三角形证明复习导学案——有关线段数量关系
三角形证明复习导学案 (2)
课题三角形全等证明复习年级学习目标与考点分析对于三角形全等方法运用的复习和三角形难题的分析对于三角形证明是三角形部分的考查重点学习重点重点是对于三角形方法的综合运用学习方法讲练结合练习巩固学习内容与过程添加辅助线构造全等三角形一．内容：在证明几何题目的过程中，常常需要通过全等三角形，研究两条线段(角)的相等关系，或者转移线段或角。
而有些时候，这样的全等三角形在问题中，并不是十分明显。
因此，我们需要通过添加辅助线，构造全等三角形，进而证明所需的结论。
在这里，我们试图通过几个典型例题让大家初步了解添加辅助线构造全等三角形的基本方法。
当然这些方法体现的了添加辅助线的方法从简单到复杂，研究线段的长短关系体现了从相等到不等的递进关系。
二．例题详解1．通过添加辅助线构造全等三角形直接证明线段(角)相等1．已知：如图AB=AD，CB=CD，(1)求证：∠B=∠D．(2)若AE=AF 试猜想CE与CF的大小关系并证明．分析：(1)在没有学习等腰三角形的知识的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在的两个三角形全等。
本题中要证明∠B=∠D．在已知条件中缺少明显全等的三角形。
而连结AC以后，AC作为公共边，根据题目的已知条件可以看到三角形ABC全等于三角形ADC，进而证明了∠B=∠D。
如果在学习了等腰三角形的知识以后还可以连结BD，通过等边对等角，再用角等量减等量得到∠B=∠D更为简单(2)猜想CE=CF，在连结AC证明了三角形ABC全等于三角形ADC以后，得到∠EAC=∠FAC，再去证明三角形EAC全等于三角形FAC，进而证明CE=CF。
证明：(1)方法1、连结AC，证明△ABC≌△ADC，进而∠B=∠D。
方法2、连接BD，因为AB=AD，所以，∠ABD=∠ADB．同理，∠CBD=∠CDB．所以，∠ABD-∠CBD=∠ADB-∠CDB，即∠B=∠D。
(2)由(1)得∠B=∠D，又因为BE=DF，CB=CD,故△BCE≌△CDF，进而CE=CF。
第一章 三角形的证明 复习(有答案)导学案
第一章三角形的证明复习课导学案班级：__________姓名：_____________一．本章重要知识回顾：1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是图形．（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“”），它们所在的直线都是等腰三角形的，等腰三角形有条对称轴．（3）等腰三角形的两个底角，简称；（4）等腰三角形的相等；相等；相等；（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于。
2.等腰三角形的判定：（1）的三角形叫做等腰三角形（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也，简称．3.等边三角形的性质：（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是，等边三角形是图形，等边三角形有条对称轴．（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于。
4.等边三角形的判定：（1）三边都的三角形是等边三角形；（2）三角都的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于的三角形是等边三角形.5.直角三角形的性质：（1）直角三角形的两锐角；（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于；（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角 .6.直角三角形的判定：（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个的距离相等。
（2）到一条线段两个距离的点，在这条线段的垂直平分线上。
(3)三角形三条边的垂直平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
（4）角平分线上的点到的距离相等。
（5)在一个角的内部，到角距离相等的点，在这个角的上。
（6）三角形三个角的平分线相交于点，并且这点到的距离相等。
导学案与三角形有关的线段
八年级数学第十一章 三角形的边备课人：陈军营 审核人：余国霞 备课时间：8.25 上课时间： 学习目标:1. 了解三角形概念及基本元素。
2. 掌握三角形三边之间的关系及分类.3. 会根据三条线段的长度判断他们能否构成三角形。
学习重点:三角形三边之间的关系及分类.学习难点:在具体的图形中不重复,不遗漏地识别所有三角形及三角形三边关系的应用. 学习过程一、复习导入:在小学我们已经学过有关三角形的一些知识，对三角形的重要性质有所了解如：三角形的面积公式为 ；三角形按角分类可分为 三角形， 三角形， 三角形。
二．自主学习：自学课本P2~3内容，完成下列问题:1.由 的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
如右图，线段AB、 、、是三角形的边。
点A,B,C 是三角形的 。
∠A, , 是三角形的内角，简称三角形的 。
我们把这个三角形记作 ，读作 。
三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示：如边BC 对着∠A ，记作a ；边AC 记作 ；边AB 记作 。
（请在图中标出来）2.三角形分类 （1）三角形中，________________________的三角形叫做等腰三角形，____________的三角形叫做 等边三角形。
（2）如右图，在等腰三角形ABC 中（其中AB=AC ），腰是 ， 底是 ，顶角是 ，底角是 。
（3）等腰三角形与等边三角形之间的关系是 。
三、合作交流：1.看课本P3页探究，完成下列问题三角形的三边关系： 三角形任意两边的和 第三边。
三角形任意两边的差 第三边。
四、应用举例用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。
（1）如果腰长是底边的2倍，求各边长；（2）能围成一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？五、当堂检测（100分）1.如图7.1.1-1的三角形记作__________，它的三条边是__________，三个顶点分别是_________，三个内角是__________，顶点A 、B 、C 所对的边分别是___________，用小写字母分别表示为__________.图12.下列长度的三条线段能组成三角形的是 。
三角形复习学案
