漫谈复数几何
复数的几何意义是什么
复数的几何意义是什么复数的定义复数是形如a+bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i=-1的数，因为任何实数的平方不等于-1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数;当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z=a+bi叫做代数式。
我们把形如z=a+bi(a、b均为实数)的数称为复数。
其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部b=0时，则z为实数;当z的虚部b≠0时，实部a=0时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的四则运算公式复数运算法则有：加减法、乘除法。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律。
此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ(弧度制)推导而得。
加法法则：复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
减法法则：复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数构成的数学概念，具有实部和虚部两个部分。
在复平面中，复数可以表示为一个有序数对(a,b)，其中a为实部，b为虚部。
复数运算的几何意义可以通过复平面的几何解释来理解。
首先，复数可以用来表示平面上的点。
复平面以实轴为x轴，以虚轴为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点。
实部表示该点在x轴上的位置，虚部表示该点在y轴上的位置。
例如，复数z=3+4i表示平面上的一个点，该点在x轴上的位置是3，在y轴上的位置是4加法运算是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相加得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部之和，虚部等于两个复数的虚部之和。
在几何上，两个复数的加法可以理解为将两个平面上的点进行向量相加，得到一个新的点。
减法运算也是复数运算中的一种基本操作。
两个复数相减得到的结果是一个新的复数，其实部等于第一个复数的实部减去第二个复数的实部，虚部等于第一个复数的虚部减去第二个复数的虚部。
在几何上，两个复数的减法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
乘法运算是复数运算中的另一种基本操作。
两个复数相乘得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数的实部的乘积减去两个复数的虚部的乘积，虚部等于第一个复数的实部与第二个复数的虚部之积加上第一个复数的虚部与第二个复数的实部之积。
在几何上，两个复数的乘法可以理解为将两个平面上的点进行相乘得到一个新的点。
除法运算是复数运算中的一种特殊操作。
两个复数相除得到的结果是一个新的复数，其实部等于两个复数相乘的实部之和除以两个复数相乘的模的平方，虚部等于两个复数相乘的虚部之差除以两个复数相乘的模的平方。
在几何上，两个复数的除法可以理解为将第二个复数对应的点作为向量，进行与第一个复数对应的点的相反方向的向量相加。
复数的模是复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
复数的模平方等于复数实部的平方加上虚部的平方。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义22b a + Z( )xoZ 1Z 2ZZ 2Z1yy oxz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
谈谈复数的几何意义及其应用方法
复数具有代数与几何的双重属性.复数的代数形式为：z=a+bi(a、b∈R)，其几何意义是复平面内的点Z(a，b)，即平面向量OZ.复数的几何意义反映了复数和向量之间的对应关系，体现了复数在复平面内的几何特征.科学、合理地应用复数的几何意义，能有效提升解题的效率.那么借助复数的几何意义，可以解决哪些问题呢?下面我们来探究一下.一、由点的坐标求复数任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)可以由一个实数对(a，b)唯一确定，而实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数集与平面直角坐标系上的点集之间存在一一对应的关系.根据这种一一对应的关系，我们可以由点的坐标求复数，也可以根据复数确定复平面上的点的坐标.例1.在复平面内，已知复数2+i对应的点为A，B，C是复平面上的另两个点，若复数1+2i与向量BA对应，复数3-i与向量BC对应，求C点对应的复数.解：∵BA对应的复数为1+2i，BC对应的复数为3-i，∴ AC= BC- BA对应的复数为（3-i）-(1+2i)=2-3i，∵ OC= OA+ AC，∴C点对应的复数为（2+i）+(2-3i)=4-2i.复数z＝a＋b i¾®¾¾¾¾一一对应复平面内的点Z(a，b)¾®¾¾¾¾一一对应平面向量，根据复数的几何意义建立对应的关系：C的坐标即为OC的坐标，通过向量的加、减运算，即可求得C点的坐标，进而求得C点对应的复数.二、求复数的最值根据复数与复平面内的点之间的对应关系，以及复数的一些性质可以确定满足一定条件的复数在复平面内对应的图形（即轨迹），如|z+1|+|z-1|=4表示椭圆，|z-i|=4表示圆.在解答复数的最值问题时，可根据复数的几何意义，确定复平面内点集所形成的图形，建立关于动点的轨迹方程，结合图形寻找临界的情形，即可结合图形的性质、位置关系来求得最值.例2.已知复数|z|=2，求复数1+3i+z的模的最值.解：|z|=2表示在复平面上复数z对应的点Z到原点的距离是2，即圆心为原点，2为半径的圆，设ω=1+3i+z,则z=ω-(1+3i)，可得||ω-(1+3i)=2，故复数ω在复平面内对应的点W在以(1,3)为圆心，以2为半径的圆上，如图所示.