，故A正确；对于B，过作于，因为二面角为直二面角，所以平面平面，又平面平面，所以平面，由题意可得，由勾股定理可得，由，即，解得，因为为线段的中点，所以到平面的距离为，又，所以，故B错误；对于C，取的中点，则，且，，所以，因为，所以是异面直线、所成的角，取的中点，连接，可得，所以，在中，可得，由余弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，所以异面直线、所成的角为，故C正确；对于D，取的中点，过点在平面内作的垂线交于，易得是的垂直平分线，所以是的外心，又平面平面，又平面平面，所以平面，又因为直角三角形的外心，所以是三棱锥的外球的球心，又，所以，所以三棱锥外接球的表面积为，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数有两个零点B.恒成立C.若方程有两个不等实根，则的范围是D.直线与函数图象有两个交点【答案】BCD【解析】【分析】分和两种情况探讨的符号，判断A的真假；转化为研究函数的最小值问题，判断B的真假；把方程有两个不等实根，为有两个根的问题，构造函数，分析函数的图象和性质，可得的取值范围，判断C的真假；直线与函数图象有两个交点转化为有两解，分析函数的零点个数，可判断D的真假.【详解】对A：当时，；当时，；时，，所以函数只有1个零点.A错误；对B：欲证，须证在上恒成立.设，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为，因为，所以.故B正确；对C：.设，则，.由；由.所以在上单调递增，在单调递减.所以的最大值为：，又当时，.如图所示：所以有两个解时，.故C正确；对D：问题转化为方程：有两解，即有两解.设，，所以.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以的最大值为.因为，，所以所以.且当且时，；时，.所以函数的图象如下：所以有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上.12.等差数列中，是其前项和.若，，则______.【答案】【解析】【分析】设数列的公差为，将条件关系转化为的方程，解方程求，由此可求结论.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，，所以，，所以，故答案为：.13.在中，，的平分线与交于点，且，，则的面积为______.【答案】【解析】【分析】根据三角形面积公式，余弦定理列方程求，再由三角形面积公式求结论.【详解】因为，为的平分线，所以，又，所以，由余弦定理可得，又，所以所以，所以的面积.故答案为：.14.已知三棱锥中，平面，，，，，、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知可得的中点外接球的球心，求得外接球的半径与内切球的半径，进而求得两球心之间的距离，可求得线段的长度的最小值.【详解】因为平面，所以是直角三角形，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以是直角三角形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，结合已知可得平面，所以是直角三角形，从而可得的中点外接球的球心，故外接球的半径为，设内切球的球心为，半径为，由，根据已知可得，所以，所以，解得，内切球在平面的投影为内切球的截面大圆，且此圆与的两边相切（记与的切点为），球心在平面的投影为在的角平分线上，所以，由上易知，所以，过作于，，从而，所以，所以两球心之间的距离，因为、分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，所以线段的长度的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：首先确定内外切球球心位置，进而求两球半径和球心距离，再利用空间想象判断两球心与位置关系求最小值.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.在三棱柱中，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用勾股定理的逆定理可得，可证结论；（2）以为坐标原点，所在直线为，过作的平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】连接，因为，为中点，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，所以平面；【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为，过作平行线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以，则，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，又，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若在恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）的取值范围为.【解析】【分析】（1）求函数的定义域及导函数，分别在，，，条件下研究导数的取值情况，判断函数的单调性；（2）由条件可得，设，利用导数求其最小值，由此可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，导函数，当时，，函数在上单调递增，当且时，即时，，函数在上单调递增，当时，，当且仅当时，函数在上单调递增，当时，方程有两个不等实数根，设其根为，，则，，由，知，，，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，函数在上单调递减，函数在上单调递增，【小问2详解】因为，，所以，不等式可化为，因为在恒成立，所以设，则，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取最小值，最小值为，故，所以的取值范围为.17.已知在锐角中，，，分别为内角，，的对边，.（1）求；（2）若，为中点，，求；（3）若，求内切圆半径的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再结合三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，可求，进而得到角.（2）利用向量表示，借助向量的数量积求边.（3）利用与正弦定理表示出，借助三角函数求的取值范围.【小问1详解】因为，根据正弦定理，得，所以，因为，所以，所以.【小问2详解】因为为中点，所以，所以，所以，解得或（舍去），故.【小问3详解】由正弦定理：，所以，，因为，所以，所以，，设内切圆半径为，则.因为为锐角三角形，所以，，所以，所以，即，即内切圆半径的取值范围是：.18.某汽车销售公司为了提升公司的业绩，将最近一段时间内每日的汽车销售情况进行了统计，如图所示.（1）求的值，并求该公司这段时间内每日汽车销售量的第60百分位数；（2）以频率估计概率，若在这段时间内随机选择4天，设每日汽车销售量在内的天数为，在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，求的分布列及数学期望；（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：在三棱锥中，、均是边长为2的正三角形，，现从写有数字1~8的八个标签中随机选择两个分别贴在、两个顶点，记顶点、上的数字分别为和，若为侧棱上一个动点，满足，当“二面角大于”即为中奖，求中奖的概率.【答案】（1），175（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和为1可求的值，再根据百分位数的概念求第60百分位数.（2）根据条件概率计算，求的分布列和期望.（3）根据二面角大于，求出可对应的情况，再求中奖的概率.【小问1详解】由.因为：，，所以每日汽车销售量的第60百分位数在，且为.【小问2详解】因为抽取的1天汽车销售量不超过150辆的概率为，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.所以：在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率为.由题意，的值可以为：0，1，2，3.且，，，.所以的分布列为：0123所以.【小问3详解】如图：取中点，链接，，，，.因为，都是边长为2的等边三角形，所以，，，平面，所以平面.平面，所以.所以为二面角DE平面角.在中，，所以.若，在中，由正弦定理：.此时：，.所以，要想中奖，须有.由是从写有数字1~8的八个标签中随机选择的两个，所以基本事件有个，满足的基本事件有：，，，，，，，，共9个，所以中奖的概率为：.【点睛】关键点点睛：在第（2）问中，首先要根据条件概率的概念求出事件“在恰有1天的汽车销售量不超过150辆的条件下，抽取的1天汽车销售量在内的概率”.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）设，为线段上的动点.①求平面与平面的夹角余弦值的取值范围；②四棱锥的外接球记为球，当为线段中点时，求平面截球所得的截面面积.【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）设，用表示四棱锥体积，分析函数的单调性，可求四棱锥体积的最大值.（2）①建立空间直角坐标系，设点坐标，用空间向量求二面角的余弦，结合二次函数的值域，可得二面角余弦的取值范围.②先确定球心，求出球心到截面的距离，利用勾股定理可求截面圆的半径，进而得截面圆的面积.【小问1详解】设则，所以四棱锥体积，.所以：.由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以四棱锥体积的最大值为.【小问2详解】①以为原点，建立如图空间直角坐标系.则，，，所以，，.设平面的法向量为，则.令，则.取平面的法向量.因为平面与平面所成的二面角为锐角，设为.所以.因为，，所以.②易得，则，此时平面的法向量，所以点到平面的距离为：，设四棱锥的外接球半径为，则,所以平面截球所得的截面圆半径.所以平面截球所得的截面面积为：.【点睛】关键点点睛：平面截球的截面面积问题，要搞清球心的位置，球的半径，球心到截面的距离，再利用勾股定理，求出截面圆的半径.。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
江西省多校联考2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
江西省10月份高三联考数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{1,2,3}A =，{},B x y x A y A =+∈∈，则A B = （）A ．{2}B ．{3}C ．{2,3}D ．{1,2,3}2．在复数范围内，方程49x =的解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知双曲线22:1y C x m-=的离心率大于实轴长，则m 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．)+∞C ．(0,3)D ．4．若220m n -≠，cos()2m αβ-=，cos()2n αβ+=，则tan tan αβ=（）A ．m n m n-+B ．m n m n+-C ．2m n m n -+D ．2m n m n+-5．函数2()(31)e xf x x =-的最小值为（）A ．433e--B ．133e 2--C ．0D ．24e--6．已知向量,,a b c ，满足1a = ，2b = ，3c = ，π,,3a b a b c 〈〉=〈+〉=，则a b + 在c 方向上的投影向量为（）A ．3cB ．143c C ．6c D ．76c 7．现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为（）A ．420B ．660C ．720D ．12008．已知函数()f x 满足()()()22x yf x y f x f y +=+++，且(1)1f =，则(1000)f =（）A ．99922995+B ．99922996+C ．100022995+D ．100022996+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()sin 2f x x =，2()cos 2g x x =，则（）A ．()f x 与()g x 的值域相同B ．()f x 与()g x 的最小正周期相同C ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称轴D ．曲线()y f x =与()y g x =有相同的对称中心10．如图，现有一个底面直径为10cm ，高为25cm 的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm ，忽略容器的厚度，则（）A ．此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为35B ．容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为cm2C ．当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为3185πcm 3D ．当容器内沉入一个棱长为11．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为的直线与E 交于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．若动点P 在E 的准线上，则（）A ．AP BP ⋅的最小值为0B ．当PAB △为等腰三角形时，点PC ．当PAB △的重心在x 轴上时，PAB △的面积为924D ．当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为,,84⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2f x x x =-+，则(2)f -=______．13．已知A ，B ，C ，D 四点都在球O 的球面上，且A ，B ，C 三点所在平面经过球心，AB =π3ACB ∠=，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为______，球O 的表面积为______．14．若x ，y ，z 均为正数，且2(2)1x x y z +=，则83x yz 的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数321()43f x x ax x =+-．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．（2）试问是否存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．16．（15分）贵妃杏是河南省灵宝市黄河沿岸地区的一种水果，其果实个大似鹅蛋，外表呈橙黄色，阳面有晕．贵妃杏口感甜美，肉质实心鲜嫩多汁，营养丰富，是河南省的知名特产之一．已知该地区某种植园成熟的贵妃杏（按个计算）的质量M （单位：克）服从正态分布()2,N μσ，且(96106)0.7P M ≤≤=，(9496)0.1P M ≤≤=．从该种植园成熟的贵妃杏中选取了10个，它们的质量（单位：克）为101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，这10个贵妃杏的平均质量（单位：克）恰等于μ克．（1）求μ．（2）求(100104)P M <≤．（3）甲和乙都从该种植园成熟的贵妃杏中随机选取1个，若选取的贵妃杏的质量大于100克且不大于104克，则赠送1个贵妃杏；若选取的贵妃杏的质量大于104克，则赠送2个贵妃杏．记甲和乙获赠贵妃杏的总个数为X ，求X 的分布列与数学期望．17．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,ABCD BC ∥平面,PAD BC AB ⊥．（1）证明：平面PAD ⊥平面PAB ．（2）若AD AB =，PA BC =，且异面直线PD 与BC 所成角的正切值为32，求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值．18．（17分）已知点()11,0F -，2(1,0)F ，动点M 满足12123MF MF F F +=，动点M 的轨迹为记为E ．（1）判断E 与圆22:8O x y +=的位置关系并说明理由．（2）若P 为E 上一点，且点P 到x 轴的距离(0,1)d ∈，求12PF F △内切圆的半径的取值范围．（3）若直线:(1)l y k x =-与E 交于C ，D 两点，1A ，2A 分别为E 的左、右顶点，设直线1AC 的斜率为()110k k ≠，直线2A D 的斜率为()220k k ≠，试问122212k k k k +是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19．（17分）在n 个数码1，2，…，(,2)n n n ∈≥N 构成的一个排列12n j j j 中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序，这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为()12n j j j τ ，例如，(12)0τ=，(4132)4τ=．（1）比较()613245τ与(15432)τ的大小；（2）设数列{}n a 满足()211(22)(15432)2n n n na n a n n τ++-+=+，12a =，求{}n a 的通项公式；（3）设排列122(,5)n j j j n n ∈≥N 满足()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，()11,12,,210n i j i i ==- ，()122n n b j j j τ= ，21020n n b c +=，证明：56n c c c +++≥ 3840(4)[(214)ln 2124]2402nn n --++-．江西省10月份高三联考数学参考答案1．C 依题意可得{2,3,4,5,6}B =，则{2,3}A B = ．2．D由49x =，得()()22330x x+-=，得x =或x =3．A由题意得2m >>，解得3m >．4．A 因为cos()cos cos sin sin 2m αβαβαβ-=+=，cos()cos cos sin sin 2n αβαβαβ+=-=，所以cos cos m n αβ=+，sin sin m n αβ=-，所以sin sin tan tan cos cos m nm nαβαβαβ-==+．5．B2()(61)e x f x x '=+，令()0f x '<，得16x <-，令()0f x '>，得16x >-，所以2()(31)e xf x x =-的最小值为11331131e e 622f --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．6．C 因为1a = ，2b = ，3c = ，π,3a b 〈〉=，所以a b +=== a b + 在c 方向上的投影向量为()||||a b c c c c +⋅⋅=2π||||cos 3||926a b c c c c c +==⨯ ．7．B将6人分成4组，分配方案有两种：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人选择南昌的选法种数为22133364263322C C C C A 110A 660A ⎛⎫+== ⎪⎝⎭．8．D令1y =，得(1)()(1)22()23x x f x f x f f x +=+++=++，则(1)()23xf x f x +-=+，则2999(2)(1)23,(3)(2)23,,(1000)(999)23f f f f f f -=+-=+-=+ ，将以上各式相加得()9992999212(1000)(1)22239993(10001)12f f --=++++⨯=+⨯-- 100022995=+，所以10001000(1000)22995(1)22996f f =++=+．9．