绵阳二诊数学理科答案

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2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U ={x|x >0},M ={x|1<e x <e 2},则∁U M =( ) A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z ⋅i =1+2i ,则z 的共轭复数为( ) A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23.已知两个力F 1→=(1, 2),F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→,F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18 B.14C.38D.125.已知α为任意角,则“cos2α=13”是“sinα=√33”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ,则该展开式中含x 3项的系数为( ) A.−80 B.−10 C.10 D.807.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表:若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为y=6.5x+9,则下列说法中错误的是()A.产品的销售额与广告费用成正相关B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元D.m的值是208.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F,过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A,B两点,若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为bc,则双曲线的离心率为()A.√2B.2C.√3D.39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为()A.1B.2C.3D.410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9=0,点M,N在圆C上,平面上一动点P 满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为()A.8B.8√2C.4D.4√211.己知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)=xcosx−sinx+13x3,则满足不等式f(log2m)+f(log12m)<2f (1)的实数m的取值范围为()A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12.函数f(x)=(2ax−1)2−log a(ax+2)在区间[0, 1a]上恰有一个零点,则实数a的取值范围是()A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞) D.[2, 3)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l 1:ax −(a +1)y −1=0与直线4x −6y +3=0平行,则实数a 的值是________.14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法.受其启发,我们设计如下实验来估计π的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y);再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ,最后再根据统计数m 来估计π的值,已知某同学一次试验统计出m =156,则其试验估计π为________.15.函数y =sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示,则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________.16.过点M(−1, 0)的直线,与抛物线C:y 2=4x 交于A ,B 两点(A 在M ,B 之间),F 是抛物线C 的焦点,点N 满足:NA →=5AF →,则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查:该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间t (小时)的频率分布直方图如图所示:(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名,请根据题目信息完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.2×2列联表附表:.其中:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)18.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a2=0,S6=24.各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2=a4+1,b3=S4.(1)求a n和b n;(2)求和:T n=1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1).19.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(sinA+sinB)(a−b)=c(sinC+sinB).(1)求A;(2)若D为BC边上一点,且AD⊥BC,BC=2√3AD,求sinB.20.已知椭圆C:x 22+y 2=1,直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→(O 为坐标原点),求弦AB 的长; 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0),M 为点A 关于x 轴的对称点,点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯,求n 的值.21.己知函数f(x)=2lnx +12x 2−ax ,其中a ∈R . (1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数f(x)有两个极值点x 1,x 2(其中x 2>x 1),若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32,求实数a 的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题申任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ (r >0,φ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1经过点P(2, π3),曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2=1. (1)求曲线C 1的普通方程,曲线C 2的极坐标方程;(2)若A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点,当α∈(0, π4)时,求1|OA|2+1|OB|2的取值范围.[选修4-5:不等式选讲](10分)23.已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a,其中a>0.(1)当a=4时,求不等式的解集;(2)若该不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U ={x|x >0},M ={x|1<e x <e 2},则∁U M =( ) A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)【解答】∵U ={x|x >0},M ={x|0<x <2}, ∴∁U M =[2, +∞).2.已知i 为虚数单位,复数z 满足z ⋅i =1+2i ,则z 的共轭复数为( ) A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −2【解答】∵z ⋅i =1+2i ,∴z =1+2i i=(1+2i)i i 2=2−i ,∴z 的共轭复数为:2+i ,3.已知两个力F 1→=(1, 2),F 2→=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力F 3→,F 3→=() A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, 1)【解答】根据题意可知−F 3=F 1+F 2=(1, 2)+(−2, 3)=(−1, 5),则F 3=(1, −5), 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18 B.14C.38D.12【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择,共有23=8种情况, 甲,乙,丙三人去同一景点有2种情况,故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14, 5.已知α为任意角,则“cos2α=13”是“sinα=√33”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【解答】若cos2α=13,则cos2α=1−sin 2α,sinα=±√33,则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件; 若sinα=√33,则cos2α=1−sin 2α,cos2α=13,则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件;综上所述:“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件. 6.若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ,则该展开式中含x 3项的系数为( ) A.−80 B.−10 C.10 D.80【解答】对于(ax −1x )5的展开式,令x =1,可得展开式中各项系数的和为(a −1)5=l ,∴a =2.∴(ax −1x )5=(2x −1x )5,故展开式中的通项公式为T r+1=C 5r⋅(−1)r ⋅25−r ⋅x 5−2r ,令5−2r =3,求得r =1,可得该展开式中含x 3项的系数−C 51⋅24=−80,7.己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表:若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y =6.5x +9,则下列说法中错误的是( ) A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元D.m 的值是20 【解答】由线性回归方程y =6.5x +9,可知产品的销售额与广告费用成正相关,故A 正确;x¯=0+1+2+3+45=2,y¯=10+15+m+30+355=90+m5,代入y=6.5x+9,得90+m5=6.5×2+9,解得m=20,故D正确;y¯=90+m5=90+205=22,则该回归直线过点(2, 22),故B正确;取x=10,得y=6.5×10+9=74,说明当广告费用为10万元时,销售额预计为74万元,故C错误.8.双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F,过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A,B两点,若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为bc,则双曲线的离心率为()A.√2B.2C.√3D.3【解答】双曲线x 2a −y2b=1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0),设OA的方程为bx−ay=0,OB的方程为bx+ay=0,过F平行于OA的直线FB的方程为y=ba(x−c),平行于OB的直线FA的方程为y=−ba(x−c),可得平行线OA和BF的距离为√22=b,由{bx−ay=0bx+ay−bc=0可得x=12c,y=bc2a,即A(12c, bc2a),则平行四边形OAFB的面积为S=b√14c2+b2c24a2=bc,化为b2=3a2,则e=ca =√1+b2a2=√1+3=2.9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为x,则X的期望为()A.1B.2C.3D.4【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为x,则X的可能取值为0,1,2,3,4,设其他两位同学为a,b,小明为c,列表得共有8种情况,小明得1分结果有6种情况,,∴小明每局每得分的概率P=34),∴X∼B(4, 34=3.∴E(X)=4×3410.已知圆C:x2+y2−6x−8y+9=0,点M,N在圆C上,平面上一动点P 满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为()A.8B.8√2C.4D.4√2【解答】根据题意,若平面上一动点P满足|PM|=|PN|,又由|CM|=|CN|,则PC为线段MN的垂直平分线,设MN的中点为G,|NG|=n,|CG|=m,又由|PM|=|PN|且PM⊥PN,则△PMN为等腰直角三角形,故|PG|=|NG|=n,圆C:x2+y2−6x−8y+9=0,即(x−3)2+(y−4)2=16,则m2+n2=16,则|PC|=(m+n)=√(m+n)2=√m2+n2+2mn=√16+2mn≤√16+(m2+n2)=4√2,当且仅当m =n 时等号成立, 故|PC|的最大值为4√2,11.己知f(x)为偶函数,且当x ≥0时,f(x)=xcosx −sinx +13x 3,则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为( )A.( 12, 2) B.(0, 2)C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)【解答】当x ≥0时,f′(x)=cosx −xsinx −cosx +x 2=x 2−xsinx =x(x −sinx)>0,即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数,∴f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1),即f(log 2m)<f(1), ∴−1<log 2m <1, ∴12<m <2. 故选:A .12.函数f(x)=(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点,则实数a 的取值范围是( ) A.( 13, 12) B.(1, 2]∪[3, +∞) C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3)【解答】依题意,函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0,即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0, ∴{1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0,解得2≤a ≤3,由此可排除A 、B 、C ,又当a =3时,f(x)=(6x −1)2−log 3(3x +2),显然f(13)=1−1=0,f(0)=1−log 32>0,f(19)=19−log 373=109−log 37<0,则在(0,19)上有一个零点,故此时函数f(x)有两个零点,不符题意, 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.直线l 1:ax −(a +1)y −1=0与直线4x −6y +3=0平行,则实数a 的值是________.【解答】∵直线l1:ax−(a+1)y−1=0与直线4x−6y+3=0平行,∴a4=−(a+1)−6,解得a=2,∴实数a的值为2.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法.受其启发,我们设计如下实验来估计π的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l的正实数对(x, y);再统计两数的平方和小于l的数对(x, y)的个数m,最后再根据统计数m来估计π的值,已知某同学一次试验统计出m=156,则其试验估计π为________.【解答】由题意,两数的平方和小于1,对应的区域的面积为14π⋅12,从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l的对应面积为:1;∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示,则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________.【解答】∵根据函数y=sin(ωx+φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象,可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6,求得ω=2.再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2,∴φ=π6,故f(x)=sin(2x+π6).在区间[−π, π]上,2x+π6∈[−11π6, 13π6],f(x)共有4个零点:a、b、c、d,且a<b<c<d,则2a+π6+2b+π6=2×(−π2),2c+π6+2d+π6=2×(3π2),故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3,过点M(−1, 0)的直线,与抛物线C:y 2=4x 交于A ,B 两点(A 在M ,B 之间),F 是抛物线C 的焦点,点N 满足:NA →=5AF →,则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________. 【解答】焦点F(1, 0),由对称性,显然直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为:x =my −1,A(x ′, y ′),B(x, y),由题意知y >y ′,联立直线与抛物线的方程整理得:y 2−4my +4=0,△=(−4m)2−16>0,m 2>1,m >1解得:y +y ′=4m ,y ′=2m −2√m 2−1,设N(x 0, y 0)满足:NA →=5AF →,(x ′−x 0, y ′−y 0)=5(−x ′, −y ′),∴y 0=6y ′, S △ABF =S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′),S △ANM =S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′),MF =2∴S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅(y +y 0−2y ′)=y +y ′+3y ′=10m −6√m 2−1(m >1),令f(m)=10m −6√m 2−1,f ′(m)=10−√m 2−1,令f ′(m)=0,m =54,m ∈(1,54),f ′(m)<0,f(m)单调递减,m >54,f ′(m)>0,f(m)单调递增,所以m =54时,f(m)最小,且为:10×54−6√(54)2−1=8,所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8,三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.每年的4月23日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查:该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示:(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名,请根据题目信息完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.2×2列联表附表:.其中:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】由题意得,直方图中第一组、第二组的频率之和为:(0.04+0.06)×5=0.5,所以阅读时间的中位数为m=10;由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,由频率分布直方图得,阅读时长大于或等于m的人数为100×0.5=50人;所以填写列联表如下;由表中数据,计算K2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a2=0,S6=24.各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2=a4+1,b3=S4.(1)求a n和b n;(2)求和:T n=1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1).【解答】设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由题意,得{2a1+d=06a1+6×52d=24,解得{a1=−1d=2.∴a n=2n−3,n∈N∗.∵等比数列{b n}的各项均为正数,由{b1+b1q=6b1q2=8,解得{b1=2q=2或{b1=18q=−23(舍去).∴b n=2n,n∈N∗.由(1),得1+b1+b2+...+b n−1=1+2+22+...+2n−1=2n−1.则T n=1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1).=1+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)=(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n−1)=(21+22+23+...+2n)−n=2(1−2n)−n=2n+1−n−2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知(sinA +sinB)(a −b)=c(sinC +sinB). (1)求A ;(2)若D 为BC 边上一点,且AD ⊥BC ,BC =2√3AD ,求sinB . 【解答】∵(sinA +sinB)(a −b)=c(sinC +sinB),∴由正弦定理可得:(a +b)(a −b)=c(c +b),即a 2=b 2+c 2+bc , ∴由余弦定理可得:cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12,∵0<A <π, ∴A =2π3.∵在△ABC 中,S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ,即√32bc =a ⋅AD ,由已知BC =2√3AD ,可得AD =2√3,∴3bc =a 2,∴在△ABC 中,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccos120∘, 即3bc =b 2+c 2+bc ,整理可得(b −c)2=0,即b =c , ∴B =C =π6, ∴sinB =sin π6=12. 已知椭圆C:x 22+y 2=1,直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(l)若点P(−1, 1)满足OA ¯+OB ¯+OP ¯=0→(O 为坐标原点),求弦AB 的长; 若直线l 的斜率不为0且过点(2, 0),M 为点A 关于x 轴的对称点,点N(n, 0)满足MN ¯=λNB ¯,求n 的值. 【解答】(1)设A(x, y),B(x ′, y ′),由OA →+OB →+OP →=0→,(O 为坐标原点),且P(−1, 1),得x +x ′=1,y +y ′=−1,所以线段AB 的中点坐标(12, −12),其在椭圆内部,由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得:x ′2−x 22+y ′2−y 2=0,所以k AB =y ′−y x −x=x+x ′y+y ′(−12)=12,所 以直线AB 的方程为:y −(−12)=12(x −12),即2x −4y −3=0; 联立直线AB 与椭圆的方程整理得:24y 2+24y +1=0, ∴y +y ′=−1,yy ′=124,∴|AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66; (2)由题意设直线AB 的方程为:x =ty +2,由题意得M(x, −y),联立直线AB 与椭圆的方程整理得:(2+t 2)y 2+4ty +2=0,∴y +y ′=−4t2+t 2,yy ′=22+t 2,由满足MN ¯=λNB ¯知,M ,N ,B 三点共线, 即k MN =k MB ,∴0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x,即yn−x =y ′+y x−x ′,解得:n =y(x ′−x)y ′+y+x ,将x =ty +2,x ′=ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y +2=4t−4t +2=1,所以n 的值为1.己知函数f(x)=2lnx +12x 2−ax ,其中a ∈R . (1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数f(x)有两个极值点x 1,x 2(其中x 2>x 1),若f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32,求实数a 的取值范围. 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x,x >0,令g(x)=x 2−ax +2,△=a 2−8,①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)在(0, +∞)上单调递增;②当{a >0△>0 ,即a >2√2时,由f′(x)>0得,0<x <a−√a 2−82或x >a+√a 2+82;由f′(x)<0得,a−√a 2−82<x <a+√a 2−82;∴函数f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减;综上所述,当a ≤2√2时,f(x)在(0, +∞)上单调递增;当a >2√2时,f(x)在(0,a−√a 2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减;由(1)知,当a >2√2时,f(x)有两极值点x 1,x 2(x 2>x 1),由(1)得x 1,x 2为g(x)=x 2−ax +2=0的两根,于是x 1+x 2=a ,x 1x 2=2,∴f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2,令t =x 2x 1(t >1),则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ,∵ℎ(t)=2t −1−1t 2=−(t−1)2t 2<0,∴ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减,由已知ℎ(t)=f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32,而ℎ(2)=2ln2−32, 所以t =2,设t 的取值集合T ,则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意, 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增,结合a >2√2,可得a 与t 是一一对应关系,而当t =2,即x2x 1=2时,联合x 1x 2=2,解得x 2=2,x 1=1,进而可得a =3,∴实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题申任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,曲线C 1的参数方程为{x =1+rcosφy =rsinφ (r >0,φ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 1经过点P(2, π3),曲线C 2的直角坐标方程为x 2−y 2=1. (1)求曲线C 1的普通方程,曲线C 2的极坐标方程;(2)若A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C 2上两点,当α∈(0, π4)时,求1|OA|2+1|OB|2的取值范围.【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为:(x −1)2+y 2=r 2, 由x =ρcosθ,y =ρsinθ,得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3),代入曲线C 1得r 2=3, ∴曲线C 1的普通方程为:(x −1)2+y 2=3, C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1, 即ρ2cos2θ=1,∴曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ=1,将点A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程,得p 12cos2α=1,ρ22cos(2α−π3)=1,∴1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3).当α∈(0, π4)时,2α+π3∈(π3,5π6),于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]. 所以1|OA|+1|OB|的取值范围是(√32,√3]. [选修4-5:不等式选讲](10分)已知关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a ,其中a >0.(1)当a =4时,求不等式的解集;(2)若该不等式对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 【解答】当a =4时,关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2,当x ≥12时,x +1−(2x −1)≤−2,解得x ≥4,综合可得x ≥4; 当x ≤−1时,−x −1+(2x −1)≤−2,解得x ≤0,综合可得x ≤−1; 当−1<x <12时,x +1+(2x −1)≤−2,解得x ≤−23,综合可得−1<x ≤−23,综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞);设函数f(x)=|x +1|−|2x −1|=|x +1|−|x −12|−|x −12|≤|x +1−(x −12)|−0=32,可得x =12时,f(x)取得最大值32, 若该不等式对x ∈R 恒成立,可得log 12a ≥32,解得0<a ≤√24.。

2020届绵阳二诊 理科数学试题(解析版)

2020届绵阳二诊 理科数学试题(解析版)

2020届绵阳二诊理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.设全集{}|0U x x =>,{}2|1xM x e e=<<,则UCM =( )A. ()1,2B. ()2,+∞C. (][)0,12,+∞D. [)2,+∞【答案】D 【详解】由题意2{|1}{|02}x M x e e x x =<<=<<,∴{|2}U C M x x =≥. 故选:D .2.已知i 为虚数单位,复数z 满足12z i i ⋅=+,则z =( ) A. 2i - B. 2i + C. 12i - D. 2i - 【答案】A 【详解】由题意122iz i i+==-. 故选:A .3.已知两个力()11,2F =,()22,3F =-作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F ,则3F =( ) A. ()1,5- B. ()1,5-C. ()5,1-D. ()5,1-【答案】A【详解】根据力的合成可知()()()12+1,22,31,5F F =+-=- 因为物体保持静止,即合力为0,则123+0F F F += 即()31,5F =- 故选:A4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18B.14C. 38D.12【答案】B【详解】两景点用1,2表示,三人选择景点的各种情形为:甲1乙1丙1 ,甲1乙1丙2 ,甲1乙2丙1 ,甲2乙1丙1 ,甲2乙2丙1 ,甲2乙1丙2 ,甲1乙2丙2 ,甲2乙2丙2 共8种,其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种,所以概率为2184P ==. 故选:B .5.已知α为任意角,则“1cos 23α=”是“sin α=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要【答案】B【详解】21cos 212sin 3a α=-=,则sin α=,因此“1cos 23α=”是“sin 3α=”的必要不充分条件. 故选:B .6.若51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1,则该展开式中含3x 项的系数为( )A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【详解】因为51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令1x =代入可得()511a -=,解得2a = 即二项式为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为()()41143355122180C x C x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭所以展开式中含3x 项的系数为80- 故选:A7.已知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表:若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为 6.59y x =+,则下列说法中错误的是( ) A. 产品的销售额与广告费用成正相关 B. 该回归直线过点()2,22C. 当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元D. m 的值是20 【答案】C【详解】因为回归直线方程中x 系数为6.5>0,因此,产品的销售额与广告费用成正相关,A 正确; 又0123425x ++++==,∴ 6.52922y =⨯+=,回归直线一定过点(2,22),B 正确;10x =时, 6.510974y =⨯+=,说明广告费用为10万元时,销售额估计为74万元,不是一定为74万元,C 错误; 由10153035225m y ++++==,得20m =,D 正确.故选:C.8.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ,过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ,B 两点,若四边形OAFB (O 为坐标原点)的面积为bc ,则双曲线的离心率为( ) B. 2D. 3【答案】B【详解】由题意(c,0)F ,渐近线方程by x a =±,不妨设AF 方程为()b y x c a=--, 由()b y x c a b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,得22c x bc y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即(,)22c bc A a ,同理(,)22c bc B a -, ∴21(2)222OAFBbc bc S c a a =⨯⨯⨯=,由题意22bc bc a=,∴2c a =.故选:B .9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为X ,则X 的期望为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示: (心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心) (心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背) 则小明得1分的概率为34,得0分的概率为14进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分 由独立重复试验的概率计算公式可得:()4041104256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭()13143112144256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()22243154244256P XC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()313431108344256P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()44438144256P XC ⎛⎫===⎪⎝⎭则得分情况的分布列如下表所示:则X 的期望()154108811+2+3+4=3256256256256E X =⨯⨯⨯⨯ 故选:C10.已知圆C :2268110x y x y +---=,点M ,N 在圆C 上,平面上一动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥,则PC 的最大值为( )A. 4B. 42C. 6D. 62【答案】D【详解】圆C :2268110x y x y +---= 化成标准方程可得()()223436x y -+-= 所以圆C 的半径为6r =因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则PMC PNC ∆≅∆,即45MPC NPC ∠=∠=在三角形PMC ∆中,由正弦定理可得sin sin 45MCPC PMC =∠ sin 22PC PMC =∠则62PC PMC =∠ 因为sin 1PMC ∠≤ 所以PC 的最大值为62故选:D11.已知()f x 为偶函数,且当0x ≥时,()31cos sin 3x x x f x x =-+,则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为( )A. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,2C. ()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】A【详解】∵()f x 是偶函数,∴12222(log )(log )(log )(log )f m f m f m f m =-==,则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为22(log )2(1)f m f <,即2(log )(1)f m f <,0x ≥时,31()cos sin 3f x x x x x =-+,2'()cos sin cos (sin )f x x x x x x x x x =--+=-,令()sin g x x x =-,则'()1cos 0g x x =-≥,∴()g x 是R 上的增函数,∴当0x >时,()(0)0g x g >=, ∴0x ≥时,'()0f x ≥,∴()f x 在[0,)+∞上是增函数, ∴由2(log )(1)f m f <得2log 1m <,即21log 1m -<<,122m <<. 故选:A .12.函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则实数a 的取值范围是( )A. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭B. [)3,+∞C. ()[)1,23,+∞D. [)2,3【答案】D【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则()l g 21o 0a f =-,lo 1g 31a f a ⎛⎫⎪=-⎝⎭由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足()()110log 2log 3a a --≤且1log 20a -=与1log 30a -=在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得23a ≤≤当3a =时,函数()()()2361log 32f x x x =--+,区间为10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦且满足()301log 20f =->,310046log f =-⎛⎫<⎪⎝⎭,311303log f =-⎛⎫= ⎪⎝⎭所以在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭内有一个零点, 13x =为一个零点.故由题意可知,不符合要求 综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l :()110ax a y -+-=与直线4630x y -+=平行,则实数a 的值是______. 【答案】2. 【详解】由题意(1)1463a a -+-=≠-,解得2a =. 故答案为:2.14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法,受其启发,我们设计如下实验来估计π的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ;再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ;最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =,则其试验估计π为______. 【答案】3.12【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯==故答案为: 3.1215.函数()sin0,2y xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示,则()f x在区间[],ππ-上的零点之和为______.【答案】23π.【详解】由题意411()3126Tπππ=⨯-=,∴22πωπ==,又sin(2)16πϕ⨯+=且2πϕ<,∴6π=ϕ,∴()sin(2)6f x xπ=+.由sin(2)06xπ+=得26x kππ+=,212kxππ=-,k Z∈,在[,]-ππ内有:7511,,,12121212ππππ--,它们的和为23π.16.过点()1,0M-的直线l与抛物线C:24y x=交于A,B两点(A在M,B之间),F是抛物线C的焦点,点N满足:5NA AF=,则ABF∆与AMN∆的面积之和的最小值是______.【答案】8【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为直线l 过点()1,0M - 设直线的方程为1x ty =-则241y x x ty ⎧=⎨=-⎩,化简可得2440y ty -+= 因为有两个不同交点,则216160t ∆=->,解得1t >或1t <- 不妨设1t >,则解方程可得22221,221A B y t t y t t =--=+-因为5NA AF =,则6NF AF = 所以2612121,N A y y t t ==-- 所以()122ABF MBF AMF B A B A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=- ()122AMN FMN AMF N A N A S S S y y y y ∆∆∆=-=⨯⨯-=-则ABF AMN B A N A S S y y y y ∆∆+=-+-222221121212221t t t t t t ⎛=+----- ⎝21061t t =-- ,(1t >)令()21061f t t t =--则()2'101f t t =-令()2'1001f t t =-=- 解得54t =当514t <<时, ()'0f t <,所以()f t 在51,4⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减 当54t >时, ()'0f t >,所以()f t 在5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增 即当54t =时()f t 取得最小值. 所以21061ABF AMN S S t t ∆∆+=--2551061844⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭故答案为:8三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间t (小时)的频率分布直方图如图所示:(1)求样本学生一个月阅读时间t 的中位数m .(2)已知样本中阅读时间低于m 的女生有30名,请根据题目信息完成下面的22⨯列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.22⨯列联表男 女 总计附表:.其中:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【详解】(1)由题意得,直方图中第一组,第二组的频率之和为0.0450.0650.5⨯+⨯=.所以阅读时间的中位数10m =.(2)由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,由频率分布直方图知,阅读时长大于等于m 的人数为1000.550⨯=人, 故列联表补充如下:2K 的观测值()2100253025201005050455599k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 1.01 2.706≈<,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足120a a +=,624S =.各项均为正数的等比数列{}n b 满足1241b b a +=+,34b S =.(1)求n a 和n b ;(2)求和:()()()1121211111n n T b b b b b b -=+++++++++++.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由题意,得1120656242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得112a d =-⎧⎨=⎩, ∴23n a n =-∵等比数列{}n b 的各项均为正数由112168b b q b q +=⎧⎨=⎩解得1122b q =⎧⎨=⎩或121823b q =⎧⎪⎨=-⎪⎩(舍)∴1222n n n b -=⨯=(2)由(1)得,211211122221n nn b b b --+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=-()()()1121211111n n T b b b b b b -=++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()()231212121n =+-+-++-()()()()12321212121n =-+-+-++-()12122212n n n n +-=-=---.19.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知()()()sin sin sin sin A B a b c C B +-=+. (1)求A ;(2)若D 为BC 边上一点,且AD BC ⊥,BC =,求sin B . 【详解】(1)在ABC ∆中,由正弦定理得()()()a b a b c c b +-=+,即222ab c bc =++.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-, 结合0A π<<,可知23A π=. (2)在ABC ∆中,11sin 22ABC S AB AC BAC BC AD ∆=⋅∠=⋅,即2bc a AD =⋅.由已知BC =,可得AD =.在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos120a b c bc =+-︒, 即223bc b c bc =++,整理得()20b c -=,即b c =, ∴6A B π==.∴1sin sin 62B π==.20.已知椭圆C :2212x y +=,直线l 交椭圆C 于A ,B 两点.(1)若点()1,1P -满足0OA OB OP ++=(O 为坐标原点),求弦AB 的长;(2)若直线l 的斜率不为0且过点()2,0,M 为点A 关于x 轴的对称点,点(),0N n 满足MN NB λ=,求n 的值.【详解】(1)设()11,A x y ,()22,B x y由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得121x x =+,121y y +=-.① ∴线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭,其在椭圆内 由222222111212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得2222212102x x y y -+-=,整理得2221222112y y x x -=--,即()()()()2121212112y y y y x x x x +-=-+-.将①代入,得212112AB y y k x x -==-.∴直线AB 方程为111222y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即2430x y --=. 联立22122430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去x 得2242410y y ++=,由韦达定理得121y y +=-,12124y y =. ∴AB ==. (2)设直线AB 的方程为2x ty =+,由题意得()11,M x y -,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =.∴()()1211210y y y n x x x ----=--,即121121y y y n x x x +=--, 解得()121121y x x n x y y -=++.将112x ty =+,222x ty =+,代入得121222ty y n y y =++.②联立222202x y x ty ⎧+-=⎨=+⎩消去x 得()222420t y ty +++=由韦达定理得12242t y y t -+=+,12222y y t =+.③ 将③代入②得到1n =21.已知函数()212ln 2x f x ax x =+-,其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若3a ≥,记函数()f x 的两个极值点为1x ,2x (其中21x x >),当()()21f x f x -的最大值为32ln 22-时,求实数a 的取值范围.【详解】(1)()()2'220x ax x a x x xf x -+=+-=>.令()22g x x ax =-+,则28a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤,即a ≤,得()'0f x ≥恒成立, ∴()f x 在()0,∞+上单调递增.②当0a >⎧⎨∆>⎩,即a >,由()'0f x >,得02a x <<或2a x +>由()'0f x <,x <<∴函数()f x在0,2a ⎛ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在22a a ⎛+⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增;当a >,()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和2a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,在⎝⎭上单调递减. (2)由(1)得,当a >,()f x 有两极值点1x ,2x (其中21x x >). 由(1)得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是12x x a +=,122x x =.∴()()()()222212121112ln2x f x f x x x a x x x -=+--- 222222122111122ln 2ln 2x x x x x x x x x x --=-=-2211122lnx x x x x x =-+. 令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵()()22222121211'0t t t t t t th t ---+-=--==<, ∴()h t 在()1,+∞上单调递减.由已知()()()21h f x t f x -=的最大值为32ln 22-, 而()132ln 22l 2222n 2h =-+=-. ∴2t =.设t 的取值集合为T ,则只要满足[)2,T ⊆+∞且T 中的最小元素为2的T 集合均符合题意.又()()221212122x x a t t T x x t+==++∈,易知()12x t t ϕ=++在[)2,+∞上单调递增,结合a >可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即212x x =时,联合122x x =, 解得22x =,11x =,进而可得3a =. ∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题记分. 22.在平面直角坐标系中,曲线1C 参数方程为1cos sin x r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩(0r >,ϕ为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 经过点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭,曲线2C 的直角坐标方程为221x y -=.(1)求曲线1C 的普通方程,曲线2C 的极坐标方程;(2)若()1,A ρα,2,6B πρα⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线2C 上两点,当0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,求2211OA OB +的取值范围.【详解】(1)将1C 的参数方程化为普通方程为()2221x y r -+=.由cos x ρθ=,sin y ρθ=, 得点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标为(,代入1C ,得23r =, ∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为2222cos sin 1ρθρθ-=,即()222cos sin 1ρθθ-=,∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. (2)将点()1,A ρα,2,6B πρα⎛⎫-⎪⎝⎭代入曲线2C 的极坐标方程, 得21cos 21ρα=,22cos 213πρα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴22222111cos 2cos 1123OAOBπααρρ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭3cos 22223πααα⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,可得52,336πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,232πα⎛⎛⎫+∈⎪ ⎝⎭⎝. 所以2211OAOB+的取值范围是⎝.23.已知关于x 的不等式12121log x x a +--≤,其中0a >.(1)当4a =时,求不等式的解集;(2)若该不等式对x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围. 【详解】(1)由4a =时,12log 2a =-.原不等式化为1212x x +--≤-,当12x ≥时,()1212x x +--≤-,解得4x ≥,综合得4x ≥; 当112x -<<时,1212x x ++-≤-,解得23x ≤-,综合得213x -<≤-;当1x ≤-时,()1212x x -++-≤-,解得0x ≤,综合得1x ≤-. ∴不等式的解集为2|43x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或. (2)设函数()2,111213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩, 画图可知,函数()f x 的最大值为32.由123log 2a ≤,解得20a <≤。