由图形可知，当点W落在点A处时，复数ω的模最大，即为AB=4；当点W落在点B处时，复数ω的模最小，其值为0，即复数1+3i+z的模的最大值为4，最小值为0.满足已知条件的复数是一个集合，这个集合中的每个元素所对应的点组成一个图形，这个图形就是复数z在复平面内表示的图形.利用复数的几何意义求复数的最值，一要将复数转化为点的集合，并求得点的轨迹方程；二要借助图形的特点、性质、位置关系来求最值.三、求参数的取值范围含参数的复数问题一般较为复杂，参数的变化决定了复数的取值.为了避免对参数的分类讨论，可利用复数的几何意义来建立参数满足的关系式，进而求得参数的取值范围.例3.已知在复平面内，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点位于第二象限，试求实数a的取值范围.解：根据复数的几何意义知，复数z=(a2+a-2)+(a2-3a+2)i表示的点是P(a2+a-2,a2-3a+2).由点P位于第二象限，可得{a2+a-2<0，a2-3a+2>0，解得-2<a<1，所以实数a的取值范围为(-2,1).解答本题，需根据复平面内点的坐标与复数的实部、虚部之间的对应关系确定参数所满足的不等关系式.总之，利用复数的几何意义解题，关键是把复数或关于复数的表达式转化为点的轨迹、几何图形、向量，我们可以从中找到解题的思路，利用图形、解析几何、向量知识来解题.（作者单位：青海省海东市第一中学）谈谈复数的几何意义及其应用方法考点透视39。
复数的概念及几何意义
复数的概念及几何意义复数是数学中一种形式的数，包括实数和虚数。
它们一般有两个部分组成：实部和虚部。
复数的一般形式为a+bi，其中a和b分别是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1复数的几何意义可以通过将它们表示为平面上的点来理解。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部则表示复数在虚轴上的位置。
复数a+bi可以被视为复平面上的一个点(x, y)，其中x是实部，y是虚部。
这个点与坐标原点形成的直角坐标系中的位置坐标。
复数的模是指复数与原点(0, 0)之间的距离，可以通过勾股定理计算。
给定复数a+bi，它的模记作，a+bi，定义为sqrt(a^2 + b^2)。
复数的模可以用来衡量复数的大小。
复数的幅角或辐角表示复数相对于正实轴的旋转角度。
可以使用三角函数来计算复数的幅角。
例如，对于复数a+bi，其幅角记作arg(a+bi)，可以通过求解tan(theta) = b/a来计算，其中theta是幅角。
复数的几何意义在很多数学和物理领域都有广泛应用。
以下是一些常见的应用领域：1.电路分析：复数在电路分析中起着重要的作用，特别是在交流电路的分析中。
复数可以表示电路元件的阻抗和容抗，并且可以通过复数运算来计算电路中电流和电压的相位关系。
2.信号处理：复数在信号处理领域中用于分析和处理复杂波形。
通过将信号表示为复数的幅角和频率，可以进行频域分析和滤波等操作。
3.控制理论：复数在控制系统理论中用于表示系统的频率响应和稳定性。
复数的幅角和模可以用于设计控制系统的稳定性条件。
4.波动理论：复数在波动理论中用于描述波的传播和干涉。
复数的幅角和模可以用于计算波的相位差和振幅。
5.分形几何：复数在分形几何中用于描述复杂图形的生成和变换。
复数的幅角可以用于旋转和缩放图形。
总结起来，复数是一种数学工具，它可以通过几何方法来理解和解释。
复数的几何意义涵盖了电路分析、信号处理、控制理论、波动理论和分形几何等多个领域。
通过了解复数的几何意义，可以更好地应用和理解复数的数学概念。
复数的概念及复数的几何意义
复数的概念及复数的几何意义复数是数学中一种特殊的数形式，由实数和虚数组成。
在复数形式中，虚数单位i满足i²=-1、一个典型的复数可以表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部。
复数的几何意义可以通过使用复平面来解释。
复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面，将复数表示为平面上的点。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
根据这个表示法可以将复数表示为平面上的点。
实部和虚部可以是任意实数，因此复数在平面上可以表示为平面上的任意点。
平面上的坐标点(a,b)对应于复数a+bi。
平面上的原点(0,0)对应于复数0，纵坐标为0的点(0,b)对应于纯虚数bi，而横坐标为0的点(a,0)对应于纯实数a。
复数的运算可以通过在复平面上进行向量运算来实现。
两个复数的加法就是将两个向量叠加在一起，而减法就是将一个向量从另一个向量中减去。
乘法可以通过将复数旋转和缩放来实现。
复数的模可以用勾股定理推导得出：对于复数a+bi，它的模等于√(a²+b²)，表示为，a+bi。
模是复数的长度或距离原点的距离。
两个复数的模的乘积等于它们的乘积的模，即，a+bi， * ，c+di， = ，(a+bi)(c+di)。
复数的共轭是将虚部取负得到的，即a-bi是复数a+bi的共轭。
共轭复数在复平面上呈镜像关系，共轭对称于实轴。
复数的实部是自身的共轭，虚部取负是自身的共轭。
通过使用复数，可以解决许多实数范围内无法解决的问题。
例如，求根公式中的虚数单位i是由复数域推导而来。
复数也广泛应用于工程学、物理学和信号处理等领域。
实际上，电路和信号可以使用复数进行建模和分析。
总之，复数是数学中重要的概念之一，它由实数和虚数组成，并可以通过复平面表示。
复数的几何意义在于将复数表示为平面上的点，实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
复数可以进行向量运算，包括加法、减法、乘法和取共轭。
复数的模是其到原点的距离，模的乘积等于乘积的模。
复数的共轭是虚部取负得到的。
复数的几何意义与应用问题
复数的几何意义与应用问题复数是由实部和虚部组成的数，它在几何上有着重要的意义和广泛的应用。
本文将从几何意义和应用问题两个方面进行论述，深入探讨复数在几何学中的作用和应用。
一、几何意义1. 复数表示坐标复数可以表示平面上的点，其中实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。