ABC()sin 2[0,1]f x x =∈，1cos 4()[0,1]2xg x +=∈，则()f x 与()g x 的值域相同，A 正确．()f x与()g x 的最小正周期均为2ππ42=，B 正确．曲线()y f x =与()y g x =的对称轴方程均为π()4k x k =∈Z ，C 正确．曲线()y f x =没有对称中心，曲线()y g x =有对称中心，D错误．10．BCD 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为3152725125⎛⎫= ⎪⎝⎭，A 错误．设容器内液体倒去一半后液体的高度为cm h ，则31152h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得2h =，B 正确．因为15103252⨯=，155104252+⨯=，所以当容器内液体的高度增加5cm 时，需要增加的液体的体积为π53⨯⨯()223185π3344cm 3+⨯+=，C 正的正方体铁块时，设容器内液体的高度为cm H，体积233π31546πcm 3V =⨯⨯+=，则346π45π15H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，15H ===，D 正确．11．AC依题意可得(1,0)F ，直线AB的方程为1)y x =-，代入24y x =，消去y 得22520x x -+=，解得12x =，212x =，因为点A在第一象限，所以(2,A，1,2B ⎛ ⎝．E 的准线方程为1x =-，设(1,)P m -，则(3,AP m =--，3,2BP m ⎛=-+ ⎝，所以2294022AP BP m m ⎛⎫⋅=+--=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ，A 正确．当PAB △为等腰三角形时，要使得点P 的纵坐标最大，则AB AP =，即1222++=，且m >，解得2m +=，B 错误．PAB △的重心坐标为1212,33m ⎛⎫+- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭，即1,23m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，当PAB △的重心在x 轴上时，203m+=，得m PAB =△的面积为111224⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭，C 正确．当A ，B ，P三点共线时，m =-由0AP BP ⋅≥ ，得APB ∠为锐角或直角，当ABP ∠为直角或BAP ∠为直角时，0AB BP ⋅= 或0AB AP ⋅= ，得8m =-或4m =，当PAB △为钝角三角形时，点P 的纵坐标的取值范围为(,8⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，D 错误．12．－2因为(2)02022f =+=+=，所以(2)(2)2f f -=-=-．13．4；64π设球O 的半径为R ，由正弦定理得28sin ABR ACB==∠，则4R =，则点D 到平面ABC 的距离的最大值为4，球O 的表面积为24π64πR =．14．127（方法一）由2(2)1x x y z +=，得3221x z x yz +=，不妨令32a x z =，2b x yz =，0a >，0b >，则2834a b x yz =，且1a b +=，所以283(1)4a a x yz -=．令2(1)()(01)4a a f a a -=<<，则(23)()4a a f a -'=，令()0f a '>，得20,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令()0f a '<，得2,13a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以max 21()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即83x yz 的最大值为127．（方法二）由2(2)1x x y z +=，得3321x z x z x yz ++=．由,,0)3a b c a b c ++≥>，得1≥则83127x yz ≤，当且仅当32x z x yz =，即x y =时，等号成立，故83x yz 的最大值为127．15．解：（1）当1a =-时，321()43f x x x x =--，则2()24f x x x '=--，所以(3)1f '=-，因为(3)12f =-，所以曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程为12(3)y x +=--，即9y x =--（或90x y ++=）．（2）假设存在实数a ，使得()f x 在[]1,a 上单调递增，则2()240f x x ax '=+-≥对[1,]x a ∈恒成立，即22xa x ≥-对[1,]x a ∈恒成立．当[1,]x a ∈时，22x y x =-为增函数，则max 22132122x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以32a ≥，又1a >，所以a 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．16．解：（1）1011021001039998100999710110010μ+++++++++==．（2）因为100μ=，所以(104106)(9496)0.1P M P M ≤≤=≤≤=，所以0.70.1(100104)0.32P M -<≤==．（3）设1人获赠贵妃杏的个数为Y ，则(0)0.5P Y ==，(1)0.3P Y ==，(2)0.2P Y ==．依题意可得X 的可能取值为0，1，2，3，4，(0)0.50.50.25P X ==⨯=，(1)0.50.320.3P X ==⨯⨯=2(2)0.30.50.220.29P X ==+⨯⨯=，(3)0.30.220.12,(4)0.20.20.04P X P X ==⨯⨯===⨯=则X 的分布列为X 01234P0.250.30.290.120.04所以()10.320.2930.1240.04 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（1）证明：PA ⊥ 底面ABCD ，PA BC ∴⊥．BC AB ⊥ ，PA AB A = ，BC ∴⊥平面PAB .BC ∥ 平面PAD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BC AD ∴∥，AD ∴⊥平面PAB ．又AD ⊂平面,PAD ∴平面PAD ⊥平面PAB .（2）解：BC AD ∥ ，∴直线PD 与直线BC 所成的角为PDA ∠．PA ⊥ 底面ABCD ，3,tan 2PA PA AD PDA AD ∴⊥∴∠==，即PA =32AD ．设AD 为2个单位长度，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0)A D ，(2,3,0)C ，(0,0,3)P ，(2,1,0)CD ∴=-- ，(0,2,3)DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z = ，则20,230,n CD x y n DP y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取3x =-，则6,4y z ==，得(3,6,4)n =-．易知平面PAB 的一个法向量为(0,2,0)AD =，则cos ,AD 〈 66161||||261AD n n AD n ⋅〉===⨯．故平面PAB 与平面PCD 所成二面角的正弦值为56161．18．解：（1）因为12121236MF MF F F F F +==>，所以E 是以1F ，2F 为焦点，且长轴长为6的椭圆．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则26a =，可得3a =，又1c =，所以2228b a c =-=，联立22198x y +=与228x y +=，得0x =，2y =±，所以E 与圆22:8O x y +=相切．（2）12PF F △的周长1212628l PF PF F F =++=+=，12PF F △的面积121(0,1)2S F F d d =⋅=∈，所以12PF F △内切圆的半径2110,44S r d l ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，故12PF F △内切圆的半径的取值范围为10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）联立221, 98(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()()22228918980k x k x k +-+-=，易知0∆>，且21221889k x x k +=+，()21229889k x x k -=+．设()()1122,,C x y D x y ，则121212,33y yk k x x ==+-，所以()()()()()()1212112122212112123133331333y x k x x k x x x x k y x k x x x x x x -----+===+-+-+-．（方法一）由21221889k x x k +=+，()21229889k x x k-=+，得()121259x x x x =+-，所以()()1212112212121259332461593348122x x x x k x x k x x x x x x +---++-===+--+-+-．（方法二）因为()()12122121212232343x x x x x k k x x x x x -+++=-++-，所以()()()()()()22222222221222222222229898543895423289898998981838918434898989k k k k k x x k k k k k k k k k k x xk kk ---++-++++++==----+-+-++++2222221848218936962489k x k k x k--++==--++．所以1222121221125k k k k k k k k ==++，故122212k k k k +为定值，且定值为25．19．（1）解：在排列613245中，与6构成逆序的有5个，与3构成逆序的有1个，与1，2，4，5构成逆序的均有0个，所以(613245)516τ=+=；在排列15432中，与5构成逆序的有3个，与4构成逆序的有2个，与3构成逆序的有1个，与1，2构成逆序的均有0个，所以(15432)3216τ=++=．故(613245)(15432)ττ=．（2）解：由（1）知()211(22)62n n n na n a n n ++-+=+，所以()()12121(22)622n nn n na n a nn nn ++++-=++，即116(1)22n n n n a a n n ++-=+⋅．因为12a =，所以数列2n n a n ⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭是首项为1，公差为6的等差数列，所以16(1)652n n a n n n =+-=-⋅，则()2652n n a n n =-⋅．（3）证明：因为()211,2,,10,29,28,,2n n n n i j i i =+-=-- ，所以在排列122n j j j 中，排在前面的10个数依次为2n ，21n -，22n -，…，29n -，排在后面的10个数依次为10，9，8，…，1，所以()()1222122210(9810)n n n nj j j τ=-+-++-++++++ (220)10101010n -+++ 个所以()()2122210(9810)10220202210n n n n n n b =-+-++-++++++-=⨯- ，则210220n n n b c +==．设函数3840()4ln (32)f x x x x x =+-≥，则22223840443840(60)(64)()1x x x x f x x x x x --+-'=--==，当3264x ≤<时，()0f x '<，当64x >时，()0f x '>，所以min 3840()(64)644ln 6412424ln 264f x f ==+-=-，所以38404ln 12424ln 2x x x +-≥-，当且仅当64x =时，等号成立．取2(5)n x n =≥，则384024ln 212424ln 22n n n +-≥-，即384024ln 212424ln 2(5)2m n n n ≥-+-≥所以56561114ln 2(56)3840(12424ln 2)(4)222n n c c c n n ⎛⎫+++≥⨯+++-++++--⎪⎝⎭，即515611222(5)(4)ln 23840(12424ln 2)(4)112n n c c c n n n +-+++≥+--⨯+--- 3840(4)[(214)ln 2124]2402n n n =--++-．。
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C .D.{}1,2{}1,0,1,2-2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,225. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 1006. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SO B. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π310. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A. B. ()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数D.()f x ()20251f a =三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x 13. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=14.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +16. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的余弦值．17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C（1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQ D (0,G G 的距离的最大值．BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -2024-2025学年广西南宁市高三上学期10月月考数学质量检测试题考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（）{}(){}3510,ln 1A x x B x y x =∈-<<==+Z A B = A. B. {}0,1,2{}0,1C.D.{}1,2{}1,0,1,2-【正确答案】A【分析】解不等式化简集合，求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求出求解A B 即得.【详解】依题意，，{{}{}1,0,1,2,1A x x B x x =∈<<=-=>-所以.{}0,1,2A B = 故选：A2. 已知，且，其中是虚数单位，则（ ）,a b ∈R 3i12ii a b -=++i a b +=A. B. C. D. 22-4-6-【正确答案】D【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，结合复数相等列出方程，即可得到结果.【详解】由可得，即，3i12i i a b -=++()()3i i 12i a b -=++()()3i 221ia b b -=-++所以，解得，则.2213a b b =-⎧⎨+=-⎩42a b =-⎧⎨=-⎩6a b +=-故选：D3. 已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）R ()f x A. B. ()(),0x f x f x ∀∈-+≠R ()(),0x f x f x ∀∈--≠R C.D.()()000,0x f x f x ∃∈-+≠R ()()000,0x f x f x ∃∈--≠R 【正确答案】D【分析】根据偶函数的概念得是假命题，再写其否定形式即可得()(),0x f x f x ∀∈--=R 答案.【详解】定义域为的函数是偶函数，R ()f x ()(),0x f x f x ⇔∀∈--=R 所以不是偶函数．()f x ()()000,0x f x f x ⇔∃∈--≠R 故选：D ．4. 已知一组数据的平均数是3，方差为4，则数据123421,21,21,21x x x x ++++的平均数和方差分别是（ ）1234,,,x x x x A. B. C. D.1,11,233,243,22【正确答案】A【分析】根据题意，由平均数与方差的性质列出方程，代入计算，即可求解.【详解】设数据的平均数和方差分别是，，1234,,,x x x x x 2s 则数据的平均数是，方差是，123421,21,21,21x x x x ++++()21x +24s 所以，解得，，解得，()213x +=1x =244s=21s =即数据的平均数和方差分别是.1234,,,x x x x 1,1故选：A5. 已知递增的等差数列的前项和为，则（）{}n a n 1625,19,70n S a a a a +==8S =A. 70B. 80C. 90D. 100【正确答案】D【分析】设等差数列的公差为d ，由题意结合等差数列的通项公式求出即可结合等{}n a 1,a d 差数列前n 项和公式计算得解.()112n n n S na d -=+【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a 则由题得，解得，()()1111519,4700a a d a d a d d ++=⎧⎪++=⎨⎪>⎩132d a =⎧⎨=⎩所以.8878231002S ⨯=⨯+⨯=故选：D.6. 在中，，若ABC V 212BA BC BC⋅= ，则（ ）123125,,334477a AB AC b AB AC c AB AC=+=+=+ A.B.C.D.b a c>>b c a>>a c b>>c a b>>【正确答案】B【分析】先由求出即，接着由余弦定理结合数量积的运算212BA BC BC⋅= |AB |=|AC |b c =律计算得，再由平面向量模的求法即可计算比较得解.2222b a AB AC -⋅=【详解】设的角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，ABC V 因为，所以，212BA BC BC ⋅= ()()212AB AC AB AC AB-⋅-=-所以，故，2221122AB AC AB AC AB AC AB-⋅=⋅+-+ 22AB AC = 所以，即，|AB |=|AC |b c =所以，222222cos 22b c a b a AB AC bc A bc bc +--⋅==⨯=所以22221214433999a AB AC AB AB AC AC⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222221424299299b a c b b a -=+⋅+=-22222222223193193213441681616821616b a b AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭ ，222222222225420254202251077494949494924949b a c AB AC AB AB AC AC c b b a -⎛⎫=+=+⋅+=+⋅+=- ⎪⎝⎭，因为，所以，即.210394916>>222b c a >> b c a >>故选：B.7. 