运筹学

如例1的(1)中，
v1 e1 v2
e3 e6
v5
e1与 v1 , v2 关联的次数均为1，
e2 与 v2 关联的次数为2， e2
边 e1 , e4 , e5 , e6 都是相邻的，
e4
e5 v3
v4
v5 为孤立点， v4 为悬挂点，
e4 , e5 为平行边，重数2， e6 为悬挂边，e2 为环，
G 为多重图。
图，称 E ' 的导出子图。
例 3、
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
上图中，(1)－(6)都是(1)的子图， 其中(2)－(6)为真子图，(1)－(5)为生成子图。
2、补图定义。 设 G V , E 为无向完全图， G1 V , E1 ，
G2 V , E2 为无向简单图，其中 E1
补图的概念， 5、图的同构的定义。
一、图的概念。
1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B 无向图 G V , E
E V & V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V , E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
一、图的概念。
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则从 vi 到自身存在长度小于等于 n 的回路。
推论：在一个 n 阶图中，若 vi 到自身存在一个
简单回路，则从vi 到自身存在长度小于等于 n
的初级回路。
6、性质。 由以上定理可知，在 n 阶图中， 任何一条初级通路的长度 n 1 任何一条初级回路的长度 n
二、图的连通性。 1、连通，可达。 无向图中，从 vi 到 v j 存在通路，称 vi 到 v j 是 连通的(双向)。 有向图中，从 vi 到 v j 存在通路，称 vi 可达 v j 。
——连接顶点 a , b 的线段。
有向边 a, b ——以 a 为始点，以 b 为终点的有向线段。
例1、(1) 无向图 G V , E ， V v1, v2 , v3 , v4 , v5
E (v1, v2 ),(v2 , v2 ),(v2 , v3 ),(v1, v3 ),(v1, v3 ),(v1, v4 )
(G) ， (G) 。

如例1的(2)中，
d (v2 ) d (v2 ) d (v2 )
1 3 4
d (v1 ) d (v1 ) d (v1 )
1 0 1
d (v5 ) d (v5 ) d (v5 ) 2 2 4
3、相关概念。
0 vi与ek 不关联 无向图关联的次数 1 vi与ek 关联1次 2 v 与e 关联2次(e 为环) i k k
(2)
1 vi为ek的始点 有向图关联的次数 0 vi与ek 不关联 1 v 为e 的终点 (无环) i k
3、相关概念。
(2)
点的相邻——两点间有边，称此两点相邻 相邻 边的相邻——两边有公共端点，称此两边相邻
(注意方向)
2、短程线，距离。
短程线——连通或可达的两点间长度最短的
通路。
距离——短程线的长度， 记
d (Vi ,V j )
d Vi , V j
无向图 有向图
2、短程线，距离。
若 vi , v j 之间无通路(或不可达)，规定
d (vi , v j ) d vi , v j
E ' E )。
生成子图—— G ' G 且 V ' V 。
三、子图，补图。 导出子图 ——非空 V ' V ，以 V ' 为顶点集， 以两端均在 V ' 中的边的全体为边集的 G 的 子图，称 V ' 的导出子图。 ——非空 E ' E ，以 E ' 为边集，以
E ' 中边关联的顶点的全体为顶点集的 G 的子
4、完全图
设 G V , E 为 n 阶无向简单图，若G 中每个
顶点都与其余 n 1 个顶点相邻，则称G为n 阶
无向完全图，记作 K n 。
若有向图 D 的任一对顶点 u, v(u v)，既有有向
边 u, v 又有有向边 v, u ，则称D 为有向完全图。
例如：
K4
K5
二、顶点的度数，握手定理。 1、顶点的度数 (简称度)。 无向图 G V , E ， vi 的度数记 d (vi ) ，指与 vi 相关联的边的条数。 有向图 G V , E ， vi 的度数
( D) 4 ， ( D) 1 。
设 V v1, v1,
, vn 为图 G 的顶点集，称 , d (vn ) 为G 的度数序列。
d (v1 ), d (v2 ),
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1, v1,
则
, vn ，E m ( m为边数)，
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
例1、(2)
图(2)中过 v 2 的回路 (从 v 2 到 v 2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2 2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
…………
长度3
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
例1、(2)
例2、(1) (3,3, 2,3) ， (5, 2,3,1, 4) 能成为图的度数 序列吗？为什么？ (2) 已知图 G 中有10条边，4个3度顶点，其余顶
点的度数均小于3，问 G 中至少有多少个顶点？ 为什么？
三、子图，补图。 1、子图定义： 设 G V , E ， G ' V ', E ' 是两个图，若 V ' V ，且 E ' E ，则称 G ' 是 G 的子图，G 是 G ' 的母图，记作 G ' G 。 真子图—— G ' G且 G ' G (即V ' V 或
一、通路，回路。
2、简单通路，简单回路。
简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
一、通路，回路。
3、初级通路，初级回路。
初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。 4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
1、定义。 无序积 A & B (a, b) a A b B
无向图G V , E 图 有向图D V , E
V 记为V (G ), E记为E (G ) V 记为V ( D), E记为E ( D)
2、图的表示法。
有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。
无向边 ( a, b)
一、通路，回路。 1、通路 (回路) —— G 中顶点和边的交替序列
v0e1v1e2
el vl ，其中 ei (vi 1 , vi )(无向图)，
或 ei vi 1 , vi (有向图)， v0 ——始点，
vl ——终点，称 为 v0 到 vl 的通路。当 v0 vl
时， 为回路。
第七章 图的基本概念
第一节 无向图及有向图
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：1、有向图，无向图的定义，
2、图中顶点，边，关联与相邻，顶点 度数等基本概念， 3、各顶点度数与边数的关系
d (v ) 2m 及推论，
i 1 i
n
内容：有向图，无向图的基本概念。
重点：4、简单图，完全图，子图，
E1
E2 ，
E2 E，则称 G1 ， G2 相对于 G 互为补图，
记 G1 G2 ， G2 G1 。
如例3中，
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
四、图的同构。
定义： 设两个无向图 G1 V1 , E1 ， G2 V2 , E2 ，
若存在双射函数 : V1 V2 ，使得对于任意的
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
长度3
长度6 长度6
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
(7)
v6 v5
f
(5)
b
(6)
d
例5、(1) 画出4个顶点，3条边的所有非同构 的无向简单图。 解：只有如下3个图：
(1.1)
(1.2)
(1.3)
例5、(2) 画出3个顶点，2条边的所有非同构 的有向简单图。 解：只有如下4个图：
第二节 通路，回路，图的连通性
内容：图的通路，回路，连通性。 重点：1、通路，回路，简单通路，回路， 初级通路，回路的定义， 2、图的连通性的概念， 3、短程线，距离的概念。
d (vi ) d (vi ) d (vi )
二、顶点的度数，握手定理。 1、顶点的度数 (简称度)。
最大度 (G ) max d (v) v V
最小度 (G ) min d (v) v V
对有向图相应地还有 ( D) ， ( D) ，
图形表示如右：
v1 e1
e6
v5
e2
v2
e3
e4
e5 v3