2021届四川省绵阳市普通高中高三上学期二诊考试数学(理)试卷及答案

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2021届四川省绵阳市普通高中高三上学期二诊考试数学(理)试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ={x ∈N|-1≤x ≤1},B ={x|log 2x<1},则A ∩B =A.[-1,1)B.(0,1)C.{-1,1}D.{1}2.已知直线l 1:ax +2y +1=0,直线l 2:2x +ay +1=0,若l 1⊥l 2,则a =A.0B.2C.±2D.43.已知平面向量a =(1,3),b =(2,λ),其中λ>0,若|a -b|=2,则a ·b =A.2B.23C.43D.84.二项式(2x -x)6的展开式中,常数项为 A.-60 B.-40 C.60 D.1205.已知函数f(x)=x 3+sinx +2,若f(m)=3,则f(-m)=A.2B.1C.0D.-16.已知曲线y =e x (e 为自然对数的底数)与x 轴、y 轴及直线x =a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a -1。

现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC 内随机投入400个点,其中恰有255个点落在图中阴影部分内,若OA =1,则由此次模拟实验可以估计出e 的值约为A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857.已知命题p :若数列{a n }和{b n }都是等差数列,则{ra n +sb n }(r,s ∈R)也是等差数列;命题q :∀x ∈(2k π,2k π+2)(k ∈Z),都有sinx<x 。

则下列命题是真命题的是A.¬p ∧qB.p ∧qC.p ∨qD.¬p ∨q8.对全班45名同学的数学成绩进行统计,得到平均数为80,方差为25,现发现数据收集时有两个错误,其中一个95分记录成了75分,另一个60分记录成了80分。

纠正数据后重新计算,得到平均数为x ,方差为s 2,则 A.x =80,s 2<25 B.x =80,s 2=25 C.x =80,s 2>25 D.x <80,s 2>259.已知双曲线E :22221x y a b -=(a>0,b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,P 为其渐近线上一点,若△PF 1F 2是顶角为23π的等腰三角形,则E 的离心率为10.若函数f(x)=x 3-(2a +3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值,则实数a 的取值范围是 A.(-0,-6) B.(-∞,6) C.(6,+∞) D.(-6,+∞)11.已知正实数x,y 满足ln x y >lg y x,则 A.lnx>ln(y +1) B.ln(x +1)<lgy C.3x <2y -1 D.2x -y >112.已知点O 为坐标原点,|OP|=,点B,点C 为圆x 2+y 2=12上的动点,且以BC 为直径的圆过点P,则△OBC 面积的最小值为二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。

2020届四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)(有答案)(精品)

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四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选型中,只有一个是符合题目要求的.1.若集合A={x|y=2x},集合,则A∩B=()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(﹣∞,+∞)2.为了得到函数y=3sin(2x+),x∈R的图象,只需把函数y=3sin(x+),x∈R的图象上所有的点的()A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变3.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.4.在复平面内,复数z=(|a|﹣1)+(a+1)i(a∈R,i为虚数单位)对应的点位于第四象限的充要条件是()A.a≥﹣1 B.a>﹣1 C.a≤﹣1 D.a<﹣15.已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ,则的值是()A.﹣3 B.﹣2 C.D.36.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为()A.B.C.D.7.已知点M是边长为2的正方形ABCD的内切圆内(含边界)一动点,则•的取值范围是()A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.[﹣1,3] D.[﹣1,4]8.已知正项等比数列{a n}满足a5+a4﹣a3﹣a2=8,则a6+a7的最小值为()A.4 B.16 C.24 D.329.已知f(x)=x2++c(b,c为常数)和g(x)=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数,对任意的x∈M,存在x0∈M使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0),且f(x0)=g(x0),则f(x)在集合M上的最大值为()A.B.5 C.6 D.810.已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若•+(+)•=﹣1﹣5p2,则p的值为()A.B.C.1 D.2二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图,则该组同学的成绩的中位数是______.12.在x(x﹣1)5展开式中含x3项的系数是______(用数字作答).13.从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有______个.(用数字作答)14.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动,P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2,则d1+d2的最小值是______.15.现定义一种运算“⊕”:对任意实数a,b,a⊕b=,设f(x)=(x2﹣2x)⊕(x+3),若函数g(x)=f(x)+k的图象与x轴恰有两个公共点,则实数k的取值范围是______.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄阶段性在[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人,求[50,60)年龄段抽取的人数;(Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者,记X为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X的分布列及数学期望.17.已知函数f(x)=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x.(1)若x是某三角形的一个内角,且f(x)=﹣,求角x的大小;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.18.已知二次函数f(x)=x2+4x+m(m∈R,m为常数)的图象与坐标轴有三个交点,记过这三个交点的圆为圆C.(I)求m的取值范围;(Ⅱ)试证明圆C过定点(与m的取值无关),并求出该定点的坐标.19.已知等差数列{a n}的前n项和S n满足:S5=30,S10=110,数列{b n}的前n项和T n满足:b1=1,b n﹣2T n=1.+1(1)求S n与b n;(2)比较S n b n与2T n a n的大小,并说明理由.20.在平面直角坐标系中,动点M到定点F(﹣1,0)的距离和它到直线l:x=﹣2的距离之比是常数,记动点M的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程;(2)过点F且不与x轴重合的直线m,与轨迹T交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,与轨迹T是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=lnx﹣mx(m∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当m≥时,设g(x)=2f(x)+x2的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰为h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点,求y=(x1﹣x2)h′()的最小值.四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每个小题给出的四个选型中,只有一个是符合题目要求的.1.若集合A={x|y=2x},集合,则A∩B=()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.[0,+∞)D.(﹣∞,+∞)【考点】函数的定义域及其求法;交集及其运算.【分析】求出集合A中函数的定义域确定出A,求出集合B中函数的定义域确定出B,求出A与B的交集即可.【解答】解:集合A中的函数y=2x,x∈R,即A=R,集合B中的函数y=,x≥0,即B=[0,+∞),则A∩B=[0,+∞).故选C2.为了得到函数y=3sin(2x+),x∈R的图象,只需把函数y=3sin(x+),x∈R的图象上所有的点的()A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点横坐标变为原来的一半【解答】解:由函数图象变换的规则函数的图象,可以由函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变得到故选B.3.双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,则该双曲线的离心率是()A.B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的方程,得出=,再利用离心率e==计算.【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线的方程为:y=±x,∵双曲线的一条渐近线方程是y=x,∴=,则离心率e=====.故选:B4.在复平面内,复数z=(|a|﹣1)+(a+1)i(a∈R,i为虚数单位)对应的点位于第四象限的充要条件是()A.a≥﹣1 B.a>﹣1 C.a≤﹣1 D.a<﹣1【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义.【分析】由复数z的实部大于0,且虚部小于0联立不等式组求得答案.【解答】解:由z=(|a|﹣1)+(a+1)i对应的点位于第四象限,得,即a<﹣1.∴复数z=(|a|﹣1)+(a+1)i对应的点位于第四象限的充要条件是a<﹣1.故选:D.5.已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ,则的值是()A.﹣3 B.﹣2 C.D.3【考点】同角三角函数基本关系的运用;直线的倾斜角.【分析】由直线的倾斜角和斜率的关系可得tanθ=﹣2,要求的式子可化为,代入计算可得.【解答】解:∵直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ,∴tanθ=﹣2,∴===.故选:C.6.在闭区间[﹣4,6]上随机取出﹣个数x,执行如右图所示的程序框图,则输出的x不小于39的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型;程序框图.【分析】根据程序框图求出x的取值范围,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:由程序框图知,第一次循环,n=1,满足条件n≤3,y=2x+1,n=2,第二次循环,n=2,满足条件n≤3,y=2(2x+1)+1=4x+3,n=3,第三次循环,n=3,满足条件n≤3,y=2(4x+3)+1=8x+7,n=4,此时不满足条件n≤3输出y=8x+7,由8x+7≥39得x≥4,即4≤x≤6,则对应的概率P==,故选:A7.已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点,则•的取值范围是( ) A .[﹣1,0] B .[﹣1,2] C .[﹣1,3] D .[﹣1,4] 【考点】平面向量数量积的运算.【分析】如图所示,由题意可得:点M 所在的圆的方程为:(x ﹣1)2+(y ﹣1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2).可设点M (x ,y )可得•=(x ﹣1)2+y 2﹣1,由∈[0,2],即可得出.【解答】解:如图所示,由题意可得:点M 所在的圆的方程为:(x ﹣1)2+(y ﹣1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2). 可设点M (x ,y ) A (0,0),B (2,0).∴•=(﹣x ,﹣y )•(2﹣x ,﹣y )=﹣x (2﹣x )+y 2=(x ﹣1)2+y 2﹣1, 由∈[0,2],∴•∈[﹣1,3], 故选:C .8.已知正项等比数列{a n }满足a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=8,则a 6+a 7的最小值为( ) A .4 B .16 C .24 D .32【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;等比数列的性质;数列与函数的综合.【分析】可判数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列,设数列{a n +a n +1}的公比为x ,a 2+a 3=a ,则x ∈(1,+∞),a 4+a 5=ax ,结合已知可得a=,代入可得y=a 6+a 7的表达式,x ∈(1,+∞),由导数求函数的最值即可.【解答】解:∵数列{a n }是各项均为正的等比数列, ∴数列{a n +a n +1}也是各项均为正的等比数列, 设数列{a n +a n +1}的公比为x ,a 2+a 3=a , 则x ∈(1,+∞),a 5+a 4=ax , ∴有a 5+a 4﹣a 3﹣a 2=ax ﹣a=8,即a=,∴y=a 6+a 7=ax 2=,x ∈(1,+∞),求导数可得y ′==,令y ′>0可得x >2, 故函数在(1,2)单调递减,(2,+∞)单调递增, ∴当x=2时,y=a 6+a 7取最小值:32. 故选:D .9.已知f(x)=x2++c(b,c为常数)和g(x)=x+是定义在M={x|1≤x≤4}上的函数,对任意的x∈M,存在x0∈M使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0),且f(x0)=g(x0),则f(x)在集合M上的最大值为()A.B.5 C.6 D.8【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】由基本不等式可得g(x)≥1(当且仅当x=,即x=2时,等号成立),从而可得c=﹣1﹣,求导f′(x)=x﹣=,从而可得b=8,c=﹣5,从而解得.【解答】解:∵g(x)=x+≥2=1,(当且仅当x=,即x=2时,等号成立),∴f(2)=2++c=g(2)=1,∴c=﹣1﹣,∴f(x)=x2+=x2+﹣1﹣,∴f′(x)=x﹣=,∵f(x)在x=2处有最小值,∴f′(2)=0,即b=8,故c=﹣5,故f(x)=x2+﹣5,f′(x)=,故f(x)在[1,2]上是减函数,在[2,4]上是增函数,而f(1)=+8﹣5=,f(4)=8+2﹣5=5,故f(x)的最大值为5,故选:B.10.已知抛物线x2=4py(p>0)的焦点F,直线y=x+2与该抛物线交于A,B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线,垂足为N,若•+(+)•=﹣1﹣5p2,则p的值为()A.B.C.1 D.2【考点】抛物线的简单性质.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0.利用韦达定理,结合向量的数量积公式,即可得出结论.【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),把y=x+2代入x2=4py得x2﹣4px﹣8p=0.由韦达定理得x1+x2=4p,x1x2=﹣8p,所以M(2p,2p+2),所以N点(2p,0).同理y1+y2=4p+4,y1y2=4∵•+(+)•=﹣1﹣5p2,∴(﹣x1,p﹣y1)•(﹣x2,p﹣y2)+(﹣x1﹣x2,2p﹣y1﹣y2)•(2p,﹣p)=﹣1﹣5p2,代入整理可得4p2+4p﹣3=0,∴p=.故选:B.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.某小组4个同学的数学成绩的茎叶图如图,则该组同学的成绩的中位数是127.【考点】众数、中位数、平均数.【分析】根据茎叶图中的数据,计算数据的中位数即可.【解答】解:根据茎叶图,得到4位同学的成绩为:114,126,128,132,所以中位数是=127.故答案为:127.12.在x(x﹣1)5展开式中含x3项的系数是﹣10(用数字作答).【考点】二项式定理的应用.【分析】把(x﹣1)5 按照二项式定理展开,可得x(x﹣1)5展开式中含x3项的系数.【解答】解:在x(x﹣1)5=x•[x5﹣5x4+10x3﹣10x2+5x﹣1]的开式中,含x3项的系数是﹣10,故答案为:﹣10.13.从数字0、1、2、3、4、5这6个数字中任选三个不同的数字组成的三位偶数有52个.(用数字作答)【考点】计数原理的应用.【分析】分两类,第一类,个位为0,第二类,个位是2或4,再利用分步计数原理求出每一类有多少个,然后相加.【解答】解:分两类,第一类,个位为0,有A52=20个;第二类,个位是2或4,有C21×C41×C41=32个,∴可组成没有重复数字的三位偶数有20+32=52个,故答案为:52.14.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动,P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2,则d1+d2的最小值是5﹣.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】设点P(cosu,sinu),求出P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d2,即可求出d1+d2的最小值.【解答】解:设点P(cosu,sinu),P到直线3x﹣4y﹣l0=0的距离为d1=|3cosu﹣4sinu﹣10|=(10﹣3cosu+4sinu),d2=3﹣cosu,∴d1+d2=(10﹣3cosu+4sinu)+3﹣cosu=5+(4sinu﹣8cosu)=5+sin(u﹣t),∴它的最小值=5﹣.故答案为:5﹣.15.现定义一种运算“⊕”:对任意实数a,b,a⊕b=,设f(x)=(x2﹣2x)⊕(x+3),若函数g(x)=f(x)+k的图象与x轴恰有两个公共点,则实数k的取值范围是(﹣3,﹣2)∪(﹣8,﹣7]∪{1} .【考点】函数的图象;函数解析式的求解及常用方法.【分析】由条件根据新定义求得f(x)的解析式,由题意可得f(x)的图象和直线y=﹣k有2个交点,数形结合求得k的范围.【解答】解:令(x2﹣2x)﹣(x+3)=1,求得x=﹣1,或x=4,故当x≤﹣1或x≥4时,(x2﹣2x)﹣(x+3)≥1,f(x)=x+3;当x∈(﹣1,4)时,(x2﹣2x)﹣(x+3)<1,f(x)=x2﹣2x.函数g(x)=f(x)+k的图象与x轴恰有两个公共点,则f(x)的图象和直线y=﹣k有2个交点,如图所示:故有﹣k=﹣1,或2<﹣k<3,或7≤﹣k<8,求得实数k的取值范围为:(﹣3,﹣2)∪(﹣8,﹣7]∪{1}.三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.某市在“国际禁毒日”期间,连续若干天发布了“珍爱生命,原理毒品”的电视公益广告,期望让更多的市民知道毒品的危害性,禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果,随机抽取了100名年龄阶段性在[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的市民进行问卷调查,由此得到样本频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数;(Ⅱ)从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取5人,求[50,60)年龄段抽取的人数;(Ⅲ)从(Ⅱ)中方式得到的5人中再抽取2人作为本次活动的获奖者,记X为年龄在[50,60)年龄段的人数,求X的分布列及数学期望.【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列.【分析】(I)由频率分布直方图求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率,由此能求出随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数.(II)由频率分布直方图得不小于40岁的人的频数是25人,由此能求出在[50,60)年龄段抽取的人数.(III)由已知X=0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列及数学期望.【解答】解:(I)由频率分布直方图知,随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的频率为:1﹣10×(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3,即随机抽取的市民中年龄段在[30,40)的人数为100×0.3=30人.…(II)由(I)知,年龄段在[40,50),[50,60)的人数分别为100×0.15=15人,100×0.1=10人,即不小于40岁的人的频数是25人,∴在[50,60)年龄段抽取的人数为10×=2人.…(III)由已知X=0,1,2,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,∴X的分布列为X 0 1 2P∴EX=0×+1×+2×=.…17.已知函数f(x)=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x.(1)若x是某三角形的一个内角,且f(x)=﹣,求角x的大小;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【分析】(1)利用二倍角公式和两角和公式化简函数解析式,由题意可得cos(2x+)=﹣,根据x∈(0,π),利用余弦函数的性质即可得解.(2)由x∈[0,],可得2x+∈[,],利用余弦函数的图象和性质可得f(x)的最小值为﹣,此时2x+=π,即x=.【解答】解:(1)∵f(x)=cos4x﹣2sinxcosx﹣sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x﹣sin2x)﹣sin2x=cos2x﹣sin2x=(cos2x﹣sin2x)=cos(2x+),∴f(x)=cos(2x+)=﹣,可得:cos(2x+)=﹣.∵由题意可得:x∈(0,π),可得:2x+∈(,),可得:2x+=或,∴x=或.(2)∵x∈[0,],2x+∈[,],∴cos(2x+)∈[﹣1,],∴f(x)=cos(2x+)∈[﹣,1].∴f(x)的最小值为﹣,此时2x+=π,即x=.18.已知二次函数f (x )=x 2+4x +m (m ∈R ,m 为常数)的图象与坐标轴有三个交点,记过这三个交点的圆为圆C .(I )求m 的取值范围;(Ⅱ)试证明圆C 过定点(与m 的取值无关),并求出该定点的坐标.【考点】二次函数的性质.【分析】(Ⅰ)由二次函数图象与两坐标轴有三个交点,得到抛物线不过原点,再令y=0,得到关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,即可得到m 的范围;(Ⅱ)设所求圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0,令y=0得到关于x 的方程,与已知方程为同一方程,确定出D 与F ,令x=0得到关于y 的方程,将y=m 代入表示出E ,将D 、E 、F 代入即可确定出圆C 的方程,进而可求圆C 经过定点.【解答】解:(I )令x=0,得抛物线与y 轴交点是(0,m );令f (x )=x 2+4x +m=0,由题意得:m ≠0且△>0,即m ≠0且16﹣4m >0解得:m <4且m ≠0;(Ⅱ)证明:设所求圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F=0,令y=0得:x 2+Dx +F=0这与x 2+4x +m=0=是同一个方程,故D=4,F=m ;令x=0得:y 2+Ey +F=0,此方程有一个根为m ,代入得出E=﹣m ﹣1,∴圆C 的方程为x 2+y 2+4x ﹣(m +1)y +m=0.∴x 2+y 2+4x ﹣y +(﹣y +1)m=0∴,∴或, ∴圆C 经过定点(0,1)和(﹣4,1).19.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足:S 5=30,S 10=110,数列{b n }的前n 项和T n 满足:b 1=1,b n +1﹣2T n =1. (1)求S n 与b n ;(2)比较S n b n 与2T n a n 的大小,并说明理由.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(1)由等差数列前n 项和公式列出方程组求出首项与公差,由此能求出S n 与b n ;由,能求出数列{b n }的通项公式.(2)推导出S n b n =(n 2+n )•3n ﹣1,2T n a n =2n •(3n ﹣1),由此利用作差法能比较S n b n 与2T n a n 的大小.【解答】解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,∵S 5=30,S 10=110,∴,解得∴a n =2+(n ﹣1)×2=2n ,S n ==n 2+n .…对数列{b n },由已知有b 2﹣2T 1=1,即b 2=2b 1+1=3,∴b 2=3b 1,(*)又由已知b n +1﹣2T n =1,可得b n ﹣2T n ﹣1=1(n ≥2,n ∈N*),两式相减得b n +1﹣b n ﹣2(T n ﹣T n ﹣1)=0,即b n +1﹣b n ﹣2b n =0(n ≥2,n ∈N*),整理得b n +1=3b n (n ≥2,n ∈N*),结合(*)得(常数),n ∈N*,∴数列{b n }是以b 1=1为首项1,3为公比的等比数列,∴b n=3n﹣1.…﹣1=3n﹣1,(2)2T n=b n+1∴S n b n=(n2+n)•3n﹣1,2T n a n=2n•(3n﹣1),于是S n b n﹣2T n a n=(n2+n)•3n﹣1﹣2n•(3n﹣1)=n[3n﹣1(n﹣5)+2],…当n≤4(n∈N*)时,S n b n﹣2T n a n<0,即S n b n<2T n a n;当n≥5(n∈N*)时,S n b n﹣2T n a n>0,即S n b n>2T n a n.∴当n≤4(n∈N*)时,S n b n<2T n a n;当n≥5(n∈N*)时,S n b n>2T n a n.…20.在平面直角坐标系中,动点M到定点F(﹣1,0)的距离和它到直线l:x=﹣2的距离之比是常数,记动点M的轨迹为T.(1)求轨迹T的方程;(2)过点F且不与x轴重合的直线m,与轨迹T交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P,与轨迹T是否存在点Q,使得四边形APBQ为菱形?若存在,请求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)设动点M(x,y),由点到直线的距离公式和两点间距离公式列出方程,能求出轨迹T的方程.(2)假设存在Q(x0,y0)满足条件.设依题意设直线m为x=ky﹣1,联立,消去x,得(k2+2)y2﹣2ky﹣1=0,由此利用韦达定理、椭圆性质、直线方程,结合已知条件能求出直线m的方程.【解答】解:(1)设动点M(x,y),∵动点M到定点F(﹣1,0)的距离和它到直线l:x=﹣2的距离之比是常数,∴由题意,得,化简整理得C的方程为.∴轨迹T的方程为=1.…(2)假设存在Q(x0,y0)满足条件.设依题意设直线m为x=ky﹣1,联立,消去x,得(k2+2)y2﹣2ky﹣1=0,令M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)﹣2=,…∴AB的中点N的坐标为(,).∵PQ⊥l,∴直线PQ的方程为y﹣=﹣k(x+),令y=0,解得x=,即P(,0).…∵P、Q关于N点对称,∴=(x0),=(y0+0),解得x0=,y0=,即Q(,).…∵点Q在椭圆上,∴()2+2()2=2,解得k2=,∴,∴=±,∴m的方程为y=x+或y=﹣x﹣.…21.已知函数f(x)=lnx﹣mx(m∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当m≥时,设g(x)=2f(x)+x2的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰为h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点,求y=(x1﹣x2)h′()的最小值.【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)求出函数f(x)的导数,讨论m的取值,利用导数判断函数f(x)的单调性与单调区间;(II)对函数g(x)求导数,利用极值的定义得出g'(x)=0时存在两正根x1,x2;再利用判别式以及根与系数的关系,结合零点的定义,构造函数,利用导数即可求出函数y的最小值.【解答】解:(I)∵函数f(x)=lnx﹣mx,∴,x>0;当m>0时,由1﹣mx>0解得x<,即当0<x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增;由1﹣mx<0解得x>,即当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当m=0时,f'(x)=>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;当m<0时,1﹣mx>0,故f'(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;∴当m>0时,f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);当m≤0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);…(II)g(x)=2f(x)+x2=2lnx﹣2mx+x2,则,∴g'(x)的两根x1,x2即为方程x2﹣mx+1=0的两根;又∵m≥,∴△=m2﹣4>0,x1+x2=m,x1x2=1;…又∵x1,x2为h(x)=lnx﹣cx2﹣bx的零点,∴lnx1﹣cx12﹣bx1=0,lnx2﹣cx22﹣bx2=0,两式相减得﹣c(x1﹣x2)(x1+x2)﹣b(x1﹣x2)=0,得b=,而,∴y==]==,…令(0<t<1),由(x1+x2)2=m2得x12+x22+2x1x2=m2,因为x1x2=1,两边同时除以x1x2,得t++2=m2,∵m≥,故t+≥,解得t≤或t≥2,∴0<t≤;…设G(t)=,∴G'(t)=,则y=G(t)在(0,]上是减函数,∴G(t)min=G()=﹣+ln2,即的最小值为﹣+ln2.…。