已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是（ ）ωA.B. C.D.2,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭248,,333∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】C【分析】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论.π6x ω+【详解】因为，，π02x ≤<0ω>所以， ()πππ31666x ωω≤+<+由已知，，()π331π62ω+>所以，83ω>所以的取值范围是.ω8,3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭故选：C.8. 不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（）t+≤x y t A. 2D. 1【正确答案】D【分析】由题意可得，令，则有mint ≤0m =>1m =，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.2112m =21m ≥1m ≥【详解】解：因为,，xy 0>所以，则有，t ≤mint ≤令，则m =>1m =所以，2111122m ==+≤+=当且仅当时，等号成立，x y =所以，，211m≤21m ≥又，所以，0m >1m ≥，1≥1，所以，1t ≤即的最大值为1.t 故选：D.方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 如图，已知为圆锥的底面的直径，，C 为底面圆周上一点，弧的长度AB SO 2SA =BC 是弧的长度的2倍，异面直线与所成角的余弦值为，则（）．AC SB AC 14A. 圆锥SOB. 圆锥的侧面积为SO 2πC. 直线与平面所成的角大于SO SAC 30︒D. 圆锥的外接球的表面积为SO 16π3【正确答案】ABD【分析】A 选项，作出辅助线，设底面圆的半径为，根据异面直线的夹角余弦值和余弦定r 理得到，从而得到圆锥的体积；B 选项，根据侧面积公式求出答案；C 选项，作出辅助1r =线，得到直线与平面所成角的平面角为，并求出其正切值，得到SO SAC OST ∠；D 选项，找到外接球球心，并根据半径相等得到方程，求出外接球半径，得30OST ∠<︒到外接球表面积.【详解】A 选项，连接并延长交圆于点，连接，CO P ,AP BP 因为为圆锥的底面的直径，弧的长度是弧的长度的2倍，AB SO BC AC 故四边形为矩形，，则，ACBP ππ,36CAB ABP CBA BAP ∠=∠=∠=∠=//BP AC 异面直线与所成角等于异面直线与所成角，SB BP SB AC 因为，所以，2SA =2SB SP ==设底面圆的半径为，则，r BP r =故，解得，2222441cos 244SB BP SP r SBP SB BP r +-+-∠===⋅1r =则由勾股定理得，SO ===故圆锥的体积为A 正确；SO 21π3r SO ⋅⋅=B 选项，圆锥的侧面积为，B 正确；SO π2πrl =C 选项，取的中点，连接，则⊥，⊥，AC T ,ST OT OT AC ST AC 又，平面，故⊥平面，OT ST T = ,OT ST ⊂SOT AC SOT 过点作⊥于点，由于平面，则⊥，O OE ST E OE ⊂SOT OE AC 又，平面，故⊥平面，ST AC T = ,ST AC ⊂SAC OE SAC 故即为直线与平面所成的角，OST ∠SO SAC 其中，则，πsin 3OT CO ==1tan 2OT OST OS ∠===由于，且在上单调递增，故，C 错误；1tan 302︒=>tan y x =π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭30OST ∠<︒D 选项，由对称性可知，外接球球心在上，连接，Q OSQC 设圆锥的外接球半径为，则，SO R OQ SO R R =-=由勾股定理得，即，解得，222OC OQ QC +=)221R R +=R =故圆锥的外接球的表面积为，D 正确.SO 2216π4π4π3R =⨯=故选：ABD方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径10. 已知抛物线的焦点分别为，若分别为上的点，2212:4,:8C y x C y x ==12,F F ,A B 12,C C 且直线平行于轴，则下列说法正确的是（）AB x A. 若，则B. 若，是等腰三角形1AF AB ⊥12AB =43AB =2F AB C. 若，则四边形是矩形 D. 四边形可能是菱形1BF BA ⊥12F F AB 12F F AB 【正确答案】ABC【分析】不妨设，则，，对于A ，由题意A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)21248y x x ==120x x >>求出和即可求解；对于B ，由题意得，进而可求出两点11x =212x =|AB |1243-=x x ,A B 坐标，从而求出和即可判断；对于C ，由题意先得，接着求出，进而求2F A 2F B21x =1x 出，轴即可得解；对于D ，先假设四边形是菱形，再推出矛盾12AB F F =2AF x ⊥12F F AB 即可得解.【详解】由题意得，不妨设，()()121,0,2,0F F A (x 1,y ), B (x 2,y )(y >0)则，，21248y x x ==120x x >>对于A ，因为，又直线平行于轴，所以轴，1AF AB ⊥AB x 1AF x ⊥所以，故， 11x =2212,82y y x ====如图，故，故A 正确；1212AB x x =-=对于B ，若，则，所以，解得，43AB =1243-=xx 224483y y -=y =所以，84,33A B ⎛⎛ ⎝⎝所以 ，，2103F A ==2103F B ==所以，，所以是等腰三角形，故B 正确；22F A F B=|F 2A |+|AB |>|F 2B |2F AB 对于C ，若，又直线平行于轴，所以轴，1BF BA⊥AB x 1BFx ⊥所以，故，21x =2124y y x ====故，轴，所以四边形是矩形，故C 正确；12121AB x x F F =-==2AF x ⊥12F F AB 对于D ，若四边形是菱形，则，即即，12F F AB 121AB F F==121x x -=22148y y -=所以，所以，y =((2,,1,A B 所以可得，则四边形不是菱形，矛盾，21F A F B AB==≠12F F AB 所以四边形不是菱形，故D 错误.12F F AB 故选：ABC.11.设，定义在上的函数满足，且0a >R ()f x ()1f a =，则（）()()()()(),,x y f x y f x f a y f y f a x ∀∈+=-+-R A.B.()00f =()()2f a x f x -=C.为偶函数 D.()f x ()20251f a =【正确答案】ABD【分析】对于A ，令，又，即可求得；对于B ，令，,0x a y ==()1f a =()00f =y a =再由，即可推得；对于C ，令，可得()()1,00f a f ==()()2f a x f x -=y x =-，从而为奇函数；对于D ，可推得，即()()0f x f x +-=()f x ()()4f x a f x +=的周期为，则.()f x 4a ()()()202550641f a f a a f a =⨯+==【详解】对于A ，令，得，,0x a y ==()()()()()00f a f a f a f f =+因为，所以，故A 正确；()1f a =()00f =对于B ，令，代入可得，y a =()()()()()0f x a f x f f a f a x +=+-因为，所以，()()1,00f a f ==()()f x a f a x +=-从而，故B 正确；()()2f a x f x -=对于C ，令，代入得，y x =-()()()()()0f f x f a x f x f a x =++--又因为对，恒成立且不恒为0，x ∀∈R ()()f a x f a x +=-所以，从而为奇函数，()()0f x f x +-=()f x 又不恒等于0，故C 错误；()f x 对于D ，因为，()()()2f x a f x f x +=-=-所以，()()()42f x a f x a f x +=-+=所以为的周期，4a ()f x 所以，故D 正确．()()()202550641f a f a a f a =⨯+==故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 的展开式中，含的项的系数为________．（用数字作答）6(12)(13)x x -+2x【正确答案】99【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式6(13)x +6(12)(13)x x -+中含的项即可得解.2x 【详解】由题意得的展开式的通项为，6(13)x +()166C 33C rr r r rr T x x +==所以的展开式中，含的项为，6(12)(13)x x -+2x 2221112663C 23C 99x x x x -⋅=所以展开式中含的项的系数为.2x 99故答案为.9913. 在平面直角坐标系中，若角的终边过点，角的终边与角的终边关于xOy α(3,4)--βα轴对称，则______．x sin()αβ-=【正确答案】##24250.96【分析】由条件，根据三角函数定义可求，，根据对称性可求，，sin αcos αsin βcos β结合两角差正弦公式求结论.【详解】因为角的终边过点，α(3,4)--所以，，4sin 5α==-3cos 5α==-又角的终边与角的终边关于轴对称，βαx 所以，，4sin 5β=3cos 5β=-所以.24sin()sin cos cos sin 25αβαβαβ-=-=故答案为.242514.已知椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点()2222:10x y C a b a b +=>>1F 1F 2y x =恰好在上，且直线与的另一个交点为，则______．A C 1AF CB 11||||BF AF =【正确答案】##0.215【分析】求出点关于直线对称点的坐标，进而求出，再结1(,0)F c -2y x =A 12||,||AF AF 合椭圆定义及勾股定理求出即可.1||BF 【详解】设关于直线的对称点，由，解得1(,0)F c -2y x =11(,)A x y 111112222y x cy x c⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，113545c x c y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即，令椭圆右焦点，则，34(,55c c A -2(,0)Fc 1||AF ==，而点在椭圆上，由，得2||AF ==AC 122AF AF a +=，a =设，则，显然的中点都在直线上，1||BF m =2||2BF a m m =-=-112,AF F F 2y x =则平行于直线，从而，在中，2AF 2y x =21AF AF ⊥2Rt ABF，222()))m m +=-解得，所以.m =11|1|5||BF AF =故15思路点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用勾股定理、正弦定理、余弦定理、，得到a ，c 的关12|||2PF PF a =＋|系．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知的内角所对的边分别为.ABC V ,,A B C ,,,sin cos )a b c b A a B c =-（1）求角A 的大小；（2）求的最大值.222sin sin sin A B C +【正确答案】（1）；2π3A =（2）.32【分析】（1）由题意结合正弦定理和即可求解.sin sin cos cos sin C A B A B =+（2）先由（1）结合余弦定理得，接着由正弦定理角化边得222a b c bc =++，再结合基本不等式即可求解.22222sin 1sin sin A bcB C bc =+++【小问1详解】因为，，sin cos )b A a B c =-()sin sin sin cos cos sin CA B A B A B =+=+所以由正弦定理得)sin sin sin cos sin cos cos sin sin B A A B C A B A B A B A B=-=，又，故，所以即，B ∈(0,π)sin 0B≠sin A A =tan A =又，所以.()0,πA ∈2π3A =【小问2详解】由（1），所以由余弦定理得，2π3A =222222cos a b c bc A b c bc =+-=++所以由正弦定理得，222222222222sin 311sin sin 2A a b c bc bc B C b c b c b c ++===+≤=++++当且仅当时等号成立.b c =所以的最大值为.222sin sin sin A B C +3216. 如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，P ABCD -PD ⊥2PD CD ==1AD AB ==，，点M 是棱PC 的中点．AB DA ⊥//AB CD （1）求证：平面PAD ；//BM （2）求平面PAB 与平面BMD所成锐二面角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，根据E 是PD 的中点，得到，//EM AB ，从而四边形ABME 是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理EM AB =//AE BM 证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，求得平面BDM 的一个法向量，平面PAB 的一个法向量，设n =(x,y,z )(),,m a b c= 平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，由求解．()cos ,n m cos n m n mθ⋅==【小问1详解】证明：取PD 的中点E ，连接ME ，AE ，因为E 是PD 的中点，M 是PC 的中点，所以，，又，，//EM DC 112EM DC ==//AB CD 1AB =所以，，//EM AB EM AB =所以四边形ABME 是平行四边形，所以，//AE BM 又平面PAD ，平面PAD ，所以平面PAD ．AE ⊂BM ⊄//BM 【小问2详解】解：因为平面ABCD ，DA ，平面ABCD ，PD ⊥DC ⊂所以，，又，，所以．PD AD ⊥PD DC ⊥AB DA ⊥//AB CD AD DC ⊥以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则，所以．()()()()()0,0,0,0,0,2,1,0,0,1,1,0,0,2,0D P A B C ()0,1,1M 设平面BDM 的一个法向量，又，，n =(x,y,z )()1,1,0DB =()0,1,1DM =所以0,0,n DB x y n DM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令，解得，，1x =1y =-1z =所以平面BMD 的一个法向量．n =(1,−1,1)设平面PAB 的一个法向量，又，，(),,m a b c= ()1,0,2AP =-()0,1,0AB =所以20,0.m AP a c m AB b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩令，解得，，2a =0b =1c =所以平面PAB 的一个法向量，()2,0,1m =设平面PAB 与平面BMD 所成锐二面角的大小为θ，所以．()cos ,n m cos n m n m θ⋅====即平面PAB 与平面BMD17. 中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩（，各年级总人数相等），统计如下：年级[0,60)[60,100]一年级4060二年级2575三年级1090学校将测试成绩分为及格（成绩不低于60分）和不及格（成绩低于60分）两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响．（1）从一、二年级各随机抽一名学生，记表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X 的分布列和数学期望；X （2）从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率．【正确答案】（1）答案见解析（2）111200【分析】（1）写出所有可能得取值，然后分别求出其对应概率，列出表格，即可得到分布X 列，再由期望的公式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由互斥事件概率公式代入计算，即可得到结果.【小问1详解】一年级学生及格的频率为，不及格的频率为，6031005=4021005=二年级学生及格的频率为，不及格的频率为，7531004=2511004=三年级学生及格的频率为，不及格的频率为，90910010=10110010=的所有可能取值为，X 0,1,2,3则，，()21105410P X ==⨯=()312391545420P X ==⨯+⨯=，()33925420P X ==⨯=所以的分布列为：X X12P110920920所以的期望为X ()1992701210202020E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，13所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为.13313913911135435103410200P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=18. 已知双曲线的两条渐近线方程为为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20,x y A ±=上一点．C （1）求双曲线的方程；C （2）若过点的直线与仅有1个公共点，求的方程；A l C l （3）过双曲线的右焦点作两条互相垂直的直线，，且与交于两点，记C F 1l 2l 1lC ,M N 的中点与交于两点，记的中点为．若，求点到直线MN 2,B l C ,P Q PQD (0,G G 的距离的最大值．