例如，复数z=a+bi可以表示平面上的一个点P(a, b)，其中a和b分别为点P的横坐标和纵坐标。
2. 复数表示向量复数也可以表示平面上的向量，向量的起点位于原点(0, 0)，终点位于对应的复数所表示的点。
向量的模长等于复数的模长，向量的方向等于复数的辐角。
通过复数运算，我们可以进行向量的加法、减法和乘法等操作。
3. 复数表示旋转复数的辐角表示向量相对x轴的旋转角度。
当复数z=a+bi，其中a 和b都不为零时，可以表示平面上的一个向量。
向量的辐角等于复数的辐角。
通过改变复数的辐角，可以实现向量的旋转。
二、应用问题1. 复数在电路中的应用复数在电路分析中有着重要的应用。
例如，对于交流电路中的电压和电流，可以使用复数来表示其幅度和相位差。
通过复数的运算，可以进行电路中电压、电流的计算和分析，并得到正确的结果。
2. 复数在信号处理中的应用信号处理中经常用到傅里叶变换，而傅里叶变换中的频谱分析是通过复数进行的。
通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱图，进而对信号进行滤波、压缩等处理。
3. 复数在力学中的应用在力学中，复数可以表示振动和波动等现象。
例如，简谐振动可以用复数表示，通过复数的运算可以计算振动的幅度、相位和周期等性质。
4. 复数在几何图形中的应用复数在几何图形的平移、旋转和缩放等操作中有广泛的应用。
通过复数的运算，可以方便地进行几何图形的变换和计算，实现图形的平移、旋转和缩放等操作。
结语复数在几何学中有着重要的几何意义和广泛的应用。
它可以表示坐标、向量和旋转等内容，并且在电路、信号处理、力学和几何图形等领域都有广泛的应用。
复数的几何意义与运算规则
复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。
复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。
本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。
一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。
我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。
实部和虚部决定了复数在平面上的位置。
二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。
2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。
减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。
3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。
4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。
除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。
三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。
解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。
解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。
复数的几何表示与解析表示
复数的几何表示与解析表示复数是数学中一个重要的概念，由实数部分和虚数部分组成。
在几何上，复数可以用向量表示，同时也可以用解析式表示。
本文将介绍复数的几何表示和解析表示，并探讨它们的联系和应用。
一、复数的几何表示复数的几何表示主要依赖于向量的概念。
我们知道，向量由大小和方向组成，可以用有向线段来表示。
同样地，复数也可以看作是一个向量，在数学上常用平面直角坐标系表示。
在平面直角坐标系中，复数可以表示为 z = a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。
a和b可以看作是复平面的横轴和纵轴坐标，复数z 位于复平面上的一个点。
我们可以使用复数的模长和辐角来准确表示复数在复平面上的位置。
复数的模长表示复数的大小或长度，记作 |z| = sqrt(a^2 + b^2) 。
辐角表示复数的方向，可以用弧度或角度来表示，记作 arg(z)。
二、复数的解析表示复数的解析表示是一种基于数学形式化的表示方法。
我们可以用复数的实部和虚部的形式来表示复数。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
在复数的解析表示中，实部 a 和虚部 b 可以是任意实数。
实部表示复数的实数部分，而虚部表示复数的虚数部分。
通过解析表示，我们可以进行复数的加减乘除等运算，更方便地进行复数的计算。
三、几何表示与解析表示的联系几何表示和解析表示是两种不同的方式，但它们之间存在着密切的联系。
首先，通过几何表示可以很方便地得出复数的模长和辐角。
复数 z 的模长可以由几何表示的长度得出，而辐角可以由几何表示的方向得出。
其次，通过解析表示可以方便地进行复数的运算。
复数的加减乘除等运算可以通过解析表示直接进行，无需对几何表示进行操作。
最后，几何表示和解析表示可以相互转化。
通过知道复数的实部和虚部，我们可以得到复数在复平面上的位置；而通过复数在复平面上的位置，我们也可以得到复数的实部和虚部。
四、几何表示与解析表示的应用几何表示和解析表示在数学中有广泛的应用。
复数的几何意义
例2：用复数表示下图中的阴影部分．
解.(1)|z|<3，且Im(z)<-1, （2）|z|≥3，且Re(z)≤-1． (3) |z|≤3，且-2≤Re(z)≤2．
例3：在复平面内，满足下列复数 形式方程的动点Z的轨迹是什么． （1）|z-1-i|=|z+2+i|； （2）|z+i|+|z-i|=4； （3）|z+2|-|z-2|=2．
一.复数的几何意义：复数z=a+bi对应 于直角坐标平面上的点Z（a,b），复 数也可以看成向量。 有了这种一一对应关系后，我们常把 复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说 成向量 oz ． 二．复数模的几何意义：复平面上复 数表示的点到原点的距离。 |z|=|OZ|=| oz |