二诊数学理科答案

二诊数学理科答案

令t
=
x2 x1

t
1),则
f
(x2 ) −
f
(x1) = h(t)
= 2ln t
−t
+1 t


h(t) =
2 t

1

1 t2
=
−t 2
+ 2t t2
−1 =
−(t −1)2 t2
0,
∴ h(t) 在 (1,+ ) 上单调递减.…………………………………………………9 分
由已知
h(t)
=
f
(x2 ) −
②当
a 0, 0,

a
2
2 时,
由 f (x) 0 ,得 0 x a − a2 − 8 或 x a + a2 + 8 ;
2
2
由 f (x) 0 ,得 a − a2 − 8 x a + a2 − 8 .
2
2
∴ 函数 f (x) 在 (0,a − a2 − 8 ) 和 (a + a2 + 8 ,+ ) 上单调递增,
+
y2
= 1,
消去 x 得 24y2 + 24y +1 = 0 ,
2x − 4 y − 3 = 0,
由韦达定理得
y1
+
y2
=
−1,
y1 y2
=
1 24


AB =
1+
1 k2
( y1
+
y2 )2

4 y1 y2
=
56 6

…………………………………6 分

四川省绵阳市高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)

四川省绵阳市高三数学第二次诊断性考试试题 理(扫描版)

四川省绵阳市2015届高三数学第二次诊断性考试试题理(扫描版)绵阳市高2012级第二次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准①当1≥-ab,即a b -≥时,13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ,, 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ,,.②当1<-ab即a b -<时, 233403)1(12)()(0)0(3max ≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ,,,,,,此时233-=a . 将233-=a ,23=b 代入检验正确. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.27 12.-160 13. 23-14.65 15.①③ 15.提示:③ 法一:21)(x x f -=和)2()(>+-=b b x x g 是(-1,1)上的“接近函数”,结合图形,)11(,-∈∃x 使max 22)11(11++-≤⇔≤--+-x x b x b x ,令)11(11)(2<<-++-=x x x x h ,,22011)(2±=⇒=--='x x x x h , 即)2222(,-∈x 时,0)(>'x h ;)122(,∈x 时,0)(<'x h . 所以12)22()(max +==h x h . 法二:数形结合求出直线和半圆相切时切点)2222(,P ,当直线和圆在)2222(,P 的“竖直距离”为1 时,12+=b .④若ex xxx f 2ln )(+=与22)(e a x x g ++=是)1[∞+,上的“远离函数”, 即)1[∞+∈∀,x ,x x ex e a x e a x ex x x ln 22ln 2222--++=---+1ln )(2>-+-=xxa e x .令a e x x P +-=21)()(,则)(1x P 在)(e ,-∞递减,在)(∞+,e 递增, ∴ a e P x P ==)()(1min 1; 令xx x P ln )(2=,22ln 1)(x xx P -=',易得)(2x P 在)(e ,-∞递增,在)(∞+,e 递减,∴e e P x P 1)()(2max 2==,∴ ea e a 1111+>⇒>-. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.解:(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ,则A 为所选取的人中没有1人为“满意观众”,∴ P (A )=1-P (A )=1-21224C C =1-111=1110, 即至少有1人为“满意观众”的概率为1110. ………………………………4分 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为32128=,即从观看此影片的“满意观众”的概率为32,同理,不是“满意观众”的概率为31.…6分由题意有ξ=0,1,2,3,则P (ξ=0)=303)31(C =271,P (ξ=1)=213)31(32⨯⨯C =92,P (ξ=2)=31)32(223⨯⨯C =94,P (ξ=3)=333)32(C =278, ∴ ξ的分布列为10分∴ ξ的数学期望E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2.………………………12分 17.解:(Ⅰ) 如图,连结AC 、BD 交于O ,连结OE .由ABCD 是正方形,易得O 为AC 的中点,从而OE 为△PAC 的中位线,∴ EO //PA .∵ EO ⊂面EBD ,PA ⊄面EBD ,∴ PA //面EBD .………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥AD ,PD ⊥CD .如图,以DA ,DC ,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系.设AD =2,则D (0,0,0),A (2,0,0),P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0),PB =(2,2,-2),=(2,0,0).…………………………………6分 设F (x 0,y 0,z 0),PB PF λ=,则由=(x 0,y 0,z 0-2)得(x 0,y 0,z 0-2)=λ(2,2,-2) ,即得⎪⎩⎪⎨⎧-===,,,λλλ2222000z y x于是F (2λ,2λ,2-2λ). ∴ =(2λ,2λ-1,1-2λ). 又EF ⊥PB ,∴ 0)2()21(2)12(22=-⨯-+⨯-+⨯λλλ,解得31=λ. ∴ )343232(,,F ,)343232(,,=DF . ………………………………………8分设平面DAF 的法向量是n 1=(x ,y ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,,0011n n 即⎩⎨⎧=++=,,0202z y x x 令z =1,得n 1=(0,-2,1).又平面PAD 的一个法向量为n 2=(0,1,0), ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ, 则cos θ=2121n n n n ⋅55252==,即二面角P -AD -F 的余弦值为552. ………………………………………12分 18.解:(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bcbc a c b A ,则415cos 1sin 2=-=A A . …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B ),于是由已知sin B +sin C =210得210)(sin sin =++B A B ,即210sin cos cos sin sin =++B A B A B , 将415sin =A ,41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B .①………7分 根据1cos sin 22=+B B ,可得B B 2sin 1cos -±=. 代入①中,整理得8sin 2B -410sin B +5=0, 解得410sin =B . ……………………………………………………………10分 ∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b . ………………12分19.解:(Ⅰ) ∵二次函数x a x a x f n n n ⋅-+⋅=+-)2(21)(12的对称轴为x =21, ∴ a n ≠0,2121221=⨯--+-n n n a a ,整理得n n n a a 21211+=+,………………………2分左右两边同时乘以12+n ,得22211+=++n n n n a a ,即22211=-++n n n n a a (常数), ∴ }2{n n a 是以2为首项,2为公差的等差数列, ∴ n n a n n 2)1(222=-+=, ∴ 1222-==n n n nn a . ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n nn S , ① n n n nn S 221232221211321+-+++=- , ②①-②得:n n n n S 2212121211211321-++++=- n n n 2211211---=, 整理得 1224-+-=n n n S .…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-=-n n n n n n S S =n n 21+>0, ∴ 数列{S n }是单调递增数列.………………………………………………10分∴ 要使S n <3成立,即使1224-+-n n <3,整理得n +2>12-n , ∴ n =1,2,3.………………………………………………………………12分20.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为12222=+by a x ,焦点坐标为(c ,0),由题知:⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,53322b a a c 结合a 2=b 2+c 2,解得:a 2=3,b 2=2, ∴ 椭圆E 的标准方程为12322=+y x . ………………………………………4分(Ⅱ) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),H (x 0,y 0), 由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4,联立方程⎩⎨⎧++==+,,)43(63222k kx y y x消去y ,得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ,于是x 1+x 2=232)43(6k k k ++-,x 1x 2=2232427227k k k +++.① ………………………7分又P ,M ,H ,N 四点共线,将四点都投影到x 轴上,2102133x x x x x x --=++, 整理得:)(6)(322121210x x x x x x x ++++=. …………………………………………10分将①代入可得=++-+++-⨯++++⨯=2222032)43(6632)43(63324272272k k k k k k k k k x k k 2176-+, …… 12分 ∴ kk k k k k k kx y 2142)43(2176)43(00-+=++-+=++=, 消去参数k 得01200=+-y x ,即H 点恒在直线012=+-y x 上. ………13分21.解:(Ⅰ) ∵ 11)(+-='xax x f ,x ∈(0,+∞), ………………………1分 ∴ a =2时,xx x x x x x f )1)(12(12)(2+-=-+='=0, ∴ 解得x =21,x =-1(舍). 即)(x f 的极值点为x 0=21. ……………………………………………………3分 (Ⅱ) xx ax x ax x f 111)(2-+=+-='.(1)0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数;0≠a 时, 对二次方程ax 2+x -1=0,Δ=1+4a ,(2)若1+4a ≤0,即41-≤a 时,ax 2+x -1<0,而x >0,故)(x f '<0,∴ )(x f 在(0,+∞)上是减函数. (3)若1+4a >0,即a >41-时,ax 2+x -1=0的根为aa x 241121+±-=,, ①若<-41a <0,则a a 2411+-->a a2411++->0, ∴ 当x ∈(a a 2411++-,a a 2411+--)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0,得)(x f 是增函数;当x ∈)2411,0(aa ++-, (a a 2411+--,+∞)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0,得)(x f 是减函数. ②若a >0,a a 2411+--<0<aa2411++-,∴ 当x ∈(0,aa 2411++-)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0, 得)(x f 是减函数;当x ∈(aa 2411++-,+∞)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0得)(x f 是增函数.∴ 综上所述,0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数 当41-≤a 时,)(x f 在(0,+∞)上是减函数; 当41-<a <0时,)(x f 在(aa 2411++-,a a2411+--)上是增函数,在)2411,0(aa ++-, (a a2411+--,+∞)上是减函数; 当a >0时,)(x f 在(a a 2411++-,+∞)上是增函数,在(0,aa2411++-)上是减函数.…………………………………………………………………………7分 (Ⅲ)令)1(21)()()(+-++='-=a xa ae x f x g x h x ,x >0, 于是222)1(1)(xa x ae x a ae x h x x+-⋅=+-='. 令)1()(2+-⋅=a x ae x p x ,则)2()(+⋅='x x ae x p x >0, 即p (x )在(0,+∞)上是增函数.∵ p (x )=-(a +1)<0,而当x →+∞时,p (x )→+∞, ∴ ∃x 0∈(0,+∞),使得p (x 0)=0.∴ 当x ∈(0,x 0)时,p (x )<0,即)(x h '<0,此时,h (x )单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,p (x )>0,即)(x h '>0,此时,h (x )单调递增, ∴ )()(0min x h x h ==)1(210+-++a x a ae x .① 由p (x 0)=0可得0)1(200=+-⋅a x ae x ,整理得210x a ae x +=,②…………10分代入①中,得)(0x h =)1(21102+-+++a x a x a , 由∀x ∈(0,+∞),恒有)(x g ≥)(x f ',转化为)1(21102+-+++a x a x a ≥0,③ 因为a >0,③式可化为21102-+x x ≥0,整理得12020--x x ≤0, 解得21-≤x 0≤1. 再由x 0>0,于是0<x 0≤1.…………………………………………………12分由②可得aa x e x 1200+=⋅. 令)(0x ϕ=200x e x ⋅ ,则根据p (x )的单调性易得)(0x ϕ在1]0(,是增函数, ∴ )0(ϕ<)(0x ϕ≤)1(ϕ,即0<aa 1+≤e , 解得a ≥11-e ,即a 的最小值为11-e .……………………………………14分。

四川绵阳市2022-2023学年高三二诊模拟考试理科数学试题

四川绵阳市2022-2023学年高三二诊模拟考试理科数学试题
可得 在区间 上单调递增;在区间 上单调递减,
则有 ,
根据零点存在性定理可知, 在区间 上存在一个零点,即存在一条公切线
故曲线 和 的公切线有且仅有2条,故②错误;
对于③,如图所示,可得 ,根据抛物线的焦半径公式可得 ,
故有: ,
设点 的坐标为 :,则有: ,
令 ,可得 ,
再次求导可得: ,故 在 上单调递增,
8.D
【分析】根据分布列所有概率之和为1,且 可得 的值,再根据和事件概率的加法公式即可得出结果.
【详解】由题意知, ;
由 ,即 ,
得 ;
由 ,即
整理得
联立①②③解得 ;
又因为
所以 .
故选:D.
9.B
【分析】分类讨论 与 两种情况,结合指数函数的单调性与二次函数的性质,即可求得 的取值范围.
【详解】因为 有最小值,
A. B.
C. ( )D.
4.已知双曲线 的实轴长为4,虚轴长为6,则双曲线的渐近线方程为()
A. B.
C. D.
5.人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度 (单位: )满足d(x)=9lg .一般两人小声交谈时,声音的等级约为54 dB,在有50人的课堂上讲课时,老师声音的等级约为63 dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()
A.3.15B.3.14C.3.13D.3.12
11.已知点P在以 , 为左、右焦点的椭圆 上,椭圆内存在一点Q在 的延长线上,且满足 ,若 ,则该椭圆离心率取值范围是()
A. B. C. D.
12.对于函数 ,给出下列四个命题:
(1)该函数的值域是 ;
(2)当且仅当 时,该函数取最大值 ;

2022年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)1.已知集合,,则的元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 42.二项式的展开式中,的系数为( )A. B. C. 10 D. 153.如图,茎叶图记录了甲、乙两个家庭连续9个月的月用电量单位:度,根据茎叶图,下列说法正确的是( )A. 甲家庭用电量的中位数为33B. 乙家庭用电量的极差为46C. 甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差D. 甲家庭用电量的平均值高于乙家庭用电量的平均值4.已知角的终边过点,则( )A. B. 0 C. D.5.已知双曲线的焦距为4,两条渐近线互相垂直,则E的方程为( )A. B. C. D.6.已知平面向量,不共线,,,,则( )A. A,B,D三点共线B. A,B,C三点共线C. B,C,D三点共线D. A,C,D三点共线7.函数是定义域为R的偶函数,当时,,若,则( )A. eB.C.D.8.已知直线与圆C:相交于A,B两点,若,则( )A. B. 5 C. 3 D. 49.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举办.为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况,随机抽取了该市100人进行调查统计,得到如下列联表:关注冰雪运动不关注冰雪运动合计男451055女252045合计7030100下列说法正确的是( )参考公式:,其中附表:A. 有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”B. 有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“关注冰雪运动与性别无关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下,认为“关注冰雪运动与性别有关”10.已知m,n为整数,且m,,设平面向量与的夹角为,则的概率为( )A. B. C. D.11.已知函数,若不等式有且仅有2个整数解,则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知,分别为椭圆的左,右焦点,E上存在两点A,B使得梯形的高为其中c为半焦距,且,则E的离心率为( )A. B. C. D.13.设i是虚数单位,若复数z满足,则复数z的虚部为______.14.现从4名男志愿者和3名女志愿者中,选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作,若被选派的人中至少有一名男志愿者,则不同的选派方法共有______种.用数字作答15.已知A,B为抛物线C:上的两点,,若,则直线AB的方程为__________.16.已知函数,下列关于函数的说法正确的序号有__________.函数在上单调递增;是函数的周期;函数的值域为;函数在内有4个零点.17.已知数列为公差大于0的等差数列,,且,,成等比数列.求数列的通项公式;设,数列的前n项和为,若,求m的值.18.某通讯商场推出一款新手机,分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计,绘制如下表格:配置甲乙丙丁频数25401520每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元,根据以上100名消费者的购机情况,求该商场销售一部该款手机的平均利润;该商场某天共销售了4部该款手机,每销售一部该款手机的型号相互独立,其中甲配置型号手机售出的数量为X,将样本频率视为概率,求X的概率分布列及期望.19.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中,且求角B的大小;求周长的取值范围.20.已知函数当时,求函数的极值;若曲线在上任意一点处切线的倾斜角均为钝角,求实数a的取值范围.21.已知椭圆E:的右焦点为F,点A,B分别为右顶点和上顶点,点O为坐标原点,,的面积为,其中e为E的离心率.求椭圆E的方程;过点O异于坐标轴的直线与E交于M,N两点,射线AM,AN分别与圆C:交于P,Q两点,记直线MN和直线PQ的斜率分别为,,问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;若点A的坐标为,直线l与曲线C交于P,Q两点,求的值.23.已知函数当时,求函数的定义域;设函数的定义域为M,当时,,求实数m的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解:集合,,,的元素个数为故选:由交集定义求出,由此能求出的元素个数.本题考查交集的求法,考查交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】A【解析】解:展开式的通项公式为,令,解得,则的系数为,故选:求出展开式的通项公式,然后令x的指数为3,由此即可求解.本题考查了二项式定理的应用,考查了学生的运算能力,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:A,由茎叶图可知甲家庭用电量的中位数为32,故A错误;B,由茎叶图可知乙家庭用电量的极差为,故B错误;C,,,故,,故甲家庭用电量的方差小于乙家庭用电量的方差,C正确;D,由C选项可知甲家庭用电量的平均值低于乙家庭用电量的平均值,故D错误.故选:根据已知条件,结合中位数,平均数,极差,方差的定义,即可求解.本题主要考查中位数,平均数,极差,方差的定义,属于基础题.4.【答案】B【解析】解:由题意得,,所以故选:由已知结合三角函数定义先求出,,然后结合两角和的余弦公式即可求解.本题主要考查了三角函数的定义及两角和的余弦公式,属于基础题.5.【答案】B【解析】解:双曲线则双曲线的渐近线方程为两条渐近线互相垂直,,,焦距为4,,,,,则E的方程为:故选:设出双曲线的标准方程,则可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出其斜率之积为进而求得a和b的关系,再利用焦距为4,即可求出双曲线的实轴长,求解方程即可.本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了学生转化和化归思想,考查计算能力,属于中档题.6.【答案】D【解析】解:因为,,,所以,所以与共线,即A、C、D三点共线.故选:根据平面向量的共线定理与线性运算法则,进行判断即可.本题考查了平面向量的线性运算与共线定理应用问题,是基础题.7.【答案】C【解析】解:函数是定义域为R的偶函数,当时,,若,则,解得,所以,故选:由偶函数的定义可得,解得a的值,代入计算可得所求值.本题考查函数的奇偶性的定义和运用,考查运算能力、推理能力,属于基础题.8.【答案】B【解析】解:圆C:的圆心为,半径为,圆心C到直线的距离,,,,故选:求出圆心到直线的距离,由圆心到直线的距离,半径和半个弦长构成直角三角形,可得m的值.本题考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,属基础题.9.【答案】A【解析】解:根据列联表中的数据,计算,所以在犯错误的概率不超过的前提下,认为“关注冰雪运动与性别有关,即有以上的把握认为“关注冰雪运动与性别有关”.故选:由列联表中的数据计算,对照附表得出结论.本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.10.【答案】D【解析】解:平面向量与的夹角为,又,即,,,n为整数,且m,,平面向量与的夹角为,共有种情况,,,或2,①当时,,即,故或3或4或5,满足题意,②当时,,即,故或5,满足题意,故,,,,,共6种情况符合题意,故的概率故选:根据已知条件,结合向量的数量积公式可得,,再分或2两种情况讨论,即可求解.本题主要考查几何概型,考查分类讨论的思想,属于中档题.11.【答案】A【解析】解:由题有且仅有2个整数解即有两个整数解,也即²有两个整数解,令,²,当时,,则,此时有无数个整数解,不成立;当时,如图所示,²有无数个整数解,也不成立;当时,要符合题意,如图,则,解得,故选:转化有且仅有2个整数解为²有两个整数解,数形结合列出不等关系即可求得答案.本题考查函数零点与方程根的关系,数形结合思想的应用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.【答案】D【解析】解:,,则,为梯形的两条底边,作垂足为P,则,梯形的高为,,在中,,则,,设,则,在中,由余弦定理得:,,解得,同理,,,,即,故选:根据,可得,则,为梯形的两条底边,作垂足为P,则,从而可求得,再结合,建立a,b,c的关系可得出结论.本题考查椭圆的离心率的求法,考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.13.【答案】【解析】解:,,即,复数z的虚部为故答案为:根据已知条件,结合复数虚部的概念,以及复数代数形式的乘除法运算,即可求解.本题考查了复数虚部的概念,以及复数代数形式的乘除法运算,需要学生熟练掌握公式,属于基础题.14.【答案】18【解析】解:从4名男志愿者和3名女志愿者中,选派2人,选法共有种,都是女志愿者的选法有种,被选派的人中至少有一名男志愿者,则不同的选派方法共有:种,故答案为:求出总数以及不符合的个数,进而求解结论.本题考查排列组合的应用,本题运用排除法,可以避免讨论,简化计算.15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的应用.涉及了抛物线的性质,向量的计算,属于中档题.设,,根据韦达定理表示出,求解直线的斜率,然后求解直线方程.【解答】解:A,B为抛物线C:上的两点,,,所以M是AB的中点,设,,:与联立,消去y得,,解得,所以直线的方程故答案为:16.【答案】【解析】【分析】本题考查了分段函数的性质和零点问题,属于较难题.根据三角函数的性质分别对四个选项进行判断即可.【解答】解:因为函数,定义域为R,,所以为偶函数,当时,,,因为,所以,此时正弦函数为增函数,故正确;因为,所以,而,所以不是函数的周期,故错误;当时①当或时,,此时,②当时,,此时,故时,是函数的一个周期,故考虑时,函数的值域,当时,,,此时单调递增,;当时,,,此时先减后增,;当时,,,此时,综上可知,,又为偶函数,故正确;由知,时,,且函数单调递增,故存在一个零点,当时,,且函数单调递减,故存在一个零点,其他区域无零点,故当时,函数有2个零点,因为函数为偶函数,所以函数在内有4个零点.故正确;故答案为:17.【答案】解:数列为公差d大于0的等差数列,,且,,成等比数列,所以,解得,整理得;由得:;所以:;由于,解得【解析】直接利用等差数列的性质建立方程组,进一步求出数列的通项公式;利用的结论,进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和.本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法,数列的求和,裂项相消法在求和中的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.18.【答案】解:由表中数据可得,该商场销售一部该款手机的平均利润该商场卖出一部手机,该手机为A配置的概率为,则,X所有可能取值为0,1,2,3,4,,故X的分布列为:X 0 1 23 4k故【解析】根据已知条件,结合加权平均数公式,即可求解.由题意可知,X可能取值为0,1,2,3,4,分别求出对应的概率,即可得X的分布列,并结合期望公式,即可求解.本题主要考查了离散型随机变量及其分布列,需要学生熟练掌握期望公式,属于基础题.19.【答案】解:因为,所以,所以,所以,由B为三角形内角,得;由余弦定理得,,所以,当且仅当时取等号,所以,所以所以,周长的取值范围为【解析】由已知结合和差角公式及正弦定理进行化简可求,进而可求B;由余弦定理及基本不等式可求的范围,进而可求三角形周长的取值范围.本题主要考查了正弦定理,余弦定理,和差角公式及基本不等式在求三角形中的应用,属于中档题.20.【答案】解:当时,,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,故当时,函数取得极小值,没有极大值;由题意得,在上恒成立,当时,a为任意实数,当时,得恒成立,令,,则恒成立,所以在上单调递增,,所以,即,当时,得恒成立,令,,则恒成立,所以在上单调递增,,所以,即,综上,a的取值范围为【解析】把代入,然后对函数求导,然后结合导数与极值关系即可求解.由题意得,在上恒成立,然后结合x的范围进行分离,转化为求解最值,结合导数可求.本题主要考查了导数几何意义的应用及导数与单调性关系的应用,体现了转化思想的应用,属于中档题.21.【答案】解:,,,,,联立可得,,椭圆E的方程为设点,,,则点,,由题意得,,N在椭圆E上,,则,,,设直线AM的方程为,则直线AN的方程为,联立,消x得,由A、M在椭圆E上,,,,联立,消x得,由点A,P在圆C上,,,同理,,,,为定值【解析】根据,的面积为,求得a,b,即可求出答案.设点,,,则点,根据M,N在椭圆E上,可得,设直线AM的方程为,则直线AN的方程为,分别联立,,求得M,P,Q三点的坐标,从而可得出结论.本题考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系,涉及到椭圆的几何性质、定值问题等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.22.【答案】解:曲线C的参数方程为为参数,转换为直角坐标方程为;直线l的方程是,根据,转换为直角坐标方程为;把直线的方程转换为参数式为为参数,把参数的方程代入;得到;故;;故【解析】直接利用转换关系,在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.23.【答案】解:根据题意,若,则,必有,即,则有或或,解可得或,即函数的定义域为;根据题意,当时,,则当时,有恒成立,此时,变形可得,若,成立,必有,设,易得,必有,解可得,又由,则m的取值范围为【解析】根据题意,由函数的解析式可得,即,解可得答案;根据题意,等价于当时,有恒成立,变形可得,成立,据此分析可得答案.本题考查函数的定义域和子集的关系,涉及绝对值不等式的解法,属于基础题.。