BD 【正确答案】（1）2214x y -=（2），.220x y -+-=220x y ++-=220y --=（3【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可求解；,a b （2）分直线斜率存在于不存在讨论，然后联立直线与双曲线方程，代入计算，即可得到结果；（3）分直线斜率存在于不存在讨论，分别联立直线与双曲线方程以及直线与双曲线方程，1l 2l结合韦达定理代入计算，即可得到直线过定点，从而得到结果.BD 【小问1详解】由题意可得，，解得，所以双曲线的方程为.2212811b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩21a b =⎧⎨=⎩C 2214x y -=【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线的方程为，ll (1y k x -=-代入可得，2214x y -=()(()22214814110k x k k ⎡⎤-----+=⎢⎥⎣⎦当时，即时，直线与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，2140k -=12k =±l即直线的方程为，；l 220x y -+-=220x y ++-=当时，，2140k -≠()()()2222Δ6411614110k k ⎡⎤=-+--+=⎢⎥⎣⎦即，可得与双曲线相切，)210-=k =l 直线；l 220y --=显然，当直线斜率不存在时，直线与双曲线有两个公共点，不满足；l l 综上所述，与双曲线仅有1个公共点的直线有3条：C ，.220x y -+-=220x y ++-=220y --=【小问3详解】当直线的斜率不存在时，则与重合，又，即，1l B F 2415c =+=c =所以，，此时直线的方程为，)F()0,0D BD 0y =则到的距离为0；G BD 当直线的斜率为0时，则与重合，，，1l DF )D ()0,0B 此时直线的方程为，则到的距离为0；BD 0y =G BD 当直线的斜率存在且不为0时，设的方程为，1l 1l(y k x =-设，()()()()11223344,,,,,,,M xy N x y P x y Q x y 直线的方程为，2l (1y x k =-联立可得，(2214x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩()2222142040k x x k -+--=，()()()()22222Δ4142041610k kk=----=+>由韦达定理可得，则12x x +=122x x +=所以，121222y y x x k k ++⎛=== ⎝所以，B 联立可得，(22141x y y x k ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222420140x x k k ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，22224201Δ4141610k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=+> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由韦达定理可得，则，34x x+==342x x +=所以，所以，1212y y k +=-=D则()()2422334414BDk k k k k k --===--+，，()()()2423134141k k kk k -+-==--()2221,140,40kk k ≠-≠-≠所以直线的方程为，BD ()2341k y x k ⎛-=-⎝即，()2413k y kx-=--所以，即，()2413k y kx -=-+()2413k y k x ⎛-=-- ⎝故直线过定点，BD ⎫⎪⎪⎭当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；2410k -=1l当时，直线与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；240k -=2l 当时，的方程为，21k =,BDBD x =过点；⎫⎪⎪⎭综上所述，直线过定点.BD ⎫⎪⎪⎭所以点到直线.GBD=关键点点睛：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，难度较大，解答本题的关键在于分类讨论直线的斜率存在以及不存在，然后得到直线恒过定点，从而解答.BD 19. 已知函数（其中）．312()(1)21xx f x ax b x -=++-+,a b ∈R （1）当时，证明：是增函数；0,0a b >=()f x （2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）已知，设函数，若对任0a ≠312()e ()(1)(1)21xx x g x f x b x b -=+-+-+-+()0g x ≥意的恒成立，求的最小值．x ∈R b aa -【正确答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析；（3）.1-【分析】（1）根据给定条件，求出函数的导数，再判断导数值为正即可.（2）利用中心对称的定义，计算推理即得.（3）求出函数及其导数，再按分类讨论并求出的最小值，建立不等()g x 0,0a a <>()g x 式，构造函数，利用导数求出最小值即得.【小问1详解】函数的定义域为R ，当时，，()f x 0,0a b >=1122()22121x x x f x ax ax--=+=-+++求导得，所以是增函数．122ln2()0(21)x x f x a -'=+>+()f x 【小问2详解】依题意，(2)()f x f x -+2331122(2)(1)(1)2121x x x x a x b x ax b x ---=+-+-+++-++，()11222211221xx x a a --=++=+++所以曲线关于点对称，曲线是中心对称图形.()y f x =(1,1)a +()y f x =【小问3详解】依题意，，其定义域为，求导得，()e 1xg x ax b =-+-R ()x g x e a '=-当时，在上单调递增，0a <()0,()g x g x >'R 当时，，的取值集合为，0x <0e 1x<<1ax b -+-(,1)b -∞-因此当时，函数的取值集合为，不符合题意；0x <()g x (,)b -∞当时，由，得在上单调递增；0a >()0g x '>ln ,()x a g x >(ln ,)a +∞由，得在上单调递减，()0g x '<ln ,()x a g x <(,ln )a -∞函数在处取得最小值，且，()g x ln x a =min ()(ln )ln 1g x g a a a a b ==-+-由对任意的恒成立，得，即成立，()0g x ≥x ∈R ln 10a a a b -+-≥ln 1b a a a ≥-++因此，设，2ln 11ln 2b a a a a a a a a --++≥=+-221111()ln 2,()a a a a a a a a ϕϕ-=+-=='-当时，，当时，，01a <<()0a ϕ'<1a >()0a ϕ'>函数在上递减，在上递增，()a ϕ(0,1)(1,)+∞则，即，当且仅当时取等号，min()(1)1a ϕϕ==-1b aa -≥-1,0ab ==所以的最小值为.b aa -1-结论点睛：函数的定义域为D ，，()y f x =x D ∀∈①存在常数a ，b 使得，则函数()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=图象关于点对称.()y f x =(,)a b ②存在常数a 使得，则函数图象关于直()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =线对称.x a =。
高三数学-10月月考数学试题参考答案
2024-2025学年度高三10月月考数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011答案DDBCCABDABDBCDABD二、填空题12.5013.2433ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14.（1）1327；（2）13425153n -⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭三、解答题15、解：（1）由题3sin 21==∆θbc S ABC ，可得θsin 6=bc ，又36cos 0≤=⋅≤θbc AC AB ，所以36sin cos 60≤≤θθ，得到33tan ≥θ或2πθ=因为()πθ,0∈，所以,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦6分（2）()2cos sin cos34f πθθθθ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，化简得()21sin 2cos 4f θθθ=进一步计算得()1sin 223f πθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为,62ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22033ππθ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故可得()102f θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13分16、解：（1）过点P 作PO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，连接BO 交AD 于E ，连接PE ，则有AD PB AD PO ⊥⊥,，又P PB PO =⋂，所以POB AD 平面⊥，因为POB PE 平面⊂，所以PE AD ⊥，又PD P A =，所以E 为AD 得中点依题侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为120°，即有32π=∠PEB ，所以3π=∠PEO ，因为侧面P AD 为正三角形，所以323sin 4=⋅=πPE ，则323323sin =⋅=⋅=πPE PO ，所以38323443131=⋅⋅⋅⋅==-PO S V ABCD ABCD P 7分（2）如图，在平面ABCD 内过点O 作OB 得垂线Ox ，依题可得Ox OB OP ,,两两垂直，以Ox OB OP ,,为轴轴，轴，x y z 建立空间直角坐标系可得()0,3,2A ，()0,0,0P ，()0,33,0B ，取PB 得中点为N ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,233,0N 因为AB AP =，所以PB AN ⊥，由（1)POB AD 平面⊥，AD BC //，知POB BC 平面⊥所以PB BC ⊥，可得NA BC ,所成角即为二面角A PB C --的平面角，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,23,2AN ，()0,0,2=BC，则72724-=-==BC NA则21sin 7A PBC --=15分17、解：（1）当a e =时，1()e lnx e f x x -=+，0(1)e ln 2f e =+=，11()e ,(1)0x f x f x-''=-=所求切线方程为：)1(02-=-x y ，即2y =5分（2）()2≥x f 转化为ln 2e ln ln 2a x a x +-+-≥，可得ln 2e ln +2ln 0a x a x x x x +-+-≥+>，构造函数()e x g x x =+，易得()g x 在R 单调递增所以有()(ln 2)ln g a x g x +-≥，由()g x 在R 单调递增,故可得ln 2ln a x x +-≥，即有ln ln 2a x x ≥-+在()∞+，0恒成立令()2ln +-=x x x h ，()011=-='xx h ，得到1=x ，可得()10，∈x 时，()0>'x h ；()∞+∈，1x 时，()0<'x h ，所以()x h 在1=x 时取最大值所以()ln 11a h ≥=，得到ea ≥15分18、解：（1）∵椭圆E 经过点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭，23e =∴222222549123a b a b c c e a ⎧⎪+=⎪⎪⎨=+⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E ：22195x y +=；4分（2）由（1）可知，1(2,0)F -，2(2,0)F 思路一：由题意，1:512100AF l x y -+=，2:2AF l x =设角平分线上任意一点为(),P x y ，则51210213x y x -+=-得9680x y --=或2390x y +-=∵斜率为正，∴21AF F ∠的角平分线所在直线为9680x y --=思路二：椭圆在点A 52,3⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为2319x y +=，23k =-切根据椭圆的光学性质，21AF F∠的角平分线所在直线l 的斜率为32l k =，∴，21AF F ∠的角平分线所在直线34:23l y x =-即9680x y --=10分（3）思路一：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，设2:3BC l y x m =-+，∴2222195912945023x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒-+-=⎨⎪=-+⎪⎩∴线段BC 中点为25,39m mM ⎛⎫⎪⎝⎭在21AF F ∠的角平分线上，即106803m m --=得3m =∴52,3M ⎛⎫⎪⎝⎭与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．思路二：假设存在关于直线l 对称的相异两点()()1122,,,B x y C x y ，线段BC 中点()00,Mx y ，由点差法，2211222212122222195095195x y x x y y x y ⎧+=⎪⎪⇒+=⎨⎪+=⎪--⎩，∴0121212120552993BC x y y x x k x x y y y -+==-=-=--+，∴0065OM y k x ==，:968052,63:5AM OM l x y M l y x --=⎧⎪⎛⎫⇒⎨⎪=⎝⎭⎪⎩与点A 重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点．17分19、解：（1）①()()()222121()111b f x x bx x x x x +=-=-+'++，∵1x >，()()2101h x x x =>+恒成立，∴函数()f x 具有性质()P b ；3分②设()()211u x x bx x =-+>，(i)当0b -≥即0b ≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；(ii)当0b >时当240b ∆=-≤即02b <≤时，()0u x >，()0f x '>，故此时()f x 在区间()1,+∞上递增；当240b ∆=->即2b >时，12441122b b x x +===，，∴x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x <，()0f x '<，此时()f x在1,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减；4,2b x ∞⎛⎫+∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0u x >，()0f x '<，此时()f x在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()1,+∞上递增；当2b >时，()f x在⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上递减，在∞⎫+⎪⎪⎝⎭上递增.9分（2）由题意，()()22()()21()1g x h x x x h x x =-+=-'，又()h x 对任意的()1,x ∈+∞都有()0h x >，所以对任意的()1,x ∈+∞都有()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增.10分∵12(1)mx m x α=+-，12(1)m x mx β=-+，∴()()1212,21x x m x x αβαβ+=+-=--1先考虑12x x αβ-<-的情况即()()121221m x x x x --<-，得01m <<，此时1122(1)x mx m x x α<=+-<，1122(1)x m x mx x β<=-+<∴1212()()(),()()()g x g g x g x g g x αβ<<<<∴12()()()()g g g x g x αβ-<-满足题意13分2当1m ≥时，11112(1)(1)mx m x mx m x x α--≤==++，12222(1)(1)m x mx m x mx x β=--+≥=+，∴12x x αβ≤<≤∴12()()()()g g x g x g αβ≤<≤，∴12()()()()g g g x g x αβ-≥-，不满足题意，舍去16分综上所述，01m <<17分。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市哈尔滨三中高三(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ={y|y =24−x 2}，B ={x|y =ln(x 2+2x +3)}，则A ∩B =( )A. (0,4]B. [1,4]C. [1,+∞)D. (0,+∞)2.已知3+i 是关于x 的方程2x 2−mx +n =0(m,n ∈R)的一个根，则m +n =( )A. 20B. 22C. 30D. 323.已知x >0，y >0，lg 2x +lg 4y =lg2，则1x +12y 的最小值为( )A. 2B. 22C. 23D. 44.数列{a n }中，若a 1=2，a 2=4，a n +a n +1+a n +2=2，则数列{a n }的前2024项和S 2024=( )A. 1348B. 1350C. 1354D. 26985.在△ABC 中，D 为BC 中点，CP =λCB ，AQ =23AB +13AC ，若AD =25AP +35AQ ，则λ=( )A. 12B. 13C. 14D. 156.在三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，点D 在棱BB 1上，且BB 1=4BD ，点M 为A 1C 1的中点，点N 在棱BB 1上，若MN//平面ADC 1，则NBNB 1=( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知偶函数f(x)定义域为R ，且f(3x)=f(2−3x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x 2，则函数g(x)=|cos (πx)|−f(x)在区间[−52,12]上所有零点的和为( )A. −7B. −6C. −3D. −28.已知平面向量a ，b ，c ，满足|a |=|b |=1，且cos 〈a ,b〉=−12，|c−a +b |=1，则b ⋅(a−c )的最小值为( )A. −1B. 0C. 1D. 2二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年陕西省西安市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