复数的加、减法几 何意义即为向量的 加、减法。 |Z1-Z2|表示平面上两 点的距离
3
4
（3）这个方程可以写成 |z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示到 两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距离 差2a等于2的点的轨迹，这个轨 迹是双曲线右半支．
x y 即双曲线： 1（x>0） 1 3
2
2
例4：△ABC的三个顶点对应的 复数分别是z1,z2,z3，若复数z满 足 |z-z1|=|z-z2|=|z-z3| ， 则 z 对应的点为△ABC的（ D ） A. 内心； B．垂心； C．重心； D．外心；
解：（1）方程可以看成 |z-(1+i)|=|z-(-2-i)|， 表示的是到两个定点A(1,1)和 B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所 以是线段AB的的垂直平分线。 即：直线6x+4y+3=0。
复数的几何意义是什么
复数的几何意义是什么高中数学会学到复数，有关复数的几何意义大家知道吗?下面是由小编小编为大家整理的“复数的几何意义是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读。
1、复数z=a+bi 与复平面内的点(a,b)一一对应2、复数z=a+bi 与向量OZ一一对应,其中Z点坐标为(a,b)1、复数的运算：复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。
两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
两个复数的和依然是复数。
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
复数除法定义：满足的复数叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。
2、我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部等于零时，常称z为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
1、数学上的复数(1)复数的定义数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行.比如判别式小于0的一元二次方程仍无解,因此将数集再次扩充,达到复数范围.定义：形如z=a+bi的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且i^2=i*i=-1(a,b 是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部(real part)记作Rez=a实数b称为虚数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.易知：当b=0时,z=a,这时复数成为实数;当a=0且b≠0时 ,z=bi,我们就将其称为纯虚数.复数的集合用C表示,显然,R是C的真子集复数集是无序集,不能建立大小顺序.(2)复数的四则运算法则：若复数z1=a+bi,z2=c+di,其中a,b,c,d∈R,则z1±z2=(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i,(a+bi)•(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i,(a+bi)÷(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
复数的基本概念和几何意义
复数的基本概念和几何意义复数是数学中的一个重要概念，它由一个实数部分和一个虚数部分组成。
一个复数可以用以下形式表示：a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，即i^2=-1复数的基本概念包括实数部分和虚数部分。
实数部分是复数的实际部分，它可以是任何实数。
虚数部分是复数中的虚构部分，它必须乘以虚数单位i才能表示。
实数部分和虚数部分都可以是负数。
复数的几何意义可以通过复平面理解。
复平面是一个由实数轴和虚数轴构成的平面。
实数轴表示实数部分，虚数轴表示虚数部分。
复数a+bi 可以在复平面上表示为一个点，实数部分对应的是x坐标，虚数部分对应的是y坐标。
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理求得。
模的值是一个非负实数。
复数的共轭表示实数部分不变，虚数部分取相反数，即a-bi。
复数可以进行加法、乘法和求逆运算。
复数的加法和减法可以通过实数部分和虚数部分分别相加或相减得到。
复数的乘法可以通过FOIL法则展开得到。
复数的求逆可以通过取共轭复数，将实数部分除以模的平方得到。
复数的基本性质包括交换律、结合律、分配律等。
复数可以进行四则运算，并满足这些性质。
复数的重要应用包括在电路分析、量子力学、工程计算等领域。
复数在这些领域中能够提供更加精确和便捷的计算手段。
总结起来，复数是由实数部分和虚数部分组成的数，它可以在复平面上表示为一个点。
复数有加法、乘法和求逆等运算，满足交换律、结合律和分配律。
复数的几何意义可以帮助我们理解和应用它们。
复数在数学和实际应用中都有重要的意义。
复数的几何意义
复数是数学中一个非常重要的概念，它在几何学中也有着重要的意义。
复数可以用一个实部和一个虚部来表示，通常写成a+bi的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i²=-1。
实部表示复数在实轴上的位置，虚部表示复数在虚轴上的位置。
首先，我们来看复数在复平面中的几何意义。
复平面是一个平面笛卡尔坐标系统，实轴水平表示实数，虚轴垂直表示虚数。
复数表示的是平面上的一个点，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
例如，复数2+3i表示复平面上的一个点，横坐标为2，纵坐标为3。
这样，我们可以将复数看作平面上的向量。
复数的几何意义可以通过两种方式来理解。