四川省绵阳市2024届高三上学期二诊模拟数学(理)试题(一)含解析

四川省绵阳市2024届高三上学期二诊模拟数学(理)试题(一)含解析

三台2021级高三上期数学二诊模拟(一)理科数学(答案在最后)本试卷分为试题卷和答题卡两部分,其中试题卷由第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)组成,共4页;答题卡共4页.满分150分,考试时间120分钟第I 卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.1.集合U =R ,集合(){}2log 1A x y x ==-,{}13B x x =+<,则{}41x x -<≤=()A.()U A B∩ð B.()U A B ðC.()U A B ⋂ð D.()UA B⋂ð【答案】D 【解析】【分析】先求解出集合,A B ,再分别验证四个选项即可.【详解】集合{}1A x x =>,{}42B x x =-<<,{|4U x x B =≤-ð或2}x ≥,{}1U A x x =≤ð,{}|4A B x x =>- ,{}|12A B x x ⋂=<<,所以(){}|2U A B x x =≥ ð,故选项A 不正确;{}()|4U A B x x ⋃=≤-ð,故选项B 不正确;{()|1U A B x x ⋂=≤ð或}2x ≥,故选项C 不正确;(){}41UA B x x ⋂=-<≤ð,故选项D 正确;故选:D.2.已知复数3iiz +=,则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】根据复数除法运算化简z ,进而求得z ,从而确定正确答案.【详解】()()()3i i 3i 13i,13i i i i z z +⨯-+===-=+⨯-,所以z 对应点()1,3在第一象限.故选:A3.根据表中的数据,用最小二乘法得到y 与x 的线性回归方程为 1414y x =-,则表中n 的值为()x23456y20n406070A.15.5B.20C.20.5D.25【答案】B 【解析】【分析】先求出样本中心点,然后代入回归方程计算即可.【详解】由表中数据,计算可得2345645x ++++==,2040607019055n n y +++++==,因为回归直线 1414y x =-过样本中心点,所以有190144145n+=⨯-,解得20n =.故选:B.4.已知2212sin cos 1cos sin 3αααα-=-,则tan α=()A.13B.12C.13或1 D.12或1【答案】B 【解析】【分析】利用弦化切可得出关于tan α的等式,即可求得tan α的值.【详解】因为()()()2222222cos sin 12sin cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin αααααααααααααααα--+-==--+-cos sin 1tan 1cos sin 1tan 3αααααα--===++,解得1tan 2α=.故选:B.5.2023年杭州亚运会期间,甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念,若甲与乙相邻、丙不排在两端,则不同的排法种数有()A.1120B.7200C.8640D.14400【答案】B 【解析】【分析】相邻问题用捆绑法看成一个整体,丙不排在两端可先排好其他人后再排丙.【详解】甲与乙相邻有22A 种不同的排法,将甲与乙看作是一个整体,与除丙外的5人排好,有66A 种不同的排法,再将丙排入隔开的不在两端的5个空中,有15C 种不同的排法,所以共有261265A A C =7200种不同的排法.故选:B .6.设x ∈R ,向量(,1)a x = ,(1,2)b =- ,且a b ⊥ ,则cos ,a b b += ()A.10B.2C.10D.5【答案】B 【解析】【分析】根据条件,利用向量垂直的坐标运算,得出2x =,从而可得出(3,1)a b +=-,再利用向量数量积公式即可求出结果.【详解】因为(,1)a x = ,(1,2)b =- ,又a b ⊥ ,所以20x -=,得到2x =,所以(2,1)a = ,得到(3,1)a b +=-,所以()cos ,2a b b a b b a b b+⋅+==+ ,故选:B.7.已知命题p :若a b >,则33a b >;命题():0,1q x ∀∈,不等式23log log x x <恒成立,则下列命题是真命题的是()A.p q ∧B.()p q⌝∧C.()()p q ⌝∨⌝ D.()p q ∧⌝【答案】A 【解析】【分析】由指数函数和对数函数的单调性判断出命题p 是真命题,命题q 是真命题,再由复合命题的真值表判断可得选项.【详解】若a b >,则33a b >,所以命题p 是真命题,p ⌝是假命题;又(0,1)x ∀∈,所以不等式23log log x x <恒成立,所以命题q 是真命题,q ⌝是假命题,所以p q ∧是真命题,()p q ⌝∧是假命题,()()p q ⌝∨⌝是假命题,()p q ∧⌝是假命题,故选:A8.已知1F ,2F 分别是椭圆22:194x y C +=的左、右焦点,P 是椭圆C在第二象限内的一点,且PO =(O 为坐标原点),则12tan PF F ∠=()A.2B.12C.5D.5【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的方程求出,,a b c,由PO =可知1290F PF ∠=︒,再由椭圆的定义及勾股定理可得122,4PF PF ==,再求出12tan PF F ∠的值.【详解】由椭圆22:194x y C +=的方程可知:3,2,a b c ===,又因为PO =,所以在12PF F △中,1290F PF ∠=︒,设1PF r =,则226PF a r r =-=-,因为P 是椭圆C 在第二象限内的一点,所以12PF PF <,即6r r <-,即3r <,因为1290F PF ∠=︒,所以2221212PF PF F F +=,则()(2226r r +-=,整理可得:2680r r -+=,解得:2r =或4r =(舍去),即122,4PF PF ==,所以21214tan 22PF PF F PF ∠===.故选:A .9.当2x =时,函数()3212f x x bx x =+-取得极值,则()f x 在区间[]4,4-上的最大值为()A.8B.12C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据极值点与导数之间的关系求得0b =,利用导数判断()f x 在区间[]4,4-上的单调性和最值.【详解】因为()3212f x x bx x =+-,所以2()3212f x x bx '=+-,又因为()f x 在2x =取极值,所以(2)124120'=+-=f b ,解得0b =,若0b =,则3()12f x x x =-,2()312f x x '=-,令()0f x '>,得<2x -或2x >;令()0f x '<,得22x -<<;所以()f x 在(),2∞--和()2,∞+上单调递增,在()2,2-上单调递减,可知()f x 在2x =取极值,故0b =满足题意,若[]4,4x ∈-,则()f x 在[4,2]--和[2,4]上单调递增,在()2,2-上单调递减,且(2)82416,(4)644816f f -=-+==-=,所以()f x 在区间[]4,4-上的最大值为16.故选:C .10.函数1log 2x a y x a -=++(0a >且1a ≠)的图象恒过定点(),k b ,若m n b k +=-且0m >,0n >,则9n mmn+的最小值为()A.9B.8C.92D.52【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数性质求得1,3k b ==,然后妙用“1”可得.【详解】当1x =时,11log 123a y a -=++=,所以,函数1log 2x a y x a-=++过定点()1,3,得1,3k b ==,所以,312m n +=-=,因为0m >,0n >,所以,()(99119119110108222n m n m m n mn m n m n m n +⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当92n mm n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,即31,22m n ==时,等号成立,所以,9n mmn+的最小值为8.故选:B11.已知函数())5log 2f x x =-,实数m ,n 满足()()420f m f n -+=,则4m n +=()A.1B.2C.4D.8【答案】B 【解析】【分析】先判断()f x 的奇偶性,由此化简()()420f m f n -+=,进而求得正确答案.22x x >=≥,所以()f x 的定义域为R ,()()))55log 2log 2f x x f x x-+=++-)5522log log 10xx ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦-,所以()f x 是奇函数,由()()420f m f n -+=可得420,42m n m n -+=+=.故选:B12.双曲线22221x y a b-=左右焦点分别为1F ,2F ,过点2F 直线1l 与双曲线右支交于A ,B 两点,弦AB 的中垂线交x 轴于P ,若2AB PF =,则该双曲线渐近线方程为()A.20x y ±=B.20x y ±=C.y ±=D.0x =【答案】C 【解析】【分析】设直线1l 的方程,与双曲线联立,求AB 的中垂线方程,得到P 点坐标,利用2AB PF =得到离心率,进而求得渐近线方程.【详解】设直线1l 的方程为x my c =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()2222242222201x my c b m a y mcb y b x y ab =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩,判别式()()()2222242422441mcb b m a b a b m ∆=--=+,韦达定理2122222mcb y y b m a+=--,412222b y y b m a ⋅=-,所以中点纵坐标21202222y y mcb y b m a +==--,横坐标200222ca x my c b m a=+=--,则中点坐标为22222222,ca mcb b m ab m a ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭,所以AB 的中垂线方程为222222221ca mcb x y b m a m b m a ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭,令0y =得,3222c x b m a -=-,即P 的坐标为3222,0c b m a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭,所以32222222222c b m c cb PF c b m a b m a -+=-=--,由弦长公式可知,AB =,将韦达定理代入得,()2222212ab A m B b m a=-+,因为2AB PF =,所以()2222222222221ab b m c cb b m a a m b m +=--+,整理得,2a c =,所以22223b c a a =-=,即223b a=,所以渐近线方程为b y x a=±=.故选:C.第II 卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案直接填写在答题卡的横线上.13.已知lg 2a =,则21log 5+=______(用含a 的代数式表示).【答案】1a##1a -【解析】【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算即可.【详解】2222lg1011log 5log 2log 5log 10lg 2a+=+===.故答案为:1a.14.37(x的展开式中不含常数项的所有项的系数之和是__________.【答案】-449【解析】【分析】由题意结合二项式展开式的通项公式求得常数项,然后结合所有项的系数之和即可求得最终结果.【详解】73x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()427732177C 2C rrrr r r r T xx--+⎛==- ⎝,令42702r -=可得r =6,所以常数项为()6672C 448-=,令x =1,得所有项的系数之和是-1,故不含常数项的所有项的系数之和是1448449--=-.故答案为:449-15.已知抛物线2:8C y x =的焦点为,F O 为坐标原点,P 为抛物线C 上一点,且满足PF =POF 的面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标,利用PF =,求得P 点的纵坐标,代入抛物线方程求得横坐标,代入三角形面积公式计算,从而可求解.【详解】由抛物线C :28y x=得其标准方程为2x =,所以2p =,得2p =,所以焦点为(F ,准线方程为y =,又因为P 在抛物线C 上且PF =,由抛物线定义可得p y =4p x =,所以12POF P S OF x ⨯⨯= =.故答案为:.16.已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,则()3122341x x x x x ++的取值范围是__________.【答案】(3,3]-【解析】【分析】画出函数图像,根据图像结合函数性质确定124x x +=-,341x x =,414x <≤,变换()3124234414x x x x x x x ++=-,根据函数的单调性计算最值即可.【详解】画出函数2222,22,02,20()log ,0log ,01log ,1x x x x x x f x x x x x x x --<-⎧⎪⎧+≤+-≤≤⎪⎪==⎨⎨>-<<⎪⎩⎪⎪≥⎩的图象,如图所示:方程()f x a =有四个不同的解1x ,2x ,3x ,4x ,且1234x x x x <<<,由0x ≤时,()2f x x =+,则1x 与2x 的中点横坐标为2x =-,即:124x x +=-,当0x >时,由于2log y x =在(0,1)上是减函数,在(1,)+∞上是增函数,又因为34x x <,2324log log x x =,则3401x x <<<,有2324log log x x -=,341x x =,又24log 2x ≤,414x <≤,()31234234341144x x x x x x x x x ++=-+=-在4(1,4]x ∈上递增,故取值范围是(3,3]-.故答案为:(3,3]-.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.随着科技的发展,网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式,为了了解网购在我市的普及情况,某调查机构进行了有关网购的调查问卷,并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析,从而得到表(单位:人):经常网购偶尔或不用网购合计男性45100女性65100合计(1)完成上表;对于以上数据,采用小概率值0.01α=的独立性检验,能否认为我市市民网购与性别有关联?(2)①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取20人,再从这20人中随机选取3人赠送优惠券,求选取的3人中至少有2人经常网购的概率;②将频率视为概率,从我市所有参与调查的市民中随机抽取20人赠送礼品,记其中经常网购的人数为X ,求随机变量X 的数学期望和方差.参考公式:()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.常用的小概率值和对应的临界值如下表:α0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001x α2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】17.列联表见解析,能,理由见解析18.①208285;②()11E X =,()9920D X =【解析】【分析】(1)完善列联表,计算出2χ的观测值,结合临界值表可得出结论;(2)①所抽取的20名女市民中,经常网购的有652013100⨯=人,偶尔或不用网购的有35207100⨯=人,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率;②分析可知,11~20,20X B ⎛⎫⎪⎝⎭,利用二项分布的期望和方差公式可求得()E X 、()D X 的值.【小问1详解】解:完善列联表如下表所示(单位:人):经常网购偶尔或不用网购合计男性4555100女性6535100合计11090200零假设0:H 性别与网购之间无关联,由列联表得,()220.01200453565558008.081 6.6351109010010099x χ⨯⨯-⨯==≈>=⨯⨯⨯,根据小概率值0.01α=的独立性检验,推断0H 不成立,即认为我市市民网购与性别有关联.【小问2详解】解:①由题意可知,所抽取的20名女市民中,经常网购的有652013100⨯=人,偶尔或不用网购的有35207100⨯=人,所以,选取的3人中至少有2人经常网购的概率为20828521313713320C C C C P +==;②由22⨯列联表可知,抽到经常网购的市民的频率为1101120020=,将频率视为概率,所以,从我市市民中任意抽取一人,恰好抽到经常网购市民的概率为1120,由题意可知,11~20,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以,()11201120E X =⨯=,()1199920202020D X =⨯⨯=.18.在等比数列{}n a 中,()*0N n a n >∈,公比()0,1q ∈,且153528225a aa a a a ++=,又3a 与5a 的等比中项为2.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若2log n n b a =,求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)512n n a -=(2)229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩【解析】【分析】(1)先根据题意结合等比数列的性质求出35,a a ,进而可求出公比,即可得解;(2)分0n b ≥和0n b <两种情况讨论,结合等差数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为153528225a a a a a a ++=,所以()222335535225a a a a a a ++=+=,又()*0Nn a n >∈,所以355aa +=,因为3a 与5a 的等比中项为2,所以354a a =,则353554a a a a +=⎧⎨=⎩,解得3541a a =⎧⎨=⎩(3514a a =⎧⎨=⎩舍去),所以25314a q a ==,所以12q =(12q =-舍去)所以55512n n n a a q--=⋅=;【小问2详解】由(1)得25log n n b a n ==-+,令0n b ≥,则15n ≤≤,令0n b <,则6n ≥,当15n ≤≤时,()2121245922n n n n nn nT b b b b b b -+-+=+++=+++==,当6n ≥时,()()1212567n n n T b b b b b b b b b =+++=+++-+++ ()()21559401022n n n n --+--+=-=,综上所述,229,152940,62n n nn T n n n ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩.19.在①向量()m b = ,()sin ,cos n A B =- ,且m n ⊥sin cC=,③2222sin a c b ac A +-+=,这三个条件中任选一个,补充在下面问题的横线上,并加以解答.已知ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,______.(1)求角B 的大小;(2)若3b =,2a c -=,求ABC 的面积.【答案】(1)π3B =(2)534【解析】【分析】(1)根据平面向量的数量积运算,结合正弦定理以及余弦定理,可得答案;(2)利用余弦定理,结合三角形面积公式,可得答案.【小问1详解】若选条件①,则sin cos 0m n b A B ⋅=-=,根据正弦定理得sin sin cos B A A B =,∵sin 0A ≠,∴sin B B =,tan B =,∵0πB <<,∴π3B =.sin 1sin CC==,tan B =∵0πB <<,∴π3B =.若选条件③,∵2222cos a c b ac B =+-,∴2cos 2sin ac B ac A +=,∴cos sin a B a A +=,根据正弦定理得sin cos sin sin A B A B A +=,∵sin 0A ≠,∴cos 1B B +=,π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴0πB <<,∴π3B =.【小问2详解】根据余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=-+,∴94ac =+,∴5ac =,ABC 的面积为11sin 52224ac B =⨯⨯=.20.已知函数21()ln 2f x ax x =-.(1)当1a =时,求()f x 的极值;(2)若不等式(x)x f ≥恒成立,求实数a 的取值范围.【答案】(1)极小值为12,无极大值(2)2a ≥【解析】【分析】(1)对21()ln 2f x x x =-求导得到(1)(1)()x x f x x-+'=,再根据极值的定义即可求出结果;(2)根据条件,分离常量得到21ln 2x x a x +≥,构造21ln ()(0)xg x x x x=+>,将问题转化成求()g x 的最大值,即可解决问题.【小问1详解】当1a =时,21()ln 2f x x x =-,则211(1)(1)()x x x f x x x x x--+'=-==,由()0f x '=,得到1x =,又0x >,当(0,1)x ∈时,()0f x '<,(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,所以21()ln 2f x x x =-在1x =处取到极小值,极小值为12,无极大值.【小问2详解】由(x)x f ≥恒成立,得到21ln 2ax x x -≥恒成立,即21ln 2ax x x ≥+恒成立,又0x >,所以221ln 1ln 2x x xa x x x+≥=+恒成立,令21ln ()(0)x g x x x x =+>,则2423312ln 112ln 12ln ()x x x x x x g x x x x x x ---+-'=-+=-+=,令()2ln 1(0)h x x x x =--+>,则2()10h x x'=--<恒成立,即()2ln 1h x x x =--+在区间(0,)+∞上单调递减,又(1)2ln1110h =--+=,所以当(0,1)x ∈时,()0h x >,(1,)x ∈+∞时,()0h x <,即(0,1)x ∈时,()0g x '>,(1,)x ∈+∞时,()0g x '<,所以21ln ()(0)xg x x x x=+>在区间()0,1上单调递增,在区间(1,)+∞上单调递减,故()(1)1g x g ≤=,所以112a ≥,即2a ≥,所以,实数a 的取值范围为2a ≥.【点睛】方法点晴,第(2)问中的恒成立问题,常用的方法,一是直接构造函数,求出函数的最值;二是通过参变分离,再构造函数,通过求函数最值来解决问题.21.一动圆与圆2217:402M x y x +++=外切,同时与22241:402M x y x +--=内切.(1)求动圆圆心的轨迹方程C ,并说明它是什么曲线;(2)设点()0,1N ,斜率不为0的直线l 与方程C 交于点A ,B ,与圆N 相切且切点为M ,M 为AB 中点.求圆N 的半径r 的取值范围.【答案】(1)圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-,()2,0,长轴长为的椭圆,22184x y+=(2)(.【解析】【分析】(1)设动圆心为(),P x y ,半径为R ,则12PM R =+,22PM R =-,可得12124PM PM M M +=>=,根据椭圆的定义即可求解;(2)易知直线l 的斜率存在且不为0,设l 为()0y kx m k =+≠,()11,A x y ,()22,B x y ,联立椭圆方程,利用韦达定理和中点坐标公式可得222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭,根据直线与圆的位置关系可得()2,1M k -,由0∆>得2302k <<,结合r MN ==计算即可求解.【小问1详解】设动圆心为(),P x y ,半径为R ,圆2217:402M x y x +++=可化为()22122x y ++=,22241:402M x y x +--=可化为()224922x y -+=,由题意可得122PM R =+,2722PM R =-,则12124PM PM M M +=>=,所以,圆心P 的轨迹是焦点为()2,0-,()2,0,长轴长为的椭圆,且2c =,a =得2844b =-=,则动圆圆心的轨迹方程C 为22184x y +=.【小问2详解】由题意知,直线l 的斜率存在且不为0,设直线l 方程为()0y kx m k =+≠,()11,A x y ,()22,B x y ,设圆N 的半径为r ,()22222214280184y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩,()()()22222216421288840k m k m k m ∆=-+-=-+>,122421km x x k -+=+,21222821m x x k -=+,所以()212122242222121k m my y k x x m m k k -+=++=+=++,又因为M 为AB 的中点,所以222,2121kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭,又圆N 与直线l 相切于点M ,所以NM l ⊥,且r MN =,所以1MN l k k ⨯=-,所以2211212021MNmk k km k k -+==---+,解得221k m +=-,所以()2,1M k -,()()()()222222288488214821320k m k k k k ⎡⎤∆=-+=-++=+->⎢⎥⎣⎦,解得:2302k <<,所以2302r MN k ⎫===<<⎪⎭,由251122k <+<⇒<<2r <<,所以圆N 的半径r 的取值范围为(.(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,曲线C 的参数方程为2222(1)11t x t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线lcos sin 0θρθ--=.(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)直线l 与C 交于MN 两点,求OMN 的面积.【答案】(1)22143x y +=y -=(2)5【解析】【分析】(1)方法一:联立原式,消去t ,即可得到C 的普通方程,利用极直互化公式可将直线的极坐标方程化为直角坐标方程;方法二:结合原式,计算223412x y +=,即可得到曲线C 的普通方程;方法三:由万能公式代入计算,即可得到2cos ,x y θθ==,再由椭圆的参数方程即可得到结果.(2)方法一:求得直线的参数方程,与椭圆方程联立,求解,并利用参数的几何意义即可得到弦长MN ,再由三角形的面积公式得到结果;方法二:联立直线与椭圆的普通方程,利用面积分割法得到结果.【小问1详解】方法一:曲线C :由题意得2421x t =-++,即242,12y x t t x +=∴=++,然后代入2421x t +=+,即可得到曲线C 的普通方程22143x y +=,而直线l ,将cos ,sin x y ρθρθ==代入其极坐标方程即可得其直角坐标方程0y -=.方法二:因为()()()()2222422222222212148124341212111tt t t t x y t t t --+++=+=⨯=+++,所以C 的普通方程为22143x y +=,直线l0y -=;方法三:由万能公式:2222tan12tan 22sin ,cos 1tan 1tan 22θθθθθθ-==++,令2tan 2t θ=,则有2cos ,x y θθ=,由椭圆的常用参数方程可得:22143x y +=,直线l0y -=.【小问2详解】解法1:设直线l 与x 轴的交点F ,其坐标为()1,0,倾斜角为60︒,所以点O 到直线l的距离sin 602d OF =︒=,设l的参数方程为122m x y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(m 为参数)代入22143x y +=,可得:254120m m +-=,得:12216162,,55m m MN m m =-=∴=-=.所以Δ14325OMN Sd MN =⋅=;解法2:设()()1122,,,M x y N x y,联立22341201)x y y x ⎧+-=⎪⎨=-⎪⎩得2590y +-=.解得125y y ==,又因为直线l 与x 轴的交点F ,其坐标为()1,0,则1OF =,所以(12111225OMN S OF y y =⋅-=⨯⨯= .[选修4-5:不等式选讲]23.已知函数()2124f x x x =+--.(1)解不等式()0f x >;(2)若关于x 的不等式2()42230f x x m m +--+≤的解集不是空集,求实数m 的取值范围.【答案】(1)3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭(2)5(,1][,)2-∞-+∞ 【解析】【分析】(1)通过两边平方的方法求得不等式()0f x >的解集.(2)先求得()4f x +的最小值,由此列不等式来求得m 的取值范围.【小问1详解】由()0f x >得:2124x x +>-,两边平方得,2244141616x x x x ++>-+,所以2015x >,解得34x >,所以不等式的解集为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()42212421425f x x x x x x +-=++-≥++-=,当且仅当()()21240,x x +-≤即122x -≤≤时等号成立,由题意得:2523m m ≤-,即()()22351250m m m m --=+-≥,。