2024-2025学年陕西省西安市高三上学期10月月考数学检测试题1、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则(){}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ………A B ⋂=A.B.C.D.{}10x x -……{}10x x -<…{}10x x -<…{}10x x -<<2. “”是“函数在上单调递增”的( )01a <<()log (2)a f x a x =-(,1)-∞A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数在区间的大致图像为( )()()2sin x x f x x e e x-=-+-[]2.8,2.8-A.B.C. D.4. 已知，，，则( )5log 2a =2log b a =1()2bc =A. B. C. D. c b a >>c a b >>a b c>>b c a>>5. 已知定义在R 上的函数满足，且，则( )()f x3(2)()f x f x +=(2)1f =-(100)f =A. 3 B. 1C. D. 1-3-6．已知函数，若关于x 的方程有2个不相等的1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x ⎧-⎪==-⎨<⎪⎩…()()f x g x =实数解，则实数k 的取值范围是( )A. B. C. D.{}e [,)e +∞1(,0){}8e -⋃1(,){}8e -∞-⋃7. 已知函数，则( )3()1f x x x =-+A. 有三个极值点 B. 有三个零点()f x()f xC. 直线是曲线的切线D.点是曲线的对称中心2y x =()y f x =(0,1)()y f x =8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相24,0(),0x x f x xlog x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩2()g x x ax b =++()0g f x =⎡⎤⎣⎦等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )A. B. 28C. D. 1428-14-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A. B. C.D.211(xx '=-()xxe e'--=21(tan )x cos x '=1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则( )A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知，则()0c b a <<<A. B.C.ac b bc a+<+333b c a +<a c ab c b +<+>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]__________.13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.xy e x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14. 的展开式中，的系数为__________.5(1)(2)yx y x -+23x y 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若，求函数的极值；1a =()f x （2）讨论函数的单调性.()f x 16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中bx ay e +=的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程系数a 和b 的最终结果精确到(；0.01)（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.983.87 3.46 3.29附：经验回归方程：中，，；参考数据：ˆˆˆy bx a =+1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx =-，，，6123.52ii z==∑6177.72i ii x z==∑62191ii x==∑ln10 2.30.≈17. 已知函数，R ，，且()log (1)a f x x =+()2log (2)(a g x x t t =+∈)0a > 1.a ≠（1）当且时，求不等式的解集；01a <<1t =-()()f x g x …（2）若函数在区间上有零点，求t 的取值范围．()2()21f x F x a tx t =+-+(1,2]-18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：根据长期检测结果，得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].到芯片的质量指标值X 服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等2(,)N μσ品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数作x 为的近似值，用样本标准差s 作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片μσ为 A 等品的概率保留小数点后面两位有效数字();①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量服从正态分布(ξ，则，，2(,)N μσ()0.6827P μσξμσ-<<+≈(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取3件，记其中质量指[45,55)[85,95]标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；[85,95]ηηⅱ该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件()A 等品芯片的利润是元，一件 B 等品芯片的利润是元，根据的计(124)m m <<ln(25)m -(1)算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当时，求函数的单调区间；0=a ()f x （2）当时，证明：函数在上单调递增；1a =()f x (0,)+∞（3）若是函数的极大值点，求实数a 的取值范围.1x =()f x数学答案一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12. 6513.14. 40ln 2三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD解：时，，(1)1a =3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--所以 或 时， ； 时， 1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<则 在 上递减，在 上递增，()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞所以 的极小值为 ，极大值为()f x 2(2)3f =5(1)6f =...............................5分，则，当 时， ，所以3212(2)()232a f x x x ax +=-+()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '… 在 上递增，当 时， 或 时， ； 时，()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<,所以 在 上递增，在 上递减，当 时， 或()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a < 时， ； 时， 2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<所以 在 上递增；在 上递减. ()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ...............................8分16.（本小题满分15分）（2）令，所以，解得，由于，所0.26 4.83ln10 2.310x ee e -+<=≈0.26 4.83 2.3x -+<9.73x >x N ∈以，10x ...所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. . (5)分17.（本小题满分15分）解： 时， ，又，，(1)1=- t ()()2log 1log 21a a x x +-…01a << 21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩…，解集为： ；2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩……∴15{|}24x x <…..............................................................6分解法一：，由得：且，(2)()222F x tx x t =+-+ ()0F x=22(2x t x x +=-≠-12)x -<…，设 且，则22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++2U x =+(14U <…2U ≠，212424U t U U U U =-=--+-+令，当时，时，单调递增，2()U U U ϕ=+1U <<()U ϕ4U <<()U ϕ且且或9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴…() 4.U ϕ≠12402U U ∴---< (2)044U U <---…t 的取值范围为：或2t -…t …解法二：，若，则在上没有零点．()222F x tx x t =+-+0t =()2F x x =+(1,2]-下面就时分三种情况讨论：0t ≠①方程在上有重根，则，解得：，又()0F x =(1,2]-12x x =0∆=t =1212x x t ==-(]1,2,∈-t ∴=②在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有，解得：()F x (1,2]-()()120F F -<或，2t <-1t >又经检验： 或时， 在上都有零点；或2t =-1t =()F x (1,2]-2t ∴-… 1.t …③方程在上有两个相异实根，则有或，解得：()0F x =(1,2]-0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，1t <<综上可知：t 的取值范围为或2t -…t …...............................15分 18.（本小题满分17分）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：(1)(1)即10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=69x μ≈=，所以X ∽，因为质量指标值X 近似服从正态分布，11s σ≈≈2(69,11)N 2(69,11)N 所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+==…，10.68270.158650.162-≈=≈所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为 0.16...............................................................5分，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=[85,95]片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：η，，3010103202(0)19C C P C η===21101032015(1)38C C P C η===，，12101032015(2)38C C P C η===0310103202(3)19C C P C η===随机变量的分布列为：ηη0123P21915381538219所以的数学期望η2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有件，设每箱产品的利润为()ii (100)Y -Z 元，由题意知：，(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-由知：每箱零件中A 等品的概率为，所以Y ∽，所以(1)0.16(100,0.16)B ，()1000.1616E Y =⨯=所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-,令16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<得，，又，，递增，84()16025f x x '=-=-794x =79(1,)4x ∈()0f x '>()f x 79;(,24)4x ∈，递减，所以当时，取得最大值.所以当时，每箱()0f x '<()f x 79(1,24)4x =∈()f x 794m =产品利润最大...............................................................17分19.（本小题满分17分）解：当时，，且知，在上，， (1)0=a ()ln =-f x x x 11()1-'=-=xf x x x (0,1)()0'>f x >在上单调递增；在上，， 在上单调递减；所以函数()f x (0,1)(1,)+∞()0'<f x ()f x (1,)+∞的单调增区间为，单调减区间为()f x (0,1)(1,)+∞ (4)分证明：因为，所以，且知，(2)1a =1()ln 2x f x ex x -=+-11()2x f x e x -'=+-要证函数单调递增，即证在上恒成立，()f x ()0f x '…(0,)+∞设，，则，11()2x g x e x -=+-0x >121()x g x e x -'=-注意，在上均为增函数，故在上单调递增，且1x y e-=21y x =-(0,)+∞()g x '(0,)+∞，(1)0g '=于是在上单调递减，在上单调递增，，即，因此函()g x (0,1)(1,)+∞()(1)0g x g =…()0f x '…数在上单调递增;()f x (0,)+∞ (10)分由，有，令，有，(3)11()1x f x ae a x -'=+--(1)0f '=11()1x h x ae a x -=+--121()x h x ae x -'=-①当时，在上恒成立，因此在上单调递减，0a …11()0x x h x ae x -'=-<(0,)+∞()f x '(0,)+∞注意到，故函数的增区间为，减区间为，此时是函数的(1)0f '=()f x (0,1)(1,)+∞1x =()f x 极大值点;②当时，与在上均为单调增函数，故在上单调递0a >1x y ae-=21y x =-(0,)+∞()h x '(0,)+∞增，注意到，若，即时，此时存在，使，(1)1h a '=-(1)0h '<01a <<(1,)n ∈+∞()0h n '=因此在上单调递减，在上单调递增，又知，()f x '(0,)n (,)n +∞(1)0f '=则在上单调递增，在上单调递减，此时为函数的极大值点，()f x (0,1)(1,)n 1x =()f x 若，即时，此时存在，使，(1)0h '>1a >(0,1)m ∈()0h m '=因此在上单调递减.在上单调递增，又知，()f x '(0,)m (,)m +∞(1)0f '=则在上单调递减，在上单调递增，此时为函数的极小值点.()f x (,1)m (1,)+∞1x =()f x 当时，由可知单调递增，因此非极大值点，1a =(1)()f x 1x =综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞ ..........................17分。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学试题及答案
数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b<< D. b c a<<4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 25. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C. lg y x =D. 332x xy --=6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5D. 67. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值为范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A1-B.1+ C. 2D. 2-10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.12. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作.的为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19. 1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 最大整数值，并说明理由.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N （1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若的的b m ≤0202，求m 的最大值数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b << D. b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i 1iz ++===++=--，故2z =.故选：D5. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C lg y x= D. 332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A，y =(0,)+∞上的增函数，错误；.选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6-B. 5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a bc c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，为所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A.1B.1+ C. 2D. 2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =11.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩，20x x k --=两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和的公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】 ①. ②. π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan A ϕ=，又函数()f x 的最大值为22=，又0A >，则A =，tan ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①. ①②④ ②. 0a ＞或a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x=1x ，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在0x ≠时， ()1f x x =有解，即函数具有性质P ，令12x x-= ，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+ 具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x +=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e ，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e -，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=； （2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，11sin 2122ABC S ac B ==⨯=△.17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2n n b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列{a n }的通项公式，再求出数列{b n }的首项与公比，即可得{b n }的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{a n }的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列{b n }的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n n S n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π313()6cos sin 6cos cos 6222f x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+££+Î，∴函数()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．的19. 1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()12e x ax xf x -+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：x =−1a <0或2x =由()0g x >得：12x a-<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin e xx a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，【其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