一种是向量表示法，复数是一个有向线段，表示一个从原点指向某个点的向量，向量的方向由实部和虚部决定。
另一种是极坐标表示法，复数可以用模长和幅角来表示。
模长表示向量的长度，幅角表示向量与虚轴的夹角。
这种表示法可以将复数的乘法和除法转化为向量的旋转和伸缩，非常有用。
利用复数的几何意义，我们可以进行一些有趣的运算。
首先是复数的加法。
复数的加法相当于向量的相加，两个向量相加的结果是两个向量首尾相接形成的新向量。
例如，复数2+3i和1+2i相加的结果是3+5i，可以想象成从2+3i位置出发，沿着1+2i的方向前进，最终到达3+5i的位置。
其次是复数的乘法。
复数的乘法相当于向量的旋转和伸缩。
两个复数相乘的结果是两个向量长度相乘，角度相加后的新向量。
例如，复数2+3i和1+2i相乘的结果是-4+7i，它相当于将向量2+3i绕原点逆时针旋转45度，并且长度变为原来的3倍。
最后是复数的除法。
复数的除法相当于向量的旋转和缩放。
一个复数除以另一个复数，相当于将两个向量的长度相除，角度相减后的新向量。
例如，复数2+3i除以1+2i的结果是1+1i，它相当于将向量2+3i绕原点顺时针旋转45度，并且长度变为原来的一半。
综上所述，复数在几何学中有着非常重要的意义。
复数的实部和虚部可以表示复数在复平面中的位置，而复数的加法、乘法和除法可以通过向量的操作来理解。
复数运算的几何意义解读
复数运算的几何意义解读复数是由实数和虚数两部分组成的数，它可用于代表平面上的点或向量，因此具有一定的几何意义。
在复数运算中，加法和乘法可以在几何上进行解释。
首先，我们来讨论复数的几何表示。
对于一个复数 z=a+ib，其中 a是实部，b 是虚部，可以将其看作平面上的一个点 P(x,y)，其中 x 为 a 的值，y 为 b 的值。
这个点位于一个坐标系中的复平面上，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
因此，复数 z 在几何上可以理解为复平面上的点 P。
1.加法：复数的加法可以表示为 (a+ib) + (c+id) = ((a+c) + i(b+d))。
在几何上，这个运算可以理解为将两个复数的点在复平面上相应方向上的平移，并将这两个复数的实部和虚部分别相加。
可以看出，加法运算实际上是将两个向量相加，得到一个新的向量。
这个向量从第一个向量指向第二个向量的尖端。
换句话说，复数加法相当于将两个复数所代表的向量进行平移。
2.乘法：复数的乘法可以表示为 (a+ib) * (c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)。
在几何上，这个运算可以理解为将一个复数的点绕原点旋转，并将两个复数的实部和虚部形成一个新的复数。
乘法运算实际上是将两个向量相乘，并按照一定的规则得到新的向量。
具体而言，复数的模长是两个向量的模长的乘积，而复数的辐角是两个向量的辐角的和。
因此，复数乘法可以理解为将一个复数代表的向量绕原点旋转一定角度，并按照一定比例进行缩放。
除此之外，复数的运算还具有以下几何意义：3.模长：一个复数的模长可以表示为，z，=√(a^2+b^2)。
在几何上，复数的模长表示了对应向量的长度，也可以理解为复平面上原点到点P的距离。
模长的平方等于复数的实部平方加上虚部平方，可以通过勾股定理来计算。
因此，复数的模长也可以理解为一个向量的长度。
4.共轭：一个复数的共轭可以表示为 z* = a-ib。
在几何上，一个复数和其共轭代表了复平面上关于 x 轴的对称点。
复数的几何意义用
复数的几何意义用复数是由实部和虚部组成的数学对象，在几何上可以用来表示和描述平面上的点和向量。
在以下内容中，我将详细介绍复数的几何意义以及其在几何应用中的重要性。
首先，让我们回顾一下复数的表示形式。
一个复数可以用以下形式表示：z = a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1、实部和虚部分别是复数在实轴和虚轴上的投影。
实际上，复数可以理解为平面上的一个点，其中实部表示点在x轴上的坐标，虚部表示点在y轴上的坐标。
将复数z = a + bi绘制在笛卡尔坐标系中，可以将其视为一个有序对(a, b)在平面上的位置。
复数的几何意义之一是表征平面上的向量。
对于一个复数z = a + bi，可以将其看作从原点(0,0)到点(a,b)的一个向量。
向量的长度可以通过计算复数的模来获得，模定义为 z 的绝对值模（，z，）如下所示：，z，= √(a^2 + b^2)。
因此，从几何意义上来说，复数的模表示该向量的长度。
此外，复数还可以通过角度表示。
复数z = a + bi可以与极坐标形式r*(cosθ + sinθ) 相互转换，其中 r 是模长，θ 是与x轴正向的夹角。
根据三角函数的性质，a = r*cosθ，b = r*sinθ。
这样，复数就可以用长度和角度来表示，而不仅仅是实部和虚部。
利用复数的角度表示，可以进行复数的乘法和除法运算。
复数的乘法相当于向量的旋转变换，而复数的除法则相当于向量的缩放和旋转变换。
这种特性在几何应用中非常有用，例如在图形的旋转、缩放和平移中。
此外，几何上的旋转可以使用复数乘法非常方便地表示出来。
给定一个复数z = a + bi，可以通过乘以一个单位复数e^iθ（其中θ是旋转角度）来将点(a, b)绕原点旋转。
这种使用复数进行旋转的方法，简化了复杂的旋转变换为简单的乘法操作，极大地提高了计算的效率。
在复数的几何应用中，除了表示点和向量的位置和变换，复数还可以用来描述直线和曲线。
复数的几何意义是什么
复数的⼏何意义是什么
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是⼀⼀对应关系。
这是因为对于任何⼀个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由⼀个有序实数对(a，b)惟⼀确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，⼜如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定。