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U ={x|x >0},M ={x|1<e x <e 2},则∁U M =( ) A.(1, 2) B.(2, +∞) C.(0, 1]∪[2, +∞) D.[2, +∞)2. 已知i 为虚数单位,复数z 满足z ⋅i =1+2i ,则z 的共轭复数为( ) A.2−i B.2+i C.l −2i D.i −23. 已知两个力F 1=(l, 2),F 2=(−2, 3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力F 3,则F 3=( ) A.(1, −5) B.(−1, 5) C.(5, −1) D.(−5, l)4. 甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为( ) A.18 B.14C.38D.125. 已知α为任意角,则“cos2α=13”是“sinα=√33”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6. 若(ax −1x )5的展开式中各项系数的和为l ,则该展开式中含x 3项的系数为( )A.−80B.−10C.10D.807. 己知某产品的销售额_y 与广告费用x 之间的关系如表:若根据表中的数据用最小二乘法求得y 对x 的回归直线方程为y =6.5x +9,则下列说法中错误的是( ) A.产品的销售额与广告费用成正相关 B.该回归直线过点(2, 22)C.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元D.m 的值是20 8. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ,过F 作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A ,B 两点,若四边形OAFB (O 为坐标原点)的面积为bc ,则双曲线的离心率为( )A.√2B.2C.√3D.39. 小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为x ,则X 的期望为( ) A.1 B.2 C.3 D.410. 已知圆C:x 2+y 2−6x −8y +9=0,点M ,N 在圆C 上,平面上一动点P 满足|PM|=|PN|且PM ⊥PN ,则|PC|的最大值为( ) A.8 B.8√2 C.4 D.4√211. 己知f(x)为偶函数,且当x ≥0时,f(x)=xcosx −sinx +13x 3,则满足不等式f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)的实数m 的取值范围为( ) A.( 12, 2) B.(0, 2) C.(0, 12)∪(1, 2) D.(2, +∞)12. 函数f(x)=(2ax −1)2−log a (ax +2)在区间[0, 1a ]上恰有一个零点,则实数a 的取值范围是( )A.( 13, 12)B.(1, 2]∪[3, +∞)C.(1, 2)∪[3, +∞)D.[2, 3) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.直线l 1:ax −(a +1)y −1=0与直线4x −6y +3=0平行,则实数a 的值是________.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法.受其启发,我们设计如下实验来估计π的值:先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于l 的正实数对(x, y);再统计两数的平方和小于l 的数对(x, y)的个数m ,最后再根据统计数m 来估计π的值,已知某同学一次试验统计出m =156,则其试验估计π为________.函数y =sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示,则f(x)在区间[−π, π]上的零点之和为________.过点M(−1, 0)的直线,与抛物线C:y 2=4x 交于A ,B 两点(A 在M ,B 之间),F 是抛物线C 的焦点,点N 满足:NA →=5AF →,则△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是________.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.每年的4月23日为“世界读书日”,某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查:该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名),统计了每个学生一个月的阅读时间,其阅读时间t (小时)的频率分布直方图如图所示:(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名,请根据题目信息完成下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.2×2列联表附表:其中:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1+a2=0,S6=24.各项均为正数的等比数列{b n}满足b1+b2=a4+1,b3=S4.(1)求a n和b n;(2)求和:T n=1+(1+b1)+(1+b1+b2)+...+(1+b1+b2+...+b n−1).在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知(sinA+sinB)(a−b)=c(sinC+sinB).(1)求A;(2)若D为BC边上一点,且AD⊥BC,BC=2√3AD,求sinB.已知椭圆C:x22+y2=1,直线l交椭圆C于A,B两点.(l)若点P(−1, 1)满足OA+OB+OP=0→(O为坐标原点),求弦AB的长;若直线l的斜率不为0且过点(2, 0),M为点A关于x轴的对称点,点N(n, 0)满足MN=λNB,求n的值.己知函数f(x)=2lnx+12x2−ax,其中a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数f(x)有两个极值点x1,x2(其中x2>x1),若f(x2)−f(x I)的最大值为2ln2−32,求实数a的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题申任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为{x=1+rcosφy=rsinφ(r>0,φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1经过点P(2, π3),曲线C2的直角坐标方程为x2−y2=1.(1)求曲线C1的普通方程,曲线C2的极坐标方程;(2)若A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C2上两点,当α∈(0, π4)时,求1|OA|2+1|OB|2的取值范围.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知关于x的不等式|x+1|−|2x−1|≤log12a,其中a>0.(1)当a=4时,求不等式的解集;(2)若该不等式对x∈R恒成立,求实数a的取值范围.参考答案与试题解析2020年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【考点】补集及其运算【解析】可以求出集合M,然后进行补集的运算即可.【解答】∵U={x|x>0},M={x|0<x<2},∴∁U M=[2, +∞).2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念得答案.【解答】∵z⋅i=1+2i,∴z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i,∴z的共轭复数为:2+i,3.【答案】A【考点】平面向量的基本定理【解析】F1,F2,F3作用于物体同一点,使物体处于平衡状态,则得到−F3=F1+F2,代入即可.【解答】根据题意可知−F3=F1+F2=(1, 2)+(−2, 3)=(−1, 5),则F3=(1, −5),4.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】先算出所有事件,再求出符合题意的事件,求出概率.【解答】甲、乙、丙三人每人有2种选择,共有23=8种情况,甲,乙,丙三人去同一景点有2种情况,故甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为14,5.【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】通过证明,可判断充要性.【解答】若cos2α=13,则cos2α=1−sin2α,sinα=±√33,则cos2α=13”是“sinα=√33”的不充分条件;若sinα=√33,则cos2α=1−sin2α,cos2α=13,则cos2α=13”是“sinα=√33”的必要条件;综上所述:“cos2α=13”是“sinα=√33”的必要不充分条件.6.【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求得a的值,在二项展开式的通项公式中,令x3的幂指数等于3,求出r的值,即可求得该展开式中含x3项的系数.【解答】对于(ax−1x)5的展开式,令x=1,可得展开式中各项系数的和为(a−1)5=l,∴a=2.∴(ax−1x)5=(2x−1x)5,故展开式中的通项公式为T r+1=C5r⋅(−1)r⋅25−r⋅x5−2r,令5−2r=3,求得r=1,可得该展开式中含x3项的系数−C51⋅24=−80,7.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】由线性回归方程判断A;求出样本点的中心坐标,代入线性回归方程求得m值判断D;进一步得到样本点的中心的坐标判断B;由回归方程的意义判断C.【解答】由线性回归方程y=6.5x+9,可知产品的销售额与广告费用成正相关,故A正确;x=0+1+2+3+45=2,y=10+15+m+30+355=90+m5,代入y=6.5x+9,得90+m5=6.5×2+9,解得m=20,故D正确;y=90+m5=90+205=22,则该回归直线过点(2, 22),故B正确;取x =10,得y =6.5×10+9=74,说明当广告费用为10万元时,销售额预计为74万元,故C 错误. 8.【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】设出双曲线的右焦点F ,直线OA ,OB 的方程,过F 平行于渐近线的方程,求得平行线的距离,和A 的坐标,运用平行四边形的面积公式,化简可得a ,b 的关系,进而得到所求离心率. 【解答】 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F(c, 0), 设OA 的方程为bx −ay =0,OB 的方程为bx +ay =0,过F 平行于OA 的直线FB 的方程为y =ba (x −c),平行于OB 的直线FA 的方程为y =−ba (x −c), 可得平行线OA 和BF 的距离为√b 2+a 2=b ,由{bx −ay =0bx +ay −bc =0 可得x =12c ,y =bc 2a ,即A(12c, bc2a ), 则平行四边形OAFB 的面积为S =b √14c 2+b2c 24a 2=bc ,化为b 2=3a 2, 则e =c a=√1+b 2a 2=√1+3=2.9.【答案】 C【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】X 的可能取值为0,1,2,3,4,利用列举法求出小明每局每得分的概率P =34,从而X ∼B(4, 34),由此能求出E(X). 【解答】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势, 规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分, 现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为x , 则X 的可能取值为0,1,2,3,4,设其他两位同学为a ,b ,小明为c ,列表得共有8种情况,小明得1分结果有6种情况, ∴ 小明每局每得分的概率P =34, ∴ X ∼B(4, 34), ∴ E(X)=4×34=3. 10. 【答案】 D【考点】圆的一般方程【解析】根据题意,分析可得PC 为线段MN 的垂直平分线,进而设MN 的中点为G ,|NG|=n ,|CG|=m ,分析可得m 2+n 2=16,由于|PC|=(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ,结合基本不等式的性质分析可得答案. 【解答】根据题意,若平面上一动点P 满足|PM|=|PN|,又由|CM|=|CN|,则PC 为线段MN 的垂直平分线, 设MN 的中点为G ,|NG|=n ,|CG|=m ,又由|PM|=|PN|且PM ⊥PN ,则△PMN 为等腰直角三角形,故|PG|=|NG|=n , 圆C:x 2+y 2−6x −8y +9=0,即(x −3)2+(y −4)2=16, 则m 2+n 2=16,则|PC|=(m +n)=√(m +n)2=√m 2+n 2+2mn =√16+2mn ≤√16+(m 2+n 2)=4√2, 当且仅当m =n 时等号成立, 故|PC|的最大值为4√2, 11.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】求导可知,函数f(x)在[0, +∞)上为增函数,进而把原问题等价为f(log 2m)<f(1),则−1<log 2m <1,解出即可. 【解答】当x ≥0时,f′(x)=cosx −xsinx −cosx +x 2=x 2−xsinx =x(x −sinx)>0,即函数f(x)在[0, +∞)上为增函数,∴ f(log 2m)+f(log 12m)<2f (1)等价为f(log 2m)+f(−log 2m)<2f(1),即f(log 2m)<f(1), ∴ −1<log 2m <1, ∴ 12<m <2. 故选:A .12.【答案】 D【考点】函数零点的判定定理 【解析】运用零点存在性定理可知,实数a 应满足f(0)f(1a )≤0,由此得到2≤a ≤3,观察选项即可得解. 【解答】依题意,函数f(x)在区间[0, 1a ]上有零点的充分条件为f(0)f(1a )≤0,即(1−log a 2)(1−log a 3)≤0, ∴ {1−log a 2≤01−log a 3≥0 或{1−log a 2≥01−log a 3≤0,解得2≤a ≤3,由此可排除A 、B 、C ,又当a =3时,f(x)=(6x −1)2−log 3(3x +2),显然f(13)=1−1=0,f(0)=1−log 32>0,f(19)=19−log 373=109−log 37<0,则在(0,19)上有一个零点,故此时函数f(x)有两个零点,不符题意, 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 【答案】 2【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系 【解析】利用直线与直线平行的性质直接求解. 【解答】∵ 直线l 1:ax −(a +1)y −1=0与直线4x −6y +3=0平行, ∴ a4=−(a+1)−6,解得a =2,∴ 实数a 的值为2. 【答案】 3.12【考点】几何概型计算(与长度、角度、面积、体积有关的几何概型) 【解析】以面积为测度,建立方程,即可求出圆周率π的近似值. 【解答】由题意,两数的平方和小于1,对应的区域的面积为14π⋅12, 从区间[0, 1]随机抽取横、纵坐标都小于l 的对应面积为:1; ∴14π1=156200⇒π=4×156200=3.12.【答案】2π3【考点】三角函数的周期性及其求法 【解析】由周期求ω,由五点法作图求φ,可得函数的解析式,再根据正弦函数的零点以及图象的对称性,求出f(x)在区间[−π, π]上的零点之和. 【解答】∵ 根据函数y =sin(ωx +φ)(ω>0, |φ|<π2)的图象,可得3T4=34⋅2πω=11π12−π6,求得ω=2.再根据五点法作图可得 2×π6+φ=π2, ∴ φ=π6,故f(x)=sin(2x +π6). 在区间[−π, π]上,2x +π6∈[−11π6, 13π6],f(x)共有4个零点:a 、b 、c 、d ,且a <b <c <d ,则2a +π6+2b +π6=2×(−π2),2c +π6+2d +π6=2×(3π2), 故它的所有零点之和为a +b +c +d =2π3,【答案】 8【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】设直线AB 的方程与抛物线联立求出A ,B 的坐标,由N 满足:NA →=5AF →求出N 的坐标,进而求出面积的表达式,用求导的方法求出面积之和的最小值. 【解答】焦点F(1, 0),由对称性,显然直线AB 的斜率不为0,设直线AB 的方程为:x =my −1,A(x ′, y ′),B(x, y),由题意知y >y ′,联立直线与抛物线的方程整理得:y 2−4my +4=0,△=(−4m)2−16>0,m 2>1,m >1解得:y +y′=4m ,y ′=2m −2√m 2−1,设N(x 0, y 0)满足:NA →=5AF →,(x ′−x 0, y ′−y 0)=5(−x ′, −y ′),∴ y 0=6y ′,S △ABF =S △BMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y −y ′),S △ANM =S △NMF −S △AMF =12⋅MF ⋅(y 0−y ′),MF =2 ∴ S △ABF +S △AMN =12⋅MF ⋅(y +y 0−2y ′)=y +y ′+3y ′=10m −6√m 2−1(m >1),令f(m)=10m −6√m 2−1,f ′(m)=10−2,令f ′(m)=0,m =54,m ∈(1,54),f ′(m)<0,f(m)单调递减,m >54,f ′(m)>0,f(m)单调递增,所以m =54时,f(m)最小,且为:10×54−6√(54)2−1=8,所以△ABF 与△AMN 的面积之和的最小值是8,三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 【答案】由题意得,直方图中第一组、第二组的频率之和为: (0.04+0.06)×5=0.5,所以阅读时间的中位数为m =10;由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,由频率分布直方图得,阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5=50人; 所以填写列联表如下;由表中数据,计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”. 【考点】 独立性检验 【解析】(1)由题意计算直方图中第一组、第二组的频率和为0.5,得出中位数m 的值; (2)由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论. 【解答】由题意得,直方图中第一组、第二组的频率之和为: (0.04+0.06)×5=0.5,所以阅读时间的中位数为m =10;由题意得,男生人数为45人,因此女生人数为55人,由频率分布直方图得,阅读时长大于或等于m 的人数为100×0.5=50人; 所以填写列联表如下;由表中数据,计算K 2=100×(25×30−25×20)250×50×45×55=10099≈1.01<2.706,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“阅读与性别有关”. 【答案】设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .由题意,得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ,解得{a 1=−1d =2 . ∴ a n =2n −3,n ∈N ∗.∵ 等比数列{b n }的各项均为正数,由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8 ,解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23(舍去).∴ b n =2n ,n ∈N ∗. 由(1),得1+b 1+b 2+...+b n−1=1+2+22+...+2n−1=2n −1. 则T n =1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1). =1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)=(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) =(21+22+23+...+2n )−n =2(1−2n )−n=2n+1−n −2. 【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】本题第(1)题设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .然后根据通项公式和求和公式列出方程组,分别解出首项和公差以及公比,即可得到两个数列各自的通项公式;第(2)题先根据第(1)题的结果先算出一般项1+b 1+b 2+...+b n−1=1+2+22+...+2n−1=2n −1.代入T n 中再采用分组求和法进行计算即可得到结果. 【解答】设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q .由题意,得{2a 1+d =06a 1+6×52d =24 ,解得{a 1=−1d =2 . ∴ a n =2n −3,n ∈N ∗.∵ 等比数列{b n }的各项均为正数,由{b 1+b 1q =6b 1q 2=8,解得{b 1=2q =2 或{b 1=18q =−23 (舍去).∴ b n =2n ,n ∈N ∗. 由(1),得1+b 1+b 2+...+b n−1=1+2+22+...+2n−1=2n −1. 则T n =1+(1+b 1)+(1+b 1+b 2)+...+(1+b 1+b 2+...+b n−1). =1+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1)=(21−1)+(22−1)+(23−1)+...+(2n −1) =(21+22+23+...+2n )−n=2(1−2n )1−2−n=2n+1−n −2. 【答案】∵ (sinA +sinB)(a −b)=c(sinC +sinB),∴ 由正弦定理可得:(a +b)(a −b)=c(c +b),即a 2=b 2+c 2+bc , ∴ 由余弦定理可得:cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12,∵ 0<A <π, ∴ A =2π3.∵ 在△ABC 中,S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ,即√32bc =a ⋅AD ,由已知BC =2√3AD ,可得AD =2√3,∴ 3bc =a 2,∴ 在△ABC 中,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccos120∘, 即3bc =b 2+c 2+bc ,整理可得(b −c)2=0,即b =c , ∴ B =C =π6, ∴ sinB =sin π6=12. 【考点】 余弦定理 正弦定理 【解析】(1)由正弦定理化简已知可得a 2=b 2+c 2+bc ,由余弦定理可得cosA =−12,结合范围0<A <π,可求A 的值.(2)由已知利用三角形的面积公式可求AD =2√3,可得3bc =a 2,进而由余弦定理可得b =c ,可求A =B =π6,根据特殊角的三角函数值即可得解. 【解答】∵ (sinA +sinB)(a −b)=c(sinC +sinB),∴ 由正弦定理可得:(a +b)(a −b)=c(c +b),即a 2=b 2+c 2+bc , ∴ 由余弦定理可得:cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12,∵ 0<A <π, ∴ A =2π3.∵ 在△ABC 中,S △ABC =12AB ⋅AC ⋅sin∠BAC =12BC ⋅AD ,即√32bc =a ⋅AD ,由已知BC =2√3AD ,可得AD =2√3,∴ 3bc =a 2,∴ 在△ABC 中,由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccos120∘,即3bc =b 2+c 2+bc ,整理可得(b −c)2=0,即b =c , ∴ B =C =π6, ∴ sinB =sin π6=12. 【答案】(1)设A(x, y),B(x ′, y ′),由OA →+OB →+OP →=0→,(O 为坐标原点),且P(−1, 1), 得x +x ′=1,y +y ′=−1,所以线段AB 的中点坐标(12, −12),其在椭圆内部,由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得:x′2−x 22+y′2−y 2=0,所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12,所以直线AB 的方程为:y −(−12)=12(x −12),即2x −4y −3=0; 联立直线AB 与椭圆的方程整理得:24y 2+24y +1=0, ∴ y +y ′=−1,yy ′=124, ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66; (2)由题意设直线AB 的方程为:x =ty +2,由题意得M(x, −y),联立直线AB 与椭圆的方程整理得:(2+t 2)y 2+4ty +2=0, ∴ y +y ′=−4t2+t 2,yy ′=22+t 2,由满足MN =λNB 知,M ,N ,B 三点共线, 即k MN =k MB ,∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x,即yn−x=y ′+yx−x ′,解得:n =y(x ′−x)y ′+y+x ,将x =ty +2,x ′=ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2=1,所以n 的值为1. 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】(1)由题意知,向量之间的关系得AB 的中点坐标,再将A ,B 的坐标代入由点差法求出直线的斜率,进而求出直线的方程;(2)设直线AB 的方程,与椭圆联立整理得出两根之和两根之积,再由向量的关系求出用A ,B 的坐标表示n 的坐标,进而求出n 的值. 【解答】(1)设A(x, y),B(x ′, y ′),由OA →+OB →+OP →=0→,(O 为坐标原点),且P(−1, 1), 得x +x ′=1,y +y ′=−1,所以线段AB 的中点坐标(12, −12),其在椭圆内部,由{x 22+y 2=1x ′22+y′2=1两式相减得:x′2−x 22+y′2−y 2=0,所以k AB =y ′−y x ′−x =x+x ′y+y ′(−12)=12,所以直线AB 的方程为:y −(−12)=12(x −12),即2x −4y −3=0; 联立直线AB 与椭圆的方程整理得:24y 2+24y +1=0, ∴ y +y ′=−1,yy ′=124, ∴ |AB|=√1+1k 2√(y +y ′)2−4yy ′=5√66; (2)由题意设直线AB 的方程为:x =ty +2,由题意得M(x, −y),联立直线AB 与椭圆的方程整理得:(2+t 2)y 2+4ty +2=0, ∴ y +y ′=−4t2+t 2,yy ′=22+t 2,由满足MN =λNB 知,M ,N ,B 三点共线, 即k MN =k MB ,∴ 0−(−y)n−x=y ′−(−y)x ′−x,即yn−x=y ′+y x−x ′,解得:n =y(x ′−x)y ′+y+x ,将x =ty +2,x ′=ty ′+2代入得n =2tyy ′y+y ′+2=4t−4t +2=1,所以n 的值为1. 【答案】 f ′(x)=x 2−ax+2x,x >0,令g(x)=x 2−ax +2,△=a 2−8,①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)在(0, +∞)上单调递增; ②当{a >0△>0 ,即a >2√2时,由f′(x)>0得,0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82;由f′(x)<0得,a−√a2−82<x <a+√a 2−82;∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减;综上所述,当a ≤2√2时,f(x)在(0, +∞)上单调递增;当a >2√2时,f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减;由(1)知,当a >2√2时,f(x)有两极值点x 1,x 2(x 2>x 1),由(1)得x 1,x 2为g(x)=x 2−ax +2=0的两根,于是x 1+x 2=a ,x 1x 2=2,∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2,令t =x 2x 1(t >1),则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t ,∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0,∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减,由已知ℎ(t)=f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32,而ℎ(2)=2ln2−32,所以t =2,设t 的取值集合T ,则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意, 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增,结合a >2√2,可得a 与t 是一一对应关系,而当t =2,即x 2x 1=2时,联合x 1x 2=2,解得x 2=2,x 1=1,进而可得a =3,∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集. 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】(1)求导,解关于导函数的不等式即可讨论得到单调性情况;(2)首先根据已知条件可求得x 2=2,x 1=1,由此求得此时的a =3,再根据题意即可求得实数a 的取值范围. 【解答】 f ′(x)=x 2−ax+2x ,x >0,令g(x)=x 2−ax +2,△=a 2−8,①当a ≤0或△≤0即a ≤2√2时,f′(x)≥0恒成立,此时f(x)在(0, +∞)上单调递增; ②当{a >0△>0 ,即a >2√2时,由f′(x)>0得,0<x <a−√a2−82或x >a+√a2+82;由f′(x)<0得,a−√a2−82<x <a+√a 2−82;∴ 函数f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a 2−82,a+√a 2+82)上单调递减;综上所述,当a ≤2√2时,f(x)在(0, +∞)上单调递增;当a >2√2时,f(x)在(0,a−√a2−82),(a+√a 2+82,+∞)上单调递增,在(a−√a2−82,a+√a 2+82)上单调递减;由(1)知,当a >2√2时,f(x)有两极值点x 1,x 2(x 2>x 1),由(1)得x 1,x 2为g(x)=x 2−ax +2=0的两根,于是x 1+x 2=a ,x 1x 2=2,∴ f(x 2)−f(x 1)=21n x 2x 1+12(x 22−x 12)−a(x 2−x 1)=21n x 2x 1−x 2x 1+x1x 2,令t =x 2x 1(t >1),则f(x 2)−f(x 1)=ℎ(t)=21nt −t +1t , ∵ ℎ(t)=2t −1−1t2=−(t−1)2t 2<0,∴ ℎ(t)在(1, +∞)上单调递减,由已知ℎ(t)=f(x 2)−f(x I )的最大值为2ln2−32,而ℎ(2)=2ln2−32,所以t =2,设t 的取值集合T ,则只要满足T ⊆[2, +∞)且T 中的最小元素为2的T 集合都满足题意, 又12a 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=t +1t +2,易知φ(t)=t +1t +2在[2, +∞)上单调递增,结合a >2√2,可得a 与t 是一一对应关系,而当t =2,即x2x 1=2时,联合x 1x 2=2,解得x 2=2,x 1=1,进而可得a =3,∴ 实数a 的取值范围为[3, +∞)或[3, +∞)的任意最小元素为3的子集.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题申任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]【答案】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为:(x −1)2+y 2=r 2, 由x =ρcosθ,y =ρsinθ,得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3),代入曲线C 1得r 2=3, ∴ 曲线C 1的普通方程为:(x −1)2+y 2=3, C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1, 即ρ2cos2θ=1,∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ=1,将点A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程,得p 12cos2α=1,ρ22cos(2α−π3)=1, ∴ 1|OA|+1|OB|=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3).当α∈(0, π4)时,2α+π3∈(π3,5π6), 于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3]. 所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3].【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(1)将参数方程转化成普通方程,直角坐标方程转化成极坐标方程;(2)将点带入可求等式,将所求转化成极坐标表示的长度,联立带入化简,计算,求值. 【解答】将曲线C 1的参数方程转化成普通方程为:(x −1)2+y 2=r 2, 由x =ρcosθ,y =ρsinθ,得点P(2, π3)的直角坐标为(1, √3),代入曲线C 1得r 2=3,∴ 曲线C 1的普通方程为:(x −1)2+y 2=3, C 2可化为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=1, 即ρ2cos2θ=1,∴ 曲线C 2的极坐标方程ρ2cos2θ=1,将点A(ρ1, α),B(ρ2, α−π6)是曲线C 2的极坐标方程,得p 12cos2α=1,ρ22cos(2α−π3)=1, ∴ 1|OA|2+1|OB|2=1ρ12+1ρ22=cos2α+cos(2α−π3)=32cos2α+√32sin2α=√3sin(2α+π3).当α∈(0, π4)时,2α+π3∈(π3,5π6),于是√3sin(2α+π3)∈(√32,√3].所以1|OA|2+1|OB|2的取值范围是(√32,√3].[选修4-5:不等式选讲](10分) 【答案】当a =4时,关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2, 当x ≥12时,x +1−(2x −1)≤−2,解得x ≥4,综合可得x ≥4; 当x ≤−1时,−x −1+(2x −1)≤−2,解得x ≤0,综合可得x ≤−1;当−1<x <12时,x +1+(2x −1)≤−2,解得x ≤−23,综合可得−1<x ≤−23, 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞);设函数f(x)=|x +1|−|2x −1|=|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32,可得x =12时,f(x)取得最大值32, 若该不等式对x ∈R 恒成立,可得log 12a ≥32,解得0<a ≤√24.【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明 【解析】(1)由绝对值的意义,讨论x 的范围,去绝对值,解不等式,求并集,可得所求解集;(2)设函数f(x)=|x +1|−|2x −1|,运用绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值,由恒成立思想,解对数不等式可得所求范围. 【解答】当a =4时,关于x 的不等式|x +1|−|2x −1|≤log 12a =−2, 当x ≥12时,x +1−(2x −1)≤−2,解得x ≥4,综合可得x ≥4; 当x ≤−1时,−x −1+(2x −1)≤−2,解得x ≤0,综合可得x ≤−1;当−1<x <12时,x +1+(2x −1)≤−2,解得x ≤−23,综合可得−1<x ≤−23, 综上可得原不等式的解集为(−∞, −23]∪[4, +∞);设函数f(x)=|x +1|−|2x −1|=|x +1|−|x −12|−|x −12| ≤|x +1−(x −12)|−0=32,可得x =12时,f(x)取得最大值32, 若该不等式对x ∈R 恒成立,可得log 12a ≥32,解得0<a ≤√24.。