湖北省襄阳市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题含答案
襄阳2025届高三上学期10月月考数学试卷（答案在最后）命题人：一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（）A.{}2,0,1,2,4- B.{}2,0,2,4- C.{}0,2,4 D.{}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2.设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >求出相应的a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >，即>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >”的充分不必要条件.故选：A3.已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（）A.1B.12C.1或12-D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4.已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（）A.()ln 10y x -+>B.ln0yx> C.ln 0y x +> D.ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=，故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5.从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（）A.126个B.112个C.98个D.84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6.若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（）A.78a =B.135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.754S =D.24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A.13B.23C.33D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF ，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B ，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a +=，即2a =，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B ，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知： 䁕2a =，2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率3cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8.圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A.[)1,+∞ B.[)2,+∞C.)∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率.()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（）A.若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B.若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C .若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D.若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，对于选项B ，由相互独立事件的概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10.已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)对称B.()f x 的值域为[1,2]-C.若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D.若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61ii ax=∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得3sin 2x =-，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（）A .对任意三点,,A B C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B.已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C.到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D.定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M a b{}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a =(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b =(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】 【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13.已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14.数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC的面积为4，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为233y x =±，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设 ， ，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-，则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mmm-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设 ， ，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z=1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n∴︒==11132=，解得1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x yz =，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨=+=⎪⎩ ，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，12121243·13cos ,84·2n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18.已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 的图象在点 h 处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn +++-+++->∈N .【答案】（1）0y =（2）[)1,+∞（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln xx xλ≥+，求出函数()212ln x g x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，h t ，则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点 h 处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数 在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以 在 ∞上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19.已知整数4n ，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n 的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．（2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列䁕 的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列 的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
2024-2025学年辽宁省实验中学高三上学期10月月考数学试题及答案
辽宁省实验中学高三年级10月份月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 若，则是的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要2. 若，则（）A. B. C. D.3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.4. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当时，是直角三角形B. 当时，是锐角三角形C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是钝角三角形5. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C. π D.6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.7. 已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C D.8. 设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。
9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A. B.C. D.10. 函数，（，）部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A. 函数解析式为B. 函数的单调增区间为C. 函数的图象关于点对称D. 为了得到函数的图象，只需将函数向右平移个单位长度11. 已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A. 当时，B. 的取值范围为C. 当时，取值范围为D. 当时，的取值范围为三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知，则用表示为______．13. 已知，则的最小值为______．14. 在锐角中，角的对边分别为，的面积为，满足，若，则的最小值为______．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100（1）依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？（2）已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数（结果精确到整数）.附：，其中.0.10.050.012.7063.841 6.635若，则，16. 已知函数．（1）若在R上单调递减，求a的取值范围；（2）若，判断是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，请说明理由．17. 已知数列的前n项和为，数列满足，．（1）证明等差数列；（2）是否存在常数a、b，使得对一切正整数n都有成立．若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．18. 在中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足．（1）求角B；（2）若，求面积的最大值；（3）求的取值范围．19. 已知集合是具有下列性质的函数的全体，存在有序实数对，使对定义域内任意实数都成立.（1）判断函数，是否属于集合，并说明理由；（2）若函数（，、为常数）具有反函数，且存在实数对使，求实数、满足的关系式；（3）若定义域为的函数，存在满足条件的实数对和，当时，值域为，求当时函数的值域.辽宁省实验中学高三年级10月份月考数学试卷满分：150分时间：120分钟一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1. 若，则是的（）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】对于，则，解得；对于，则，解得；因为是的真子集，所以是的充分不必要条件.故选：A.2. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案.【详解】因为，所以，所以.故选：C3. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以.且在恒大于0，所以或.综上可知：.故选：B4. 在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（）A. 当时，是直角三角形B. 当时，是锐角三角形C. 当时，是钝角三角形D. 当时，是钝角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是等腰三角形，，说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确；对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，此时，不等构成三角形，故命题错误.故选：D.5. 耳机的降噪效果成为衡量一个耳机好坏的标准之一，降噪的工作原理就是通过麦克风采集周围环境的噪音，通过数字化分析，以反向声波进行处理，实现声波间的抵消，使噪音降为0，完成降噪（如图所示），已知噪音的声波曲线是，通过主动降噪芯片生成的反向声波曲线是（其中，，），则（）.A. B. C. π D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合余弦型函数的性质进行求解即可.【详解】由于抵消噪音，所以振幅没有改变，即，所以，要想抵消噪音，需要主动降噪芯片生成的声波曲线是，即，因为，所以令，即，故选：D.6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】依题意，是偶函数，且在区间单调递减，公众号：高中试卷君由得，所以，所以或，所以或，所以的取值范围是.故选：D7. 已知正数，满足，则下列说法不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，则，对于A，直接代入利用对数的运算性质计算判断，对于B，结合对数函数的单调性分析判断，对于C，利用作差法分析判断，对于D，对化简变形，结合幂的运算性质及不等式的性质分析判断.【详解】令，则，对于A，，所以A正确，对于B，因为在上递增，且，所以，即，即，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以C错误，对于D，，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以D正确，故选：C8. 设函数在上至少有两个不同零点，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先令得，并得到，从小到大将的正根写出，因为，所以，从而分情况，得到不等式，求出答案.【详解】令得，因为，所以，令，解得或，从小到大将的正根写出如下：，，，，，……，因为，所以，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，此时无解，当，即时，，解得，故，当，即时，，解得，故，当时，，此时在上至少有两个不同零点，综上，的取值范围是.故选：A【点睛】方法点睛:在三角函数图象与性质中，对整个图象性质影响最大，因为可改变函数的单调区间，极值个数和零点个数，求解的取值范围是经常考察的内容，综合性较强，除掌握三角函数图象和性质，还要准确发掘题干中的隐含条件，找到切入点，数形结合求出相关性质，如最小正周期，零点个数，极值点个数等，此部分题目还常常和导函数，去绝对值等相结合考查综合能力.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
安徽省合肥市2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