复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是⼀⼀对应关系这是因为对于任何⼀个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由⼀个有序实数对(a，b)惟⼀确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，⼜如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；⼜因为有序实数对(a，b)与平⾯直⾓坐标系中的点是⼀⼀对应的。
由此可知，复数集与平⾯直⾓坐标系中的点集之间可以建⽴⼀⼀对应的关系。
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可⽤点Z(a，b)表⽰，这个建⽴了直⾓坐标系来表⽰复数的平⾯叫做复平⾯，也叫⾼斯平⾯，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
实轴上的点都表⽰实数。
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表⽰是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表⽰纯虚数。
在复平⾯内的原点(0，0)表⽰实数0，实轴上的点(2，0)表⽰实数2，虚轴上的点(0，－1)表⽰纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表⽰纯虚数5i。
⾮纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表⽰的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。
复数集C和复平⾯内所有的点所成的集合是⼀⼀对应关系。
复数的几何意义
复数的几何意义引言复数是数学中一种常见的概念，用于描述带有虚部的数。
在复数的运算中，虚部通常用虚数单位i表示，其中i是一个满足i^2 = -1的数。
复数的几何意义是通过将复数表示为有序对的形式，将其在复平面上进行表示和解释。
本文将介绍复数的几何意义及其在实际应用中的作用。
复平面表示法复平面是由实数轴和虚数轴组成的平面。
实数轴水平表示实部，虚数轴垂直表示虚部。
复数可以通过将其表示为实部和虚部的有序对的形式来在复平面上进行表示。
例如，复数z = a + bi可以表示为 (a, b) 的点在复平面上的位置。
在复平面中，原点表示零，实数轴上的点表示实数，虚数轴上的点表示纯虚数，而其他点表示具有实部和虚部的复数。
复数的模复数的模表示复数到原点的距离，可以使用勾股定理计算。
复数z = a + bi的模可以表示为|z| = sqrt(a^2 + b^2)。
在复平面中，模可以视为复数对原点的径向距离。
由模的定义可知，复数的模为非负实数。
复数的辐角复数的辐角是复数到正实数轴的夹角，通常使用弧度制进行表示。
复数z = a +bi的辐角可以通过计算theta = arctan(b / a)获得。
在复平面中，辐角可以视为复数与正实数轴之间的倾斜角度。
需要注意的是，辐角只有在复数不等于零时才有意义。
复数的几何运算在复平面中，复数可以进行各种基本的几何运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算的结果可以用复数在复平面上的图形表示形式来解释。
复数的加法和减法复数的加法可以通过将两个复数对应的点在复平面上进行相加来实现。
例如，复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的和为z = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
类似地，复数的减法也可以通过复数在复平面上的点相减来实现。
复数的乘法和除法复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘、辐角相加来实现。
例如，复数z1 = |z1| (cos(theta1) + i * sin(theta1))* 和z2 = |z2| (cos(theta2) + i * sin(theta2))* 的乘积为z = |z1| |z2| * (cos(theta1 + theta2) + i * sin(theta1 + theta2))*。
复数的几何意义及其应用案例
复数的几何意义及其应用案例复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
复数有着丰富的几何意义，它在几何学中有广泛的应用。
本文将探讨复数的几何意义以及一些应用案例。
一、复数的几何意义1. 复平面复数可以用平面上的点来表示。
将复数a+bi对应于平面上的点P(a, b)，这个平面就是复平面。
复平面上的点P可以表示为向量OP，其中O是平面上的原点。
复数的实部a对应于点P在x轴上的投影，虚部b对应于点P在y轴上的投影。
这样，复数的加法、减法、乘法和除法运算都可以用向量运算来表示。
2. 模和幅角复数a+bi的模定义为它与原点的距离，即|a+bi|=√(a²+b²)。
模表示了复数的大小。
复数的幅角定义为它与x轴的夹角，可以用反三角函数来表示，即θ=arctan(b/a)。
幅角表示了复数的方向。
3. 共轭复数对于复数a+bi，它的共轭复数定义为a-bi，可以用符号∼表示。
共轭复数在复数的乘法和除法运算中有重要的应用。
二、复数的应用案例1. 电路分析复数在电路分析中有着广泛的应用。
例如，交流电路中的电压和电流可以用复数来表示。
通过对复数电压和电流进行运算，可以得到电路中的功率、阻抗、电感和电容等重要参数。
2. 信号处理在信号处理中，复数被用来表示信号的频谱。
通过对复数频谱进行运算，可以实现信号的滤波、调制、解调等操作。
复数的傅里叶变换在信号处理中起着重要的作用。
3. 几何变换复数可以表示平面上的几何图形。
通过对复数进行平移、旋转、缩放等几何变换，可以实现图形的变换和组合。
复数的乘法运算可以实现图形的旋转和缩放，复数的加法运算可以实现图形的平移。
4. 分形图形分形是一种特殊的几何图形，具有自相似性和无限细节等特点。
复数可以用来生成分形图形，例如著名的朱利亚集合和曼德博集合。
通过对复数进行迭代运算，可以生成具有丰富结构和美丽形态的分形图形。
复数的几何解释
复数的几何解释是一个非常有趣的数学概念。
在几何上，我们经常用平面上的点来表示复数。
复数是由实数和虚数两部分组成的，实数部分通常用来表示点在x轴上的位置，虚数部分用来表示点在y轴上的位置。
首先，我们来看一下复数的基本形式。