绵阳二诊数学(理)试题含答案

绵阳二诊数学(理)试题含答案

绵阳市高2014级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.BACAB CCDAD CB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.-11 14.32 15.53 16.55三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.解 :(Ⅰ) 令n n n a a c -=+1, 则n n c c -+1=(12++-n n a a )-(n n a a -+1)=1212=+-++n n n a a a (常数),2121=-=a a c ,故{a n +1-a n }是以2为首项,1为公差的等差数列. ………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知1+=n c n , 即a n +1-a n =n +1,于是11211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+-+-=--2)1(12)2()1(+=+++-+-+=n n n n n , …………………………8分 故)111(2)1(21+-=+=n n n n a n . ∴ S n =2(1-21)+2(21-31)+2(31-41)+…+)111(2+-n n =2(111+-n ) =12+n n . ………………………………………………………………12分 18.解:(Ⅰ) ∵a c 2=,∴ 由正弦定理有sin C =2sin A . …………………………………………2分 又C =2A ,即sin2A =2sin A ,于是2sin A cos A =2sin A , …………………………………………………4分 在△ABC 中,sin A ≠0,于是cos A =22, ∴ A =4π. ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ,,,n ∈N *.由C =2A ,得sin C =sin2A =2sin A cos A ,∴ ac A C A 2sin 2sin cos ==. ……………………………………………………8分由余弦定理得ac bc a c b 22222=-+, 代入a ,b ,c 可得 nn n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++, ……………………………………………10分 解得n =4,∴ a =4,b =5,c =6,从而△ABC 的周长为15,即存在满足条件的△ABC ,其周长为15. ………………………………12分19.解:(Ⅰ)由已知有 1765179181176174170=++++=x , 6656870666462=++++=y , 2222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(ˆ-+-+-+---+--+--+--=b =3727≈0.73, 于是17673.066ˆˆ⨯-=-=x b y a=-62.48, ∴ 48.6273.0ˆˆˆ-=+=x a x b y.………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185,代入回归方程得48.6218573.0ˆ-⨯=y=72.57, 即可预测M 队的平均得分为72.57. ………………………………………12分20.解:(Ⅰ) 设椭圆C 的焦半距为c ,则c =6,于是a 2-b 2=6. 由12222=+b y a c ,整理得y 2=b 2(1-22a c )=b 2×222a c a -= 24a b ,解得y =a b 2±, ∴ 222=ab ,即a 2=2b 4, ∴ 2b 4-b 2-6=0,解得b 2=2,或b 2=-23(舍去),进而a 2=8, ∴ 椭圆C 的标准方程为12822=+y x . ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ :1+=ty x ,)()(2211y x Q y x P ,,,. 联立直线与椭圆方程:⎪⎩⎪⎨⎧+==+,,112822ty x y x消去x 得:072)4(22=-++ty y t , ∴ y 1+y 2=422+-t t ,y 1y 2=472+-t . ………………………………………7分 于是482)(22121+=++=+t y y t x x , 故线段PQ 的中点)444(22+-+t t t D ,. ………………………………………8分 设)1(0y N ,-, 由NQ NP =,则1-=⋅PQ ND k k ,即t t t ty -=+--++4414220,整理得4320++=t t t y ,得)431(2++-t t t N ,. 又△NPQ 是等边三角形, ∴ PQ ND 23=,即2243PQ ND =, 即]474)42)[(1(43)44()144(22222222+-⋅-+-+=+++++t t t t t t t t , 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t , 即222222)4(8424)48(++=++t t t t , 解得 102=t ,10±=t , …………………………………………………11分∴ 直线l 的方程是0110=-±y x . ………………………………………12分21.解:(Ⅰ)222221)(xm x x x m x f -=+-=', ……………………………………1分 ①m ≤0时,)(x f '>0,)(x f 在)0(∞+,上单调递增,不可能有两个零点. …………………………………………………………2分 ②m >0 时,由0)(>'x f 可解得m x 2>,由0)(<'x f 可解得m x 20<<, ∴ )(x f 在)20(m ,上单调递减,在)2(∞+,m 上单调递增,于是)(x f min =)2(m f =12ln 212-+m m m , ……………………………………4分 要使得)(x f 在)0(∞+,上有两个零点, 则12ln 212-+m m m <0,解得20e m <<, 即m 的取值范围为)20(e ,. ………………………………………………5分 (Ⅱ)令x t 1=,则11ln 21)1(--=xx m x f 1ln 2--=t mt , 由题意知方程1ln 2--t mt =0有两个根t 1,t 2, 即方程t t m 22ln +=有两个根t 1,t 2,不妨设t 1=11x ,t 2=21x . 令t t t h 22ln )(+=,则221ln )(tt t h +-=', 由0)(>'t h 可得e t 10<<,由0)(<'t h 可得e t 1>, ∴ )10(e t ,∈时,)(t h 单调递增,)1(∞+∈,et 时,)(t h 单调递减. 故结合已知有 t 1>e1>t 2>0. ……………………………………………………8分要证e x x 21121>+,即证et t 221>+,即e t e t 1221>->. 即证)2()(21t eh t h -<. …………………………………………………………9分 令)2()()(x eh x h x --=ϕ, 下面证0)(<x ϕ对任意的)10(ex ,∈恒成立. 22)2(21)2ln(21ln )2()()(x ex e x x x e h x h x ----+--=-'+'='ϕ.………………………10分 ∵ )10(ex ,∈, ∴ 22)2(01ln x ex x -<>--,, ∴ )(x ϕ'22)2(21)2ln()2(21ln x e x e x e x ----+--->=2)2(22)2(ln x ee x x --+--. ∵ )2(x e x -<221]2)2([ex e x =-+, ∴ )(x ϕ'>0,∴ )(x ϕ在)10(e,是增函数, ∴ )(x ϕ<)1(eϕ=0, ∴ 原不等式成立.……………………………………………………………12分22.解:(Ⅰ)消去参数得1322=+y x . …………………………………………5分(Ⅱ)将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x .设Q (ααsin cos 3,),则M (ααsin 211cos 23+,), ∴ 233)4sin(26232sin 233cos 23++=+++=παααd ,∴ 最小值是4636-.………………………………………………………10分 23.解:(Ⅰ) 当t =2时,21)(-+-=x x x f .若x ≤1,则x x f 23)(-=,于是由2)(>x f 解得x <21.综合得x <21.若1<x <2,则1)(=x f ,显然2)(>x f 不成立 .若x ≥2,则32)(-=x x f ,于是由2)(>x f 解得x >25.综合得x >25. ∴ 不等式2)(>x f 的解集为{x | x <21,或x >25}. …………………………5分 (Ⅱ))(x f ≥x a +等价于a ≤f (x )-x .令g (x )= f (x )-x .当-1≤x ≤1时,g (x )=1+t -3x ,显然g (x )min =g (1)=t -2.当1<x <t 时,g (x )=t -1-x ,此时g (x )>g (1)=t -2.当t ≤x ≤3时,g (x )=x -t -1,g (x )min =g (1)=t -2.∴ 当x ∈[1,3]时,g (x )min = t -2.又∵ t ∈[1,2],∴ g (x )min ≤-1,即a ≤-1.综上,a 的取值范围是a ≤-1. ……………………………………………10分不用注册,免费下载!。

2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)

2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)一、选择题(本大题共12小题,共36.0分)1.设集合A={x∈N|−1≤x≤1},B={x|log2x<1},则A∩B=()A. [−1,1)B. (0,1)C. {−1,1}D. {1}2.已知直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:2x+ay+1=0,若l1⊥l2,则a=()A. 0B. 2C. ±2D. 43.已知平面向量a⃗=(1,√3),b⃗ =(2,λ),其中λ>0,若|a⃗−b⃗ |=2,则a⃗⋅b⃗ =()A. 2B. 2√3C. 4√3D. 8)6的展开式中常数项为()4.二项式(2x−√xA. 160B. −160C. 60D. −605.已知函数f(x)=x3+sinx+2,若f(m)=3,则f(−m)=()A. 2B. 1C. 0D. −16.已知曲线y=e x(e为自然对数的底数)与x轴、y轴及直线x=a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a−1.现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点,其中恰有255个点落在图中阴影部分内,若OA=1,则由此次模拟实验可以估计出e的值约为()A. 2.718B. 2.737C. 2.759D. 2.7857.已知命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列,则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列;命题q:∀x∈)(k∈Z),都有sinx<x.则下列命题是真命题的是()(2kπ,2kπ+π2A. ¬p∧qB. p∧qC. p∨qD. ¬p∨q8.对全班45名同学的数学成绩进行统计,得到平均数为80,方差为25,现发现数据收集时有两个错误,其中一个95分记录成了75分,另一个60分记录成了80分.纠正数据后重新计算,得到平均数为x−,方差为s2,则()A. x−=80,s2<25B. x−=80,s2=25C. x−=80,s2>25D. x−<80,s2>259. 已知双曲线E :x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1,F 2,P 为其渐近线上一点,若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形,则E 的离心率为( )A. √72B. 2C. √3D. √510. 若函数f(x)=x 3−(a2+3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值,则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−6)B. (−∞,6)C. (6,+∞)D. (−6,+∞)11. 已知正实数x ,y 满足ln xy >lg yx ,则( )A. lnx >ln(y +1)B. ln(x +1)<lgyC. 3x <2y−1D. 2x−y >112. 已知点O 为坐标原点,|OP|=2√2,点B ,点C 为圆x 2+y 2=12的动点,且以BC 为直径的圆过点P ,则△OBC 面积的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. √2二、填空题(本大题共4小题,共12.0分) 13. 复数z 满足(1+i)⋅z =1−i ,则z =______.14. 已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p ,且各员工发表论文是否获奖相互独立.若X 为该公司的6名员工发表论文获奖的人数,D(X)=0.96,E(X)>2,则p 为______ . 15. 已知F(1,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一交点为A ,若4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =5FA⃗⃗⃗⃗⃗ ,则a = ______ . 16. 关于函数f(x)=sin2x +2cos 2x ,下列说法正确的序号是______ .①函数f(x)的一条对称轴为x =3π8;②若f(x 1)=f(x 2)=1,则x 1−x 2=kπ2(k ∈Z);③函数f(x)关于(−π8,0)成中心对称;④设[a,b]⊆[0,π],对任意x 1,x 2∈[a,b],若f(x 1)>f(x 2),则有x 1>x 2,那么b −a 的最大值为3π8. 三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17. 已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1,a n+12=a n (a n+1+2a n ).(1)证明:数列{a n }为等比数列,并求通项公式; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 2n >1609a n ,求n 的最小值.18. 某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量(单位:万瓶)的数据如表:x(月份)2 3 4 5 6 y(生产产量:万瓶)356.5810.5(1)根据以上数据,求y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂;(2)当统计数据中,某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1,0.1]内时,称该月为“甲级月”,否则称该月为“乙级月”.将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量,现从该年2月至7月中随机抽取2个月,求这2个月均为“乙级月”的概率.附:参考公式:b ̂=∑(ni=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2,a ̂=y −−b ̂x −.19. 如图,在△ABC 中,点P 在边BC 上,∠PAC =30°,AC =√3,AP +PC =2.(1)求∠APC ; (2)若cosB =5√714,求△APB 的面积.20. 已知函数f(x)=(2m +2)x −4lnx −12mx 2(m ∈R).(1)若函数g(x)=f(x)+12mx 2有两个零点,求m 的取值范围; (2)若f(x)≥0,求m 的取值范围.21. 已知抛物线C :y 2=2px(p >0)的焦点为F ,点A 在第一象限内且为抛物线C 上一点,点D(5,0),当直线AD 的倾斜角为2π3时,△ADF 恰为等边三角形. (1)求C 的方程;(2)过y 轴上一点P 作抛物线C 的切线l 1交直线x =5于G ,以DG 为直径作圆E ,过点P 作直线l 2交圆E 于H ,Q 两点,试问:|PH|⋅|PQ|是否为定值?并说明理由.22. 在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的方程为(x −2)2+y 2=6.曲线C 2的参数方程为{x =t 2+1t 2y =t 2−1t 2(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π,ρ∈R).2(1)求曲线C1与C2的极坐标方程;(2)已知直线l与曲线C1交于A,B两点,与曲线C2交于点C,若|AB|:|OC|=√5:√2求α的值.23.已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|.(1)求不等式f(x)<3的解集;(2)记函数f(x)的最小值为m,a>0,b>0,c>0,a+b+c=mabc,证明:ab+bc+ac≥9.答案和解析1.【答案】D【解析】解:集合A={x∈N|−1≤x≤1}={0,1},B={x|log2x<1}=(0,2),则A∩B={1}故选:D.运用对数函数单调性,求得集合B,再由交集定义,即可得到所求.本题考查集合的运算,主要是交集运算,同时考查对数函数单调性,属于基础题.2.【答案】A【解析】解:根据题意,直线l1:ax+2y+1=0,直线l2:2x+ay+1=0,若l1⊥l2,则有2a+2a=0,解可得a=0,故选:A.根据题意,由直线垂直的判断方法可得关于a的方程,计算可得答案.本题考查直线垂直的判断,涉及直线的一般式方程,属于基础题.3.【答案】D【解析】解:a⃗−b⃗ =(−1,√3−λ),且|a⃗−b⃗ |=2,∴1+(√3−λ)2=4,且λ>0,∴解得λ=2√3,∴b⃗ =(2,2√3),a⃗⋅b⃗ =2+√3×2√3=8.故选:D.可求出a⃗−b⃗ =(−1,√3−λ),然后根据|a⃗−b⃗ |=2即可求出λ的值,从而可得出向量b⃗ 的坐标,然后进行向量坐标的数量积运算即可.本题考查了向量坐标的减法和数量积的运算,根据向量的坐标求向量的长度的方法,考查了计算能力,属于基础题.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二项式定理的应用问题,也考查了根式与幂的运算法则的应用问题,是基础题目.)6展开式的通项公式,求出展开式中常数项即可.利用二项式(2x√x【解答】解:二项式(2x√x)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅√x)r=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−32r,令6−32r=0,解得r=4;∴该二项式展开式中常数项为C64⋅26−4⋅(−1)4=60.故选C.5.【答案】B【解析】解:根据题意,函数f(x)=x3+sinx+2,则f(−x)=(−x)3+sin(−x)+2=−(x3+sinx)+2,则f(x)+f(−x)=4,若f(m)=3,则f(−m)=1,故选:B.根据题意,由函数的解析式分析可得f(x)+f(−x)=4,结合f(m)的值,计算可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数值的计算,属于基础题.6.【答案】C【解析】解:∵OA=1,∴x=1,AB=e,∴S阴影=e−1,S矩形OABC=e,∵采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点,其中恰有255个点落在图中阴影部分内,∴e−1e =255400,解得e≈2.759.故选:C.由OA=1,求出S阴影=e−1,S矩形OABC=e,利用几何概型列出方程,能求出e的估计值.本题考查概率的求法,涉及到几何概型等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力等核心素养,是基础题.7.【答案】C【解析】解:根据题意,命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列,则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列,为真命题,对于q,当k=−1时,sinx>0>x,则q为假命题,则¬p∧q、p∧q、¬p∨q都是假命题,p∨q为真,故选:C.根据题意,先分析命题p、q的真假,由复合命题的性质分析选项可得答案.本题考查命题真假的判断,涉及等差数列的性质以及全称命题真假的判断,属于基础题.8.【答案】C【解析】解:根据题意,两个数据记录有误,一个错将95记录为75,另一个错将60记录为80,由95+60=75+80知,这组数据的总和不变,所以在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数不变,即x−=80,(95−80)2+(60−80)2>(75−80)2+(80−80)2,所以数据的波动变大了,即s2>25.故选:C.分析数据更正前后,数据的总和不变,其波动变大,结合平均数、方差的定义分析可得结论.本题考查了数列的平均数和方差的计算问题,也考查了分析问题和解答问题的能力,是基础题.9.【答案】A【解析】解:由题意可得:P(2c,√3c),代入渐近线方程y=ba x,可得:√3c=ba×2c,所以ba =√32,所以e=ca =√1+b2a2=√72.故选:A.求出P的坐标,代入双曲线的渐近线方程,转化求解离心率即可.本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力,是中档题.10.【答案】B【解析】解:f(x)=x3−(a2+3)x2+2ax+3,则f′(x)=3x2−(a+6)x+2a,由题意得:f′(2)=0,即12−2a−12+2a=0,f′(2)恒为0,∵f(2)是极小值,∴x<2时,函数单调递减,x>2时,函数单调递增,结合二次函数的性质f′(x)的对称轴在x=2的左侧,即a+66<2,故a<6,又△=(a+6)2−24a=(a−6)2>0,故a<6,故选:B.求出函数的导数,结合二次函数的性质得到关于a的不等式,解出即可.本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用以及转化思想,是中档题.11.【答案】D【解析】解:因为正实数x,y满足ln x y>lg y x,所以lnx−lny>lgy−lgx,所以lnx+lgx>lny+lgy,因为函数f(x)=lnx+lgx在(0,+∞)上单调递增,且f(x)>f(y),所以x>y,对于A,取x=4,y=3,此时lnx=ln(y+1),故A错误;对于B,取x=2,y=1,此时ln(x+1)>lgy,故B错误;对于C,取x=2,y=1,此时3x>2y−1,故C错误;对于D,因为x>y,所以x−y>0,所以2x−y>20=1,故D正确.故选:D.利用对数的运算将已知等式转化为lnx+lgx>lny+lgy,利用函数的单调性可得x>y,取特殊值逐一判断选项A,B,C,由指数函数的性质可判断选项D.本题主要考查函数的单调性,考查对数运算、对数函数和指数函数的性质,属于中档题.12.【答案】A【解析】解:如图所示,|OB|=|OC|=2√3,|OP|=2√2,所以S△OBC=12⋅|OB|⋅|OC|=sinθ=12⋅(2√3)2sinθ=6sinθ,所以只需sinθ最小时,S△OBC最小,①当0<θ≤90°时,如图所示,若sinθ最小,则θ最小,则BC⏜最小,根据题意可得以BC为直径的圆与内圆相交(存在点P),若P为两个圆的切点时,BC最小,所以(2√2+R)2+R2=(2√3)2,解得R=2−√2,所以S△OBC最小=12(2√2+R)⋅2R=2,②当90°<θ≤180°时,若sinθ最小,则θ最大,则BC⏜最大,根据题意可得以BC为直径的圆与内圆相交(存在点P),若P为两个圆的(内切)切点时,BC最大,所以(R−2√2)2+R2=(2√3)2,解得R=2+√2,所以S△OBC最小=12(R−2√2)⋅2R=2,故选:A.作图得|OB|=|OC|=2√3,|OP|=2√2,S△OBC=12⋅|OB|⋅|OC|=6sinθ,只需sinθ最小时,S△OBC最小,分两种情况①当0<θ≤90°时,②当90°<θ≤180°时,进行讨论,即可得出答案.本题考查动点问题,解题中需要注意分类讨论思想的应用,属于中档题.13.【答案】−i【解析】解:由(1+i)⋅z=1−i,得z=1−i1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i2=−i,故答案为:−i.由(1+i)⋅z=1−i,得z=1−i1+i,再利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案.本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础题.14.【答案】0.8【解析】解:由已知可得X~B(6,p),则D(X)=6p(1−p)=0.96,即25p2−25p+6=0,解得p=0.2或0.8,因为E(X)=6p>2,可得p>13,所以p=0.8.故答案为:0.8.由已知可得X服从二项分布,根据二项分布的方差公式和期望公式即可求出p的值.本题考查了二项分布的期望和方差,考查了运算求解能力,属于基础题.15.【答案】3【解析】解:由椭圆的方程可得B(0,−b),F(1,0),所以k BF =0−(−b)1−0=b ,所以直线BF :y =b(x −1),联立{y =b(x −1)x 2a 2+y 2b 2=1,整理可得(1+a 2)x 2−2a 2x =0,可得x =0或x =2a 21+a 2,所以x A =2a 21+a 2,所以y A =b(a 2−1)1+a 2,因为4BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =5FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则4(1,b)=5(2a 21+a 2−1,b(a 2−1)1+a 2), 所以4b =5⋅b(a 2−1)1+a 2,解得a 2=9,故答案为:3.由椭圆的方程可得B ,F 的坐标,求出直线BF 的方程,与椭圆联立求出A 的坐标,进而求出向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,由题意可得a 的值.本题考查直线与椭圆的综合及向量的关系求坐标的关系,属于基础题.16.【答案】②④【解析】解:函数f(x)=sin2x +2cos 2x =sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1, 对于①:当x =3π8时,f(3π8)=√2sinπ+1=1≠±√2+1,故①错误; 对于②:若f(x)=1,则sin(2x +π4)=0,即2x +π4=kπ,解得x =−π8+kπ2(k ∈Z),由于f(x 1)=f(x 2)=1, 所以x 1=−π8+k 1π2,x 2=−π8+k 2π2(k 1,k 2∈N),则x 1−x 2=(k 1−k 2)π2,由于k 1,k 2∈N , 所以k 1−k 2=k ∈N , 故②正确;对于③:当x =−π8时,f(−π8)=1,所以函数f(x)关于(−π8,1)对称,故③错误;对于④:命题等价于f(x)在[a,b]上单调递增,求b−a的最大值,令−π2+2kπ≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得−3π8+kπ≤x≤kπ+π8(k∈Z),由于x∈[0,π],故函数的单调递增区间为[0,π8]和[5π8,π],所以b−a的最大值为3π8.故④正确.故答案为:②④.首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的性质函数的单调性,对称性,函数的值的应用判断①、②、③、④的结论.本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,正弦型函数的性质的应用,函数的单调性,对称性,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.17.【答案】(1)证明:∵a n+12=a n(a n+1+2a n),∴(a n+1−2a n)(a n+1+a n)=0,又a n>0,∴a n+1=2a n,∴数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列,且a n=2n−1;(2)解:由(1)可得S2n=1−22n1−2=22n−1,又S2n>1609a n,∴22n−1>1609×2n−1,解得:2n>9,或2n<−19(舍),∴n的最小值为4.【解析】(1)先由题设条件推导出:a n+1=2a n,即可证明结论,再由a1=1求得a n即可;(2)先由(1)求得S2n,再由S2n>1609a n得到:2n>9,即可求得n的最小值.本题主要考查等比数列的定义及基本量的计算,属于中档题.18.【答案】解:(1)根据表中数据,计算x−=15×(2+3+4+5+6)=4,y−=15×(3+5+6.5+8+10.5)=6.6,∴b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=−2×(−3.6)+(−1)×(−1.6)+1×1.4+2×3.94+1+0+1+4=1.8,a ̂=y −−b ̂x −=6.6−1.8×4=−0.6,∴y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.8x −0.6. (2)当x =2时,y ̂=1.8×2−0.6=3,y −y ̂=0, 当x =3时,y ̂=1.8×3−0.6=4.8,y −y ̂=0.2, 当x =4时,y ̂=1.8×4−0.6=6.6,y −y ̂=−0.1, 当x =5时,y ̂=1.8×5−0.6=8.4,y −y ̂=−0.4, 当x =6时,y ̂=1.8×6−0.6=10.2,y −y ̂=0.3,当x =7时,y ̂=1.8×7−0.6=12,该月的实际生产产量y 也为12,∴y −y ̂=0, ∴属于“甲级月”的有2月,4月,7月,属于“乙级月”的有3月,5月,6月, 故这2个月均为“乙级月”的概率为P =C 32C 62=15.【解析】(1)先计算x −和y −,再根据a ̂和b ̂的公式求得线性回归方程的系数,从而得解;(2)分别代入月份x 的值,计算出y ̂,从而得y −y ̂的值,然后判断该月属于“甲级月”还是“乙级月”,再结合古典概型与组合数的计算公式,得解.本题考查线性回归方程的求法,古典概型,考查学生对数据的分析与处理能力,属于中档题.19.【答案】解:(1)因为∠PAC =30°,AC =√3,由余弦定理可得CP 2=AP 2+AC 2−2AP ×AC ×cos∠PAC ,即CP 2=AP 2+3−2√3AP ⋅cos30°, 又AP +CP =2,联立解得AP =1,CP =1, 所以∠APC =120°.(2)因为∠APC =120°,可得∠APB =60°, 因为cosB =5√714,可得sinB =√2114, 在△APB 中,由正弦定理APsin∠APB =APsinB ,可得AB =√7,在△APB 中,由余弦定理AB 2=AP 2+PB 2−2AP ⋅PB ⋅cos∠APB ,可得7=1+PB 2−2PBcos60°,即PB 2−PB −6=0,解得BP =3.所以△APB的面积为S=12AP⋅BP⋅sin∠APB=12×1×3×√32=3√34.【解析】(1)由已知利用余弦定理即可解得AP=1,CP=1,可得∠APC=120°,从而得解.(2)由题意得∠APB=60°,利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值,在△APB中,由正弦定理可得AB 的值,在△APB中,由余弦定理可得PB2−PB−6=0,解得BP的值,进而根据三角形的面积公式即可计算求解.本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,正弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.20.【答案】解:(1)g(x)=f(x)+12mx2=(2m+2)x2−4lnx,x>0,所以g′(x)=2m+2−4x =2[(m+1)x−2]x,当m≤−1时,g′(x)<0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,此时函数不可能有两个零点,舍去,当m>−1时,当0<x<21+m 时,g′(x)<0,函数单调递减,当x>21+m时,g′(x)>0,函数单调递增,若使函数g(x)有2个零点,则g(21+m )=4−4ln21+m<0,所以ln21+m >1,即21+m>e,所以m<2e−1,所以−1<m<2e−1.(2)因为f(x)=(2m+2)x−4lnx−12mx2,x>0,所以f′(x)=2m+2−4x −mx=−mx2−(2m+2)x+4x=−(mx−2)(x−2)x,x>0,若m≤0,当x∈(0,2)时,f′(x)<0,函数单调递减,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,函数单调递增,所以f(x)min=f(2)=2m+4−4ln2≥0,所以m≥2ln2−2,综上2ln2−2≤m≤0,若m>0,则f(4+4m )=8(m+1)2m−4ln(4+4m)−12m⋅16(1+m)2m2=−4ln(4+4m)<0,则f(x)≥0不恒成立,综上,2ln2−2≤m≤0.【解析】(1)先对g(x)求导,然后结合导数与单调性关系,然后结合函数的性质即可求解, (2)先对f(x)求导,结合m 的范围及导数与单调性关系,结合函数性质可求. 本题主要考查了导数的计算和导数在研究函数的性质中的应用,属于中档题.21.【答案】解:(1)由题意可得x A =12(5+p 2)=52+p 4,且|DF|=5−p2,由抛物线的定义可知|AF|=x A +p2,因为△ADF 为等边三角形,所以|AF|=|DF|,即x A +p2=5−p2,解得p =2,所以抛物线C 的方程为y 2=4x ;(2)设直线l 1的方程为y =kx +m ,则G(5,5k +m),E(5,5k+m 2),P(0,m),所以以DG 为直径的圆E :(x −5)2+(y −5k+m 2)2=(5k+m)24,即(x −5)2+y 2−(5k +m)y =0,联立方程组{y 2=4xy =kx +m ,消去y 整理可得,k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0,因为直线l 1与曲线C 相切,所以△=(2km −4)2−4k 2m 2=0,化简可得km =1, 设直线l 2的方程为y =tx +m ,H(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),联立方程组{y =tx +m(x −5)2+y 2−(5k +m)y =0,消去y 整理可得,(t 2+1)x 2+(tm −5kt −10)x +25−5km =0, 所以x 1x 2=25−5km t +1=20t +1,因为|PH|=√t 2+1|x 1|,|PQ|=√t 2+1|x 2|,所以|PH|⋅|PQ|=(t 2+1)|x 1x 2|=(t 2+1)⋅20t 2+1=20, 故|PH|⋅|PQ|为定值20.【解析】(1)利用几何关系得到A 点的横坐标和|DF|,然后由抛物线的定义可得|AF|,结合△ADF 为等边三角形,列出关于p 的等式,求解即可得到答案;(2)设直线l 1的方程,得到点G 的坐标,由此求出以DG 为直径的圆E 的方程,联立直线l 1与抛物线的方程,由相切得到△=0,再设直线l 2的方程,联立直线l 2与圆E 的方程,得到韦达定理,表示出|PH|和|PQ|,化简即可得到答案.本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用,同时考查了抛物线定义的应用,在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时,一般会联立直线与圆锥曲线的方程,利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究,属于中档题.22.【答案】解:(1)曲线C 1的方程为(x −2)2+y 2=6,转换为x 2+y 2−4x =2,根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2−4ρcosθ=2;曲线C 2的参数方程为{x =t 2+1t 2y =t 2−1t 2(t 为参数),转换为直角坐标方程为x 2−y 2=4,根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=4. (2)根据{ρ2−4ρcosθ=2θ=α,整理得ρ2−4ρcosα−2=0,所以ρ1+ρ2=4cosα,ρ1ρ2=−2,故|AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√16cos 2α+8, {ρ2cos 2θ−ρ2sin 2θ=4θ=α,解得|OC|2=4cos 2θ−sin 2θ,由于|AB|:|OC|=√5:√2, 所以|AB|2|OC|2=52,整理得4cos 22α+8cos2α−5=0, (2cos2α+5)(2cos2α−1)=0, 解得cos2α=12, 由于−π2<α<π2, 故α=±π6.【解析】(1)直接利用转换关系,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换; (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用,极径的应用求出结果.本题考查的知识要点:参数方程,极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系式的应用,极径的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题. 23.【答案】解:(1)f(x)=|x −3|+|x −2|={2x −5,x >31,2≤x ≤3−2x +5,x <2.∵f(x)<3,∴{2x −5<3x >3或2≤x ≤3或{−2x +5<3x <2,∴3<x <4或2≤x ≤3或1<x <2,∴1<x <4, ∴不等式的解集为{x|1<x <4}. (2)证明:由(1)可得m =f(x)min =1,∴a+b+c=abc,∴a+b+cabc=1,∵a>0,b>0,c>0,∴ab+bc+ca=(ab+bc+ca)⋅a+b+c=(a+b+c)⋅ab+bc+caabc=(a+b+c)(1a+1b+1c)=3+ab+ba+ac+ca+bc+cb⩾3+2√ab ⋅ba+2√ac⋅ca+2√bc⋅cb=9,当且仅当a=b=c时可取等号,即ab+bc+ac⩾9.【解析】(1)将f(x)写为分段函数的形式,然后根据f(x)<3,利用零点分段法解不等式即可;(2)由(1)可得m=f(x)min=1,然后根据ab+bc+ca=(ab+bc+ca)⋅a+b+cabc,利用基本不等式,即可证明ab+bc+ac≥9成立.本题考查了绝对值不等式的解法,基本不等式和利用综合法证明不等式,考查了分类讨论思想和转化思想,属中档题.。