合肥2025届高三10月段考试卷数学（答案在最后）考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos 2αα+=，则tan 2α=（）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（）A ．b c a <<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos 3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M =+______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n n a a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】102sin cos 2αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = 12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=-，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos 3sin 2sin 3cos 5cos1OP OP ⋅=-=≠，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x有极小值为20f =<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin043x α+=>>-，()2min 5π2sin sin42x α+==-23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin073x α+=>>-，()2min 19πsin sin14x α+=<4π2sin 323=-<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB =，cos ,2OA OB OA OB OA OB⋅==⋅，∴π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．23【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则3M b a c b c a =---，()622b a c b a c b c a --≤-+-=-∴32323M b a c b c a c a =----+，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．23+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得sin cos 3sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos 3sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()3sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>3cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 632ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 1032ABC S bc A ==△选条件③：AC，设AC边中点为M，连接BM，则BM=，4AM=，在ABM△中，由余弦定理得2222cosBM AB AM AB AM A=+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB=+-⋅．整理得2450AB AB--=，解得5AB=或1AB=-（舍）．所以ABC△的面积为1sin2ABCS AB AC A=⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4ky a xx⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x axx⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x≤≤，即单价最低定为2.6元/3m．17．【解析】（1）()1122xxf xa=⨯+，因为()f x是奇函数，所以()()f x f x-=-，所以11112222x xx xa a⎛⎫⨯+=-⨯+⎪⎝⎭，所以111202xxa⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a+=，1a=-；（2）因为()122xxf x=-，[]1,2x∈，所以22112222x xx xm⎛⎫-≥-⎪⎝⎭，所以122xxm≥+，[]1,2x∈，令2xt=，[]1,2x∈，[]2,4t∈，由于1y tt=+在[]2,4单调递增，所以117444m≥+=．18．【解析】（1）()f x的定义域为()0,+∞，()1lnf x x'=-，当()0f x'=时，ex=，当()0,ex∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111⋅⋅⋅⋅⋅≥，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省盐城中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}3,2,1,0,1,2,3U =---，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=ð（ ） A ．{}2,3- B ．{}3,2,3- C ．{}3,2,3-- D ．{}3,2,1,0,2,3---2．若复数z 满足1ii z-=，则z =（ ）AB ．2C D ．13．“213x -≥”是“201x x -≥+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC V 中，2,CD DB AE ED ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则CE =u u u r（ ）A ．1163AB AC -u u ur u u u rB ．1263AB AC -u u ur u u u rC ．1536AB AC -u u ur u u u rD ．1133AB AC -u u ur u u u r5．在一个空旷的房间中大声讲话会产生回音，这种现象叫做“混响”．用声强的大小来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为0W ，则经过t 秒后这段声音的声强变为()0e tW t W τ-=（τ为常数）．把混响时间()R T 定义为声音的声强衰减到讲话之初的610-倍所需时间，则R T 约为（ ）（参考数据ln 20.7≈，ln5 1.6≈） A ．4.2τB ．9.6τC ．13.8τD ．23τ6．化简cos20sin30cos40sin40cos60-=o o oo o（ ）A ．1BC ．2D 7．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对于任意的*n ∈N ，均有121n n a a +=+，()22log 11n n b a =+-.若在数列{}n b 中去掉{}n a 的项，余下的项组成数列{}n c ，则1220c c c +++=L （ ）A ．599B ．569C ．554D ．5688．已知函数11()221xf x =-+，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()0f x f x --= B ．()0f x '<C ．若120x x <<，则()()1221x f x x f x >D ．若120x x <<，则()()()1212f x f x f x x +>+二、多选题9．下列命题中，正确的是（ ）A ．在ABC V 中，若cos cos a A bB =，则ABC V 必是等腰直角三角形 B ．在锐角ABC V 中，不等式sin cos A B >恒成立 C ．在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >D ．在ABC V 中，若260,B b ac =︒=，则ABC V 必是等边三角形 10．已知0,0,2a b a b >>+=，则（ ）A ．1≥abB ．222a bb a +≥ C ．145aa b+≥ D ．224a b ab ++<11．已知函数()2ln 11f x x x =---，则下列结论正确的是（ ） A ．若0a b <<，则()()f a f b < B ．()()20242025log 2025log 20240f f +=C ．若()()()e 1,0,1,0,e 1b b f a b a b +=-∈∈+∞-，则e 1b a =D ．若()1,2,a ∈则()()1f a f a ->三、填空题12．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则sin C =. 13．已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为．14．已知函数32()f x x ax bx c =+++恰有两个零点12,x x 和一个极大值点()0102x x x x <<，且102,,x x x 成等比数列.若()0()f x f x >的解集为(5,)+∞，则0x =.四、解答题15．已知函数()ππsin 2cos cos 2cos 022f x x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，对x ∀∈R ，有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭． (1)求ϕ的值及()f x 的单调递增区间； (2)若()00π10,,43x f x ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦时，求0sin 2x ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112,34n n n a S S a ++=+=-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个实数，使这n +2个数依次组成公差为dn 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和Tn17．在ABC V 中，AC =，且BC 边上的中线AD 长为1． (1)若5π6BAC ∠=，求BC 的长； (2)若2ABC DAC ∠=∠，求BC 的长． 18．设函数()e ,()ln x f x g x x ==．(1)已知e ln x kx x ≥≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围； (2)已知直线l 与曲线(),()f x g x 分别切于点()()()()1122,,,x f x x g x ，其中1>0x ． ①求证：212e e x --<<；②已知()21e 0xx x x λ-++≤对任意[)1,x x ∞∈+恒成立，求λ的最大值．19．若数列 a n 的各项均为正数，且对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足211t t t a a a -+≤，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项11t t t a a a -+,,，都满足112t t t a a a -++≤则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列{}n c 是一个“凸数列”，且e n c na =，（其中e 为自然常数，*N n ∈），证明：数列 a n 是一个“对数性凸数列”；(2)若关于x 的函数231423()f x b b x b x b x =+++有三个零点，其中0(1,2,3,4)i b i >=．证明：数列1234,,,b b b b 是一个“对数性凸数列”；(3)设正项数列01,,,n a a a L 是一个“对数性凸数列”证明：110101111111n n n n i j i j i j i j a a a a n n n n --====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑．。
黑龙江省2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案
黑龙江省2024-2025学年高三学年上学期第二次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分命题人：高三数学备课组一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若集合},{0|23A x mx m =->∈R ，其中2A ∈且1A ∉，则实数m 的取值范围是（）A.33,42⎛⎤⎥⎝⎦B.33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.33,42⎛⎫⎪⎝⎭D.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.“5π12α=”是“223cos sin 2αα-=-”的（）A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件3.已知复数z 满足()()22i 1i z -=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若正数a b ，满足1232ab a b =++，则ab 的最小值为（）A.3B.6C.9D.125.已知函数=的定义域为，且−=，若函数=的图象与函数()2log 22x xy -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（）A .1- B.0C.1D.26.在ABC V 中，6BC =，4AB =，π2CBA ∠=，设点D 为AC 的中点，E 在BC 上，且0AE BD ⋅= ，则BC AE ⋅= （）A.16B.12C.8D.4-7.已知函数()445sin cos 8f x x x ωω=+-在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A.48,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.48,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.81633⎛⎤ ⎥⎝⎦, D.816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知222π,24,3A b c ABC =+= 的外接圆半径R D =是边AC 的中点，则BD 长为（）A.1+ B. C.D.二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.该图像向右平移π6个单位长度可得3sin2y x =的图象B.函数=的图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数=的图像关于直线5π12x =-对称D.函数=在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减10.已知a ，b ，c是平面上的三个非零向量，那么（）A.若()()a b c b c a ⋅=⋅，则a c∥ B.若a b a b +=-，则0a b ⋅= C.若a b a b ==+ ，则a 与a b - 的夹角为π3D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b ，c 在a 方向上的投影向量相同11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()322,6,12f x f x f f x f x f ⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 是周期函数B.()20240f =C.()f x 的图象关于直线()21x k k =-∈Z 对称D.20241120242k k f k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知πsin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos 2cos 233πcos 2sin cos 3x x x x x⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________.13.若数列{}n a 满足211111n na a a +==-，，则985a =__________.14.已知函数()f x 及其导函数′的定义域均为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，且()f x 为偶函数，若0x ≥时，()()tan f x f x x '≥，且π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()1cos f x x <的解集为__________.四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．16.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量π2π(2sin ),(cos ,cos sin ),(),,63m A A A n A A A f A m n A ⎡⎤=+=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数(A)f 的最小值；（2）若6()0,sin 2f A a B C ==+=，求ABC V 的面积.17.已知锐角ABC V 的三个内角,,A B C ，所对的边为,,a b c ，()()()cos cos cos cos sin sin A B A B C C A +-=-.（1）求角B 的大小；（2）求222a cb +的取值范围.18.已知函数()()()22ln 1f x ax a x x a =-+++∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，求a 的取值范围.19.已知函数()log a axf x x =.（1）当e a =时，设()()e 1F x x f x -=，求在1x =处的切线方程；（2）当2a =时，求()f x 的单调区间；（3）若曲线=与直线21y a=有且仅有两个交点，求a 的取值范围.黑龙江省2024-2025学年高三学年上学期第二次月考数学试题考试时间：120分钟总分：150分命题人：高三数学备课组一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABC三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】-【13题答案】【答案】1011【14题答案】【答案】ππ,33⎛⎫-⎪⎝⎭四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【16题答案】【答案】（1）−2（2）ABC S =!【17题答案】【答案】（1）π4（2）(3,2【18题答案】【答案】（1）()f x 的极大值为1ln24--,()f x 的极小值为1-．（2）[0,8]．【19题答案】【答案】（1）1y x =-（2）增区间为(，减区间为)∞+（3）()()1,e e,∞⋃+。
北京市2025届高三上学期10月月考数学试题含答案