三角形复习学案一、同步知识梳理一、三角形及相关线段1、 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2、表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示． 3、分类：①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形 ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 4、三角形的三边关系（“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。
）三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示：c －b<a ，b －a<c ，c －a<b. 应用:①当线段a ，b ，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第 三条线段的取值范围． 5、三角形的高、中线与角平分线 （1）三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部。
应用：求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度； 高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题。
（2）三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
性质：一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
11.1与三角形有关的线段导学案
11.1与三角形有关的线段学习目标：1.认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系；. 掌握三角形的高、中线与角平分线的画法；了解三角形具有稳定性；2. 通过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平分线分别交于一点3. 通过与组员合作，增强合作意识。
感受数学在生活中的广泛运用。
学习重点：1.三角形的三边之间的不等关系.2.三角形的高、中线、角平分线概念的简单运用及它们的几何语言表预习案一、使用说明与学法指导 1.用15分钟左右的时间，依据预习案通读课本P2——P7的内容，进行知识梳理，掌握三角形的相关概念，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。
2.将预习中不能解决的问题标识出来，待课堂合作学习解答。
1、什么图形是三角形？（定义）根据你的理解，下列的图形是三角形吗？2、三角形的有关概念：①边： 。
②角：。
③顶点： 。
3、三角形的表示：如图一，以A 、B 、C 为顶点的三角形记作 ，读作 。
（提示：组内汇报的内容为—三角形的定义，与三角形有关的概念，三角形的表示符号）4、三角形的分类：①按三个内角的大小分类： 、 和 。
②按边进行分类。
等腰三角形是 条边相等的三角形；等边三角形是 条边相等的三角形。
那么等边三角形是否属于等腰三角形呢？ 。
从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD ⊥_____.2、三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑵，AD 是△ABC 的中线，则BD ＝______=21. 3、三角形的角平分线 ∠BAC 的平分线AD ，交∠BAC 的对边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的___________.如图⑶，AD 是△ABC 的角平分线，则∠BAD ＝∠_______21∠ .. 五、我的疑惑E探究案探究点一已知等腰三角形的一边等于6，一边等于13，求它的周长。
新人教版八年级数学上册《与三角形有关的线段》导学案
1、联系学生的生活环境，创设 情景，使学生通过观察，操作、交流、归纳，获得必需的数学知识，让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题意义，激发学生的学习兴趣
【重点】
1、认识三角形的边，内角，顶点， 能用符号语 言表示三角形
2、了解三角形的定义及三角形的三边关系
【难点】
1、运用三角形三边的不等关系解决生活实际问题
1、三角形具有稳定性
2、三角形的两边之和大于第三边
3、三角形的两边之差小于第三边
教学流程
一创设情景，引入新课（5分钟）（识记）
1、交流在日常生活中所看到的三角形
2、观察 一组图片，看看它们有什么共同特 点？
给出三角形的定 义：由不在同一条直线上的三条线段收尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形的稳定性
二自主探究，合作交流（15分钟）（理解）
1、如何表示三角形？
2、三角形的边可以怎么表示？
3、三角形的分类（综合）
三巩固深化，拓展应用（20分钟）（应用）
B
A
1.小 强用三根木棒组成的图形，其中符合三角形概念是（）
C
A
B
C
E
D
2、读出图中的各个三 角形
3.任意画一个∆ABC，假设一只小虫从B出发，沿三角形的边爬到C,它有几条路线可以选择？各条路线的长一样吗？
【知识点】
1、三角形及有关概念
2、三角形的分类
3、三角形的三边关系
4、三角形的稳定性
【类型题】
1、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ列说法正确的是（）
A三角形按边分类可分为不等边三角形和直角三角形
B三角形按角分类可分为锐角三角形和钝角三角形
C 等腰三角形可分为等边三角形和底与腰不相等的等腰三角形
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案
初二数学《三角形的有关证明复习》课时教案【课题】《三角形的有关证明复习》【课型】复习【教学目标】1.了解三角形全等的识别方法和三角形全等的性质，能够证明与等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线相关的性质定理和判定定理.2.理解互逆命题、互逆定理，体会反证法的含义.3.能够利用尺规作图作等腰三角形、直角三角形、已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线.【教学方法】自主探究法【教具与教学准备】导学案、PPT、多媒体【学情分析】通过观察、操作、想象、推理、交流等活动能够解决本节课的内容。
【教学过程】一、激趣导入，交代目标：（一）激趣导入设计意图（以旧引新，从学生熟知的知识入手，起点低，让全体同学都参与，也为类比探索新知做好准备。