2022届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题——附答案

2022届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题——附答案

2022届四川省绵阳市高三上学期第二次诊断性考试数学(理)试题——附答案秘密★启用前【考试时间:2022年1月5日l5:00-17:00】绵阳市高中2022级第二次诊断性考试理科数学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U={某|某>0},M={某|l<e某<e2},则=A.(1,2)B.(2,+∞)C.(0,1]∪[2,+∞)D.[2,+∞)2.已知i为虚数单位,复数z满足z·i=1+2i,则z的共轭复数为A.2-iB.l-2iC.2+iD.i-23.已知两个力F1=(l,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力F3,则F3=A.(1,-5)B.(-1,5)C.(5,-1)D.(-5,l)4.甲、乙、丙三位客人在参加中国(绵阳)科技城国际科技博览会期间,计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察,由于时间关系,每个人只能选择一个景点,则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为A.B.C.D.5.已知α为任意角,则“co2α=”是“inα=”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要6.若(a某-)5的展开式中各项系数的和为l,则该展开式中含某3项的系数为A.-80B.-10C.10D.807.己知某产品的销售额y与费用某之间的关系如下表:若根据表中的数据用最小二乘法求得y对某的回归直线方程为y=6.5某+9,则下列说法中错误的是A.m的值是20B.该回归直线过点(2,22)C.产品的销售额与广告费用成正相关D.当广告费用为10万元时,销售额一定为74万元8.双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于A,B两点,若四边形OAFB(O为坐标原点)的面积为bc,则双曲线的离心率为A.B.2C.D.39.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得1分,其余每人得0分,现3人共进行了4次游戏,记小明4次游戏得分之和为某,则某的期望为A.1B.2C.3D.410.已知圆C:某2+y2-6某-8y+9=0,点M,N在圆C上,平面上一动点P满足|PM|=|PN|且PM⊥PN,则|PC|的最大值为A.8B.8C.4D.411.己知f(某)为偶函数,且当某≥0时,,则满足不等式f(log2m)+f()<2f(1)的实数m的取值范围为A.(,2)B.(0,2)C.(0,)∪(1,2)D.(2,+∞)12.函数f(某)=(2a某-1)2-loga(a某+2)在区间[0,]上恰有一个零点,则实数a的取值范围是A.(,)B.[3,+∞)C.(1,2)∪[3,+∞)D.[2,3)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.直线l1:a某-(a+l)y-1=0与直线4某-6y+3=0平行,则实数a的值是.14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法一一随机投针法。

绵阳二诊理科数学

绵阳二诊理科数学

绵阳市高2012级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.CDADC BBADC10.提示:问题转化为1)(max ≤x f .由)00)((333)(22><+=+='b a b ax b ax x f ,,得abx x f a b x x f ->⇒<'-<<⇒>'0)(00)(,,即)(x f 在)0(a b -,递增,在)(∞+-,ab 递减, ①当1≥-ab,即a b -≥时,13)1()(0)0()(max min ≤+====b a f x f f x f ,, 即211313≤⇒+≤⇒⎩⎨⎧≤--≤b b b b a a b ,,. ②当1<-ab即a b -<时, 233403)1(12)()(0)0(3max ≤⇒⎩⎨⎧≤--≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=≤-=-==b b a a b b a f a b b a b f x f f ,,,,,,此时233-=a . 将233-=a ,23=b 代入检验正确. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.27 12.-160 13. 23- 14.65 15.①③15.提示:③ 法一:21)(x x f -=和)2()(>+-=b b x x g 是(-1,1)上的“接近函数”,结合图形,)11(,-∈∃x 使max 22)11(11++-≤⇔≤--+-x x b x b x , 令)11(11)(2<<-++-=x x x x h ,,22011)(2±=⇒=--='x x x x h , 即)2222(,-∈x 时,0)(>'x h ;)122(,∈x 时,0)(<'x h . 所以12)22()(max +==h x h . 法二:数形结合求出直线和半圆相切时切点)2222(,P ,当直线和圆在)2222(,P 的“竖直距离”为1 时,12+=b .④若ex xxx f 2ln )(+=与22)(e a x x g ++=是)1[∞+,上的“远离函数”, 即)1[∞+∈∀,x ,x x ex e a x e a x ex x x ln 22ln 2222--++=---+1ln )(2>-+-=xxa e x . 令a e x x P +-=21)()(,则)(1x P 在)(e ,-∞递减,在)(∞+,e 递增, ∴ a e P x P ==)()(1min 1; 令xx x P ln )(2=,22ln 1)(x xx P -=',易得)(2x P 在)(e ,-∞递增,在)(∞+,e 递减,∴ e e P x P 1)()(2max 2==,∴ ea e a 1111+>⇒>-. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.解:(Ⅰ)设所选取的2人中至少有1人为“满意观众”的事件为A ,则A 为所选取的人中没有1人为“满意观众”, ∴ P (A )=1-P (A )=1-21224C C =1-111=1110, 即至少有1人为“满意观众”的概率为1110. ………………………………4分 (Ⅱ) 由茎叶图可以得到抽样中“满意观众”的频率为32128=,即从观看此影片的“满意观众”的概率为32,同理,不是“满意观众”的概率为31.…6分由题意有ξ=0,1,2,3,则P (ξ=0)=303)31(C =271,P (ξ=1)=213)31(32⨯⨯C =92,P (ξ=2)=31)32(223⨯⨯C =94,P (ξ=3)=333)32(C =278, ∴ ξ的分布列为10分∴ ξ的数学期望E ξ=0×271+1×92+2×94+3×278=2.………………………12分17.解:(Ⅰ) 如图,连结AC 、BD 交于O ,连结OE .由ABCD 是正方形,易得O 为AC 的中点,从而OE 为△P AC 的中位线,∴ EO //P A .∵ EO ⊂面EBD ,P A ⊄面EBD ,∴ P A //面EBD .………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由已知PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥AD ,PD ⊥CD .如图,以DA ,DC ,DP 所在直线为坐标轴,D 为原点建立空间直角坐标系.设AD =2,则D (0,0,0),A (2,0,0),P (0,0,2),E (0,1,1),B (2,2,0),=(2,2,-2),=DA (2,0,0).…………………………………6分 设F (x 0,y 0,z 0),PB PF λ=,则由=(x 0,y 0,z 0-2)得(x 0,y 0,z 0-2)=λ(2,2,-2) ,即得⎪⎩⎪⎨⎧-===,,,λλλ2222000z y x于是F (2λ,2λ,2-2λ). ∴ =(2λ,2λ-1,1-2λ). 又EF ⊥PB ,∴ 0)2()21(2)12(22=-⨯-+⨯-+⨯λλλ,解得31=λ.∴ )343232(,,F ,)343232(,,=DF . ………………………………………8分设平面DAF 的法向量是n 1=(x ,y ,z ),则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,,0011n n 即⎩⎨⎧=++=,,0202z y x x 令z =1,得n 1=(0,-2,1).又平面P AD 的一个法向量为n 2=(0,1,0), ………………………………10分 设二面角P -AD -F 的平面角为θ, 则cos θ=2121n n n n ⋅55252==,即二面角P -AD -F 的余弦值为552. ………………………………………12分 18.解:(Ⅰ)由余弦定理得412212cos 222==-+=bc bc bc a c b A , 则415cos 1sin 2=-=A A . …………………………………………………4分 (Ⅱ)由A +B +C =π有C =π-(A +B ), 于是由已知sin B +sin C =210得210)(sin sin =++B A B ,即210sin cos cos sin sin =++B A B A B , 将415sin =A ,41cos =A 代入整理得210cos 415sin 45=+B B .①………7分 根据1cos sin 22=+B B ,可得B B 2sin 1cos -±=. 代入①中,整理得8sin 2B -410sin B +5=0, 解得410sin =B . ……………………………………………………………10分∴ 由正弦定理BbA a sin sin =有364154101sin sin =⨯==A B a b . ………………12分19.解:(Ⅰ) ∵二次函数x a x a x f n n n ⋅-+⋅=+-)2(21)(12的对称轴为x =21,∴ a n ≠0,2121221=⨯--+-n n n a a ,整理得n n n a a 21211+=+,………………………2分左右两边同时乘以12+n ,得22211+=++n n n n a a ,即22211=-++n n n n a a (常数), ∴ }2{n n a 是以2为首项,2为公差的等差数列, ∴ n n a n n 2)1(222=-+=,∴ 1222-==n n n nn a . ……………………………………………………………5分 (Ⅱ)∵ 12210221232221--+-+++=n n n nn S , ①n n n nn S 221232221211321+-+++=- , ②①-②得:n n n n S 2212121211211321-++++=- n nn 2211211---=, 整理得 1224-+-=n n n S .…………………………………………………………8分 ∵ )224(23411-++--+-=-n n n n n n S S =n n 21+>0, ∴ 数列{S n }是单调递增数列.………………………………………………10分∴ 要使S n <3成立,即使1224-+-n n <3,整理得n +2>12-n , ∴ n =1,2,3.………………………………………………………………12分20.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为12222=+by a x ,焦点坐标为(c ,0),由题知:⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,53322b a a c 结合a 2=b 2+c 2,解得:a 2=3,b 2=2, ∴ 椭圆E 的标准方程为12322=+y x . ………………………………………4分(Ⅱ) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),H (x 0,y 0),由已知直线MN 的方程为y =kx +3k +4,联立方程⎩⎨⎧++==+,,)43(63222k kx y y x消去y ,得0)427227()43(6)32(222=++++++k k x k k x k ,于是x 1+x 2=232)43(6k k k ++-,x 1x 2=2232427227k k k +++.① ………………………7分又P ,M ,H ,N 四点共线,将四点都投影到x 轴上,=2102133x x x x x x --=++, 整理得:)(6)(322121210x x x x x x x ++++=. …………………………………………10分将①代入可得=++-+++-⨯++++⨯=2222032)43(6632)43(63324272272k k k k k k k k k x k k 2176-+, …… 12分∴ kk k k k k k kx y 2142)43(2176)43(00-+=++-+=++=, 消去参数k 得01200=+-y x ,即H 点恒在直线012=+-y x 上. ………13分21.解:(Ⅰ) ∵ 11)(+-='xax x f ,x ∈(0,+∞), ………………………1分 ∴ a =2时,xx x x x x x f )1)(12(12)(2+-=-+='=0, ∴ 解得x =21,x =-1(舍). 即)(x f 的极值点为x 0=21. ……………………………………………………3分 (Ⅱ) xx ax x ax x f 111)(2-+=+-='.(1)0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数;0≠a 时, 对二次方程ax 2+x -1=0,Δ=1+4a ,(2)若1+4a ≤0,即41-≤a 时,ax 2+x -1<0,而x >0,故)(x f '<0,∴ )(x f 在(0,+∞)上是减函数. (3)若1+4a >0,即a >41-时,ax 2+x -1=0的根为a a x 241121+±-=,, ①若<-41a <0,则 a a 2411+-->a a2411++->0,∴ 当x ∈(a a 2411++-,a a 2411+--)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0,得)(x f 是增函数;当x ∈)2411,0(aa ++-, (a a 2411+--,+∞)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0,得)(x f是减函数. ②若a >0,a a 2411+--<0<aa2411++-,∴ 当x ∈(0,aa2411++-)时,ax 2+x -1<0,即)(x f '<0, 得)(x f 是减函数;当x ∈(aa2411++-,+∞)时,ax 2+x -1>0,即)(x f '>0得)(x f 是增函数.∴ 综上所述,0=a 时,)(x f 在)1,0(上是减函数,在)1,0(上是增函数 当41-≤a 时,)(x f 在(0,+∞)上是减函数; 当41-<a <0时,)(x f 在(aa 2411++-,a a 2411+--)上是增函数,在)2411,0(aa ++-, (a a2411+--,+∞)上是减函数;当a >0时,)(x f 在(a a 2411++-,+∞)上是增函数,在(0,aa2411++-)上是减函数.…………………………………………………………………………7分(Ⅲ)令)1(21)()()(+-++='-=a xa ae x f x g x h x ,x >0, 于是222)1(1)(x a x ae x a ae x h x x+-⋅=+-='.令)1()(2+-⋅=a x ae x p x ,则)2()(+⋅='x x ae x p x >0, 即p (x )在(0,+∞)上是增函数.∵ p (x )=-(a +1)<0,而当x →+∞时,p (x )→+∞, ∴ ∃x 0∈(0,+∞),使得p (x 0)=0.∴ 当x ∈(0,x 0)时,p (x )<0,即)(x h '<0,此时,h (x )单调递减; 当x ∈(x 0,+∞)时,p (x )>0,即)(x h '>0,此时,h (x )单调递增, ∴ )()(0min x h x h ==)1(210+-++a x a ae x .① 由p (x 0)=0可得0)1(200=+-⋅a x ae x ,整理得210x a ae x +=,②…………10分代入①中,得)(0x h =)1(21102+-+++a x a x a , 由∀x ∈(0,+∞),恒有)(x g ≥)(x f ',转化为)1(21102+-+++a x a x a ≥0,③ 因为a >0,③式可化为21102-+x x ≥0,整理得12020--x x ≤0, 解得21-≤x 0≤1.再由x 0>0,于是0<x 0≤1.…………………………………………………12分 由②可得aa x e x 1200+=⋅. 令)(0x ϕ=200x e x ⋅ ,则根据p (x )的单调性易得)(0x ϕ在1]0(,是增函数, ∴ )0(ϕ<)(0x ϕ≤)1(ϕ,即0<a a 1+≤e , 解得a ≥11-e ,即a 的最小值为11-e .……………………………………14分。

四川省绵阳市绵阳中学2024届高三下学期二诊模拟数学(理)试题(二)

四川省绵阳市绵阳中学2024届高三下学期二诊模拟数学(理)试题(二)

一、单选题二、多选题1. 在直角坐标系中,角与角均以原点为顶点,以x 轴的非负半轴为始边,则“与的终边相同”是“”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2. 已知向量满足,,与的夹角为,,则的最大值为A.B.C.D.3. 现用甲、乙两台3D 打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件.已知这两台3D 打印设备在正常工作状态下打印出的零件内径尺寸Z(单位:)服从正态分布.根据要求,正式打印前需要对设备进行调试,调试时,两台设备各试打了5个零件,零件内径尺寸(单位:)如茎叶图所示.根据以上信息,可以判断()A .甲、乙两台设备都需要进一步调试B .甲、乙两台设备都不需要进一步调试C .甲需要进一步调试,乙不需要进一步调试D .乙需要进一步调试,甲不需要进一步调试4. 已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则( )A.B.C.D.5. 已知点F 为双曲线的右焦点,A ,B 两点在双曲线上,且关于原点对称,M 、N分别为的中点,当时,直线AB的斜率为,则双曲线的离心率为( )A .4B.C.D .26.设是抛物线上的一点,是抛物线的焦点,是坐标原点,若,则( )A.B.C.D.7. 已知函数若方程恰有四个不同的实数解,分别记为,则的取值范围是( )A.B.C.D.8. 若,,则A.B.C.D.9.已知上的偶函数在区间上单调递增,且恒有成立,则下列说法正确的是( )A .在上是增函数B .的图象关于点对称C .函数在处取得最小值D .函数没有最大值10. 在平面直角坐标系中,动点P 与两个定点和连线的斜率之积等于,记点P 的轨迹为曲线E ,则( )A .E的方程为B .E的离心率为C .E 的渐近线与圆相切D .过点作曲线E 的切线仅有2条四川省绵阳市绵阳中学2024届高三下学期二诊模拟数学(理)试题(二)三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题11. 已知为坐标原点,抛物线的焦点为,准线与轴交于点,过点的直线与交于,两点,则( )A.B .的最小值为4C.D .的最小值为1012. 已知,且,则________.13. 已知集合,,则______.14. 已知,若对任意恒成立,则实数的取值范围为____________.15. “以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法,如在切点附近,可用曲线在该点处的切线近似代替曲线.曲线在点处的切线方程为_____________,利用上述“切线近以代替曲线”的思想方法计算所得结果为_____________(结果用分数表示).16. 用表示不超过的最大整数,已知数列满足:,,.若,,则________;若,则________.17. 阅读下面题目及其解答过程..)求证:函数是偶函数;)求函数的单调递增区间.的定义域是,都有又因为是偶函数.时,,在区间上单调递减.时, 时, ④ ,在区间 ⑤ 上单调递增.的单调递增区间是.以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个正确,请选出正确的选项,并填写在相应的横线上(只需填写“A”或“B”).空格序号选项①(A )(B )②(A )(B )③(A )2(B )④(A )(B )⑤(A )(B )18. 如图,两射线、均与直线l 垂直,垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上,点B 、C 在射线上.七、解答题八、解答题九、解答题十、解答题(1)若F 为线段BC 的中点(未画出),求的最小值;(2)若为等边三角形,求面积的范围.19. 2020年抗击新冠肺炎武汉封城期间,某公司的产品因符合抗疫要求(全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持)能继续直销武汉.为了把握准确的需求信息,他们使用大数据统计了武汉2019年末近100天内每天此产品的售货量(单位:箱)如下表所示:售货量(箱)天数5203030105统计分析发现服从正态分布.(1)画出售货量的频率分布直方图,并求出的值.(2)估计该公司一个月(30天)内售货量在区间内的天数(结果保留整数).(3)为鼓励分销商,该公司出台了两种不同的促销方案.方案一:直接返现,按每日售货量三级返现:时,返现400元;时,返现800元;时,返现1200元.方案二:通过抽奖返现:每日售货量低于时有一次抽奖机会;每日售货量不低于时有两次抽奖机会.每次抽奖获得奖金40O元的概率为,获得奖金800元的概率为.据你分析,分销商应采用哪种方案?请说明理由.附:若,则,.20. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①;②;③.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.21. 小王经营一家面包店,每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售.已知每卖出一个现烤面包可获利10元,若当天卖不完,则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元.经统计,得到在某月(30天)中,小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表:售出个数101112131415天数333696试依据以频率估计概率的统计思想,解答下列问题:(1)计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率;(2)若在今后的连续5天中,售出该现烤面包超过13个的天数大于3天,则小王决定增加订购量.试求小王增加订购量的概率.(3)若小王每天订购14个该现烤面包,求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望.22. 已知数列,都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列.(1)设数列、分别为等差、等比数列,若,,,求;(2)设的首项为1,各项为正整数,,若新数列是等差数列,求数列的前项和;(3)设(是不小于2的正整数),,是否存在等差数列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是?若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.。