一个复数可以表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，bi是虚数部分，i是一个虚数单位，满足i的平方等于-1。
实数部分a和虚数部分bi可以分别想象成平面上的x轴和y轴上的坐标。
如果我们将复数a+bi表示成平面上的一个点，我们可以将实数部分a看作x轴上的位置，虚数部分bi看作y轴上的位置。
这样，我们就可以使用直角坐标系来表示复数。
以复数z=a+bi的几何解释为例，我们可以将a看作点的横坐标，b看作纵坐标。
点(a,b)线段即可表示复数z。
实数部分a和虚数部分b描述了点在平面上的位置，我们可以根据a和b的大小确定点的位置。
复数的模是一个非常重要的概念。
复数的模定义为复数的绝对值，即|z|=√(a²+b²)。
复数的模表示了复数到原点的距离。
在平面上，可以想象复数的模是一个与原点之间存在的线段的长度。
复数的模还有一个重要的性质，即对任意的复数z和实数k，有|kz|=|k||z|。
这个性质说明复数的模与实数k的关系，可以理解为将复数的模缩放了k倍。
我们可以将复数的加法和减法用几何方法表示。
复数的加法可以看作是平面上两个点的坐标求和。
如果两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，那么z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i。
这样，我们可以将两个复数的实部和虚部分别相加得到新的复数。
复数的减法可以类似地表示为点的坐标的差。
如果两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，那么z₁-z₂=(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
同样，我们可以将两个复数的实部和虚部分别相减得到新的复数。
复数的乘法和除法在几何上也有着有趣的解释。
复数的乘法可以看作是一个数的模与一个数的幅角分别相乘。
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目录前言 (1)一复数的各种运算 (3)二复数几何 (4)1. 复数绝对值的几何意义 (4)2. 共轭复数的几何意义 (4)3. 复数加法的几何意义 (5)4. 复数減法的几何意义 (6)5. 复数乘法的几何意义 (6)6. 复数除法的几何意义 (7)结论 (7)致谢 (7)参考文献 (7)我们知道，在解实系数一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)时，如果判别式b2-4ac<0,就会遇到负数开平方的问题。
最简单的一个例子，是在解方程2x+1=0时，就会遇到-1开平方的问题。
16世纪中叶，意大利卡尔丹在1545年解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。
他把40看作5+15-的乘积，然而这只不过是一种纯形式的表示而已。
当时，谁也说不上-与5-15这样表示究竟有什么好处。
为了使负数开平方有意义，也就是要使上述这类方程有解，我们需要再一次扩大数系，于是，就引进了虚数，使实数域扩大到了复数域。
但最初，由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。
直到17世纪和18世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。
另外的原因，是由于这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。
关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉作出的。
他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上。
用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。
此后，复数才被人们广泛承认和使用。
在19世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西（Cauchy）、德国数学家（Riemann）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。
一 复数的各种运算在高一教材中曾介绍过复数，內容偏重在复数的加、減、乘、除四则运算对于几何意义，只轻描淡写的提到一點，并未详加介绍，本文重点在谈论复数加、減、乘、除四则运算的几何意义。
1. 设复数yi x z +=，其中x 、y 为实数，则x 称为复数z 的实部，用符号()z Re 表示，y 称为复数z 的虛部，用符号()z Im )表示。
2. 复数yi x z +=的共轭复数，用符号z 表示，共规定yi x z -=，()()z z Re Re = ()()z z Im Im =。
3. 复数yi x z +=绝对值，用符号z 示，并规定22y x z +=。
4. 若复数0≠+=yi x z ，则存在一个有向角θ，使()θθsin cos i z z +=，此式称为复数z 的极式，有向角θ 称为幅角，當πθ20≤≤時，θ称为主幅角，用符号Arg(z)表示。
设i y x z 111+=，i y x z 222+=，其1x 、1y 、2x 、2y 均为实数。
5. 复数1z 与2z 的和定义如下：()()()()i y y x x i y x i y x z z 2121221121+++=+++=+。
6. 复数1z 与2z 的差定义如下：()()()()i y y x x i y x i y x z z 2121221121-+-=+++=-。
7. 复数1z 与2z 的积定义如下：()()()()i y x y x y y x x i y x i y x z z 12212121221121-+-=+⋅+=⋅。
8. 复数1z 与2z 的商定义如下：。
i y x y x y x y x y y x x i y x i y x z z 2222211122222121221121+-++-=++=÷二复数几何在直角坐标平面上，若点P 的直角坐标为()y x ,，则复数yi x z +=与点()y x P ,之间会构成一个复数对应（此函数为一对一函数且为影射函数），所以复数yi x z +=可用直角坐標平面上某一点的位置来表示，这种表示复数的坐标平面，我们称为复数平面或Gauss 平面，在复数坐标平面中，点O 仍称为原点，x 轴改称为实轴，y 轴改成为虚轴，如图(一)所示。