北京市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（答案在最后）(清华附中朝阳望京学校)2024.10.10姓名____________一、选择题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.3.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A.45-B.45C.35-D.35【答案】D 【解析】【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.4.若点()1,1M 为圆22:40C x y x +-=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A.20x y --=B.20x y +-=C.0x y -=D.0x y +=【答案】C 【解析】【分析】由垂径定理可知MC AB ⊥，求出直线AB 的斜率，利用点斜式可得出直线AB 的方程.【详解】圆C 的标准方程方程为()2224x y -+=，()221214-+< ，即点M 在圆C 内，圆心()2,0C ，10112MC k -==--，由垂径定理可知MC AB ⊥，则1AB k =，故直线AB 的方程为11y x -=-，即0x y -=.故选：C.5.已知D 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AB AD ⋅的取值范围是（）A.B.2]C.[0,2]D.[2,4]【答案】D 【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义可得||cos [1,2]AD DAB ∠∈ ，再由||||cos AD AB D A A B AD B =∠⋅即可求范围.【详解】由D 在边BC 上运动，且△ABC 为边长为2的正三角形，所以03DAB π≤∠≤，则[]cos 1,2AB DAB ∠∈ ，由||||cos [2,4]AD AB D D B A A A B =∠⋅∈.故选：D6.若0a b >>，则①11b a >；②11a ab b +>+>的序号是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】A 【解析】【分析】对①，由a b >两边同除ab 化简即可判断；对②，由a b >得a ab b ab +>+，两边同除()1b b +化简即可判断；>>【详解】对①，0a b a b ab ab>>⇒>，即11b a >，①对；对②，由()()011a b a ab b ab a b b a >>⇒+>+⇒+>+，则()()()()111111a b b a a a b b b b b b +++>⇒>+++，②对；对③，由>，>，与0a b >>矛盾，③错；故选：A7.若命题“2,20x x x m ∃∈++≤R ”是真命题，则实数m 的取值范围是（）A.1m < B.1m ≤ C.1m > D.1m ≥【答案】B 【解析】【分析】不等式能成立，等价于方程有实数解，用判别式计算求参数即可.【详解】由题可知，不等式220x x m ++≤在实数范围内有解，等价于方程220x x m ++=有实数解，即440m ∆=-≥，解得1m ≤.8.“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要性的定义，及奇偶性的定义求参数a ，判断题设条件间的关系即可.【详解】当1a =时21()21x x f x +=-，则定义域为{|0}x x ≠，211221()()211221x x x x xx f x f x --+++-===-=----，故()f x 为奇函数，充分性成立；若2()2x x af x a+=-具有奇偶性，当()f x 为偶函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===--⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅=--⋅恒成立，可得0a =；当()f x 为奇函数，则212()()212x x x xa a f x f x a a --++⋅-===---⋅，所以212212x xx xa a a a ++⋅-=--⋅恒成立，可得1a =或=−1；所以必要性不成立；综上，“1a =”是“函数()22x x af x a+=-具有奇偶性”的充分而不必要条件.故选：A9.已知函数()32x x f x =-，则（）A.()f x 在R 上单调递增B.对R,()1x f x ∀∈>-恒成立C.不存在正实数a ，使得函数()xf x y a=为奇函数D.方程()f x x =只有一个解【答案】B【分析】对()f x 求导，研究()f x '在0x ≥、0x <上的符号，结合指数幂的性质判断()f x '零点的存在性，进而确定单调性区间、最小值，进而判断A 、B 的正误；利用奇偶性定义求参数a 判断C ；由(0)0f =、(1)1f =即可排除D.【详解】由3ln 3ln 22[(ln 3ln ()322]2x x x xf x =-'=-，而20x >，当0x ≥时()0f x '>，即(0,)+∞上()f x 递增，且(30)2x x f x =->恒成立；而0x <，令()0f x '=，可得3ln 2()2ln 3x=，所以00x x ∃=<使03ln 2(2ln 3x =，综上，0(,)x -∞上()0f x '<，()f x 递减；0(,)x +∞上()0f x '>，()f x 递增；故在R 上不单调递增，A 错误；所以0x x =时，有最小值0000002()323()3ln 3[1]3(1)ln 2x x x x xf x ===---，而0031x <<，ln 310ln 2<-，所以0ln 3ln 4111ln 2()ln 2f x >-->=-，故R,()1x f x ∀∈>-恒成立，B 正确；令()()x f x y g x a ==为奇函数且0a >，则3232()()x x x x x xg x g x a a ------==-=-恒成立，所以6(23)23x x x x x xxaa --=恒成立，则a =满足要求，C 错误；显然000)20(3f -==，故0x =为一个解，且(1)321f =-=，即1x =为另一个解，显然不止有一个解，D 错误.故选：B【点睛】关键点点睛：A 、B 判断注意分类讨论()f x '的符号，结合指数幂的性质确定导函数的零点位置，C 、D 应用奇偶性定义得到等式恒成立求参、特殊值法直接确定()f x x =的解.10.如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度()V x （单位：米/分钟）与时间x （单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”()v x 为无人机在时间段[]0,x 内的最大速度与最小速度的差，则()v x 的图像为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据速度差函数的定义，分[0,6],[6,10],[10,12],[12,15]x x x x ∈∈∈∈四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图像.【详解】由题意可得，当[0,6]x ∈时，无人机做匀加速运动，40()603V x x =+，“速度差函数”40()3v x x =；当[6,10]x ∈时，无人机做匀速运动，()140V x =，“速度差函数”()80v x =；当[10,12]x ∈时，无人机做匀加速运动，()4010V x x =+，“速度差函数”()2010v x x =-+；当[12,15]x ∈时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”()100v x =，结合选项C 满足“速度差函数”解析式，故选：C.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.12.直线:1l x y +=截圆22220x y x y +--=的弦长=___________.【答案】【解析】【分析】由圆的弦长与半径、弦心距的关系，求直线l 被圆C 截得的弦长．【详解】线l 的方程为10x y +-=，圆心(1,1)C 到直线l 的距离2d ==．∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为=．.13.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC ____________（填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_____________．【答案】①.垂直②.【解析】【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE ⊥平面PBC ，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F 位于点C 时，面积最大，代入数据，即可得答案.【详解】因为PA ⊥底面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又AB PA A = ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以⊥BC 平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥，又2PA AB ==，所以PAB 为等腰直角三角形，且E 为线段PB 的中点，所以AE PB ⊥，又BC PB B ⋂=，,BC PB ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥与平面PBC .因为AE ⊥平面PBC ，EF ⊂平面PBC ，所以AE EF ⊥，所以当EF 最大时，AEF △的面积的最大，当F 位于点C 时，EF 最大且EF ==，所以AEF △的面积的最大为12⨯⨯=.14.设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为__________.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是__________.【答案】①.2-②.1a ≤-【解析】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在x a ≥段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当2a =-时，()221,22,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩，则当2x <-时，()3211,4xf x ⎛⎫=-∈--⎪⎝⎭，当2x ≥-时，()222f x x =-≥-，故()f x 的最小值为2-；②由()221,,x x a f x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩，则当x a <时，()()211,21x af x =-∈--，由()f x 有最小值，故当x a ≥时，()f x 的最小值小于等于1-，则当1a ≤-且x a ≥时，有()min 1f x a =≤-，符合要求；当1>-a 时，21y x a a =+≥>-，故不符合要求，故舍去.综上所述，1a ≤-.故答案为：2-；1a ≤-.15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，21(R)n n n a a a λλ+-=∈．给出下列四个结论：①{}n a 是递增数列；②{}R,n a λ∀∈都不是等差数列；③当1λ=时，1a 是{}n a 中的最小项；④当14λ≥时，20232022S >．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】③④【解析】【分析】利用特殊数列排除①②，当0λ≠时显然有0n a ≠，对数列递推关系变形得到1n n na a a λ+=+，再判断③④即可.【详解】当数列{}n a 为常数列时，210n n n a a a +-=，{}n a 不是递增数列，是公差为0的等差数列，①②错误；当1λ=时，211n n na a a +-=，显然有0n a ≠，所以11n n na a a +=+，又因为10a >，所以由递推关系得0n a >，所以110n n na a a +-=>，故数列{}n a 是递增数列，1a 是{}n a 中的最小项，③正确；当14λ≥时，由③得0n a >，所以由基本不等式得11n n n a a a λ+=+≥=≥，当且仅当n na a λ=时等号成立，所以2320232022a a a ++⋅⋅⋅+≥，所以20232022S >，④正确.故选：③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 已知222b c a bc +=+.（1）求A 的大小；（2）如果cos 2B b ==，求ABC V 的面积.【答案】（1）3π；（2）2【解析】【分析】（1）利用余弦定理的变形：222cos 2b c a A bc+-=即可求解.（2）利用正弦定理求出3a =，再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sin C ，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）222b c a bc +=+。
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四川省绵阳南山中学2017届高三数学10月月考试题 理
1、试题说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间
120分钟．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.第II 卷的22、23、24小题是选考内容，务必先选后做.考试范围：绵阳一诊考试内容.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.若集合{
}Z x x y y M ∈==,|2
，{}
R x x x N ∈≥-=,63|，全集R U =，P 是N 的补集，则
P M 的真子集个数是( )
.A 15
.B 7
.C 16
.D 8
2.已知()3sin f x x x π=-，命题:(0,),()02
p x f x π
∀∈<，则( )
.A p 是假命题;:(0,
),()02p x f x π
⌝∀∈≥ .B p 是真命题; 00:(0,),()02
p x f x π
⌝∃∈≥ .C p 是真命题; :(0,),()02p x f x π⌝∀∈> .D p 是假命题; 00:(0,),()02
p x f x π
⌝∃∈≥ 3.“0>x ” 是“
11
1
<+x ”的( )条件 .A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要
4. ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，1,2a b ==，则AD ＝( )
11.33A a b - 22.33B a b - 33.55C a b - 44.55
D a b - 5.函数2
||
()2x f x x =-的图像为( )
6.函数的图象如下图所示，为了得到
的图像，可以将
的图像( )
向右平移个单位长度向右平移个单位长度
向左平移个单位长度向左平移个单位长度
7.设的大小关系( )
8.若函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围为( )
9.定义在上的奇函数，，且对任意不等的正实数
，都满足：，则不等式
的解集为( )
10.某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2 kg、
B原料4 kg，生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg，B
原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安
排生产可使每日获得的利润最大为( )
元700元400元
650元
11.已知是定义在上的奇函数，当时，
，则函数在上的所有零点之和等于( )
8 9
10
12.定义在上的函数满足，且当时，
，则等于( )
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。
作图时可先用铅笔会出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。
答在试题卷、草稿纸上无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题～24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.若向量，且，则等于 .
14.已知幂函数的图象关于轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，
则的值为________．
15.已知数列的通项公式是，若对所有的，都有
成立，则实数的取值范围是________．
16.下列命题中：
(1)若满足，满足，则
；
(2)函数的图象恒过定点，若在
上，其中,则的最小值是；
(3)设是定义在上，以１为周期的函数，若在
上的值域为，则在区间上的值域为；
(4)函数图象的对称中心为；
其中真命题序号为．
三、解答题：本大题共6小题，前5个题每个12分，选做题10分，共70分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．前五题各12分.
17．（本小题满分12分）
已知向量，，函数
(Ⅰ)求函数的解析式及其单调递增区间；
(Ⅱ)当时，求函数的值域.
18．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，，且 (为正整数)．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值．
19．（本小题满分12分）
已知定义在区间上的两个函数和，其中
，．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意、，恒成立，求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别为，且满足.
(Ⅰ)若，求此三角形的面积；
(Ⅱ)求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数（为实常数）。
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上无极值，求的取值范围；
（Ⅲ）已知且，求证: .
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号涂黑。
22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，中，，经过点，与
相切于，与相交于，若
，求的半径.
23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线，圆．
(1)当时，求的交点的直角坐标；
(2)过坐标原点作的垂线，垂足为，
为的中点，当变化时，求点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
24.( 本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设，且当时，，求的取值范围.
2017届10月月考参考答案
13.14.1 15.(－3，＋∞) 16.(2)(3)(4)
17.（1）
由得
单调递增区间为，
（2）当时，则， 故的值域是
18. (1)a n ＝a 1q
n －1
＝(13)n －1(n ∈N *
)；（2）由(1)知，S n ＝a 11－q n
1－q
＝
1－
13
n
1－13
＝32[1－(13
)n
]． 又对∀n ∈N *
恒有32k ≤32 [1－(13)n ]得k ≤1－(13)n .∵数列{1－(13)n }单调递增，
∴当n ＝1时，数列中的最小项为23，∴必有k ≤23，即实数k 的最大值为2
3
.
19.（1）
（2），当时，，
又在区间上单调递增（证明略），故．
由题设，得，故或
解得为所求的范围．
20.解：(1)△ABC 的面积S ＝1
2
ac sin B ＝10 3.
(2)3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈(]1，2.
21（Ⅰ）在时递增；在时递减。
（II ）.
① 当
时，，在上递减，
无极值；
22.解 过B 点作BE ∥AC 交圆于点E ，连接AE ，BO 并延长交AE 于F ，由题意∠ABC
＝∠ACB ＝∠AEB ，
又BE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABE ，则AB ＝AC 知，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ＝∠BAE ， 则AE ∥BC ，四边形ACBE 为平行四边形．∴BF ⊥AE.又BC 2
＝CD ×AC ＝2，
∴BC ＝2，BF ＝AB 2－AF 2
＝
14
2.设OF ＝x ，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋r ＝14
2，x 2
＋22
2
＝r 2
，
解得r ＝214
7
.
23．解 (1)当α＝π3
时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2
＝1，联立方程组
⎩⎨⎧
y ＝3x －1，x 2＋y 2
＝1，
解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，(12，－3
2
)．
(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2
α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2
sin 2
α，y ＝－1
2sin αcos α
(α为参
数)．
P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为(1
4
，0)，半径为14
的圆．
24.(1)（0,2）,（2）。