四川省绵阳南山中学2023届高三上学期12月二诊热身考试数学(理)试卷(PDF版,含解析)

四川省绵阳南山中学2023届高三上学期12月二诊热身考试数学(理)试卷(PDF版,含解析)

2022年12月绵阳南山中学2022年秋绵阳二诊热身考试理科数学试题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为Z,集合{1,}A =2,3,{}Z x x x x B ∈≥--=,022,则=⋃)(B C A Z A.{1}B.{12}, C.{0123},,, D.{10123}-,,,,2.复数z 满足1+)||i z i =-(,则=z A.1+iB.1i- C.1i-- D.1+i-3.已知直线l 的方程为sin 10,x R αα+-=∈,则直线l 的倾斜角范围是A .20,,33πππ⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B .50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C .65,6[ππD .]32,3[ππ4.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表:根据下表可得回归方程中的6.10=∧b ,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为广告费用x (万元)4235销售额y (万元)49263958A.111.9万元B .112.1万元C .113.1万元D .113.9万元5.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有A .20种B .30种C .50种D .60种6.已知直线:10l mx y m +--=与圆22:(2)(2)4M x y -+-=交于,A B 两个不同点,则当弦AB 最短时,圆M 与圆22:()1N x y m +-=的位置关系是A .内切B .相离C .外切D .相交7.将函数)0(15sin(2)(>--=ωπωx x f 的图象向左平移5πω个单位,得到函数()y g x =的图象,若()y g x =在[0,4π上为增函数,则ω的最大值为A .5πB .25πC .2D .38.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x ',满足()()f x f x '<,且()()2f x f x -=+,()21f =,则不等式()x f x e <的解集为A.)2,(-∞B .()2,+∞C .()1,+∞D .()0,∞+9.如图,圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆,其与BC 边相切于点D ,点M 为圆上任意一点,BM →=xBA →+yBD →(x ,y ∈R ),则2x +y 的最大值为A .2B .3C .2D .2210.已知函数()f x 满足()(),11ln 1,1ax a x f x x x +≤-⎧+=⎨+>-⎩函数()()()g x f x f x =--恰有5个零点,则实数a 的取值范围为A .11,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D .1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2,焦距为8,P 是双曲线右支上的一点,直线F 2P与y 轴交于点A ,△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ,若|P Q |=2,则该双曲线的离心率为C.2D.312.已知函数)(x f y =的定义域为R ,对任意的实数x ,y ∈R ,)()()(y f x f y x f =+,当x <0时f (x )>1,且数列{}n a 满足*)(1)11()(1N n a f a f nn ∈=++,且a 1=f (0),则下列结论成立的是A .f (a 2016)>f (a 2019)B .f (a 2016)>f (a 2018)C .f (a 2017)>f (a 2020)D .f (a 2018)>f (a 2019)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.5212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为_________.14.已知)0,3(),1,3(-B A ,P 是椭圆221167x y +=上的一点,则PA PB +的最大值为.15.如图,将半径为1分米的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投100颗豆子,则落在星形区域内的豆子数大约为________.16.对于任意1x ,2[1,)x ∈+∞,当21x x >时,有0)(2ln 1212<--x x x x a 成立,则实数a 的取值范围是.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.2022年11月20日,卡塔尔世界杯在海湾球场盛大开幕。

绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案

绵阳市高三第二次诊断性考试数学(理)试题含答案

保密 ★ 启用前 【考试时间:20XX 年1月26日15:00—17:00】绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页,第II 卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。

2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

3.考试结束后,将答题卡收回。

第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1+y -1=0的倾斜角是A .30°B .60°C .120°D .150°2.计算:1+i+i 2+i 3+…+i 100(i 为虚数单位)的结果是A .0B .1C .iD .i+1 3.已知a 、b ∈R ,那么“ab <0”是“方程ax 2+by 2=1表示双曲线”的A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件4.为了得到函数3sin(2)5y x π=+的图象,只需把函数3sin()5y x π=+图象上所有点的A .横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 B .横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 C .纵坐标缩短到原来的12倍,横坐标不变 D .纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 5.一个正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的三视图如右图所示,则这个正三棱柱的体积为 AB.C.D.6.若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是A .(0,21)B .(21,1)正视图侧视图俯视图C .(0,1)D .(0,1)∪(1,+∞)7.现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相,若男学生站两端,3位女学生中有且只有两位相邻,则不同排法的种数是 A .12种B .24种C .36种D .72种8.已知椭圆22221x y a b +=(a >b >0)的半焦距为c (c >0),左焦点为F ,右顶点为A ,抛物线215()8y a c x =+与椭圆交于B 、C 两点,若四边形ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是 A .815B .415C .23D .129.已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +b -a +3=0,其中a 、b 为常数,点(a ,b )是区域Ω:0404a b ≤≤⎧⎨≤≤⎩,内的随机点.设该方程的两个实数根分别为x 1、x 2,则x 1、x 2满足0≤x 1≤1≤x 2的概率是 A .332B .316C .532D .91610.一只小球放入一长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5,则这只小球的半径是 A .3或8B .8或11C .5或8D .3或11第Ⅱ卷 (非选择题,共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.《人再囧途之泰囧》首映结束,为了了解观众对该片的看法,决定从500名观众中抽取10%进行问卷调查,在这500名观众中男观众占40%,若按性别用分层抽样的方法抽取采访对象,则抽取的女观众人数为 人.12.右图表示的程序所输出的结果是.13.51(21)(1)x x+-的展开式的常数项是__________.(填写具体数字) 14.我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线221412x y -=与双曲线221x y m n-=是“相近双曲线”,则nm的取值范围是 .15.已知函数()f x ,若对给定的三角形ABC ,它的三边的长a 、b 、c 均在函数()f x 的定义域内,都有()f a 、()f b 、()f c 也为某三角形的三边的长,则称()f x 是△ABC 的“三角形函数”.下面给出四个命题:①函数1()((0))f x x =∈+∞,是任意三角形的“三角形函数”;②若定义在(0)+∞,上的周期函数2()f x 的值域也是(0)+∞,,则2()f x 是任意三角形的“三角形函数”;③若函数33()3f x x x m =-+在区间2433(,)上是某三角形的“三角形函数”,则m 的取值范围是62+27∞(,); ④若a 、b 、c 是锐角△ABC 的三边长,且a 、b 、c ∈N +,则24()+ln (0)f x x x x =>是△ABC 的“三角形函数”.以上命题正确的有 .(写出所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数f (x )=(sin x +cos x )2-2sin 2x .(Ⅰ)求f (x )的单调递减区间;(Ⅱ)A 、B 、C 是△ABC 的三内角,其对应的三边分别为a 、b 、c .若()8A f =,AB AC ⋅=12,a =,且b <c ,求b 、c 的长.17.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD =DC ,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于F . (Ⅰ)求证:P A ∥平面EDB ; (Ⅱ)求证:PB ⊥平面EFD ; (Ⅲ)求二面角C -PB -D 的大小.18.(本小题满分12分)甲、乙两位同学练习三分球定点投篮,规定投中得三分,未投中得零分,甲每次投中的概率为13,乙每次投中的概率为14. (Ⅰ)求甲投篮三次恰好得三分的概率; (Ⅱ)假设甲投了一次篮,乙投了两次篮,设X 是甲这次投篮得分减去乙这两次投篮得分总和的差,求随机变量X 的分布列.19.(本小题满分12分)已知各项均不为零的数列{a n }的首项134a =,2a n +1a n =ka n -a n +1(n ∈N +,k 是不等于1的正常数). (Ⅰ)试问数列12{}1n a k --是否成等比数列,请说明理由; (Ⅱ)当k =3时,比较a n 与3435n n ++的大小,请写出推理过程. 20.(本小题满分13分)动点M (x ,y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l :x =4的距离之比是常数12,O 为坐标原点.(Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程,并说明轨迹E 是什么图形?(Ⅱ)已知圆C,是否存在圆C 的切线m ,使得m 与圆C 相切于点P ,与轨迹E 交于A 、B 两点,且使等式2AP PB OP ⋅=成立?若存在,求出m 的方程;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数f (x )=x ln x (x ∈(0,+∞)).D AB CPF E(Ⅰ)求(+1)()+1f xg x x x =-(x ∈(-1,+∞))的单调区间与极大值; (Ⅱ)任取两个不等的正数x 1、x 2,且x 1<x 2,若存在x 0>0使21021()()()f x f x f x x x -'=-成立,求证:x 1<x 0<x 2;(Ⅲ)已知数列{a n }满足a 1=1,1211(1)2n n n a a n+=++(n ∈N +),求证:114n a e <(e 为自然对数的底数).绵阳市高中20XX 级第二次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.CBCAA BBDAD二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.30 12.3013.-9 14.44[]215,∪521[]44, 15.①④ 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解:(Ⅰ)f (x )=1+sin2x -1+cos2xsin(2x+4π), ∴ 当22k ππ+≤2x+4π≤322k ππ+时,f (x )单调递减, 解得8k ππ+≤x ≤58k ππ+, 即f (x )的单调递减区间为[8k ππ+,58k ππ+](k ∈Z ). ……………………6分 (Ⅱ)f (8Asin(4A +4πsin(4A +4π,∴4A +4π=3π或23π,即A=3π或53π(舍).由AB AC ⋅=c ·b ·cos A =12,cos A =12,得bc =24.① 又cos A=222122b c a a bc +-==,,得b 2+c 2=52.∵ b 2+c 2+2bc =(b+c )2 =100,b >0,c >0, ∴ b+c=10,②联立①②,且b <c ,解得b =4,c =6. ………12分17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设DC =1.(Ⅰ)连结AC ,交BD 于G ,连结EG .依题意得A (1,0,0),P (0,0,1),E (0,12,12).∵ 底面ABCD 是正方形,所以G 是此正方形的中心, 故点G 的坐标为(12,12,0), 且11(101)(0)22PA EG =-=-,,,,,.∴ 2=,这表明P A //EG .而EG ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB , ∴ P A //平面EDB . ……………………………………………………………4分 (Ⅱ)依题意得B (1,1,0),PB =(1,1,-1).又11(0)22DE =,,, 故110022PB DE ⋅=+-=.∴DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥,且E DE EF = ,∴ ⊥PB 平面EFD .…………………………………………………………8分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知PB EF ⊥,PB DF ⊥,故EFD ∠是所求二面角的平面角. 设点F 的坐标为(x 0,y 0,z 0),PF k PB =,则(x 0,y 0,z 0-1)=k (1,1,-1),从而x 0=k ,y 0=k ,z 0=1-k , ∵ PB FD ⋅=0,所以(1,1,-1)·(k ,k ,1-k )=0,解得13k =, ∴ 点F 的坐标为112()333,,,且111()366FE =--,,,112()333FD =---,,∴ 1cos 2||||FE FD EFD FE FD ⋅∠==,得3π=∠EFD .∴ 二面角C -PB -D 的大小为3π.…………………………………………12分 18.解:(Ⅰ)甲投篮三次恰好得三分即1次投中2次不中,∵ 甲投篮三次中的次数x ~B (3,13), ∴ P (x =1)=123114(1)339C ⋅⋅-=, 甲投篮三次恰好得三分的概率为49.…………………………………………4分 (Ⅱ)设甲投中的次数为m ,乙投中的次数为n , ①当m =0,n =2时,X =-6,∴ P (X =-6)=222211()3424C ⋅⋅=. ②当m =1,n =2或m =0,n =1时,X =-3, ∴ P (X =-3)=2121121313()3434448C ⋅+⋅⋅⋅=. ③当m =1,n =1或m =0,n =0时,X =0,∴ P (X =0)=10222113231()344342C C ⋅⋅⋅+⋅⋅=. ④当m =1,n =0时,X =3,∴ P (X =3)=022139()3448C ⋅⋅=. ∴X 的分布列为…………………………………12分19.解:(Ⅰ)由 2a n +1a n =ka n -a n +1,可得11n a +=12n nka a +, ∴11n a +21k --=12n nka a +21k --=112()1n k a k --,首项为11242131a k k -=---. 若42031k -=-,即k=52时,数列12{}1n a k --为零数列,不成等比数列. 若42031k -≠-,即k>0,k ≠1且k ≠52时, 数列12{}1n a k --是以4231k --为首项,1k为公比的等比数列. ∴ 综上所述,当k=52时,数列12{}1n a k --不成等比数列;当k>0,k ≠1且k ≠52时,数列12{}1n a k --是等比数列.……………………………………6分 (Ⅱ)当k =3时,数列1{1}n a -是以13为首项,13为公比的等比数列. ∴ 111()3n n a -=,即a n =331nn +=1-131n +, ∴ a n -3435n n ++=1-131n +-(1-135n +)=135n +-131n +=334(35)(31)n nn n --++, 令F (x ) =3x -3x -4(x ≥1),则()F x '=3x ln3-3≥(1)F '>0, ∴ F (x )在[1)+∞,上是增函数. 而F (1)=-4<0,F (2)=-1<0,F (3)=14>0, ∴ ①当n =1和n =2时, a n <3435n n ++; ②当n ≥3时,3n +1>3n +5,即135n +>131n +,此时a n >3435n n ++. ∴ 综上所述,当n =1和n =2时,a n <3435n n ++;当n ≥3时,a n >3435n n ++.…12分 20.解:12=,化简得:22143x y +=,即轨迹E 为焦点在x 轴上的椭圆. ………………5分(Ⅱ)设A (x 1,x 2),B (x 2,y 2).∵ OA OB ⋅=(OP PA +)۰(OP PB +)=2OP +OP PB ⋅+PA OP ⋅+PA PB ⋅, 由题知OP ⊥AB ,故OP PB ⋅=0,PA OP ⋅=0. ∴ OA OB ⋅=2OP +PA PB ⋅=2OP -AP PB ⋅=0. 假设满足条件的直线m 存在,①当直线m 的斜率不存在时,则m 的方程为x=代入椭圆22143x y +=,得y=. ∴ OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=-2-64≠0,这与OA OB ⋅=0矛盾,故此时m 不存在. ②当直线m 的斜率存在时,设直线m 的方程为y =kx +b , ∴|OP|==b 2=2k 2+2.联立22143x y +=与y =kx+b 得,(3+4k 2)x 2+8kbx +4b 2-12=0,∴ x 1+x 2=2348kb k-+,x 1x 2=2241234k b -+, y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b )=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=22231234b k k+-, ∴OA OB ⋅=x 1x 2+y 1y 2=2241234k b -++22231234b k k+-=0. ∴ 7b 2-12k 2-12=0, 又∵ b 2=2k 2+2,∴ 2k 2+2=0,该方程无解,即此时直线m 也不存在.综上所述,不存在直线m 满足条件.………………………………………13分 21.解:(Ⅰ)由已知有(+1)()+1f xg x x x =-=ln(+1)x x -, 于是1()1=+11xg x x x '=--+. 故当x ∈(-1,0)时,()g x '>0;当x ∈(0,+∞)时,()g x '<0.所以g (x )的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞),g (x )的极大值是g (0)=0. ……………………………………………………………………4分 (Ⅱ)因为()ln +1f x x '=,所以0ln +1x =2121()()f x f x x x --,于是02ln ln x x -=21221()()ln 1f x f x x x x ----=2211221ln ln ln 1x x x x x x x ----=121121ln ln 1x x x x x x ---=2121ln11x x x x --,令21x x =t (t >1),ln ln 1()111t t t h t t t -+-=--=, 因为10t ->,只需证明ln +10t t -<.令ln +1t t t ϕ=-(),则110t tϕ'=-<(),∴ t ϕ()在(1+)t ∈∞,递减,所以10t ϕϕ<()()=, 于是h (t )<0,即02ln ln x x <,故02x x <.仿此可证10x x <,故102x x x <<.……………………………………………10分 (Ⅲ)因为11a =,1211(1)2n n n n a a a n +=++>,所以{}n a 单调递增,n a ≥1. 于是1222111111(1)(1)=(1)222n n n n n n n n a a a a a n n n +=++≤++++, 所以1211ln ln ln(1)2n n n a a n +≤+++. (*) 由(Ⅰ)知当x >0时,ln 1+x ()<x . 所以(*)式变为1211ln ln 2n n n a a n +<++. 即11211ln ln 2(1)k k k a a k ---<+-(k ∈N ,k ≥2), 令k =2,3,…,n ,这n -1个式子相加得1121222111111ln ln +++)[]22212(1)n n a a n --<++++-(1221111111)[]2122334(2)(1)n n n -<++++++⨯⨯--(-=1111111111)[1()()()]24233421n n n -+++-+-++---(- =111111)1)2421n n -+++--(-( 1111111=4214n n --<--, 即11111ln ln 44n a a <+=,所以114n a e <.……………………………………14分。

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绵阳市高2013级第二次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.BABDC ACDDB二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.127 12.-10 13.5214.5545-15.(-3,-2)∪]78(-,-∪{1} 三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.解 :(I )由图知,随机抽取的市民中年龄段在)4030[,的频率为1-10⨯(0.020+0.025+0.015+0.010)=0.3,即随机抽取的市民中年龄段在)4030[,的人数为100⨯0.3=30人. ………3分 (II )由(I )知,年龄段在)5040[,,)6050[,的人数分别为100⨯0.15=15人,100⨯0.1=10人,即不小于40岁的人的频数是25人,∴ 在)6050[,年龄段抽取的人数为10⨯255=2人. …………………………6分 (III )由已知X =0,1,2,P (X =0)=1032523=C C ,P (X =1)=53251312=C C C ,P (X =2)=1012522=C C , ∴ X∴ EX =0×10+1×5+2×10=5. …………………………………………12分 17.解:(I )f (x )=(cos 2x -sin 2x )(cos 2x +sin 2x )-sin2x=cos2x -sin2x =-2sin(2x -4π), ……………………………………………3分 由-2sin(2x -4π)=-22,即sin(2x -4π)=21, ∴ 2x -4π=2k π+6π,k ∈Z ,或2x -4π=2k π+65π,k ∈Z , 解得x =k π+245π,k ∈Z ,或x =k π+2413π,k ∈Z ,…………………6分 ∵ 0<x <π, ∴ x =245π,或x =2413π. ……………………………………………………8分 (II )由(I )知f (x )=-2sin(2x -4π),∵ [0]2x π∈,, ∴ 2x -4π∈3[]44ππ-,,∴ 当且仅当2x -4π=2π,即x =83π时,f (x )取得最小值-2, 即f (x )的最小值为-2,此时x 的取值集合为{83π}.……………………12分 18.解:(I )令x =0,得函数与y 轴的交点是(0,m ).令04)(2=++=m x x x f ,由题意0≠m 且0>∆,解的4<m 且0≠m .…………………………………4分(II )设所求的圆的一般方程为022=++++F Ey Dx y x ,令0=y 得02=++F Dx x ,这与042=++m x x 是同一个方程,故D =4,F =m ,…………………………………………………………………6分 令x =0得02=++F Ey y 方程有一个根为m ,代入得1--=m E .∴ 圆C 的方程为0)1(422=++-++m y m x y x . ……………………………9分 将圆C 的方程整理变形为0)1(422=---++y m y x y x ,此方程对所有满足4<m 且0≠m 都成立,须有⎩⎨⎧=-=-++,,010422y y x y x 解的⎩⎨⎧==,,10y x 或⎩⎨⎧=-=,,14y x 经检验知,(-4,1)和(0,1)均在圆C 上,因此圆C 过定点(-4,1)和(0,1).……………………12分19.解: (I )设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由已知可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+,,11029101030245511d a d a 解得⎩⎨⎧==,,221d a ∴ a n =2+(n -1)×2=2n ,S n =2)22(n n +=n 2+n .………………………………3分 对数列{b n },由已知有b 2-2T 1=1,即b 2=2b 1+1=3,∴ b 2=3b 1,(*)又由已知121n n b T +-=,可得b n -21-n T =1(n ≥2,n ∈N*),两式相减得b n +1-b n -2(T n -1-n T )=0,即b n +1-b n -2b n =0(n ≥2,n ∈N *), 整理得b n +1=3b n (n ≥2,n ∈N *),结合(*)得31=+nn b b (常数),n ∈N *, ∴ 数列{b n }是以b 1=1为首项1,3为公比的等比数列,∴ b n =13-n .……………………………………………………………………7分 (II )2T n = b n +1-1=n 3-1,∴ n n S b =(n 2+n )·13-n ,2n n a T =2n ·(n 3-1),于是n n S b -2n n a T =(n 2+n )·13-n - 2n ·(n 3-1)=]2)5(3[1+--n n n ,………………9分显然当n ≤4(n ∈N *)时,n n S b -2n n a T <0,即n n S b <2n n a T ;当n ≥5(n ∈N *)时,n n S b -2n n a T >0,即n n S b >2n n a T ,∴ 当n ≤4(n ∈N *)时,n n S b <2n n a T ;当n ≥5(n ∈N *)时,n n S b >2n n a T .………………………………………………12分20.解:(I )设动点M (x ,y ),则由题意可得 222)1(22=+++x y x , 化简整理得C 的方程为1222=+y x .……………3分 (II )假设存在Q (x 0,y 0)满足条件.设依题意可设直线m 为x =ky -1,于是⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,,12122y x ky x 消去x ,可得(k 2+2) y 2-2ky -1=0, 令M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),于是y 1+y 2=222+k k ,x 1+x 2=k (y 1+y 2)-2=242+-k ,……………………………7分 ∴ AB 的中点N 的坐标为(222+-k ,22+k k ). ∵ PQ ⊥l ,∴ 直线PQ 的方程为y -22+k k =-k (x +222+k ), 令y =0,解得x =212+-k ,即P (212+-k ,0).………………………………9分 ∵ P 、Q 关于N 点对称,∴ 222+-k =21( x 0212+-k ),22+k k =21( y 0+0), 解得x 0=232+-k ,y 0=222+k k ,即Q (232+-k ,222+k k ). ……………………11分 ∵ 点Q 在椭圆上, ∴ (232+-k )2+2(222+k k )2=2, 解得k 2=21,于是212=k,即421±=k , ∴ m 的方程为y =42x +42或y =-42x -42. ……………………………13分21.解:(I )xmx m x x f -=-='11)(,x >0. 当m >0时,由1-mx >0解得x <m 1,即当0<x <m1时,)(x f '>0,f (x )单调递增; 由1-mx <0解得x >m 1,即当x >m1时,)(x f '<0,f (x )单调递减. 当m =0时,)(x f '=x1>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当m <0时,1-mx >0,故)(x f '>0,即f (x )在(0,+∞)上单调递增.∴当m >0时,f (x )的单调递增区间为(0,m 1),单调递减区间为(m1,+∞); 当m ≤0时,f (x ) 的单调递增区间为(0,+∞). …………………………5分(II )2()2()g x f x x =+=2ln x -2mx +x 2,则xmx x x g )1(2)(2+-=', ∴ )(x g '的两根x 1,x 2即为方程x 2-mx +1=0的两根. ∵ m ≥223, ∴ ∆=m 2-4>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=1. …………………………………………7分 又∵ x 1,x 2为2()ln h x x cx bx =--的零点,∴ ln x 1-cx 12-bx 1=0,ln x 2-cx 22-bx 2=0,两式相减得 21ln x x -c (x 1-x 2)(x 1+x 2)-b (x 1-x 2)=0,得b =)(ln 212121x x c x x x x +--, 而b cx xx h --='21)(, ∴ y =])(2)[(212121b x x c x x x x -+-+- =-+-+-)(2)[(212121x x c x x x x )(ln212121x x c x x x x ++-] =212121ln )(2x x x x x x -+-=212121ln 112x x x x x x -+-⋅,…………… ……………10分 令t x x =21(0<t <1), 由(x 1+x 2)2=m 2得x 12+x 22+2x 1x 2=m 2,因为x 1x 2=1,两边同时除以x 1x 2,得t +t1+2=m 2, ∵ m ≥223,故t +t 1≥25,解得t ≤21或t ≥2,∴ 0<t ≤21.……………12分 设G (t )=t t t ln 112-+-⋅, ∴ )(t G '=0)1()1(2<+--t t t ,则y =G (t )在]210(,上是减函数, ∴ G (t )m in = G (21)=-32+ln2, 即1212()()2x x y x x h +'=-的最小值为-32+ln2. ……………………………14分。

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