1. 复数绝对值的几何意义设yi x z +=，则22y x z +=表示P 点到原点的距离，即OP z =，如图(二)所示。
图(一) 图(二)2. 共轭复数的几何意义设yi x z ＋=在复数平面上所对应的点为()y x P ,。
(1) yi x z -=在复数平面上所对应的点为()y x Q -,，则P 、Q 两点对称于实轴（x 軸）。
(2) yi x z +-=-在复数平面上所对应的点为()y x R ,-，则P 、Q 两点对称于虚轴（y 軸）。
(3) yi x z --=-在复数平面上所对应的点为()y x S --,则P 、Q两点对称于原点，如图(三)所示。
图(三)3. 复数加法的几何意义设yi x z +=11在复数平面上所对应的点为()11,y x P ， i y x z 222+=在复数平面上所对应的点为()22,y x Q ，()()i y y x x z z 212121+++=+在复数平面上所对应的点为()1121,y y x x R ++，则： (1) 当O 、P 、Q 三点不共线时，则四边形OPRQ 为一个平行四边形，如图(四)所示，21z z +表示平行四边形OPRQ 的对角线OR 的长度。
(2) 当O 、P 、Q 三点共线时，则线段PQ 与线段OR 的中点会重合，如图(五)(a)(b)所示（不共共线，共线PQ 共线段OR 的中点也会重）。
我们也可用向量观念来解释其几何意义。
设OP 表示复数1z ，OP 表示复数2z ，则=+就可表示复数1z 与2z 的和，如图(六)所示。
z z =+21表示R 点到原点的距离，也就是平行四边形OPRQ 对角线OR 的长度。
图(四) 图(五) 图(六)4. 复数減法的几何意义设i y x z 111+=在复数平面上所对应的点为()11,y x P ， i y x z 222+=在复数平面上所对应的点为()22,y x Q ，()()i y y x x z z 212121-+-=-在复数平面上所对应的点为()2121,y y x x R --，则：(1) 当O 、P 、Q 三点不共线时，则四边形ORPQ 为一个平行四边形，如图(七)所示，21z z -表示R 点到原点的距离，即平行四边形ORPQ ，OR 边的长度亦为PQ 边的长度，也就是P 、Q 两点的距离。
(2) 当O 、P 、Q 三点共线时，则线段OP 与线段QR 的中点会重合，如图(八)(a)(b)所示。
（不共线时，线段O 与线段QR 中点也会重合） 我们也可用向量观念来解释其几何意义。
设OP 表示复数1z ，表示复数2z ，则()=-+=-表示复数1z 与2z 的差，如图(九)所示。
z z =-21表示R 点到原点的距离，即平行四边形ORPQ ，OR 边的长度，亦为PQ 边的长度，也就是P 、Q 两点的距离。
图(七) 图(八) 图(九)5. 复数乘法的几何意义设i y x z 111+=在复数平面上对应的点为()11,y x P ，且P 點不在實軸上， i y x z 222+=在复数平面上所对应的点为()22,y x Q ，()()i y x y x y y x x z z 1221212121-+-=⋅在复数平面上对应的点为()12212121,y x y x y y x x R ＋- 在实轴上取点S （即为1=OS ），如图(十)所示。
则： (1) OQ OP OR ⋅=（即OS OP OQ OR ::=）； (2) ()QOR SOP SOQ SOP SOR ∠=∠+∠=∠； (3) OSQ ∆～OPR ∆。
这个几何意义，可用复数极式乘法规则来解读，就很容易明白设[]111111sin cos θθi r i y x z +=+=，其中OP z r ==11，SOP ∠=1θ，[]222222sin cos θθ+=+=r i y x z ，其中OQ z r ==22，SOQ ∠=2θ，则()()[]21212121sin cos θθθθ+++⋅=⋅i r r z z ，其中OR z z r r =⋅=2121，SOR ∠=+21θθ， 由是OQ OP r r OR ⋅=⋅=21，因为1=OS ，所以OQ OP OS OR ⋅=⋅，即OS OP OQ OR ::= 又SOQ SOP SOR ∠+∠=+=∠21θθ，QOR SOQ SOR SOP ∠=∠-∠=∠圖(十)故得到OPR OSQ ∆∆~。
6. 复数除法的几何意义设i y x z 111+=在复数平面上所对应的点为()11,y x P ， i y x z 2222+=在复数平面上所对应的点为()22,y x Q ， i y x y x y x y x y y x x i y x i y x z z 2222211222222121221121＋＋＋＋＋＝＋＋＝在复数平面上所对应的点为）＋＋〃＋＋（2222211222222121y x y x y x y x y y x x R ， 在实轴上去单位点S （即为OS ＝1），如图(十一)所示，则：(1)OQOP OR ＝（即OP ：OR ＝OQ ：OS ）(2)∠SOR ＝∠SOP －∠SOQ （∠SOQ ＝∠ROP ） (3)△OSQ ～△ORP这个几何意义，可用复数极式除法规则来解释，就很容易明白。
设[]111111sin cos θθi r i y x z +=+=，其中OP z r ==11，SOP ∠=1θ，[]222222sin cos θθ+=+=r i y x z ，其中OQ z r ==22，SOQ ∠=2θ， 则2121r r z z ＝()()[]2121sin cos θθθθ－－i +，其中OR z z r r ＝＝2121，SOR ∠=21θθ－，由于OQ OPr r OR ＝＝21，OQ OR OP 〃＝因为1＝OS ，所以OQ OR OS OP 〃＝〃，即OS OQ OR OP 〃＝〃 又∠SOR ＝21θθ－＝∠SOP －∠SOQ ，∠SOQ ＝∠SOP －∠SOR ＝∠ROP 故得到△OSQ ～△ORP结论一般学生学习复数加、減、乘、除四则运算，复数极式乘法、除法运算及向量加法、減法运算，大都分为三个单元，各自独立学习，很少会融合贯通，更不会融入几何观念，老师可将这些观念告诉学生，相信对学生学习过程必定会有帮助，学生参加学科能力竞赛时也会有助益。