）知识回顾（15分钟）【课堂梳理】知识点一全等三角形1.判断三角形全等的方法：①（三个公理）______、______、_____、②（一个定理）_____.2.全等三角形的性质：①线段相等：对应边相等、对应边上的_______、对应中线、______相等.②角相等：相等.注：利用全等三角形证明线段或角相等知识点二等腰三角形3.等腰三角形性质：①定理： .(等边对等角）②推论： .（三线合一）4.等腰三角形的判断方法：①定义： .②定理： .(等角对等边）知识点三等边三角形5.等边三角形概念： .6.等边三角形的性质：①等边三角形的三条边______.（边）②等边三角形的三个内角都等于______.（角）7.等边三角形的判定：①______相等的三角形是等边三角形.②三个角相等的三角形是 .③有一个角等于____的等腰三角形是等边三角形.注：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质.知识点四直角三角形8.直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角 .②直角三角形两条直角边的平方和等于 .③在直角三角形中，如果有一个锐角等于____，那么它所对的直角边等于斜边的 .9.直角三角形的判定：①有两个角的三角形是直角三角形.②如果三角形两边的平方和等于，那么这个三角形为直角三角形.10.直角三角形全等的判定方法：（HL） . 注：（HL）只适用于直角三角形.知识点五线段垂直平分线11.段垂直平分线的定理： .12.线段垂直平分线的逆定理： .13.三角形垂直平分线定理： .知识点六角平分线14.角平分线的定理： .15.角平分线的逆定理： .16.三角形角平分线定理： .注：若一个点到三角形三边以及到三角形三个顶点的距离相等，这个点一定为三角形三边垂直平分线与三个内角角平分线的交点.（二）交代目标多媒体出示，让一名学生读出来，共同学习，从而明确本节课的学习目标设计意图：明确本节课的学习目标，使学生的学习有针对性。
11.1与3角形有关的线段 精品导学案 新人教版4
11.1 与三角形有关的线段一．学习目标1.了解三角形的性质；学会按边划分三角形。
2.应用已掌握的三角形知识解决生活中的实际问题。
3.培养学生热爱数学，热爱生活的情感。
二．学习重难点三角形的性质和分类及应用三．学习过程第一课时三角形的边（一）构建新知1.阅读教材2～4页（1）三角形由_____条线段_____相连组成的几何图形。
（2）长度分别是1.2,3,4,5,6的6根木条能组成_____个不同的三角形。
（3）一根6米长的铁丝围成的三角形，若每边均为整数值，可以围城的三角形有_____________________；若是9米的铁丝呢？（二）合作学习1.已知△ABC的周长为21cm，边AB=xcm，边BC比AB的2倍长3cm。
（1）用含x的代数式表示AC的长。
（2）求x的取值范围。
（3）x求何值时是等腰三角形。
（三）课堂检查1．若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 ____（只需填一个整数）。
2．设a，b，c为三角形的三边长度，则|a＋b－c|＋|a－b－c|=________。
BCA3．若等腰三角形的两条边长分别为23cm 和10cm ，那么第三边的长为 ____cm 。
4．用7根火柴棒首尾顺次连接摆成一个三角形，能摆成的三角形有（ ）。
A ．三边不等的三角形 B ．只两边相等的三角形 C ．三边相等的三角形 D ．不等边三角形和等腰三角形 5．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框， 不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6， 且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏 此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（ ）。
A ．5 B ．6 C ．7 D ．106．已知△ABC 的两边长（3－x ），第三边长为2x ，若△ABC 的边长均为整数，试判断此三角形的形状。
（四）学习评价 （五）课后练习 1．学习指要 1～2页2．教材8～9页 1题,2题,6题,7题第二课时三角形的高、中线与角平分线（一）构建新知 1.阅读教材4～5页（1）如图，在△ABC 中，作BC 边上的 高AD 和中线AE ；并作∠A 的角平分线AF 。
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第一章 三角形证明复习导学案
学习目标 ：1．进一步掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形、等边三角形、含 30的
直角三角形、线段垂直平分线和角平分线的相关定理；
2．进一步掌握证明线段数量关系的方法，并会应用勾股定理证明线段平方的数量关
系；
3．发展学生的演绎推导能力，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力。
典型习题：
1、如图所示，在ABC ∆中，
90=∠A ，D 为BC 的中点，点E 、F 分别是AB 、AC 上，且
90=∠EDF ,连接EF ，试说明222EF CF BE =+.
2、已知：如图，在ABC ∆中，21∠=∠，C ABC ∠=∠2. 求证：AC BD AB =+。
3、已知：AD 是ABC ∆的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且EF AE =。
求证：BF AC =。
4、（2011•济宁）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 边上的两动点，且总使
AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG⊥CD 于点G ，则
=AF
.
5、（2011•日照）如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E 为AD 延长线上的一点，且CE=CA ． （1）求证：DE 平分∠BDC；
（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．
6、如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，A B′与CD 交于点E 。
（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上任意一点，PG⊥AE 于G ，PH⊥EC
于
H ，试求
PG+PH 的值，并说明理由。